四川省宜宾市叙州区2025-2026学年上学期九年级数学期中试题

2025年秋期半期检测九年级数学 参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C D C B A A A D B C C 题号 12 答案 A 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（注意：在试题卷上作答无效） 1．下列运算中正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用二次根式的性质对A、B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的加减法对D进行判断． 【解答】解：A、原式＝2，所以A选项错误； B、原式＝3，所以B选项错误； C、原式，所以C选项正确； D、与不能合并，所以D选项错误． 故选：C． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 2．下列方程是关于x的一元二次方程为（　　） A．3x+2＝5x﹣7 B． C．ax2﹣bx＝12（a和b为常数） D．6（x+1）2＝4（x+1） 【分析】根据一元二次方程的定义逐项进行判断即可，即只含有一个未知数并且未知数项的最高次数是2的整式方程． 【解答】解：即只含有一个未知数并且未知数项的最高次数是2的整式方程．则： A．该选项是一元一次方程，不符合题意； B． 是分式，该选项不是一元二次方程，不符合题意； C．当a＝0时，该选项为一元一次方程，不符合题意； D．该选项是一元二次方程，符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的识别，解题的关键是掌握一元二次方程的定义． 3．下列各组线段，能成比例线段的是（　　） A．3cm，6cm，7cm，9cm B．2cm，8cm，6cm，5cm C．3cm，9cm，18cm，6cm D．1cm，2cm，3cm，4cm 【分析】根据判定方法，把每一项从小到大排序，然后再进行计算即可． 【解答】解：把每一项从小到大排序，然后再进行计算判断如下： 由题可得：3×9＝27，6×7＝42， ∵27≠42， ∴A选项的4条线段不是成比例线段； 把已知线段排序：2cm，5cm，6cm，8cm， 可得：2×8＝16，5×6＝30， ∵16≠30， ∴B选项的4条线段不是成比例线段； 把已知线段排序：3cm，6cm，9cm，18cm， 可得：3×18＝54，6×9＝54， ∵54＝54， ∴C选项的4条线段是成比例线段； 根据题意可得：1×4＝4，2×3＝6， ∵4≠6， ∴D选项的4条线段不是成比例线段； 故选：C． 【点评】本题主要考查了成比例线段的判断，把已知线段从小到大排序，根据收尾两项乘积与中间两项乘积的值进行判断是关键． 4．用配方法解方程x2﹣6x﹣1＝0时，若配方后结果为（x﹣m）2＝n，则m的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．10 D．9 【分析】根据配方法将方程x2﹣6x﹣1＝0化为（x﹣m）2＝n的形式，即可得到m的值． 【解答】解：∵x2﹣6x﹣1＝0， ∴x2﹣6x＝1， ∴x2﹣6x+32＝1+32， ∴（x﹣3）2＝10， ∵（x﹣m）2＝n， ∴m＝3，n＝10， 故选：B． 【点评】本题考查一元二次方程及应用，解答本题的关键是会用配方法将一元二次方程化为a（x﹣h）2＝k的形式． 5．已知a，b，c为一个等腰三角形的三条边长，且a，b满足，则此等腰三角形的周长为（　　） A．12 B．9 C．12或9 D．无法计算 【分析】根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0得到，则a＝2，b＝5，再分腰长为2和腰长为5两种情况，根据构成三角形的条件和三角形周长计算公式求解即可． 【解答】解：由条件可知， ∴a＝2， ∴， 当腰长为2时，则等腰三角形的三边长为2，2，5， ∵2+2＜5， ∴此时不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为5时，则等腰三角形的三边长为2，5，5， ∵2+5＞5， ∴此时能构成三角形，符合题意 ∴此等腰三角形的周长为2+5+5＝12； 故选：A． 【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，等腰三角形的定义，构成三角形的条件，熟练掌握以上知识点是关键． 6．如图，AB∥CD∥EF，若，BD＝3，则DF的长度为（　　） A．3 B．2 C． D．1 【分析】利用平行线分线段成比例定理求出BF，再求解即可． 【解答】解：∵AB∥CD∥EF，，BD＝3， ∴， ∴BF＝6， ∴DF＝BF﹣BD＝6﹣3＝3． 故选：A． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键． 7．若m，n是方程x2+5x﹣7＝0的两根，则代数式m2+2m﹣3n+mn的值是（　　） A．15 B．﹣15 C．﹣1 D．29 【分析】根据m是方程x2+5x﹣7＝0，把x＝m，代入方程中，得出m2+5m＝7，m2+2m＝7﹣3m，根据根与系数的关系得到m+n＝﹣5，mn＝﹣7，m2+2m﹣3n+mn＝7﹣3m﹣3n+mn＝7﹣3（m+n）+mn＝7+15﹣7＝15． 【解答】解：若m，n是方程x2+5x﹣7＝0的两根，得m2+5m＝7，m2+2m＝7﹣3m， ∵m+n＝﹣5，mn＝﹣7， m2+2m﹣3n+mn＝7﹣3m﹣3n+mn＝7﹣3（m+n）+mn＝7+15﹣7＝15， 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，两根之和等于，两根之积等于． 8．如图，已知∠1＝∠2，添加下列条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　） A． B．∠B＝∠D C．∠C＝∠AED D． 【分析】利用相似三角形的判定依次判断即可． 【解答】解：∵∠1＝∠2， ∴∠DAE＝∠BAC， 若，∠DAE＝∠BAC， ∴△ABC∽△ADE，故A不符合题意； 若∠DAE＝∠BAC，∠B＝∠D， ∴△ABC∽△ADE，故B不符合题意； 若∠C＝∠AED，∠DAE＝∠BAC， ∴△ABC∽△ADE，故C不符合题意； ∵，∠DAE＝∠BAC， ∴无法判断△ABC与△ADE相似，故D符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练运用相似三角形的判定是本题的关键． 9．若a，b，c满足a2﹣4b＝﹣7，b2﹣6c＝﹣14，c2﹣2a＝7，则a+b+c的值是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】三式相加可得a2﹣2a+b2﹣4b﹣6c+c2＝﹣14，再运用配方法可得（a﹣1）2+（b﹣2）2+（c﹣3）2＝0，由非负数的性质可得a＝1，b＝2，c＝3，然后代入求值即可． 【解答】解：由条件可知a2﹣4b+b2﹣6c+c2﹣2a＝﹣7﹣14+7， ∴a2﹣2a+b2﹣4b﹣6c+c2＝﹣14， ∴a2﹣2a+1+b2﹣4b+4+c2﹣6c+9＝﹣14+14， ∴（a﹣1）2+（b﹣2）2+（c﹣3）2＝0， ∴（a﹣1）2＝0，（b﹣2）2＝0，（c﹣3）2＝0， ∴a＝1，b＝2，c＝3， ∴a+b+c＝1+2+3＝6． 故选：B． 【点评】本题主要考查了配方法的应用、非负数的性质、代数式求值等知识点，求得a，b，c的值成为解题的关键． 10．已知代数式A，B，C，下列结论： ①若x：y：z＝1：2：3，则A•B•C； ②若x＝y＝1，且z是方程m2﹣2022m+1＝0的一个实根，则4046； ③若x，y，z为正整数，且x＞y＞z，则A＞B＞C； ④若A＝B＝C，则A．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】利用x：y：z＝1：2：3，设x＝t，y＝2t，z＝3t，则A，B，C＝1，于是可对①进行判断；当x＝y＝1时，A，B，C，所以2+2（z），再根据一元二次方程的根的定义得到z2﹣2022z+1＝0，两边除以z得到z2022，所以4046，则可对②进行判断；利用y+z＜x+z＜x+y，根据分式的性质可对③进行判断；当A＝B＝C，即A，若x+y+z＝0，易得A＝﹣1；若x+y+z＝0，根据等比性质得到A，则可对④进行判断． 【解答】解：当x：y：z＝1：2：3，设x＝t，y＝2t，z＝3t， ∴A，B，C1， ∴A•B•C1，所以①正确； 当x＝y＝1时，A，B，C， ∴1+z+1+z2+2（z）， ∵z是方程m2﹣2022m+1＝0的一个实根，z≠0， ∴z2﹣2022z+1＝0， ∴z﹣20220， 即z2022， ∴2+2×2022＝4046，所以②正确； 当x，y，z为正整数，且x＞y＞z， ∴y+z＜x+z＜x+y， ∴A＞B＞C，所以③正确； 当A＝B＝C，即A， 若x+y+z＝0，即y+z＝﹣x，则A1； 若x+y+z＝0，则A， 即A的值为﹣1或，所以④错误． 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了分式的运算和比例的性质． 11．如图，在边长为12的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上，若BF＝3，则小正方形边长为（　　） A．6 B．5 C． D． 【分析】先根据相似三角形的判定定理得出△BEF∽△CFD，再根据勾股定理求出DF的长，再由相似三角形的对应边成比例即可得出结论． 【解答】解：在△BEF与△CFD中， ∵∠1+∠2＝∠2+∠3＝90°， ∴∠1＝∠3， ∵∠B＝∠C＝90°， ∴△BEF∽△CFD， ∴， ∵BF＝3，BC＝12， ∴CF＝BC﹣BF＝12﹣3＝9， 又∵DF15， ∴， ∴EF， 故选：C． 【点评】本题考查的是正方形的性质，相似三角形的判定与性质及勾股定理，根据题意得出△BEF∽△CFD是解答此题的关键． 12．已知，，，…，，其中n为正整数．设Sn＝T1+T2+T3+…+Tn，则S2025的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据数字间的规律探索列式计算即可获得答案． 【解答】解：∵，，，…，， ∴T1， T2， T3， …… Tn， ∴S2025＝T1+T2+T3+⋯+T2025 ＝1+（1）+1+（）+1+（）+…+1+（） ＝1×2025+（1） ＝2025+（1） ＝2025． 故选：A． 【点评】本题主要考查了分式的化简求值，二次根式的性质与化简以及实数数字类的规律探索；探索规律，准确计算是解题关键． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）.请把答案直接填在答题卡对应题目中的横线上.（注意：在试题卷上作答无效） 13．函数，自变量x的取值范围是x≤2且x≠1　 ． 【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可． 【解答】解：函数， 由题可得， 解得x≤2且x≠1， 故答案为：x≤2且x≠1． 【点评】本题考查了函数自变量的范围，正确进行计算是解题关键． 14．已知一元二次方程（x﹣5）（x﹣4）＝0，则它的两个根是x1＝5，x2＝　4　 ． 【分析】根据因式分解法直接求解即可得到答案． 【解答】解：∵（x﹣5）（x﹣4）＝0， ∴x﹣5＝0或x﹣4＝0， 解得：x1＝5，x2＝4， 故答案为：4； 【点评】本题考查因式分解法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解法． 15．等腰三角形边长分别为a、b、3，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣8x+m+1＝0的两个根，则m的值为　14或15　 ． 【分析】分a，b为腰，3为腰两种情况考虑，当a，b为腰时，利用根的判别式Δ＝0，可求出m的值，代入后解之可得出方程的两个实数根，结合三角形的三边关系，可得出m＝15符合题意；当3为腰时，将x＝3代入原方程，解之可得出m的值，代入后解之可得出方程的两个实数根，结合三角形的三边关系，可得出m＝14符合题意． 【解答】解：∵等腰三角形三边长分别为a，b，3， ∴分a，b为腰，3为腰两种情况考虑． 当a，b为腰时，关于x的一元二次方程x2﹣8x+m+1＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝（﹣8）2﹣4×1×（m+1）＝0， 解得：m＝15， ∴原方程为x2﹣8x+16＝0， 解得：a＝b＝4， ∵3，4，4能组成三角形， ∴m＝15符合题意； 当3为腰时，将x＝3代入原方程得：32﹣8×3+m+1＝0， 解得：m＝14， ∴原方程为x2﹣8x+15＝0， 解得：x1＝3，x2＝5， ∵3，3，5能组成三角形， ∴m＝14符合题意． 综上所述，m的值为14或15． 故答案为：14或15． 【点评】本题考查了根的判别式、一元二次方程的解、三角形三边关系以及等腰三角形的性质，分a，b为腰及3为腰两种情况求出m的值是解题的关键． 16．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．如图，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别记为a、b、c，若a＝10，b＝12，c＝14，则△ABC的面积为　　 ． 【分析】根据a、b、c的值求得，然后将其代入三角形的面积求解即可． 【解答】解：∵a＝10，b＝12，c＝14， ∴， ∴． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了二次根式的应用，读懂题意、理解材料中提供的公式是解题的关键． 17．若0，则　　 ． 【分析】设k，利用比例性质得到a＝2k，b＝3k，c＝4k，然后把它们代入原式进行分式的运算即可． 【解答】解：设k，则a＝2k，b＝3k，c＝4k， 所以． 故答案为． 【点评】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质）． 18．如图，在正方形ABCD中，AB＝5，点E是CD边上一点，且，点F是BD上一点，若∠FAE＝45°，则AF的长为 　　 ． 【分析】由正方形的性质得到CD＝AB＝AD＝5，∠BAC＝∠ACD＝∠ABD＝45°，∠ABC＝∠ADE＝90°，则由勾股定理得到AC，AE的长，再证明△ABF∽△ACE，得到，求出最后结果即可． 【解答】解：如图所示，连接AC， ∵四边形ABCD是正方形， ∴CD＝AB＝AD＝5，∠BAC＝∠ACD＝∠ABD＝45°，∠ABC＝∠ADE＝90°， ∴， ∵， ∴， ∴DE＝2， ∴， ∵∠FAE＝∠BAC＝45°， ∴∠BAF＝∠CAE， 又∵∠ABF＝∠ACE＝45°， ∴△ABF∽△ACE， ∴，即， 解得：， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，解答本题的关键是作出辅助线，构造相似三角形解决问题． 三、解答题：（本大题共7个小题，共78分）.解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤.（注意：在试题卷上作答无效） 19．（1）解方程：x2﹣3x﹣2＝0； （2）计算：； （3）解方程：x（x+2）＝3x+6； （4）计算：． 【分析】（1）通过公式法解一元二次方程即可； （2）根据二次根式的乘除运算，求解即可； （3）用因式分解法求解，需先移项、提取公因式； （4）根据平方差公式和完全平方公式求解即可． 【解答】解：（1）x2﹣3x﹣2＝0 a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2， x， ∴x1，x2； （2） 12 ＝212； （3）x（x+2）＝3x+6 x（x+2）﹣3（x+2）＝0， （x﹣3）（x+2）＝0， ∴x﹣3＝0，x+2＝0， ∴x1＝3，x2＝﹣2； （4）（1）（1） ＝（3﹣1）﹣（2+21） ＝2﹣3﹣2 ＝﹣1﹣2． 【点评】本题考查了一元二次方程的解法、二次根式的乘除运算及平方差、完全平方公式的应用．熟练掌握因式分解法解一元二次方程的步骤，以及二次根式运算规则和代数公式的应用是解题关键． 20．如图，已知D，E分别为AB，AC上的两点，且DE∥BC，AD＝6，BD＝12，AC＝10，求AE的长． 【分析】证明△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的性质求解即可． 【解答】解：∵D，E分别为AB，AC上的两点，AD＝6，BD＝12， ∴AB＝AD+BD＝6+12＝18， ∵DE∥BC，AC＝10， ∴△ADE∽△ABC， ∴，即， ∴． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟知以上知识是解题的关键． 21．已知，，求x2+y2﹣3xy的值． 【分析】根据，可推出，由x2+y2﹣3xy＝（x+y）2﹣5xy即可求解； 【解答】解：∵，， ∴， ∵x2+y2﹣3xy＝（x+y）2﹣5xy， ∴． 【点评】本题考查了分母有理化以及通过对完全平方公式变形求值，掌握其相关知识点是解题的关键． 22．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0有实数根． （1）求m的取值范围； （2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x1+x2＝2﹣x1x2，求m的值． 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围； （2）利用根与系数的关系可得出x1+x2＝2m﹣1，x1•x2＝m2，结合x1+x2＝2﹣x1x2，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再结合（1）的结论即可确定m的值． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0有实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4×1×m2≥0， 解得：m． （2）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的两个根分别为x1，x2， ∴x1+x2＝2m﹣1，x1•x2＝m2． ∵x1+x2＝2﹣x1x2，即2m﹣1＝2﹣m2， 整理得：m2+2m﹣3＝0， ∴（m+3）（m﹣1）＝0， 解得：m1＝﹣3，m2＝1（不合题意，舍去）． 答：m的值为﹣3． 【点评】考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用根与系数的关系结合x1+x2＝2﹣x1x2，找出关于m的一元二次方程． 23．用篱笆靠墙围成矩形花圃ABCD，墙可利用的最大长度为12m，篱笆总长为20m． （1）若围成的花圃面积为42m2，求BC的长； （2）如图（2），若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且围成的花圃总面积为40m2，则能否成功围成花圃？如果能，求BC的长；如果不能，请说明理由． 【分析】（1）由于篱笆总长为20m，设平行于墙的BC边长为xm，由此得到，接着根据题意列出方程，解方程即可求出BC的长； （2）根据（1）得到，此方程的判别式Δ＝（﹣20）2﹣4×120＝﹣80＜0，由此得到方程无实数解，所以不能围成花圃． 【解答】解：（1）设平行于墙的BC边长为xm． 根据题意得，， 则根据题意列一元二次方程，，即x2﹣20x+84＝0， 解得x1＝6，x2＝14， 因为14＞12， 所以x＝14舍去， 所以x＝6， 答：BC的长为6m； （2）不能围成花圃，理由如下： 根据题意列一元二次方程得， ， 整理得，x2﹣20x+120＝0， ∴Δ＝（﹣20）2﹣4×120＝﹣80＜0， ∴方程无实数解， ∴不能围成花圃． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到关系式． 24．阅读材料，解答问题： 解方程：． 解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘y得：y2﹣4＝0， 解得：y＝±2， 经检验：y＝±2都是方程的解， ∴当y＝2时，，解得：x＝﹣1， 当y＝﹣2时，，解得：， 经检验：x＝﹣1或都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为x＝﹣1或． 上述这种解分式方程的方法称为换元法． 【解决问题】 （1）若方程，设，则原方程可化为 　　 ． （2）模仿上述换元法解方程：． （3）已知x，y满足方程（x2﹣2y2+3）（x2﹣2y2﹣3）＝16，结合换元法的思路，求2x2﹣4y2+4的值． 【分析】（1）设则原方程化为即可． （2）设，则原方程化为，解方程检验即可； （3）x2﹣2y2＝a，从而得到关于a的一元二次方程，解方程并代入求值即可． 【解答】解：（1）若方程，设，则原方程可化为， 故答案为：； （2）设，则原方程可化为， 方程两边同时乘y得：y2﹣4＝0， 解得：y＝±2， 经检验：y＝±2都是方程的解， ∴当y＝2时，，解得：x＝﹣8， 当y＝﹣2时，，解得：， 经检验：x＝﹣8或都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为x＝﹣8或． （3）设x2﹣2y2＝a， 则原方程为（a+3）（a﹣3）＝16， ∴a2＝25， ∴a＝±5， ∴x2﹣2y2＝±5， 当x2﹣2y2＝5时，原式＝2（x2﹣2y2）+4＝2×5+4＝14， 当x2﹣2y2＝﹣5时，原式＝2（x2﹣2y2）+4＝2×（﹣5）+4＝﹣6． 综上，代数式的值为14或﹣6． 【点评】本题考查换元法解一元二次方程，换元法解分式方程，公式法因式分解，将原式进行正确的换元是解题的关键． 25．如图（1），在四边形ABCD中，AB∥DC，CB⊥AB，AB＝8cm，BC＝3cm，CD＝4cm，动点P从点D开始沿DA边匀速运动，动点Q从点A开始沿AB边匀速运动，它们的运动速度均为1cm/s．点P和点Q同时出发，设运动的时间为t（s），（0＜t＜5）． （1）用含t的代数式表示AP； （2）当以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABD相似时，求t的值； （3）如图（2），延长QP，BD，两延长线相交于点M，当△QMB为直角三角形时，求t的值． 【分析】（1）作DH⊥AB于H，得四边形DHBC是矩形，根据矩形的性质得CD＝BH＝4cm，DH＝BC＝3cm，由勾股定理得AD＝5cm； （2）①当时，得出以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似的t值；②当时，得出以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似的t值； （3）①当∠QMB＝90°时，△QMB即为直角三角形，过P作PN⊥AB于N，根据相似三角形的判定得△PNQ∽△BHD，由相似三角形性质推出又由△ANP∽△AHD，根据相似三角形的性质得当ts时，∠QMB＝90°，即△QMB为直角三角形；②当∠MQB＝90°时，△QMB即为直角三角形，根据相似三角形得判定得△APQ∽△ADH，根据相似的性质可得t的值． 【解答】解：（1）如图（1）作DH⊥AB于H， ∴四边形DHBC是矩形， ∴CD＝BH＝4cm，DH＝BC＝3cm， ∴AH＝AB﹣BH＝8﹣4＝4（cm）， ∴AD5（cm）， 由题意得：AP＝AD﹣DP＝（5﹣t）cm； （2）①当时， ∴， 解得t； 当t时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似； ②当时， ∴， 解得t， 当t时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似， 综上t或t； （3）①当∠QMB＝90°时，△QMB即为直角三角形， 如图（2），过P作PN⊥AB于N， ∴∠PNQ＝∠BHD， 当∠QMB＝90°时，∠PQN+∠DBH＝90°， ∵∠PQN+∠QPN＝90°， ∴∠QPN＝∠DBH， 在△PNQ和△BHD中， ， ∴△PNQ∽△BHD， ∴， 又∵△ANP∽△AHD， ∴， ， ∴ANAP（5﹣t）， ∴PNAP（5﹣t）， ∴QN＝AN﹣AQ（5﹣t）﹣t， ∴， 解得t， 经检验，t是分式方程的解， 当ts时，∠QMB＝90°，即△QMB为直角三角形； ②当∠MQB＝90°时，△QMB即为直角三角形， 如图（3）所示，作DH⊥AB于点H， ∵∠A＝∠A，∠MQB＝∠AHD＝90°， ∴△APQ∽△ADH， ∴， ∴， 解得t， 经检验，t是分式方程的解， 当ts时，∠MQB＝90°，即△QMB为直角三角形， 综上所述，当ts或ts时，△QMB为直角三角形． 【点评】本题属于相似形综合题，主要考查相似的综合知识的应用，解答本题的关键要熟练掌握矩形的性质，相似三角形的判定与性质等基本知识点，注意分类讨论的应用． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋期半期检测九年级数学试题 (考试时间:120分钟，总分:150分) 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（注意：在试题卷上作答无效） 1．下列运算中正确的是（　　） A． B． C． D． 2．下列方程是关于x的一元二次方程为（　　） A．3x+2＝5x﹣7 B． C．ax2﹣bx＝12（a和b为常数） D．6（x+1）2＝4（x+1） 3．下列各组线段，能成比例线段的是（　　） A．3cm，6cm，7cm，9cm B．2cm，8cm，6cm，5cm C．3cm，9cm，18cm，6cm D．1cm，2cm，3cm，4cm 4．用配方法解方程x2﹣6x﹣1＝0时，若配方后结果为（x﹣m）2＝n，则m的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．10 D．9 5．已知a，b，c为一个等腰三角形的三条边长，且a，b满足，则此等腰三角形的周长为（　　） A．12 B．9 C．12或9 D．无法计算 6．如图，AB∥CD∥EF，若，BD＝3，则DF的长度为（　　） A．3 B．2 C． D．1 7．若m，n是方程x2+5x﹣7＝0的两根，则代数式m2+2m﹣3n+mn的值是（　　） A．15 B．﹣15 C．﹣1 D．29 8．如图，已知∠1＝∠2，添加下列条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　） A． B．∠B＝∠D C．∠C＝∠AED D． 9．若a，b，c满足a2﹣4b＝﹣7，b2﹣6c＝﹣14，c2﹣2a＝7，则a+b+c的值是（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 10．已知代数式A，B，C，下列结论： ①若x：y：z＝1：2：3，则A•B•C； ②若x＝y＝1，且z是方程m2﹣2022m+1＝0的一个实根，则4046； ③若x，y，z为正整数，且x＞y＞z，则A＞B＞C； ④若A＝B＝C，则A．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 11．如图，在边长为12的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上，若BF＝3，则小正方形边长为（　　） A．6 B．5 C． D． 12．已知，，，…，，其中n为正整数．设Sn＝T1+T2+T3+…+Tn，则S2025的值是（　　） A． B． C． D． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）.请把答案直接填在答题卡对应题目中的横线上.（注意：在试题卷上作答无效） 13．函数，自变量x的取值范围是　 　 ． 14．已知一元二次方程（x﹣5）（x﹣4）＝0，则它的两个根是x1＝5，x2＝　 　 ． 15．等腰三角形边长分别为a、b、3，且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣8x+m+1＝0的两个根，则m的值为　 　 ． 16．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积为．如图，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别记为a、b、c，若a＝10，b＝12，c＝14，则△ABC的面积为　 　 ． 17．若0，则　 　 ． 18．如图，在正方形ABCD中，AB＝5，点E是CD边上一点，且，点F是BD上一点，若∠FAE＝45°，则AF的长为 　 　 ． 三、解答题：（本大题共7个小题，共78分）.解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤.（注意：在试题卷上作答无效） 19．（1）解方程：x2﹣3x﹣2＝0； （2）计算：； （3）解方程：x（x+2）＝3x+6； （4）计算：． 20．如图，已知D，E分别为AB，AC上的两点，且DE∥BC，AD＝6，BD＝12，AC＝10，求AE的长． 21．已知，，求x2+y2﹣3xy的值． 22．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0有实数根． （1）求m的取值范围； （2）设此方程的两个根分别为x1，x2，若x1+x2＝2﹣x1x2，求m的值． 23．用篱笆靠墙围成矩形花圃ABCD，墙可利用的最大长度为12m，篱笆总长为20m． （1）若围成的花圃面积为42m2，求BC的长； （2）如图（2），若计划在花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且围成的花圃总面积为40m2，则能否成功围成花圃？如果能，求BC的长；如果不能，请说明理由． 24．阅读材料，解答问题： 解方程：． 解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘y得：y2﹣4＝0， 解得：y＝±2， 经检验：y＝±2都是方程的解， ∴当y＝2时，，解得：x＝﹣1， 当y＝﹣2时，，解得：， 经检验：x＝﹣1或都是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为x＝﹣1或． 上述这种解分式方程的方法称为换元法． 【解决问题】 （1）若方程，设，则原方程可化为 　 　 ． （2）模仿上述换元法解方程：． （3）已知x，y满足方程（x2﹣2y2+3）（x2﹣2y2﹣3）＝16，结合换元法的思路，求2x2﹣4y2+4的值． 25．如图（1），在四边形ABCD中，AB∥DC，CB⊥AB，AB＝8cm，BC＝3cm，CD＝4cm，动点P从点D开始沿DA边匀速运动，动点Q从点A开始沿AB边匀速运动，它们的运动速度均为1cm/s．点P和点Q同时出发，设运动的时间为t（s），（0＜t＜5）． （1）用含t的代数式表示AP； （2）当以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABD相似时，求t的值； （3）如图（2），延长QP，BD，两延长线相交于点M，当△QMB为直角三角形时，求t的值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $