2.2二次函数的图像与性质 同步练习 2025-2026学年北师大版数学九年级下册

二次函数的图像与性质 一、单选题 1．在同一坐标系中画出的图象，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知二次函数，如果当时，，则下列说法正确的是（ ） A．没有最大值，有最小值 B．没有最大值，也没有最小值 C．有最大值，没有最小值 D．有最大值，也有最小值 3．下列图像是二次函数的图像的是（　　） A． B． C． D． 4．当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 5．将二次函数化为的形式，下列结果正确的是（    ）． A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ）． A．   B．   C．   D．   7．已知抛物线，下列结论错误的是（    ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线 C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小 8．函数的最大值与最小值分别是（   ） A．1和 B．5和 C．4和 D．5和 9．已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 10．二次函数的图象如图所示，则函数值时，的取值范围是（    ）    A． B． C． D．或 二、填空题 11．如图，抛物线与直线相交于点和点，点，的横坐标分别为和，则当时，的取值范围为 ． 12．如图，二次函数的部分图象与轴交于点，对称轴为直线，则当函数值时，自变量的取值范围是 ； 13．把抛物线向右平移一个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式是 ． 14．已知点是抛物线上的两点，则m，n的大小关系为 ． 15．已知抛物线的对称轴是直线，那么的值等于 ． 16．如图，已知抛物线与直线相交于两点，则不等式成立时，的取值范围是 ． 三、解答题 17．已知二次函数． (1)在平面直角坐标系中用“列表、描点、连线”的方法画出该二次函数的图象； x … … y … … (2)若点和点都在此函数的图象上，且，结合函数图象，直接写出t的取值范围为______． 18．把抛物线向左平移6个单位长度后得到抛物线，抛物线的顶点为A，且与y轴交于点B，抛物线的顶点为M，求 (1)a，h的值； (2)的值． 19．已知二次函数． (1)在所给的平面直角坐标系中画出它的图象； (2)若三点，，且，则，，的大小关系为 ． (3)把所画的图象如何平移，可以得到函数 的图象?请写出一种平移方案． 20．如图，抛物线和直线交于A，B两点． (1)求A，B两点的坐标； (2)根据图象，写出当x取何值时，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C C D A C D A C 1．D 【分析】本题考查二次函数的图象与系数a的关系，二次函数的系数a为正数时，抛物线开口向上；a为负数时，抛物线开口向下；a的绝对值越大，抛物线开口越小．根据二次函数开口大小和方向与a的关系，分析得出答案． 【详解】解：依题意，开口向下，和开口向上，且开口较小，开口较大， 故选：D． 2．A 【分析】本题考查二次函数的性质，一次函数的性质．解题的关键在于表示出的代数值，从而转化为一次函数的性质．比较综合．根据二次函数的性质，表示出、的值，即可求解． 【详解】解：二次函数， 开口向上，对称轴为直线， 当时，随增大而减小， ∴， ∵， 随t的增大而减小， ∵， ∴， ∴有最小值，没有最大值． 故选：． 3．C 【分析】本题考查了二次函数图像和性质，理解二次函数的性质是解题的关键．依据二次函数顶点式的性质，从开口方向和顶点坐标两个角度分析逐项判断即可 ． 【详解】解：函数， ， 抛物线开口向下， 选项A、B不符合题意， 抛物线的顶点坐标为（即顶点在x轴上，且横坐标为），选项C、D的抛物线开口向下，而选项C的抛物线顶点在x的负半轴上；选项D的抛物线顶点在x轴正半轴， 符合条件的是选项C， 故答案为：C． 4．C 【分析】本题考查了函数的增减性，掌握一次函数，反比例函数以及二次函数的增减性是解题关键．根据函数的相关性质逐一判断即可． 【详解】解：A、在中，，则y随x的增大而减小，不符合题意； B、在中，，则当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意； C、在中，，则y随x的增大而增大，符合题意； D、在中，，则二次函数开口向下，对称轴为直线，当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意； 故选：C． 5．D 【分析】本题考查了将二次函数化为顶点式． 配方后转化即可． 【详解】， 故选：D． 6．A 【分析】根据二次函数的顶点坐标为，它的开口方向向上，且图象经过原点，即可解答． 【详解】解：∵二次函数， ∴开口向上，顶点为，且经过原点． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的图象，解决本题的关键是明确二次函数的开口方向、顶点坐标以及与x轴的交点． 7．C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． 利用二次函数的图象和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A、二次函数解析式中， ∴抛物线开口向上，该选项正确，不符合题意； B、 抛物线的对称轴为直线，该选项正确，不符合题意； C、抛物线的顶点坐标为，该选项错误，符合题意； D、当时，y随x的增大而减小，该选项正确，不符合题意； 故选：C． 8．D 【分析】本题考查了二次函数的顶点式和二次函数的最值的运用．先将解析式化为顶点式就可以求出最小值，再根据对称轴在其取值范围内就可以求出最大值． 【详解】解：∵， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线，当时y有最小值， ∵， ∴时，是最大值， ∴函数的最大值为5，最小值为． 故选：D． 9．A 【分析】本题考查了二次函数和反比例函数图象特征，根据反比例函数图象确定出k是负数，然后根据二次函数的开口方向、对称轴、与y轴的交点坐标确定出函数图象，从而得解． 【详解】解：∵反比例函数图象位于第二、四象限， ∴， ∴， ∴二次函数图象开口向上， 又， ∴二次函数图象与y轴的交点在y轴负半轴， 对称轴为直线， ∴对称轴在y轴左边， 纵观各选项，只有A选项符合． 故选：A． 10．C 【分析】根此题考查了二次函数的图象，据，则函数图象在轴的下方，所以找出函数图象在轴下方的的取值范围即可，利用了数形结合的思想，准确识图是解题的关键． 【详解】由图象可知，当时，函数图象在轴的下方，， 故选：． 11． 【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据抛物线图像在直线图像上方部分对应的范围即为，从而求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点，的横坐标分别为和， ∴根据图像可知当时，的取值范围为， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了二次函数的性质，观察图像可知二次函数有两个根，抛物线的两个根关于对称轴对称，正确利用数形结合分析是解题关键．直接利用二次函数的对称性得出抛物线与轴的另一个交点，进而得出答案． 【详解】解：二次函数的抛物线与轴交于，对称轴是直线， 抛物线与轴的另一个交点为：， 故当函数值时，自变量的取值范围是：． 故答案为：． 13．/ 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移法则：左加右减，上加下减，是关键；根据平移法则即可完成． 【详解】解：由题意得：， 即， 故答案为：． 14．/ 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．先求出抛物线的对称轴，然后根据二次函数的增减性判断． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，抛物线的开口向上， ∴当时，y随x的增大而增大，关于直线的对称点为， ∵， ∴， 故答案为：． 15．2 【分析】根据二次函数对称轴公式 求解．本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】由抛物线 得二次项系数 ，一次项系数 ， ∵对称轴公式为 ，且对称轴 ， ∴， 化简得：， ∴， 解得． 故答案为：2． 16． 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式的关系，由图像可求得的解集，即可获得答案，解题关键是利用数形结合的思想分析问题． 【详解】解：∵抛物线 与直线相交于两点， ∴由图可知，当时，二次函数图象在一次函数图象上方，此时， ∴的解集为， ∴不等式的解集为． 故答案为：． 17．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了画二次函数图象，图象法求自变量的取值范围，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）先列表，然后描点，最后连线即可； （2）根据函数图象求解即可． 【详解】（1）列表如下： … … … … 函数图像如下所示： （2）由函数图像可知，当时，． 18．(1) (2)144 【分析】本题考查抛物线的平移，与轴的交点，求顶点坐标，熟练掌握抛物线的平移规则：左加右减，上加下减是解题的关键． （1）根据抛物线的平移规则，求出a,h的值，即可； （2）由（1）求出两条抛物线的顶点坐标和点B的坐标，再利用面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵把抛物线向左平移6个单位长度后得到抛物线， ∴平移后的解析式为， ∴； （2）解：由（1）得：平移前的解析式为，平移后的解析式为 ∴点A的坐标为，点M的坐标为， 对于， 当时，， ∴点B的坐标为， ∴． 19．(1)见解析 (2) (3)先向左平移2个单位，再向上平移1个单位可以得到函数的图象 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，画二次函数图象，二次函数的平移特点，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）根据列表、描点、连线，画出函数图象即可； （2）根据二次函数的增减性，求出结果即可； （3）根据平移的特点，得出答案即可． 【详解】（1）解：列表： x 0 1 2 3 4 3 0 0 3 描点，连线，如图所示： （2）解：∵二次函数， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴在对称轴的右侧y随x的增大而增大， ∵， ∴； （3）解：∵， ∴先向左平移2个单位，再向上平移1个单位可以得到函数的图象． 20．(1)A的坐标是，点B的坐标是 (2) 【分析】本题考查二次函数与方程组，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）联立两函数解析式，即可求解； （2）直接观察图象，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得或， ∴A的坐标是，点B的坐标是； （2）解：根据图象，时，的图象在的图象上方， 此时． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 二次函数的图像与性质 一、单选题 1．在同一坐标系中画出的图象，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知二次函数，如果当时，，则下列说法正确的是（ ） A．没有最大值，有最小值 B．没有最大值，也没有最小值 C．有最大值，没有最小值 D．有最大值，也有最小值 3．下列图像是二次函数的图像的是（　　） A． B． C． D． 4．当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 5．将二次函数化为的形式，下列结果正确的是（    ）． A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ）． A．   B．   C．   D．   7．已知抛物线，下列结论错误的是（    ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线 C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小 8．函数的最大值与最小值分别是（   ） A．1和 B．5和 C．4和 D．5和 9．已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 10．二次函数的图象如图所示，则函数值时，的取值范围是（    ）    A． B． C． D．或 二、填空题 11．如图，抛物线与直线相交于点和点，点，的横坐标分别为和，则当时，的取值范围为 ． 12．如图，二次函数的部分图象与轴交于点，对称轴为直线，则当函数值时，自变量的取值范围是 ； 13．把抛物线向右平移一个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式是 ． 14．已知点是抛物线上的两点，则m，n的大小关系为 ． 15．已知抛物线的对称轴是直线，那么的值等于 ． 16．如图，已知抛物线与直线相交于两点，则不等式成立时，的取值范围是 ． 三、解答题 17．已知二次函数． (1)在平面直角坐标系中用“列表、描点、连线”的方法画出该二次函数的图象； x … … y … … (2)若点和点都在此函数的图象上，且，结合函数图象，直接写出t的取值范围为______． 18．把抛物线向左平移6个单位长度后得到抛物线，抛物线的顶点为A，且与y轴交于点B，抛物线的顶点为M，求 (1)a，h的值； (2)的值． 19．已知二次函数． (1)在所给的平面直角坐标系中画出它的图象； (2)若三点，，且，则，，的大小关系为 ． (3)把所画的图象如何平移，可以得到函数 的图象?请写出一种平移方案． 20．如图，抛物线和直线交于A，B两点． (1)求A，B两点的坐标； (2)根据图象，写出当x取何值时，． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $