专题03 有理数运算中的新定义型及规律探究问题（专项训练）数学新教材人教版五四制六年级下册

专题03 有理数运算中的新定义型及规律探究问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、有理数运算中的程序问题 1 题型二、古代中的有理数运算问题 3 题型三、有理数运算中的新定义型问题 4 题型四、有理数运算中的规律探究问题 8 B综合攻坚・能力跃升 题型一、有理数运算中的程序问题 1．按如图所示的程序计算，若开始输入的数为0，则最后输出的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 由题意列式计算，直至结果大于8即可． 【详解】解∶开始输入的数为0， 解：返回继续运算； 输出结果； 故答案为∶ 2．如图所示的是一个简单的数值运算程序．当输入的值为4时，输出的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查简单的数值运算程序，看懂流程框图，根据得到式子，结合有理数乘法运算及加法运算求解即可得到答案．看懂流程图是解决问题的关键 ． 【详解】解：当时， ， 故答案为：． 3．按照如图所示的一个数值转换程序，若输入的值是，则输出的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算．根据题意列式计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 4．小明同学编写了一个加密数据的代码，如图是这个加密代码的运算程序，按照这个运算程序，当原始数据时，加密后的数据是253；当原始数据时，加密后的数据是235．如果输入的原始数据是正整数，加密后的数据是217，那么原始数据的值可以是 ． 【答案】2或7或37 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据题意列式计算求出符合题意的答案即可． 【详解】解：如果输入的原始数据是正整数，加密后的数据是217， 则； ； ； 故答案为：2或7或37． 题型二、古代中的有理数运算问题 5．如图是中国古代“洛书“的一部分，洛书中用实心点或空心点的个数表示数字，纵、横、斜三条线上的三个数字，其和皆相等，则右下角代表的数是 ． 【答案】6 【分析】本题考查有理数的加减应用，先根据最左边的一列三个数字和为15，再利用最下面一行的数字求解即可． 【详解】解：最左边的一列三个数字和为， ∴由最下面一行数字可得右下角代表的数是， 故答案为：． 6．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，如图1，孩子出生后的天数（天），请根据图2，计算孩子自出生后的天数是 天． 【答案】123 【分析】本题考查有理数的知识，解题的关键是掌握有理数的混合运算，根据题意中的计算方法，列式计算，即可． 【详解】解：由题意得，图2，计算孩子自出生后的天数， 故答案为：123． 7．第十四届国际数学教育大会（）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是，表示的举办年份．则十进制数2025换算成八进制数是 ．（注：） 【答案】3751 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据题意找到进制转化的方法是解题的关键． 根据八进制数转换十进制的方法逆向计算即可． 【详解】解：∵， ∴十进制数2025换算成八进制数是3751． 故答案为：3751． 8．我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．一位书生坚持每天五更起床读书，为了勉励自己，他用“结绳记数”的方法来记录自己读书的天数，如图1是他从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，表示的天数为51天，按同样的方法，图2表示的天数是 ． 【答案】 【分析】考查了考查了用数字表示事件和有理数的运算．本题是以古代“结绳计数”为背景，按满六进一计算读书的天数，运用了类比的方法，根据图中的数学列式计算；本题题型新颖，一方面让学生了解了古代的数学知识，另一方面也考查了学生的思维能力． 类比于现在我们的十进制“满十进一”，可以表示满六进一的数为：千位上的数百位上的数十位上的数个位上的数． 【详解】解：图2表示的天数是： 故答案为：． 题型三、有理数运算中的新定义型问题 9．对于有理数，，定义运算：，如． (1)计算的值； (2)计算的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算： （1）利用新定义的运算法则及有理数的混合运算法则即可求解； （2）利用新定义的运算法则及有理数的混合运算法则即可求解． 【详解】（1）解：依题意得： ； （2）解： ． 10．定义一种新运算“△”：，例如：．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)10 (2) 【分析】本题考查新定义运算，解题的关键是理解并按照新运算的规则进行计算． （1）按照新运算规则计算． （2）先计算，再将结果与进行新运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 11．对于任意有理数a，b，我们定义一种新运算“”，规定：，如：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)49； (2)109． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，理解新定义是解题的关键． （1）直接根据新定义的法则，结合有理数的相应的运算法则进行运算即可． （2）先根据新定义计算，再计算即可求解． 【详解】（1）解： ． 所以的值为49． （2）解： ； ． 所以的值为109． 12．定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：，． 若，则称有理数，为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是_____（请填序号）． ①，； ②，． (2)计算： (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”． 计算：． 【答案】(1)① (2) (3) 【分析】本题考查有理数的定义新运算，仔细审题，理解题干中的新定义，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题关键． （1）按照题干定义进行计算，判断是否满足条件即可； （2）直接根据题目定义分别计算各项，然后再合并求解即可； （3）根据定义进行变形和拆项，然后根据规律求解即可． 【详解】（1）①∵， ∴， ①是“隔一数对” ②∵， ∴ ∴②不是“隔一数对” 故答案为：① （2）原式 （3）原式 题型四、有理数运算中的规律探究问题 13．观察下列等式：，，， 把以上三个等式两边分别相加得： 这种求和的方法称为裂项求和法：裂项法的实质是将数列中的每项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．规律应用： 计算：的值． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点． 通过裂项求和法可以求得所求式子的值． 【详解】解： … 14．【观察思考】观察下列等式 ， 将以上三个等式两边分别相加得： ． 【探索规律】 （1）猜想并写出：______． （2）直接写出下列各式的计算结果： ______； 【迁移运用】 （3）． 【答案】（1）  （2）   （3） 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算及加减运算，熟练掌握有理数的运算是解题的关键． （1）根据题干所给方法求解即可； （2）根据题干所给方法及（1）中的结论可进行求解； （3）根据（1）中所给结论可进行求解． 【详解】（1）解：∵， ∴． 故答案为：． （2）解：∵ ； （3）解： ． 15．在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉． 例如：，，，． 【初步体验】 （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不需计算出结果）： ______； ______； ______； 【拓广应用】 （2）计算： ______； ． 【答案】（）；；；（）；． 【分析】（）根据题意可知，去绝对值时，用大数减去小数即可； 根据题意可得，去绝对值时，用大数减去小数即可； 根据题意可得，去绝对值时，用大数减去小数即可； （）根据题意可去绝对值得到，由有理数加减运算法则求解即可； 根据题意，去绝对值时，用大数减去小数，逐一去绝对值求解即可； 本题主要考查了有理数的加减计算，去绝对值，正确理解题意，掌握去绝对值的方法是解题的关键． 【详解】解：（）； ； ； 故答案为：；；； （）解：原式 ， 故答案为：； 解：原式 ． 16．在学习完“有理数的加法”后，小米同学对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数运算的学习经验，自主探究新定义运算． 小米设计一种新运算“”，即对任意有理数a，b，满足如下规律：，称此种运算为“绝佳”运算． 例如，；（2）． 【探究一：两个数“绝佳”运算】 （1）填空：①_________；②_________； ③__________；④__________； 通过上面的计算结果，请你归纳出“绝佳”运算是否满足交换律？若不满足，请举出反例（举一个反例即可）； （2）①若，则_________；②若，则_________； 【探究二：三个数“绝佳”运算】 （3）小米同学想类比有理数的加法结合律，判断“绝佳”运算是否满足结合律． 请你帮助她验证等式是否成立，并归纳出“绝佳”运算是否满足结合律． 【答案】（1）①1 ；②1 ；③；④；满足交换律；（2）①4或；②1或；（3）等式不成立；运算不满足结合律 【分析】本题考查有理数的知识，解题的关键是掌握有理数的加法运算，绝对值的意义， （1）根据，进行计算，即可； （2）根据，进行计算，即可； （3）根据，先求出和的值，进而求解即可． 【详解】（1）∵， ∴①；②； ③；④； 由以上运算可得，“绝佳”运算满足交换律； 故答案为：，，，；满足； （2）∵， ∴， ∴或， ∴或； ∵， ∴，， ∴， ∴或， 解得或； 故答案为：①4或；②1或； （3）∵， ∴，， ∴； ∵， ∴ ∴等式不成立， ∴“绝佳”运算不满足结合律． 一、单选题 1．现定义新运算“※”，对任意有理数、，规定※，则的值（   ） A．-2025 B． C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据，可以求得所求式子的值． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：D． 2．定义一种新运算：对于任何有理数和，规定：．如，则的值为（    ） A． B．8 C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题中的新定义是解此类题的关键．根据新定义规定，列式计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 3．乐乐在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，如果输入1，则输出的结果是（   ） A．1 B． C． D．13 【答案】B 【分析】此题考查了有理数的混合运算．把代入程序中计算，判断结果与的大小，即可． 【详解】解：若输入1，则 ， 即输出的结果是． 故选：B 4．定义一种对正整数的“”运算：当为奇数时，；当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数），两种运算交替进行，例如，取，则有，按此规律继续计算，则第次“”运算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字的变化规律．计算出时前8次运算的结果，找出规律再进行解答即可． 【详解】解：若， 第1次结果为：3， 第2次结果是：10， 第3次结果为：5， 第4次结果为：16， 第5次结果为：1， 第6次结果为：4， 第7次结果为：1， 第8次结果为：4， … 可以看出，从第5次开始，结果就只是1，4两个数轮流出现， 且当次数为奇数时，结果是1；次数是偶数时，结果是4， 而2025次是奇数，因此最后结果是1． 故选：A． 5．如图1，八卦图是中国古代传下来的图形，八卦各有三爻（yáo），“乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑”分立八方，分别代表“天、地、雷、风、水、火、山、泽”八种性质与自然现象，世间万物皆可分类归至八卦之中，它亦是二进制与电子计算机的古老始祖．易经八卦中阴爻用中断线“--”表示或数字“0”表示，阳爻用连线“—”表示或数字“1”表示．十进制的有理数“3”可以用图2中八卦符号表示的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，新定义运算，解题的关键是理解题意，准确计算．把每个选项的二进制的数化为十进制的数即可得到答案. 【详解】解：，故A不符合题意； ，故B不符合题意； ，故C符合题意； ，故D不符合题意； 故选：C 二、填空题 6．对非零有理数a，b定义一种运算，其规则是：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 根据题意列式计算即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 7．如图是一个数值转换机，当输入的数字时，按照图中的程序计算，输出的答案为 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算， 先将代入程序，然后按照程序图计算即可． 【详解】解：根据题意： 故答案为： 8．我国古代典籍《庄子·天下篇》中有这样一句话：“一尺之框，日取其半，万世不竭”．现有一根长为1尺的木杆，第1次截取其长度的一半，第2次截取其第1次剩下长度的一半，第3次截取其第2次剩下长度的一半，如此反复，则第99次截取后，此木杆剩下的长度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了乘方的应用，正确理解题意是解题的关键．根据每次截取剩余的长度都是前一次截取剩余长度的一半进行求解然后得出规律，然后代入99即可得出答案． 【详解】解：第1次截取后剩下的长度为尺， 第2次截取后剩下的长度为尺， 第3次截取后剩下的长度为尺， … ∴第n次截取后剩下的长度为尺， ∴第99次截取后，此木杆剩下的长度为， 故答案为： 9．定义一种运算符号“※”： ．例如：，根据定义的运算法则，解决下列问题： （1） ； （2） ． 【答案】 10 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，新定义运算，根据题意列出算式，是解题的关键． （1）根据题意列出算式进行计算即可； （2）先求出，再求出，即可得出答案． 【详解】（1） ． 故答案为：； （2） ， ． 故答案为：10． 10．用二维码可以进行身份识别，某校建立了一个身份识别系统，图1是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将每一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，其序号为．例如第一行数字从左往右依次是0，1，1，0，则表示的序号为，以此规律，第二行序号表示2，第三行序号表示2，第四行序号表示9，该生为6年级2班29号，图2学生识别为五年级，则要在( )涂黑． 【答案】 【分析】本题主要考查乘方的运用，掌握有理数乘方运算是关键，根据题意得到乘方运算方法，结合图形计算即可． 【详解】解：图2学生识别为五年级，则第一行数字表示的序号； 图2中，则，即； 因为只能为0或1，只有当时，的值为1； 所以，也就是要在涂黑， 故答案为：． 三、解答题 11．我们定义一种新运算：． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)7 (2)1 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算的法则． （1）根据新运算的定义，将新运算转化为有理数的混合运算； （2）根据新运算的定义，先算括号里面的，再算括号外面的． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 12．现定义一种新的运算，规定：，其中a，b均为有理数，例如：．求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1)14 (2) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是根据新定义列出算式，并熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． （1）按定义的新运算：计算即可； （2）先根据定义计算出，，再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．根据下图所示的程序回答问题： (1)当小明输入和这两个数时，输出的结果是多少？ (2)当小明输入和这两个数时，输出的结果是4，求被墨水污染的数． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查有理数的运算： （1）按照程序，结合有理数运算的法则计算即可； （2）设被墨水污染的数为，输出结果为，则菱形框中的结果为． 【详解】（1）根据程序可知 ． 为正数，所以输出结果为． （2）设被墨水污染的数为． 输出结果为，则菱形框中的结果为． 当菱形框中的结果为时，可知，则． 当菱形框中的结果为时，可知，则． 综上所述，或，即被墨水污染的数为或． 14．按图中程序计算，并根据要求求出输出的结果． (1)当输入的数为3时，直接写出输出结果为______； (2)设输入的数记作，且，求出输出的结果． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了有理数的混合运算； （1）将3代入，根据题中的程序框计算即可； （2）分别将和分别代入计算，即可求解． 【详解】（1）解： ∴输出 故答案为：． （2）解：∵， ∴， 当时， 继续计算： ∴输出 当时， ∴输出 综上所述，，输出结果为或． 15．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式： 按照以上规律，解决下列问题： (1)请直接写出第4个等式：______________________； (2)利用规律计算：的值； (3)直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算； （1）根据题中所给的式子直接写出第4个等式即可； （2）根据（1）中的等式相加，计算即可得到答案； （3）根据（2）的方法，计算即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得： 第4个等式为：， 故答案为：； （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ． （3）解： ． 16．概念感知：第十四届国际数学教育大会（）会徽（如图1）的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字，八进制数3745换算成十进制数是，表示的举办年份．（注：除0以外的数的0次方都是1） (1)请把八进制数2163换算成十进制数； (2)应用拓展：我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图2，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结来记录采集到的野果数量，满六进一，她一共采集到的野果数量为多少个? 【答案】(1)1139 (2)1838个 【分析】本题考查有理数的混合运算，理解题意，正确求解是解答的关键． （1）根据题意列出算式，然后利用有理数的混合运算法则求解即可； （2）根据题意列出算式，然后利用有理数的混合运算法则求解即可． 【详解】（1）解：八进制数2163换算成十进制数为 ； （2）解：由题意， （个）， 答：她一共采集到的野果数量为1838个． 17．定义新运算：，，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如：，． 若，则称有理数a，b为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”， (1)下列各组数是“隔一数对”的是_____（请填序号）． ①，②，③， (2)计算：． 【答案】(1)①② (2) 【分析】本题考查有理数的定义新运算，仔细审题，理解题干中的新定义，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题关键． （1）按照题干定义分别求出对应的，判断是否满足条件即可； （2）直接根据题目定义分别计算各项，然后再合并求解即可； （3）根据定义进行变形和拆项，然后根据规律求解即可． 【详解】（1）解：①∵； ∴，， ∴，则①是“隔一数对”； ②∵； ∴，， ∴，则②是“隔一数对”； ③∵； ∴，， ∴，则③不是“隔一数对”； 故答案为：①②； （2）解： ． 18．学校数学兴趣小组在开展探究活动中发现，“三角形数”、、、，与“正方形数”、、、之间有一定的联系，他们将“正方形数”、、分别用如图图形表示． (1)数学九章兴趣小组从图中观察发现，“正方形数”，，，得出：任何一个大于的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和可以看作两个相邻“三角形数”之和， ____________； (2)数学勾股兴趣小组观察图形并结合“正方形数”特点，发现如下规律：；；；仿照上述规律， ____________； (3)结合两个兴趣小组发现的规律，将“正方形数”写成两个相邻“三角形数”之和， ____________． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况 （1）观察图象中点的个数的规律有，，，则按照此规律得到； （2）观察图象中点的个数的规律有，，，则按照此规律得到3； （3），然后求和即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴； 故答案为：，； （2）解：∵， ， ， ∴， 故答案为：，； （3）解： ， 故答案为：，． 19．【概念学习】定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如、等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”，记作，读作“的下4次方”一般地，把记作，读作“a的下n次方”． （1）直接写出计算结果：______，______． 【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：． （2）仿照上面的算式，将下列运算写成幂的形式：______，______． （3）将一个非零有理数a的下n次方写成幂的形式是：______． （4）【结论应用】计算：． 【答案】（1），2；（2），；（3）；（4） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，涉及新定义． （1）由新定义列出算式计算即可； （2）根据新定义列出算式，化为乘方形式即可； （3）根据（2）的计算结果得出规律即可； （4）先根据乘方的定义和（3）的计算结果计算，再算乘除和加减即可． 【详解】解：（1）； ， 故答案为：，2； （2） ， ， 故答案为：，； （3） ， 故答案为：； （4） ． 20．在一次综合实践活动课上，张老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何通过折纸的方法求出的值． 【操作探究】“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，，依次类推，则图1中空白部分的面积为． “破浪”小组是这样思考的：设， 将等式两边同时乘以得：， 将上式减去下式得，即，即． 【过程思考】 (1)图1中阴影部分的面积是 ，= ． (2)请你利用图2，再设计能求的值的几何图形．（只画出图形即可） (3)根据以上规律， ① ．（为正整数） ② ．（为正整数） 【答案】(1)， (2)如图所示（标序号部分）即为所求： (3)①；② 【分析】（1）阴影部分的面积等于部分⑥的面积； （2）依照题目的示范作图即可； （3）①利用数形结合的思想，用整个正方形的面积减去阴影部分的面积即可确定答案；②利用整体思想，令将等式两边同时乘以得：，两式子相减，即可得出答案． 【详解】（1）由题知， 正方形每次被分割的部分是前一部分面积的一半， 所以图中阴影部分的面积与部分⑥的面积相等． 又因为部分①的面积为：， 部分②的面积为：， 部分③的面积为：， …， 依次类图，部分n的面积为． 当时， ． 所以阴影部分的面积为． ∵， ∴． 故答案为：；． （2）如图所示（标序号部分）即为：求的值的几何图形 （3）①根据（2）中的发现可知， ． 故答案为：． ②令 将等式两边同时乘以得：， 将②式减去①式得，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查图形变化的规律，数形结合思想以及整体思想的巧妙运用是解题的关键． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题03有理数运算中的新定义型及规律探究问题 月录 A题型建模·专项突破 题型一、有理数运算中的程序问题 题型二、古代中的有理数运算问题… .3 题型三、有理数运算中的新定义型问题… 4 题型四、有理数运算中的规律探究问题 .8 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、有理数运算中的程序问题 1. 按如图所示的程序计算，若开始输入的数为0，则最后输出的结果为 输入 x22 -(-5) >8 是 输出 否 2.如图所示的是一个简单的数值运算程序.当输入x的值为4时，输出的值为一 输入心→×-96→×(-02可×8 -（-1)→/输出 3.按照如图所示的一个数值转换程序，若输入m的值是-2，则输出的结果是 输入m m-5+3×(2) 输出 4.小明同学编写了一个加密数据的代码，如图是这个加密代码的运算程序，按照这个运算程序，当原始数 据x=8时，加密后的数据是253；当原始数据x=40时，加密后的数据是235.如果输入的原始数据x是正 整数，加密后的数据是217，那么原始数据x的值可以是 输入x >200 是 计算6x-5的值 输出结果 否 题型二、古代中的有理数运算问题 5.如图是中国古代“洛书“的一部分，洛书中用实心点或空心点的个数表示数字，纵、横、斜三条线上的三 个数字，其和皆相等，则右下角代表的数是一· 1/10 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 洛书 0000-0-0-000 6.我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”.如图， 一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，如图1，孩子出生 后的天数=3×7+1×7+6=147+7+6=160（天)，请根据图2，计算孩子自出生后的天数是天. 图1 图2 7.第十四届国际数学教育大会(ICME-14)会微的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学 的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745.八进制是以8作为进位基数 的数字系统，有0~7共8个基本数字.八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×8+5×8°=2021， 表示ICME-14的举办年份.则十进制数2025换算成八进制数是·（注：8°=1） ICmE-14 三三年三 8.我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”.一位书 生坚持每天五更起床读书，为了勉励自己，他用“结绳记数”的方法来记录自己读书的天数，如图1是他从右 到左依次排列的绳子上打结，满六进一，表示的天数为51天(1×62+2×6+3=51，按同样的方法，图2表 示的天数是 图1 图2 题型三、有理数运算中的新定义型问题 9.对于有理数a,b,定义运算：a⑧b=-a2+ab,如2⑧1=-22+2×1=-2. (1)计算(-5)⑧3的值： 2/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)计算[1⑧(-3)]8(-2)的值. 10.定义一种新运算“△”：a△b=b2-ab,例如：1△(-2)=(-2-1×-2)=4+2=6.计算： (1)(-3)△(-5)； a4 11.对于任意有理数a,b,我们定义一种新运算“※”，规定：a※b=a2-ab+b2,如： (-2)※3=(-22-（-2)×3+32=19， (1)求(-8※(-5)的值： (2)求(-5)※(3※2)的值. 12.定义新运算：a*b=1-1 b,4⑧b=(右边的运算为平常的加、减、乘、除》 ab 114 11 例如：3*7=3721,3©7 3×721 若a⑧b=a*b,则称有理数a,b为隔一数对. 111 圆如：232子62®3362832图，所以2,3就是对隔数对 (1)下列各组数是“隔一数对”的是( 请填序号). 1 ①a三-4，b=3 ②a=-1,b=1. (2)计算：（-3*4-(-3)⑧4 (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”. 计算：1⑧2+2⑧3+3⑧4+4⑧5+…+2023⑧2024. 题型四、有理数运算中的规律探究问题 B咫察下列等式：1上↓，人” -2'2×323'3x434 起以上三个等式两逗别用将：24 -1+1+1=1-1-3 22334 44 这种求和的方法称为裂项求和法：裂项法的实质是将数列中的每项分解，然后重新组合，使之能消去一些项， 最终达到求和的目的.规律应用： 计第：+4 1一的值： 99×100 14.【观察思考】观察下列等式 3/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ,=111-111-11 2'2×323'3×4341 将以上三个等式两边分别相加得： 1,1,1 =1-1+1-1+11-1-1-3 1×22×33×4 22334 44 【探索规律】 1 (1)猜想并写出：nn+1 (2)直接写出下列各式的计算结果： 11 1 1 1×22×33×4 十 2023×2024 【迁移运用】 (3)2 2 2 91×3+3×5+5×7+2023×2025 15.在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉. 例如：16+7=6+7,16-7=7-6,17-6=7-6，|-6-7=6+7. 【初步体验】 (1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不需计算出结果）： ①7-21= @引 ③ 77 1718 ； 【拓广应用】 (2)计算： ②}+业1 1,11 十…十 324354+…2023202220242023 16.在学习完“有理数的加法”后，小米同学对运算产生了浓厚的兴趣.借助有理数运算的学习经验，自主探 究新定义运算. 小米设计一种新运算“⊕”，即对任意有理数a,b,满足如下规律：a⊕ba+b,称此种运算为“绝佳”运算. 例如，5⊕(-2)=5+(-2)=3；(2)(-2)⊕4(-2)+41=2 【探究一：两个数“绝佳”运算】 (1)填空：①3⊕(-4= ；②-4⊕3= 4/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 @(引（引 @(到() 通过上面的计算结果，请你归纳出“绝佳”运算是否满足交换律？若不满足，请举出反例（举一个反例即可）； (2)①若3⊕x=7,则x= ;②若(-3)田x=x⊕x,则x= ； 【探究二：三个数“绝佳”运算】 (3)小米同学想类比有理数的加法结合律，判断“绝佳”运算是否满足结合律. 请你帮助她验证等式6⊕(-7)©(-8)=6⊕(-7)⊕(-8)是否成立，并归纳出“绝佳”运算是否满足结合律 B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.现定义新运算“※”，对任意有理数a、b,规定a※b=a-ab,则-1※2024的值() A.-2025 B.-2024 C.2024 D.2025 2.定义一种新运算：对于任何有理数a和b,规定：a※b=ab+b2.如1※2=1×2+22=6，则(-4)※2的值 为() A.-4 B.8 C.4 D.-8 3.乐乐在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，如果输入1，则输出的结果是 () 输入xH ×3→-2)→-1 、≤-4 YES,输出 NO A.1 B.-5 C.-13 D.13 4.定义一种对正整数的F运算：①当为奇数时，F=3n+1:②当为偶数时，F,=是 (其 中k是使F()为奇数的正整数)，两种运算交替进行，例如，取n=12,则有 F② PF① F② 12 3 10 5 按此规律继续计算，则第2025次“F”运算的结果是() 第1次 第2次 第3次 A.1 B.3 C.4 D.5 5.如图1，八卦图是中国古代传下来的图形，八卦各有三爻(yo),“乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑”分 立八方，分别代表“天、地、雷、风、水、火、山、泽”八种性质与自然现象，世间万物皆可分类归至八卦之 中，它亦是二进制与电子计算机的古老始祖.易经八卦中阴爻用中断线“”表示或数字“0”表示，阳爻用连线 “一”表示或数字“1”表示.十进制的有理数“3”可以用图2中八卦符号表示的是() 5/10 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 乾 巽 离 坎 震 坤 图2 王出 二、填空题 6.对非零有理数a,b定义一种运算⑧，其规则是：a⑧b=-6÷,则-3)⑧-2)= 7.如图是一个数值转换机，当输入的数字n=-3时，按照图中的程序计算，输出的答案为」 输入n +(-32 ÷(-2) 输出答案 8.我国古代典籍《庄子天下篇》中有这样一句话：“一尺之框，日取其半，万世不竭”.现有一根长为1尺 的木杆，第1次截取其长度的一半，第2次截取其第1次剩下长度的一半，第3次截取其第2次剩下长度 的一半，如此反复，则第99次截取后，此木杆剩下的长度为。 9.定义一种运算符号“※”：m※n= m-mnm之小，.例如：4※(-2)=4-4×(-2)=24，根据定义的运算 mn-n2(m<n), 法则，解决下列问题： (1)（-4)※2=： (2)[(-3)※(-2]※(-3)= 10.用二维码可以进行身份识别，某校建立了一个身份识别系统，图1是某个学生的识别图案，黑色小正 方形表示1，白色小正方形表示0，将每一行数字从左到右依次记为a,b,c,d,其序号为 a×23+b×22+c×2+d.例如第一行数字从左往右依次是0,1,1,0，则表示的序号为 0×2+1×22+1×2+0=6,以此规律，第二行序号表示2，第三行序号表示2，第四行序号表示9，该生为6 年级2班29号，图2学生识别为五年级，则要在( )涂黑. 6/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 9 234 图1 图2 三、解答题 11.我们定义一种新运算：a⑧b=a+b-ab, (1)求3⑧(-2)的值： (2)求(-4)⑧1⑧(-5)]的值. 12.现定义一种新的运算，规定：a必b=a2+ab-1,其中a,b均为有理数，例如：1※2=12+1×2-1=2.求： (1)-3)※(-2)的值： 回2（引-[-可列知]的直 13.根据下图所示的程序回答问题： 输入a、b a与b相乘→什(1)→<结果是正数吗 (输出结果 否 取绝对值 (1)当小明输入-1和-2这两个数时，输出的结果是多少？ (2)当小明输入-1和( 这两个数时，输出的结果是4，求被墨水污染的数. 14. 按图中程序计算，并根据要求求出输出的结果 是 输入 -6 +(-2) ÷(-2) 输出 (1)当输入的数为3时，直接写出输出结果为 (2)设输入的数记作x,且x=5,求出输出的结果 15.观察下列等式： 11 2 第1个等式： 1×22×31×2×3 第2个等式： 11 2 2×33×42×3×4 第3个等式： 11 3×44×53×4x5 按照以上规律，解决下列问题： 7/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)请直接写出第4个等式： (②)利用规律计算： 1 1 的值： 1×2×32×3×43×4×5 1 (3)直接写出 1 4×5×68×9×10 的值。 16.概念感知：第十四届国际数学教育大会(ICME-14)会徽（如图1)的主题图案有着丰富的数学元素， 展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745.八进制 是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字，八进制数3745换算成十进制数是 3×83+7×82+4×8+5×8°=2021，表示1CME-14的举办年份.（注：除0以外的数的0次方都是1） ICmE-14 图1 图2 (1)请把八进制数2163换算成十进制数； (②)应用拓展：我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，如图2，一位 妇女在从右到左依次排列的绳子上打结来记录采集到的野果数量，满六进一，她一共采集到的野果数量为 多少个？ a6'a⑧b=1 17.定义新运算：a*b=1_1. ,(右边的运算为平常的加、减、乘、除). M:37-兮分387=女7 -3×721 若a⑧b=a*b,则称有理数a,b为“隔一数对” 例：20323名2}。203=2*，所以23就是一对隔数 (1)下列各组数是“隔一数对”的是（请填序号）. ①a=1,ba2②a三3，b=®a=-1,b= 3 (2)计算：（-3)*4-(-3)⑧4+-2024)*-2024. 18.学校数学兴趣小组在开展探究活动中发现，“三角形数”1、3、6、10…，与“正方形数”1、4、9、16…之 间有一定的联系，他们将“正方形数”4、9、16分别用如图图形表示. ●●y● ●● ●●y●●. o ●●● ●●●● ●● ●●● 6●●● 图1 图2 图3 (1)数学九章兴趣小组从图中观察发现，“正方形数”4=1+3,9=3+6,16=6+10，得出：任何一个大于1的 “正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和.25可以看作两个相邻“三角形数”之和，25=+ 8/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)数学勾股兴趣小组观察图形并结合“正方形数”特点，发现如下规律：4=22=1+2+1=1+3； 9=32=1+2+3+2+1=3+6;16=42=1+2+3+4+3+2+1=6+10;…仿照上述规律，36=62= 十； (3)结合两个兴趣小组发现的规律，将“正方形数”n2写成两个相邻“三角形数”之和，2=一+ 19.【概念学习】定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2、 (-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)等.类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作23，读作“2的下3次方”， (-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)记作(-3)4，读作“-3的下4次方”一般地，把a÷a÷…÷a÷a(a≠0)记作a.，读作 “a的下n次方”. (1)直接写出计算结果：2，= 【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数 的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 111 例如：24=2÷2÷2÷2=2×5×5×5 2仿照上面的算式。格下列运算写成器的形式：2。一，（兮，- (3)将一个非零有理数a的下n次方写成幂的形式是：an= 【结论应用1计第：12》-2头，-》 ÷33 20.在一次综合实践活动课上，张老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何通过折纸的 1.11 1 方法求出2+4+g++2的值。 248 【操作探究乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：如图1，将一个边长为1的 正方形纸片分割成7个部分，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的 一半，第③部分是第②部分面积的一半，，依次类推，则图1中空白部分的面积为2十48 ,11,1,,1 +。++ 26· “破浪”小组是这样思考的：设S=+++… 1 2+48+…+25 将等式两边同时果以得：-甘+女宁 将上式藏去下式别时兮分即5=引得时片甘…+分-貂 +264 9/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ② ③ ④ ① ⑤ 6 图1 图2 【过程思考】 1+11 1 ()图1中阴影部分的面积是2+4+8++2- 清你利用图2，再设计能求头++女，的值的儿何图形.（只画出图形血 248 (3)根据以上规律， 1 2 =-·(n为正整数) 248 ②2+4+8+16+…+2”=-·（n为正整数) 10/10