1.5三角函数的应用 同步练习 2025-2026学年北师大版数学九年级下册

三角函数的应用 一、单选题 1．已知，是锐角，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosA＝（　　） A． B． C． D． 3．⊿ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，下列比值中不等于的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，为上一点，作于，对于的大小，下列说法正确的是（ ） A．与点的位置有关 B．与的长度有关 C．与的大小有关 D．与点的位置和的大小都无关 5．以下各数中，与的值相等的是（   ） A．1 B． C． D． 6．在中，，若，则的值为（    ） A． B． C． D．1 7．如图，已知，是斜边边上的高，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 8．已知在中，，，，那么下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，一艘游船在海上由西往东匀速航行，上午在A处观测得灯塔P位于北偏东的方向上，游船继续航行，上午到达B处，此时测得灯塔P位于北偏东的方向上，那么游船由B 处航行到达离灯塔P 距离最近的位置的时间为（　） A．上午 B．上午 C．上午 D．上午 10．如图，为了测量河两岸两地间的距离（与河岸垂直），在与垂直的方向上取点C，测得米，，则两地间的距离为（   ）米． A． B．24 C． D． 二、填空题 11．已知，则的值为 ． 12．已知：，，，请你根据上式写出你发现的规律 ． 13．在中，，，则 ． 14．在中，，，则 15．如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向、距离灯塔60海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的东南方向上的处，若海轮以每小时30海里的速度航行，则海轮从处航行到达处大约要 小时．（参考数据：，，tan） 16．如图，小明制作了一个三角形的小旗帜，测得，，，请你帮助小明计算这个小旗帜的面积为 （精确到，） 三、解答题 17．如图，在中，． (1)求证：． (2)若，求的值． 18．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点，点M在第一象限内，且，． (1)求点M的坐标． (2)求的值． 19．如图，在码头C正北方向距离28海里处有一灯塔A，在灯塔A处观测到一艘轮船在码头C的正西方向由西向东行驶，当船行驶到B处时，测得轮船在灯塔A的南偏西方向上．求轮船与码头之间的距离的长（结果保留整数）．（参考数据：） 20．如图，、区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线与地面的夹角，视线与地面的夹角，点A，F为视线与车窗底端的交点，，，．若点A到点B的距离． (1)求的长度； (2)求的长度． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D D B C D D B A 1．C 【分析】利用锐角三角函数的定义和勾股定理，求出各条边的长，再求出答案． 【详解】解：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=α， 由于，因此设BC=5k，则AC=12k， 由勾股定理得，， ∴， 故选 C． 【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，利用勾股定理求出各条边的长是解决问题的关键． 2．C 【分析】根据sin2A+cos2A＝1，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：sin2A+cos2A＝1， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了同角三角函数值的关系．解题的关键在于熟练掌握sin2A+cos2A＝1． 3．D 【分析】根据题意，画出图形，根据正切的定义和同角的正切值相同即可得出结论． 【详解】解：如下图所示 在Rt中，=，故A不符合题意； 在Rt中，=，故B不符合题意； ∵∠A＋∠ACD=90°，∠BCD＋∠ACD=90° ∴∠A=∠BCD ∴=tan∠BCD=，故C不符合题意； ≠，故D符合题意． 故选D． 【点睛】此题考查的是正切，掌握正切的定义和同角的正切值相同是解决此题的关键． 4．D 【分析】根据同角三角函数的关系可得答案． 【详解】∵， ∴的大小与角的大小无关，与P点的位置都无关. 故选D. 【点睛】本题主要了考查同角的三角函数关系：sin2+cos2=1. 5．B 【分析】本题考查互余两角三角函数的关系，熟练掌握是解题关键．根据互余两角三角函数的关系解答即可． 【详解】解：∵ ∴． 故选：B． 6．C 【分析】本题考查锐角三角函数值．根据互余两个角的三角函数值的关系进行解答即可． 【详解】解：∵中，，， ∴， 故选C． 7．D 【分析】本题考查了三角函数的理解和计算，正确理解各种三角函数的意义是解题的关键． 【详解】解：∵，是斜边边上的高，， ∴都是直角三角形． 在中， ∵， 故选项B不正确； 在中， ∵， 故选项A、C不正确． 在中， ∵， ∴． ∴， 故选项D正确． 故选：D． 8．D 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，直接利用锐角三角函数的定义分别分析得出答案． 【详解】解：如图所示： ，，， ， ，故A错误； ，故B错误； ；故错误； ，故D正确； 故选：D． 9．B 【分析】本题考查解直角三角形的应用—方位角，解本题的关键是通过作辅助线构造含特殊角的直角三角形．的延长线于点N，由题易可知知图中有两个直角三角形且，；由图中各角之间的关系可得，利用等角对等边还可进一步推出；设出该船的速度并表示出和的长，再在中表示出的长，利用路程、速度与时间的关系即可求解． 【详解】作的延长线于点N， 根据题意可得，， ∵是的一个外角， ∴， ∴， 设该船的速度为，则． ∵在中，， ∴， ∴该船继续匀速航行到达离灯塔距离最近的位置所需时间是， ∴游船由B 处航行到达离灯塔P 距离最近的位置的时间为上午， 故选：B 10．A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键； 根据题意可得三角形是直角三角形，然后利用30度角的正切求解即可. 【详解】解：∵与河岸垂直，，米， ∴（米）； 故选：A. 11． 【分析】本题考查了三角函数的性质，根据变形计算即可． 【详解】∵，， ∴， 解得， 故答案为：． 12． 【分析】从角度的倍数关系方面考虑并总结写出结论． 【详解】根据题意发现：同一个角正弦与余弦的积等于这个角的2倍的正弦的一半， 规律为：. 故答案为. 【点睛】本题考点：同角三角函数的关系. 13． 【分析】根据一个角的余弦等于它余角的正弦，可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：．    【点睛】本题主要考查三角函数的定义，由定义推出互余两角的三角函数的关系：若，则是解题关键． 14． 【分析】本题考查锐角三角函数和勾股定理，根据题意画图，由，设，，利用勾股定理求出，根据正切定义求解即可，熟练掌握各三角函数值的计算公式是解题的关键． 【详解】解：由题意可画图如下： 在中，，， ． 设，，则， ， 故答案是：． 15．2.76 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握方位角和三角函数是解题的关键．过点作于点，由题意知，根据时间等于路程除以速度进行解答即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意知 ， 则海轮从处航行到达处需要的时间 （小时）． 故答案为：2.76 16． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线是解题的关键．过点作于点，根据锐角三角函数分别求出与的长即可推出结果． 【详解】解：如图，过点作于点， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 17．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查锐角三角形函数的知识，解题的关键是掌握正弦，余弦的应用，勾股定理的应用，利用完全平方公式，对式子进行变形，进行解答，即可． （1）根据正弦，余弦，勾股定理，可得，，，通过变形可得，，，再进行计算即可； （2）根据题意，，变形可得，再根据，即可求出． 【详解】（1）解：证明如下： ∵中，， ∴，，， ∴，， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．(1)的坐标是 (2)的值为 【分析】本题主要考查三角函数的应用，解题的关键是掌握三角函数的定义． (1)作，垂足为H，在中，根据已知条件，，结合锐角三角函数的定义，求出，然后求出的长，据此即可求得点M的坐标； (2)，根据,求出的长，在中，利用勾股定理求得的长,进而根据角的三角函数值与三角形边的关系，即可求得结论． 【详解】（1）解：过点作，垂足为点， 由，， ， ， 故点的坐标是； （2）解：由（1）知， ， ． 19．轮船距离码头约为36海里 【分析】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键；由题意易得海里，，，则有，然后问题可求解． 【详解】解：根据题意，得海里． 在中，，， ， ∴， ∴（海里）； 答：轮船距离码头约为36海里． 20．(1)的长度为 (2)的长度为 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，解直角三角形的相关运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合，，得，即可作答． （2）先证明四边形是矩形，故，把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：在中，，， 则， 答：的长度为； （2）解：∵，，． ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， 则， 答：的长度为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三角函数的应用 一、单选题 1．已知，是锐角，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosA＝（　　） A． B． C． D． 3．⊿ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，下列比值中不等于的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，为上一点，作于，对于的大小，下列说法正确的是（ ） A．与点的位置有关 B．与的长度有关 C．与的大小有关 D．与点的位置和的大小都无关 5．以下各数中，与的值相等的是（   ） A．1 B． C． D． 6．在中，，若，则的值为（    ） A． B． C． D．1 7．如图，已知，是斜边边上的高，那么下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 8．已知在中，，，，那么下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，一艘游船在海上由西往东匀速航行，上午在A处观测得灯塔P位于北偏东的方向上，游船继续航行，上午到达B处，此时测得灯塔P位于北偏东的方向上，那么游船由B 处航行到达离灯塔P 距离最近的位置的时间为（　） A．上午 B．上午 C．上午 D．上午 10．如图，为了测量河两岸两地间的距离（与河岸垂直），在与垂直的方向上取点C，测得米，，则两地间的距离为（   ）米． A． B．24 C． D． 二、填空题 11．已知，则的值为 ． 12．已知：，，，请你根据上式写出你发现的规律 ． 13．在中，，，则 ． 14．在中，，，则 15．如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向、距离灯塔60海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的东南方向上的处，若海轮以每小时30海里的速度航行，则海轮从处航行到达处大约要 小时．（参考数据：，，tan） 16．如图，小明制作了一个三角形的小旗帜，测得，，，请你帮助小明计算这个小旗帜的面积为 （精确到，） 三、解答题 17．如图，在中，． (1)求证：． (2)若，求的值． 18．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点，点M在第一象限内，且，． (1)求点M的坐标． (2)求的值． 19．如图，在码头C正北方向距离28海里处有一灯塔A，在灯塔A处观测到一艘轮船在码头C的正西方向由西向东行驶，当船行驶到B处时，测得轮船在灯塔A的南偏西方向上．求轮船与码头之间的距离的长（结果保留整数）．（参考数据：） 20．如图，、区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线与地面的夹角，视线与地面的夹角，点A，F为视线与车窗底端的交点，，，．若点A到点B的距离． (1)求的长度； (2)求的长度． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $