2.3确定二次函数的表达式同步练习2025-2026学年北师大版数学九年级下册

确定二次函数的表达式 一、单选题 1．一个二次函数图象的顶点坐标是，且过另一点，则这个二次函数的解析式为(   ) A． B． C． D． 2．一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 3．一个二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线，则这个二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 4．已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 1 3 5 … … 5 0 12 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　） A． B．函数图象开口向下 C．当时，随的增大而减小 D．的最小值是 5．已知二次函数的图象经过点，把该二次函数的图象关于x轴对称后得到新二次函数的图象，则新二次函数有（    ） A．最大值－3 B．最小值－3 C．最小值3 D．最大值3 6．如图，在的网格中标记了4个格点，已知网格中每个小正方形的边长为1，若二次函数的图象经过其中的3个格点，则的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 7．若二次函数的图象经过原点，则的值为（    ） A． B． C．或 D．无法确定 8．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 9．下列抛物线中，与抛物线形状相同、开口方向不同，且顶点坐标为的是（   ） A． B． C． D． 10．若抛物线可由抛物线平移得到，且对称轴是直线，并经过点，则该抛物线的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知二次函数关于x轴对称的图象经过点，则a的值为 ． 12．写出抛物线经过原点的一个二次函数的解析式为 ． 13．二次函数中的x和y的部分对应值如表所示： x … 0 1 2 3 … y … 3 0 0 … 则这个二次函数的表达式为 ． 14．抛物线如图所示，则它的解析式是 ． 15．已知二次函数图象与轴的一个交点坐标为，顶点坐标为，则该二次函数的解析式为 ． 16．已知二次函数的图象经过点，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是 ．（写出一个即可） 三、解答题 17．已知抛物线的顶点为，且经过点，将抛物线绕原点旋转后，得到抛物线，求的解析式． 18．已知抛物线经过点，． (1)求此抛物线的函数解析式． (2)如果在平面直角坐标系中将此二次函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，直接写出平移后得到的二次函数的解析式 ． 19．已知二次函数，顶点为． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如果不同的两个点，在这个函数图像上，求的值． 20．如图，直线和抛物线交于点，． (1)求抛物线的表达式； (2)求不等式的解集（直接写出答案）． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D D B A B A D D 1．C 【分析】主要考查待定系数法求二次函数的解析式．当知道二次函数的顶点坐标时通常使用二次函数的顶点式来求解析式．顶点式：． 设抛物线的表达式为，将代入上式，即可求解； 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标是， ∴设抛物线的表达式为，其中， 将代入上式，得 ， 解得， 故抛物线的表达式为． 故选C． 2．B 【分析】此题主要考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的表达式，理解二次函数的形状、开口方向、顶点坐标，熟练掌握二次函数的顶点式是解决问题的关键．根据抛物线的形状、开口方向与抛物线相同得出再结合顶点为即可得出抛物线的解析式． 【详解】解：抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为． 该抛物线的解析式为∶ ． 故选∶B 3．D 【分析】本题考查了待定系数法二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的顶点式是解题的关键。已知对称轴为，设二次函数的解析式为，将图像中两点代入即可解得解析式. 【详解】解：由题可知，对称轴为直线， 设二次函数解析式为． 将两点代入， 得， 解得． 故这个二次函数的解析式为． 故选：D. 4．D 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据表格的数据，把代入，求出再根据二次函数的图象性质进行分析，得对称轴是直线，当时，函数取得最小值，，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：把代入， 得 解得 ∴二次函数的解析式为 函数的图象是开口向上的抛物线，且对称轴是直线 ∴当时，函数取得最小值， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大． 由以上分析知，B、C不符合题意， D符合题意； ， 故A不符合题意． 故选 D 5．B 【分析】本题主要考查了求二次函数的关系式，关于坐标轴对称的点的特征， 先求出二次函数的关系式，再确定关于x轴对称的二次函数的关系式，则答案可得． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴二次函数的关系式为，顶点坐标为， ∴顶点坐标关于x轴对称点的坐标为， ∴新二次函数的关系式为， 当时，新二次函数有最小值． 故选：B． 6．A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的开口越小，值越大，分和两种情况 建立平面直角坐标系，利用待定系数法，求出a值即可． 【详解】解：二次函数的开口越小，值越大，分以下两种情况： 当，如图，建立平面直角坐标系， ∴二次函数的图象经过其中的3个格点，则只能过，，或，，，或，，， 当时，过，，三点的抛物线的开口最小， 设抛物线解析式为，将代入得， ， 解得：； 当时，如图，建立平面直角坐标系， 二次函数的图象经过、、三点， 设抛物线解析式为，将代入得， ， 解得：； 综上，的最大值为． 故选：A． 7．B 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，注意二次函数二次项系数不为． 把代入求解，注意的取值范围． 【详解】解：把代入得， 解得或， ， ， 故选：B． 8．A 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式．根据顶点坐标设二次函数顶点式，现再将或代入，即可求解． 【详解】解：由图知道，抛物线的顶点坐标是，且过点， 设二次函数，把代入得， 解得． 故二次函数的解析式为． 故选：A． 9．D 【分析】本题考查了二次函数的性质，用待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题关键.根据抛物线与抛物线形状相同、开口方向不同，得到二次项系数为，再根据顶点坐标为，即可得到抛物线的解析式. 【详解】解：抛物线与抛物线形状相同、开口方向不同， 该抛物线的二次项系数为， 顶点坐标为， 该抛物线解析式为 故选：D. 10．D 【分析】本题考查二次函数的性质，解析式，平移的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的解析式的求法． 【详解】由抛物线平移得到，且对称轴是直线： 设抛物线的解析式为：， 过点，得到 解得：， 所以抛物线的解析式为： 故选：D 11．2 【分析】本题考查了坐标与图形变化——轴对称，利用待定系数法求二次函数表达式．二次函数图象上的点的坐标都满足函数关系式，掌握以上知识是解题的关键． 由题意可知二次函数的图象经过点，再将代入求解即可． 【详解】∵二次函数关于x轴对称的的图象经过点， ∴二次函数的图象经过点， 将点代入，得， 整理得， 解得． 故答案为：2． 12．（答案不唯一） 【分析】本题考查二次函数各系数的意义，熟练掌握二次函数各项系数的意义是解题的关键，根据题意抛物线经过原点，可得中，从而得到答案． 【详解】解：∵抛物线经过原点， ∴中， ∴． 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法的一般步骤是解题的关键．解题时利用待定系数法解答，将表格中的x，y的对应值分别代入得到三元一次方程组，解三元一次方程组即可得出结论． 【详解】解：表格中的x，y的对应值分别代入得： ， 解得：， ∴这个二次函数的表达式为． 故答案为：． 14． 【分析】此题考查了待定系数法求抛物线的解析式，根据图象确定抛物线过点，将其代入解析式求出b，c的值即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线过点， 则， 解得， ∴抛物线的解析式为， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，求二次函数解析式时,要根据条件选择简单的形式求解．①已知三点时，设一般式：（）；②已知顶点和一点时，设顶点式：（），其中顶点为，a为待定系数；③已知与x轴的两交点时，设交点式：（），其中分别为两交点的横坐标，a为待定系数． 已知顶点，一般应该设抛物线解析式的顶点式，只需要求待定系数a的值即可确定解析式． 【详解】解：∵二次函数图象的顶点为， ∴， 又由二次函数图象与轴的一个交点坐标为， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 16．（答案不唯一） 【分析】本题考查待定系数法确定二次函数表达式，先由二次函数的图象经过点，得到，再由二次函数的图象不经过原点，得到，从而得确定，若取，即可得到，从而确定函数表达式．熟练掌握待定系数法确定函数表达式的方法是解决问题的关键． 【详解】解：二次函数的图象经过点， ， 二次函数的图象不经过原点， ， 则， 若取，则， 该二次函数的表达式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 17． 【分析】本题考查了求二次函数解析式，以及旋转的性质，设抛物线的解析式为：，利用待定系数法求出抛物线的解析式，再根据抛物线绕原点旋转后的顶点为，进而即可推出抛物线的解析式． 【详解】解：设抛物线的解析式为：， ∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， 抛物线绕原点旋转后的顶点为， ∴解析式为：． 18．(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，求得二次函数解析式是解题的关键． （1）将点，代入抛物线解析式，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可解答； （2）先将化为顶点式，再根据二次函数的平移口诀：左加右减，上加下减，即可解答． 【详解】（1）解：由题意，将点，代入抛物线解析式， 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：∵， ∴向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得平移后的二次函数的解析式为， 故答案为：． 19．(1) (2)2 【分析】本题考查了二次函数的性质，求二次函数的解析式等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）由抛物线的顶点坐标即可求解； （2）由题意知，C、D两个点关于抛物线的对称轴对称，由此即可求解． 【详解】（1）解：由题意知，解得：， ∴； 把点代入上式中，得：， 解得：， ∴； （2）解：∵点，在这个函数图像上，且纵坐标相等， ∴这两个点关于抛物线的对称轴对称， ∴， ∴． 20．(1) (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、图象法求不等式的解集，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）代入，到，利用待定系数法即可求解； （2）观察二次函数的图象在直线上方时对应的范围即可． 【详解】（1）解：代入，到，得， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：由图象得，当或时，， ∴不等式的解集为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 确定二次函数的表达式 一、单选题 1．一个二次函数图象的顶点坐标是，且过另一点，则这个二次函数的解析式为(   ) A． B． C． D． 2．一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 3．一个二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线，则这个二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 4．已知二次函数的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 1 3 5 … … 5 0 12 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　） A． B．函数图象开口向下 C．当时，随的增大而减小 D．的最小值是 5．已知二次函数的图象经过点，把该二次函数的图象关于x轴对称后得到新二次函数的图象，则新二次函数有（    ） A．最大值－3 B．最小值－3 C．最小值3 D．最大值3 6．如图，在的网格中标记了4个格点，已知网格中每个小正方形的边长为1，若二次函数的图象经过其中的3个格点，则的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 7．若二次函数的图象经过原点，则的值为（    ） A． B． C．或 D．无法确定 8．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 9．下列抛物线中，与抛物线形状相同、开口方向不同，且顶点坐标为的是（   ） A． B． C． D． 10．若抛物线可由抛物线平移得到，且对称轴是直线，并经过点，则该抛物线的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知二次函数关于x轴对称的图象经过点，则a的值为 ． 12．写出抛物线经过原点的一个二次函数的解析式为 ． 13．二次函数中的x和y的部分对应值如表所示： x … 0 1 2 3 … y … 3 0 0 … 则这个二次函数的表达式为 ． 14．抛物线如图所示，则它的解析式是 ． 15．已知二次函数图象与轴的一个交点坐标为，顶点坐标为，则该二次函数的解析式为 ． 16．已知二次函数的图象经过点，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是 ．（写出一个即可） 三、解答题 17．已知抛物线的顶点为，且经过点，将抛物线绕原点旋转后，得到抛物线，求的解析式． 18．已知抛物线经过点，． (1)求此抛物线的函数解析式． (2)如果在平面直角坐标系中将此二次函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，直接写出平移后得到的二次函数的解析式 ． 19．已知二次函数，顶点为． (1)求这个二次函数的表达式； (2)如果不同的两个点，在这个函数图像上，求的值． 20．如图，直线和抛物线交于点，． (1)求抛物线的表达式； (2)求不等式的解集（直接写出答案）． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $