专题08 函数的应用（零点与方程的根、函数模型）（期末复习讲义，10大重难题型+3阶分层过关）高一数学上学期人教A版

该高中数学期末复习讲义通过核心考点表格系统梳理函数应用知识，将零点与方程的根、函数模型两大模块分解为7个核心考点，结合复习目标和考情规律构建知识网络，并用知识点框架图呈现零点概念、存在性定理及函数模型的内在联系，突出高频考点和易错点。 讲义亮点在于分层练习设计与数学建模素养培养，如题型七以茶叶水温问题为例构建分段函数模型，题型八通过药物衰减问题应用指数函数模型，解题技巧强调图象法和单调性分析，培养数学思维。基础通关练与重难突破练满足不同学生需求，助力教师实施精准教学。

专题08 函数的应用（零点与方程的根、函数模型） （期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 7.1 函数零点的概念与求法 能理解零点的定义，会求简单函数的零点（令f(x)=0求解）。 概念理解题。 7.2 零点存在性定理的理解与应用 能判断函数在区间[a,b]上是否连续，并验证f(a)·f(b)<0，从而判断零点存在性。 高频考点，易错在“连续”条件的忽视。 7.3 判断函数零点（方程根）的个数 能通过图象法（两个函数图象的交点）或单调性法判断零点个数。 常见中等题，数形结合思想的典型应用。 7.4 二分法求方程近似解的原理与步骤 能叙述二分法的原理和操作步骤，理解其“逐步逼近”的思想。 了解性考点，通常不要求具体计算。 7.5 一次、二次函数模型的应用 能根据实际问题建立直线或二次函数模型解决最优值等问题。 基础应用模型。 7.6 指数函数、对数函数模型的应用（增长、衰减、复利等） 能识别指数增长/衰减的特征，并建立相应模型解决实际问题。 期末应用题压轴题型，符合当前命题趋势。 7.7 函数模型的选择与评价 能根据数据特征或散点图选择适当的函数模型，并对结果进行合理性分析。 考查数学建模核心素养的最高层次 知识点01 函数零点的定义 一般地，对于函数，把使 叫作函数的零点.函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图象与轴的交点的横坐标. 方程、函数、函数图象之间的关系： 方程有实数解函数的图象 函数 . 知识点02 函数零点存在性定理 如果函数在区间上的图象是 的一条曲线，且有 ，那么函数在区间内 零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. 知识点03 函数单调性对零点个数的影响 如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断函数是否单调 知识点04 几个“不一定”与“一定”（假设在区间连续） （1）若，则“一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点。要分析的性质与图象，如果单调，则“一定”只有一个零点 （2）若，则“不一定”存在零点，也“不一定”没有零点。如果单调，那么“一定”没有零点 （3）如果在区间中存在零点，则的符号是“不确定”的，受函数性质与图象影响。如果单调，则一定小于0 知识点05 零点与单调性配合可确定函数的符号 是一个在单增连续函数，是的零点，且，则时，；时， 知识点06 证明零点存在的步骤 （1）将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数 （2）判断是否要对表达式进行合理变形，然后将表达式设为函数 （3）分析函数的性质，并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间 （4）利用零点存在性定理证明零点存在 知识点07 三种函数模型的性质 函数 性质 y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝xn (n>0) 在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 知识点08 常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 幂函数模型 f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠0) 知识点09 解函数模型问题的步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型． (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型． (3)解模：求解数学模型，得出数学结论． (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如下： 题型一 求函数的零点及零点个数 解｜题｜技｜巧 （1） 函数零点即函数值为0时的自变量值，解方程(f(x)=0)可得零点。 （2）结合区间端点、特殊点的函数值，辅助确认零点是否存在及个数（如端点值异号则区间内有零点）。 【典例1】（25-26高一上·江苏淮安·期中）函数的零点为（   ） A．、 B．、 C．、 D．、 【典例2】（24-25高一上·陕西榆林·期末）已知函数的零点为，的零点为，则 . 【典例3】（24-25高一上·新疆·期末）函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【典例4】（24-25高一上·福建福州·期末）函数的零点个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1】（24-25高一上·云南昭通·期末）已知函数，则函数的零点是 . 【变式2】（24-25高一上·上海嘉定·期末）函数的零点是 . 【变式3】（24-25高一上·云南昆明·期末）函数的零点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式4】（24-25高一上·江苏无锡·期末）函数的零点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型二 用零点存在性定理判断零点所在区间 解｜题｜技｜巧 （1） 确认函数在区间([a,b])上连续（如多项式、指对数函数等基本函数的组合通常连续）。 （2） 计算区间端点的函数值(f(a))和(f(b))，若(f(a)f(b)<0)，则区间内至少有一个零点。 （3）结合函数单调性，可进一步判断区间内零点的唯一性。 【典例1】（24-25高一上·江苏盐城·期末）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高一上·广东茂名·期末）“函数满足”是“函数在区间上有零点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】（24-25高一上·江西吉安·期末）已知函数，则的零点所在大致区间为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·河南开封·期末）已知是函数的零点，且，，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高一上·全国·期中）已知函数的图象在上是连续不断的，则“”是“方程在内至少有两个解”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型三 二分法及其应用 【典例1】（24-25高一上·安徽宣城·期末）已知函数，利用二分法求的零点的近似值，若零点的初值区间为，精确度为，则可以是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高一上·山东淄博·期末）下列函数零点不能用二分法求出的是（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2025高三下·全国·专题练习）下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（   ） A．   B．     C．   D．   【变式1】（24-25高一上·山东济宁·期末）已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·湖北·期末）下列函数图象与x轴均有交点，且已知其解析式，不能用二分法求图中函数零点的是（    ） A．   B．   C．   D．   题型四 求方程的根及根的个数 解｜题｜技｜巧 （1） 将方程变形为(f(x)=0)，方程的根等价于函数(f(x))的零点。 （2） 分析函数(f(x))的单调性、根据极值（跨章节）的正负判断函数与x轴的交点数。 （3）结合函数定义域和极限趋势，综合判断根的个数。 【典例1】（24-25高一上·广东潮州·期末）方程的根的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【典例2】（24-25高一上·河南濮阳·期末）已知函数，若，且，则方程的根的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例3】（24-25高一上·上海·期末）函数，其中是一个常数，计算知，则方程的根所在的区间是（     ） A． B． C． D．无法确定 【典例4】已知是方程的根,是的根,则（    ） A．1 B． C．2 D．4 【变式1】（24-25高一上·河南·期中）方程的根的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，则方程的根的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3】（23-24高一上·江西吉安·期末）下列区间内存在方程的根的是（    ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25高一上·山东烟台·月考）设方程的根为，方程的根为，则的值为 ． 题型五 求图象的交点及交点个数 【典例1】（24-25高一上·湖南衡阳·期末）函数的图象与x轴的交点个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例2】（25-26高一上·广东深圳·开学考试）函数与的图像有四个交点，则（    ） A． B． C． D． 【典例3】（24-25高一上·四川泸州·期中）已知函数，若函数的图象与函数的图象有3个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·月考）函数的图象与函数的图象交点个数为 . 【变式2】（25-26高一上·辽宁·期中）设函数，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A．－1 B． C．1 D．2 【变式3】（25-26高一上·辽宁沈阳·月考）已知函数，曲线和恰有一个交点，则（   ） A．1 B．-1 C． D．0 【变式4】（24-25高一上·福建厦门·期末）设函数，，若曲线与恰有3个交点，则（   ）． A． B．1 C．或1 D．2 题型六 函数与方程的综合应用 【典例1】（24-25高一上·山西晋中·期末）已知函数有唯一零点，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高一上·天津·期末）若函数恰有3个零点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【典例3】（24-25高一上·上海·期末）已知函数是定义在上偶函数，当时，，若函数仅有4个零点.则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【典例4】（24-25高一上·天津河北·期末）已知函数方程有四个不同的实数根，从小到大依次为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】存在实数使得函数有唯一零点，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·广东佛山·期末）若关于的方程有两相异实根，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一上·广东江门·期末）已知函数 若方程有个实数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4】（24-25高一上·北京密云·期末）已知函数函数．若有四个不同的零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式5】（24-25高一上·江苏连云港·期末）已知函数，若存在实数，使得方程有个不同的实数根、、、，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6】（24-25高一上·重庆江北·期末）已知函数若函数恰有5个零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型七 分段函数模型 【典例1】（24-25高一上·安徽马鞍山·期末）茶叶是中国文化元素的重要象征之一，饮茶习俗在中国源远流长．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，已知某种茶叶的茶水温度（单位：）和泡茶时间（单位：）满足关系式，若喝茶的最佳口感水温大约是，则需要等待的时间为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高一上·山东滨州·期末）某厂生产某种产品的年固定成本为300万元，每年生产万件，需增加投入成本为万元．当年产量不足9万件时，；当年产量不小于9万件时，．通过市场分析，每件产品售价定为500元，且该厂年内生产的产品能全部销售出去，获得的年利润为万元．（利润＝销售收入一总成本） (1)求年利润的函数解析式； (2)求年产量为多少时，该厂的年利润最大？ 【变式1】（24-25高一上·河南信阳·期末）数学建模，就是根据实际问题建立数学模型，对数学模型进行求解，然后根据结果去解决实际问题．小明和他的数学建模小队现有这样一个问题：提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，那么，怎样才可以提高呢？我们理想化地建立这样一个关系，在一般情况下，大桥上的车流速度单位：千米/小时是车流密度单位：辆/千米的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明，当时，车流速度v是车流密度x的一次函数．问：当车流密度多大时，车流量单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时可以达到最大？（    ） A．60 B．100 C．140 D．180 【变式2】（24-25高一上·贵州黔南·期末）在辽阔的中华大地上，农村的医疗服务一直是国家关注的焦点.随着时代的进步和社会的发展，国家正致力于提高农村医疗服务水平，以保障广大农民的健康权益.某公司为了满足市场需求，进一步增加市场竞争力，计划自主研发新型基础型CT机.已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为200台.每生产x台，需另投入成本万元，且.由市场调研知，该产品每台的售价为150万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. (1)写出年利润（单位：万元）关于年产量x（单位：台）的函数解析式.（利润销售收入成本） (2)当该产品的年产量为多少时，该公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【变式3】（24-25高一上·江西抚州·期末）曾经的广告词“喝临川贡酒，扬才子豪情”响彻大半个中国．如今再次重新出发，抚州市打造以产业经济振兴文化抚州．临川贡酒公司决定将一款高端贡酒大量投放市场，已知临川贡酒公司生产此款高端贡酒年固定研发成本为万元，每生产一瓶此高端贡酒需另投入元．设该公司一年内生产该款高端贡酒万瓶且全部售完，每万瓶的销售收入为万元．且． (1)写出年利润（万元）关于年产量（万瓶）的关系式：（利润销售收入成本） (2)当年产量为多少万瓶时，该公司这款高端酒获得的利润最大，并求出最大利润． 题型八 指数函数模型 【典例1】（24-25高一上·湖北武汉·期末）一种药在病人血液中会以每小时的比例衰减，这种药在病人血液中低于时病人就有危险，现给某病人的静脉首次注射了这种药，那么再次向病人补充这种药的时间间隔不能超过（    ）（，精确到） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高一上·河南驻马店·期末）某放射性物质在衰减过程中，其质量与年数满足关系式（为初始质量，，为常数，）．已知该放射物质经过4年，其质量变为初始质量的，若再经过8年，该放射性物质的质量变为初始质量的（   ） A． B． C． D． 【典例3】（24-25高一上·福建三明·期末）牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，经过分钟后的温度满足，称为半衰期，其中是环境温度．若，现有一杯的热水降至用时2分钟，那么水温从降至，用时为（   ） （参考数据：） A．3分钟 B．4分钟 C．5分钟 D．6分钟 【变式1】（24-25高一上·四川绵阳·期末）将甲桶中的溶液缓慢注入空桶乙中，经过后甲桶中剩余的溶液量符合指数衰减曲线.假设经过甲桶和乙桶中的溶液量一样，则乙桶中的溶液达到共需要注入的时间约为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·广东广州·期末）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有的物体，放在的空气中冷却，以后物体的温度降为.若将的物体放在的空气中冷却，则物体温度降为所需要的冷却时间为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一上·贵州黔东南·期末）垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务.已知某种垃圾的分解率与时间（月）近似满足关系（其中，），经过24个月，这种垃圾的分解率为,经过48个月，这种垃圾的分解率为，则这种垃圾完全分解大约需要经过（    ）个月. （参考数据：） A．80 B．90 C．100 D．120 题型九 对数函数模型 【典例1】（25-26高一上·上海·期中）中国的5G技术领先世界，在5G技术中，最大数据传输速率取决于信道带宽，与满足，其中称为信噪比（单位：）．若不改变带宽，初始信噪比为1000，那么为了使增加，需要将信噪比从1000提升至大约（    ） A．5000 B．6000 C．7000 D．8000 【典例2】（24-25高一上·广东阳江·期末）大部分大西洋蛙鱼每年都要逆流而上游回出生地产卵.研究蛙鱼的科学家发现蛙鱼的游速单位：可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.若蛙鱼的游速每增加，则它的耗氧量的单位数是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【变式1】（24-25高一上·河南许昌·期末）假设在不考虑空气阻力的条件下，某型号火箭的最大速度v（单位：）和燃料的质量M（单位：）、火箭（除燃料外）的质量m（单位：）的函数关系是（k为大于0的常数）．已知当燃料质量是火箭质量的15倍时，火箭的最大速度，则当燃料质量是火箭质量的63倍时，火箭的最大速度（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·上海·期中）在有声世界里，声强级是表示声强度相对大小的指标，其值[单位：（分贝）]定义为，其中为声场中某点的声强度，其单位为（瓦/平方米），为基准值.则声强级为时的声强度是声强级为时的声强度的（    ）倍 A．10 B．100 C．1.2 D．12 【变式3】（25-26高一上·广东东莞·期中）近年来，“北斗”指路、“天宫”览胜、“墨子”传信、“嫦娥”问月，中国航天硕果累累，令国人倍感自豪.这些航天器的发射中，都遵循“理想速度方程”：，其中是理想速度（单位：），是燃料燃烧时产生的喷气速度（单位：），是火箭起飞时的燃料与火箭质量的总和（单位：），是火箭自身的质量（单位：）.小婷同学所在社团向有关部门申请，准备制作一个试验火箭，得到批准后，她们利用某民用燃料燃烧时产生的喷气速度为，火箭自身的质量为，火箭起飞时燃料的质量为，在不计空气阻力等因素影响的理想状态下发射，该试验火箭的理想速度大约为（    ）（，） A． B． C． D． 题型十 建立拟合函数模型解决实际问题 【典例1】（24-25高一上·广东深圳·期末）近年来，我国自主研发芯片的市场需求增长迅速.某公司自2020年起，每年统计其芯片的年销售数量.将2020年记为第0年，统计数据如下表所示： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 时间年 0 1 2 3 4 年销售数量万片 100 150 225 337.5 506.25 (1)在平面直角坐标系中，以为横轴，为纵轴，根据表格中的数据画出散点图； (2)为了描述年销售数量与时间的关系，现有以下三种数学模型供选择： ①②③ （i）根据数据特点，选出最合适的函数模型，说明理由，并求出相应的函数解析式； （ii）根据（i）中所选模型，预测该公司芯片的年销售数量在哪一年会首次超过2000万片？（参考数据：） 【典例2】（24-25高一上·山西运城·期末）为了振兴乡村经济，某地政府利用电商平台为乡村进行直播带货，既方便了人们购物和交流，又有效地解决了农产品销售困难的问题．为了支持家乡的发展，越来越多的人注册成为某电商平台的会员进行购物和交流．已知该平台建立前3年的会员人数如下表所示： 建立平台年数x 1 2 3 会员人数y（千人） 14 20 29 为了描述建立平台年数与该平台会员人数（千人）的关系，现有以下三种函数模型供选择：①；②；③． (1)根据表中数据选出最恰当的函数模型，并说明理由，同时求出该函数的解析式； (2)根据第（1）问选择的函数模型，预计平台建立年的会员人数将超过2002千人，求的最小值． 参考数据：，，． 【典例3】（24-25高一上·山东济宁·期末）为积极响应上级号召，坚定“四个自信”中的文化自信，某市电视台于2021年年初开通了“优秀传统文化”视频号，并组织专业团队运营，由于内容丰富多彩，该视频号受到广大群众的喜爱，关注度也逐年增加，以2021年作为第1年，运营团队在每年年底利用数据监测系统对该视频号本年度的观看人次统计如下表： 第年 1 2 3 4 观看人次（十万） 35 40 58 67 为了描述年数与第年该视频号观看人次（单位：十万）的关系，现有以下三种模型供选择：①；②；③. (1)由于视频号初创，监测系统对2021年的数据统计不准确，导致该组数据不宜使用，请从①②③中选出一个合适的模型，并求相应的函数解析式，并根据这个模型预测2028年的观看人次能否超过80（单位：十万）； (2)为更好的运营视频号，吸引更多的观看者，2025年年初，运营团队加大投入，引进了最新数据监测系统，经该系统分析，2021年的观看人次修正为28（单位：十万），2024年的观看人次修正为85（单位：十万） （i）根据修正后的数据，请从①②③中选择合适的模型，并求相应的函数解析式； （ii）按上级规定，“优秀传统文化”类视频号当年观看人次超过200（单位：十万），其运营团队可被评为“优秀文化传播集体”荣誉称号，根据（i）中所求函数模型，试估计该视频号运营团队最快到哪一年就能被评为“优秀文化传播集体”？（参考数据：，，.） 【变式1】（24-25高一上·上海长宁·期末）某企业投资特色农业，为了实现既定销售利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：按销售利润进行奖励，总奖金额（单位：万元）关于销售利润（单位：万元）的函数的近似图像如图所示；现有以下三个函数模型供企业选择：①；②；③ (1)请你帮助该企业从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由： (2)根据你在（1）中选择的函数模型，如果总奖金不少于9万元，则至少应完成销售利润多少万元？ 【变式2】（24-25高一上·广东·期末）舆论场指数是一个反映特定时间内社会舆论关注热点和趋势的指标，它通常通过大数据分析技术，对来自不同媒体平台的信息进行收集、整理和分析，从而得出一个量化的指数，以揭示公众对某些事件或话题的关注程度.对于舆论事件出现起的前天，若某次舆情过程中至少有一天的舆论场指数大于，则认为本次舆情是严重的.某购物平台利用舆论场指数就某次舆情进行分析，将舆论事件出现起第1，2，3天的舆论场指数整理成如下表格： 天数 1 2 3 舆论场指数 12 48 156 为研究舆论场指数的变化情况，技术人员提出了三种函数模型用以刻画数据：①；②；③其中含的项的系数均不为0. (1)请从①，②，③中选择一个最合适的函数模型（直接写结果，不用证明）； (2)运用（1）中选取的函数模型，预测第4天时的舆论场指数； (3)若本次舆情不是严重的，求的最小值. 【变式3】（24-25高一上·贵州黔东南·期末）近年来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力.某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与第天的函数关系近似满足（为常数，且，，），日销售量（单位：件）与第天的部分数据如表所示： 5 10 15 20 25 45 50 55 50 45 已知第5天的日销售收入为459元.给出以下三个函数模型：①；②；③. (1)请你根据表中的数据，从中选择你认为合适的一种函数模型来描述日销售量与的变化关系，并求出该函数的解析式； (2)设该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的解析式； (3)该工艺品的日销售收入哪天最低？最低收入是多少？ 期末基础通关练（测试时间：20分钟） 一、单选题 1．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表： 1 2 3 4 5 136.136 15.552 10.88 则不一定包含的零点的区间是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·广东广州·期末）函数在下列哪个区间必有零点（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·西藏拉萨·期末）已知函数的图象在上连续不断，则“”是“在区间上有零点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．（25-26高一上·辽宁·月考）已知函数的零点在区间内，且，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·月考）小丁同学用二分法求方程在内近似解的过程中，由计算可得，则小丁同学在下次应计算的函数值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·四川内江·期末）在下列区间中，方程的解所在的区间为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·上海杨浦·期末）近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：），放电时间t（单位：）与放电电流I（单位：）之间关系的经验公式：，其中为Peukert常数.为测算某蓄电池的Peukert常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间，则该蓄电池的Peukert常数n大约为（    ） A．1.19 B．2.19 C．3.19 D．4.19 8．（24-25高一上·湖南常德·期末）在房屋装修时常需要喷洒药剂消毒.已知某种药剂的平衡浓度为（单位：摩尔/升），喷洒后的浓度与滞留时间（单位：天）满足关系式.现用该种药剂进行室内消毒，则其浓度从降至所需要的时间大约为（    ）（参考数据：） A．0.46天 B．0.56天 C．0.73天 D．0.88天 9．（24-25高一上·河北张家口·期末）某公司2020年全年投入某项技术的研发资金为120万元，并且计划以后每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入该项技术的研发资金开始超过200万元的年份是（    ） 参考数据. A．2028年 B．2029年 C．2030年 D．2031年 10．（24-25高三下·北京·开学考试）“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明•《增广贤文》）是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是.那么大约经过（    ）天后“进步”的是“退步”的2倍.请选出最接近的一项.（，，）（    ） A．25 B．30 C．35 D．40 11．（24-25高一上·江苏苏州·期末）按照《中小学校教室换气卫生要求》，教室内空气中二氧化碳浓度不高于，经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内的二氧化碳浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数（）描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间（单位：分钟）的最小整数值为（    ）（参考数据：） A．1 B．3 C．5 D．10 12．（24-25高一上·河南郑州·期末）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为，其中，k是正的常数，如果在前5h消除了的污染物，那么污染物减少到需要花（   ）h（精确到1h，参考数据：） A．5 B．6 C．15 D．18 二、填空题 13．（2025·山东·模拟预测）函数的零点为 . 三、解答题 14．（22-23高一上·辽宁大连·期中）随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 15．（24-25高一上·江西景德镇·期末）现代研究成果显示，茶水的口感与水的温度有关.经实验表明，用100°C的水泡制，待茶水温度降至60°C时，饮用口感最佳.某中学学生利用课余时间探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据如下表： 时间/min 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 100 92 84.8 78.32 72.49 67.24 设茶水温度从100°C经过后温度变为°C，现给出以下三种函数模型： ①； ②； ③. (1)从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式； (2)根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）（参考数据：，）； 期末重难突破练（测试时间：40分钟） 一、单选题 1．（24-25高一上·江苏盐城·期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.9mg/mL.如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（    ） （结果取整数，参考数据：，） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（24-25高一上·贵州铜仁·期末）美国生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为．已知描述的是某一种树木的高度随着栽种时间（单位：年）变化的规律．若刚栽种时该树的高度为，经过一年，该树的高度为，则该树的高度超过至少需要（附：）（   ） A．4年 B．5年 C．6年 D．7年 3．（24-25高一上·山东德州·期末）教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳最高容许浓度为0.15%.经测定，刚下课时，空气中含有0.35%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，又测定，当时，教室内空气中含有0.2%的二氧化碳，则该教室内从刚下课时的二氧化碳浓度达到国家标准，所需要时间（单位：分钟）的最小整数值为（参考数据，）（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 4．（24-25高一上·吉林长春·期末）华为手机的大部分零件已实现国产化，5G技术更是遥遥领先，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率以及信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，香农公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至5000，则最大信息传递速度大约增加了（    ） （参考数值：） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·江苏南京·期末）根据国际标准，室内二氧化碳浓度应不超过1000ppm，在这个范围内，室内空气质量良好，人体健康不受到影响.已知某室内二氧化碳浓度与开窗通风的时长（分钟）之间的关系式为.经测定，该室内初始时刻的二氧化碳浓度为2000ppm，要使该室内的二氧化碳浓度达到国际标准，则需要开窗通风的时长至少约为（   ） （参考数据：，） A．6分钟 B．8分钟 C．10分钟 D．12分钟 6．（24-25高一上·海南·期末）若函数没有零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·江苏泰州·期末）已知是函数的零点，是函数的零点，则的值所在的区间为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·江西宜春·期末）已知函数的零点分别是，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·江苏淮安·期末）已知函数，若关于x的方程至少有两个不等的实根，则实数a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数，若函数有7个不同的零点，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（24-25高一上·广东佛山·期末）某机构根据逻辑斯蒂增长模型结合过去15年的数据，对2010~2040年我国新能源汽车的市场渗透率进行了模拟和预测，得到我国新能源汽车的市场渗透率与时间（单位：年，规定表示2010年初）的函数关系为，则下列结论正确的是（    ）参考数据：. A．的图象关于点中心对称 B．的图象关于直线对称 C．2022年初，我国新能源汽车的市场渗透率不足 D．预计2030年初，我国新能源汽车的市场渗透率超过 12．（25-26高一上·江苏无锡·期中）设函数，且关于的方程恰有3个不同的实数根，则下列说法正确的是（   ） A．的取值范围是 B． C．的取值范围为 D．的取值范围是 三、解答题 13．（25-26高一上·重庆·月考）重庆是火锅美食之都，特色火锅食材加工产业发展迅速.为了满足市场需求和保障火锅食材供应链的稳定，某重庆特色火锅食材生产厂家年投入固定成本150万元，每生产万吨，需另投入成本（万元）.当年产量不足60万吨时，；当年产量不小于60万吨时，.通过市场分析，若每万吨售价为400万元时，该厂年内生产的火锅食材能全部售完.（注：利润=销售收入-总成本） (1)求出年利润（万元）关于年产量（万吨）的解析式； (2)年产量为多少万吨时，该厂在这一火锅食材生产中所获利润最大？并求出利润的最大值. 14．（25-26高一上·广东深圳·月考）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳．某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y（单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间/分钟 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33 (1)给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，并利用前2分钟的3组数据求出相应的解析式． (2)根据（1）中所求模型， （ⅰ）请推测实验室室温（注：茶水温度接近室温时，将趋于稳定）； （ⅱ）求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间． （参考数据：lg3≈0.48，lg5≈0.7） 15．（25-26高一上·江苏扬州·期中）2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革.某科技AI研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分（满分100分）和有效训练时长（单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段.通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：；已知初始综合性能评分，且在处函数图象是连续不断的. (1)求常数和的值； (2)已知大模型的标准化训练效率定义为，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？ 期末综合拓展练（测试时间：20分钟） 一、单选题 1．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 二、多选题 4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）对于函数和，下列说法中正确的有（    ） A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴 三、填空题 5．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ． 6．（2024·天津·高考真题）设，函数.若恰有一个零点，则的取值范围为 ． 7．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ． 8．（2023·天津·高考真题）设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为 ． 四、解答题 9．（2023·上海·高考真题）函数 (1)当时，是否存在实数c，使得为奇函数； (2)若函数过点，且函数图像与轴负半轴有两个不同交点，求实数a的取值范围. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 函数的应用（零点与方程的根、函数模型） （期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 7.1 函数零点的概念与求法 能理解零点的定义，会求简单函数的零点（令f(x)=0求解）。 概念理解题。 7.2 零点存在性定理的理解与应用 能判断函数在区间[a,b]上是否连续，并验证f(a)·f(b)<0，从而判断零点存在性。 高频考点，易错在“连续”条件的忽视。 7.3 判断函数零点（方程根）的个数 能通过图象法（两个函数图象的交点）或单调性法判断零点个数。 常见中等题，数形结合思想的典型应用。 7.4 二分法求方程近似解的原理与步骤 能叙述二分法的原理和操作步骤，理解其“逐步逼近”的思想。 了解性考点，通常不要求具体计算。 7.5 一次、二次函数模型的应用 能根据实际问题建立直线或二次函数模型解决最优值等问题。 基础应用模型。 7.6 指数函数、对数函数模型的应用（增长、衰减、复利等） 能识别指数增长/衰减的特征，并建立相应模型解决实际问题。 期末应用题压轴题型，符合当前命题趋势。 7.7 函数模型的选择与评价 能根据数据特征或散点图选择适当的函数模型，并对结果进行合理性分析。 考查数学建模核心素养的最高层次 知识点01 函数零点的定义 一般地，对于函数，把使 的实数 叫作函数的零点.函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图象与轴的交点的横坐标. 方程、函数、函数图象之间的关系： 方程有实数解函数的图象 与轴有公共点 函数 有零点 . 知识点02 函数零点存在性定理 如果函数在区间上的图象是 连续不断 的一条曲线，且有 ，那么函数在区间内 至少有一个 零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. 知识点03 函数单调性对零点个数的影响 如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断函数是否单调 知识点04 几个“不一定”与“一定”（假设在区间连续） （1）若，则“一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点。要分析的性质与图象，如果单调，则“一定”只有一个零点 （2）若，则“不一定”存在零点，也“不一定”没有零点。如果单调，那么“一定”没有零点 （3）如果在区间中存在零点，则的符号是“不确定”的，受函数性质与图象影响。如果单调，则一定小于0 知识点05 零点与单调性配合可确定函数的符号 是一个在单增连续函数，是的零点，且，则时，；时， 知识点06 证明零点存在的步骤 （1）将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数 （2）判断是否要对表达式进行合理变形，然后将表达式设为函数 （3）分析函数的性质，并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间 （4）利用零点存在性定理证明零点存在 知识点07 三种函数模型的性质 函数 性质 y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝xn (n>0) 在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 知识点08 常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 幂函数模型 f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠0) 知识点09 解函数模型问题的步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型． (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型． (3)解模：求解数学模型，得出数学结论． (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如下： 题型一 求函数的零点及零点个数 解｜题｜技｜巧 （1） 函数零点即函数值为0时的自变量值，解方程(f(x)=0)可得零点。 （2）结合区间端点、特殊点的函数值，辅助确认零点是否存在及个数（如端点值异号则区间内有零点）。 【典例1】（25-26高一上·江苏淮安·期中）函数的零点为（   ） A．、 B．、 C．、 D．、 【答案】B 【分析】利用函数零点的概念求解即可. 【详解】由得或，故函数的零点是、. 故选：B 【典例2】（24-25高一上·陕西榆林·期末）已知函数的零点为，的零点为，则 . 【答案】2 【分析】根据给定条件，利用指数式与对数式的互化关系可得，再利用零点的意义，结合函数的单调性即可求得答案. 【详解】依题意，， 而函数在R上单调递增，则函数在R上单调递增， 而，即，因此， 则，所以. 故答案为：2 【点睛】关键点点睛：利用同构的思想将函数化成是求解的关键. 【典例3】（24-25高一上·新疆·期末）函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】将的零点转化为和的图象的交点，结合图象确定正确选项. 【详解】由，得， 在同一坐标系中，作出和的图象， 观察图象知，两个函数图象有两个交点，所以零点个数为. 故选：C      【典例4】（24-25高一上·福建福州·期末）函数的零点个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查函数的零点与方程的根的关系，可以将函数的零点问题转化为方程等于0的根的个数问题，进一步转化为函数图象的交点个数问题.根据题意作出函数和函数的图象，观察图象即可得出结论. 【详解】将函数的零点个数问题转化为函数和函数的图象交点个数问题. 如图，作出函数和函数的图象，由图可得函数和函数的图象有5个交点. ∴函数的零点有5个. 故选：C. 【变式1】（24-25高一上·云南昭通·期末）已知函数，则函数的零点是 . 【答案】1和4 【分析】由方程，分段求解即可； 【详解】令，则，或，解得，或， 则函数的零点是和. 故答案为：1和4 【变式2】（24-25高一上·上海嘉定·期末）函数的零点是 . 【答案】6 【分析】令，解方程求得答案. 【详解】令，即， 则，， 解得或（舍去）， 所以函数的零点为6. 故答案为：6. 【变式3】（24-25高一上·云南昆明·期末）函数的零点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】先将问题转化为与的图象的交点问题，再由两函数的单调性分析得至多只有两个零点，又由，得到的零点个数，从而得解. 【详解】要求的零点，即求与的图象的交点， 在同一坐标系中作出与的大致图象， 因为与在各自的定义域上都是单调递增， 且的增长速度相比的较慢， 所以两函数的图象至多只有两个交点，即至多只有两个零点， 又，， 所以有且只有两个零点. 故选：C. 【变式4】（24-25高一上·江苏无锡·期末）函数的零点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】先得到函数的单调性，由零点存在性定理得到存在唯一的，使得，又，故零点个数为2. 【详解】定义域为， 由于在上单调递增， 故在上单调递增， 其中，， 由零点存在性定值可知，存在唯一的，使得， 又，故的零点个数为2. 故选：C 题型二 用零点存在性定理判断零点所在区间 解｜题｜技｜巧 （1） 确认函数在区间([a,b])上连续（如多项式、指对数函数等基本函数的组合通常连续）。 （2） 计算区间端点的函数值(f(a))和(f(b))，若(f(a)f(b)<0)，则区间内至少有一个零点。 （3）结合函数单调性，可进一步判断区间内零点的唯一性。 【典例1】（24-25高一上·江苏盐城·期末）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的单调性和零点存在定理即可判断. 【详解】因为函数为上的增函数，又， 所以，故函数仅有一个零点，其所在的区间是. 故选：A. 【典例2】（24-25高一上·广东茂名·期末）“函数满足”是“函数在区间上有零点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】运用充分条件，必要条件概念，结合零点存在性定理判断即可. 【详解】若函数满足， 根据零点存在定理，如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线， 并且有，那么函数在区间内有零点. 但是这里并没有说明函数在区间上的图象是连续不断的， 比如函数，当，时，， 但在上没有零点. 所以“函数满足”不能推出“函数在区间上有零点”，充分性不成立. 若函数在区间上有零点，比如函数在区间上有零点，此时. 这说明“函数在区间上有零点”不能推出“函数满足”，必要性不成立. “函数满足”是“函数在区间上有零点”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 【变式1】（24-25高一上·江西吉安·期末）已知函数，则的零点所在大致区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数解析式求定义域并判断其单调性，再由零点存在性定理确定零点所在区间. 【详解】由解析式知，则，故函数的定义域为， 而在上均单调递增， 所以在上单调递增，而， 所以的零点所在大致区间为. 故选：C 【变式2】（24-25高一上·河南开封·期末）已知是函数的零点，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结果. 【详解】因为函数、在上均为增函数，故函数在为增函数， 因为，，，则， 由零点存在定理可得，又因为，，故. 故选：B. 【变式3】（25-26高一上·全国·期中）已知函数的图象在上是连续不断的，则“”是“方程在内至少有两个解”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】由函数的零点存在性定理进行判断即可． 【详解】根据题意，若，则，，中两正一负，或者三负， 例如，当，，时，方程在和内至少各有一个解， 当，，时，不能保证方程在至少有两解， 所以“”不是“方程在内至少有两个解”的充分条件； 反之，若方程在内至少有两个解，无法确定，，的符号， 所以“”不是“方程在内至少有两个解”的必要条件. 所以“”是“方程在内至少有两个解”的既不充分也不必要条件. 故选：D 题型三 二分法及其应用 【典例1】（24-25高一上·安徽宣城·期末）已知函数，利用二分法求的零点的近似值，若零点的初值区间为，精确度为，则可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，计算出，再由零点存在定理和二分法求近似值的方法，即可求解. 【详解】因为，则，， 又，， 由零点存在定理知零点属于区间，且，满足精确度，所以可以是， 故选：C. 【典例2】（24-25高一上·山东淄博·期末）下列函数零点不能用二分法求出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二分法的概念，在零点两侧函数值异号进行逐一判定. 【详解】对于A选项，在上单调递增，且与轴有唯一交点， 交点两侧的函数值异号，则可用二分法求解，A正确； 对于B选项，当时，， 当且仅当时，等号成立，无零点； 当时，当且仅当时，等号成立， 在上单调递减，在上单调递增， 此时有两个零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点，B正确； 对于C选项，由题意可知只有一个零点， 且在该零点左右两边的函数值都大于零，故不宜用二分法求解该零点，C错误； 对于D选项，， 在单调递增，单调递减，所以， 则零点处的两侧函数值异号，可用二分法求解，D正确. 故选：C 【典例3】（2025高三下·全国·专题练习）下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（   ） A．   B．     C．   D．   【答案】A 【分析】结合结论二分法只能求变号零点，结合图象确定正确选项. 【详解】根据二分法的概念可知二分法只能求变号零点， 观察选项A中的函数图象可知该函数没有变号零点，观察选项BCD中的函数图象可知对应的函数都存在变号零点， 所以选项A中函数不能用二分法求零点． 故选：A. 【变式1】（24-25高一上·山东济宁·期末）已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用二分法计算方法判断即可. 【详解】函数，， ，函数的零点在内； ，函数的零点在内； ，函数的零点在内. 故选：A 【变式2】（23-24高一上·湖北·期末）下列函数图象与x轴均有交点，且已知其解析式，不能用二分法求图中函数零点的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】由函数零点存在性定理和二分法概念对选项逐一判断可得结论. 【详解】根据零点存在性定理可知，函数的图象是一段连续不断的曲线，若在区间上满足，则函数在区间上存在零点； 根据二分法概念可知，C选项中的图象在零点附近不满足， 所以C选项不能用二分法求图中函数零点. 故选：C 题型四 求方程的根及根的个数 解｜题｜技｜巧 （1） 将方程变形为(f(x)=0)，方程的根等价于函数(f(x))的零点。 （2） 分析函数(f(x))的单调性、根据极值（跨章节）的正负判断函数与x轴的交点数。 （3）结合函数定义域和极限趋势，综合判断根的个数。 【典例1】（24-25高一上·广东潮州·期末）方程的根的个数是（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】在同一坐标系中，画出和的函数图象求解. 【详解】画出和的函数图象， 因为，， 结合图象可得函数与函数图像的交点个数是5个. 故选：A 【典例2】（24-25高一上·河南濮阳·期末）已知函数，若，且，则方程的根的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】分析可知为函数与的交点，结合函数对称性即可得结果. 【详解】因为，， 可知是图象的一个对称中心，是的图象的上顶点， 且点为函数与的交点， 又是图象的一个对称中心， 故关于的对称点也在与的图象上， 结合图象可知：方程的根的个数为3． 故选：C． 【典例3】（24-25高一上·上海·期末）函数，其中是一个常数，计算知，则方程的根所在的区间是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】根据零点存在性定理可求解. 【详解】由得， 又函数的图象是连续不断的，且单调递增 根据零点存在性定理可知，函数f(x)的一个零点，且唯一， 即方程的根所在的区间是， 故选：B 【典例4】已知是方程的根,是的根,则（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】利用函数与函数互为反函数，推出函数图象交点的横坐标与纵坐标的关系，即可求解本题． 【详解】由题意，是方程的根，是方程的根， 所以是方程的根，是方程的根， 即是函数与交点的横坐标，是函数与交点的横坐标， 因为函数与函数互为反函数，图象关于对称，所以等于函数与交点的纵坐标即： 故选：C． 【变式1】（24-25高一上·河南·期中）方程的根的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】将方程的根的个数转化为函数（），（）两函数图象交点个数问题，画图分析即可. 【详解】由题意可转化为函数（），（）两函数图象交点问题， 在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，如图所示， 由图得两个函数图象有2个交点，故原方程根的个数为2． 故选：B． 【变式2】（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，则方程的根的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】转化问题为函数和函数的图象在上的交点问题，进而结合图象求解即可. 【详解】原方程即为，变形得， 要求方程根的个数， 即求函数和函数的图象在上的交点个数， 作出两函数的图象如图所示，    由图可知，两函数图象在上共有2个交点，故原方程共有2个根． 故选：C. 【变式3】（23-24高一上·江西吉安·期末）下列区间内存在方程的根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的零点个数与方程的实根个数的关系，利用零点存在定理结合图形判断即得. 【详解】令，显然函数在R上连续，因， 故 在区间上存在零点，即方程在区间上有实数根．    如图，作出函数和的图象，由图可知和在有两个交点， 因，，即， 所以在区间上存在零点，即方程在区间上有实数根， 由选项可知只有C项符合题意. 故选：C. 【变式4】（24-25高一上·山东烟台·月考）设方程的根为，方程的根为，则的值为 ． 【答案】7 【分析】设函数与的交点为，函数与的交点为，由反函数的性质得到， 再由方程根的定义得到，，再将其代入所求式计算即得. 【详解】由方程的根为，设函数与的交点为； 由方程的根为，设函数与的交点为； 又因为函数与函数互为反函数，所以两者图象关于对称， 而且直线与直线互相垂直， 则点与关于对称，则 得到； 由题意得到，则，； 所以. 故答案为：7 题型五 求图象的交点及交点个数 【典例1】（24-25高一上·湖南衡阳·期末）函数的图象与x轴的交点个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用函数零点的意义，将问题转化为两个函数图象交点个数求解. 【详解】函数的图象与x轴的交点的横坐标， 即方程的解， 亦即函数的图象交点横坐标， 在同一坐标系内作出函数的图象，如图： 观察图象知，函数的图象有2个交点， 所以函数的图象与x轴的交点个数为2. 故选：B 【典例2】（25-26高一上·广东深圳·开学考试）函数与的图像有四个交点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出函数的表达式，然后画出其图象，再结合函数与的图象有四个交点的条件来确定的取值范围. 【详解】令，因式分解可得，解得或； 所以当，即或时，； 当，即时，；    要使函数与的图象有四个交点，则. 故选：B. 【典例3】（24-25高一上·四川泸州·期中）已知函数，若函数的图象与函数的图象有3个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出的图象，根据图形即可得出结果. 【详解】当时，，图象为开口向上的抛物线， 对称轴为，顶点坐标为，作的图象如下，    由图可知，函数图象有3个交点， 则， 即实数k的取值范围为. 故选：D． 【变式1】（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·月考）函数的图象与函数的图象交点个数为 . 【答案】3 【分析】在同一坐标系内作出函数与函数的图象，由图象确定交点个数即可. 【详解】函数定义域为，最小正周期为，，当时，， 函数在定义域上是增函数，当时，，当时，， 因此函数与函数的图象交点横坐标只能在区间上， 在同一坐标系内作出函数的部分图象，如图： 观察图象知，函数与函数的图象交点个数为3. 故选：3 【变式2】（25-26高一上·辽宁·期中）设函数，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A．－1 B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】由题意转化为方程在区间上有且只有一个根，再利用函数的奇偶性求解即可. 【详解】当时，曲线与恰有一个交点， 即时，方程只有一个实数根， 方程化简为， 问题可转化为函数在时只有一个零点， 由在上为偶函数，则有，解得. 时，函数， 方程在时，只有一个解， 所以当时，曲线与恰有一个交点. 故选：C 【变式3】（25-26高一上·辽宁沈阳·月考）已知函数，曲线和恰有一个交点，则（   ） A．1 B．-1 C． D．0 【答案】C 【分析】将转化为，构造函数，利用偶函数的对称性即可确定方程只有一个根时的值. 【详解】由可得， 整理得， 设，则函数的定义域为， 所以，则在上为偶函数， 若方程只有一个根，根据偶函数的对称性可得. 故选：C. 【变式4】（24-25高一上·福建厦门·期末）设函数，，若曲线与恰有3个交点，则（   ）． A． B．1 C．或1 D．2 【答案】B 【分析】结合偶函数的对称性可知除对称轴处以外两偶函数图象的交点成对出现，由即可得的值，并代入检验即可； 【详解】易知函数，均为偶函数，除对称轴处以外两偶函数图象的交点成对出现， 由曲线与恰有3个交点可知，， 即，解得或1． 当时，，，由图象分析可知恰有1个交点，不符合题意； 当，，，由图象分析可知符合题意． 故选：B． 题型六 函数与方程的综合应用 【典例1】（24-25高一上·山西晋中·期末）已知函数有唯一零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析函数的对称性，可得出，即可得出实数的值. 【详解】因为函数的定义域为， ， 所以，函数的图象关于直线对称， 因为函数有唯一零点，则，解得. 故选：C. 【典例2】（24-25高一上·天津·期末）若函数恰有3个零点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数零点的意义分离参数可得，再构造函数将问题转化为直线与函数图象有3个交点求解. 【详解】由，当时，，则， 函数在上单调递减，值域为R， 当时，要使有意义，则对恒成立， 于是，由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，有最小值为， 于是，令函数， 在同一坐标系内作出函数的图象及直线， 观察图象知，当时，直线与函数的图象有个交点，即函数有个零点. 综上，的取值范围为. 故选：C 【典例3】（24-25高一上·上海·期末）已知函数是定义在上偶函数，当时，，若函数仅有4个零点.则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】探讨函数的性质并画出函数图象，然后把函数仅有4个零点，转化为函数图象与直线有4个交点，数形结合即可求解. 【详解】当时，在上单调递增，函数值集合为， 当时，在上单调递减，函数值集合为， 又函数是定义在R上偶函数，其图象关于y轴对称，作出函数图象： 函数仅有4个零点，则函数图象与直线有4个交点， 当时，函数图象与直线有4个交点， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 【典例4】（24-25高一上·天津河北·期末）已知函数方程有四个不同的实数根，从小到大依次为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将方程有四个不同的实数根，转化为函数，有四个不同的交点，利用数形结合得到的范围，再根据为方程的两根，为方程的两根，利用韦达定理建立的函数，再利用函数的单调性求解． 【详解】在上单调递减，在上单调递增，当时取得最小值1， 当时函数值为，当趋近于时，函数值趋于正无穷； 在上单调递减，在上单调递增，当时取得最小值1， 当趋近于0时趋近于，当趋近于时趋近于，如图所示： 由方程有四个不同的实数根，得函数的图象与直线有四个不同的交点， 由图知：， 设为方程的两根，即的两根，即的两根， 则，设为方程的两根，即的两根， 则，因此， 由，得，即，则， 所以． 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题关键是利用利用数形结合法确定的范围，进而利用函数法求解． 【变式1】存在实数使得函数有唯一零点，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的性质确定唯一零点，然后由二次方程判别式得结论． 【详解】令（）是增函数，，由对勾函数性质在上递减，在上递增， 所以时，，此时，因此有唯一零点，则零点为， ，时，有解，时，则，且． 综上． 故选：A． 【变式2】（24-25高一上·广东佛山·期末）若关于的方程有两相异实根，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两相异实根满足得到关于的不等式组，再解不等式组可得答案. 【详解】因为方程有两相异实根，且， 则，解得. 故选：C. 【变式3】（24-25高一上·广东江门·期末）已知函数 若方程有个实数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别对，和三种情况进行讨论，即可得到的取值范围. 【详解】①若，则对有， 对有. 所以方程不可能有个实数解，不满足条件； ②若，则对，由且可知，从而有， 同时对有，对有. 所以方程不可能有个实数解，不满足条件； ③若，则方程有个实数解，，，满足条件. 综上，的取值范围是. 故选：D. 【变式4】（24-25高一上·北京密云·期末）已知函数函数．若有四个不同的零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数与方程的思想，将有四个不同的零点转化为函数与有四个不同的交点，作出图象，求得，利用对称性得，根据函数的图象特征可得，，借助于对勾函数的单调性即可求得的取值范围. 【详解】 由函数有四个不同的零点，可知函数与有四个不同的交点， 设这四个交点的横坐标从小到大依次为，如图所示，则，可得， 因点关于直线对称，故； 由可得， 则有，且，即得， 于是，， 因函数在上单调递减，故可得， 则的取值范围为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛： 解题的关键有二：其一，一般应将函数的零点情况转化为两函数图象的交点情况，数形结合处理；其二，要注意图象的对称性和翻折变化蕴含的结论，由此求得等量关系和自变量范围. 【变式5】（24-25高一上·江苏连云港·期末）已知函数，若存在实数，使得方程有个不同的实数根、、、，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出函数与的图象，由图可得出，分析可知关于的方程的两根分别为、，利用韦达定理可得出关于的表达式，由可得出、关于的表达式，进而可得出关于的函数关系式，结合函数单调性可求得结果. 【详解】作出函数与的图象如下图所示：    由图可得， 当时，， 由题意可知，关于的方程的两根分别为、， 即关于的方程的两根分别为、，由韦达定理可得， 由图可得， 由得，则， 可得，，所以，， 所以，， 因为函数在上为增函数， 故当时，，因此，的取值范围为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：求解函数零点个数以及范围的问题，关键是画出函数图象，根据题意分析交点间的关系，并结合函数的性质，利用数形结合求解，属于难题. 【变式6】（24-25高一上·重庆江北·期末）已知函数若函数恰有5个零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出或，再就不同的情况分类求解即得参数的取值范围. 【详解】令，则， 故或， 令，则或，故或， 故有3个不同的解，且解异于. 故有一个解且有两个解且解不为， 故，且，，解得. 故选：B. 【点睛】思路点睛：嵌套方程的零点问题，应该利用换元法转化内外两个方程的解的问题，先考虑外方程的解，再考虑内方程的解，结合总的解的个数，考虑内方程中参数的变化形式即可. 题型七 分段函数模型 【典例1】（24-25高一上·安徽马鞍山·期末）茶叶是中国文化元素的重要象征之一，饮茶习俗在中国源远流长．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，已知某种茶叶的茶水温度（单位：）和泡茶时间（单位：）满足关系式，若喝茶的最佳口感水温大约是，则需要等待的时间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解方程即可. 【详解】因为茶水温度（单位：）和泡茶时间（单位：）满足关系式， 且喝茶的最佳口感水温大约是， 当时，由可得，合乎题意； 当时，由，解得，舍去. 综上所述，. 因此，需要等待的时间为. 故选：B. 【典例2】（24-25高一上·山东滨州·期末）某厂生产某种产品的年固定成本为300万元，每年生产万件，需增加投入成本为万元．当年产量不足9万件时，；当年产量不小于9万件时，．通过市场分析，每件产品售价定为500元，且该厂年内生产的产品能全部销售出去，获得的年利润为万元．（利润＝销售收入一总成本） (1)求年利润的函数解析式； (2)求年产量为多少时，该厂的年利润最大？ 【答案】(1)； (2)6万件. 【分析】（1）根据题意，分、求对应解析式，再写出其分段函数形式； （2）在不同分段上，应用二次函数的性质、基本不等式分别求出对应的最值，再比较大小即可得最大利润对应的产量x. 【详解】（1）当时，， 当时，， 所以； （2）当时，， 所以当时，取得最大值，最大值是900万元， 当时，， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，取得最大值，最大值是800万元， 因为，所以，年产量为6万件时，该厂年利润最大． 【变式1】（24-25高一上·河南信阳·期末）数学建模，就是根据实际问题建立数学模型，对数学模型进行求解，然后根据结果去解决实际问题．小明和他的数学建模小队现有这样一个问题：提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，那么，怎样才可以提高呢？我们理想化地建立这样一个关系，在一般情况下，大桥上的车流速度单位：千米/小时是车流密度单位：辆/千米的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明，当时，车流速度v是车流密度x的一次函数．问：当车流密度多大时，车流量单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时可以达到最大？（    ） A．60 B．100 C．140 D．180 【答案】B 【分析】根据给定条件，求得函数的解析式，再分类讨论确定车流密度的取值． 【详解】当时，设，则，解得， 于是， 设车流量为q，则车流量， 当时，； 当时，，当且仅当取等号， 所以当时，车流量最大，最大值约为3333辆． 故选：B 【变式2】（24-25高一上·贵州黔南·期末）在辽阔的中华大地上，农村的医疗服务一直是国家关注的焦点.随着时代的进步和社会的发展，国家正致力于提高农村医疗服务水平，以保障广大农民的健康权益.某公司为了满足市场需求，进一步增加市场竞争力，计划自主研发新型基础型CT机.已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为200台.每生产x台，需另投入成本万元，且.由市场调研知，该产品每台的售价为150万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. (1)写出年利润（单位：万元）关于年产量x（单位：台）的函数解析式.（利润销售收入成本） (2)当该产品的年产量为多少时，该公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】(1) (2)150台，万元 【分析】（1）根据投入成本及销售收入写出利润函数即可； （2）分段分别利用二次函数配方法和基本不等式求最值，再比较大小得解即可. 【详解】（1）当时，； 当时， ， 则. （2）当时，， 当时，万元. 当时， 万元. 当且仅当，即时，上式等号成立. 又，则当该产品的年产量为150台时， 该公司所获年利润最大，最大年利润是万元. 【变式3】（24-25高一上·江西抚州·期末）曾经的广告词“喝临川贡酒，扬才子豪情”响彻大半个中国．如今再次重新出发，抚州市打造以产业经济振兴文化抚州．临川贡酒公司决定将一款高端贡酒大量投放市场，已知临川贡酒公司生产此款高端贡酒年固定研发成本为万元，每生产一瓶此高端贡酒需另投入元．设该公司一年内生产该款高端贡酒万瓶且全部售完，每万瓶的销售收入为万元．且． (1)写出年利润（万元）关于年产量（万瓶）的关系式：（利润销售收入成本） (2)当年产量为多少万瓶时，该公司这款高端酒获得的利润最大，并求出最大利润． 【答案】(1) (2)当年产量为万瓶时，该公司获得的利润最大为万元． 【分析】（1）分、两种情况讨论，结合利润销售收入成本可得出年利润（万元）关于年产量（万瓶）的关系式； （2）利用二次函数的基本性质求出在时的最大值，利用基本不等式求出函数在时的最大值，比较大小后可得出结论. 【详解】（1）当时， 当时， 综上，. （2）当时，， 函数的对称轴是直线，则函数在上单调递增， 所以当时，取得最大值； 当时，， 当且仅当，即时取等号，此时的最大值为， 因为，所以当年产量为万瓶时，该公司获得的利润最大为万元． 题型八 指数函数模型 【典例1】（24-25高一上·湖北武汉·期末）一种药在病人血液中会以每小时的比例衰减，这种药在病人血液中低于时病人就有危险，现给某病人的静脉首次注射了这种药，那么再次向病人补充这种药的时间间隔不能超过（    ）（，精确到） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得，结解不等式即可. 【详解】设再次向病人补充这种药的时间间隔不能超过， 则， 可得， 所以再次向病人补充这种药的时间间隔不能超过. 故选：A. 【典例2】（24-25高一上·河南驻马店·期末）某放射性物质在衰减过程中，其质量与年数满足关系式（为初始质量，，为常数，）．已知该放射物质经过4年，其质量变为初始质量的，若再经过8年，该放射性物质的质量变为初始质量的（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用指数运算法则列式计算得解. 【详解】依题意，，则， 再经过8年，即时，， 所以再经过8年，该放射性物质的质量变为初始质量的. 故选：C 【典例3】（24-25高一上·福建三明·期末）牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，经过分钟后的温度满足，称为半衰期，其中是环境温度．若，现有一杯的热水降至用时2分钟，那么水温从降至，用时为（   ） （参考数据：） A．3分钟 B．4分钟 C．5分钟 D．6分钟 【答案】D 【分析】首先根据已知条件，结合对数运算求出半衰期的值，然后再利用求出的值计算水温从降至所用的时间. 【详解】已知，初始温度，当热水降至用时分钟，此时，分钟. 将这些值代入公式中，得到. 即，化简可得. 对等式两边取对数，. 根据对数运算法则可得. 又因为，. 将其代入上式可得. 已知，代入可得. 即，解得. 设水温从降至用时分钟，此时，，，. 代入公式，得到. 即，化简可得.所以，解得分钟. 故选：D. 【变式1】（24-25高一上·四川绵阳·期末）将甲桶中的溶液缓慢注入空桶乙中，经过后甲桶中剩余的溶液量符合指数衰减曲线.假设经过甲桶和乙桶中的溶液量一样，则乙桶中的溶液达到共需要注入的时间约为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用代入法求出的值，再根据所求问题列出方程，通过对数的运算法则和换底公式进行求解即可. 【详解】因为经过甲桶和乙桶中的溶液量一样， 所以，即 设乙桶中的溶液达到共需要注入的时间为， 则有 ， 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用对数的运算性质和换底公式. 【变式2】（24-25高一上·广东广州·期末）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有的物体，放在的空气中冷却，以后物体的温度降为.若将的物体放在的空气中冷却，则物体温度降为所需要的冷却时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，当，时可得得，再代入，即可得结论. 【详解】由题意可知， 当时，，于是，整理得， 当，，有， 所以，故， 将代入可得，可得， 物体温度降为所需要的冷却时间为 故选：C. 【变式3】（24-25高一上·贵州黔东南·期末）垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务.已知某种垃圾的分解率与时间（月）近似满足关系（其中，），经过24个月，这种垃圾的分解率为,经过48个月，这种垃圾的分解率为，则这种垃圾完全分解大约需要经过（    ）个月. （参考数据：） A．80 B．90 C．100 D．120 【答案】A 【分析】根据已知条件可得出关于的方程组，解之即得的表达式，再由，利用取对数求出的值即可. 【详解】由题意，可得，解得，则， 这种垃圾完全分解，即分解率为，即，所以， 两边取对数，可得：，则. 故选：A. 题型九 对数函数模型 【典例1】（25-26高一上·上海·期中）中国的5G技术领先世界，在5G技术中，最大数据传输速率取决于信道带宽，与满足，其中称为信噪比（单位：）．若不改变带宽，初始信噪比为1000，那么为了使增加，需要将信噪比从1000提升至大约（    ） A．5000 B．6000 C．7000 D．8000 【答案】D 【分析】结合题意，借助对数运算法则计算即可得. 【详解】由题意可得， 即有， 即. 故选：D. 【典例2】（24-25高一上·广东阳江·期末）大部分大西洋蛙鱼每年都要逆流而上游回出生地产卵.研究蛙鱼的科学家发现蛙鱼的游速单位：可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.若蛙鱼的游速每增加，则它的耗氧量的单位数是原来的（    ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】B 【分析】设原来的游速为，则提速后的游速为，原来的耗氧量的单位数为，后来的耗氧量的单位数为，根据题意列方程组，能求出结果． 【详解】设原来的游速为，则提速后的游速为， 原来的耗氧量的单位数为，后来的耗氧量的单位数为， 则， 所以， ，故， 所以若蛙鱼的游速每增加，则它的耗氧量的单位数是原来的倍． 故选：B. 【变式1】（24-25高一上·河南许昌·期末）假设在不考虑空气阻力的条件下，某型号火箭的最大速度v（单位：）和燃料的质量M（单位：）、火箭（除燃料外）的质量m（单位：）的函数关系是（k为大于0的常数）．已知当燃料质量是火箭质量的15倍时，火箭的最大速度，则当燃料质量是火箭质量的63倍时，火箭的最大速度（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件求出，再代入当燃料质量是火箭质量的63倍时的表达式可得答案.， 【详解】当燃料质量是火箭质量的15倍，火箭的最大速度时， 则，得， 则当燃料质量是火箭质量的63倍时， 火箭的最大速度. 故选：D. 【变式2】（25-26高一上·上海·期中）在有声世界里，声强级是表示声强度相对大小的指标，其值[单位：（分贝）]定义为，其中为声场中某点的声强度，其单位为（瓦/平方米），为基准值.则声强级为时的声强度是声强级为时的声强度的（    ）倍 A．10 B．100 C．1.2 D．12 【答案】B 【分析】根据声强级的定义分别求出声强级为和声强级为的声强度，然后计算它们的比值即可. 【详解】由题意得，， 当声强级为时，，； 当声强级为时，，， . 故选：. 【变式3】（25-26高一上·广东东莞·期中）近年来，“北斗”指路、“天宫”览胜、“墨子”传信、“嫦娥”问月，中国航天硕果累累，令国人倍感自豪.这些航天器的发射中，都遵循“理想速度方程”：，其中是理想速度（单位：），是燃料燃烧时产生的喷气速度（单位：），是火箭起飞时的燃料与火箭质量的总和（单位：），是火箭自身的质量（单位：）.小婷同学所在社团向有关部门申请，准备制作一个试验火箭，得到批准后，她们利用某民用燃料燃烧时产生的喷气速度为，火箭自身的质量为，火箭起飞时燃料的质量为，在不计空气阻力等因素影响的理想状态下发射，该试验火箭的理想速度大约为（    ）（，） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知得出，，，代入等式计算即可. 【详解】由题意可得，，， 所以该试验火箭的理想速度为 . 故选：A. 题型十 建立拟合函数模型解决实际问题 【典例1】（24-25高一上·广东深圳·期末）近年来，我国自主研发芯片的市场需求增长迅速.某公司自2020年起，每年统计其芯片的年销售数量.将2020年记为第0年，统计数据如下表所示： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 时间年 0 1 2 3 4 年销售数量万片 100 150 225 337.5 506.25 (1)在平面直角坐标系中，以为横轴，为纵轴，根据表格中的数据画出散点图； (2)为了描述年销售数量与时间的关系，现有以下三种数学模型供选择： ①②③ （i）根据数据特点，选出最合适的函数模型，说明理由，并求出相应的函数解析式； （ii）根据（i）中所选模型，预测该公司芯片的年销售数量在哪一年会首次超过2000万片？（参考数据：） 【答案】(1)答案见解析 (2)（i）选择函数模型合适，理由见解析，； （ii）年 【分析】（1）根据表格作出散点图即可； （2）（i）根据散点图结合三种函数的增长速度即可得出结论，再将点代入所选模型即可得解； （ii）根据，结合对数的运算性质即可得解. 【详解】（1） （2）（i）由散点图可知，年销售数量呈指数型增长， 故选择函数模型合适； 将分别代入， 得，解得， 所以， 当时，；当时，；当时，， 所以； （ii）令，则， 则， 所以预测该公司芯片的年销售数量在年会首次超过2000万片. 【典例2】（24-25高一上·山西运城·期末）为了振兴乡村经济，某地政府利用电商平台为乡村进行直播带货，既方便了人们购物和交流，又有效地解决了农产品销售困难的问题．为了支持家乡的发展，越来越多的人注册成为某电商平台的会员进行购物和交流．已知该平台建立前3年的会员人数如下表所示： 建立平台年数x 1 2 3 会员人数y（千人） 14 20 29 为了描述建立平台年数与该平台会员人数（千人）的关系，现有以下三种函数模型供选择：①；②；③． (1)根据表中数据选出最恰当的函数模型，并说明理由，同时求出该函数的解析式； (2)根据第（1）问选择的函数模型，预计平台建立年的会员人数将超过2002千人，求的最小值． 参考数据：，，． 【答案】(1)选择模型③，理由见解析，， (2)14 【分析】（1）根据表中数据，函数为增函数，增长速度越来越快，故选择模型③，代入数据列方程组可得； （2）由得，利用对数的运算可得，进而可得. 【详解】（1）从表中数据可知，所选函数必须满足两个条件：增函数，增长速度越来越快． 因为模型①为减函数，模型②增长速度越来越慢，所以不能选择模型①和②，模型③符合两个条件，所以选择模型③． 将数据代入可得，解得 所以，函数为，． （2）由（1）知， 则．得， 故t的最小值为14． 【典例3】（24-25高一上·山东济宁·期末）为积极响应上级号召，坚定“四个自信”中的文化自信，某市电视台于2021年年初开通了“优秀传统文化”视频号，并组织专业团队运营，由于内容丰富多彩，该视频号受到广大群众的喜爱，关注度也逐年增加，以2021年作为第1年，运营团队在每年年底利用数据监测系统对该视频号本年度的观看人次统计如下表： 第年 1 2 3 4 观看人次（十万） 35 40 58 67 为了描述年数与第年该视频号观看人次（单位：十万）的关系，现有以下三种模型供选择：①；②；③. (1)由于视频号初创，监测系统对2021年的数据统计不准确，导致该组数据不宜使用，请从①②③中选出一个合适的模型，并求相应的函数解析式，并根据这个模型预测2028年的观看人次能否超过80（单位：十万）； (2)为更好的运营视频号，吸引更多的观看者，2025年年初，运营团队加大投入，引进了最新数据监测系统，经该系统分析，2021年的观看人次修正为28（单位：十万），2024年的观看人次修正为85（单位：十万） （i）根据修正后的数据，请从①②③中选择合适的模型，并求相应的函数解析式； （ii）按上级规定，“优秀传统文化”类视频号当年观看人次超过200（单位：十万），其运营团队可被评为“优秀文化传播集体”荣誉称号，根据（i）中所求函数模型，试估计该视频号运营团队最快到哪一年就能被评为“优秀文化传播集体”？（参考数据：，，.） 【答案】(1)选择模型①，，2028年 (2)（i）选择模型②，；（ii）2027年 【分析】（1）选择模型①，将点的坐标代入解析式，求出解析式，将代入求值即可下结论； （2）（i）选择模型②，利用待定系数法求出解析式即可；（ii）由题意建立不等式，结合对数的运算性质计算即可下结论. 【详解】（1）由题意，选择模型①， 将，分别代入①式可得： ，解得，， 所以，也满足该式. 当时，， 即按该模型预测，该视频号2028年的观看人次达到80.5（单位：十万人）， 所以2028年该视频号观看人次能超过80（单位：十万人）. （2）（i）由题意，选择模型②， 将，分别代入②式可得：，解得，， 所以，，均满足该式. （ii）该视频号观看人次超过200（单位：十万人）， 即不等式，所以， 不等式两边同时取常用对数得，， 所以， 即按（i）中求得的函数模型变化，估计最快到2027年， 该视频号运营团队能被评为“优秀文化传播集体”. 【变式1】（24-25高一上·上海长宁·期末）某企业投资特色农业，为了实现既定销售利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：按销售利润进行奖励，总奖金额（单位：万元）关于销售利润（单位：万元）的函数的近似图像如图所示；现有以下三个函数模型供企业选择：①；②；③ (1)请你帮助该企业从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由： (2)根据你在（1）中选择的函数模型，如果总奖金不少于9万元，则至少应完成销售利润多少万元？ 【答案】(1)③，理由见解析 (2)万元 【分析】（1）根据已知条件，结合函数所过的点，以及函数的增长速度，即可求解． （2）根据（1）的结论，将对应的点代入，即可求解函数表达式，列不等式求解即可. 【详解】（1）对于模型①，，图象为直线，故①错误， 由图可知，该函数的增长速度由快变慢， 对于模型②，指数型的函数是由慢变快，且增长速度是爆炸型增长，故②错误， 对于模型③，对数型的函数增长速度是由快变慢，符合题意，故选项模型③， （2）由（1）可知，选项模型③，所求函数过点， 则，解得， 故所求函数为， 因为总奖金不少于9万元，所以，即， 所以，所以， 所以至少应完成销售利润万元． 【变式2】（24-25高一上·广东·期末）舆论场指数是一个反映特定时间内社会舆论关注热点和趋势的指标，它通常通过大数据分析技术，对来自不同媒体平台的信息进行收集、整理和分析，从而得出一个量化的指数，以揭示公众对某些事件或话题的关注程度.对于舆论事件出现起的前天，若某次舆情过程中至少有一天的舆论场指数大于，则认为本次舆情是严重的.某购物平台利用舆论场指数就某次舆情进行分析，将舆论事件出现起第1，2，3天的舆论场指数整理成如下表格： 天数 1 2 3 舆论场指数 12 48 156 为研究舆论场指数的变化情况，技术人员提出了三种函数模型用以刻画数据：①；②；③其中含的项的系数均不为0. (1)请从①，②，③中选择一个最合适的函数模型（直接写结果，不用证明）； (2)运用（1）中选取的函数模型，预测第4天时的舆论场指数； (3)若本次舆情不是严重的，求的最小值. 【答案】(1)③ (2) (3) 【分析】（1）根据表格中数据以及指数爆炸模型可得结论； （2）利用待定系数法求得函数解析式，即可做出预测； （3）将问题转化为不等式恒成立再利用二次函数性质可求得结果. 【详解】（1）③； 根据表格中数据可以看出舆论场指数增长非常快，符合指数函数性质，故选③； （2）将表格数据代入，得，， 解得， 故函数为， 则第4天时的舆论场指数为. （3）若本次舆情不是严重的，则恒成立， 原式等于，故两边同时除以，得到， 不妨设，故原式等于，整理得， 由于在上单调递减，故只需要当时，成立即可， 代入得，解得， 故的最小值为. 【变式3】（24-25高一上·贵州黔东南·期末）近年来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力.某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与第天的函数关系近似满足（为常数，且，，），日销售量（单位：件）与第天的部分数据如表所示： 5 10 15 20 25 45 50 55 50 45 已知第5天的日销售收入为459元.给出以下三个函数模型：①；②；③. (1)请你根据表中的数据，从中选择你认为合适的一种函数模型来描述日销售量与的变化关系，并求出该函数的解析式； (2)设该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的解析式； (3)该工艺品的日销售收入哪天最低？最低收入是多少？ 【答案】(1)选择模型②， (2)， (3)该工艺品的日销售收入第30天最低，最低收入是元 【分析】（1）根据题意易知选择函数模型②，从而再根据题意建立方程，即可求解； （2），从而可求的解析式； （3）利用基本不等式及函数单调性，即可求解． 【详解】（1）由表格中的数据知，随着x的增大，先增后减， ①③函数模型描述的都是单调函数，不符合该数据模型， 所以选择函数模型②：， 由，可得，解得， 因为，解得， 则日销售量与时间x的关系式为. （2）因为第5天的日销售收入为459元， 则，解得，所以， 由（1）知， 则. （3）当，时，， 当且仅当，即时，等号成立； 当，时，单调递减， 所以函数的最小值为， 综上可得，当时，函数取得最小值元. 所以该工艺品的日销售收入第30天最低，最低收入是元. 期末基础通关练（测试时间：20分钟） 一、单选题 1．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表： 1 2 3 4 5 136.136 15.552 10.88 则不一定包含的零点的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据零点存在定理可确定结果. 【详解】因为，，，且函数的图象是连续的， 所以函数在区间，，上均有零点. 而，所以函数在上未必有零点. 故选：A 2．（24-25高一上·广东广州·期末）函数在下列哪个区间必有零点（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数单调性结合零点存在性定理分析判断. 【详解】因为函数在定义域内单调递增，且， 所以函数有唯一零点，且零点在区间内. 故选：B. 3．（25-26高一上·西藏拉萨·期末）已知函数的图象在上连续不断，则“”是“在区间上有零点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】根据零点存在性定理，及定理本身就是充分不必要条件，即可作出判断. 【详解】因为函数的图象在上连续不断，若，则在区间上有零点，所以“”是“在区间上有零点”的充分条件；若，满足在区间上有零点，但是，所以“”不是“在区间上有零点”的必要条件，所以“”是“在区间上有零点”的充分不必要条件． 故选A． 4．（25-26高一上·辽宁·月考）已知函数的零点在区间内，且，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据题意发现，再由函数零点存在定理即可求解． 【详解】因为的图象是一条连续的曲线， 且和都为增函数， 所以在上单调递增， 又， 由函数零点存在定理可知，的零点在区间内， 所以． 故选：B． 5．（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·月考）小丁同学用二分法求方程在内近似解的过程中，由计算可得，则小丁同学在下次应计算的函数值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二分法的计算方法即可判断. 【详解】因为，则方程的解应该落在区间内， 根据二分法的计算方法，下次应计算的函数值为区间中点函数值，即. 故选：D. 6．（24-25高一上·四川内江·期末）在下列区间中，方程的解所在的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数单调性结合零点存在性定理分析判断. 【详解】因为在定义域内单调递增， 可知函数在定义域内单调递增， 又因为， 可知函数的唯一零点在区间内， 所以方程的解所在的区间为. 故选：B. 7．（24-25高一上·上海杨浦·期末）近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：），放电时间t（单位：）与放电电流I（单位：）之间关系的经验公式：，其中为Peukert常数.为测算某蓄电池的Peukert常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间，则该蓄电池的Peukert常数n大约为（    ） A．1.19 B．2.19 C．3.19 D．4.19 【答案】B 【分析】由题意可得，运算求解即可. 【详解】由题意可得，即， 可得，所以. 故选：B. 8．（24-25高一上·湖南常德·期末）在房屋装修时常需要喷洒药剂消毒.已知某种药剂的平衡浓度为（单位：摩尔/升），喷洒后的浓度与滞留时间（单位：天）满足关系式.现用该种药剂进行室内消毒，则其浓度从降至所需要的时间大约为（    ）（参考数据：） A．0.46天 B．0.56天 C．0.73天 D．0.88天 【答案】A 【分析】利用药剂浓度从降至所需要的时间减去浓度从降至所需要的时间即可求解. 【详解】设药剂浓度从降至所需要的时间为， 浓度从降至所需要的时间为， 则浓度从降至所需要的时间为. 由题意可得， 两式相除，得到0.46， 故所需要的时间大约为0.46天， 故选：A. 9．（24-25高一上·河北张家口·期末）某公司2020年全年投入某项技术的研发资金为120万元，并且计划以后每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入该项技术的研发资金开始超过200万元的年份是（    ） 参考数据. A．2028年 B．2029年 C．2030年 D．2031年 【答案】D 【分析】设第年投入元（2020年为第年），则，令，根据指数函数的性质及对数的运算性质计算可得. 【详解】设第年投入元（2020年为第年），则， 令，即， 所以， 则， 则第年该公司全年投入该项技术的研发资金开始超过200万元， 即年该公司全年投入该项技术的研发资金开始超过200万元. 故选：D 10．（24-25高三下·北京·开学考试）“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明•《增广贤文》）是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是.那么大约经过（    ）天后“进步”的是“退步”的2倍.请选出最接近的一项.（，，）（    ） A．25 B．30 C．35 D．40 【答案】C 【分析】根据题意列出不等式，利用指数和对数的运算性质求解即可． 【详解】假设经过天，“进步者”是“退步者”的2倍， 列方程得，即， 解得， 即经过约35天，“进步者”是“退步者”的2倍． 故选：C． 11．（24-25高一上·江苏苏州·期末）按照《中小学校教室换气卫生要求》，教室内空气中二氧化碳浓度不高于，经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内的二氧化碳浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数（）描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间（单位：分钟）的最小整数值为（    ）（参考数据：） A．1 B．3 C．5 D．10 【答案】B 【分析】由，，可得，再由，求解即可. 【详解】当时，，解得， 所以. 令，即， 即， 所以，故所需时间(单位：分钟)的最小整数值为. 故选：B. 12．（24-25高一上·河南郑州·期末）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为，其中，k是正的常数，如果在前5h消除了的污染物，那么污染物减少到需要花（   ）h（精确到1h，参考数据：） A．5 B．6 C．15 D．18 【答案】C 【分析】根据题设条件可得，据此可求污染物减少到需要的时间. 【详解】由题设有，故，故， 令，故，故， 所以， 故选：C. 二、填空题 13．（2025·山东·模拟预测）函数的零点为 . 【答案】5 【分析】令，得解出即可求解. 【详解】令，得，所以，解得或（舍去）. 故答案为：5. 三、解答题 14．（22-23高一上·辽宁大连·期中）随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)； (2)年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元 【分析】（1）分和两种情况，进行求解利润； （2）时，可利用二次函数的特点求最大利润值，时，利用基本不等式求最值，最后要对两个最值比较，得出最大利润． 【详解】（1）当时，； 当时，， ． （2）若，当时，万元； 若， ， 当且仅当时，即时，万元， 由于，故该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大， 最大利润是1680万元． 15．（24-25高一上·江西景德镇·期末）现代研究成果显示，茶水的口感与水的温度有关.经实验表明，用100°C的水泡制，待茶水温度降至60°C时，饮用口感最佳.某中学学生利用课余时间探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据如下表： 时间/min 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 100 92 84.8 78.32 72.49 67.24 设茶水温度从100°C经过后温度变为°C，现给出以下三种函数模型： ①； ②； ③. (1)从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式； (2)根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）（参考数据：，）； 【答案】(1)选模型②，且 (2) 【分析】（1）根据表格数据判断函数的单调性及增长率，根据一次函数、指对数函数性质确定模型，再结合数据求解析式； （2）根据（1）求出的模型进行计算. 【详解】（1）由表格数据知：函数单调递减且递减速度逐渐变慢，故模型①③不符合， 选模型②，则，可得， 所以且； （2）令，则， 所以泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间为. 期末重难突破练（测试时间：40分钟） 一、单选题 1．（24-25高一上·江苏盐城·期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.9mg/mL.如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（    ） （结果取整数，参考数据：，） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】设经过个小时才能驾驶，则，再根据指数函数的性质及对数的运算性质计算可得. 【详解】设经过个小时才能驾驶，则，即， 由于函数在定义域上单调递减， 所以， 故他至少经过7小时才能驾驶. 故选：D. 2．（24-25高一上·贵州铜仁·期末）美国生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为．已知描述的是某一种树木的高度随着栽种时间（单位：年）变化的规律．若刚栽种时该树的高度为，经过一年，该树的高度为，则该树的高度超过至少需要（附：）（   ） A．4年 B．5年 C．6年 D．7年 【答案】B 【分析】由题意得方程组，解出的值，再代入不等式，解得的取值范围，即可得到答案. 【详解】由题意可知，即，解得， 则不等式整理为，即， 即. 因为，所以最小为5. 故选：B. 3．（24-25高一上·山东德州·期末）教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳最高容许浓度为0.15%.经测定，刚下课时，空气中含有0.35%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，又测定，当时，教室内空气中含有0.2%的二氧化碳，则该教室内从刚下课时的二氧化碳浓度达到国家标准，所需要时间（单位：分钟）的最小整数值为（参考数据，）（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】由题意可知当时，，代入函数中可求出的值，当时，，代入函数中可求出的值，从而可求出函数解析式，然后将代入函数求出即可. 【详解】由题意可知当时，，所以，得， 所以， 当时，，则， 所以，得， 所以，，得， 所以， 当时，， 得，所以， ，得， 所以所求时间的最小整数值为8. 故选：C 4．（24-25高一上·吉林长春·期末）华为手机的大部分零件已实现国产化，5G技术更是遥遥领先，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率以及信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，香农公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至5000，则最大信息传递速度大约增加了（    ） （参考数值：） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把两个信噪比代入，然后作商运算即可. 【详解】由题意， 由参考数值可得：， 大约增加了， 故选：B 5．（24-25高一上·江苏南京·期末）根据国际标准，室内二氧化碳浓度应不超过1000ppm，在这个范围内，室内空气质量良好，人体健康不受到影响.已知某室内二氧化碳浓度与开窗通风的时长（分钟）之间的关系式为.经测定，该室内初始时刻的二氧化碳浓度为2000ppm，要使该室内的二氧化碳浓度达到国际标准，则需要开窗通风的时长至少约为（   ） （参考数据：，） A．6分钟 B．8分钟 C．10分钟 D．12分钟 【答案】C 【分析】根据给定的信息求出函数关系式，再建立不等式求解即得. 【详解】依题意，时，，则，解得， 因此，由，得，解得， 则，， 所以需要开窗通风的时长至少约为10分钟. 故选：C 6．（24-25高一上·海南·期末）若函数没有零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数、一次函数性质化为时恒成立求参数范围. 【详解】当时，恒成立，要使没有零点， 所以，时，恒成立，即恒成立， 所以，即实数的取值范围是. 故选：A 7．（24-25高一上·江苏泰州·期末）已知是函数的零点，是函数的零点，则的值所在的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据零点存在性定理分析可知函数存在唯一零点，且，可得，即可得结果. 【详解】因为在内单调递增， 可知函数在定义域内单调递增， 且， 可知函数存在唯一零点， 注意到，即， 且是函数的零点，可得，即， 结合选项可知的值所在的区间为. 故选：C. 8．（24-25高一上·江西宜春·期末）已知函数的零点分别是，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将问题转换成，，与交点的横坐标即可判断； 【详解】令， 得， 则为函数与交点的横坐标， 为函数与交点的横坐标， 为函数与交点的横坐标， 在同一直角坐标系中，分别作出和的图象， 如图所示，由图可知，. 故选：C. 9．（24-25高一上·江苏淮安·期末）已知函数，若关于x的方程至少有两个不等的实根，则实数a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将函数写成分段函数，作出图象，将问题转化为关于x的方程至少有两个不同的交点，结合图象得，求解即可． 【详解】因为， 作出函数的图象，如图所示： 关于x的方程至少有两个不等的实根， 即关于x的方程至少有两个不同的交点， 所以， 当时，令，解得， 当时，令，解得， 所以，解得． 故选：A 10．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数，若函数有7个不同的零点，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出函数的图象，将函数的零点转化为方程的个数对应的的取值的总和个数，结合图象可得结论. 【详解】令，由函数有7个不同的零点可知方程有两个不相等的实数根， 对应的的取值共有7个； 易知的图象如下所示： 显然，即的图象与的图象有4个交点，对应的的取值共有4个, 因此对应的的取值共有3个，即的图象与的图象有三个交点， 由图可知，当时满足题意. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将函数的零点个数转化为函数与函数交点个数的问题，画出对应图象可实现问题求解. 二、多选题 11．（24-25高一上·广东佛山·期末）某机构根据逻辑斯蒂增长模型结合过去15年的数据，对2010~2040年我国新能源汽车的市场渗透率进行了模拟和预测，得到我国新能源汽车的市场渗透率与时间（单位：年，规定表示2010年初）的函数关系为，则下列结论正确的是（    ）参考数据：. A．的图象关于点中心对称 B．的图象关于直线对称 C．2022年初，我国新能源汽车的市场渗透率不足 D．预计2030年初，我国新能源汽车的市场渗透率超过 【答案】ACD 【分析】求出的值判断A；求出的值判断B；结合，求出判断C；结合，求出判断D. 【详解】对于A，， 所以的图象关于点中心对称，故A正确； 对于B，， 所以的图象不关于直线对称，故B错误； 对于C，，因为，所以，所以， 所以，故C正确； 对于D，，因为，所以， 所以，故D正确； 故选：ACD. 12．（25-26高一上·江苏无锡·期中）设函数，且关于的方程恰有3个不同的实数根，则下列说法正确的是（   ） A．的取值范围是 B． C．的取值范围为 D．的取值范围是 【答案】BCD 【分析】分析函数的性质，将方程零点问题转化为函数的图象与直线的交点问题，再作出函数图象，利用图象，结合二次函数性质逐项求解判断. 【详解】函数在上单调递减，函数值集合为； 在上单调递增，函数值集合为；在上单调递减，函数值集合为， 方程恰有3个不同的实数根，即函数的图象与直线有3个交点， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图： 对于A，的取值范围是，A错误； 对于B，为方程，即的两个根，，B正确； 对于C，由，得，又，解得， 因此，C正确； 对于D，由选项B知，，则， 函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，而，则， 因此的取值范围是，D正确. 故选：BCD 三、解答题 13．（25-26高一上·重庆·月考）重庆是火锅美食之都，特色火锅食材加工产业发展迅速.为了满足市场需求和保障火锅食材供应链的稳定，某重庆特色火锅食材生产厂家年投入固定成本150万元，每生产万吨，需另投入成本（万元）.当年产量不足60万吨时，；当年产量不小于60万吨时，.通过市场分析，若每万吨售价为400万元时，该厂年内生产的火锅食材能全部售完.（注：利润=销售收入-总成本） (1)求出年利润（万元）关于年产量（万吨）的解析式； (2)年产量为多少万吨时，该厂在这一火锅食材生产中所获利润最大？并求出利润的最大值. 【答案】(1) (2)当年产量为90万吨时，该厂在这一火锅食材生产中所获利润最大为1050万元 【分析】（1）由利润销售收入总成本，对讨论分为和时，求得函数的解析式； （2）分别运用二次函数的最值求法和基本不等式可得所求最大值和相应的值，比较最值即可得结论． 【详解】（1）当时， 当时， 综上：； （2）当时，， ∴当时，取最大值（万元）， 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， ∴当时，取最大值（万元）, ∵， 故当年产量为90万吨时，该厂在这一火锅食材生产中所获利润最大为1050万元. 14．（25-26高一上·广东深圳·月考）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳．某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y（单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间/分钟 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33 (1)给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，并利用前2分钟的3组数据求出相应的解析式． (2)根据（1）中所求模型， （ⅰ）请推测实验室室温（注：茶水温度接近室温时，将趋于稳定）； （ⅱ）求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间． （参考数据：lg3≈0.48，lg5≈0.7） 【答案】(1)选模型②，理由见解析，解析式为 (2)（i）实验室室温为，（ii）刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间为． 【分析】（1）由表格数据可知函数单调性及变化快慢，选模型②，把前3组数据代入求出，，的值，即可得到函数解析式； （2）（i）利用指数函数的性质求解；（ii）令，结合对数的运算性质求出的值即可． 【详解】（1）由表格数据可知，函数单调递减且递减速度逐渐变慢， 模型③为单调递增的函数，不符合， 模型①为直线型，不符合递减速度逐渐变慢， 故模型①③不符合，选模型②， 则，解得， 所以； （2）（i）因为当趋于无穷大时，无限接近于， 所以推测实验室室温为； （ii）令，则， 所以， 即刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间为． 15．（25-26高一上·江苏扬州·期中）2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革.某科技AI研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分（满分100分）和有效训练时长（单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段.通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：；已知初始综合性能评分，且在处函数图象是连续不断的. (1)求常数和的值； (2)已知大模型的标准化训练效率定义为，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？ 【答案】(1)， (2)（百GPU小时）时，“天穹”模型的标准化训练效率最高. 【分析】（1）根据函数的初始值和连续性求出的值即可. （2）先求出不同的范围时的解析式，然后根据基本不等式的性质以及二次函数的性质分别求出不同的范围时的最大值，然后进行比较即可. 【详解】（1）因为， 又，所以. 所以当时， 又因为在处函数图象是连续不断的， 所以， 解得. （2）由（1）可得， 当时，， 此时. 因为，所以， 当且仅当时，即时等号成立， 此时，此时的最大值为； 当时，， 此时 ， 综上，当时，，此时“天穹”模型的标准化训练效率最高. 期末综合拓展练（测试时间：20分钟） 一、单选题 1．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可. 【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增， 所以在定义域上单调递减， 显然， 所以根据零点存在性定理可知的零点位于. 故选：B 2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】画出两函数在上的图象，根据图象即可求解 【详解】因为函数的最小正周期为， 函数的最小正周期为， 所以在上函数有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有6个交点. 故选：C 3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】解法一：令，分析可知曲线与恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得，并代入检验即可；解法二：令，可知为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即可得，并代入检验即可. 【详解】解法一：令，即，可得， 令， 原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点， 注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上， 可得，即，解得， 若，令，可得 因为，则，当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点， 所以符合题意； 综上所述：. 解法二：令， 原题意等价于有且仅有一个零点， 因为， 则为偶函数， 根据偶函数的对称性可知的零点只能为0， 即，解得， 若，则， 又因为当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 即有且仅有一个零点0，所以符合题意； 故选：D. 二、多选题 4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）对于函数和，下列说法中正确的有（    ） A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴 【答案】BC 【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可. 【详解】A选项，令，解得，即为零点， 令，解得，即为零点， 显然零点不同，A选项错误； B选项，显然，B选项正确； C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确； D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足， 的对称轴满足， 显然图像的对称轴不同，D选项错误. 故选：BC 三、填空题 5．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】将函数转化为方程，令，分离参数，构造新函数结合导数求得单调区间，画出大致图形数形结合即可求解. 【详解】令，即，令 则，令得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，， 因为曲线与在上有两个不同的交点， 所以等价于与有两个交点，所以. 故答案为： 6．（2024·天津·高考真题）设，函数.若恰有一个零点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】结合函数零点与两函数的交点的关系，构造函数与，则两函数图象有唯一交点，分、与进行讨论，当时，计算函数定义域可得或，计算可得时，两函数在轴左侧有一交点，则只需找到当时，在轴右侧无交点的情况即可得；当时，按同一方式讨论即可得. 【详解】令，即， 由题可得， 当时，，有，则，不符合要求，舍去； 当时，则， 即函数与函数有唯一交点， 由，可得或， 当时，则，则， 即，整理得， 当时，即，即， 当，或（正值舍去）， 当时，或，有两解，舍去， 即当时，在时有唯一解， 则当时，在时需无解， 当，且时， 由函数关于对称，令，可得或， 且函数在上单调递减，在上单调递增， 令，即， 故时，图象为双曲线右支的轴上方部分向右平移所得， 由的渐近线方程为， 即部分的渐近线方程为，其斜率为， 又，即在时的斜率， 令，可得或（舍去）， 且函数在上单调递增， 故有，解得，故符合要求； 当时，则， 即函数与函数有唯一交点， 由，可得或， 当时，则，则， 即，整理得， 当时，即，即， 当，（负值舍去）或， 当时，或，有两解，舍去， 即当时，在时有唯一解， 则当时，在时需无解， 当，且时， 由函数关于对称，令，可得或， 且函数在上单调递减，在上单调递增， 同理可得：时，图象为双曲线左支的轴上方部分向左平移所得， 部分的渐近线方程为，其斜率为， 又，即在时的斜率， 令，可得或（舍去）， 且函数在上单调递减， 故有，解得，故符合要求； 综上所述，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于将函数的零点问题转化为函数与函数的交点问题，从而可将其分成两个函数研究. 7．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】令，得有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解. 【详解】因为，所以， 令，则有3个根， 令，则有3个根，其中， 结合余弦函数的图像性质可得，故， 故答案为：. 8．（2023·天津·高考真题）设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断的取值范围． 【详解】（1）当时，， 即， 若时，，此时成立； 若时，或， 若方程有一根为，则，即且； 若方程有一根为，则，解得：且； 若时，，此时成立． （2）当时，， 即， 若时，，显然不成立； 若时，或， 若方程有一根为，则，即； 若方程有一根为，则，解得：； 若时，，显然不成立； 综上， 当时，零点为，； 当时，零点为，； 当时，只有一个零点； 当时，零点为，； 当时，只有一个零点； 当时，零点为，； 当时，零点为． 所以，当函数有两个零点时，且． 故答案为：． 【点睛】本题的解题关键是根据定义去掉绝对值，求出方程的根，再根据根存在的条件求出对应的范围，然后根据范围讨论根（或零点）的个数，从而解出． 四、解答题 9．（2023·上海·高考真题）函数 (1)当时，是否存在实数c，使得为奇函数； (2)若函数过点，且函数图像与轴负半轴有两个不同交点，求实数a的取值范围. 【答案】(1)不存在 (2)且 【分析】（1）将代入得，先考虑其定义域，再假设为奇函数，得到方程无解，从而得以判断； （2）先半点代入求得，从而得到，再利用二次函数的根的分布得到关于的不等式组，解之可得，最后再考虑的情况，从而得到的取值范围. 【详解】（1）当时，，定义域为， 假设为奇函数，则， 而，则，此时无实数满足条件， 所以不存在实数，使得函数为奇函数； （2）图像经过点，则代入得，解得， 所以，定义域为， 令，则的图像与轴负半轴有两个交点， 所以，即，解得， 若，即是方程的解， 则代入可得，解得或. 由题意得，所以实数的取值范围是且. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $