专题04 二次根式的化简求值（10大基本题型） 期末专项复习讲义2025-2026学年北师大版数学八年级上册

该初中数学讲义通过知识框架图系统梳理二次根式知识体系，从定义与有意义条件、最简二次根式、乘除法则到化简求值层层递进，清晰呈现双重非负性、同类二次根式等重难点及内在联系，帮助学生构建完整知识脉络。 讲义亮点在于10大基本题型分类突破，如整体代入求值、规律探究问题等，结合分母有理化技巧、乘法公式简化运算，培养运算能力与推理意识。典例与练习搭配，基础生掌握方法，优生深入探究，助力自主复习与教师精准分层教学。

2025-2026学年度北师大数学八年级上册期末专项复习讲义 专题04二次根式的化简求值（10大基本题型) 专题概览 题型1：判断是否为二次根式 题型2：二次根式有意义的条件 题型3：最简二次根式的判断与化简 题型4：同类二次根式的识别 题型5：利用二次根式性质化简 题型6：二次根式的混合运算 题型7：分母有理化 题型8：整体代入求值 题型9：新定义型问题 题型10：规律探究问题 核心知识点总结 一、二次根式的定义与有意义的条件（基础前提） 二次根式的核心定义是形如√ā(a≥0)的代数式，其中“√厂”是二次根号，a称为被开方数。需重 点理解： 1.双重非负性：二次根式√a有意义的条件是被开方数非负a≥0，且其结果本身也是非负的√a≥0 2.拓展应用：若二次根式出现在分母，则需同时满足分母不为零。 二、最简二次根式（化简的核心目标） 化简二次根式的最终目标是将其转化为最简二次根式，需满足两个条件： 1.被开方数不含分母：若被开方数是分数或分式，需通过分母有理化或因式分解去除分母。 2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式：需将被开方数分解为平方数（或平方式）与非平方数 (或非平方式)的乘积，再将平方数（或平方式）开方到根号外。 三、二次根式的乘除法则（化简与运算的关键工具） 二次根式的乘除运算需遵循“根号不变，被开方数相乘除”的规则，且结果需化为最简二次根式： 1.乘法法则：√a√=√aba≥0，b≥0) 2. 除法法则：治层a2a6>0 四、同类二次根式（合并的基础） 同类二次根式是指化简后被开方数相同的二次根式，合并时只需将系数相加，被开方数不变（类似 “合并同类项”)。 五、二次根式的混合运算（综合应用） 二次根式的混合运算遵循“先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号内”的顺序，且实数的运算 律（交换律、结合律、分配律）同样适用。需重点掌握： 1.乘法公式：平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2、完全平方公式(a±b2=a2±2ab+b2在二次根式运算 中同样有效。 2.运算技巧： ()分母有理化：通过乘以分母的有理化因式，如1一 √2-1 =√2-1，去除分母中的根号； 2+1(V2+1(2-1 (2)整体代入：当直接求值困难时，可将己知条件整体代入化简后的表达式 六、二次根式的化简求值（核心应用） 化简求值是二次根式的终极目标，需结合上述知识点，遵循“先化简，再求值”的原则： 1.化简二次根式：将原式中的二次根式化为最简二次根式； 2. 合并同类二次根式：将化简后被开方数相同的项合并； 3. 代入求值：将己知数值代入化简后的表达式，计算结果（注意单位、符号及取值范围）。 题型归纳 【题型1】判断是否为二次根式 核心考点：二次根式的定义（形如Va(a≥0）的代数式)。 解题思路： 1.检查式子是否为“根号形式”（带有二次根号）； 2. 验证被开方数是否非负(a≥0)。 【典例1】下面是二次根式的是() B.2 C.2 D.4 【练习1】下列各式Vx-2，√3，，√a2+1中是二次根式的个数有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【练习2】下列式子中，不属于二次根式的是() A.5 B.2W2 c.√a 【练习3】下列各式中，是二次根式的是() A.√6 B.阿 C.vx2+3 D.2- 【题型2】二次根式有意义的条件 核心考点：二次根式的被开方数非负(a≥0)；若有分母，分母不为0。 解题思路： 1. 对于√a,列式Va≥0； 2. 对于二，列式a>0; Va 3. 求解得参数取值范围。 【典例1】二次根式x-有意义的条件为() 2 A.x>1 B.x<1 C.x≥1 D.x≤1 【练习1】式子√x+2在实数范围内有意义，则x的取值范围是() A.x>-2 B.x≥-2 C.x<-2 D.x≤-2 【练习2】若x是任意实数，则下列各式一定有意义的是() A.√+ B.x+1 C.√3-x D. 【练习3】若x、y都是实数，且y=√x-3+V3-x+8,求x+3y的平方根. 【题型3】最简二次根式的判断与化简 核心考点：最简二次根式的两个条件（被开方数不含分母；不含能开得尽方的因数或因式）。 解题思路： 1.判断：检查被开方数是否有分母，是否有平方因子： 2.化简： (1)去分母：将被开方数的分母有理化； (2)开方：提取被开方数中的平方因子 【典例1】下列二次根式中，不是最简二次根式的是() A.√ B.6 c日 D.2 【练习1】下列二次根式中，属于最简二次根式的是() A.0.5 B.√9a C.a2+b2 D. 【练习2】设√2=a,√5=b,则√0.02x√5可以表示为0 ab A·100 B.10ab c D. ab 【练习3】已知最简二次根式√m-1与√⑧可以进行加减运算，则m的值为() A.2 B.3 C.6 D.8 【题型4】同类二次根式的识别 核心考点：同类二次根式的定义（化简后被开方数相同的二次根式）。 解题思路： 1.识别：将所有二次根式化为最简形式，比较被开方数是否相同； 2. 合并：将同类二次根式的系数相加，被开方数不变（类似“合并同类项”）。 【典例1】下列根式中，与√2是同类二次根式的是() A.√0.2 B.4 C.12 D.2 【练习1】下列各式中，与√5是同类二次根式的是() A.√75 B.√25 C.V0.5 D.55 【练习2】若2√5与最简二次根式√a+1是同类二次根式，则a的值为· 【练习3】己知√x-1为最简二次根式，且能够与√5合并，则x的值是 【题型5】利用二次根式性质化简 核心考点：二次根式的非负性(Va≥0)及性质(V匠=la,(a=a,a≥0)。 解题思路： 1.化简Va2:根据a的符号去掉绝对值(a≥0时为a,a<0时为-a); 2.化简带绝对值的式子：结合数轴或已知条件判断绝对值内表达式的符号，再去掉绝对值。 【典例1】己知a+b=2,ab=1,则化简， a 叵的值是(） A.1 B.√2 C.2 D.22 【练习1】已知1<x<2,化简Vx-2+x-2的结果为() A.-1 B.1 C.3-2x D.2-3x 【练习2】已知3<x<4,则化简Vx-3)2-Vx-4的结果是0 A.1+2x B.1 C.-1 D.2x-7 【练习3】计算： x 【题型6】二次根式的混合运算 核心考点：遵循“先乘方、再乘除、后加减”的顺序，结合乘法公式（平方差、完全平方）简化计 算。 解题思路： 1. 乘方：（a}=a(a≥0)，（Vavb=ab(a,b≥0 2. 乘除：利用a√b=√ab(a≥0，b≥0)， 活V层a≥>9 3.加减：合并同类二次根式（参考题型4)； 4. 简便运算：灵活运用平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2和完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2 【奥1】计案：+65-写周 【练习1】计第：D+5万6x5 【练习2】计第：(-4+4列-2列+2+得 【练习3】计第：(5-°++8-巾-回+- 【题型7】分母有理化 核心考点：将分母中的根号去掉，常用方法为“乘以有理化因式”（如√ā的有理化因式为√a, a+b√c的有理化因式为a-bNc。 解题思路： 1. 对于右>0，乘以治料9 √a√a 2. a+6a,6>0),乘以-6程a-6 对于 a-6得a6 (平方差公式) 1 【典例1】分母有理化： V5+2 1 1 【练习1】已知x= 2+5'y2-3,记a为x的整数部分，b为y的小数部分，则a+b= 【练习2】阅读材料： 已知a-b=1,a2-b2=3,求a+b的值. 小迪同学是这样解答的： a+bj(a-b)=a2-b2,a2-b2=3 a+b)(a-b)=3. "a-b=1, a+b=3. 结合以上材料，解答问题： (化简：5+3 (2)已知6+x-√4+x=1,求V6+x+√4+x的值. 【练习3】根据所给的方法，完成下列问题： 1 分母有理化：3+2 5-√2 5-√2 解：3+23+2x-2(-(2) 1 1 0⑩计第：+2+2+店+5+4+ V99+V100i 1 1 ②已知x=6+2y62求+的值 【题型8】整体代入求值 核心考点：通过代数变形，将已知条件整体代入化简后的式子，避免单独求变量值。 解题思路： 1.将待求式化简为含已知条件的形式（如a十b、ab、a一b等）； 2. 将已知条件代入计算。 【典例1】己知m+n=3,mn=2,则， 四的值为 【练习1】已知：y-2=V1-4x+√4x-1, -2的值为 【练习2】阅读下列材料，然后回答问题， 学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比 如我们熟悉的下面这个题：已知a+b=2,ab=-3,求a2+b我们可以把a+b和ab看成是一个整体，令 x=a+b,y=ab,则a2+b2=(a+b)2-2ab=x2-2y=4+6=10这样，我们不用求出a,b,就可以得到最 后的结果. (1)计算： 3+23-√2 5+√2,5-2 √5-√25+√2 √5-√2'√5+√2 ②m是正整数，Q=m+-历6-m+1+m Vm+1+√m √m+1-√m ,且2a2+1829ab+2b2=2025,求m. (3)已知x满足V15+x2-V19-x2=2,求V15+x2+V19-x2的值. 【练习3】观察下列各式的计算过程，寻找规律： 1 2-1 =2-1； √2+1(W2+1)(N2-1) 5-√2 5+56+2N8-V25-5: 1 1 √4-3 4+V5W4+v5n4-54-5 利用发现的规律解决下列问题： 1 (化简式子：n-1+n 1 1 1 (2)直接写出式子的值： 2+1t5+V2+V4+5+…+2025+N2024 ×(W2025+1)= 1 1 1 3)计第：5+5+5+7+5+…+2m+1+2m司 (n为正整数). 【题型9】新定义型问题 核心考点：理解题目中“新定义”的运算规则，将其转化为己学的二次根式运算。 解题思路： 1.仔细阅读新定义，明确运算规则： 2. 将具体数值代入规则，按照二次根式的运算步骤计算。 【典例1】定义一种新运算F,规定F(x,y)=ax+by+3（其中a,b均为非零常数)，例如： F(0,0)=a×0+b×0+3=3,若F(m,n)=12,则F(2m,2n)= 【练习1】新定义：符号“f”表示一种新运算，它对一些数的运算结果如下： 运算（一）：f(-2)=-2-1=-3,f(-1=-1-1=-2,f0)=0-1=-1,f1=1-1=0,f2)=2-1=1, 运算)：引-3,2.付-2，付=3… 利用以上规律计算：八-2024到-(35】 【练习2】若x+y=3,则称x和y是关于3的平衡数， (1)3与是关于3的平衡数；5+√2与是关于3的平衡数： (2)已知m为整数，若(m+V⑤)1-V5=-7+3V5,请说明m+V5与5-5是关于3的平衡数： (3)已知a=m+√5，ab=n+75,m,n为整数，a和b是关于3的平衡数，则Vm-n)=_ 【练习3】对于一个四位正整数m,若满足各个数位上的数字均不为0且互不相等，千位数字与十位数 字的和等于百位数字与个位数字的和，则称这个数为“和同数”.将m的千位数字与百位数字对调得到新 数m,将m的十位数字与个位数字对调得到新数m,记F(m=”二心，若n是最小的“和同数，则 101 F(n=一；若s,t都是“和同数”，s=2001+100x+10y,1=1000a+870+b(x,y,a,b都是 整数，1≤x,y,ab≤9)，记k= F,且2F⊙+F0能被7整除，当k最大时，此时s+的值 为 【题型10】规律探究问题 / 核心考点：通过观察前几项的结果，归纳出一般规律（如分式的拆分、根式的和），再用数学归纳 法或代数方法证明。 解题思路： 1.计算前几项（如n=1,2,3),观察结果的变化规律； 2.提出猜想（如第n项的结果）； 3.用代数方法证明猜想（如分式拆分、根式有理化）。 【典例1】已知“为实数，规定运算：4，=1- g,411 a 4=11 a, 411 a a4’,0n=1- 1 ，按 n- 上述方法计算：当a1=3时，as的值等于() A. 3 B c.- 2 D.3 【练习1】a=1 32,4=1-1 22,43=1 1n+8=aaa,则5x- 2,0n=1- +2，S,=1++1 11 11 11 【练习2】设S,=1+ +2+3,8=l1+家+年，，5。=1++m+, S=VS+V⑤，++√S4,则√2025-S的值为() A.2024 B.2025 1 C. 44 D 【练习3】观察下列各式： 第1个等式： ,10 第2个等式： h-3-1 42 第3个等式： 第4个式： 73 根据上述规律，解答下面的问题： (①)请写出第6个等式：； (2)根据等式的规律，请写出第个等式；(n是正整数，用含的式子表示) 199 (3)计算： --引-- 10000 2025-2026学年度北师大数学八年级上册期末专项复习讲义 专题04 二次根式的化简求值（10大基本题型） 题型1：判断是否为二次根式 题型2：二次根式有意义的条件 题型3：最简二次根式的判断与化简 题型4：同类二次根式的识别 题型5：利用二次根式性质化简 题型6：二次根式的混合运算 题型7：分母有理化 题型8：整体代入求值 题型9：新定义型问题 题型10：规律探究问题 一、二次根式的定义与有意义的条件（基础前提） 二次根式的核心定义是形如的代数式，其中“”是二次根号，a称为被开方数。需重点理解： 1. 双重非负性：二次根式有意义的条件是被开方数非负，且其结果本身也是非负的 2. 拓展应用：若二次根式出现在分母，则需同时满足分母不为零。 二、最简二次根式（化简的核心目标） 化简二次根式的最终目标是将其转化为最简二次根式，需满足两个条件： 1. 被开方数不含分母：若被开方数是分数或分式，需通过分母有理化或因式分解去除分母。 2. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式：需将被开方数分解为平方数（或平方式）与非平方数（或非平方式）的乘积，再将平方数（或平方式）开方到根号外。 三、二次根式的乘除法则（化简与运算的关键工具） 二次根式的乘除运算需遵循“根号不变，被开方数相乘除”的规则，且结果需化为最简二次根式： 1. 乘法法则： 2. 除法法则： 四、同类二次根式（合并的基础） 同类二次根式是指化简后被开方数相同的二次根式，合并时只需将系数相加，被开方数不变（类似“合并同类项”）。 五、二次根式的混合运算（综合应用） 二次根式的混合运算遵循“先乘方，再乘除，后加减，有括号先算括号内”的顺序，且实数的运算律（交换律、结合律、分配律）同样适用。需重点掌握： 1. 乘法公式：平方差公式、完全平方公式在二次根式运算中同样有效。 2. 运算技巧： (1) 分母有理化：通过乘以分母的有理化因式，如，去除分母中的根号； (2) 整体代入：当直接求值困难时，可将已知条件整体代入化简后的表达式 六、二次根式的化简求值（核心应用） 化简求值是二次根式的终极目标，需结合上述知识点，遵循“先化简，再求值”的原则： 1. 化简二次根式：将原式中的二次根式化为最简二次根式； 2. 合并同类二次根式：将化简后被开方数相同的项合并； 3. 代入求值：将已知数值代入化简后的表达式，计算结果（注意单位、符号及取值范围）。 【题型1】判断是否为二次根式 核心考点：二次根式的定义（形如的代数式）。 解题思路： 1. 检查式子是否为“根号形式”（带有二次根号）； 2. 验证被开方数是否非负（）。 【典例1】下面是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，二次根式是指根指数为的根式，且被开方数非负数． 【详解】解：二次根式需满足根指数为且被开方数是非负数， A选项：为分数，不是二次根式，故A选项不符合题意； B选项：的根指数为，不是二次根式，故B选项不符合题意； C选项：根指数为且被开方数是非负数，是二次根式，故C选项符合题意； D选项：被开方数为，在实数范围内无意义，不是二次根式，故D选项不符合题意． 故选：C． 【练习1】下列各式，，，中是二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键；根据二次根式的定义，“形如的式子”，逐一判断各表达式即可． 【详解】解：下列各式，，，中是二次根式的有，，共2个； 故选B． 【练习2】下列式子中，不属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据二次根式要求被开方数必须是非负数，即可判断． 【详解】解：A、，被开方数，符合定义； B、，被开方数，符合定义； C、，由于字母a的取值范围不确定，不能保证被开方数，故该式子不一定是二次根式，不符合定义； D、，被开方数，符合定义； 故选：C． 【练习3】下列各式中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的识别，二次根式有意义的条件，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据二次根式的定义，需满足被开方数非负且根指数为2．选项A被开方数为负，选项B根指数不为2，选项D在给定条件下被开方数为负，只有选项C的被开方数恒为正，符合定义． 【详解】解：二次根式定义为()，且根指数为2． ，被开方数，故A不符合； ，根指数为3，故B不符合； ， ∵， ∴，且根指数为2，故C符合； 且，则，被开方数小于0，故D不符合． 故选：C． 【题型2】二次根式有意义的条件 核心考点：二次根式的被开方数非负（）；若有分母，分母不为0。 解题思路： 1. 对于，列式； 2. 对于，列式； 3. 求解得参数取值范围。 【典例1】二次根式有意义的条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数非负，进行求解即可． 【详解】解：由题意，，解得：， 故选C． 【练习1】式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键；二次根式在实数范围内有意义的条件是被开方数大于或等于零，然后问题可求解． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故选B． 【练习2】若是任意实数，则下列各式一定有意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方根有意义的条件，掌握根号下的式子必须为非负数是解题关键． 逐项判断每一个选项中，根号下的式子是否一定是非负数即可． 【详解】解：选项A：，故一定有意义； 选项B：当时，，故不一定有意义； 选项C：当时，，故不一定有意义； 选项D：，故仅在时有意义， 故选：A． 【练习3】若、都是实数，且，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，平方根，以及二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题关键．根据被开方数是非负数，得出，从而得到，再代入计算平方根即可． 【详解】解：由题意可知，，， ， ， ， 的平方根是． 【题型3】最简二次根式的判断与化简 核心考点：最简二次根式的两个条件（被开方数不含分母；不含能开得尽方的因数或因式）。 解题思路： 1. 判断：检查被开方数是否有分母，是否有平方因子； 2. 化简： (1) 去分母：将被开方数的分母有理化； (2) 开方：提取被开方数中的平方因子 【典例1】下列二次根式中，不是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式需满足被开方数不含分母且不含平方因子，由此求解即可． 【详解】解：最简二次根式定义要求被开方数不含分母且不含平方因子； 选项A：，11为质数，无平方因子； 选项B：，，无平方因子； 选项C：，被开方数含分母； 选项D：，2为质数，无平方因子； 不是最简二次根式的是C． 故选：C． 【练习1】下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式，理解其定义是解题的关键． 根据最简二次根式的定义逐一判断各选项即可． 【详解】解： 最简二次根式需满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式， A： = ，被开方数含分母，不是最简二次根式，故该选项不合题意； B： = ，被开方数含平方因数9，不是最简二次根式，故该选项不合题意； C：，被开方数不含分母且不含平方因式，是最简二次根式，故该选项符合题意； D：，被开方数含分母，不是最简二次根式，故该选项不合题意． 故选：C． 【练习2】设，，则可以表示为() A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，化简二次根式．根据二次根式的乘法运算法则求解即可． 【详解】解： ， 又， ． 故选：C． 【练习3】已知最简二次根式与可以进行加减运算，则m的值为（   ） A．2 B．3 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式加减运算，先化简，被开方数为2，然后根据二次根式能进行加减运算得出，即可得出． 【详解】解：∵， ∴其被开方数为2， ∵与可进行加减运算， ∴它们为同类二次根式，故 化简后被开方数也应为2， 又∵为最简二次根式， ∴， 解得：． 故选：B． 【题型4】同类二次根式的识别 核心考点：同类二次根式的定义（化简后被开方数相同的二次根式）。 解题思路： 1. 识别：将所有二次根式化为最简形式，比较被开方数是否相同； 2. 合并：将同类二次根式的系数相加，被开方数不变（类似“合并同类项”）。 【典例1】下列根式中，与是同类二次根式的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同类二次根式，将二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式．先将各选项的二次根式化为最简二次根式，即可判断解答． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式； B、，与不是同类二次根式； C、，与不是同类二次根式； D、，与是同类二次根式． 故选：D． 【练习1】下列各式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式的定义． 同类二次根式需化简后根号内的数相同，比较各选项化简后与的根号内的数是否一致． 【详解】解：A：，根号内3，与不是同类二次根式； B：，无根号，与不是同类二次根式； C：，根号内2，与不是同类二次根式； D：，根号内5，与是同类二次根式； 故选：D． 【练习2】若与最简二次根式是同类二次根式，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．根据同类二次根式的定义，被开方数必须相等，据此列出方程求解． 【详解】解： 与最简二次根式是同类二次根式， ， 解得 故答案为：． 【练习3】已知为最简二次根式，且能够与合并，则的值是______________． 【答案】 6 【分析】本题考查了同类二次根式及简二次根式，根据同类二次根式的定义即可作答． 【详解】解：∵能够与合并， ∴与是同类二次根式， ∵为最简二次根式， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型5】利用二次根式性质化简 核心考点：二次根式的非负性（）及性质（）。 解题思路： 1. 化简：根据a的符号去掉绝对值（a≥0时为a，a＜0时为－a）； 2. 化简带绝对值的式子：结合数轴或已知条件判断绝对值内表达式的符号，再去掉绝对值。 【典例1】已知，，则化简的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质，分式的加法，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 将表达式 利用二次根式的性质化简并通分，可化为 ，再代入已知条件求值． 【详解】解：由，，可知， 则， 又∵， ∴． 故选：C． 【练习1】已知，化简的结果为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，去绝对值，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据化简二次根式，然后再根据去绝对值即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【练习2】已知，则化简的结果是() A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质；根据绝对值的性质，，再结合的范围，化简表达式． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ， ∴原式． 故选：D． 【练习3】计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．先化简二次根式，再计算加减即可． 【详解】解： ． 【题型6】二次根式的混合运算 核心考点：遵循“先乘方、再乘除、后加减”的顺序，结合乘法公式（平方差、完全平方）简化计算。 解题思路： 1. 乘方：， 2. 乘除：利用， 3. 加减：合并同类二次根式（参考题型4）； 4. 简便运算：灵活运用平方差公式和完全平方公式 【典例1】计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．利用乘法分配律计算，再化简二次根式，最后算加减即可． 【详解】解： ． 【练习1】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算及分母有理化． 根据二次根式的乘除运算法则以及二次根式的加减法则计算即可求解． 【详解】解： ． 【练习2】计算：． 【答案】2 【分析】本题考查二次根式的混合运算．熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题关键． 根据二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 【练习3】计算：． 【答案】 【分析】本题考查了零指数幂、负整数指数幂、二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据零指数幂、负整数指数幂、二次根式、绝对值、有理数乘方的运算法则化简，再计算加减即可． 【详解】解：原式 ． 【题型7】分母有理化 核心考点：将分母中的根号去掉，常用方法为“乘以有理化因式”（如的有理化因式为， 的有理化因式为。 解题思路： 1. 对于，乘以得 2. 对于，乘以得（平方差公式） 【典例1】分母有理化：_______． 【答案】/ 【分析】本题考查分母有理化，涉及平方差公式、二次根式性质等知识，熟记分母有理化的方法步骤是解决问题的关键． 通过分母有理化，将分子和分母同时乘以，利用平方差公式化简即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【练习1】已知，，记为的整数部分，为的小数部分，则________． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的化简求值，无理数的估算，先有理化分母化简和，得到，；再确定的整数部分和的小数部分，最后计算．掌握化简的方法和计算的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ， 又∵， ∴， ∴，， ∴的整数部分，的整数部分为， ∴的小数部分， ∴． 故答案为：． 【练习2】阅读材料： 已知，，求的值． 小迪同学是这样解答的： ∵， ∴． ∵， ∴． 结合以上材料，解答问题： (1)化简：； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查平方差公式的应用，涉及到二次根式的运算，掌握分母有理化以及二次根式的运算是解题的关键． （1）利用平方差公式对分母有理化：将分母中的根号相减，分子分母同乘以共轭根式，化简分式； （2）利用平方差公式，设未知数，通过方程组求解． 【详解】（1）解： ． （2）解：设，， 则， ，而，， ， ，解得， 即． 【练习3】根据所给的方法，完成下列问题： 分母有理化：． 解：． (1)计算：； (2)已知，，求的值． 【答案】(1)9 (2)1 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）仿照例题对二次根式进行分母有理化，合并即可； （2）对、进行分母有理化，分别求出和，利用完全平方公式的变形，代入求值即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：，， ，， ． 【题型8】整体代入求值 核心考点：通过代数变形，将已知条件整体代入化简后的式子，避免单独求变量值。 解题思路： 1. 将待求式化简为含已知条件的形式（如a＋b、ab、a－b等）； 2. 将已知条件代入计算。 【典例1】已知，，则的值为______． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的化简求值，掌握二次根式的运算法则是解题关键．由，，得，则可将所求式子变形为，再将 和 代入求值即可． 【详解】解：设 ， 因为，， 所以，， 则， 代入 ，， 得， 故答案为 ． 【练习1】已知：，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、二次根式的混合运算、代数式求值等知识点，确定x、y的值是解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件确定的值，再代入方程确定的值，然后代入代数式运用二次根式的运算法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴且，解得． 将代入原方程，得， ∴． ∴ ． 故答案为：． 【练习2】阅读下列材料，然后回答问题． 学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，求我们可以把和看成是一个整体，令，则这样，我们不用求出，就可以得到最后的结果． (1)计算：_________；___________． (2)是正整数，，且，求． (3)已知满足，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题关键是熟练掌握完全平方公式和利用分母有理化把分式进行化简． （1）把各个分式分母有理化，然后利用平方差公式和完全平方公式进行计算即可； （2）先把各个分式分母有理化，然后利用平方差公式和完全平方公式求出，，从而求出，然后根据列出关于m的方程，解方程即可； （3）设，，根据已知条件求出，再求出，然后利用完全平方公式求出，最后根据完全平方公式求出即可． 【详解】（1）解：； ； 故答案为：， （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：设 ， ， ， ，即：， ， 由题易知 即： 【练习3】观察下列各式的计算过程，寻找规律： ； ； 利用发现的规律解决下列问题： (1)化简式子：______； (2)直接写出式子的值：______； (3)计算：（为正整数）． 【答案】(1) (2)2024 (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，式子规律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题干的式子，总结规律，即可作答． （2）先运用式子规律化简括号内，再运算二次根式的乘法运算，即可作答． （3）先把原式的每个项进行分母有理化，再进行二次根式的加法运算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， 故答案为：； （2） ． 故答案为：2024， （3）依题意， ． 【题型9】新定义型问题 核心考点：理解题目中“新定义”的运算规则，将其转化为已学的二次根式运算。 解题思路： 1. 仔细阅读新定义，明确运算规则； 2. 将具体数值代入规则，按照二次根式的运算步骤计算。 【典例1】定义一种新运算F，规定（其中a，b均为非零常数），例如：，若，则______． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算． 根据新定义运算，由已知条件求出，再代入的表达式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 【练习1】新定义：符号“”表示一种新运算，它对一些数的运算结果如下： 运算（一）：，，， ， ， 运算（二）：，，， 利用以上规律计算：____． 【答案】0 【分析】本题考查了新定义运算． 根据新运算的定义，当输入为整数时，；当输入为形如（为非零整数）的数时，． 【详解】解：， ， 则． 故答案为：0． 【练习2】若，则称x和y是关于3的平衡数． (1)与_是关于3的平衡数；与_是关于3的平衡数； (2)已知m为整数，若，请说明与是关于3的平衡数； (3)已知为整数，a和b是关于3的平衡数，则_． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了实数的新定义以及二次根式的加减混合运算的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据若，则称x和y是关于3的平衡数，直接列式作答即可； （2）先得，根据题意结果为，可求出，再结合“3的平衡数”的定义进行分析，即可作答． （3）先得，则，再根据，可求出，即可作答． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴3与是关于3的平衡数； ∵， ∴与是关于3的平衡数， 故答案为：0，； （2）解：由题意得， ∴和， 解得， ∴ ， ∴二者是关于3的平衡数； （3）解：∵与是关于3的平衡数， ∴ ， 由题意得， ， 又∵， ∴，， ∴， ∴ 解得， ∴ ， ∴， 故答案为：． 【练习3】对于一个四位正整数，若满足各个数位上的数字均不为且互不相等，千位数字与十位数字的和等于百位数字与个位数字的和，则称这个数为“和同数”．将的千位数字与百位数字对调得到新数，将的十位数字与个位数字对调得到新数，记，若n是最小的“和同数”，则_______；若，都是“和同数”，，（，，，都是整数，，，，），记，且能被整除，当最大时，此时的值为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义运算，整式的加减的应用，根据“和同数”的定义推导数位关系，结合代数式化简分析最值与整除条件是解题的关键． ①依据“和同数”定义（四位、数字非且不等、千位十位百位个位），让高位数字最小：千位取，百位取，结合“千位十位百位个位”得“十位个位1”，选最小的十位、个位，确定最小和同数为，按定义对调数位得到、，代入计算即可得；②拆分、的数位，结合“和同数”条件，分别推导出、，对调、的数位并作差，代入、的表达式，约分得到、的最简形式，由的形式，确定“分子最大、分母最小”的取值方向，再结合“能被整除”的条件，找到符合要求的、，代入求出、，相加即可． 【详解】解：①∵四位正整数的千位最小为，百位最小为（数字且互不相等），且“和同数”需满足“千位十位百位个位”，即十位=个位， ∴十位=个位， 又∵十位需、且最小， ∴十位取，个位取， ∴最小和同数， ∵，千位与百位对调得，十位与个位对调得， ∴； ②∵（千位，百位，十位，个位），且是“和同数”，需满足“千位十位百位个位”， ∴，即， ∵千位与百位对调得，十位与个位对调得， ∴，代入，得， ∴， ∵（千位，百位，十位，个位），且是“和同数”，需满足“千位十位百位个位”， ∴，即， ∵千位与百位对调得，十位与个位对调得， ∴，代入，得， ∴， ∵，要使最大，需综合考虑、的取值与能被整除，经检验，当，时，取得满足条件的最大值， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为①；②． 【题型10】规律探究问题 核心考点：通过观察前几项的结果，归纳出一般规律（如分式的拆分、根式的和），再用数学归纳法或代数方法证明。 解题思路： 1. 计算前几项（如n＝1,2,3），观察结果的变化规律； 2. 提出猜想（如第n项的结果）； 3. 用代数方法证明猜想（如分式拆分、根式有理化）。 【典例1】已知为实数，规定运算：，…，，按上述方法计算：当时，的值等于（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了实数的运算，数字规律探索，找到规律是解题的关键． 通过计算序列的前几项，发现序列呈现周期为3的循环规律，根据2025除以3的余数即可确定的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴序列每3项循环一次：． ∵，余数为0， ∴． 故选C． 【练习1】则_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的规律探究，先把每一项利用平方差公式拆分，进一步约分化简再计算.此题重点考查学生对数字类规律的探索能力，会化简寻找规律是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴, ∴, 则． 故答案为：． 【练习2】设，，，…，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数的混合运算，算术平方根，总结归纳出规律，由，，，，得出，然后求出，再代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ， ， ， ∴， ∴， ， ∴， 故选：． 【练习3】观察下列各式： 第个等式：；第个等式：； 第个等式：；第个等式：；…. 根据上述规律，解答下面的问题： (1)请写出第个等式：_____； (2)根据等式的规律，请写出第个等式；（是正整数，用含的式子表示） (3)计算：． 【答案】(1) (2)第个等式为 (3) 【分析】本题考查了二次根式的规律探究与化简计算，通过观察等式特征总结规律是解题的关键． （1）通过分析已知等式中被开方数的分子、分母与等式序号的关系，推导第个等式的形式； （2）归纳每个等式中被开方数的分子、分母及结果与正整数的关联，得出第个等式的通用表达式； （3）利用总结的规律将每个根号内的式子转化为分数形式，通过约分简化根号内的乘积，最终计算出结果． 【详解】（1）解：被开方中，分子为，分母为，结果为， 第个等式：分子为，分母为，结果为， 第个等式：． （2）解：根据第（1）问得出的结论，第个等式为． （3）解：原式 ． / 学科网（北京）股份有限公司 $