1.5三角函数的应用课时作业 2024—2025学年北师大版数学九年级下册

1.5三角函数的应用 一、单选题（共8题） 1．在台风来临之前，有关部门用钢管加固树木（如图），固定点A离地面的高度，钢管与地面所成角，那么钢管AB的长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，一架民航客机在飞行途中前方出现雷暴区域，机组请示后决定从C点处以仰角直线爬升至云层上方，爬升后客机所在的A点处相对于C点处的飞行高度上升了米，则客机直线爬升的距离为（    ） A． B． C． D． 3．如图，热气球在A处测得一栋楼的楼顶端B的仰角，楼底部C的俯角，若点A到这栋楼的距离米，则这栋楼的高度为（   ）（结果精确到米；参考数据：） A．米 B．米 C．米 D．米 4．如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房的高度，在水平地面处安置测倾器测得楼房顶部点的仰角为45°，向前走20米到达处，测得点的仰角为67.5°，已知测倾器的高度为1.6米，则楼房的高度约为（结果精确到0.1米，，）（    ） A．35.7米 B．34.7米 C．35.1米 D．34.1米 5．日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一，主要为日照近海及进出日照港的船舶提供导航服务．数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点B处测得灯塔最高点A的仰角，再沿方向前进至C处测得最高点A的仰角，，则灯塔的高度大约是（    ）（结果精确到，参考数据：，） A． B． C． D． 6．如图，为测量观光塔的高度，冬冬在坡度为的斜坡的点测得塔顶的仰角为，斜坡的长为，到塔底的水平距离为，图中点，，，在同一平面内，则观光塔的高度为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在观测站处测得船和灯塔分别位于正东方向和北偏东方向，灯塔位于船的北偏东方向海里处，若船向正东航行，则船离灯塔的最近距离是（   ） A．海里 B．海里 C．海里 D．4海里 8．王英同学从地沿北偏西方向走到地，再从地向正南方向走到地，此时王英同学离地（    ）． A． B． C． D． 二、填空题（共6题） 9．为测㪇如图所示上山坡道的倾斜程度，小明测得图中所示的数据（单位：米），则该坡道的坡度 ． 10．如图，某学习小组在数学楼的顶部观测信号塔底部的俯角为，信号塔顶部的仰角为，已经教学楼的高度为，则信号塔的高度是 m． 11．在坡比为的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，则斜坡上相邻两树间的坡面距离是 ． 12．如图是一种机器零件的示意图，其中米，米，则四边形的面积为 米 13．如图，一架水平飞行的无人机在A处测得正前方河岸边C处的俯角为α，，无人机沿水平线AF方向继续飞行80米至B处时，被河对岸D处的小明测得其仰角为．无人机距地面的垂直高度用AM表示，点M，C，D在同一条直线上，其中米，则河流的宽度CD为 ． 14．太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业.如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中线段AB、CD、EF表示支撑角钢，太阳能电池板紧贴在支撑角钢AB上且长度均为320cm，AB坡度i＝1：，BE＝CA＝60cm，支撑角钢CD、EF与地面接触点分别为D、F，CD垂直于地面，FE⊥AB于点E.点A到地面的垂直距离为50cm，则支撑角钢EF的长度是 cm.（结果保留根号） 三、解答题（共4题） 15．某校数学兴趣小组学完“三角函数的应用”后，在校园内利用三角尺测量教学楼的高度，如图，小明同学站在点处，将含45°角三角尺的一条直角边水平放置，此时三角尺的斜边刚好落在视线上．沿教学楼向前走7.7米到达点处，将含30°角三角尺的短直角边水平放置，此时三角尺的斜边也刚好落在视线上．已知小明眼睛到地面的距离为1.6米，求教学楼的高度．（点，，在同一水平线上．结果精确到0.1，参考数据：，） 16．图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成，图2是其侧面结构示意图（MN是基座的高，MP是主臂，PQ是伸展臂）．已知基座高度MN为0.5米，主臂MP长为米，主臂伸展角α的范围是：，伸展臂伸展角β的范围是：． (1)如图3，当时，伸展臂恰好垂直并接触地面，伸展臂长为 　 　米； (2)若（1）中长度不变，求该挖掘机最远能挖掘到距点N水平正前方多少米的土石．（结果保留根号） 17．如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度，在居民楼前方有一斜坡，坡长，斜坡的倾斜角为，．小文在C点处测得楼顶端A的仰角为，在D点处测得楼顶端A的仰角为（点A，B，C，D在同一平面内）．    (1)求C、D两点的高度差； (2)求居民楼的高度．（结果保留根号） 18．某数学兴趣小组准备测量校园内旗杆顶端到地面的高度（旗杆底端有台阶）．该小组在C处安置测角仪CD，测得旗杆顶端A的仰角为30°，前进8m到达E处，安置测角仪EF，测得旗杆顶端A的仰角为45°（点B，E，C在同一直线上），测角仪支架高CD＝EF＝1.2m，求旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度．（结果精确到1m．参考数据：≈1.7） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《1.5三角函数的应用》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A B A B A A C 1．A 【分析】根据锐角三角函数的正弦定义解题即可． 【详解】解：在中，， ， 故选：A． 【点睛】本题考查解直角三角形，涉及正弦，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 2．A 【分析】本题考查了解直角三角形，掌握正弦的定义是解题的关键．由的正弦即可求解， 【详解】， 米， 故选：． 3．B 【分析】根据题目中的数据和锐角三角函数，可以求得和的长从而可以得到的长． 【详解】解：如图，    由题意可知：， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 4．A 【分析】过作于，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：过B作于F， 米 在中， 在中，， 米， 米 米, 楼房的高度约为35.7米 故选：A． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题,结合图形利用三角函数解直角三角形是解题的关键． 5．B 【分析】在中，得出，设，则，，在中，根据正切得出，求解即可得出答案． 【详解】解：在中，， ， 设，则，， 在中，， ， ， 灯塔的高度AD大约是． 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形中的仰俯角问题，解题的关键是弄清有关的直角三角形中的有关角的度数． 6．A 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，勾股定理，延长交过点D的水平面于F，过点C作于E，则四边形是矩形，解直求出的长，进而求出的长，再解求出的长，即可求出的长． 【详解】解：如图，延长交过点D的水平面于F，过点C作于E，则四边形是矩形， ∴，， ∵斜坡的坡度为， ∴， 设， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：或（舍去）， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：A． 7．A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 作于D，则船A离灯塔B的最近距离是的长．作于E．解直角，求出．解直角，求出，那么．再解直角，得出． 【详解】解：如图， 作于D，则船A离灯塔B的最近距离是的长．作于E． ，． 在直角中， ，， . . ，， ． 在直角中， ，， ． ． 在直角中， ，， ． 故选：A． 8．C 【详解】如图，过点作，交于点．在中，，，，． 【易错点分析】不会画图，“地沿北偏西方向”应该在地建立方向坐标，“地向正南方向”应该在地建立方向坐标，要根据需要建立方向坐标． 9． 【分析】根据坡度的计算公式直接求解即可． 【详解】解：由图可知，该坡道的坡度， 故答案为：． 【点睛】本题考查坡度的计算，掌握坡度的计算公式是解题的关键．坡度等于坡面的垂直高度和水平宽度的比． 10．/ 【分析】过点A作与E，由题意得：，在中利用的正切值即可求得，在中利用的正切值即可求得，由即可求解． 【详解】解：过点A作与E，如图所示：    由题意得：， 在中，， ， 在中，， ， ， 信号塔的高度是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，根据已知条件结合图形添加合适的辅助线，利用锐角三角函数是解题的关键． 11．米 【分析】利用坡度求得垂直高度，进而利用勾股定理可求得相邻两树间的坡面距离． 【详解】解：∵相邻两树间的水平距离是6米，坡比为． ∴垂直高度为3米． 根据勾股定理可得斜坡上相邻两树间的坡面距离是：3（米）． 故答案为：米． 【点睛】此题主要考查了坡度问题，此题的关键是熟悉且会灵活应用公式：（坡度）＝垂直高度÷水平宽度． 12．/ 【分析】延长交于G点，在中，根据锐角三角函数定义求出，在中，根据锐角三角函数定义求出，从而可得，进行根据梯形的面积公式计算即可解答． 【详解】解：延长交于G点，则四边形BFCG为矩形 则（米）， 由题意得：， 在中，（米）， 在中，（米）， ∴米， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 13．米 【分析】根据题意，作构造直角三角形和矩形，根据锐角三角函数得到AM、DE的长，然后计算出CD的长度． 【详解】作于点E，如图所示，则四边形是矩形 ， 由已知可得：，，米，，米，， 米， 米 米 解得米 米 故答案为：米 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际问题，涉及到仰角俯角问题、锐角三角函数，解答本题的关键是理清题目条件，构造适当辅助线，灵活运用相关知识． 14． 【分析】延长BA交直线DF于点G，过点A作AH⊥GF于H，根据坡度的概念求出∠G＝30°，根据直角三角形的性质求出AG，进而求出EG，根据正切的定义计算，得到答案． 【详解】解：延长BA交直线DF于点G，过点A作AH⊥GF于H， 由题意可知，CD⊥GF，AH＝50cm， ∵AB坡度i＝1：， ∴＝＝， ∴tanG＝＝， ∴∠G＝30°， ∴AG＝2AH＝100cm， ∴CG＝AC+AG＝160cm， ∴EG＝AB+AG﹣BE＝320+100﹣60＝360（cm）， 在Rt△GEF中，tanG＝， 则＝， 解得：EF＝120（cm）， 故答案为：120. 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，解题的关键是将实际问题转化为数学问题，构造直角三角形并解直角三角形． 15．19.8米 【分析】先得出是等腰直角三角形，设米，得，，由得，进而得出方程求解即可进一步得出结论． 解：如图，连接并延长，交于点，设米． 由题意可知，四边形，四边形是矩形， ∴，，． ∴． 在中，， ∴． ∴． ∴． 在中，，， ∴． ∴． 解得，． ∴（米） 答：教学楼的高约为19.8米． 【点睛】本题考查了解三角形的应用---仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 16．(1) (2) 【分析】（1）过M作于H，根据等腰直角三角形的性质解答即可； （2）当时，作于H点，根据直角三角形的性质求出和的长，然后在中根据勾股定理求长，最后在中，根据勾股定理求出，即可解决问题． 【详解】（1）解：过M作于H， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴（米）， ∴（米）， 故答案是：； （2）解：如图，当时，作于H点， ∴， ∴（米）， ∴（米）， 在中， ∴（米）， 在中， （米）， 即该挖掘机最远能挖掘到距点N水平正前方米的土石． 【点睛】本题考查了解直角三角形和勾股定理的应用，解题的关键是理解当伸展臂的伸展角达到最大角时为定长，再构造直角三角形． 17．(1) (2) 【分析】（1）过点作，交的延长线于点，在中，可得，再利用勾股定理可求出，即可得出答案． （2）过点作于，设，在中，，解得，在中，，，，求出的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：过点作，交的延长线于点， 在中，，， ． ． 答：，两点的高度差为． （2）过点作于， 由题意得：四边形是矩形， ∴，， 设， 在中，， 解得， 在中，，， ， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， ． 答：居民楼的高度为． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 18．旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度约为12m 【分析】延长DF交AB于点G，根据题意可得：DF＝CE＝8m，DC＝EF＝BG＝1.2m，∠AGF＝90°，然后设AG＝xm，在Rt△AFG中，利用锐角三角函数的定义求出FG的长，从而求出DG的长，再在Rt△ADG中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可详解． 【详解】解：延长DF交AB于点G， 由题意得： DF＝CE＝8m，DC＝EF＝BG＝1.2m，∠AGF＝90°， 设AG＝xm， 在Rt△AFG中，∠AFG＝45°， ∴FGx（m）， ∴DG＝DF+FG＝（x+8）m， 在Rt△ADG中，∠ADG＝30°， ∴tan30°， ∴x＝44， 经检验：x＝44是原方程的根， ∴AB＝AG+BG≈12（m）， ∴旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度约为12m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$