2025年山东省烟台市莱阳市中考数学一模模拟试卷

2025年山东省烟台市莱阳市中考数学一模试卷 注意事项: 1.本试卷共8页,共120分;考试时间120分钟.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回. 2.答题前,务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡规定的位置上. 3.选择题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号. 4.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带. 5.写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效. 6.考试过程中允许考生进行剪、拼、折叠等实验. 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,满分30分.每小题都给出标号为A,B,C,D四个备选答案,其中有且只有一个是正确的) 1.在下列各数,,,,,,,中无理数有( ) A.个 B.个 C.个 D.个 2.剪纸文化是中国最古老的民间艺术之一,下列剪纸图案中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A. B. C. D. 3.已知,,若,则的值为( ) A.4 B. C. D.1 4.下图是由8个大小相同的小正方体组成的几何体,若从标号为①②③④的小正方体中取走一个,使新几何体的左视图既是轴对称图形又是中心对称图形,则应取走( ) A.① B.② C.③ D.④ 5.如图,正六边形内接于,若的周长等于,则正六边形的面积为( ) A. B. C. D. 6.圆周率 是无限不循环小数.历史上,祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对 有过深入的研究.目前,超级计算机已计算出 的小数部分超过31.4万亿位.有学者发现,随着 小数部分位数的增加,0~9这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同.从 的小数部分随机取出一个数字,估计数字是6的概率为( ) A. B. C. D. 7.在半径为的中,弦分别是,则的度数为( ) A. B.或 C. D.或 8.如图,在正方形中,,为中点,为上的一点,且,,连接,延长交于点,交于点,则以下结论:①;②;③;④中,正确的有( ) A. B. C. D. 9.设a,b为方程的两个实数根,则的值为( ) A.2024 B. C.2023 D. 10.二次函数的图象如图所示,有下列结论:①;②;③抛物线与轴的另一个交点为;④.其中,正确的结论是( ) A.①② B.①③ C.②④ D.①④ 二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,满分18分) 11.把精确到得到的近似数是 ,近似数表示精确到 位. 12.若,且,则 . 13.已知,,的值为 . 14.如图,线段、、的长度分别是、3、,且平分.若将A点表示为,B点表示为,则C点可表示为 15.如图,已知经过原点,与坐标轴分别交于A,B两点,点B的坐标为,点D在上,若,则点C的坐标为 . 16.如图,小好同学用计算机软件绘制函数的图象,发现它关于点中心对称.若点,,,……,,都在函数图象上,这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1,则的值是 . 三、解答题(本大题共8个小题,满分72分) 17.(1)计算: (2)先化简,再求值,其中. 18.如图1所示,在正方形的边和边上,分别有动点(点不和重合)和(点不和重合),在点和移动的过程中,始终保证. (1)猜测线段、、之间的等量关系为 (不必证明); (2)如图2所示,如果把正方形改为一般四边形,、分别在四边形的边、上,,,,则线段、、的等量关系又如何?请加以证明; (3)应用:在条件(2)中,若,,(如图3),求此时的周长. 19.在4月23日“世界读书日”来临之际,某校为了了解学生的课外阅读情况,从全校随机抽取了部分学生,调查了他们平均每周的课外阅读时间t(单位:小时).把调查结果分为四档,A档:;B档:;C档:;D档:.根据调查情况,给出了部分数据信息: ①A档和D档的所有数据是:7,7,7.5,10,7,10,7,7.5,7,7,10.5,10.5; ②图1和图2是两幅不完整的统计图. 根据以上信息解答问题: (1)求本次调查的学生人数,并将图2补充完整; (2)已知全校共1200名学生,请你估计全校B档的人数; (3)学校要从D档的4名学生中随机抽取2名作读书经验分享,已知这4名学生,2名来自八年级,2名来自九年级,请用列表或画树状图的方法,求抽到的2名学生来自不同年级的概率. 20.元旦晚会上,王老师要为她的学生及班级的六位科任老师送上贺年卡,网上购买贺年卡的优惠条件是:购买50或50张以上享受团购价.王老师发现:零售价与团购价的比是,王老师计算了一下,按计划购买贺年卡只能享受零售价,如果比原计划多购买6张贺年卡就能享受团购价,这样她正好花了100元,而且比原计划还节约10元钱. (1)贺年卡的零售价是多少? (2)班里有多少学生? 21.【阅读理解】:在学习《直角三角形的边角关系》这一章时,喜欢探索的小明同学在课外学习活动中,探究发现,锐角三角形的面积、边、角之间存在一定的数量关系.下面是小明同学的学习笔记,请仔细阅读下列材料并完成相应的任务. 学习笔记:如图1,在锐角三角形中,,,的对边分别记为a,b,,锐角三角形的面积记为,过点作于点,则, , , 同理可得:,, 即:, 由以上推理得结论①:锐角三角形的面积等于两边及其夹角正弦积的一半. 又,根据等式的基本性质,将整理得, , 由以上推理得结论②:在一个锐角三角形中,各边和它所对角的正弦的比值相等. 【理解应用】:请学习上述阅读材料,并解答以下问题. 如图2,甲船以48海里/时的速度向正北方向航行,当甲船位于处时,乙船位于甲船的南偏西方向的处,且乙船从处沿北偏东方向匀速直线航行,当甲船航行20分钟到达处时,乙船航行到达甲船的南偏西方向的处,此时两船相距16海里. (1)求的面积; (2)求乙船由处到达处航行的路程是多少海里(结果保留根号). 22.如图,以为直径的与的直角边相切于点E,与直角边相交于点F,连接. (1)求证:; (2)若,的半径为8,求的长. 23.综合与探究 如图1,在边长为12的正方形中,是正方形内一点,连接,将绕点顺时针旋转,得到,连接,. (1)求证:. (2)若点是的中点,连接,且. ①如图2,当A、、三点共线时,连接,求线段的长; ②连接,在运动的过程中,当最小时,直接写出四边形的面积. 24.如图,已知抛物线与轴交于、B两点,与轴交于点C,. (1)求抛物线的解析式; (2)如图1,点P为第一象限内抛物线上一点,连接,当时,求点的坐标. (3)如图2,过点作交抛物线于点,已知点是线段BC上方抛物线上一点,过点作轴,交于N,在线段、上分别有两个动点E、F,,G是的中点,当取得最大值时,在线段上是否存在一点H,使得的值最小?若存在,请求出的最小值;若不存在,请说明理由. 试卷第1页,共3页 试卷第1页,共3页 学科网(北京)股份有限公司 《2025年山东省烟台市莱阳市中考数学一模试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D A D D B C D D 1.B 【分析】根据无理数的三种形式:开方开不尽的数,无限不循环小数,含有的数,找出无理数即可. 【详解】解:在下列各数中,,,,,,,中无理数是,,共个, 故选:B. 【点睛】本题考查了无理数的知识,解答本题的关键是掌握无理数的三种形式:开方开不尽的数,无限不循环小数,含有的数. 2.D 【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形;一个图形绕着某固定点旋转后能够与原来的图形重合,则称这个图形是中心对称图形,这个固定点叫做对称中心;如果一个图形沿着某条直线对折后,直线两旁的部分能够重合,则称这个图形是轴对称图形,这条直线叫做对称轴;根据这两个概念判断即可. 【详解】解:A、既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,不符合题意; B、是轴对称图形,不是中心对称图形,不符合题意; C、既不是轴对称图形,也不是中心对称图形,不符合题意; D、既是轴对称图形,也是中心对称图形,符合题意; 故选:D. 3.D 【分析】此题主要考查了同底数幂的乘除法,以及幂的乘方运算.逆用同底数幂的乘除法及幂的乘方法则.由即可解答. 【详解】解:∵, 依题意得:,. ∴, ∴, 故选:D. 4.A 【分析】本题考查几何体的三视图,熟练掌握三视图的画法是解题的关键.分别画出各选项得出的左视图,再判断即可. 【详解】 解:A、取走①时,左视图为 ,既是轴对称图形又是中心对称图形,故选项A符合题意; B、取走②时,左视图为 ,既不是轴对称图形也不是中心对称图形,故选项B不符合题意; C、取走③时,左视图为 ,既不是轴对称图形也不是中心对称图形,故选项C不符合题意; D、取走④时,左视图为 ,既不是轴对称图形也不是中心对称图形,故选项D不符合题意; 故选:A. 5.D 【分析】连接,根据圆的周长得到圆的半径,再利用正六边形的性质即可解答. 【详解】解:连接,作于点, ∵的周长等于, ∴的半径为:, ∵六边形是正六边形, ∴, ∴是等边三角形, ∴, ∴, ∴, ∴, 故选. 【点睛】本题考查了圆内接正六边形中心角等于,等边三角形的判定与性质,锐角三角函数,正六边形的面积,掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键. 6.D 【分析】本题考查利用频率估计概率.根据随着 小数部分位数的增加,这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同,进行求解即可. 【详解】解:∵随着 小数部分位数的增加,这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同, ∴从 的小数部分随机取出一个数字,估计数字是6的概率为; 故选D. 7.B 【分析】连结AO并延长交于D,连结OB,CD,当B、C在AD同侧时求出∠BAO=45 ,∠CAD=30 ,则∠BAC=∠BAD-∠CAD=15 ,当B、C在AD两侧时∠BAC=∠BAD+∠CAD=75 ,则的度数为15 或75 即可 【详解】连结AO并延长交于D,连结OB,CD, 当B、C在AD同侧时, AO=OB=1,, ∴∠AOB=90 , ∴∠BAO=45 , ∵AD为直径, ∴∠C=90 , ∴cos∠CAD=, ∴∠CAD=30 , ∴∠BAC=∠BAD-∠CAD=45 -30 =15 , 当B、C在AD两侧时, ∴∠BAO=45 , ∴∠CAD=30 , ∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=45 +30 =75 , 则的度数为15 或75 , 故选择:B. 【点睛】本题考查圆周角问题,勾股定理,三角函数,掌握求两弦夹圆周角的方法,注意分类考虑两弦在直径的同侧和两侧求圆周角是解题关键. 8.C 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质,正方形的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理.延长至,使,证明,推出,,,利用证明,可判断①;利用余角关系可判断②;在中,由勾股定理计算可判断③;证明,利用相似三角形的性质可判断④. 【详解】解:延长至,使, 四边形是正方形, ,, , ,,, , ,即, 又, , ,①正确; , , ,②正确; 设, 为中点, , ,, 在中,由勾股定理得, 解得,即,③不正确; ,, , 又, , , , , ,④正确; 综上,正确的有①②④, 故选:C. 9.D 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义,根与系数的关系等知识,根据一元二次方程根的定义得到,再用a表示,得到,所以原式变形为,再根据一元二次方程根与系数的关系得到,利用整体代入法计算,即可求得. 【详解】解∶∵a,b为方程的两个实数根, ∴,, ∴ , 故选∶D. 10.D 【分析】根据对称轴方程可得①正确,由图象可知x=-1时y<0,可得②错误;根据二次函数的对称性可得③错误;根据抛物线开口分析、对称轴位置及与y轴交点即可得④正确;综上可得答案. 【详解】∵抛物线的对称轴为直线x=1, ∴x==1, ∴,故①正确, 由图象可知,x=-1时,y<0, ∴a-b+c<0, ∴a+c<b,故②错误, ∵抛物线对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点为(-2,0), ∴与x轴的另一个交点坐标为(4,0),故③错误, ∵抛物线开口向上, ∴a>0, ∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴, ∴c<0, ∵x==1>0, ∴b<0, ∴abc>0,故④正确, 综上所述:正确的结论有①④, 故选:D. 【点睛】本题考查二次函数的图像与系数的关系,对于二次函数,抛物线对称轴方程为直线x=,当a>0时,抛物线开口向上,当a<0时,抛物线开口向下;当抛物线与y轴交于y轴正半轴时,c>0,当抛物线与y轴交于负半轴时c<0,当对称轴在y轴左侧时,a、b同号,当对称轴在y轴右侧时,a、b异号;熟练掌握二次函数当性质是解题关键. 11. 千 【分析】本题考查了求近似数,求精确度. 第一部分根据四舍五入法,将精确到(十分位),需看百分位数字;第二部分根据科学记数法近似数的有效数字,确定的精确位. 【详解】解:精确到:百分位数字为4,且,∴根据四舍五入法,舍去百分位及以后数字,得; 近似数:,有效数字为1、2、5,最后一位有效数字5位于千位,∴精确到千位. 故答案为:,千. 12.6 【详解】根据平方差公式因式分解,即可求出答案. 【分析】解:∵,且, ∴, ∴, 故答案为:. 【点睛】本题考查平方差公式因式分解,解题的关键是熟练运用平方差公式. 13. 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算,幂的乘方计算,根据幂的乘方计算法则得到,再根据计算求解即可. 【详解】解:∵, ∴,, 又∵, ∴, 故答案为:. 14. 【分析】本题考查点的坐标的表示方法,根据角平分线的定义,可得的度数,根据角的和差,可得的方向角,根据已知点的坐标的表示方法表示即可. 【详解】解:由题意得, ∵平分, ∴, ∵的长度是, ∴C点可表示为. 故答案为:. 15. 【分析】本题考查了垂径定理,圆周角定理,解直角三角形.连接,过点C作于点E,作于点F,则,,由圆周角定理得到,从而,进而求得,的长,结合点C位于第二象限即可得到点C的坐标. 【详解】连接,过点C作于点E,作于点F, ∴,, ∵, ∴是直径, ∵点B的坐标为, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴,, ∵点C在第二象限, ∴点C的坐标为. 故答案为:. 16. 【分析】本题是坐标规律题,求函数值,中心对称的性质,根据题意得出,进而转化为求,根据题意可得,,即可求解. 【详解】解:∵这个点的横坐标从开始依次增加, ∴, ∴, ∴,而即, ∵, 当时,,即, ∵关于点中心对称的点为, 即当时,, ∴, 故答案为:. 17.(1);(2), 【分析】本题主要考查了分式的化简求值、实数的混合运算、特殊角的三角函数值,解答本题的关键是明确它们各自的计算方法. (1)利用负整数指数幂、零指数幂、绝对值和特殊角的三角函数值,分别根据其性质计算出结果,再进行加减运算; (2)由因式分解和分式的性质可以化简题目中的式子,然后将m的值代入化简后的式子即可解答本题. 【详解】解:(1) = = =; (2) = = = = =, 当时,原式=. 18.(1) (2),见解析 (3) 【分析】本题考查了正方形的性质,全等三角形的性质与判定,解直角三角形,熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键. (1);延长至,使得,证明结合已知得出,进而证明,根据全等三角形的性质,即可得出结论; (2)同(1)的方法,延长至,使,证明,,根据全等三角形的性质,即可得出结论; (3)连接,证明,进而得出,解得出,根据(2)的结论,得出,即可求解. 【详解】(1)解: . 如图所示,延长至,使得, ∵四边形是正方形 ∴, ∴ ∴, ∵, ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴, ∴ 即 (2). 证明:延长至,使, ,,, 又, . ,. , . ,即. 又, . ,即. . (3)连接, ,,, . ,. , ,. 在中,, 由(2)得. 的周长. 19.(1)40人,补全图形见解析 (2)480人 (3) 【分析】本题考查条形统计图以及树状图法,注意结合题意中“写出所有可能的结果”的要求,使用列举法,注意按一定的顺序列举,做到不重不漏. (1)用A档人数除以所占百分比即可得到总人数;用总人数减去A档,B档和D档人数,即可得到C档人数,从而可补全条统计图; (2)先求出B档所占百分比,再乘以1200即可得到结论; (3)分别用,,,表示四名同学,然后通过画树状图表示出所有等可能的结果数,再用概率公式求解即可. 【详解】(1)解:由①可知,A档有8人;本次调查人数是:(人); ∴C档人数是:(人), 补充完整图2如图: (2)(人) 答:全校B档的人数为480人, (3)用,表示2名来自八年级的学生,,表示2名来自九年级的学生, 所有的等可能的结果数有12个,抽到的2名学生来自不同年级的结果数有8个, ∴抽到的2名学生来自不同年级的概率. 20.(1)零售价为2.5元 (2)王老师的班级里有38名学生 【分析】(1)设零售价为元,团购价为元,根据等量关系零售价用110元所购买的数量+6=团购价用100元所购买的数量,列出方程,解方程求得x的值即可; (2)根据求得x的值求出学生人数即可. 【详解】(1)设零售价为元,团购价为元,则 解得,, 经检验:是原分式方程的解, 答:零售价为2.5元; (2)学生数为(人) 答:王老师的班级里有38名学生. 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用,解决本题的关键是找出题目中的等量关系,设出未知数列出方程,注意分式方程必须检验. 21.(1)平方海里 (2)海里 【分析】本题考查的是解直角三角形—方向角问题、等边三角形的判定,掌握方向角的概念,正确使用材料中的结论是解题的关键. (1)根据题意知:,,,利用材料中锐角三角形的面积公式代入数据计算即可; (2)先证明是等边三角形,分别求出,,在中,由材料中结论②得,代入数据计算即可解答. 【详解】(1)解:由题意知:,海里,海里, 由结论①知, (平方海里), 的面积为平方海里. (2)解:如图, 由(1)知,, 是等边三角形, ,海里, 又, , 由题意知,, , 在中,由材料中结论②得, (海里), 乙船航行的路程为海里. 22.(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的性质,平行线的判定与性质,等边对等角,圆周角,相似三角形的判定与性质,掌握知识点是解题的关键. (1)连接OE,先证明,得到,,由,推导出,则,得到,即可解答; (2)证明,得到,求出,根据勾股定理,求出,可得到,求出,即可解答. 【详解】(1)解:连接OE,如图 ∵为的切线,切点为E, ∴, ∴, ∴, ∴,, ∵, ∴, ∴, ∴. (2)由(1)可得, ∴, ∴, 即, 解得, 所以, 根据勾股定理,, ∴, 解得, 答:的长为. 23.(1)见解析 (2)①,②88. 【分析】(1)根据正方形的性质及旋转的性质,利用可证明即可证明结论; (2)①由(1)可知,则,结合正方形的性质及勾股定理得,过点F作延长线于H,可证,利用相似三角形的性质可得,,再利用勾股定理求解即可;②如图:连接,求得,由三角形三边关系可知,当点E在上时取等号,即:当最小时,,进而可得的面积,过点E作,则得,进而求得,可得的面积,进而求得即可. 【详解】(1)证明:在正方形中,,, 由旋转可知,,, ∴, ∴, ∴, ∴. (2)解:①由(1)可知,,则, 在正方形中,,,则, ∵点是的中点, ∴,则, ∴, 如图:过点F作延长线于H,则, ∴, ∴, ∴,即, ∴,, ∴, ∴; ②如图:连接,则, 由三角形三边关系可知,, 当点E在上时取等号,即:当最小时,, ∴ , 如图:过点E作,则, ∴, ∴,即, ∴, ∴, ∴四边形的面积为. 【点睛】本题主要考查正方形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定及性质、勾股定理等知识点,正确添加辅助线、构造相似三角形是解题的关键. 24.(1) (2) (3)存在, 【分析】(1)由题意可知,再利用待定系数法即可求解; (2)过点作轴于点.当时,求得,解直角三角形可得,,则,,在中,.设点坐标为,则,,列出方程即可求解; (3)先求得直线解析式为,直线解析式为,结合抛物线求得,设,则,得,过点作轴,,则,,得,当时,有最大值,此时.作点关于的对称点,则,连接与交于点,由,且.可知,故的最小值为,设交轴于点,根据,结合图形求得,根据勾股定理求得,即可求解. 【详解】(1)解:, , . , 由题意得:,解得:, 则抛物线的解析式为:; (2)过点作轴于点. 当时,即:,解得,, . ,,,, ,, , , . 在中,. 设点坐标为,则,, ,解得:(不合题意,舍去),, 点坐标为. (3)由(2)可知,,,则, ∵, ∴,则,, 设直线解析式为:,则,, . 设直线解析式为:,则,, . 联立解得或, . 设,则, , 过点作轴,,则, , . 当时,有最大值,此时. ∵是的中点, ∴, 作点关于的对称点,则,连接与交于点, ,且. , 故的最小值为, , ,又,, ,, 设交轴于点, , ,, , , , 在中,, 的最小值为:. 【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何综合、解直角三角形、最值问题、勾股定理,熟练掌握相关知识是解题的关键. 答案第1页,共2页 答案第1页,共2页 学科网(北京)股份有限公司 $