8.1二分法与求方程近似解【十大考点+十大题型】讲义-2025-2026学年高一数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019必修第一册）

本讲义聚焦“二分法与求方程近似解”核心内容，系统梳理函数零点定义、零点存在定理、二分法原理及操作步骤，构建从概念（零点与方程解的关系）到定理（零点存在条件），再到方法（二分法步骤）的学习支架，为方程近似解求解提供完整知识脉络。 资料以10大题型（含例题与变式）覆盖零点存在判断、参数范围、零点个数等问题，结合二分法求近似值的表格数据分析题，培养学生数学思维（推理与运算能力）和数学眼光（抽象与创新意识）。课中助力分层教学，课后通过“高分达标”练习帮助学生巩固查漏，提升应用能力。

8.1二分法与求方程近似解 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点01：函数的零点 对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 方程、函数、图象之间的关系： 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点． 知识点02：函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 知识点03：二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解． 知识点04：用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 1．确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0. 2．求区间(a，b)的中点c. 3．计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： (1)若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点； (2)若f(a)·f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c； (3)若f(c)·f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c. 4．判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)． 以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断． 【题型归纳】 题型一：函数零点存在定理 【例1】．（25-26高一上·贵州毕节·月考）函数的零点所在的区间为（　　） A． B． C． D． 【变式1】．（2025高一·全国·专题练习）函数的零点所在区间为（   ）. A． B． C． D． 【变式2】．（24-25高一上·江西吉安·期末）已知函数，则的零点所在大致区间为（    ） A． B． C． D． 题型二：函数的零点区间求参数问题 【例2】．（25-26高一上·贵州·月考）若函数的零点所在区间为，则a 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高一上·全国·课后作业）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型三：函数的零点个数求参数问题 【例3】．（25-26高一上·山东枣庄·月考）设函数若方程有三个不同的实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高一上·山西·月考）已知函数若函数有2个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高一上·北京·月考）设，若有且仅有两个实数解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型四：二次函数零点分布求参数范围 【例4】．（23-24高一上·广东潮州·期末）已知函数有两个零点分别为和，则的取值范围是 ． 【变式1】．（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知分别是函数与的零点，若，则的取值范围为 . 【变式2】．（23-24高一上·江苏淮安·月考）已知函数，若函数，且函数有6个零点，则非零实数m的取值范围是 题型五：对指幂函数零点问题 【例5】．（24-25高一上·河北·月考）已知函数，则函数的零点个数为 ． 【变式1】．（24-25高一上·江苏无锡·月考）已知，则函数的零点个数是 . 【变式2】．（24-25高一上·天津·月考）已知函数 ，若函数 有 9 个不同的零点，则实数 的取值范围为 题型六：求函数零点或者方程根的个数问题 【例6】．（25-26高一上·陕西咸阳·月考）已知，则函数的零点个数为 . 【变式1】．（25-26高一上·山东青岛·月考）已知函数，则函数的零点个数为 . 【变式2】．（24-25高一上·贵州黔东南·期末）已知函数，则函数的零点的个数为 . 题型七：比较零点大小问题 【例7】．（25-26高一上·广东·月考）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（2025·广东广州·模拟预测）已知函数，，的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知函数的零点分别为，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型八：零点之和问题 【例8】．（23-24高一下·云南昭通·期末）函数的所有零点之和为（    ） A．8 B．7 C．5 D．4 【变式1】．（24-25高一上·甘肃兰州·期末）已知函数，若，，，是方程的四个互不相等的解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25高一上·江苏无锡·月考）定义域为R的函数，若关于x的方程恰有5个不同的实数解，，，，，则等于（   ） A．1 B． C． D．0 题型九：用二分法求函数f(x)零点近似值 【例9】．（25-26高一上·江苏无锡·月考）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 1 1.5 1.25 1.375 1.4375 -2 0.625 -0.984 -0.260 0.162 那么方程的一个近似根（精确度为0.1）不可以是（   ） A．1.375 B．1.25 C．1.4375 D．1.40625 【变式1】．（25-26高一上·山东济南·期中）已知函数在区间内有且仅有1个零点，在利用二分法求函数零点的近似值时，经过2次二分法后确定的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高一上·浙江·月考）已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值如下表所示： 0 1 0.5 0.25 0.375 0.4375 0.3125 0.34375 0.32813 -1 3 0.625 -0.23438 0.17773 0.39624 -0.03198 0.07187 0.01972 若用二分法求零点的近似值（精确度为0.1），则对区间等分的最少次数和零点的一个近似值分别为（    ） A． B． C． D． 题型十：函数与方程的综合问题 【例10】．（25-26高一上·广西南宁·月考）已知函数. (1)用定义证明函数在上为减函数； (2)若，求实数的取值范围； (3)若在上存在唯一零点，求实数的取值范围. 【变式1】．（25-26高一上·湖南长沙·月考）已知关于的函数，定义域为 (1)当时，求函数的零点； (2)若函数有零点，求的取值范围． 【变式2】．（25-26高一上·陕西西安·月考）已知幂函数的定义域为. (1)求函数的解析式； (2)判断的单调性，并用定义法加以证明； (3)若方程在上恰有两个不相等的实数根，求的取值范围. 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26高一上·福建·月考）函数零点存在的区间为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·湖北·月考）利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·安徽·月考）用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如表所示： 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.8125 3 1.3418 0.5793 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为（    ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.85 4．（2025高一·全国·专题练习）函数有且仅有一个正实数零点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·天津·月考）已知函数，则方程的解的个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．（25-26高一上·天津·月考）已知函数，的零点分别为，，则，的大小顺序为（    ） A． B． C． D．不确定 7．（25-26高一上·重庆·期中）已知函数，若有四个实根，从左到右依次为且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（25-26高一上·全国·课后作业）下列函数中，有零点且能用二分法求零点近似值的是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·贵州遵义·月考）已知函数，则关于直线与函数的图象的交点的个数说法正确的是（   ） A．当时，有3个交点 B．当时，有且只有1个交点 C．当时，有2个交点 D．当时，没有交点 10．（2025高一上·湖南邵阳·专题练习）已知函数有且只有一个零点，则（　　） A． B． C．若不等式的解集为，则 D．若不等式的解集为，且，则 11．（2025高一上·广东茂名·专题练习）下列说法正确的是（   ） A．函数 的零点为0和； B．函数的零点个数为1； C．函数的零点所在的区间为； D．已知方程的实数解落在区间内，用二分法求方程的近似解时，如果将该区间进行一次二等分，则下一个有解的区间是. 12．（25-26高一上·四川遂宁·月考）设函数，若函数有四个零点分别为，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 13．（24-25高一上·上海·期末）函数的零点为 . 14．（25-26高一上·江苏无锡·月考）已知函数，若关于的方程恰有两个不同的实数解，则实数的取值范围为 . 15．（25-26高一上·湖北·月考）设函数，若关于的方程恰有6个不同的实数解，则实数的取值范围是 . 16．（25-26高一上·上海·月考）已知函数，若方程恰有七个不相同的实根，则实数的取值范围是 四、解答题 17．（25-26高一上·北京·月考）已知是定义在上的奇函数，且当时， (1)根据条件，画出函数图像，并写出解析式和单调区间； (2)若关于的方程有三个不等实根，请直接写出实数范围； (3)写出不等式的解集. 18．（25-26高一上·上海·月考）已知. (1)当时，求不等式的解集； (2)若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围. 19．（25-26高一上·上海嘉定·月考）已知， (1)作出图象，若方程有两解，求的取值范围； (2)已知与图象关于点对称，求解析式，并解不等式. 20．（25-26高一上·陕西西安·月考）已知函数， (1)当时，解不等式； (2)若函数的图象与轴只有一个交点，求实数的取值范围. 21．（25-26高一上·海南省直辖县级单位·月考）已知函数为偶函数. (1)求实数的值； (2)求方程的实数解； (3)设，若函数与图象有个公共点，求实数的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.1二分法与求方程近似解 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点01：函数的零点 对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 方程、函数、图象之间的关系： 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点． 知识点02：函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解． 知识点03：二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解． 知识点04：用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 1．确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0. 2．求区间(a，b)的中点c. 3．计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： (1)若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点； (2)若f(a)·f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c； (3)若f(c)·f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c. 4．判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)． 以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断． 【题型归纳】 题型一：函数零点存在定理 【例1】．（25-26高一上·贵州毕节·月考）函数的零点所在的区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的零点的存在性定理计算即得到结论. 【详解】由题意得，函数在上单调递减， 所以在上单调递减． 因为， 所以，所以的零点所在的区间为． 故选：B 【变式1】．（2025高一·全国·专题练习）函数的零点所在区间为（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据零点存在定理计算求解. 【详解】因为函数，且在上单调递增，连续不断， 又因为， 所以结合零点存在定理得函数的零点所在区间为. 故选：C. 【变式2】．（24-25高一上·江西吉安·期末）已知函数，则的零点所在大致区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数解析式求定义域并判断其单调性，再由零点存在性定理确定零点所在区间. 【详解】由解析式知，则，故函数的定义域为， 而在上均单调递增， 所以在上单调递增，而， 所以的零点所在大致区间为. 故选：C 题型二：函数的零点区间求参数问题 【例2】．（25-26高一上·贵州·月考）若函数的零点所在区间为，则a 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的定义域为，函数在上都单调递减， 因此函数在上单调递减，由函数的零点所在区间为， 得，则，解得， 所以a 的取值范围为. 故选：A 【变式1】．（25-26高一上·全国·课后作业）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数的单调性，根据零点存在性定理列不等式求解即得. 【详解】函数在上的图象连续不断，且为增函数， 若在区间上存在零点， 根据零点存在定理可知，只需满足， 即， 解得， 所以实数的取值范围是． 故选：D. 【变式2】．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，分析可知函数在上为增函数，且该函数在区间内有零点，可得出，即可解得实数的取值范围. 【详解】当时，由可得， 令， 因为函数、在上均为增函数， 故函数在上为增函数， 因为函数在区间内有零点，则函数在区间内有零点， 所以，，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：D. 题型三：函数的零点个数求参数问题 【例3】．（25-26高一上·山东枣庄·月考）设函数若方程有三个不同的实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，由方程，可得，即， 因为，设两根为，则，即方程有一正一负根， 所以在上只有一个实数根， 因为方程有三个不同的实根， 所以当时，方程有两个正实数根，设两根为 当时，由方程，可得，即， 则满足，解得，所以实数的取值范围为. 故选：B. 【变式1】．（25-26高一上·山西·月考）已知函数若函数有2个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】作出函数的大致图象， 因为函数有2个零点， 所以方程有2个不同的根， 即方程有2个不同的根， 所以方程有2个不同的根， 所以函数与函数图象有2个不同的交点， 结合图象可得，或，所以或． 故选：B． 【变式2】．（25-26高一上·北京·月考）设，若有且仅有两个实数解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，再作出图象后，分析与图象关系即可得解. 【详解】令，则， 则的实数解个数即为与交点个数， 作出函数图象及斜率为的直线、、，如图所示， 则可得时，与函数图象有两个交点， 即实数的取值范围是. 故选：A. 题型四：二次函数零点分布求参数范围 【例4】．（23-24高一上·广东潮州·期末）已知函数有两个零点分别为和，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】不妨设，因为函数有两个零点分别为、， 所以，所以，即，即， 所以，，其中，所以，， 因为函数在上为减函数，当时，， 所以，，故的取值范围是. 故答案为：. 【变式1】．（23-24高一上·湖南长沙·期末）已知分别是函数与的零点，若，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题意，分别为与图象交点的横坐标，而与的图象关于直线对称，直线与直线垂直，因此这两个交点关于直线对称，如图所示： ， ∵，∴， . 故答案为：． 【变式2】．（23-24高一上·江苏淮安·月考）已知函数，若函数，且函数有6个零点，则非零实数m的取值范围是 【答案】 【详解】函数的图象如图，且， 令，则，可得或，， 当时，有3个不等的实根， 又函数有6个零点，所以方程有6个不等实根， 则有3不等实根，所以，解得. 故答案为：. 题型五：对指幂函数零点问题 【例5】．（24-25高一上·河北·月考）已知函数，则函数的零点个数为 ． 【答案】 【详解】令，解得，，令，解得或， 由、，故、是函数的零点； 令，解得或， 由、，故是函数的零点；令，解得，由，故是函数的零点； 令，解得， 由，故是函数的零点； 综上所述，的零点个数为.故答案为：. 【变式1】．（24-25高一上·江苏无锡·月考）已知，则函数的零点个数是 . 【答案】 【分析】根据函数零点定义，结合函数图象进行求解即可. 【详解】由，或， 函数的图象如下图所示： 由数形结合思想可知：函数的图象与函数、的图象一共有个交点， 所以函数的零点个数是， 故答案为： 【变式2】．（24-25高一上·天津·月考）已知函数 ，若函数 有 9 个不同的零点，则实数 的取值范围为 【答案】 【详解】因为函数有9个不同的零点， 所以方程有9个不同的实根， ，令，则或，， 如图，作出函数的图象， 由图可知，方程有个不同的实根，方程有个不同的实根， 因为所以方程有个不同的实根， 如图，作出函数的图象， 由图可知. 故答案为：. 题型六：求函数零点或者方程根的个数问题 【例6】．（25-26高一上·陕西咸阳·月考）已知，则函数的零点个数为 . 【答案】5 【分析】根据给定条件可得或，再分段求解即可. 【详解】由，得或， 当时，或，解得或或； 当时，或，解得或， 所以函数的零点个数为5. 故答案为：5 【变式1】．（25-26高一上·山东青岛·月考）已知函数，则函数的零点个数为 . 【答案】 【分析】解方程，即可得出函数的零点个数. 【详解】令，令，即， 当时，由，解得或； 当时，由，解得. 当时，由，可得，，该方程无解， 由，可得，解得， 由，可得，解得或； 当时，由，解得， 由，解得， 由，解得. 综上所述，函数的零点构成的集合为. 故函数的零点个数为. 故答案为：. 【变式2】．（24-25高一上·贵州黔东南·期末）已知函数，则函数的零点的个数为 . 【答案】 【详解】，的零点个数等价于与的交点个数； 当时，，此时； 当时，，此时，……依此类推， 当，时，， 则，，， 设，则，，， 当，且时，， 在，且上恒成立， 由此可得图象如下图所示， 当时，，由解得，此时两个函数图象只有一个交点， 由图象知：两个函数图象有个交点，即函数的零点个数为个. 故答案为：. 题型七：比较零点大小问题 【例7】．（25-26高一上·广东·月考）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用零点求法可得，结合图象交点位置可判断大小，进而可得答案. 【详解】由得， 由得，由得. 在同一平面直角坐标系中画出的图象，由图象知. 故选：B. 【变式1】．（2025·广东广州·模拟预测）已知函数，，的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题化为、、与的交点横坐标，画出大致函数图象，数形结合比较大小即可. 【详解】由题意，的零点分别为、、与的交点横坐标为，    它们的大致图象如上图示，易知，其中. 故选：A 【变式2】．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知函数的零点分别为，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意分别作出函数及的图象，即可求解. 【详解】在同一平面直角坐标系中分别作出函数及的图象，如图所示．    由图象可知．故B正确. 故选:B． 题型八：零点之和问题 【例8】．（23-24高一下·云南昭通·期末）函数的所有零点之和为（    ） A．8 B．7 C．5 D．4 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出函数的零点即可. 【详解】当时，，解得；当时，，解得， 所以函数的零点和为7. 故选：B 【变式1】．（24-25高一上·甘肃兰州·期末）已知函数，若，，，是方程的四个互不相等的解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在同一平面直角坐标系中作出函数的图象与的图象，结合图象知：且，，再由，利用对勾函数的性质求出的范围，即可得解. 【详解】因为，所以， 当时，令，即，解得或， 方程的解的个数即为的图象与的图象的交点个数， 在同一平面直角坐标系中作出函数的图象与的图象， 结合两函数图象可知，方程的四个互不相等的解时，的取值范围是. 不妨设， 结合图象知：且，， 由，即，所以，又， ， 故的取值范围是. 故选：C 【变式2】．（24-25高一上·江苏无锡·月考）定义域为R的函数，若关于x的方程恰有5个不同的实数解，，，，，则等于（   ） A．1 B． C． D．0 【答案】B 【分析】分析出函数的图象关于直线对称，分析可知为关于的方程的一根，求出的值，即可得解. 【详解】令，作出函数的大致图象， 当时，， 故函数的图象关于直线对称， 因为关于的方程恰有个不同的实数根， 则关于的方程恰有两根，设为、，且必有一根为，设， 设方程的两根分别为、，且，则， 令，解得或，又因为，不妨设， 所以，则， 因此，. 故选：B. 题型九：用二分法求函数f(x)零点近似值 【例9】．（25-26高一上·江苏无锡·月考）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 1 1.5 1.25 1.375 1.4375 -2 0.625 -0.984 -0.260 0.162 那么方程的一个近似根（精确度为0.1）不可以是（   ） A．1.375 B．1.25 C．1.4375 D．1.40625 【答案】B 【分析】据零点存在定理，结合表中数据以及精度要求，即可判断选择. 【详解】由表格可得，，且满足， 故函数的零点在之间，两端点也可以作为零点近似值，故选项中只有B选项不满足. 故选：B． 【变式1】．（25-26高一上·山东济南·期中）已知函数在区间内有且仅有1个零点，在利用二分法求函数零点的近似值时，经过2次二分法后确定的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据零点存在定理，结合二分法，不断把区间一分为二计算判断. 【详解】由，且，，得在内有零点； 由，且，，得在内有零点； 所以经过2次二分法后确定的零点所在区间为． 故选：B 【变式2】．（25-26高一上·浙江·月考）已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值如下表所示： 0 1 0.5 0.25 0.375 0.4375 0.3125 0.34375 0.32813 -1 3 0.625 -0.23438 0.17773 0.39624 -0.03198 0.07187 0.01972 若用二分法求零点的近似值（精确度为0.1），则对区间等分的最少次数和零点的一个近似值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合二分法代入计算，即可得到结果 【详解】由题意可知，对区间内，设零点为， 因为，，，所以，此时区间长度为， 又，，所以，此时区间长度为， 又，，所以，此时区间长度为 又，，所以，此时区间长度为， 所以满足条件的零点的一个近似值可取为，共计算4次. 故选：C 题型十：函数与方程的综合问题 【例10】．（25-26高一上·广西南宁·月考）已知函数. (1)用定义证明函数在上为减函数； (2)若，求实数的取值范围； (3)若在上存在唯一零点，求实数的取值范围. 【详解】（1）任取，且，则 ，因为，所以，所以，则，所以函数在上为减函数； （2）由（1）得在上为减函数，又，则， 当时，有，解得；当时，，解得，不成立，综上所述，实数的取值范围为； （3）由（1）得在上为减函数，则在上也为减函数， 又在上存在唯一零点，则由零点存在性定理可得，，， 解得， 故实数的取值范围为 【变式1】．（25-26高一上·湖南长沙·月考）已知关于的函数，定义域为 (1)当时，求函数的零点； (2)若函数有零点，求的取值范围． 【详解】（1）当时，，， 令，则，则， 所以或(舍)，解得， 所以的零点为 （2）由题意可知，在上有解， 令，则在上有解， 则在上有解，即在上有解， 因为在上单调递减，在上单调递增， 且，所以的值域为， 所以的取值范围是. 【变式2】．（25-26高一上·陕西西安·月考）已知幂函数的定义域为. (1)求函数的解析式； (2)判断的单调性，并用定义法加以证明； (3)若方程在上恰有两个不相等的实数根，求的取值范围. 【详解】（1）由幂函数的定义域为，得，解得， 所以函数的解析式为. （2）函数在上单调递增. 由（1）得，，， 当时，； 当时，； 当时，， 因此，恒有，即， 所以函数在上单调递增. （3）由（1）知， 令，当时，， 依题意，关于的方程在上有两个不等实数根， 因此，解得， 所以的取值范围是. 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26高一上·福建·月考）函数零点存在的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数单调性和零点存在定理求解即可. 【详解】函数在上单调递增， 的零点所在区间为， 故选:B． 2．（25-26高一上·湖北·月考）利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，易知在上单调递增，进而根据，即可判断. 【详解】解：由得， 构造函数， 因为与在上单调递增， 所以在上单调递增， 因为， ， 所以的零点位于区间，也即方程的近似解在区间. 故选：C 3．（25-26高一上·安徽·月考）用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如表所示： 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.8125 3 1.3418 0.5793 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为（    ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.85 【答案】C 【分析】根据表格及二分法的定义，结合精确度求零点的近似解. 【详解】因为，可知零点在内， 又区间长度，满足条件， 所以方程的近似解可取为. 故选：C 4．（2025高一·全国·专题练习）函数有且仅有一个正实数零点，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按照和分类讨论，利用一次函数和二次函数零点分布求解即可. 【详解】当时，为函数的零点，符合题意； 当时，若，即时，是函数唯一的零点，符合题意， 若即，显然不是函数的零点， 函数有且仅有一个正实数零点等价于方程有一个正根一个负根， 所以，所以． 综上，实数的取值范围是. 故选：B． 5．（25-26高一上·天津·月考）已知函数，则方程的解的个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据方程，解得或5，作出，和的图象，根据交点个数，即可得答案. 【详解】有，得，解得或5， 当时，单调递减， 因为为开口向上，对称轴为的抛物线， 令，解得或5， 所以当时，，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 作出，和的图象，如下图所示： 由图象可得直线与的图象有4个交点， 直线与的图象有2个交点，共有6个交点， 所以方程解的个数为6. 故选：B 6．（25-26高一上·天津·月考）已知函数，的零点分别为，，则，的大小顺序为（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【详解】因为函数都是增函数，所以函数都是增函数， 又，所以函数的零点在上，即，因为， 所以函数的零点在上，即，所以. 故选：A. 7．（25-26高一上·重庆·期中）已知函数，若有四个实根，从左到右依次为且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】有四个实根等价于与有三个或四个交点； 若有三个交点，则或；若有四个交点，则且； 作出大致图象如下图所示， 结合图象可知：， ，； 令，则， 由图象可知，，则，； ，， ， 若，则，整理可得：恒成立， ，，，解得：； 综上所述：； 当时，，， 即的取值范围为. 故选：D. 二、多选题 8．（25-26高一上·全国·课后作业）下列函数中，有零点且能用二分法求零点近似值的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，由知此函数的判别式，故函数无零点；对于D．由知此函数的判别式，故无法用二分法求零点近似值；对于B，C，函数存在变号零点，能用二分法求解． 9．（25-26高一上·贵州遵义·月考）已知函数，则关于直线与函数的图象的交点的个数说法正确的是（   ） A．当时，有3个交点 B．当时，有且只有1个交点 C．当时，有2个交点 D．当时，没有交点 【答案】ABC 【详解】直线与直线有一个交点， 联立，可得或， 所以直线与抛物线的交点为， 在同一平面直角坐标系中作出的图象，如下图所示： 当时，有3个公共点，分别为，故A正确； 当时，有且只有1个公共点，即为，故B正确； 当时，有2个公共点，即为，故C正确； 当时，至少有2个公共点，故D错误. 故选：ABC. 10．（2025高一上·湖南邵阳·专题练习）已知函数有且只有一个零点，则（　　） A． B． C．若不等式的解集为，则 D．若不等式的解集为，且，则 【答案】ABD 【分析】由函数的零点的定义和二次方程有两个相等的实数解的条件可得的关系式，由二次函数的最值求法，可判断A；由基本不等式可判断B；由二次方程的韦达定理可判断C，D. 【详解】因为有且只有一个零点，故可得，即. 对于A，等价于，显然，故A正确； 对于B，，当且仅当，即时，等号成立，故B正确； 对于C，因为不等式的解集为，故，故C错误； 对于D，因为不等式的解集为，且， 则方程的两根为，则 ， 故可得，故可得，故D正确. 故选：ABD. 11．（2025高一上·广东茂名·专题练习）下列说法正确的是（   ） A．函数 的零点为0和； B．函数的零点个数为1； C．函数的零点所在的区间为； D．已知方程的实数解落在区间内，用二分法求方程的近似解时，如果将该区间进行一次二等分，则下一个有解的区间是. 【答案】BCD 【详解】由当时，，得，当时，，得，不满足，故A错； 由，由解析式可知在定义域上单调递增，又， 由零点存在性定理结合单调性可知：函数的零点个数为1，B对； 因为在(0,＋∞)上单调递增，又 ， ，所以f ， 故在上存在零点；C对；设，由解析式可知其在定义域上单调递增， ，， 又 所以零点所在区间为，所以方程下一个有解的区间是.D对. 故选：BCD. 12．（25-26高一上·四川遂宁·月考）设函数，若函数有四个零点分别为，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】作出的函数图像如下， 因为函数有四个零点，所以函数的图像有4个不同的交点，，所以，故A错误； 由图可得关于对称，所以，故B正确； 由图可得且，则有，即，所以，故C正确， 令解得，所以，由，得， 根据对勾函数性质可知在区间上单调递增， 所以，即，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 13．（24-25高一上·上海·期末）函数的零点为 . 【答案】和6 【详解】当时，令即，解得（舍去）或； 当时，令即. 综上可得函数的零点为和. 故答案为：和6 14．（25-26高一上·江苏无锡·月考）已知函数，若关于的方程恰有两个不同的实数解，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】由关于的方程恰有两个不同的实数解，得函数的图象与直线有两个交点 在同一坐标系内作出函数的图象及直线，如图： 观察图象得，当且仅当或时，函数的图象及直线有两个交点， 所以实数m的取值范围是. 故答案为： 15．（25-26高一上·湖北·月考）设函数，若关于的方程恰有6个不同的实数解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】由函数的图象，如图所示， 若令，则方程可化为， 由图可知，当时，与有3个交点， 要使关于的方程恰有6个不同的实数解， 则关于的方程在上有两个不同实数解， 可得，解得. 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 16．（25-26高一上·上海·月考）已知函数，若方程恰有七个不相同的实根，则实数的取值范围是 【答案】 【详解】令，设方程的两根分别为、，不妨设， 作出函数的图象如下图所示： 因为方程恰有七个不相同的实根，则，， 由韦达定理可得，故. 故答案为：. 四、解答题 17．（25-26高一上·北京·月考）已知是定义在上的奇函数，且当时， (1)根据条件，画出函数图像，并写出解析式和单调区间； (2)若关于的方程有三个不等实根，请直接写出实数范围； (3)写出不等式的解集. 【详解】（1）解：当时，的图像开口向上，对称轴为，顶点为， 又因为是定义在上的奇函数，其图像关于原点对称，所以图像如图，    结合图像可知，函数的单调递减区间为和，单调递增区间为． 因为当时，，所以当时， ，所以， 因为是定义在上的奇函数，所以，所以当 时，， 又，故的解析式为. （2）解：因为有个不相等的实数根，等价于与的图像有个交点， 结合（1）中的图像可知，当时，与的图像有个交点，所以. （3）解：当时，，解得； 当时，，解得. 综上所述，不等式的解集为. 18．（25-26高一上·上海·月考）已知. (1)当时，求不等式的解集； (2)若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围. 【详解】（1），所以所求解集为. （2）因由只有一个正根. 若，满足题意；当时， 若，此时方程的仅一个实根为，满足题意； 若，即，此时方程的两根之积为，由可得. 综上，或.所以实数的取值范围为：. 19．（25-26高一上·上海嘉定·月考）已知， (1)作出图象，若方程有两解，求的取值范围； (2)已知与图象关于点对称，求解析式，并解不等式. 【详解】（1）由，图象如下： 由方程有两解，等价于函数与有两个交点， 由图可知，，则的取值范围为. （2）因为与图象关于点对称， 所以，则， 不等式， 则不等式的解集为. 20．（25-26高一上·陕西西安·月考）已知函数， (1)当时，解不等式； (2)若函数的图象与轴只有一个交点，求实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，不等式， 则，即，解得，所以原不等式的解集为. （2）函数的图象与轴只有一个交点，等价于函数有唯一零点， 函数， 则满足的条件下，有唯一零点1， 此时有，， 所以实数的取值范围是. 21．（25-26高一上·海南省直辖县级单位·月考）已知函数为偶函数. (1)求实数的值； (2)求方程的实数解； (3)设，若函数与图象有个公共点，求实数的取值范围. 【详解】（1）对任意的，，所以，函数的定义域为， 因为函数为偶函数，则， 即， 所以，， 所以. （2）因为，即 即 令，则 （3）函数与图象有2个公共点， 由可得， 要使有意义，则，故， 由对数方程可得，即， 设，则，又在上单调递增， 由题意可知，关于的方程有两个不等的正根， 所以，，解得. 即的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $