1.2 30°,45°，60°角的三角函数值同步练习2025-2026学年北师大版数学九年级下册

30°,45°，60°角的三角函数值 一、单选题 1．计算的值为（   ） A． B． C．1 D．2 2．如图，射线的端点在直线上，．下列式子的值，最大的是（   ）． A． B． C． D． 3．若锐角，则的值是（    ） A． B． C． D．1 4．已知实数，，，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 5．等腰直角三角形中，一个锐角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 6．在中，，那么的值是（   ） A． B．1 C． D． 7．如果锐角A的余弦值为，下列关于锐角A的取值范围的说法中，正确的是（    ） A． B． C． D． 8．已知是锐角，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 9．如图是某车库出入口的栏杆，栏杆绕点C旋转，记旋转角．栏杆B端从水平位置上升到最高位置的过程中，的值（   ） A．先变小再变大 B．先变大再变小 C．一直变小 D．一直变大 10．在中，，如果，，那么的长是（     ）． A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，在中，，，，则的长为 ．    12．如图，在和中，，，，若，则的长为 ． 13．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴上，且满足，则的长为 ． 14．在中，，，，则长度是 ． 15．比较大小： ．（用“”、“”或“”填空） 16．在中，，则 ． 三、解答题 17．某小组同学对三角比展开主题研究活动，现在邀请你参加． 【问题提出】 （1）如果锐角的余弦值为，下列关于锐角的取值范围，正确的是______． A．    B．    C．    D． 【问题分析】 （2）余弦值、、的三角比分别是______、_______、____．你发现它们的分布特点是随着角度的______（选填“增大”或“减小”）而减小． 【综合运用】 （3）写出下列角度的正弦值的取值范围． ，． 18．特殊角的三角函数值在初中数学中有广泛的应用，请完成下表： 19．如图所示，一梯子斜靠着墙，梯子与地面夹角为若梯子底端向右水平移动至点，梯子顶端随之向上移动至点，此时，，求的长度（用含的式子表示）    20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝.点D为BC边上一点，且BD＝2AD，∠DAC＝30°，求△ABC的周长(结果保留根号)． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 30°,45°，60°角的三角函数值 一、单选题 1．计算的值为（   ） A． B． C．1 D．2 2．如图，射线的端点在直线上，．下列式子的值，最大的是（   ）． A． B． C． D． 3．若锐角，则的值是（    ） A． B． C． D．1 4．已知实数，，，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 5．等腰直角三角形中，一个锐角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 6．在中，，那么的值是（   ） A． B．1 C． D． 7．如果锐角A的余弦值为，下列关于锐角A的取值范围的说法中，正确的是（    ） A． B． C． D． 8．已知是锐角，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 9．如图是某车库出入口的栏杆，栏杆绕点C旋转，记旋转角．栏杆B端从水平位置上升到最高位置的过程中，的值（   ） A．先变小再变大 B．先变大再变小 C．一直变小 D．一直变大 10．在中，，如果，，那么的长是（     ）． A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，在中，，，，则的长为 ．    12．如图，在和中，，，，若，则的长为 ． 13．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴上，且满足，则的长为 ． 14．在中，，，，则长度是 ． 15．比较大小： ．（用“”、“”或“”填空） 16．在中，，则 ． 三、解答题 17．某小组同学对三角比展开主题研究活动，现在邀请你参加． 【问题提出】 （1）如果锐角的余弦值为，下列关于锐角的取值范围，正确的是______． A．    B．    C．    D． 【问题分析】 （2）余弦值、、的三角比分别是______、_______、____．你发现它们的分布特点是随着角度的______（选填“增大”或“减小”）而减小． 【综合运用】 （3）写出下列角度的正弦值的取值范围． ，． 18．特殊角的三角函数值在初中数学中有广泛的应用，请完成下表： 19．如图所示，一梯子斜靠着墙，梯子与地面夹角为若梯子底端向右水平移动至点，梯子顶端随之向上移动至点，此时，，求的长度（用含的式子表示）    20．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝.点D为BC边上一点，且BD＝2AD，∠DAC＝30°，求△ABC的周长(结果保留根号)． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B B A A C C D B 1．B 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．直接利用特殊角的三角函数值进行计算即可得出答案． 【详解】解：． 故选：B． 2．C 【分析】本题考查了互补关系，特殊角三角函数，无理数大小的比较；由已知及互补关系求得的度数，即可比较． 【详解】解：∵，， 即， ∴， ∴，； ∴； 故选：C． 3．B 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，根据即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B 4．B 【分析】本题考查了特殊三角函数值、实数的大小比较，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键；因此此题可根据特殊三角函数值进行求解 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选：B ． 5．A 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数，根据题意得到等腰直角三角形一个锐角的余弦值为，计算求解即可． 【详解】解：∵在等腰直角三角形中，两锐角相等，且等于， 等腰直角三角形一个锐角的余弦值． 故选：A． 6．A 【分析】本题考查了特殊三角函数的值，三角形内角和定理，根据三角形内角和定义求出，再由特殊三角函数的值即可解答． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， 故选：A． 7．C 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，熟知锐角三角函数的余弦函数值随角增大而减小是解答此题的关键．先求出，及的近似值，然后得出结论即可． 【详解】解：，，， 又∵，余弦函数随角增大而减小，且， ∴． 故选：C． 8．C 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据是锐角，且得出，再求其正切值，即可求解． 【详解】解：∵是锐角，且 ∴， ∴ 故选：C． 9．D 【分析】本题的考点是特殊三角形的三角函数，方法是熟记特殊三角形的三角函数，根据正弦的定义：对边比斜边即可解答． 【详解】解：栏杆B端从水平位置上升到最高位置的过程中，升高的高度为， 在中，，为定值，随旋转角的增大而增大， 的值随的增大而增大， 的值一直变大 故选：D． 10．B 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，直角三角形的特征，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值；根据可得，则，再根据直角三角形的特征求解即可． 【详解】解：如图， ， ， ， ， ， 故选：． 11． 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值和含角直角三角形的性质，熟练掌握特殊角的三角函数值是关键．根据得到，根据含角直角三角形的性质即可得到的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为： 12．/ 【分析】本题主要考查了的直角三角形的性质，三角函数，熟练掌握相关知识点是解题关键． 通过的直角三角形的性质求出、的值，通过三角函数求出，即可求解． 【详解】解：，，，， ，， ， ， ． 故答案为：． 13．或/或 【分析】本题考查直角坐标系中点的坐标，点到轴的距离，等腰三角形的性质，三角函数定义的应用及分类讨论思想．解题的关键是根据点P在y轴上的位置（可能在B点上方或下方），分别计算的长度． 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为， ， 是等腰直角三角形， ． ①当点在点下方时，， , ②当点在点上方时，， , 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 14．10 【分析】本题考查锐角三角函数的定义以及勾股定理，解题的关键是利用余弦函数的定义求出直角三角形的斜边． 先根据余弦函数的定义得出的值，再设，最后结合勾股定理求解AB的长度． 【详解】在中，，根据余弦函数的定义， 已知，所以设， 根据勾股定理， 已知，则， 即． 两边同时除以16得， ， ， 则． 故答案为：10． 15． 【分析】本题考查了特殊锐角的三角函数值及实数的大小比较，掌握特殊锐角三角函数值是解题的关键．根据特殊锐角三角函数值及实数的大小比较法则进行比较求解． 【详解】解：， ， 故答案为：． 16． 【分析】本题考查特殊三角函数值，利用求出，则即可求解． 【详解】解：在中，， ， ， 故答案为：． 17．（1）C；（2），，，增大；（3）， 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值和锐角三角函数中的正、余弦函数的性质，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）根据特殊角的余弦值，即可判断锐角的取值范围； （2）熟记特殊角（、、）的余弦值即可得出它们的三角比，通过观察即可得出它们的分布特点； （3）根据特殊角的正弦值和锐角正弦函数的增减性即可求解． 【详解】解：（1），，，, 又且为锐角， ； 故选C． （2）由，，可得，它们的三角比分别为 ，，；通过观察可知，它们的三角比会随角度的增大而减小； 故答案为：，，，增大； （3）由锐角正弦函数的增减性可知，锐角的正弦值会随角度的增大而增大 ，， 又，，， ，． 18．见解析 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角形函数值填写表格即可，熟练掌握特殊角的三角函数值是解此题的关键． 【详解】解：填表格如下： 1 19．长度为 【分析】根据题意，，，可知是等腰直角三角形，在中，，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，，， ∴是等腰直角三角形， ∴ 在中， ∵， ∴， ∴， ∴长度为． 【点睛】本题主要靠考查直角三角形，三角函数的综合，理解图示，掌握直角三角行的性质，三角函数的计算方法是解题的关键． 20．2＋5＋. 【分析】要求△ABC的周长,只要求得BC及AB的长度即可.根据Rt△ADC中∠ADC的正弦值,可以求得AD的长度,也可求得CD的长度;再根据已知条件求得BD的长度,继而求得BC的长度;运用勾股定理可以求得AB的长度,求得△ABC的周长. 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，则由勾股定理得AD2＝AC2＋CD2. ∵∠DAC＝30°， ∴AD＝2DC， 由，AC＝，得：DC＝1，AD＝2，BD＝2AD＝4 ，BC＝BD＋DC＝5 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝5 由勾股定理得：AB＝＝2 所以Rt△ABC的周长为AB＋BC＋AC＝2＋5＋ 【点睛】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用,要熟练掌握好边角之间的关系. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $