第2章分式与分式方程 期末复习综合练习题 2025-2026学年鲁教版（五四制）八年级数学上册

2025-2026学年鲁教版（五四制）八年级数学上册《第2章分式与分式方程》 期末复习综合练习题（附答案） 一、单选题 1．下列各式，，，，，属于分式的有（） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．分式可变形为（    ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（    ） A．当时，分式有意义 B．分式与的最简公分母是 C．当分式时， D．无论x为何值，的值总为正数 4．将分式方程去分母后可得整式方程为（   ）． A． B． C． D． 5．若，则的值是（    ） A． B． C．1 D． 6．已知关于x的分式方程的解是非负数，则n的取值范围是（ ） A． B． C．且 D．且 7．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列列出的分式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．写一个含有字母x的分式，当时，分式无意义；当时，分式的值为0．则这个分式可以是 ． 9．分式，，的最简公分母是 ． 10．计算： ． 11．计算的结果是 ． 12．美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号前边的代数式污染，即  ．通过查看，得知答案为，则被污染的代数式为 ． 13．关于的分式方程无解，则的值为 ． 14．已知，则 ． 三、解答题 15．计算： （1）； （2） 16．解方程： (1)； (2)． 17．先化简，再求值： 其中 18．阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由，知，所以，即． 的值为的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 19．小军爸爸和小慧爸爸每天的白天、夜间都要到同一加油站各加一次油．白天和夜间的油价不同，有时白天高，有时夜间高，但不管价格如何变化，他们两人采用固定的加油方式：小军爸爸不论是白天还是夜间每次总是加60升油，小慧爸爸则不论是白天还是夜间每次总是花300元钱加油．假设某天白天油的价格为每升a元，夜间油的价格为每升b元． (1)用含a、b的代数式表示（请填化简后的结果）： 小军爸爸一天加2次油共花费 元，小慧爸爸一天加2次油共花费 元；小军爸爸这天加油的平均单价为 元/升，小慧爸爸这天加油的平均单价为 元/升． (2)判断谁的加油方式更合算，并通过数学运算说明理由． 20．随着新能源汽车使用的日益普及，各个小区都纷纷完善新能源汽车的配套设施，其中新能源充电桩的建设成为重点工作，某小区也不例外，计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足小区内新能源汽车车主日益增长的充电需求，然而，在购置过程中，面临着不同的价格、数量以及预算限制等问题，就像下面所描述的情况一样．某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表： 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：50000元 花费：45000元 单价：元/个 单价：元/个 (1)若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)在（1）的条件下，根据居民需求，小区决定再次购置单枪、双枪两款新能源充电桩共20个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购小区预备支出不超过25510元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 参考答案 1．C 【分析】本题考查分式的定义，根据分式的定义，分母中含有字母的式子才是分式．逐一判断各式中分母是否含有字母即可． 【详解】解：∵分式的定义是分母中含有字母， ∴，分母无字母，不是分式； 分母为常数2，无字母，不是分式； 分母含有字母，是分式； 分母含有字母，是分式； 分母为常数2，无字母，不是分式． ∴属于分式的有2个． 故选：C． 2．A 【分析】本题考查判断分式的变形是否正确，根据分式的基本性质，进行判断即可． 【详解】解：； 故符合题意的只有选项A； 故选A． 3．D 【分析】本题考查了分式有意义的条件、最简公分母的确定、分式值为零的条件及分式值的正负判断，解题的关键是熟练掌握分式的相关概念与性质． 判断分式有意义需分母不为零；确定最简公分母取系数最小公倍数与字母因式最高次幂的积；分式值为零需分子为零且分母不为零；判断分式值的正负需分析分母的取值范围． 【详解】解：A、分式有意义的条件是，并非，此选项不符合题意； B、分式与的最简公分母是，并非，此选项不符合题意； C、当时，由得，但即，故，此选项不符合题意； D、因，故，此选项符合题意； 故选：D． 4．C 【分析】本题考查解分式方程，掌握相关知识是解决问题的关键．分式方程两边同乘以最简公分母即可． 【详解】解：， 两边同乘以得： ． 故选：C． 5．D 【分析】本题考查了分式的化简求值，把变形得，然后代入表达式 中计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴ 故选：D． 6．D 【分析】本题考查解一元一次不等式，分式方程的解，熟练掌握解方程及不等式的方法是解题的关键．解分式方程，得到解，根据解是非负数且分母不为零的条件，得关于n的不等式，解不等式即可确定 n 的取值范围． 【详解】解：原方程去分母得：， 解得：， ∵该方程的解是非负数， ∴且， 解得：且， 故选：D． 7．B 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，根据题意找出等量关系列出方程是解题的关键．根据题意，设规定时间为天，慢马送信时间为天，速度为；快马送信时间为天，速度为，由快马速度是慢马速度的倍，即可列出方程． 【详解】解：设规定时间为天，则慢马所需时间为天，快马所需时间为天， 由题意得，慢马速度为里/天，快马速度为里/天， ， 故选B． 8． 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式值为零的条件．根据分式无意义的条件（分母为零）和分式值为零的条件（分子为零且分母不为零），构造分式． 【详解】解：当时，分式无意义，因此分母应含有因式；当时，分式的值为，因此分子应含有因式，且分母在时不为零．故分式可以为． 故答案为（答案不唯一）． 9． 【分析】本题考查了最简公分母，解题关键是掌握最简公分母并能熟练运用求解． 根据最简公分母的求法，需将各分母因式分解后，取所有不同因式的最高次幂的乘积． 【详解】解：分式、、的分母分别为、、． 其中可因式分解为， 因此所有分母的因式为和， 最简公分母为， 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了同分母分式的加法运算．由于两个分式的分母相同，直接合并分子进行运算． 【详解】解：（其中）． 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了分式的加减运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 根据分式的加减运算法则，先通分，再加减． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了分式的除法运算，掌握其运算法则是关键． 根据分式的除法运算法则计算即可求解，被除数等于商乘以除数． 【详解】解：， 故答案为： ． 13．或1或6 【分析】此题考查了分式方程的解，分式方程无解分两种情况：整式方程本身无解；分式方程产生增根． 分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出的值即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 整理得：， 当，即时，方程无解； 当，即时，由分式方程无解，得到或， 把代入得：； 把代入得：， 综上，的值为或1或6． 故答案为：或1或6． 14． 【分析】本题考查了分式的加减法，通分是解题的关键． 通过通分计算，利用多项式相等，求出常数A、B、C的值，然后代入计算表达式． 【详解】 , ,解得， ． 故答案为：． 15．（1）2b；（2） 【分析】（1）按照运算顺序，先算乘方，再算乘除即可； （2）先算括号，再算除法，约分即可． 【详解】（1） （2） 【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握各运算的运算法则是关键，进行混合运算时，要注意运算顺序，且最后要化成最简分式． 16．(1) (2)无解． 【分析】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键． （1）方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可； （2）方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】（1）解：， 方程两边都乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以分式方程的解是； （2）解：， ， 方程两边都乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以是增根， 即分式方程无解． 17．； 【分析】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．根据分式的混合运算法则把原式化简，把的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ， ， ， ∴原式 ． 18．(1) (2) 【分析】本题考查了分式的加减法，倒数，理解例题的思路是解题的关键． （1）把已知等式变形求出的值，再把所求的式子变形后进行计算即可； （2）把已知等式变形求出的值，再把所求的式子变形后进行计算即可． 【详解】（1）解： ， ，即， ， ； （2） ， ，即， ， ， ． 19．(1) ，，， (2) 小慧的爸爸的加油方式比较合算． 【分析】本题考查分式的实际应用，熟练掌握并利用题意列出代数式以及利用作差法进行分析比较是解题的关键； （1）由题意根据条件用代数式分别表示出小军的爸爸和小慧的爸爸在这天加油的平均单价即可； （2）根据题意利用作差法进行分析比较即可． 【详解】（1）解：小军爸爸白天加油花费元，夜间加油花费， ∴小军爸爸一天加2次油共花费元， 小慧爸爸一天加2次油共花费元， 小军的爸爸在这天加油的平均单价是：（元/升）， 小慧的爸爸在这天加油的平均单价是：（元/升）． 故答案为：，，，． （2）解：， 而，，，所以 从而，即． 因此，小慧的爸爸的加油方式比较合算． 20．(1)单枪新能源充电桩的价格为1000元/个，双枪新能源充电桩的价格为1500元/个 (2)小区最少需要购买单枪新能源充电桩6个 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程与不等式是解题的关键； （1）根据表格信息以及本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多个列出分式方程，解方程，即可求解； （2）先计算总花费为元，根据此次加购小区预备支出不超过元，列出不等式，解不等式，求最小整数解，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意， （元/个） 答：单枪新能源充电桩的价格为1000元/个，双枪新能源充电桩的价格为1500元/个. （2）解：单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，则现在单枪新能源充电桩的单价为(元/个) 双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，则现在双枪新能源充电桩的单价为(元/个) 设再次购进单枪新能源充电桩个，则购进双枪新能源充电桩个，总花费为元 ∵此次加购小区预备支出不超过元 ∴ 解得 ， ∵为整数， ∴的最小值为 答：小区最少需要购买单枪新能源充电桩6个． 学科网（北京）股份有限公司 $