专题10 三角函数的图象与性质、伸缩平移变换及三角函数的应用（期末专项训练，10大题型73题）高一数学上学期人教A版

专题10 三角函数的图象与性质、伸缩平移变换 及三角函数的应用 题型1 五点作图法画三角函数的图象 题型6 交点与根的问题（重点） 题型2 三角函数的图象与性质综合（重点） 题型7 含绝对值的三角函数（难点） 题型3 由函数图象求解析式及性质（重点） 题型8 复合三角函数（难点） 题型4函数的伸缩偏移变换（重点） 题型9 三角函数的应用 题型5 求解参数综合（难点） 题型10 解答题综合（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 五点作图法画三角函数的图象（共5小题） 1．（24-25高一上·山东枣庄·期末）已知函数． (1)请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象； (2)写出的单调递增区间． 【答案】(1)答案见解析 (2)． 【分析】（1）求出的周期，对比正弦函数，算出“五点法”的五点，描点画图即可； （2）对比正弦函数的单调区间，列不等式求解即可. 【详解】（1）函数的周期为，列表 0 0 2 0 0 描点、连线得到图象如下， （2）由， 得． 所以的单调递增区间为． 2．（25-26高一上·吉林·期末）已知函数过原点. (1)求的值； (2)求函数在上的零点； (3)如表是应用“五点法”进行的列表，请填写表中缺失的数据. 0 0 1 0 0 【答案】(1) (2)，， (3)表格见解析 【分析】（1）直接将点的坐标代入即可得结果； （2）由（1）的解析式，结合零点的意义及正弦函数的性质求出零点； （3）根据五点法作图完善表格. 【详解】（1）依题意，，即，即， 所以. （2）由（1）知，，由，得， 当时，，则或或， 解得或或， 所以函数在上的零点为，，. （3）根据“五点法”作图，填表如下： 0 0 1 0 0 3．（24-25高一上·福建厦门·期末）已知函数． (1)补全下列表格，用“五点法”画出在区间的大致图象； 0 x (2)将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，求的单调递增区间和对称中心的坐标． 【答案】(1)答案见解析 (2)， 【分析】（1）填写表格，再利用五点法进行作图即可； （2）根据三角函数图象平移变换求出的解析式，利用正弦函数单调性和对称性进行求解即可． 【详解】（1） 0 x 0 2 0 0 （2）易知， 令，解得， 所以的单调递增区间为． 令，解得， 所以对称中心的坐标为 4．（24-25高一上·云南昆明·期末）设函数，满足，函数图象的一个对称中心为. (1)求的最小正周期； (2)用“五点法”画出函数在区间上的简图. 【答案】(1)2 (2)答案见解析 【分析】（1）由得，由函数图象的一个对称中心为，可得，进而可得； （2）根据“五点法”画图法作图即可. 【详解】（1）由得，又，所以，故. 函数图象的一个对称中心为，则， 即，又，所以， 而，所以的最小正周期为2. （2）列表： 0 2 0 -2 0 2 画图      5．（24-25高一上·河北保定·期末）设，函数的最小正周期为，且. (1)求和的值； (2)在给定坐标系中作出函数在上的图象； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1)， (2)图象见解析 (3) 【分析】（1）利用最小正周期可求再利用求解即可； （2）先列表，再描点，最后连线画出图象即可； （3）由（1）得，原不等式化为，再由余弦函数的图象和性质解不等式即可. 【详解】（1）∵函数的最小正周期，∴． ∵， 则，因为，∴． （2）由（1）知，列表如下： 0 0 2 0 －2 0 在上的图象如图所示： （3）∵，即， ∴， 则， 即． ∴的取值范围是 题型二 三角函数的图象与性质综合（共10小题） 多选题 6．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．函数的最小正周期是 B．函数在区间上是增函数 C．直线是函数图象的一条对称轴 D．函数的图象可以由函数的图象向左平移个单位长度而得到 【答案】ACD 【分析】利用正弦型函数的周期公式可判断A正确，再由正弦型函数的单调性可判断B错误，结合正弦型函数的对称性利用检验法代入计算可判断C正确，由三角函数图象的变换规则可得D正确. 【详解】对于A，易知函数的最小正周期是，可得A正确； 对于B，当时，，易知在上不单调， 所以函数在区间上不单调，即B错误； 对于C，因为， 因此直线是函数图象的一条对称轴，即C正确； 对于D，将的图象向左平移个单位长度可得，因此D正确. 故选：ACD 7．（24-25高一上·广东广州·期末）已知函数，下列选项中正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．在上单调递增 D．在上值域为 【答案】BD 【分析】根据正弦函数的性质一一判断即可. 【详解】对于A：的最小正周期，故A错误； 对于B：因为，所以的图象关于直线对称，故B正确； 对于C：当，则，因为在上不单调， 所以在上不单调，故C错误； 对于D：当，则，所以， 则在上值域为，故D正确. 故选：BD 8．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．的值域为 C．的图象关于直线对称 D．有1个零点是 【答案】BD 【分析】利用周期公式判断选项选项A错误；利用三角函数性质求出值域，判断选项B正确；用对称轴公式判断选项C错误；将代入方程，判断选项D正确. 【详解】对于选项A：由，故A错误. 对于选项B：由，故，故B正确. 对于选项C：因为，得，不存在整数k，使得，故C错误. 对于选项D：，故D正确. 故选：BD 9．（24-25高一上·江苏常州·期末）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．在区间上单调递减 C．点是图象的一个对称中心 D．将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称 【答案】BC 【分析】由周期公式判断A；根据余弦函数的单调性可判断B；由代值法判断C；根据图象平移写出解析式判断奇偶性可判断D. 【详解】对于A，的最小正周期为，故A不正确； 对于B，当时，，由余弦函数的单调性可得函数在单调递减，故B正确； 对于C，因为，故是图象的一个对称中心，故C正确； 对于D，因为，显然不关于轴对称，故D不正确 故选：BC. 10．（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）已知函数（其中），则下列说法正确的是（   ） A．当时，函数的最小正周期为1 B．若，，且，则的最小值为 C．若将函数的图象向左平移个单位，得到的函数为奇函数，则的最小值为 D．若函数在区间上有3个零点，则的取值范围为 【答案】ACD 【分析】对A，由周期公式求解判断；对B，由，可得，所以的最小值为一个周期，求解判断；对C，由，可得，结合得解；对D，由当时，，有3个零点，可得，得解. 【详解】对于A，当时，函数的最小正周期为，故A正确； 对于B，由的最大值为1，又由，有. 又由，可得函数的最小正周期为，可得的最小值为，故B错误； 对于C，将函数的图象向左平移个单位，得到的函数为， 又由所得函数为奇函数，有，可得， 又由，取，可得的最小值为，故C正确； 对于D，当时，， 由函数在区间上有3个零点，有，可得，故D正确. 故选：ACD. 11．（24-25高一上·山东枣庄·期末）已知函数，下列选项正确的有（   ） A．的最小正周期为π B．的对称轴可以是 C．在区间上只有一个零点 D．函数在区间的值域为 【答案】AC 【分析】利用余弦型函数的周期公式可判断A选项；利用余弦型函数的对称性与最值之间的关系可判断B选项；当时，解方程，可判断C选项；利用与余弦型函数的值域可判断D选项. 【详解】对于A选项，函数的最小正周期为，A对； 对于B选项，因为，不为最值， 所以不为的对称轴，B错； 对于C选项，当时，， 由可得，所以，函数在区间上只有一个零点，C对； 对于D选项，当时，，则， 则函数在区间的值域为，D错. 故选：AC. 12．（24-25高一上·湖北·期末）已知函数，则（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数的定义域为 C．函数的图象的对称中心为 D．函数的单调递增区间为 【答案】BD 【分析】根据正切函数周期判断A，求出正切型函数定义域判断B，根据正切函数的对称中心判断C，根据正切函数的单调区间可判断D. 【详解】函数的最小正周期为，所以A错误； 由，则定义域为，所以B正确； 因为正切函数的对称中心为，则， 可知函数的对称中心应为，所以C错误； 由，得， 所以函数的单调递增区间为，所以D正确. 故选：BD. 13．（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末）已知，且，则以下正确的有（   ） A． B．值域为 C．在上单调递增 D． 【答案】BC 【分析】先化简得到，再结合正弦型函数的性质逐个判断即可； 【详解】 所以，A错误； 函数的值域为，B正确； 当，可得，故在上单调递增，C正确； 由，可得， 所以， 所以，D错误， 故选：BC 14．（24-25高一上·新疆昌吉·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是的一条对称轴 B．的对称中心是 C．在区间上的值域是 D．将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则 【答案】AD 【分析】求得函数的对称轴与对称中心可判断AB；利用余弦函数的性质求得最小值可判断C；求得函数的解析式，计算可判断D. 【详解】由，解得， 所以的对称轴方程为， 当时，，所以是的一条对称轴，故A正确； 由，可得， 所以的对称中心是，故B错误； 当时，， 此时的最小值为，故C错误； 将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象， 所以，所以是奇函数， 所以，故D正确. 故选：AD. 15．（23-24高一下·河南驻马店·月考）若函数，则（    ） A．在上单调递增 B．的图象关于点对称 C．，为定值 D．函数的图象关于点对称 【答案】ACD 【分析】先将函数利用三角恒等变换化成余弦型函数，将看成整体，结合余弦函数的图象，即可判断A,B；对于C，只需利用对数运算性质和诱导公式即可推出；对于D，一般通过计算推理的值是否为0即可判断. 【详解】因      . 对于A，当时，设， 因函数在上单调递增，故在上单调递增，即A正确； 对于B，因时，，故的图象关于点不对称， 故的图象关于点不对称，即B错误； 对于C，，     为定值，故C正确； 对于D，令，由 ，故函数的图象关于点对称，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】思路点睛：本题主要考查三角恒等变换和三角函数在对称性和单调性上的应用，属于难题.一般思路为将已知式化简正弦型函数或者余弦型函数，将角看成整体角，利用正弦函数或余弦函数图象的单调性、对称性等特征一一判断即得. 题型三 由函数图象求解析式及性质（共10小题） 多选题 16．（24-25高一下·湖北·月考）已知函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是（    ） A．的图像关于直线对称 B．的图像关于点对称 C．将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像 D．若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是 【答案】ACD 【分析】首先根据题意得到， 对选项A，根据即可判断A正确，对选项B，根据，即可判断B错误，对选项C，将向右平移，得到，即可判断C正确，对选项D，根据的图象即可判断D正确. 【详解】由图可知：的最小正周期， 当时，，所以； 对于A，，正确； 对于B，，错误； 对于C，将向右平移，得到，正确； 对于D，的大致图像如下： 欲使得在内方程有2个不相等的实数根， 则，正确； 故选：ACD. 17．（24-25高一上·云南曲靖·期末）某个简谐运动可以用函数（，），来表示，其中部分图象如图所示，则（   ） A． B．该简谐运动的频率为，初相为 C．直线是的一个对称轴 D．点是曲线的一个对称中心 【答案】ACD 【分析】根据图象可得，选项A，利用的图象与性质可得，即可判断选项A的正误；选项B，由频率和初相的定义，结合，即可求解；选项C和D，，利用性质，求出的对称轴和对称中心，即可判断出选项C和D的正误. 【详解】由图知，由图像知，又， 所以，又由五点作图法知，第三个点为，所以，得到， 所以， 对于选项A：设，由， 得到， 所以，故选项A正确； 对于选项B：因为，所以频率为，由知初相为，所以选项B错误； 对于选项C：因为， 由，即，故直线是的一个对称轴，故选项C正确； 对于选项D：因为， 由，即， 故点是曲线的一个对称中心，故选项D正确； 故选：ACD 18．（24-25高一上·浙江杭州·期末）函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（   ）    A． B． C．是函数的一条对称轴 D．是函数的对称中心 【答案】ACD 【分析】根据函数图象知：、、为对称轴、是函数的一个对称中心，结合正弦函数的性质即可判断各选项的正误. 【详解】由图知：，即，而，可得，A正确； 可得,结合，可得，B错误； 为对称轴，C正确； 由是函数的一个对称中心，,则是函数的对称中心，D正确； 故选：ACD 19．（24-25高一上·河南许昌·期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列选项中正确的是（   ） A．的一个周期是 B．函数的图象关于点对称 C．函数的图象关于直线对称 D．函数在区间上单调递增 【答案】ABC 【分析】结合图形和题设条件，可依次求得，再根据选项内容逐一进行判断即得. 【详解】如图可知，，且函数经过两点，则得：， 由①得：，因，则得， 因为在增区间中，由② 可得，即， 因，则. 故. 对于A，因，故A正确； 对于B，因 ， 故函数的图象关于点对称，即B正确； 对于C，因， 故函数的图象关于直线对称，即C正确； 对于D，当时，， 因函数的图象在上递减，在递增，故D错误. 故选：ABC. 20．（24-25高一上·广西柳州·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A．将的图象向右平移个单位，得到的图象 B． C．，都有 D．为函数的一条对称轴 【答案】BC 【分析】根据函数图象求函数解析式，代入自变量求函数值判断A、B；根据正弦型函数的性质判断C；代入法判断D. 【详解】由题设知，，则， 所以，又， 所以，则，，可得， 所以， 由，故A错； ，B对； 由的最小值、最大值分别为， 所以，都有，C对； ，显然不是对称轴，D错. 故选：BC 21．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列命题正确的是（    ） A． B． C．将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，是奇函数 D．方程在上有两个根，则 【答案】AD 【分析】由的图象求出，根据过点得出，求出，再求出，写出的解析式，再判断选项中的命题是否正确. 【详解】由的图象知，，由过点，得， 又，则，当时，，又的图象过点， 则，解得，， 由最小正周期为，得，无解，即不符合题意； 当时，，而，则， ，于是，而，则，A正确，B错误； 函数，， ，函数不是奇函数，C错误； 由图象知，函数在上递增，在上递减，且， 则当方程在上有两个根时，，D正确. 故选：AD 【点睛】思路点睛：给定的部分图象求解解析式，一般是由函数图象的最高（低）点定A，求出周期定，由图象上特殊点求. 22．（24-25高一上·云南玉溪·期末）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A． B．函数的图象关于直线对称 C．函数为偶函数 D．函数在上的最小值为 【答案】ACD 【分析】根据函数图象求得、判断A；应用整体法判断B；由图象平移写出的解析式判断C；最后应用正弦型函数的性质求区间最小值判断D. 【详解】由函数的图象，得，由，解得， 再根据五点法，得，，又，解得，A对； 当时，所以的图象不关于直线对称，B错； 从而，所以，即函数为偶函数，C对； 因为时，，所以，D对. 故选：ACD 23．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B． C．的图象与轴的交点坐标为 D．函数的图象关于直线对称 【答案】ACD 【分析】根据正切函数的图象求函数解析式判断A、B；再由正切函数的解析式求值、对称性判断C、D. 【详解】对A，由图知的最小正周期，则，A正确； 对B，由图象知时，函数无意义，故，， 由，得，即，B错误； 对C，，C正确； 对D，由，则的图象关于点对称， 由图象对称变换，得函数的图象关于直线对称，D正确， 故选：ACD 24．（24-25高一上·宁夏银川·期末）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于直线对称 C．函数在单调递减 D．函数的图象关于对称 【答案】BD 【分析】根据函数解析式可求得，即A错误，再代入验证可得B正确，由正弦函数单调性可得C错误，代入对称中心方程可得D正确. 【详解】对于A，由图象可知，且，因此周期，所以，即A错误； 对于B，又函数图象过点，可得，又，可得； 所以， 当时，，取得最小值，因此B正确； 对于C，当时，，由正弦函数性质可得函数在不是单调递减的，即C错误； 对于D，令，解得，当时，， 即函数的图象关于对称，即D正确. 故选：BD 25．（24-25高一上·山西晋中·期末）已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A． B．的图象关于直线对称 C．在区间上有且只有2个零点 D．若（），则 【答案】BCD 【分析】由函数图象求出的解析式，再根据特殊点的三角函数值计算可得A错误，由对称性可判断B正确，利用三角函数图象性质可得C正确，由周期性可得当，则正确，即D正确. 【详解】根据图象可知，又易知图象过点， 即，即，又，可得； 由对称性可知函数的对称轴为，即的图象关于直线对称,即B正确； 由图可知周期为，可得； 又，所以， 结合图象可得，解得 因此当时，符合题意，即，所以A错误； 所以，令，可得， 即， 又，可得时，则，即在区间上有且只有2个零点，可得C正确； 若（），则； 因此，显然当时，，即D正确； 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用函数图象由对称性以及周期范围求得解析式，再由正弦函数性质判断可得结论. 题型四 函数的伸缩偏移变换（共7小题） 多选题 26．（24-25高一上·福建莆田·期末）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ） A．右移个单位 B．左移个单位 C．右移个单位 D．左移个单位 【答案】AB 【分析】根据选项中的平移单位和平移方向，进行验证即可. 【详解】，； 因为，所以将函数的图象右移个单位可得的图象，A正确； 因为，所以将函数的图象左移个单位可得的图象，B正确； 将函数的图象右移个单位, 得到的图象，C不正确； 将函数的图象左移个单位， 得到的图象，与目标函数的图象不符，D不正确； 故选：AB 27．（24-25高一上·河北沧州·期末）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A． B． C．的图象关于直线对称 D．的图象关于直线对称 【答案】BD 【分析】根据函数图象左右平移的规律可得A错误，B正确；根据可得选项C错误；根据可得选项D正确. 【详解】由题意可得，则A错误，B正确． 由得选项C错误. 由得选项D正确. 故选：BD. 28．（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末）将函数的图象向左平移个单位长度后对应的函数为奇函数，则的可能取值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】AC 【分析】根据三角恒等变换的化简可得，利用三角函数图象的平移变换可得奇函数，结合函数的奇偶性计算即可求解. 【详解】 ， 的图象向左平移个单位长度后得 的图象， 又函数为奇函数，所以， 解得.所以的值可能为. 故选：AC 29．（24-25高一上·陕西西安·期末）为了得到函数的图象，只需把正弦曲线上所有的点（    ） A．先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原米的，纵坐标不变 B．先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．先将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 D．先将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 【答案】AC 【分析】根据三角函数图象变换的知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】正弦曲线先向右平移个单位长度，得到函数的图象， 再将所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变， 得到函数的图象，故A正确，B错误； 先将正弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变， 得到函数的图象，再向右平移个单位长度， 得到函数的图象，故C正确，D错误. 故选：AC 30．（2024·贵州六盘水·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则（    ） A．为函数图象的一条对称轴 B． C．函数在上单调递增 D．函数的图象与函数的图象交点个数为5 【答案】ACD 【分析】利用三角函数平移的性质求得，进而利用三角函数的对称性判断A，同时判断B，利用三角函数的单调性与整体法判断C，利用三角函数与对数函数的图象，数形结合判断D，从而得解. 【详解】对于A，将函数的图象向左平移个单位， 可得到函数的图象， 则， 所以为函数图象的一条对称轴，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，当时，， 而在上单调递增，所以在上单调递增，故C正确； 对于D，对于，其周期为，最大值为， 令，则， 令，则，且， 因为的定义域为，且， 作出与在上的大致图象，如图， 结合图象可知，的与函数的图象交点个数为5，故D正确. 故选：ACD. 31．（24-25高一上·云南昭通·期末）为得到函数的图象，只需把正弦曲线上的所有点（   ） A．先向左平行移动个单位，再横坐标缩短到原来的，纵坐标不变； B．先向右平行移动个单位，再横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变： C．先横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平行移动个单位： D．先横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平行移动个单位； 【答案】AD 【分析】由三角函数图像平移逐项判断即可； 【详解】对于A：由的图象，先向左平行移动个单位，得到的图象， 再横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象，正确； 对于B：由先向右平行移动个单位，得到的图象， 再横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，错误； 对于C: 由先横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象， 显然不管怎么左右平移都得不到，错误； 对于D: 由先横坐标伸长到原来的，纵坐标不变，得到的图象， 再向左平行移动个单位，得到的图象，正确； 故选：AD 32．（24-25高一上·吉林长春·期末）将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则（   ） A．为函数图象的一条对称轴 B． C．函数在上单调递增 D．函数的图象与函数的图象交点个数为4 【答案】AC 【分析】利用三角函数平移的性质求得，进而利用三角函数的对称性判断A，同时判断B，利用三角函数的单调性与整体法判断C，利用三角函数与对数函数的图象，数形结合判断D，从而得解. 【详解】对于A，将函数的图象向左平移个单位， 可得到函数的图象， 则， 所以为函数图象的一条对称轴，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，当时，， 而在上单调递增， 根据复合函数的单调性，所以在上单调递增，故C正确； 对于D，对于，其周期为，最大值为， 令，则， 令，则，且， 因为的定义域为，且， 作出与在上的大致图象，如图， 结合图象可知，的与函数的图象交点个数为5，故D错误. 故选：AC. 题型五 求解参数综合（共12小题） 33．（24-25高一上·福建莆田·期末）已知函数在区间上有最大值，没有最小值，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，根据正弦图象，得到不等式，求出答案. 【详解】，时，， 由于在区间上有最大值，没有最小值， 故，解得. 故选：A 34．（24-25高一上·天津·期末）已知，函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为，，可得，函数在上单调递增，得出，，即可求解． 【详解】 ，， ， 则，， 当时，由，解得，又，故； 当时，由，得无解， 同理当时，无解． 故选：B． 35．（24-25高一上·北京·期末）函数在区间上恰有2个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据得，即可得解出即可. 【详解】因为，因为在区间上恰有2个零点， 所以，所以的取值范围为， 故选：B. 36．（24-25高一上·广东广州·期末）函数在区间上有且仅有个零点，则实数ω有（   ） A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值 【答案】D 【分析】令，求出函数的零点，从而列出函数在轴右侧的四个零点，依题意得到，即可求出的取范围，即可得解. 【详解】令 ， 则函数的零点为 , 所以函数在轴右侧的四个零点分别是： ， 函数在有且仅有3个零点， 所以 ，解得，所以实数有最小值为，无最大值. 故选：D 37．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由计算出的取值范围，根据正切函数的单调性可得出，由此可得出关于的不等式组，由此可得出实数的取值范围. 【详解】当时，由于，则， 因为在区间上单调递增，则， 所以，，解得，因此，的取值范围为. 故选：A. 38．（24-25高一上·浙江温州·期末）已知，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦型函数的函数值，求出的表达式即可得解. 【详解】因为， 所以， 解得， 因为，所以的最小值为. 故选：C 39．（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）已知直线是函数（其中）的图象的一条对称轴，且函数在区间上单调，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由是函数的一条对称轴，可得，再根据在区间上单调，则，可得，运算可求得的值. 【详解】由直线是函数的图象的一条对称轴，有，可得， 又由函数在区间上单调，则，可得， 有，有，可得，. 故选：A. 40．（24-25高一上·山西运城·期末）若函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可求出的取值范围，根据正切型函数的单调性可得出集合的包含关系，可得出关于的不等式组，即可求正实数的取值范围. 【详解】因为，则函数在区间上只能单调递增， 当时，， 所以，，其中， 所以，，解得， 由解得，且， 当时，； 当时，则，可得. 综上所述，正实数的取值范围是. 故选：D. 41．（24-25高一上·河南·期末）若函数的最小正周期为，且函数在区间上单调递增，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由函数的周期性求得解析式，进而求得其增区间，再由在区间上单调递增求解. 【详解】解：由题意知，解得，所以， 令，，解得，， 当时，可得在上单调递增， 又函数在区间上单调递增，所以， 即m的取值范围是． 故选：B 42．（24-25高一下·甘肃临夏·期末）设函数，若函数在区间上恰有4个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用三角恒等变换将函数化成正弦型函数，结合给定区间求出的范围，借助于的图象，即可建立关于的不等式，求解即得. 【详解】由 ， 设，由，可得，即， 作出函数的图象. 函数在区间上恰有4个零点， 由图，则，解得. 故选：C. 43．（24-25高一上·重庆·期末）函数，若方程在内有两个不同的解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，画出函数图象，分类讨论，将题意转化为函数与交点个数问题，根据二次函数性质求解即可. 【详解】当时，的图象如图所示， 则，令，则方程为，， 又，当时，若方程在内有两个不同的解， 只需只有一解，即函数与，只有一个交点， 又函数在上单调递减，所以，即； 当时，，方程的解为和， 当时，，当时，无解，显然方程只有一解，不合题意； 当时，，方程的解为和， 当时，，当时，无解，显然方程只有一解，不合题意； 当时，若方程在内有两个不同的解， 只需有两个不同的解， 即函数与，有两个不同的个交点， 又函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以； 综上所述，实数的取值范围为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：此类问题的常用解法是将函数的零点问题转化为方程根的问题，利用数形结合法得到结果，本题的关键是采用换元法，设，将原方程转化为一元二次方程，结合二次函数图象列出不等式，解出即可. 44．（24-25高一上·吉林长春·期末）设函数有个不同零点，则正实数的范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可得在上有3个不同零点，利用正弦函数的性质列出不等式，解出正实数的范围 【详解】当时，令，解得，即在上仅有一个零点， 所以只需在上有3个不同零点即可， 当时，， 所以，即. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于结合正弦函数的性质列不等式，重点关注端点是否取等. 题型六 交点与根的问题（共9小题） 45．（2025·陕西汉中·模拟预测）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】作出函数图像易得交点个数为3. 【详解】曲线与的图像如下， 所以交点个数为3， 故选：B. 46．（24-25高一上·江苏徐州·期末）函数与图象的交点个数为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】A 【分析】在同一坐标系中画出函数与函数交点个数可得答案. 【详解】由题. 在一个周期内，所过5个特殊点对应表格为： 1 0 -1 0 据此可在同一坐标系中画出大致图像如下，由图可得共8个交点. 故选：A 47．（24-25高一上·广东广州·期末）时，函数与的图象交点个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】作出函数图象即可求解. 【详解】在同一直角坐标系中，分别作出与的图象， 根据图象可知：与的图象在有4个交点， 故选：B 48．（24-25高一上·四川泸州·期末）函数与的图象在区间上的交点个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】令，可得，结合正切函数分析求解即可. 【详解】令，即，可得， 且，可得， 所以交点个数为3. 故选：B. 49．（24-25高一上·广东茂名·期末）函数，的图象与直线的交点个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】数形结合可得出结果. 【详解】作出函数，的图象与直线的图象如下图所示： 由图可知，函数，的图象与直线有个交点. 故选：D. 50．（2024·江苏盐城·模拟预测）函数与的图象的交点个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】在同一坐标系中，作出两个函数的图象，根据图象得到交点个数. 【详解】函数与都是偶函数，其中，， 在同一坐标系中，作出函数与的图象，如下图， 由图可知，两函数的交点个数为6. 故选：D 51．（24-25高一上·广东潮州·期末）方程的根的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】在同一坐标系中，画出和的函数图象求解. 【详解】画出和的函数图象， 因为，， 结合图象可得函数与函数图像的交点个数是5个. 故选：A 52．（24-25高一上·河南濮阳·期末）已知函数，若，且，则方程的根的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】分析可知为函数与的交点，结合函数对称性即可得结果. 【详解】因为，， 可知是图象的一个对称中心，是的图象的上顶点， 且点为函数与的交点， 又是图象的一个对称中心， 故关于的对称点也在与的图象上， 结合图象可知：方程的根的个数为3． 故选：C． 53．（24-25高三上·河南周口·期末）当时，曲线与有4个交点，则正实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用方程法有或，，结合已知区间范围有，，根据交点的个数，讨论不同对应不同端点值研究各情况下满足要求的解的个数，即可得范围. 【详解】令，则或， 所以或， 即或，， 当，即，， 当，即，， 由曲线与有4个交点，不同对应不同端点值，讨论如下： 当且时，（不符合）或，无交点； 当且时，（不符合）或，一个交点； 当且时，（不符合）或（不符合）， 或或，两个交点； 当且时，（不符合）或（不符合）或（不符合）， 或或或，三个交点； 当且时，（不符合）或或（不符合）， 或或或，四个交点； 当且时，同上分析易知交点个数超过4个； 综上，正实数的取值范围为. 故选：A 【点睛】关键点点睛：应用方程法得到或，，结合已知区间范围有，，再应用分类讨论研究解的个数为关键. 题型七 含绝对值的三角函数（共3小题） 54．（24-25高三上·湖北随州·月考）（多选）下列函数中，以为周期的函数有（     ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用三角函数的性质以及周期公式逐一计算判断即可. 【详解】对于A，因为，所以最小正周期为， 故A正确； 对于B，因为，所以函数的最小正周期为，故B不正确； 对于C，因为，所以函数的最小周期函数为， 所以也是函数的周期，故C正确； 对于D，因为，所以函数的最小周期函数为， 所以也是函数的周期，故D正确. 故选：ACD. 55．（24-25高一上·浙江杭州·期末）（多选）已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．的最小正周期为π C．在区间上单调递增 D．为奇函数 【答案】BC 【分析】利用函数的周期定义易判断AB项，利用正弦函数的单调性和绝对值函数的图象变换可判断C项，利用奇函数的定义可判断D项. 【详解】对于AB，因， 故的最小正周期不是，故A项错误； 假设存在，对于，都有， 不妨取，则， 而因，，即不存在比更小的正周期， 故的最小正周期是,故B项正确； 对于C，当时，单调递减，且为负值， 将在上的图象沿着轴翻折，即得在上的图象， 故在区间上单调递增，故C项正确； 对于D，因的定义域为， 且，故不是奇函数，即D项错误. 故选：BC. 56．（24-25高一上·陕西西安·期末）（多选）已知函数，则下列关于函数的说法，正确的是（    ） A．的一个周期为 B．的图象关于对称 C．在上单调递增 D．的值域为 【答案】BCD 【分析】利用正弦型数的性质逐项计算判断即可. 【详解】因为， 所以不是函数的周期，故A错误； 因为，由， 解得，故B正确； 因为，所以，所以， 所以在上单调递增，故C正确； 当时，，所以，故D正确. 故选：BCD. 题型八 复合三角函数（共2小题） 57．（24-25高一上·浙江衢州·期末）（多选）已知函数，则（   ） A．是奇函数 B．图象有对称轴 C．是周期函数 D． 【答案】BCD 【分析】利用奇偶性的定义可判断A，B，利用周期函数的定义可判断C，利用三角函数值的大小可以判断D. 【详解】对于A，因为 ，所以是偶函数，A不正确； 对于B，由A可知的图象关于轴对称，B正确； 对于C，,所以是周期函数，C正确； 对于D，， 因为，所以， 因为，且在区间为增函数， 所以，即，D正确. 故选：BCD. 58．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）（多选）已知，则（   ） A．的最小正周期是 B．在上单调递减 C．直线是图象的一条对称轴 D．在上的所有零点和为 【答案】ABC 【分析】本题考查三角函数的性质.有函数周期的定义可得A正确；利用二倍角公式将函数化简为，利用“同增异减”判断复合函数的单调性可得B正确；由可得直线是图象的一条对称轴，C正确；令，可得，求得在上的所有零点分别为，，，，，所有零点之和为.D错误. 【详解】对于A，，所以函数的最小正周期为，A正确； 对于B，，令，，，当时，，根据复合函数单调性可得，在上单调递减，B正确； 对于C，，所以直线是图象的一条对称轴，C正确； 对于D，令，可得，即，化简得，可得或，求得在上的所有零点分别为，，，，，所有零点之和为，D正确. 故选：ABC. 题型九 三角函数的应用（共4小题） 59．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）随着冬天的到来，越来越多的旅客从全国各地来到“尔滨”赏冰乐雪，今年冰雪大世界以“冰雪同梦，亚洲同心”为主题，一睹冰雕雪雕风采的同时还能体验各中冰上项目，如抽尜，大滑梯，摩天轮等.如图所示，某地摩天轮最高点离地面高度128m，最低点离地面高度8m，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转，转一周的时间约为24min，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面高度为hm，下列说法正确的是（   ） A．摩天轮的轮盘直径为60m B．h关于t的函数解析式为 C．h关于t的函数解析式为 D．在游客乘坐一周的过程中，游客有16min时间距地面高度超过38m 【答案】D 【分析】根据摩天轮离地最高距离和最低距离的差值，求出直径判断A；依题意，分别求出得解析式，判断B，C；根据提议，令，求出的取值范围，判断D. 【详解】对于A，因为摩天轮最高点离地面高度128m，最低点离地面高度8m，所以摩天轮的轮盘直径为，故A错误； 对于B，设，则， 令时，则，， 又，解得， 所以，故B，C错误 ； 对于D，， 当距地面高度超过38m时，即，即， 即，解得， 又因为，所以，所以游客有16min时间距地面高度超过38m，故D正确， 故选：D. 60．（24-25高一上·广东深圳·期末）（多选）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，乘客坐在摩天轮慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色．已知摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，开启后按逆时针方向匀速旋转，摩天轮设置有36个座舱，转一周需要30min．游客甲在座舱转到距离地面最近的位置进舱，tmin后距离地面的高度为（单位：m），下述结论正确的是（    ） A． B．甲进舱10分钟后距离地面的高度是82.5m C．在运行一周的过程中，的时间超过10min D．游客乙在甲后的第6个座舱进舱，乙进舱后12min内，存在某一时刻甲、乙距离地面高度相等 【答案】AC 【分析】根据题意建立三角函数模型，先得出解析式，然后结合三角函数的图象与性质判断各选项即可. 【详解】由题意可得是关于的三角函数，以摩天轮轴心为原点， 以与地面平行的直线为横轴建立平面直角坐标系，设摩天轮距地面最近点为P， 则当时，游客甲位于，以OP为终边的一个角为， 而转一圈需要大约30min，可知角速度约为， 由题意可得：，即A正确； 当时，，即B错误； 由， 由正弦函数的性质可得：当时，， 则有， 即高度超过90+2.5米时，时间长为20-10=10min，显然高度达到或超过90米的时间超过10min，故C正确； 甲、乙所在位置分别设为A、B两点，甲乙座舱差6个，则，乙在甲进舱后5min进舱， 故t分钟后甲、乙的高度分别为：，， 由，可得：， 即，可得：， 即，解得，又由题意得，t无解，故D错误. 故选：AC. 61．（24-25高一上·吉林四平·期末）如图，某小区有一块扇形草地，为了给小区的小孩有一个游玩的地方，物业要在其中圈出一块矩形场地作为儿童乐园使用，其中点在弧上，点分别在线段上，且，设. (1)若，求矩形的面积； (2)求矩形的面积的最大值，并求出此时弧的长度. 【答案】(1) (2)，此时弧MN长度为 【分析】（1）作，垂足为，交于，在直角三角形中表示，，，从而得到，再由面积公式及二倍角公式计算可得； （2）结合（1）可得，，则利用二倍角公式和辅助角公式得，结合正弦函数的性质计算最值可得时，矩形的面积取最大，利用弧长公式求解弧长即可得解. 【详解】（1）作，垂足为，交于， 由于四边形为矩形，即，关于直线对称， 则，，则，， 而，故为等腰直角三角形，则， 故， 则； （2）因为，则，，而， 故为等腰直角三角形，则， 故， 则矩形的面积 ，因为，所以当即时， 取最大值， 所以，此时弧的长度为. 62．（24-25高三上·贵州六盘水·月考）近年来，六盘水市认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向．为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域OMN内修建矩形水池ABCD，矩形一边AB在OM上，点C在圆弧MN上，点D在边ON上，且，米，设．    (1)求扇形OMN的面积； (2)求矩形ABCD的面积； (3)当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值． 【答案】(1)平方米 (2)， (3)； 【分析】（1）由扇形面积公式可得； （2）利用直角三角形利用半径与分别表示出，进而可得矩形面积表达式； （3）利用辅助角公式将化简变形，结合角的范围求最大值可得. 【详解】（1）由题意，，扇形半径即米， 则扇形OMN的面积为平方米. （2）在中，，， 在中，，则， ∴ 则停车场面积 ，. 所以，其中． （3），其中． 由， 则当时，即时，. 当时，取得最大值，最大值为. 题型十 解答题综合（共11小题） 63．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数． (1)求图象的对称轴方程； (2)求在区间上的单调递增区间． 【答案】(1) (2)和和， 【分析】（1）代入正弦函数的对称轴公式，即可求解； （2）首先求的范围，再根据正弦函数的单调性，即可求解. 【详解】（1）函数，令， 得， 所以图象的对称轴方程为； （2）当，， 当，得，即在区间上函数单调递增， 当，得，即在区间上函数单调递减， 当，得，即在区间上函数单调递增， 当，得，即在区间上函数单调递减， 当，得，即在区间上函数单调递增， 所以函数在区间上的单调增区间是和和， 64．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间上的最大值和最小值． (3)若函数在区间上有且仅有一个零点，求实数k的取值范围． 【答案】(1)； (2)的最小值、最大值分别为、1； (3). 【分析】（1）根据函数的图象及正弦型函数的性质求参数，即可得解析式； （2）由图象平移写出的解析式，结合正弦型函数的性质求区间最值； （3）问题化为在上只有一个解，由正弦型函数性质求的区间单调性及对应值域，即可得参数范围. 【详解】（1）由题设，则，故， 由，则，即， 又，则，故； （2）由题意， ，则，则； 所以的最小值、最大值分别为、1； （3），则， 由在上单调递增，对应值域为； 在上单调递减，对应值域为； 函数在区间上有且仅有一个零点， 即在上只有一个解，故. 65．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）已知函数的最小正周期为． (1)求函数的单调区间； (2)解不等式：． 【答案】(1)单减区间为，无增区间 (2) 【分析】（1）求出，得到函数解析式，令，求出递减区间，无递增区间； （2）得到，结合图象，得到不等式解集. 【详解】（1），故，解得， 故，其中的递增区间为的递减区间， 令，解得， 故的递减区间为，无递增区间； （2），，故， ，，解得. 66．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数． (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)若函数，求在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1)最小正周期为，单调递增区间为 (2)最大值和最小值分别为1和-2 【分析】（1）根据周期公式来计算.求单调递增区间则要整体代换构造不等式求解.（2）先对函数进行化简，再结合给定区间分析函数值的变化情况来确定最值 【详解】（1）设的最小正周期为，则． 令，解得， 所以的单调递增区间为 （2）因为，所以 因为，所以， 所以， 所以，即在区间上的最大值和最小值分别为1和-2． 67．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数 (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)求在区间上的最值，并求出取得最值时x的值； (3)若不等式在区间上恒成立，求m的取值范围． 【答案】(1)最小正周期为； (2)答案见解析； (3) 【分析】（1）由正弦函数的性质求解周期和单调递增区间即可； （2）由函数的单调性可得函数的最值； （3）令，将不等式转化为关于的一元二次不等式，结合二次函数的性质求解即可； 【详解】（1）最小正周期， 令，解得， 所以单调递增区间为. （2）因为，所以在上单调递增， 所以当时，取得最小值为； 当时，取得最大值为 （3）当时，为增函数， ， 所以， 令，则， 不等式在区间上恒成立等价于在上恒成立， 令，开口向上，对称轴为， 当时，在上单调递增，则，与矛盾，舍去； 当时，在上单调递减，则，与矛盾，舍去； 当时，， 综上m的取值范围是. 68．（24-25高一上·浙江丽水·期末）已知函数的部分图象如图所示.    (1)求的解析式； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象. 当时，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据图象，利用的图象与性质，可得，再利用，即可求解； （2）根据条件得到，再利用的图象与性质，即可求解. 【详解】（1）由图可得， 函数的最小正周期为，又，则， 所以， 又因为，得， 因为，则，所以，解得， 所以. （2）将函数的图象向左平移个单位长度， 可得到函数， 再将所得图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象， 则. 当时，则，所以，则. 所以的值域为. 69．（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知函数，且. (1)求的最小正周期和的值； (2)求在区间上的最大值和最小值； (3)若，且，求的取值集合. 【答案】(1)， (2)最大值，最小值 (3) 【分析】（1）由周期公式直接求周期，由得方程，结合的范围即可得解. （2）由的范围结合的性质即可求解； （3）由得，结合正弦函数性质得不等式，结合解该不等式即可求解. 【详解】（1）的最小正周期， 因为，所以，即， 所以，又，所以取，. （2）由（1）知， 因为，所以， 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以，即时，取得最大值， 因为， 所以，即时，取得最小值； （3）由得， 所以， 所以， 又，所以只能取，得， 即. 70．（24-25高一上·广西河池·期末）函数在区间上的最大值为6. (1)求常数的值； (2)求函数的单调递增区间； (3)把函数图象上各点向右平移个单位长度得到函数，求函数的对称中心坐标. 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）先根据辅助角公式化简函数的解析式，再根据正弦函数在区间上的最值即可求得常数的值； （2）由，求解可得函数的单调递增区间； （3）根据题意可得变换后的函数解析式为，再根据余弦函数的对称中心结合整体思想即可求解． 【详解】（1） 因为，所以， 所以，所以， 所以， 所以函数的最大值为， 所以，得； （2）由（1）得. 由，解得. 所以函数的单调递增区间为 （3）由（1）得，把函数的图象上各点向右平移个单位长度得函数. 令，解得 所以，函数的对称中心坐标为. 71．（24-25高一上·重庆黔江·期末）已知函数. (1)当时，求的值域； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)若对任意均成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）代入化简得，再设，转化为二次函数求解值域即可； （2），同（1）采用换元法得，根据复合函数单调性即可得到不等式，解出即可； （3）转化为，再对进行分类讨论即可. 【详解】（1）当时，， 令，则，， 所以，， 则，即的值域为. （2）， 令，则， 则， 当时，，则，且t关于x单调递增， 因为在是单调递增的，所以在单调递增， 则有，解得. （3）对于任意的，，均有， 则有， 即，，有， ①当，则有， 即，解得，又因为，则无解； ②当，则有， 即，解得，又因为，则无解； ③当，即时，则有， 即，解得， ④当，即时，则有， 即，解得， 综上，. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是利用含参二次函数最值模型，对对称轴的范围进行分类讨论即可. 72．（24-25高一上·安徽安庆·期末）已知函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)求函数图象的对称中心坐标； (3)当时，方程有两个不相等的实数根且，求的值. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）由最大值和最小值求得A，B的值，由以及可得的值，再由最高点可求得的值，即可得的解析式； （2）由正弦函数的对称中心，利用整体代入法可得对称中心； （3）根据方程在上有两个不相等的实数根，可得， 【详解】（1）由图象知，又， 故， 由图象可知，得， 由于，故，所以. （2）令，解得， 所以函数图象的对称中心坐标为. （3）由，所以， 又方程在有两个不相等的实数根且， 所以，所以， 且， 又，即， 所以， 又， 因为， 所以， 即的值为. 73．（24-25高一上·江苏徐州·期末）已知函数（，，）的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)直接写出函数的增区间及取得最大值时的集合； (3)若关于的方程在上有四个不同的实数根，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)单增区间为，取得最大值时的集合 (3) 【分析】（1）根据振幅和周期可得，代入最值点即可求， （2）利用整体法即可求解， （3）根据三角恒等变换可将问题转化为在上有四个不同的实数根，利用换元以及三角函数的图象，进一步将问题转化为在上有两个不相等的实数根，即可分离常数，结合对勾函数的图象求解. 【详解】（1）由图可知周期，故, 此时， 代入可得,故，解得 由于，故取，， （2）,解得， 故单增区间为， 由可得,故，解得， 故取得最大值时的集合 （3）由可得，， 即在上有四个不同的实数根， 令，则， ，则，， 令,则,如图， 要使在上有四个不同的实数根， 则需要在上有两个不相等的实数根 故， 由于时，无解，故，则， 令则且，故， 由于在单调递减，此时至多一个实数根，不符合题意， 故，如图： 当时，， 当且仅当时，取等号， 故 【点睛】方法点睛：已知函数有零点或方程有根求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． $专题10 三角函数的图象与性质、伸缩平移变换 及三角函数的应用 题型1 五点作图法画三角函数的图象 题型6 交点与根的问题（重点） 题型2 三角函数的图象与性质综合（重点） 题型7 含绝对值的三角函数（难点） 题型3 由函数图象求解析式及性质（重点） 题型8 复合三角函数（难点） 题型4函数的伸缩偏移变换（重点） 题型9 三角函数的应用 题型5 求解参数综合（难点） 题型10 解答题综合（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 五点作图法画三角函数的图象（共5小题） 1．（24-25高一上·山东枣庄·期末）已知函数． (1)请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象； (2)写出的单调递增区间． 2．（25-26高一上·吉林·期末）已知函数过原点. (1)求的值； (2)求函数在上的零点； (3)如表是应用“五点法”进行的列表，请填写表中缺失的数据. 3．（24-25高一上·福建厦门·期末）已知函数． (1)补全下列表格，用“五点法”画出在区间的大致图象； 0 x (2)将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，求的单调递增区间和对称中心的坐标． 4．（24-25高一上·云南昆明·期末）设函数，满足，函数图象的一个对称中心为. (1)求的最小正周期； (2)用“五点法”画出函数在区间上的简图. 5．（24-25高一上·河北保定·期末）设，函数的最小正周期为，且. (1)求和的值； (2)在给定坐标系中作出函数在上的图象； (3)若，求的取值范围. 题型二 三角函数的图象与性质综合（共10小题） 多选题 6．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．函数的最小正周期是 B．函数在区间上是增函数 C．直线是函数图象的一条对称轴 D．函数的图象可以由函数的图象向左平移个单位长度而得到 7．（24-25高一上·广东广州·期末）已知函数，下列选项中正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．在上单调递增 D．在上值域为 8．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．的值域为 C．的图象关于直线对称 D．有1个零点是 9．（24-25高一上·江苏常州·期末）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．在区间上单调递减 C．点是图象的一个对称中心 D．将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于轴对称 10．（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）已知函数（其中），则下列说法正确的是（   ） A．当时，函数的最小正周期为1 B．若，，且，则的最小值为 C．若将函数的图象向左平移个单位，得到的函数为奇函数，则的最小值为 D．若函数在区间上有3个零点，则的取值范围为 11．（24-25高一上·山东枣庄·期末）已知函数，下列选项正确的有（   ） A．的最小正周期为π B．的对称轴可以是 C．在区间上只有一个零点 D．函数在区间的值域为 12．（24-25高一上·湖北·期末）已知函数，则（   ） A．函数的最小正周期为 B．函数的定义域为 C．函数的图象的对称中心为 D．函数的单调递增区间为 13．（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末）已知，且，则以下正确的有（   ） A． B．值域为 C．在上单调递增 D． 14．（24-25高一上·新疆昌吉·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是的一条对称轴 B．的对称中心是 C．在区间上的值域是 D．将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则 15．（23-24高一下·河南驻马店·月考）若函数，则（    ） A．在上单调递增 B．的图象关于点对称 C．，为定值 D．函数的图象关于点对称 题型三 由函数图象求解析式及性质（共10小题） 多选题 16．（24-25高一下·湖北·月考）已知函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是（    ） A．的图像关于直线对称 B．的图像关于点对称 C．将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像 D．若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是 17．（24-25高一上·云南曲靖·期末）某个简谐运动可以用函数（，），来表示，其中部分图象如图所示，则（   ） A． B．该简谐运动的频率为，初相为 C．直线是的一个对称轴 D．点是曲线的一个对称中心 18．（24-25高一上·浙江杭州·期末）函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（   ）    A． B． C．是函数的一条对称轴 D．是函数的对称中心 19．（24-25高一上·河南许昌·期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列选项中正确的是（   ） A．的一个周期是 B．函数的图象关于点对称 C．函数的图象关于直线对称 D．函数在区间上单调递增 20．（24-25高一上·广西柳州·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A．将的图象向右平移个单位，得到的图象 B． C．，都有 D．为函数的一条对称轴 21．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列命题正确的是（    ） A． B． C．将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，是奇函数 D．方程在上有两个根，则 22．（24-25高一上·云南玉溪·期末）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A． B．函数的图象关于直线对称 C．函数为偶函数 D．函数在上的最小值为 23．（24-25高一上·云南昭通·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B． C．的图象与轴的交点坐标为 D．函数的图象关于直线对称 24．（24-25高一上·宁夏银川·期末）已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于直线对称 C．函数在单调递减 D．函数的图象关于对称 25．（24-25高一上·山西晋中·期末）已知函数（，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）    A． B．的图象关于直线对称 C．在区间上有且只有2个零点 D．若（），则 题型四 函数的伸缩偏移变换（共7小题） 多选题 26．（24-25高一上·福建莆田·期末）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ） A．右移个单位 B．左移个单位 C．右移个单位 D．左移个单位 27．（24-25高一上·河北沧州·期末）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A． B． C．的图象关于直线对称 D．的图象关于直线对称 28．（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末）将函数的图象向左平移个单位长度后对应的函数为奇函数，则的可能取值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 29．（24-25高一上·陕西西安·期末）为了得到函数的图象，只需把正弦曲线上所有的点（    ） A．先向右平移个单位长度，再将横坐标缩短到原米的，纵坐标不变 B．先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．先将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 D．先将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 30．（2024·贵州六盘水·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则（    ） A．为函数图象的一条对称轴 B． C．函数在上单调递增 D．函数的图象与函数的图象交点个数为5 31．（24-25高一上·云南昭通·期末）为得到函数的图象，只需把正弦曲线上的所有点（   ） A．先向左平行移动个单位，再横坐标缩短到原来的，纵坐标不变； B．先向右平行移动个单位，再横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变： C．先横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平行移动个单位： D．先横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平行移动个单位； 32．（24-25高一上·吉林长春·期末）将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则（   ） A．为函数图象的一条对称轴 B． C．函数在上单调递增 D．函数的图象与函数的图象交点个数为4 题型五 求解参数综合（共12小题） 33．（24-25高一上·福建莆田·期末）已知函数在区间上有最大值，没有最小值，则的范围是（    ） A． B． C． D． 34．（24-25高一上·天津·期末）已知，函数在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 35．（24-25高一上·北京·期末）函数在区间上恰有2个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 36．（24-25高一上·广东广州·期末）函数在区间上有且仅有个零点，则实数ω有（   ） A．最大值 B．最大值 C．最小值 D．最小值 37．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 38．（24-25高一上·浙江温州·期末）已知，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 39．（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）已知直线是函数（其中）的图象的一条对称轴，且函数在区间上单调，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 40．（24-25高一上·山西运城·期末）若函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 41．（24-25高一上·河南·期末）若函数的最小正周期为，且函数在区间上单调递增，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 42．（24-25高一下·甘肃临夏·期末）设函数，若函数在区间上恰有4个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 函数在区间上恰有4个零点， 43．（24-25高一上·重庆·期末）函数，若方程在内有两个不同的解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 44．（24-25高一上·吉林长春·期末）设函数有个不同零点，则正实数的范围为（   ） A． B． C． D． 题型六 交点与根的问题（共9小题） 45．（2025·陕西汉中·模拟预测）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 46．（24-25高一上·江苏徐州·期末）函数与图象的交点个数为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 47．（24-25高一上·广东广州·期末）时，函数与的图象交点个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 48．（24-25高一上·四川泸州·期末）函数与的图象在区间上的交点个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 49．（24-25高一上·广东茂名·期末）函数，的图象与直线的交点个数为（    ） A． B． C． D． 50．（2024·江苏盐城·模拟预测）函数与的图象的交点个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 51．（24-25高一上·广东潮州·期末）方程的根的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 52．（24-25高一上·河南濮阳·期末）已知函数，若，且，则方程的根的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 53．（24-25高三上·河南周口·期末）当时，曲线与有4个交点，则正实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型七 含绝对值的三角函数（共3小题） 54．（24-25高三上·湖北随州·月考）（多选）下列函数中，以为周期的函数有（     ） A． B． C． D． 55．（24-25高一上·浙江杭州·期末）（多选）已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．的最小正周期为π C．在区间上单调递增 D．为奇函数 56．（24-25高一上·陕西西安·期末）（多选）已知函数，则下列关于函数的说法，正确的是（    ） A．的一个周期为 B．的图象关于对称 C．在上单调递增 D．的值域为 题型八 复合三角函数（共2小题） 57．（24-25高一上·浙江衢州·期末）（多选）已知函数，则（   ） A．是奇函数 B．图象有对称轴 C．是周期函数 D． 58．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）（多选）已知，则（   ） A．的最小正周期是 B．在上单调递减 C．直线是图象的一条对称轴 D．在上的所有零点和为 题型九 三角函数的应用（共4小题） 59．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期末）随着冬天的到来，越来越多的旅客从全国各地来到“尔滨”赏冰乐雪，今年冰雪大世界以“冰雪同梦，亚洲同心”为主题，一睹冰雕雪雕风采的同时还能体验各中冰上项目，如抽尜，大滑梯，摩天轮等.如图所示，某地摩天轮最高点离地面高度128m，最低点离地面高度8m，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转，转一周的时间约为24min，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面高度为hm，下列说法正确的是（   ） A．摩天轮的轮盘直径为60m B．h关于t的函数解析式为 C．h关于t的函数解析式为 D．在游客乘坐一周的过程中，游客有16min时间距地面高度超过38m 60．（24-25高一上·广东深圳·期末）（多选）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，乘客坐在摩天轮慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色．已知摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，开启后按逆时针方向匀速旋转，摩天轮设置有36个座舱，转一周需要30min．游客甲在座舱转到距离地面最近的位置进舱，tmin后距离地面的高度为（单位：m），下述结论正确的是（    ） A． B．甲进舱10分钟后距离地面的高度是82.5m C．在运行一周的过程中，的时间超过10min D．游客乙在甲后的第6个座舱进舱，乙进舱后12min内，存在某一时刻甲、乙距离地面高度相等 61．（24-25高一上·吉林四平·期末）如图，某小区有一块扇形草地，为了给小区的小孩有一个游玩的地方，物业要在其中圈出一块矩形场地作为儿童乐园使用，其中点在弧上，点分别在线段上，且，设. (1)若，求矩形的面积； (2)求矩形的面积的最大值，并求出此时弧的长度. 62．（24-25高三上·贵州六盘水·月考）近年来，六盘水市认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向．为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域OMN内修建矩形水池ABCD，矩形一边AB在OM上，点C在圆弧MN上，点D在边ON上，且，米，设．    (1)求扇形OMN的面积； (2)求矩形ABCD的面积； (3)当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值． 题型十 解答题综合（共11小题） 63．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数． (1)求图象的对称轴方程； (2)求在区间上的单调递增区间． 64．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在区间上的最大值和最小值． (3)若函数在区间上有且仅有一个零点，求实数k的取值范围． 65．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）已知函数的最小正周期为． (1)求函数的单调区间； (2)解不等式：． 66．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数． (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)若函数，求在区间上的最大值和最小值． 67．（24-25高一上·云南曲靖·期末）已知函数 (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)求在区间上的最值，并求出取得最值时x的值； (3)若不等式在区间上恒成立，求m的取值范围． 68．（24-25高一上·浙江丽水·期末）已知函数的部分图象如图所示.    (1)求的解析式； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象. 当时，求的取值范围. 69．（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知函数，且. (1)求的最小正周期和的值； (2)求在区间上的最大值和最小值； (3)若，且，求的取值集合. 70．（24-25高一上·广西河池·期末）函数在区间上的最大值为6. (1)求常数的值； (2)求函数的单调递增区间； (3)把函数图象上各点向右平移个单位长度得到函数，求函数的对称中心坐标. 71．（24-25高一上·重庆黔江·期末）已知函数. (1)当时，求的值域； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)若对任意均成立，求的取值范围. 72．（24-25高一上·安徽安庆·期末）已知函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)求函数图象的对称中心坐标； (3)当时，方程有两个不相等的实数根且，求的值. 73．（24-25高一上·江苏徐州·期末）已知函数（，，）的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)直接写出函数的增区间及取得最大值时的集合； (3)若关于的方程在上有四个不同的实数根，求实数的取值范围. $