统计与概率：二项分布、超几何分布、正态分布专项训练-2026届高三数学一轮复习

统计与概率：二项分布、超几何分布、正态分布专项训练 统计与概率：二项分布、超几何分布、正态分布专项训练 考点目录 二项分布 超几何分布 正态分布 考点一 二项分布 1．（24-25高二下·云南·阶段练习）某电子零部件代加工工厂生产的零部件次品率为，现进行多批次抽检，假设各零部件是否为次品相互独立. (1)从一批产品中随机抽取件，求抽到的零部件中正品数多于次品数的概率； (2)若从另一批产品中随机抽取件，记抽到的零部件的正品数与次品数差的绝对值为，求的分布列与期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【详解】（1）从一批产品中随机抽取件，抽到的零部件中正品数多于次品数， 则次品数为件或件， 所以所求概率为. （2）设抽取的零部件次品数为， 则， 所以可能的取值依次为，，， ， ， 所以的分布列为： 1 3 0.27 0.73 故. 2．（25-26高三上·广东·阶段练习）某罐中装有除颜色外完全相同的4个红球和3个绿球，每次随机摸出1个球． (1)若每次都是不放回地摸球，连续摸两次，求在第二次摸球时摸得红球的条件下，第一次摸球时摸得红球的概率； (2)若每次都是有放回地摸球，连续摸四次，摸得红球记1分，摸得绿球记0分，设四次摸球总得分为，求的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2)的分布列为 0 1 2 3 4 的数学期望是. 【详解】（1）记第一次摸到红球为事件A，第二次摸到红球为事件B. . 所以. 故在第二次摸球时摸得红球的条件下，第一次摸球时摸得红球的概率为. （2）由题可知，每次摸球，摸到红球的概率为，摸到绿球的概率为. 记四次摸球活动中，摸到红球的次数为，则. 因为四次摸球总得分为，所以.所以. 所以， ， ， ， . 所以的分布列为 0 1 2 3 4 所以的数学期望是. 3．（25-26高三上·江苏南通·阶段练习）某班准备在周六和周日两天分别进行一次环保志愿活动，分别由李老师和王老师负责通知，已知该班共60名学生，每次活动需40人参加，假设李老师和王老师通过“家校通”平台分别将通知独立、随机地发给60位学生家长中的40人，且保证所发通知都能收到． (1)求该班甲同学家长收到李老师或王老师通知的概率； (2)设该班乙同学家长收到通知的次数为，求的分布列及数学期望； (3)设两次都收到通知的人数为变量，则的可能取值有哪些？并求出取到其中哪一个值的可能性最大？请说明理由． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)取到27的可能性最大 【详解】（1）李老师通知40人，甲同学家长未收到李老师通知的概率为， 王老师通知40人，甲同学家长未收到王老师通知的概率也为， 因为李老师和王老师发通知是独立事件， 所以甲同学家长未收到李老师和王老师通知的概率为， 所以甲同学家长收到李老师或王老师通知的概率为； （2）表示乙同学家长收到通知的次数，的可能取值为0，1，2， ， ， ， 所以分布列为： 0 1 2 期望； （3）表示两次都收到通知的人数，的可能取值为20，21，22，…，40， 设，则， 所以， 令，解得， 所以时，单调递增， 时，单调递减， 又， 则， 所以时概率最大， 则取到27的可能性最大． 4．（25-26高三上·宁夏·开学考试）甲、乙两名同学进行定点投篮训练，据以往的训练数据可知，甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，各次投篮互不影响．现甲、乙两人开展多轮次的定点投篮活动，每轮次各投2个球，每投进一个球记1分，不投进记分． (1)求甲在一个轮次投篮结束后的得分不大于0的概率； (2)记甲、乙每轮次投篮得分之和为X． ①求； ②若，则称该轮次为一个“成功轮次”．在连续轮次的投篮活动中，记“成功轮次”的数量为Y，当n为何值时，的值最大？ 【答案】(1)； (2)①；②或或． 【详解】（1）甲在一轮投篮结束后的得分不大于，即甲在一轮投篮中至多命中一次， 所以甲在一轮投篮结束后的得分不大于的概率为. （2）①． ②由①知，由题知， 所以， 由， 得到且， 整理得到，即， 得到，所以， 由题有，所以，得到，又， 所以或或. 5．（25-26高三上·重庆·阶段练习）每次高中数学测试中有3道多选题这种题型，在A，B，C，D四个选项中有不止一个选项是正确的，得分规则是：选错得0分，完全正确得满分6分，部分选对得部分分.某同学为了了解自己多选题的解题水平，对自己过去10次考试的多选题作答情况进行了统计，得到下列表格：(以下表统计的频率估计概率) 类别 得分 次数 A类：正确选项为2项 0 2 3 2 6 6 B类：正确选项为3项 0 4 2 1 4 5 6 10 (1)计算一次考试中B类多选题数量的分布列、期望和方差； (2)该同学听取了老师的建议，在知识的理解、审题、练习方面努力，将自己面对A，B两类题目得满分的概率均提高到，得部分分的概率没有改变，求下一次考试中该同学在多选题中得分大于等于16分的概率(用表示)，并判断该概率有没有机会超过. 【答案】(1)分布列见解析，， (2)，有 【详解】（1）由一次考试有道多选题，故的可能取值为、、、， 从表格中可知这次考试中有道B类多选题，道A类多选题， 故每道题是B类的概率为， 故随机变量服从二项分布， 则， ， ， ， 故的分布列为： ， ； （2）从表格中可知该同学对A类题目得分的概率为， 对B类题目得分的概率为，得分的概率为， 又该同学对A，B两类题目得满分的概率为， 则对A类题目得零分的概率为， 对B类题目得零分的概率为， 设事件表示“下一次考试中B类多选题有题”， 事件表示“下一次考试中该同学B类多选题全对的有题”， 事件表示“下一次考试中该同学B类多选题得分的有题”， 事件表示“下一次考试中该同学A类多选题全对的有题”， 其中，且， 则，有， ， 则， 令，由、、，故， 则， 则在上单调递增， 故. 故该概率有机会超过. 6．（25-26高三上·贵州·阶段练习）某人工智能神经网络由若干个相同的神经元节点组成，每个节点被激活的概率均为，且各节点是否被激活相互独立．若网络中超过一半的节点被激活，则整个网络能够正常执行任务．记为网络中共有n个神经元节点时，网络能正常执行任务的概率． (1)若，求； (2)若，网络中共有4个神经元节点，记网络中被激活的神经元节点个数为X，未被激活的神经元节点个数为Y，求Z＝X－Y的数学期望； (3)若，，试比较和的大小，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)2 (3)，证明见解析 【详解】（1）每个节点被激活的概率，且各节点是否被激活相互独立， 又网络有5个神经元节点，要使网络正常执行任务，需超过一半节点被激活，即至少3个节点被激活， 设5个节点中被激活节点个数为，根据独立事件概率公式得， ， ． （2），网络有4个神经元，表示被激活的节点个数，则，表示未被激活的节点个数，则， ， 二项分布， ． （3）设表示个节点中被激活的节点数，则， 设表示个节点中被激活的节点数，则， 表示个节点中至少个节点被激活的概率，即， 表示个节点中至少个节点被激活的概率，即． 把分解为“原有个节点的激活数”与“新增2个节点的激活数”的和， 即，其中且与互相独立． 若原有，则无论新增节点如何激活，总激活数都满足大于等于， 若原有，则需要新增节点至少激活1个，才能使总激活数大于等于， ． ， ， ， ， ，即． 若，，． 7．（2025·浙江·模拟预测）某次比赛中，甲乙二人进入决赛并争夺冠军，比赛没有平局，每局比赛结果相互独立． (1)若比赛规则为：①每局比赛后，胜者获得3分，负者获得1分；②连续2局获胜或积分率先达到11分者可获得冠军，比赛结束．已知在单局比赛中，甲乙获胜的概率均为．求甲乙决出冠军时比赛局数的分布列与数学期望； (2)若每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．已知甲乙进行了局比赛且甲胜了11局，试给出的估计值表示局比赛中甲胜的局数，以使得最大的的值作为的估计值）． (3)随着比赛的进行，对于高手而言，越到后面，在单局比赛中获胜的概率越大．设比赛共进行局，若甲在第局比赛中获胜的概率为，同时主办方决定最终奖金的计算根据每一局的胜负情况，第局的胜者得奖金元，负者0元．记随机变量为比赛结束时甲获得的总奖金数，求（用表示） 参考公式：对任意随机变量，有． 【答案】(1)分布列见解析，； (2)14 (3) 【详解】（1）由比赛规则知，1局比赛后，甲乙双方共获得4分，若比赛进行了4局还未结束， 则双方共计16分，此时双方均为8分，则第5局比赛后必定有一人积分可达到11分， 因此比赛次数不会超过5，令比赛共进行了n局，（）， 记随机事件“第i局比赛中甲获胜”，， ， ， ， ． 所以X的分布列为： X 2 3 4 5 P 数学期望. （2）依题意，，， 记，已知， 则， 由，得， 即时，，时，， 则当时，最大，所以n的估计值为14． （3）设第局获得奖金为，则， 由于，则. 考点二 超几何分布 1．（25-26高三上·山东潍坊·阶段练习）某地区从高一年级的物理测试中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．    (1)估计该地区本次物理测试的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； (2)该地区某学校建议此次物理测试成绩在本地区前60%的学生选科报物理方向，试估计报物理方向的学生本次成绩不低于多少分？（结果保留整数） (3)从成绩位于区间和的答卷中，采用分层抽样随机抽取7份，再从这7份中随机抽取3份，设成绩在的答卷份数为随机变量X，求X的分布列及数学期望． 【答案】(1)74分 (2)72分 (3)分布列见解析， 【详解】（1）由题意，解得， 则平均分 ，所以该地区本次物理测试的平均分为74分． （2）成绩在的频率为0.1， 在的频率为0.25，在的频率为0.3， 因为，， 所以选报物理方向的最低分x在内，则，解得，所以估计报物理方向的学生本次成绩不低于72分． （3）由题可知，成绩在区间的频数为， 成绩在区间的频数为， 利用分层抽样，从中抽取7份，成绩在的频数为， 成绩在的频数为， 再从这7份答卷中随机抽取3份，X的所有可能取值为0，1，2， ，， ， 故X的分布列为： X 0 1 2 P 所以X的数学期望为：． 2．（25-26高三上·四川成都·开学考试）一批零件共有12件，其中有3件次品，现不放回地随机抽取4件进行检验. (1)求抽到的次品数的分布列； (2)若已知抽到的4件中至少有1件次品，求恰好有2件次品的概率. 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【详解】（1）的可能取值为， ， ， 故的分布列为： 0 1 2 3 （2）记事件“抽到的4件中至少有1件次品”，事件“恰好有2件次品”， ， 故已知抽到的4件中至少有1件次品，恰好有2件次品的概率为. 3．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）袋中有8个大小相同的球，其中有3个黄球、5个白球，从中随机地连续抽取2次，每次取1个球． (1)若每次抽取后都放回，设取到黄球的个数为，求； (2)若每次抽取后都不放回，设取到黄球的个数为，求的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)分布列间解析；. 【详解】（1）每次抽取后都放回，则取到黄球的个数， 所以，， 所以. （2）每次抽取后都不放回则取到黄球的个数的值可能为：0,1,2. 且，，. 所以的分布列为： 0 1 2 所以. 4．（25-26高三上·天津·开学考试）巴东一中组织庆五一教职工篮球活动，我们年级有10名教职工参加，其中有6名理科教师、4名文科教师，为活动的需要，要从这10名教师中随机抽取3名教职工去买比赛服装. (1)已知10名教师中有2名班主任，求抽取的3名中至少有1名班主任的概率； (2)设表示抽取的3名教师中文科教师的人数，求的分布列及数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，期望为 【详解】（1）由于10名教师中有2名班主任，则10名教师中有8名不是班主任， 若抽取的3名中没有班主任，则有种抽法，从10名教师中随机抽取3名教职工的方法有种， 故抽取的3名中至少有1名班主任的概率为 （2）的所有可能取值有：0，1，2，3， 故的分布列为： 0 1 2 3 故期望为： 5．（25-26高三上·湖北武汉·阶段练习）在深化课程改革、推动教育高质量发展的新阶段，命题能力已成为教师专业发展的关键能力，某省开展2025年学科教师命题能力高质量研修提升培训会，参会人员包括300名经验丰富教师（年龄在35岁及以上的教师），200名经验不丰富教师（年龄在35岁以下的教师），会后均参加相关知识考核，考核结果为优秀、合格两种情况，统计并得到如下列联表： 经验丰富教师 经验不丰富教师 总计 优秀 200 150 350 合格 100 50 150 总计 300 200 500 (1)根据小概率值的独立性检验，能否认为这次考核结果与经验丰富与否有关？ (2)若从参会人员中，采用分层抽样的方法随机抽取10名教师，再从这10名教师中随机抽取4人进行调研，设抽取的4人中经验不丰富教师的人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)不能 (2)分布列见解析； 【详解】（1）零假设：认为这次考核结果与经验丰富无关， 由题意， 所以根据小概率值的独立性检验，推断成立， 即不能认为这次考核结果与经验丰富与否有关. （2）由题意，名教师中经验丰富的教师人数为人，经验不丰富的教师人数为人， 则可取的值有， ，， ，，， 的分布列如下表 0 1 2 3 4 所以. 6．（25-26高三上·江苏扬州·阶段练习）2025年春节假期，文旅市场火爆．文化和旅游部公布的数据显示：春节假期8天，全国国内出游5.01亿人次，同比增长；国内出游总花费6770.02亿元，同比增长．某景区的某网红饮品小店统计了春节假期前7天的营业额（单位：千元），得到与的数据如表所示： 第天 1 2 3 4 5 6 7 营业额 7 9 11 13 16 18 17 (1)已知与有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测春节假期第8天的营业额； (2)如果某天营业额大于10（单位：千元），则该天“达标”，从表格中的7组数据中随机选4组，设表示“达标”的数据组数，求的分布列和数学期望． 参考公式：在线性回归方程中，，． 参考数据：，． 【答案】(1)，千元 (2)分布列见解析，数学期望为 【详解】（1）由题意可得：，， 则，， 可知线性回归方程为， 当时，， 所以预测春节假期第8天的营业额为千元． （2）由题意可知的所有可能取值为：2，3，4， 则，，， 所以的分布列为 2 3 4 的数学期望为． 7．（25-26高三上·江苏扬州·阶段练习）一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球个，其余为黑球. (1)当盒中的白球数时，从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，用A表示事件“第一次取到白球”，用B表示事件“第二次取到白球”，判断并说明事件A与B是否相互独立； (2)某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中一次性随机取10个球，只要白球个数是3个，则获奖，否则不获奖，该同学放置白球的数量n为多少时，参与者获奖的可能性最大? 【答案】(1)不独立，说明见解析 (2) 【详解】（1）事件A与B不相互独立，理由如下： 当时，由题可得，， ， 所以，所以事件A与B不相互独立. （2）由题可得从20个球中取10个球，恰有3个白球的概率为， 则， 又， 所以当时，当时， 所以， 所以当时，参与者获奖的可能性最大. 8．（24-25高二下·上海松江·阶段练习）我区举办“中小学生国防知识竞赛”中，随机抽查了100名学生，其中共有4名男生和2名女生的成绩在90分以上，从这6名同学中每次随机抽1人在全校作经验分享，每位同学最多分享一次（不放回抽样），记第一次抽到女生为事件A，第二次抽到男生为事件B． (1)求，； (2)若把抽取学生的方式更改为：从这6名学生中随机抽取3人进行经验分享，记被抽取的3人中女生的人数为X，求X的分布列、数学期望和方差． 【答案】(1)，； (2)分布列见解析，，. 【详解】（1）由题设，则，且，， 所以. （2）由题意，可能值为，且，，， 所以的分布列如下， 0 1 2 则，. 考点三 正态分布 1．（24-25高二下·安徽·阶段练习）从某市某次小学考试成绩中抽取了1000名学生的成绩(总分为300分)，由成绩结果得到频率分布直方图，如图所示. (1)求这1000名学生成绩中样本平均数和样本方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表). (2)由直方图可以认为，这次考试成绩Z服从正态分布，其中μ近似为样本平均数，近似为样本方差. ①利用该正态分布，求； ②记X表示这1000名学生的成绩位于区间的学生人数，利用①的结果，求. 附:，. 【答案】(1)200，150 (2)①0.954；②954 【详解】（1）抽取学生的成绩的样本平均数和样本方差s2分别为 ， . （2）①由（1）知，，从而. ②由①知，一名学生的成绩位于区间的概率约为0.954，依题意知， 所以. 2．（2025·湖南·模拟预测）某企业的甲、乙两条生产线都生产M型零件，一天中，甲、乙两条生产线分别生产320件和1280件M型零件，为了解该企业M型零件的生产质量，现利用分层随机抽样，从一天中生产的M型零件中随机抽取40件，测量其尺寸（单位：mm），所得尺寸数据的统计结果如下表： 平均尺寸 标准差 甲生产线p件M型零件 80 6 乙生产线q件M型零件 70 4 (1)求这40件M型零件尺寸的平均数； (2)求这40件M型零件尺寸的标准差； (3)假设该企业一天中生产的M型零件尺寸服从正态分布，其中用样本平均数作为的估计值，用样本标准差s作为的估计值.试估计：这一天生产的M型零件中，尺寸小于的零件是否低于40件? 参考数据：①n个数，，，…，的方差为；②若随机变量X服从正态分布，则，，；③. 【答案】(1)72； (2)6； (3)低于40件. 【详解】（1）由题设，，， 所以； （2）由题设，甲的均值，方差，乙的均值，方差， 所以，， 而，即， 所以，，而， 所以，可得； （3）由（1）（2）知零件服从，则， 这一天生产的M型零件中，尺寸小于的零件有， 所以这一天生产的M型零件中，尺寸小于的零件低于40件. 3．（24-25高二下·陕西西安·期末）某企业的甲、乙两条生产线都生产M型零件，一天中，甲、乙两条生产线分别生产320件和1280件M型零件，为了解该企业M型零件的生产质量，现利用比例分配的分层随机抽样，从一天中生产的M型零件中随机抽取40件，测量其尺寸（单位：mm），所得尺寸数据的统计结果如下表： 平均尺寸 方差 甲生产线p件M型零件 80 36 乙生产线q件M型零件 70 16 (1)求这40件M型零件尺寸的平均数和方差； (2)假设该企业一天中生产的M型零件尺寸服从正态分布，其中用样本平均数作为的估计值，用样本方差作为的估计值试估计：这一天生产的M型零件中，尺寸小于60mm的零件是否少于40件？（参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，，．） 【答案】(1)， (2)少于40件 【详解】（1）由题设，，， 所以； 由题设，甲的均值，方差，乙的均值，方差， 所以，， 而，即， 所以，，而， 所以，可得； （2）由（1）（2）知零件服从，则， 这一天生产的M型零件中，尺寸小于的零件有， 所以这一天生产的M型零件中，尺寸小于的零件少于40件. 4．（24-25高二下·山西·期末）为提升学生的安全保护意识，某学校举办了一次“安全知识竞赛”，此次竞赛分为初赛和决赛两个阶段，初赛成绩排名前50名的学生参加复赛.已知共有2000名学生参加了初赛，整理数据后，认为初赛成绩服从正态分布，其中. (1)已知小明的初赛成绩为90分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加决赛？ (2)决赛规则如下：①每位学生的初赛成绩直接计入决赛成绩；②每位学生需解答20道决赛题，每题5分；③每答对一道题，决赛成绩加5分，答错时既不加分也不减分.已知参加决赛的学生甲的初赛成绩为95分，他答对每道题的概率均为0.8，且每题答对与否都相互独立.求学生甲决赛成绩的数学期望. 附：若，则，. 【答案】(1)小明有资格参加决赛. (2)175 【详解】（1）由题意得， 故全校2000名参加初赛的学生中成绩不低于88分的人数为， 因为，所以小明有资格参加决赛. （2）设决赛中学生甲答对的题数为，其决赛成绩为，则， 由题意得，则， 所以. 5．（25-26高三上·湖南永州·开学考试）为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平．某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格： 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩/分 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80 记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为，经计算. (1)求； (2)规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩不合格的人数为X，求X的分布列； (3)经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布，用的值分别作为的近似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间的人数为Y，求Y的数学期望． 附：若，则，，. 【答案】(1)56 (2)分布列见解析 (3)95.45 【详解】（1）. （2）因为体质测试不合格的学生有3名，所以X的可能取值为0，1，2，3. 因为，， ，. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P （3）因为，， 所以， 因为， 所以学生的体质测试成绩恰好落在区间的概率约为， 故，所以. 6．（25-26高三上·重庆·阶段练习）近期我校被评为全国首批智能研修平台规模化应用领航培育校，中央电教馆在我校举办项目启动活动，并特设南开专场活动.为了了解AINK人工智能对学生学习的助力情况，学校组织了高一学生参加“AINK人工智能”知识竞赛（满分100分），并从中随机抽查了100名学生的成绩（单位:分），将他们的成绩分成以下6组:，，，，，统计结果如下面的频数分布表所示. 组别 频数 10 15 20 30 15 10 已知高一学生的这次竞赛成绩近似服从正态分布，其中近似取为样本平均数的整数部分，近似取为样本标准差的整数部分，并已求得（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）. (1)从高一年级随机抽取一个学生的竞赛成绩，试估计他的竞赛成绩在区间内的概率（结果保留一位小数）. (2)现从高一年级随机选取名同学的竞赛成绩，根据（1）的结果，若他们的成绩均在范围内的概率不低于，求的最大值（为正整数） 参考数据:，若，则. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可知个分组的中点值分别为， 则样本平均数估计值， 可得. 由，则，， 因为，所以 . （2）设“从高一年级随机选取一名学生的竟赛成绩在范围内”为事件，则； 可得从高一年级随机选取名同学的竞赛成绩，他们的成绩均在范围内的概率为； 由，两边取对数可得； 因为，， 所以，由为正整数，所以的最大值为. 7．（25-26高三上·福建·阶段练习）某工厂采购了甲、乙两台新型机器， 现对这两台机器生产的第一批零件的直径进行测量， 质检部门随机抽查了 100 个零件的直径进行了统计如下: 零件直径 (单位: 厘米) [1.8，2.0] 零件个数 10 25 30 25 10 (1)经统计，零件的直径服从正态分布，据此估计这批零件直径在区间的概率. (2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为，求的分布列和数学期望. 参考数据: 若随机变量，则，，. 【答案】(1)0.8186 (2)分布列见解析，1 【详解】（1）因为零件的直径服从正态分布，所以， 则， 即. （2）由题意，随机抽取一个零件，直径在区间的概率为， 由题意知的所有可能取值为   故，， ，， ， 故X的分布列为 0 1 2 3 4 ∵满足二项分布，的数学期望为. 8．（25-26高三上·江苏宿迁·阶段练习）实验测量中，测量数据往往存在误差，故测量数据常常服从正态分布.在一次实验测量中，某同学的测量数据近似服从正态分布，且. (1)在的条件下，求的概率； (2)已知事件“”与事件“”相互独立，求实数； (3)若认为该实验在时测量精度较高，且已知随机变量时，，请评价本次实验测量的测量精度. 【答案】(1)0.8 (2) (3)本次实验的测量精度不高 【详解】（1）在的条件下，的概率等价于， 由题意可知，其概率密度函数图象关于直线对称， 所以， 根据对称性，， 故 （2）设事件为“”，事件为“”， 且事件“”等价于事件“或”. 由题意得， 则由对称性得， 由事件“”与“”互斥，则， 因为事件与相互独立，所以， 当时，等价于事件“”， 则，解得，无解； 当时，等价于事件“”， 则，即，解得， 由于，故. 当时，等价于事件“或”. 此时有， 故由正态分布性质，拆分可得 ， 又，代入解得， 而，故，无解. 综上所述，； （3）由题可计算得， 又对于任意，由于等价于 ， 则对于任意均有， 时，同理， 故是的充要条件. 由正态分布性质有，且数据比较， 即， 故，再由上述的充要条件， 这等价于的情况，故必有，即， 故，即可做出本次实验的测量精度不高的评价. 2 学科网（北京）股份有限公司 $统计与概率：二项分布、超几何分布、正态分布专项训练 统计与概率：二项分布、超几何分布、正态分布专项训练 考点目录 二项分布 超几何分布 正态分布 考点一 二项分布 1．（24-25高二下·云南·阶段练习）某电子零部件代加工工厂生产的零部件次品率为，现进行多批次抽检，假设各零部件是否为次品相互独立. (1)从一批产品中随机抽取件，求抽到的零部件中正品数多于次品数的概率； (2)若从另一批产品中随机抽取件，记抽到的零部件的正品数与次品数差的绝对值为，求的分布列与期望. 2．（25-26高三上·广东·阶段练习）某罐中装有除颜色外完全相同的4个红球和3个绿球，每次随机摸出1个球． (1)若每次都是不放回地摸球，连续摸两次，求在第二次摸球时摸得红球的条件下，第一次摸球时摸得红球的概率； (2)若每次都是有放回地摸球，连续摸四次，摸得红球记1分，摸得绿球记0分，设四次摸球总得分为，求的分布列与数学期望． 3．（25-26高三上·江苏南通·阶段练习）某班准备在周六和周日两天分别进行一次环保志愿活动，分别由李老师和王老师负责通知，已知该班共60名学生，每次活动需40人参加，假设李老师和王老师通过“家校通”平台分别将通知独立、随机地发给60位学生家长中的40人，且保证所发通知都能收到． (1)求该班甲同学家长收到李老师或王老师通知的概率； (2)设该班乙同学家长收到通知的次数为，求的分布列及数学期望； (3)设两次都收到通知的人数为变量，则的可能取值有哪些？并求出取到其中哪一个值的可能性最大？请说明理由． 4．（25-26高三上·宁夏·开学考试）甲、乙两名同学进行定点投篮训练，据以往的训练数据可知，甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，各次投篮互不影响．现甲、乙两人开展多轮次的定点投篮活动，每轮次各投2个球，每投进一个球记1分，不投进记分． (1)求甲在一个轮次投篮结束后的得分不大于0的概率； (2)记甲、乙每轮次投篮得分之和为X． ①求； ②若，则称该轮次为一个“成功轮次”．在连续轮次的投篮活动中，记“成功轮次”的数量为Y，当n为何值时，的值最大？ 5．（25-26高三上·重庆·阶段练习）每次高中数学测试中有3道多选题这种题型，在A，B，C，D四个选项中有不止一个选项是正确的，得分规则是：选错得0分，完全正确得满分6分，部分选对得部分分.某同学为了了解自己多选题的解题水平，对自己过去10次考试的多选题作答情况进行了统计，得到下列表格：(以下表统计的频率估计概率) 类别 得分 次数 A类：正确选项为2项 0 2 3 2 6 6 B类：正确选项为3项 0 4 2 1 4 5 6 10 (1)计算一次考试中B类多选题数量的分布列、期望和方差； (2)该同学听取了老师的建议，在知识的理解、审题、练习方面努力，将自己面对A，B两类题目得满分的概率均提高到，得部分分的概率没有改变，求下一次考试中该同学在多选题中得分大于等于16分的概率(用表示)，并判断该概率有没有机会超过. 6．（25-26高三上·贵州·阶段练习）某人工智能神经网络由若干个相同的神经元节点组成，每个节点被激活的概率均为，且各节点是否被激活相互独立．若网络中超过一半的节点被激活，则整个网络能够正常执行任务．记为网络中共有n个神经元节点时，网络能正常执行任务的概率． (1)若，求； (2)若，网络中共有4个神经元节点，记网络中被激活的神经元节点个数为X，未被激活的神经元节点个数为Y，求Z＝X－Y的数学期望； (3)若，，试比较和的大小，并证明你的结论． 7．（2025·浙江·模拟预测）某次比赛中，甲乙二人进入决赛并争夺冠军，比赛没有平局，每局比赛结果相互独立． (1)若比赛规则为：①每局比赛后，胜者获得3分，负者获得1分；②连续2局获胜或积分率先达到11分者可获得冠军，比赛结束．已知在单局比赛中，甲乙获胜的概率均为．求甲乙决出冠军时比赛局数的分布列与数学期望； (2)若每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．已知甲乙进行了局比赛且甲胜了11局，试给出的估计值表示局比赛中甲胜的局数，以使得最大的的值作为的估计值）． (3)随着比赛的进行，对于高手而言，越到后面，在单局比赛中获胜的概率越大．设比赛共进行局，若甲在第局比赛中获胜的概率为，同时主办方决定最终奖金的计算根据每一局的胜负情况，第局的胜者得奖金元，负者0元．记随机变量为比赛结束时甲获得的总奖金数，求（用表示） 参考公式：对任意随机变量，有． 考点二 超几何分布 1．（25-26高三上·山东潍坊·阶段练习）某地区从高一年级的物理测试中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．    (1)估计该地区本次物理测试的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； (2)该地区某学校建议此次物理测试成绩在本地区前60%的学生选科报物理方向，试估计报物理方向的学生本次成绩不低于多少分？（结果保留整数） (3)从成绩位于区间和的答卷中，采用分层抽样随机抽取7份，再从这7份中随机抽取3份，设成绩在的答卷份数为随机变量X，求X的分布列及数学期望． 2．（25-26高三上·四川成都·开学考试）一批零件共有12件，其中有3件次品，现不放回地随机抽取4件进行检验. (1)求抽到的次品数的分布列； (2)若已知抽到的4件中至少有1件次品，求恰好有2件次品的概率. 3．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）袋中有8个大小相同的球，其中有3个黄球、5个白球，从中随机地连续抽取2次，每次取1个球． (1)若每次抽取后都放回，设取到黄球的个数为，求； (2)若每次抽取后都不放回，设取到黄球的个数为，求的分布列和数学期望． 4．（25-26高三上·天津·开学考试）巴东一中组织庆五一教职工篮球活动，我们年级有10名教职工参加，其中有6名理科教师、4名文科教师，为活动的需要，要从这10名教师中随机抽取3名教职工去买比赛服装. (1)已知10名教师中有2名班主任，求抽取的3名中至少有1名班主任的概率； (2)设表示抽取的3名教师中文科教师的人数，求的分布列及数学期望. 5．（25-26高三上·湖北武汉·阶段练习）在深化课程改革、推动教育高质量发展的新阶段，命题能力已成为教师专业发展的关键能力，某省开展2025年学科教师命题能力高质量研修提升培训会，参会人员包括300名经验丰富教师（年龄在35岁及以上的教师），200名经验不丰富教师（年龄在35岁以下的教师），会后均参加相关知识考核，考核结果为优秀、合格两种情况，统计并得到如下列联表： 经验丰富教师 经验不丰富教师 总计 优秀 200 150 350 合格 100 50 150 总计 300 200 500 (1)根据小概率值的独立性检验，能否认为这次考核结果与经验丰富与否有关？ (2)若从参会人员中，采用分层抽样的方法随机抽取10名教师，再从这10名教师中随机抽取4人进行调研，设抽取的4人中经验不丰富教师的人数为X，求X的分布列和数学期望． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 6．（25-26高三上·江苏扬州·阶段练习）2025年春节假期，文旅市场火爆．文化和旅游部公布的数据显示：春节假期8天，全国国内出游5.01亿人次，同比增长；国内出游总花费6770.02亿元，同比增长．某景区的某网红饮品小店统计了春节假期前7天的营业额（单位：千元），得到与的数据如表所示： 第天 1 2 3 4 5 6 7 营业额 7 9 11 13 16 18 17 (1)已知与有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测春节假期第8天的营业额； (2)如果某天营业额大于10（单位：千元），则该天“达标”，从表格中的7组数据中随机选4组，设表示“达标”的数据组数，求的分布列和数学期望． 参考公式：在线性回归方程中，，． 参考数据：，． 7．（25-26高三上·江苏扬州·阶段练习）一盒子中有大小与质地均相同的20个小球，其中白球个，其余为黑球. (1)当盒中的白球数时，从盒中不放回地随机取两次，每次取一个球，用A表示事件“第一次取到白球”，用B表示事件“第二次取到白球”，判断并说明事件A与B是否相互独立； (2)某同学要策划一个抽奖活动，参与者从盒中一次性随机取10个球，只要白球个数是3个，则获奖，否则不获奖，该同学放置白球的数量n为多少时，参与者获奖的可能性最大? 8．（24-25高二下·上海松江·阶段练习）我区举办“中小学生国防知识竞赛”中，随机抽查了100名学生，其中共有4名男生和2名女生的成绩在90分以上，从这6名同学中每次随机抽1人在全校作经验分享，每位同学最多分享一次（不放回抽样），记第一次抽到女生为事件A，第二次抽到男生为事件B． (1)求，； (2)若把抽取学生的方式更改为：从这6名学生中随机抽取3人进行经验分享，记被抽取的3人中女生的人数为X，求X的分布列、数学期望和方差． 考点三 正态分布 1．（24-25高二下·安徽·阶段练习）从某市某次小学考试成绩中抽取了1000名学生的成绩(总分为300分)，由成绩结果得到频率分布直方图，如图所示. (1)求这1000名学生成绩中样本平均数和样本方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表). (2)由直方图可以认为，这次考试成绩Z服从正态分布，其中μ近似为样本平均数，近似为样本方差. ①利用该正态分布，求； ②记X表示这1000名学生的成绩位于区间的学生人数，利用①的结果，求. 附:，. 2．（2025·湖南·模拟预测）某企业的甲、乙两条生产线都生产M型零件，一天中，甲、乙两条生产线分别生产320件和1280件M型零件，为了解该企业M型零件的生产质量，现利用分层随机抽样，从一天中生产的M型零件中随机抽取40件，测量其尺寸（单位：mm），所得尺寸数据的统计结果如下表： 平均尺寸 标准差 甲生产线p件M型零件 80 6 乙生产线q件M型零件 70 4 (1)求这40件M型零件尺寸的平均数； (2)求这40件M型零件尺寸的标准差； (3)假设该企业一天中生产的M型零件尺寸服从正态分布，其中用样本平均数作为的估计值，用样本标准差s作为的估计值.试估计：这一天生产的M型零件中，尺寸小于的零件是否低于40件? 参考数据：①n个数，，，…，的方差为；②若随机变量X服从正态分布，则，，；③. 3．（24-25高二下·陕西西安·期末）某企业的甲、乙两条生产线都生产M型零件，一天中，甲、乙两条生产线分别生产320件和1280件M型零件，为了解该企业M型零件的生产质量，现利用比例分配的分层随机抽样，从一天中生产的M型零件中随机抽取40件，测量其尺寸（单位：mm），所得尺寸数据的统计结果如下表： 平均尺寸 方差 甲生产线p件M型零件 80 36 乙生产线q件M型零件 70 16 (1)求这40件M型零件尺寸的平均数和方差； (2)假设该企业一天中生产的M型零件尺寸服从正态分布，其中用样本平均数作为的估计值，用样本方差作为的估计值试估计：这一天生产的M型零件中，尺寸小于60mm的零件是否少于40件？（参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，，．） 4．（24-25高二下·山西·期末）为提升学生的安全保护意识，某学校举办了一次“安全知识竞赛”，此次竞赛分为初赛和决赛两个阶段，初赛成绩排名前50名的学生参加复赛.已知共有2000名学生参加了初赛，整理数据后，认为初赛成绩服从正态分布，其中. (1)已知小明的初赛成绩为90分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加决赛？ (2)决赛规则如下：①每位学生的初赛成绩直接计入决赛成绩；②每位学生需解答20道决赛题，每题5分；③每答对一道题，决赛成绩加5分，答错时既不加分也不减分.已知参加决赛的学生甲的初赛成绩为95分，他答对每道题的概率均为0.8，且每题答对与否都相互独立.求学生甲决赛成绩的数学期望. 附：若，则，. 5．（25-26高三上·湖南永州·开学考试）为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平．某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格： 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩/分 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80 记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为，经计算. (1)求； (2)规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩不合格的人数为X，求X的分布列； (3)经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布，用的值分别作为的近似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间的人数为Y，求Y的数学期望． 附：若，则，，. 6．（25-26高三上·重庆·阶段练习）近期我校被评为全国首批智能研修平台规模化应用领航培育校，中央电教馆在我校举办项目启动活动，并特设南开专场活动.为了了解AINK人工智能对学生学习的助力情况，学校组织了高一学生参加“AINK人工智能”知识竞赛（满分100分），并从中随机抽查了100名学生的成绩（单位:分），将他们的成绩分成以下6组:，，，，，统计结果如下面的频数分布表所示. 组别 频数 10 15 20 30 15 10 已知高一学生的这次竞赛成绩近似服从正态分布，其中近似取为样本平均数的整数部分，近似取为样本标准差的整数部分，并已求得（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）. (1)从高一年级随机抽取一个学生的竞赛成绩，试估计他的竞赛成绩在区间内的概率（结果保留一位小数）. (2)现从高一年级随机选取名同学的竞赛成绩，根据（1）的结果，若他们的成绩均在范围内的概率不低于，求的最大值（为正整数） 参考数据:，若，则. 7．（25-26高三上·福建·阶段练习）某工厂采购了甲、乙两台新型机器， 现对这两台机器生产的第一批零件的直径进行测量， 质检部门随机抽查了 100 个零件的直径进行了统计如下: 零件直径 (单位: 厘米) [1.8，2.0] 零件个数 10 25 30 25 10 (1)经统计，零件的直径服从正态分布，据此估计这批零件直径在区间的概率. (2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为，求的分布列和数学期望. 参考数据: 若随机变量，则，，. 8．（25-26高三上·江苏宿迁·阶段练习）实验测量中，测量数据往往存在误差，故测量数据常常服从正态分布.在一次实验测量中，某同学的测量数据近似服从正态分布，且. (1)在的条件下，求的概率； (2)已知事件“”与事件“”相互独立，求实数； (3)若认为该实验在时测量精度较高，且已知随机变量时，，请评价本次实验测量的测量精度. 2 学科网（北京）股份有限公司 $