1.4解直角三角形同步练习2025-2026学年北师大版数学九年级下册

解直角三角形 一、单选题 1．在中，，，，则等于（    ）． A． B． C． D． 2．在中，，则的长为（   ） A．1 B．2 C． D．5 3．如图是一把圆规的平面示意图，使用时，点为支撑点，笔尖可绕点旋转画出圆弧．已知厘米，若，则圆规所画圆的半径的长度为（   ） A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 4．金佛山是巴蜀四大名山之一游客上金佛山有两种方式：一种是从西坡上山，如图，先从A沿登山步道走到点B，再沿索道乘坐缆车到点C；另一种是从北坡景区沿着盘山公路开车上山到点C．已知在点A处观测点C，得仰角∠CAD＝37°，且A、B的水平距离AE＝1000米，索道BC的坡度i＝1：，长度为2600米，CD⊥AD于点D，BF⊥CD于点F则BE的高度为（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°＝0.75，＝1.73）（　　） A．2436.8米 B．2249.6米 C．1036.8米 D．1136.8米 5．已知△AOC，如图，建立平面直角坐标系，则点A的坐标是（　　） A．（acosα，asinα） B．（ccosα，csinα） C．（asinα，acosα） D．（csinα，ccosα） 6．已知一个等腰三角形腰上的高等于底边的一半，那么腰与底边的比是（　　） A．1： B． ：1 C．1： D． ：1 7．如图，，，底边BC上的高为，底边QR上的高为，则有（    ） A． B． C． D．以上都有可能 8．如图，某水库大坝的横断面是梯形，坝高，斜坡的坡比为，则斜坡（    ） A．13m B．8m C．18m D．12m 9．如图，在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，点D是延长线上的一点，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，在直角中，，点D在线段上，且，，，则 ． 12．菱形中，边长为6，为直线上一点，，则 ． 13．如图所示，，，，则为 ． 14．等腰中，，则= 15．等腰三角形的周长为，腰长为1，则底角等于 16．已知在中，、是锐角，且，，，则的面积等于 ． 三、解答题 17．如图，在中，，，于点D，点F在的垂直平分线上． (1)求证：是等边三角形． (2)若，求的长． 18．在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 19．如图，在中，已知，，，求的面积． 20．如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 解直角三角形 一、单选题 1．在中，，，，则等于（    ）． A． B． C． D． 2．在中，，则的长为（   ） A．1 B．2 C． D．5 3．如图是一把圆规的平面示意图，使用时，点为支撑点，笔尖可绕点旋转画出圆弧．已知厘米，若，则圆规所画圆的半径的长度为（   ） A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 4．金佛山是巴蜀四大名山之一游客上金佛山有两种方式：一种是从西坡上山，如图，先从A沿登山步道走到点B，再沿索道乘坐缆车到点C；另一种是从北坡景区沿着盘山公路开车上山到点C．已知在点A处观测点C，得仰角∠CAD＝37°，且A、B的水平距离AE＝1000米，索道BC的坡度i＝1：，长度为2600米，CD⊥AD于点D，BF⊥CD于点F则BE的高度为（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°＝0.75，＝1.73）（　　） A．2436.8米 B．2249.6米 C．1036.8米 D．1136.8米 5．已知△AOC，如图，建立平面直角坐标系，则点A的坐标是（　　） A．（acosα，asinα） B．（ccosα，csinα） C．（asinα，acosα） D．（csinα，ccosα） 6．已知一个等腰三角形腰上的高等于底边的一半，那么腰与底边的比是（　　） A．1： B． ：1 C．1： D． ：1 7．如图，，，底边BC上的高为，底边QR上的高为，则有（    ） A． B． C． D．以上都有可能 8．如图，某水库大坝的横断面是梯形，坝高，斜坡的坡比为，则斜坡（    ） A．13m B．8m C．18m D．12m 9．如图，在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，点D是延长线上的一点，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，在直角中，，点D在线段上，且，，，则 ． 12．菱形中，边长为6，为直线上一点，，则 ． 13．如图所示，，，，则为 ． 14．等腰中，，则= 15．等腰三角形的周长为，腰长为1，则底角等于 16．已知在中，、是锐角，且，，，则的面积等于 ． 三、解答题 17．如图，在中，，，于点D，点F在的垂直平分线上． (1)求证：是等边三角形． (2)若，求的长． 18．在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 19．如图，在中，已知，，，求的面积． 20．如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C D B A B A C A 1．C 【分析】先求出，再利用定义求解即可．本题考查了锐角三角函数，解题关键是先利用勾股定理求出另一条直角边，再利用正切的定义求解． 【详解】解：由题意，可得， ∴， 故选：C． 2．C 【分析】根据直角三角形中正切函数的定义，结合已知条件求出的长．本题主要考查直角三角形中锐角三角函数的定义，熟练掌握正切函数的定义（为锐角，对边是，邻边是 ）是解题的关键． 【详解】解：在中，， ，， ∴ ． ∴ ． 故选：． 3．C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，过点作，垂足为，利用等腰三角形的三线合一性质可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴圆规能画出的圆的半径长度为， 故选：C． 4．D 【分析】在Rt△BCF中，根据BC的坡度i＝1：，求得∠CBF＝30°，根据三角函数的定义得到CF＝1300，BF＝1300，根据矩形的性质得到DE＝BF＝1300，根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】解：在Rt△BCF中，∵BC的坡度i＝1：， ∴∠CBF＝30°， ∵BC＝2600， ∴CF＝1300，BF＝1300， ∵CD⊥AD于点D，BF⊥CD，BE⊥AD， ∴四边形BEDF是矩形， ∴DE＝BF＝1300， ∵AE＝1000米， ∴AD＝AE+DE＝1000+1300， ∵∠CAD＝37°， ∴CD＝AD•tan37°＝（1000+1300）×0.75＝2436.75， ∴BE＝DF＝2436.75﹣1300≈1136.8米， 答：BE的高度为1136.8米． 故选：D． 【点睛】此题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟知三角函数的定义． 5．B 【分析】过A作AD⊥x轴，交x轴于点D，在直角三角形AOD中，利用锐角三角函数定义求出AD与OD，表示出A的坐标即可． 【详解】 解：过A作AD⊥x轴，交x轴于点D， 在Rt△AOD中，OA=c，∠AOD=α， ∴AD=csinα，OD=ccosα， 则A的坐标为（ccosα，csinα）， 故选B． 【点睛】此题考查了解直角三角形，以及坐标与图形性质，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键． 6．A 【分析】根据题意画出合适的图形，然后根据题目中的信息可以得到腰AB与底边BC的关系，从而可以求得腰与底边的比． 【详解】 ∵CD⊥BA于点D， ∴中，，   ∵AB=AC，CD⊥BA， ，， 设，则，， ，得 ． 故选A． 【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是明确题意，画出相应的图形，找出所求问题需要的条件． 7．B 【分析】由已知可知高所对的斜边都为5，由正弦的定义可得到高关于正弦的表达式，比较正弦值即可得到答案． 【详解】解：如图，分别作出两三角形的高 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查解直角三角形，依题意作高构造直角三角形是解题的关键． 8．A 【分析】根据斜坡BC的坡比为i=5：12和坝高，如图可求出BF的长度，在Rt△BCF中根据勾股定理可求出BC的长度． 【详解】如图，过点C作CF⊥AB，垂足为F．那么， ∵坝高，CF⊥AB， ∴DE=CF=5cm 又斜坡的坡比为 ∴BF=12cm， 在RtBCF中 BC= = =13cm 【点睛】本题考查的直角三角形坡度的问题.解题的关键是理解坡度的定义． 9．C 【分析】本题考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义和勾股定理是解题的关键．过点作于点，先利用三角函数的定义和勾股定理求出和的长度，进而得到的长度，最后在中求出的度数． 【详解】如图所示，过点作于点， ，， 在中，， ， ， ， ， 在中，， ， 故选：C． 10．A 【分析】本题考查了解直角三角形，利用锐角三角函数的概念解直角三角形问题是解决本题的关键． 通过解直角得到与、间的数量关系，然后利用锐角三角函数的定义求的值． 【详解】解：在中，，， ，， ， ， ． 故选：A． 11． 【分析】本题考查了解直角三角形，先利用三角形外角性质计算出，则，所以，然后在中利用的正弦可计算出的长． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴． 故答案为：． 12．或 【分析】本题主要考查了解直角三角形，菱形的性质．分两种情况：当点E在边上时，当点E在延长线上时，即可求解． 【详解】解：连接，如图， ∵菱形中，边长为6，， ∴，， ∴是等边三角形， 当点E在边上时，过点A作于点G， ∴， ∴， ∴； 当点E在延长线上时，过点A作于点G， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或． 故答案为：或 13． 【分析】本题考查解直角三角形，过点作交的延长线于．解直角三角形求出，，即可解答，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于． ， ． ， ，， ， ， ， 故答案为：． 14． 【分析】作BC边的高AD，根据勾股定理得出AD，再由已知条件和三角函数的定义求出sinB． 【详解】解：如图，过A点作BC的垂线AD，垂足为D，则∠ADB=90°， 为等腰三角形，AB=AC=5，BC=6， BD=CD=， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形以及等腰三角形的性质，只要理解直角三角形中边角之间的关系即可求解． 15．30° 【分析】作底边上的高，根据底和腰的关系可求得底角的余弦值，可求得底角． 【详解】如图 ∵△ABC的周长为，腰长为1， ∴AB=AC=1,BC=， ∴过A作AD⊥BC于点D,则BD=， 在Rt△ABD中, ， ∴∠B=30°， 故填30°. 【点睛】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质.解决此题时需注意①根据已知题意构造图形可以更加直观的观察线段与角之间的关系；②题中边BD，边AB和∠B满足邻边与斜边的关系，故用余弦解直角三角形. 16．220 【分析】过点作的垂线，得到两个直角三角形，根据题意求出两直角三角形中，和的长，用三角形的面积公式求出三角形的面积． 【详解】解：如图： 过点作的垂线，垂足为点． ， 设，， ， 可设，， ， ， ， 由，得， 则 故． 故答案是：220 【点睛】本题主要考查了解直角三角形与勾股定理结合求面积，如何解直角三角形是解题的关键． 17．(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了解直角三角形、线段垂直平分线的性质及等边三角形的判定与性质，熟知线段垂直平分线的性质及特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）根据题意得出，进一步得出，再由点F在的垂直平分线上得出，据此求出的度数即可解决问题． （2）由的长得出的长，再进一步求出的长即可． 【详解】（1）证明：， ， 又， 点F在BC的垂直平分线上， ， ， ， 是等边三角形． （2）解：，， 在中， 在中， ． 18．(1) (2) 【分析】此题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握各锐角的三角函数值及各锐角三角函数的计算公式是解题的关键． （1）根据函数值直接得到的度数． （2）过点A作于H，根据求出，利用勾股定理求出，再利用求出，进而求出的长． 【详解】（1）解：∵为锐角且， ∴； （2）解：过点A作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 19． 【分析】本题考查了解直角三角形，过点作于点，根据得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵，, ∴， ∴． 20．(1) (2)的面积为 【分析】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形． （1）过点作于点，构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可； （2）利用勾股定理及三角形面积求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 在中，，， ， ， 在中， ， ； （2）解：由（1）知：在中，，， ， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $