精品解析：河南省郑州中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

2025-2026学年高一上学期第二次月考数学试卷答案 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知圆心角为2的扇形面积为2，则该扇形的半径为（ ） A. 1 B. C. 4 D. 2 3. 若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数则不等式的解集为（ ） A. (4，1) B. (1，4) C. (1，4) D. (0，4) 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 若函数的最小正周期为，且函数在区间上单调递增，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 函数（）的所有零点之和为 A. B. C. D. 8. 设正数满足，若不等式对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 若是第二象限角，则在第二象限 C. 已知扇形的面积为4，周长为10，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为 D. 若角的终边过点，则 10. 设函数，若函数有四个零点分别为，，，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 若函数，则下列结论正确的有（ ） A. 是偶函数 B. 不是周期函数 C. 的值域为 D. 在定义域内有6个零点 三、填空题 12. 已知幂函数在区间上单调递增，则_____________． 13. 已知，则__________. 14. 函数，若关于的方程有6个零点，则的取值范围为__________． 四、解答题 15. （1）已知，求的值； （2）若，且，求的值． 16. 已知函数． （1）求的最小正周期和对称中心： （2）求在区间内的单调递增区间； （3）当时，求的最大及最小值． 17. 某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：千克与施用肥料x（单位：（千克）满足如下关系：，肥料成本投入为10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x元．已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为（单位：元）． （1）求的函数关系式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 18. 已知函数为奇函数. （1）求实数的值； （2）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数，若对于其定义域中任意非零实数x，都有，则称函数为“倒负函数”． （1）若，，试判断和是不是“倒负函数”．并说明理由； （2）设，若，求的最小值； （3）若，证明：在定义域内有且仅有两个零点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一上学期第二次月考数学试卷答案 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由集合的交运算求即可. 【详解】由题设，集合，， 所以. 故选：B 2. 已知圆心角为2的扇形面积为2，则该扇形的半径为（ ） A. 1 B. C. 4 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合扇形的面积公式，列出方程，即可求解. 【详解】由题意，扇形的面积为，可得，解得． 故选：B. 3. 若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复合函数定义域的求法求解. 【详解】由题意得，，解得. 故选：A. 4. 已知函数则不等式的解集为（ ） A. (4，1) B. (1，4) C. (1，4) D. (0，4) 【答案】B 【解析】 【分析】 利用函数的单调性解不等式． 【详解】∵函数是减函数， ∴由得，解得． 故选：B． 【点睛】本题考查函数的单调性，由单调性解函数不等式是基本方法． 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由>>0,>1，判断可得选项. 【详解】解：因为>>0,>1，所以， 故选：A． 6. 若函数的最小正周期为，且函数在区间上单调递增，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由函数的周期性求得解析式，进而求得其增区间，再由在区间上单调递增求解. 【详解】解：由题意知，解得，所以， 令，，解得，， 当时，可得在上单调递增， 又函数在区间上单调递增，所以， 即m的取值范围是． 故选：B 7. 函数（）的所有零点之和为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：函数的零点等价于函数 和的图象在区间内的交点的横坐标． 由于两函数图象均关于直线对称，且函数 的周期为2，结合图象可知两函数图象在一个周期内有2个交点且关于直线对称，所以两交点横坐标之和为2，故其在三个周期即内的所有零点之和为，故选C． 考点：1函数零点；2转化思想． 8. 设正数满足，若不等式对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出的最小值，从而可得在上恒成立，根据判别式非正可求参数的取值范围. 【详解】因为，故， 当且仅当时等号成立，故的最小值为， 故在上恒成立，故在上恒成立， 故即， 故选：B. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 若是第二象限角，则在第二象限 C. 已知扇形的面积为4，周长为10，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为 D. 若角的终边过点，则 【答案】AC 【解析】 【分析】应用全称命题的否定判断A，应用诱导公式判断B，应用扇形的弧长及面积公式判断C，应用任意角的正弦定义计算判断D. 【详解】A：命题“，”的否定是“，”故A正确; B： 因为，又因为是第二象限角， ， 所以，则在第三象限，故错误; C：已知扇形的面积为4，周长为10，则，可得或，而， (舍)或，故C正确； D：角的终边过点，当时，，故D错误； 故选：AC． 10. 设函数，若函数有四个零点分别为，，，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据解析式画出大致图象，数形结合有，结合对数函数、二次函数的性质可得、，进而逐项判断正误. 【详解】对A，由解析式，可得大致图象如下，结合题设和图象知，A错， 令，可得或， 所以， 对B，由于当时，图象的对称轴为直线，所以，B对， 对C，当时，令，则，， 则，C错， 对D，由且，而在上单调递增， 所以，D对. 对CD方法二：当时，，所以，所以，C错误; 因为，所以，故， 又，所以， 因为函数在上单调递增， 故，D正确. 故选：BD 【点睛】关键点点睛：画出函数图象，利用相关函数的性质确定零点的范围及相关参数的关系为关键. 11. 若函数，则下列结论正确的有（ ） A. 是偶函数 B. 不是周期函数 C. 的值域为 D. 在定义域内有6个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性、周期性、值域以及函数零点的相关知识对每个选项进行分析判断即可. 【详解】选项A：函数的定义域为， 因为，， 所以， 根据偶函数的定义可知，是偶函数，故选项A正确； 选项B： 当时，， 当，即时，， 当，即时，， 因为在时，函数值的变化规律在不同区间不同，且是偶函数， 所以不存在非零常数，使得对于任意都成立， 所以不是周期函数，故选项B正确； 选项C：当时，， 当，即时，，此时， 当，即时，，此时， 又是偶函数，其图象关于轴对称，所以的值域为，故选项C错误； 选项D：函数的定义域为，的零点个数即方程的根的个数， 因为是偶函数，也是偶函数， 所以只需考虑时方程的根的个数. 当时，， 在同一直角坐标系内画出，的简图如下： 由图象可知，当时，函数与函数有3个交点，即方程有3个实数根， 根据偶函数的对称性，当时方程也有3个实数根，综上在定义域内有6个零点，选项D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12. 已知幂函数在区间上单调递增，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数的定义和单调性列出关系式求解即可. 【详解】因为幂函数在区间上单调递增， 所以，解得. 故答案为： 13. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】结合的值，确定的范围，根据同角三角函数基本关系求出的值，利用诱导公式，求得. 【详解】因为，所以，因为，所以， 所以，所以. 故答案为：. 14. 函数，若关于的方程有6个零点，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先分析已知函数的值域，把关于的方程的零点个数转化为在值域内解的个数，结合给定零点个数求出相应，进而求出的取值范围． 【详解】， 当时，单调递增，值域为， 对任意，有1个解；或时无解； 当时，，值域为， 对任意，有2个解；时有1个解； 的解的个数为： 时，； 时，（时有1个，时有2个）； 时，； 时，； 令，， 有6个零点，即， 仅当且时，，此时， 设，需满足： 或， 对称轴， 端点值， 综上可得，， 故答案为：． 四、解答题 15. （1）已知，求的值； （2）若，且，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式将目标式子化为，然后化为正切函数代入求值即可； （2）结合利用已知求出和，即可得解. 【详解】（1）由题意知 ． （2）因为，， 解得，或，， 又，所以，，所以. 16. 已知函数． （1）求的最小正周期和对称中心： （2）求在区间内的单调递增区间； （3）当时，求的最大及最小值． 【答案】（1）最小正周期为；对称中心为 （2） （3）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用正弦型函数最小正周期的计算公式，求得函数的最小正周期，令，进而得到函数的对称中心； （2）根据题意，求得，结合正弦函数的单调性，进而求得的单调递增区间； （3）根据题意，求得，结合正弦函数的性质，即可求得函数的最值. 【小问1详解】 解：由函数，可得函数的最小正周期为， 令，解得， 所以函数的对称中心为. 【小问2详解】 解：由，可得， 令，可得；令，可得， 所以函数的单调递增区间为. 【小问3详解】 解：由，可得， 当时，即时，函数取得最小值，最小值为； 当时，即时，函数取得最大值，最大值为， 所以函数在上的最大值为，最小值为. 17. 某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W（单位：千克与施用肥料x（单位：（千克）满足如下关系：，肥料成本投入为10x元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x元．已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求．记该水果树的单株利润为（单位：元）． （1）求的函数关系式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当时取得最大利润，最大利润为480元. 【解析】 【分析】（1）利用销售额减去成本投入可得出利润解析式； （2）利用分段函数的单调性及基本不等式计算最值即可. 【小问1详解】 由已知 ； 【小问2详解】 由（1）得， 即由二次函数的单调性可知，当时，， 由基本不等式可知，当时， ， 当且仅当，即时取得最大值， 综上，当时取得最大利润，最大利润为480元. 18. 已知函数为奇函数. （1）求实数的值； （2）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据奇函数定义计算可得； （2）利用换元法以及二次函数单调性将问题转化成值域的包含关系，解不等式可得结果. 【小问1详解】 函数中，， 由是奇函数，得，即， 整理得， 解得.此时， 所以满足，即函数为奇函数，符合题意； 所以. 【小问2详解】 由（1），显然在上单调递减. 可得在的值域， 又 设，则， 当时，有，当时，有， 因此函数在上的值域， 由对任意的，总存在，使得成立，可知， 于是.解得. 所以实数的取值范围是. 19. 已知函数，若对于其定义域中任意非零实数x，都有，则称函数为“倒负函数”． （1）若，，试判断和是不是“倒负函数”．并说明理由； （2）设，若，求的最小值； （3）若，证明：在定义域内有且仅有两个零点． 【答案】（1）是“倒负函数”，不是“倒负函数”，理由见解析； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据函数新定义及对数函数的性质判断和是否为“倒负函数”． （2）利用单调性定义证明在上的单调性，根据已知可得，再应用基本不等式求目标式的最小值； （3）由单调性定义可得在、上单调递增，应用零点存在性定理判断区间零点，结合题设定义判断零点个数，即可证结论. 【小问1详解】 若，，满足， 所以是“倒负函数”． 由，则，而， 对于，则无意义，所以不是“倒负函数”． 【小问2详解】 任取，， 所以在上单调递减， 由（1）知，，所以， 又，所以，所以． ，当且仅当时等号成立． 【小问3详解】 因为，， 任取，， 所以在上单调递增，同理在上单调递增． 又，， 由零点存在性定理知，，， 所以在上有且只有一个零点． 又， 所以是“倒负函数”，， 所以，也是的零点， 所以在和各有一个零点，即在定义域内有且只有两个零点． 【点睛】关键点点睛：第二、三问，应用单调性定义判断函数的单调性，结合函数新定义、基本不等式、零点存在性定理求解证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $