28.2.1解直角三角形同步练习2025-2026学年人教版数学九年级下册

解直角三角形 一、单选题 1.如图小丽从点A出发，沿坡度为10°的坡道向上走了100米到达点B,则她沿垂直方向升 高了() B 10° 100 A. anlo米 B.100 s咖0米 C.100tanl0°米 D.100sin10°米 △4CB中，∠C=90°，AB=6,sinA3,则BC的 A.3 B.4 C.5 D.9 3.如图，在矩形ABCD中，AD=6,对角线AC与BD交于点O.若AB=AO,则AC的 长为() B A.3V5 B.4V5 C.9 D.10 4.如图所示，有一天桥高AB为6米，BC是通向天桥的斜坡，∠ACB=45°，市政部门启 动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使∠D=30°，则CD的长度约为（参 考数据：√2≈1.414,5≈1.732)() B 30° 145o A.2.59米 B.3.07米 C.3.55米 D.4.39米 5.已知在ABC中，∠A=60°，AB=1+5,AC=2,则LC=() A.45° B.75 C.90° D.105 6.在东西方向的海岸线上有A,B两个港口，甲货船从A港沿东北方向以5海里/时的速度 答案第1页，共2页 出发，同时乙货船从B港口沿北偏西60°方向出发，2h后相遇在点P处，如图所示.问A港 与B港相距()海里. 北 A.10W2 B.5V2+56 C.10+5√6 D.20 7.已知△AOC,如图，建立平面直角坐标系，则点A的坐标是() A.(acosa,asina) B.(ccosa,csina) C.(asina,acosa) D.(csina,ccosa) 8.已知一个等腰三角形腰上的高等于底边的一半，那么腰与底边的比是() A.1:5 B.V5:1 C.1:√2 D.√2：1 9.如图，在ABC中，∠ABC=90°，tanA=2,直尺的一边与BC重合，另一边分别交 AB、AC于点D、E,点B、C、D、E处的读数分别为15、12、0、1，则直尺宽BD的长为 () A.1 B.5 C.2 D.5 10.如图，在ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD1BC于点D,BC=3+3√5，若E, F分别为AB,BC的中点，则EF的长是() 答案第1页，共2页 E A.1 B.25 .35 D. 2 2 二、填空题 1.在RA48C中，已知sna= 则cosa= 12.图，在四边形A8CD巾，4B=4C,CD=CB,∠BCD=90,an∠D4C-,若四 边形ABCD的面积为1O,则线段BD的长为 C B 13.如图，网格中的每个小正方形的边长均为1，点A,B,C都在格点上，则sin∠ABC的 值为 B 14.如图，在ABC中，AB=3,sinB=2, =号∠C=45,侧4C的长为 B C 15.在ABC中，∠B=60°，∠BAC=75°，BC边上的高AD=3,则BC= 16.如图.AB∥DE，4B=5,DE=6,sn=等，点C在线段BD上且BC= 21 答案第1页，共2页 LACB=∠ECD,则CD的长为 B D 三、解答题 17.在Rt△ABC中，Q是∠A的对边，b是∠B的对边，C是∠C的对边. (I)若∠C=90°，a=4,c=8,求b和∠A的度数； (2)若∠C=90°，c=10,∠B=45°，求a和∠A的度数. 18.如图，在ABC中，BD⊥AC,AB=6,AC=5V3,∠A=30°. B A30 (I)求BD和AD的长： (2)求tan∠C的值. 答案第1页，共2页 19.如图：ABC中，∠C=90°，D为BC上一点且BD=100,∠ADC=60°，simB=5 求AC的长. B 20.在ABC中，∠B=60°，BC=6,S.Bc=6V5. (I)求AB的长； (2)在BC边上取一点D,使CD=2,连接AD,求∠CAD的正切值. 答案第1页，共2页 解直角三角形 一、单选题 1．如图小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了100米到达点，则她沿垂直方向升高了（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．在中，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．9 3．如图，在矩形中，，对角线 与 交于点 O．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．如图所示，有一天桥高为6米，是通向天桥的斜坡，，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使，则的长度约为（参考数据：）（    ） A．2.59米 B．3.07米 C．3.55米 D．4.39米 5．已知在中，，，，则（　　） A． B． C． D． 6．在东西方向的海岸线上有，两个港口，甲货船从港沿东北方向以海里时的速度出发，同时乙货船从港口沿北偏西方向出发，后相遇在点处，如图所示．问港与港相距（ ）海里． A． B． C． D． 7．已知△AOC，如图，建立平面直角坐标系，则点A的坐标是（　　） A．（acosα，asinα） B．（ccosα，csinα） C．（asinα，acosα） D．（csinα，ccosα） 8．已知一个等腰三角形腰上的高等于底边的一半，那么腰与底边的比是（　　） A．1： B． ：1 C．1： D． ：1 9．如图，在中，，，直尺的一边与重合，另一边分别交、于点D、E．点B、C、D、E处的读数分别为15、12、0、1，则直尺宽的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 10．如图，在中，，，于点，，若，分别为，的中点，则的长是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．在中，已知，则 ． 12．如图，在四边形中，，，，，若四边形的面积为10，则线段的长为 ． 13．如图，网格中的每个小正方形的边长均为1，点 ，，都在格点上，则的值为 ． 14．如图，在中，，，，则的长为 ． 15．在中，边上的高，则 ． 16．如图，，，，，点C在线段BD上且，，则CD的长为 ． 三、解答题 17．在中，是的对边，是的对边，是的对边． (1)若，，，求和的度数； (2)若，，，求和的度数． 18．如图，在中，，，，． (1)求和的长； (2)求的值． 19．如图：中，，为上一点且，，，求的长． 20．在中，． (1)求的长； (2)在边上取一点D，使，连接，求的正切值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B D B B B A A C 1．D 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．根据正弦的定义计算，得到答案． 【详解】解：由题意可知：在中，米，， ∵， ∴（米）， 故选：D． 2．B 【分析】本题考查了直角三角形中锐角三角函数的定义（正弦函数），解题的关键是明确正弦函数的核心关系——，并准确对应直角三角形中的边（对边为，斜边为，代入已知条件计算． 在中，先根据确定的对边是、斜边是；再根据正弦定义列出的等式；最后将、代入等式，求解的长度，匹配选项得出答案． 【详解】解：在中，，． 已知，，代入得：． 解得． 故选：B． 3．B 【分析】此题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，根据矩形的性质得到，，，，，由此判定是等边三角形，则，从而得到，然后代入求解即可，熟练掌握矩形的性质及等边三角形的判定和性质定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：． 4．D 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 在中，求得米，在中，求得米，即可得到的长度． 【详解】解：在中，，， ∴米， 在中，，， ∴， ∴（米）， ∴（米） 故选：D． 5．B 【分析】过点作，垂足为，根据，得出,进而求得，由已知条件得出，进而得出，即可求解． 【详解】解：如图所示， 过点作，垂足为， 在中，， ∴, ∴ \ ∴， 在中， 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，构造直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键． 6．B 【分析】先作于点，根据甲货船从港沿东北的方向以5海里小时的速度出发，求出和，从而得出的值，得出的值，即可求出答案． 【详解】解：作于点， 甲货船从港沿东北的方向以5海里小时的速度出发， ，， ， 乙货船从港沿西北方向出发， ， ， ， 答：港与港相距海里， 故选：． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并利用解直角三角形的知识求解．本题要注意关键词：在东西方向的海岸线上有，两个港口. 7．B 【分析】过A作AD⊥x轴，交x轴于点D，在直角三角形AOD中，利用锐角三角函数定义求出AD与OD，表示出A的坐标即可． 【详解】 解：过A作AD⊥x轴，交x轴于点D， 在Rt△AOD中，OA=c，∠AOD=α， ∴AD=csinα，OD=ccosα， 则A的坐标为（ccosα，csinα）， 故选B． 【点睛】此题考查了解直角三角形，以及坐标与图形性质，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键． 8．A 【分析】根据题意画出合适的图形，然后根据题目中的信息可以得到腰AB与底边BC的关系，从而可以求得腰与底边的比． 【详解】 ∵CD⊥BA于点D， ∴中，，   ∵AB=AC，CD⊥BA， ，， 设，则，， ，得 ． 故选A． 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是明确题意，画出相应的图形，找出所求问题需要的条件． 9．A 【分析】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键；由题意易得，然后根据可分别得出的长，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得：，， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选A． 10．C 【分析】本题考查直角三角形的性质(在直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半)以及三角形中位线定理(三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半)；利用在两个直角三角形中的关系求出的长度，进而得到的长度，最后根据中位线定理求出的长． 【详解】解：∵ ， ∴， 在中，， ∴，， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：C． 11．/ 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，根据题意设，，，则，根据勾股定理求出，最后根据锐角三角函数的定义进行计算即可． 【详解】解：在中，已知， 可设，，，则， ∴， ∴， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理．过作于点，过作于点，证明，推出，设，由，得到，，，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：过作于点，过作于点， 则． ． ， ， ， ， ． 设， 在Rt中，， ，，， ， ． （舍去）或，即， ， ． 或（舍去）． ． ． ． ． 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了构造直角三角形和勾股定理与网格问题、正弦，熟练掌握正弦的求解方法是解题关键． 【详解】解：如图； 延长 ，作的延长线交于点 ， 根据勾股定理得：，， ∴在中， 故答案为：. 14． 【分析】过点作于点，解，得出，进而解，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握三角形的边角关系是解题的关键． 15． 【分析】由题意易得，则有，然后根据三角函数可得，，进而问题可求解． 【详解】解：如图，    ∵AD⊥BC， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴． 故答案为． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数值是解题的关键． 16． 【分析】在上找一点F，使，过A作于点G，根据相似三角形的判定得出∽，进而利用相似比求解即可． 本题主要考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、勾股定理、解直角三角形等内容，构造相似三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，在上找一点F，使，过A作于点G， ，且， ， ， ，， ，， ， ， ∵， ， ， ， ， ∽， ，即， 解得， 故答案为： 17．(1)， (2)， 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，直角三角形的性质． （1）直接运用勾股定理即可求解，解直角三角形即可求解的度数； （2）先由直角三角形锐角互余求出度数，再直接解直角三角形即可求出． 【详解】（1）解：如图， ∵，，， ∴，， ∴； （2）解：如图， ∵，， ∴，， ∴． 18．(1)， (2) 【分析】本题考查了含度角的直角三角形，解直角三角形的相关计算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）利用含有度的直角三角形的性质求出和的长； （2）先利用线段差求出，再求． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴，； （2）∵，， ∴， ∵， ∴． 19． 【分析】本题考查了解直角三角形．先求得，在中，利用正切函数求得，再在中，求得，根据，列式计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴． 20．(1)4 (2) 【分析】本题考查了三角函数，等边三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）过A点作，先根据面积求出，再根据三角函数求解即可； （2）过点C作，先根据三角函数求出，再证明是等边三角形，根据含30度角的直角三角形的性质求出，再根据三角函数求出，再根据正切的定义求解即可． 【详解】（1）解：过A点作，垂足为H， ， ， ， ， ； （2）解：过点C作，垂足为E， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $