专题3.1 投影（知识荟萃+4个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题）-浙教版数学九年级下册同步培优讲义

本初中数学讲义聚焦“投影”核心知识点，系统梳理平行投影（含物高与影长关系）、中心投影（点光源特性）、正投影（线段/平面图形/立体图形规律）及视点视角盲区，构建“概念梳理-题型讲练-中考真题-分层训练”的完整学习支架。 资料亮点在于知识体系连贯且贴近生活，通过《孙子算经》测量问题、路灯影子等实例，培养学生几何直观与空间观念（数学眼光），借助比例推理、正投影规律推导提升推理能力（数学思维），课中辅助教师高效授课，课后分层练习助力学生查漏补缺，强化应用意识（数学语言）。

专题3.1 投影 （知识荟萃+4个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题） 【原卷版】 知识荟萃 1 知识点梳理01：平行投影 1 知识点梳理02：中心投影 2 知识点梳理03：正投影 3 题型讲练 4 题型1：平行投影 4 题型2：中心投影 5 题型3：正投影 6 题型4：视点、视角和盲区 6 中考真题 7 分层训练 9 基础夯实 9 培优拔高 12 知识点梳理01：平行投影 1.一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的投影.只要有光线，有被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样的光线照射在物体上，所形成的投影叫做平行投影.由此我们可得出这样两个结论： (1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长. 　　　　　　　　 (2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度. 2. 物高与影长的关系 （1）在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长. （2）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例. 　　即：. 　　利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等. 　　注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长. 【易错点拨】 1.平行投影是物体投影的一种，是在平行光线的照射下产生的. 2.利用平行投影知识解题要分清不同时刻和同一时刻. 知识点梳理02：中心投影 （1）若一束光线是从一点发出的，像这样的光线照射在物体上所形成的投影，叫做中心投影.这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论： 等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长. 　　　　　　　　　　　　　 (2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短. 　　在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置. 【易错点拨】 光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧. 知识点梳理03：正投影 正投影投影 　正投影的定义： 　　　　　　　　　　　 　如图所示，图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影；图(2)(3)中，投影线互相平行，形成平行投影；图(2)中，投影线斜着照射投影面；图(3)中投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面)，我们也称这种情形为投影线垂直于投影面.像图(3)这样，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影. (1)线段的正投影分为三种情况.如图所示. 　　　　　　　　　　　　　 　　 ①线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，与线段AB的长相等； 　　 ②线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，长小于线段AB的长； 　　 ③线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点. 　(2)平面图形正投影也分三种情况，如图所示. 　　　　　　　　　　　　 ①当平面图形平行于投影面Q时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个平面图形全等； ②当平面图形倾斜于投影面Q时，平面图形的正投影与这个平面图形的形状、大小发生变化，即会缩小，是类似图形但不一定相似. ③当平面图形垂直于投影面Q时，它的正投影是直线或直线的一部分. (3)立体图形的正投影. 　物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，立体图形的正投影与平行于投影面且过立体图形的最大截面全等. 【易错点拨】 (1) 正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影. (2)由线段、平面图形和立体图形的正投影规律，可以识别或画出物体的正投影. (3)由于正投影的投影线垂直于投影面，一个物体的正投影与我们沿投影线方向观察这个物 题型1：平行投影 【典例精讲】（24-25九年级下·江苏南京·期中）小华拿着一块正方形木板在阳光下做投影验，这块正方形木板在地面上形成的投影不可能是（    ） A．等腰梯形 B．矩形 C．平行四边形 D．线段 【变式训练1】（24-25九年级下·广东深圳·月考）《孙子算经》中有这样一个问题：“今有竿不知长短，度其影得一丈五尺．别立一表，长一尺五寸，影得五寸，问竿长几何？”意思是：今有竿不知其长短，在阳光下，将其垂直立于地面，测得影长为一丈五尺．同一时刻，测得直立于地面长一尺五寸的标杆的影长为五寸，问竿的长度是多少？（1丈尺；1尺寸）．设竿的长度为x尺，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（24-25九年级下·陕西汉中·期末）如图，教学楼旁边有一棵大树，课外兴趣小组的同学在阳光下测得一根长为1米的竹竿的影长为米，同一时刻这棵树落在地面上的影长为米，落在墙上的影长为米，求树高． 题型2：中心投影 【典例精讲】（24-25九年级下·河南周口·月考）如图，小树在路灯的照射下形成投影．若树高，树影，路灯的高度为，则树与路灯的水平距离为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25九年级下·贵州毕节·期末）如图是小彬晚上在路灯下散步的示意图，图中线段表示站立在路灯下的小彬，线段表示直立在路边的灯杆，点表示路灯的位置．在同一直线上） (1)在小彬由沿所在的方向行走到的过程中，他在地面上的影子的变化情况为_____． (2)请你在图中画出小彬站在处的影子． (3)当小彬走到处时，身高（）为的小彬的影长为，路灯的高度是多少米？ 【变式训练2】（24-25九年级下·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，点处是一个光源，木杆两端的坐标分别为，求木杆在轴上的投影长． 题型3：正投影 【典例精讲】（2024·甘肃平凉·三模）当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小 （填 “相同”、“不一定相同”、“不相同”之一）． 【变式训练1】（23-24九年级下·安徽宿州·期末）物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关．一个正方形纸板的正投影不可能是（    ） A．一条线段 B．一个与原正方形全等的正方形 C．一个邻边不等的平行四边形 D．一个等腰梯形 【变式训练2】（23-24九年级下·山东青岛·期中）如图，一条线段在平面α内的正投影为，，，则的度数为 ．    题型4：视点、视角和盲区 【典例精讲】（24-25九年级下·河北唐山·期末）如图，从点观测建筑物的视角是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25九年级下·全国·单元测试）(1)如图所示，如果你的位置在点A，你能看到后面那座高大的建筑物吗？为什么？ (2)如果两楼之间相距MN＝20 m，两楼的高各为10 m和30 m，则当你至少与M楼相距多少米时，才能看到后面的N楼，此时你的视角α是多少度？ 【变式训练2】（24-25九年级下·全国·单元测试）如图，A，B表示教室的门框位置，小聪站在教室内的点P位置，小慧、小红、小杰三位同学分别站在教室外点C，D，E的位置．这三位同学中，小聪能看见谁？看不见谁？试用盲区的意义给出解释． 1．（2024·山东青岛·中考真题）如图，是线段AB在投影面P上的正投影，，，则投影的长为（　　） A． B． C． D． 2．（2024·湖南长沙·中考真题）如图所示，一电线杆AB的影子落在地面和墙壁上，同一时刻，小明在地面上竖立一根1米高的标杆（PQ），量得其影长（QR）为0.5米，此时他又量得电线杆AB落在地面上的影子BD长为3米，墙壁上的影子CD高为2米，小明用这些数据很快算出了电线杆AB的高为（　　） A．5米 B．6米 C．7米 D．8米 3．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）在“测量物体的高度”活动中，小丽在同一时刻阳光下，测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米：测量树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图），落在地面上的影长为4.8米，一级台阶高为0.25米，落在第一级台阶上的影子长为0.2米，则树高度为 米． 4．（2024·河南郑州·中考真题）如图，当太阳光与地面上的树影成角时，树影投射在墙上的影高等于2米，若树根到墙的距离等于8米，则树高等于 米（结果保留根号）．    5．（2024·四川成都·中考真题）如图是某风车的示意图，其大小相同的四个叶片均匀分布，点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光恰好垂直照射叶片，叶片影子为线段，测得米，米，此时垂直于地面的标杆与它的影子的比为（其中点M，C，D，F，G在水平地面上），则的高度为 米，叶片的长为 米． 基础夯实 1．（2025·河南周口·二模）下面是在同一时刻的太阳光下两棵树产生的影子，其中正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（2025·广东茂名·模拟预测）圭表是古代汉族科学家发明的度量日影长度以定节令的一种天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成．当太阳照着表的时候，圭上出现了表的影子，根据影子的方向和长度，就能读出时间，则表在圭面上形成的投影是（    ） A．中心投影 B．平行投影 C．既是平行投影又是中心投影 D．不能确定 3．（2025·浙江金华·二模）下列投影中，属于中心投影的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级下·全国·期末）如图所示的日晷仪，是观测日影计时的仪器，主要是根据日影的位置，以指定当时的时辰或刻数，是我国古代较为普遍使用的计时仪器．晷针在晷面上所形成的投影属于 投影． 5．（24-25九年级上·山东济南·期末）皮影戏是用兽皮或纸板做成的人物剪影来表演故事的戏曲．表演时，用灯光把剪影照射在银幕上，艺人在幕后一边操纵剪影，一边演唱，并配以音乐．皮影戏也称为影戏、灯影戏、土影戏等．则皮影形成的影子是 投影．（填“平行”或“中心”） 6．（24-25九年级下·山东烟台·期末）如图所示是某一天不同时刻同一棵树的影子，则它们按时间先后顺序排列序号应为 ． 7．（24-25九年级下·陕西榆林·期末）如图是两根木杆在同一时刻的影子，则它们的影子是在 （填“太阳”或“灯光”）光线下形成的． 8．（24-25九年级下·陕西咸阳·月考）如图，小树在路灯的照射下形成投影． (1)此光源下形成的投影属于_________（填“平行投影”或“中心投影”） ． (2)已知树的高为，树影为，树与路灯的水平距离为，，点，，在同一条水平线上，求路灯的高度． 9．（24-25九年级下·陕西宝鸡·期末）晓月在某个阳光明媚的午后，想利用太阳光线来测量校园内一棵大树的高度，如图，他在地面上的点处竖立一根2米长的标杆，发现在太阳光下的影长米，同一时刻，大树在太阳光下的影子为．已知点、、、在同一水平直线上，，． (1)请在图中画出大树的影长； (2)若测得此刻大树在地面上的影长米，请你求出大树的高度． 10．（24-25九年级下·福建三明·月考）三根竖直的竹竿在同一光源下的影子如图所示，其中竹竿的影子为，竹竿的影子为．确定光源P的位置，并画出影子为的竹竿（用线段表示）． 培优拔高 11．（2025·河南洛阳·一模）如图，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长米，在同一时刻旗杆的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上影长为米，留在墙上的影长米，则旗杆的高度（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 12．（2025九年级下·浙江·专题练习）下列各种现象：皮影戏中的影子；物体在太阳光形成下的影子；探照灯下的投影；路灯下人的影子，其中属于中心投影的有（  ） A．种 B．种 C．种 D．种 13．（24-25九年级下·河北衡水·期末）如图．在直角坐标系中，点是一个光源．木杆两端的坐标分别为．则木杆在x轴上的投影长为（  ）    A．1.8 B．6 C．5 D．4 14．（24-25九年级下·福建泉州·期中）在某一时刻，测得一根高为的竹竿的影长为，同时测得一根旗杆的影长为，那么这根旗杆的高度为 ． 15．（2024·广东茂名·二模）如图，如图，安装路灯的路面比种植树木的地面高，在路灯的照射下，路基留在地面上的影长为，通过测量知道的距离为，则路灯的高度是 m． 16．（23-24九年级下·河南郑州·月考）为了测得一棵树的高度，一个小组的同学进行了如下测量：在阳光下，测得一根与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为米．同时发现这棵树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），测得墙壁上的影长为米，落在地面上的影长为3米，则这棵树的高度为 ． 17．（23-24九年级下·山东泰安·月考）如图，小阳发现电线杆 的影子落在土坡的坡面 和地面 上，量得 米，米，的坡度为：；且此时测得 米杆在地面上的影长为 米，则电线杆的高度为 米． 18．（2025·山西长治·二模）某天晚上，同学们带上竹竿和卷尺到马路的人行道上测量路对面路灯的高度．因路上设有隔离带，同学们无法直接到达路灯下面．同学们在人行道上将1米长的竹竿直立，并不断移动竹竿的位置，当竹竿在路灯下的影长米时停止移动，并标记为点，然后沿着方向直行2米，即米，在点处直立竹竿，测得此时竹竿的影长米，求路灯的高度．（结果精确到0.1米） 19．（2024·广东·二模）阳光下，电线杆落在一段斜坡和水平地面上的影子分别是和，小亮量得，斜坡的坡度为，小亮的身高，此时他在水平地面上的影子长为，求电线杆的长度（结果保留根号）． 20．（2025·广东珠海·一模）某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测量旗杆的高度．如图，在某一时刻，旗杆的影子为，与此同时在C处立一根标杆，标杆的影子为，，．请你从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求旗杆的高度．条件①：；条件②：从D处看旗杆顶部A的仰角为．注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．参考数据：，，． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1 投影 （知识荟萃+4个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题） 【解析版】 知识荟萃 1 知识点梳理01：平行投影 1 知识点梳理02：中心投影 2 知识点梳理03：正投影 3 题型讲练 4 题型1：平行投影 4 题型2：中心投影 6 题型3：正投影 8 题型4：视点、视角和盲区 10 中考真题 11 分层训练 16 基础夯实 16 培优拔高 22 知识点梳理01：平行投影 1.一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面或墙壁等)上得到的影子，叫做物体的投影.只要有光线，有被光线照到的物体，就存在影子.太阳光线可看做平行的，象这样的光线照射在物体上，所形成的投影叫做平行投影.由此我们可得出这样两个结论： (1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长. 　　　　　　　　 (2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度. 2. 物高与影长的关系 （1）在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长. （2）在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例. 　　即：. 　　利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等. 　　注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长. 【易错点拨】 1.平行投影是物体投影的一种，是在平行光线的照射下产生的. 2.利用平行投影知识解题要分清不同时刻和同一时刻. 知识点梳理02：中心投影 （1）若一束光线是从一点发出的，像这样的光线照射在物体上所形成的投影，叫做中心投影.这个“点”就是中心，相当于物理上学习的“点光源”.生活中能形成中心投影的点光源主要有手电筒、路灯、台灯、投影仪的灯光、放映机的灯光等.相应地，我们会得到两个结论： 等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长. 　　　　　　　　　　　　　 (2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短. 　　在中心投影的情况下，还有这样一个重要结论：点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置. 【易错点拨】 光源和物体所处的位置及方向影响物体的中心投影，光源或物体的方向改变，则该物体的影子的方向也发生变化，但光源、物体的影子始终分离在物体的两侧. 知识点梳理03：正投影 正投影投影 　正投影的定义： 　　　　　　　　　　　 　如图所示，图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影；图(2)(3)中，投影线互相平行，形成平行投影；图(2)中，投影线斜着照射投影面；图(3)中投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面)，我们也称这种情形为投影线垂直于投影面.像图(3)这样，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影. (1)线段的正投影分为三种情况.如图所示. 　　　　　　　　　　　　　 　　 ①线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，与线段AB的长相等； 　　 ②线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，长小于线段AB的长； 　　 ③线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点. 　(2)平面图形正投影也分三种情况，如图所示. 　　　　　　　　　　　　 ①当平面图形平行于投影面Q时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个平面图形全等； ②当平面图形倾斜于投影面Q时，平面图形的正投影与这个平面图形的形状、大小发生变化，即会缩小，是类似图形但不一定相似. ③当平面图形垂直于投影面Q时，它的正投影是直线或直线的一部分. (3)立体图形的正投影. 　物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，立体图形的正投影与平行于投影面且过立体图形的最大截面全等. 【易错点拨】 (1) 正投影是特殊的平行投影，它不可能是中心投影. (2)由线段、平面图形和立体图形的正投影规律，可以识别或画出物体的正投影. (3)由于正投影的投影线垂直于投影面，一个物体的正投影与我们沿投影线方向观察这个物 题型1：平行投影 【典例精讲】（24-25九年级下·江苏南京·期中）小华拿着一块正方形木板在阳光下做投影验，这块正方形木板在地面上形成的投影不可能是（    ） A．等腰梯形 B．矩形 C．平行四边形 D．线段 【答案】A 【思路点拨】可确定正方形木板与地面平行且与光线垂直时所成的投影为矩形；当正方形木板与光线方向平行且与地面垂直时所成的投影为一条线段；除以上两种情况正方形在地面上所形成的投影均为平行四边形，所以正方形木板在地面上形成的投影不可能是梯形． 考查了平行投影的知识，太阳光线是平行的，那么对边平行的图形得到的投影依旧平行． 【规范解答】解：将正方形木板立起与地面垂直放置时，形成的影子为线段； 将正方形木板与地面平行放置时，形成的影子为矩形； 将正方形木板倾斜放置形成的影子为平行四边形； 由物体同一时刻物高与影长成比例，且长方形对边相等，梯形两底不相等，得到投影不可能是等腰梯形． 故选：A． 【变式训练1】（24-25九年级下·广东深圳·月考）《孙子算经》中有这样一个问题：“今有竿不知长短，度其影得一丈五尺．别立一表，长一尺五寸，影得五寸，问竿长几何？”意思是：今有竿不知其长短，在阳光下，将其垂直立于地面，测得影长为一丈五尺．同一时刻，测得直立于地面长一尺五寸的标杆的影长为五寸，问竿的长度是多少？（1丈尺；1尺寸）．设竿的长度为x尺，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查平行投影，根据同一时刻，同一地点，物高与影长对应成比例，列出方程即可． 【规范解答】解：一丈五尺尺，一尺五寸尺，五寸尺， 由题意，可列方程为：； 故选A． 【变式训练2】（24-25九年级下·陕西汉中·期末）如图，教学楼旁边有一棵大树，课外兴趣小组的同学在阳光下测得一根长为1米的竹竿的影长为米，同一时刻这棵树落在地面上的影长为米，落在墙上的影长为米，求树高． 【答案】树高为3米 【思路点拨】本题考查利用相似三角形对应边成比例的性质，熟练掌握相似三角形对应边成比例是解题的关键，设墙上的影高落在地面上时的长度为米，树高为米，根据同一时刻物高与影长成正比列出关系式，先求出的值，再求出即可． 【规范解答】解：设墙上的影高落在地面上时的长度为米，树高为米． ∵长为1米的竹竿的影长为米，树落在墙上的影长为米， ∴ 解得 经检验是方程的根． ∴树的影长为： 解得， 答：树高为3米． 题型2：中心投影 【典例精讲】（24-25九年级下·河南周口·月考）如图，小树在路灯的照射下形成投影．若树高，树影，路灯的高度为，则树与路灯的水平距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查中心投影，相似三角形的判定和性质等知识，根据相似三角形的判定证出，然后利用相似三角形的性质求解即可得． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【变式训练1】（24-25九年级下·贵州毕节·期末）如图是小彬晚上在路灯下散步的示意图，图中线段表示站立在路灯下的小彬，线段表示直立在路边的灯杆，点表示路灯的位置．在同一直线上） (1)在小彬由沿所在的方向行走到的过程中，他在地面上的影子的变化情况为_____． (2)请你在图中画出小彬站在处的影子． (3)当小彬走到处时，身高（）为的小彬的影长为，路灯的高度是多少米？ 【答案】(1)先变短后变长； (2)见解析 (3)路灯的高度是米． 【思路点拨】本题考查了中心投影，相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据光是沿直线传播的道理分析即可； （2）连接并延长交直线于点，线段即为小亮站在处的影子； （3）连接并延长交直线于点，利用相似三角形的判定和性质求解即可． 【规范解答】（1）解：在小彬由沿所在的方向行走到的过程中，他在地面上的影子的变化情况为先变短后变长， 故答案为：先变短后变长； （2）解：如图，线段即为所求作影子； （3）解：如图，连接并延长交直线于点， 由题意可知，，，， ， ， ， ， ， ， 即路灯的高度是米． 【变式训练2】（24-25九年级下·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，点处是一个光源，木杆两端的坐标分别为，求木杆在轴上的投影长． 【答案】6 【思路点拨】本题考查中心投影，构造相似三角形，利用相似三角形的性质列方程求解是解决此类问题的基本方法．延长分别交轴于点，，过点作轴于点，交于点，利用中心投影，转化为相似三角形，将点的坐标转化为线段的长，根据相似三角形的性质得出答案即可． 【规范解答】解：如解图，延长分别交轴于点，，过点作轴于点，交于点， 点， ， ， ， ， 即，解得， 木杆在轴上的投影长是6． 题型3：正投影 【典例精讲】（2024·甘肃平凉·三模）当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小 （填 “相同”、“不一定相同”、“不相同”之一）． 【答案】相同 【思路点拨】本题考查平行投影，根据平行投影的特点作答，即可． 【规范解答】解：当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小相同； 故答案为：相同． 【变式训练1】（23-24九年级下·安徽宿州·期末）物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关．一个正方形纸板的正投影不可能是（    ） A．一条线段 B．一个与原正方形全等的正方形 C．一个邻边不等的平行四边形 D．一个等腰梯形 【答案】D 【思路点拨】本题考查了投影，根据投影的含义进行判断即可； 【规范解答】解：当正方形纸板所在平面与光线平行时，得到的正投影是一条线段；正方形纸板所在平面与光线垂直时，得到一个与原正方形全等的正方形；正方形纸板所在平面与光线不垂直也不平行时，得到一个平行四边形；正投影不可能得到等腰梯形； 故选：D． 【变式训练2】（23-24九年级下·山东青岛·期中）如图，一条线段在平面α内的正投影为，，，则的度数为 ．    【答案】/60度 【思路点拨】本题考查平行投影，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．过A作，交于C点．求出的值，可得结论． 【规范解答】解：过A作，交于C点．    ∵线段在平面α内的正投影为，，， ∴， ∴，且，则即为所求． ∴， ∴． 故答案为：． 题型4：视点、视角和盲区 【典例精讲】（24-25九年级下·河北唐山·期末）如图，从点观测建筑物的视角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】根据视角的定义，由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角，即可判断． 【规范解答】如图所示，根据视角的定义，建筑物两端发出的光线在眼球内交叉的角为， 故选：A． 【变式训练1】（24-25九年级下·全国·单元测试）(1)如图所示，如果你的位置在点A，你能看到后面那座高大的建筑物吗？为什么？ (2)如果两楼之间相距MN＝20 m，两楼的高各为10 m和30 m，则当你至少与M楼相距多少米时，才能看到后面的N楼，此时你的视角α是多少度？ 【答案】（1）不能；（2）AM至少为10m，此时视角为30°. 【思路点拨】（1）连接点A与M楼的顶点，则可得出能否看到后面那座高大的建筑物； （2）构造直角三角形，设AM=x，则根据，可得出AM的长度，继而也可求出视角α的度数． 【规范解答】解：(1)不能，连接点A与M楼的顶点，因为建筑物在A点的盲区范围内 　(2)设AM＝x，则，解得x＝10，故至少与M楼相距10 m，tanα=，所以α=30°，此时视角为30°. 【变式训练2】（24-25九年级下·全国·单元测试）如图，A，B表示教室的门框位置，小聪站在教室内的点P位置，小慧、小红、小杰三位同学分别站在教室外点C，D，E的位置．这三位同学中，小聪能看见谁？看不见谁？试用盲区的意义给出解释． 【答案】小聪能看见小慧、小红，不能看见小杰． 【思路点拨】利用盲区的意义得出小聪的视线范围进而得出答案． 【规范解答】解：如图所示：连接PA，PB，并延长，即可得出小聪的视线， 故小聪能看见小慧、小红，不能看见小杰． 1．（2024·山东青岛·中考真题）如图，是线段AB在投影面P上的正投影，，，则投影的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】过点A作于点C，根据解直角三角形即可求得． 【规范解答】解：过点A作于点C， 四边形是矩形， ， 在中，， ， 故选：A． 2．（2024·湖南长沙·中考真题）如图所示，一电线杆AB的影子落在地面和墙壁上，同一时刻，小明在地面上竖立一根1米高的标杆（PQ），量得其影长（QR）为0.5米，此时他又量得电线杆AB落在地面上的影子BD长为3米，墙壁上的影子CD高为2米，小明用这些数据很快算出了电线杆AB的高为（　　） A．5米 B．6米 C．7米 D．8米 【答案】D 【思路点拨】在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，据此列方程即可解答． 【规范解答】解：如图：假设没有墙CD，则影子落在点E， ∵杆高与影长成正比例， ∴CD：DE=1：0.5， ∴DE=1米， ∴AB：BE=1：0.5， ∵BE=BD+DE=4， ∴， ∴AB=8米． 故选：D． 3．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）在“测量物体的高度”活动中，小丽在同一时刻阳光下，测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米：测量树的影子除落在地面上外，还有一部分落在教学楼的第一级台阶上（如图），落在地面上的影长为4.8米，一级台阶高为0.25米，落在第一级台阶上的影子长为0.2米，则树高度为 米． 【答案】 【思路点拨】求出台阶同等高度的大树的影子的长度，然后根据同时同地物高与影长成正比列式求出树的高度一部分，再加上台阶的高度计算即可得出答案． 【规范解答】解：根据同一时刻物高与影长成正比例，如图所示： 则其中为树高，为树影在第一级台阶上的影长，为树影在地上部分的长，的长为台阶高，并且由光沿直线传播的性质可知即为树影在地上的全长，延长交于，则， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 即树高为米， 故答案为:． 4．（2024·河南郑州·中考真题）如图，当太阳光与地面上的树影成角时，树影投射在墙上的影高等于2米，若树根到墙的距离等于8米，则树高等于 米（结果保留根号）．    【答案】 【思路点拨】作，在中，根据勾股定理求出，即可求解． 【规范解答】解：作，如图， 则，    由题意得：， ∴， 在中，，解得：， ∴， 故答案为：． 5．（2024·四川成都·中考真题）如图是某风车的示意图，其大小相同的四个叶片均匀分布，点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光恰好垂直照射叶片，叶片影子为线段，测得米，米，此时垂直于地面的标杆与它的影子的比为（其中点M，C，D，F，G在水平地面上），则的高度为 米，叶片的长为 米． 【答案】 10 【思路点拨】作，根据平行线分线段成比例定理可知PC=PD，由EF与影子FG的比为2：3，可得OM的长，同法由等角的正弦可得OB的长，从而得结论． 【规范解答】解：如图，过点O作，交于P，过P作于N，则， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：10，． 基础夯实 1．（2025·河南周口·二模）下面是在同一时刻的太阳光下两棵树产生的影子，其中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影． 根据平行投影的特点，利用两小树的影子的方向相反可对A、C进行判断；利用在同一时刻阳光下，树高与影子成正比可对B、D进行判断． 【规范解答】解：A、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，所以A选项错误； B、图中树高与影子成反比，而在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以B选项错误； C、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，所以C选项错误． D、在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以D选项正确； 故选：D． 2．（2025·广东茂名·模拟预测）圭表是古代汉族科学家发明的度量日影长度以定节令的一种天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成．当太阳照着表的时候，圭上出现了表的影子，根据影子的方向和长度，就能读出时间，则表在圭面上形成的投影是（    ） A．中心投影 B．平行投影 C．既是平行投影又是中心投影 D．不能确定 【答案】B 【思路点拨】本题考查了中心投影和平行投影的定义，熟记相关定义是解本题的关键． 根据中心投影的定义：把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影；平行投影的定义：光源是以平行的方式照射到物体上的投影，据此解答即可． 【规范解答】解：太阳光下表的影子为平行投影． 故选B． 3．（2025·浙江金华·二模）下列投影中，属于中心投影的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】根据中心投影的定义解答即可． 本题考查了中心投影的定义，解决本题的关键是理解中心投影的形成光源为灯光． 【规范解答】解：A.是平行投影，不符合题意； B.是中心投影，符合题意； C.是平行投影，不符合题意； D.是平行投影，不符合题意． 故选：B． 4．（24-25九年级下·全国·期末）如图所示的日晷仪，是观测日影计时的仪器，主要是根据日影的位置，以指定当时的时辰或刻数，是我国古代较为普遍使用的计时仪器．晷针在晷面上所形成的投影属于 投影． 【答案】平行 【思路点拨】本题考查了平行投影．熟练掌握平行投影的定义是解题的关键． 根据平行投影的定义进行判断作答即可． 【规范解答】解：因为太阳光属于平行光线，而日晷利用日影测定时刻，所以晷针在晷面上所形成的投影属于平行投影． 故答案为：平行． 5．（24-25九年级上·山东济南·期末）皮影戏是用兽皮或纸板做成的人物剪影来表演故事的戏曲．表演时，用灯光把剪影照射在银幕上，艺人在幕后一边操纵剪影，一边演唱，并配以音乐．皮影戏也称为影戏、灯影戏、土影戏等．则皮影形成的影子是 投影．（填“平行”或“中心”） 【答案】中心 【思路点拨】本题考查了平行投影和中心投影，中心投影是指把光由一点向外散射形成的投影，平行投影是在一束平行光线照射下形成的投影． 【规范解答】解：“皮影戏”中是用灯光向外散射形成的投影， ∴“皮影戏”中的皮影是中心投影． 故答案为：中心 ． 6．（24-25九年级下·山东烟台·期末）如图所示是某一天不同时刻同一棵树的影子，则它们按时间先后顺序排列序号应为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了平行投影，熟练掌握平行投影的变化规律是解题的关键：①太阳光下物体影子的长短不仅与物体的高度有关，而且与时间有关：同一时刻，高物体的影子较长，所有物体的影子长度与其高度成正比；②太阳光下物体影子的方向和长度变化规律（北半球）如下：一天之中，由于太阳东升西落，所以早晨物体的影子向西，傍晚物体的影子向东．一天之中，物体影子的方向变化为：正西—西北—正北—东北—正东，影子的长度变化为：长—短—长． 根据不同时刻物体在太阳光下的影子的方向、大小的变化规律进行判断即可：就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：正西—西北—正北—东北—正东，物体影子的长短为：长—短—长． 【规范解答】解：西为④，西北为②，东北为①，东为③， 故其按时间的先后顺序为：， 故答案为：． 7．（24-25九年级下·陕西榆林·期末）如图是两根木杆在同一时刻的影子，则它们的影子是在 （填“太阳”或“灯光”）光线下形成的． 【答案】灯光 【思路点拨】本题考查了中心投影和平行投影的知识．根据光线的平行和相交即可判断是平行投影和中心投影． 【规范解答】解：因为影子的顶点和木杆的顶点的连线不平行， 所以它们的光线应该是点光源．它们是灯光下的投影． 故答案为：灯光． 8．（24-25九年级下·陕西咸阳·月考）如图，小树在路灯的照射下形成投影． (1)此光源下形成的投影属于_________（填“平行投影”或“中心投影”） ． (2)已知树的高为，树影为，树与路灯的水平距离为，，点，，在同一条水平线上，求路灯的高度． 【答案】(1)中心投影 (2) 【思路点拨】本题考查了中心投影，掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）由中心投影的定义确定答案即可； （2）先判断相似三角形，再利用相似三角形的性质求解． 【规范解答】（1）解：∵此光源属于点光源， ∴此光源下形成的投影属于中心投影， 故答案为：中心投影； （2）解：，， ， 又， ， ，即， 解得， 路灯的高度为4.4米 9．（24-25九年级下·陕西宝鸡·期末）晓月在某个阳光明媚的午后，想利用太阳光线来测量校园内一棵大树的高度，如图，他在地面上的点处竖立一根2米长的标杆，发现在太阳光下的影长米，同一时刻，大树在太阳光下的影子为．已知点、、、在同一水平直线上，，． (1)请在图中画出大树的影长； (2)若测得此刻大树在地面上的影长米，请你求出大树的高度． 【答案】(1)见解析 (2)8米 【思路点拨】本题考查了平行投影、相似三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，过点作交直线于点，则影长即为所求； （2）先证明，再利用相似比即可求解． 【规范解答】（1）解：连接，过点作交直线于点， 如图，影长即为所求： （2）解：， ， ，， ， ， ，即， 解得：米， 答：大树的高度为8米． 10．（24-25九年级下·福建三明·月考）三根竖直的竹竿在同一光源下的影子如图所示，其中竹竿的影子为，竹竿的影子为．确定光源P的位置，并画出影子为的竹竿（用线段表示）． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查中心投影的作图，解题的关键是要知道：连接物体和它影子的顶端所形成的直线必定经过点光源．过影子顶端与竹竿顶端作射线，交点P即为所求；连接光源P与影子顶端F，过E作垂直于地面的直线，与交于点M，即为所求． 【规范解答】解：如图，点P为光源的位置，线段是影子为的竹竿． 培优拔高 11．（2025·河南洛阳·一模）如图，在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长米，在同一时刻旗杆的影长不全落在水平地面上，有一部分落在楼房的墙上，他测得落在地面上影长为米，留在墙上的影长米，则旗杆的高度（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【思路点拨】本题考查了平行投影，作于点，如图，则四边形为矩形，，，利用“在同一时刻物高与影长的比相等得到” ，求出从而可得到的长． 【规范解答】作于点，如图， 则四边形为矩形，，， 根据题意得， 即， 解得， 所以． 故选：A． 12．（2025九年级下·浙江·专题练习）下列各种现象：皮影戏中的影子；物体在太阳光形成下的影子；探照灯下的投影；路灯下人的影子，其中属于中心投影的有（  ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【思路点拨】此题主要考查了中心投影的性质，解决本题的关键是理解中心投影的形成光源为灯光． 根据中心投影的性质，找到是灯光的光源即可． 【规范解答】解：中心投影的光源为灯光，所以属于中心投影的是：，共有种， 故选：C． 13．（24-25九年级下·河北衡水·期末）如图．在直角坐标系中，点是一个光源．木杆两端的坐标分别为．则木杆在x轴上的投影长为（  ）    A．1.8 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【思路点拨】本题考查中心投影，一次函数的应用，坐标确定位置，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 延长分别交x轴于点．求出的坐标可得结论． 【规范解答】解：延长分别交x轴于点．    设直线的解析式为， 则有， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴， 同法可得， ∴， ∴木杆在x轴上的投影长． 故选：B． 14．（24-25九年级下·福建泉州·期中）在某一时刻，测得一根高为的竹竿的影长为，同时测得一根旗杆的影长为，那么这根旗杆的高度为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查相似三角形的应用，平行投影，根据“同时同地物高与影长成正比”列式计算即可得解．解题的关键要熟练掌握相似三角形的性质． 【规范解答】解：设旗杆高度为， 由题意得：， 解得：， ∴这根旗杆的高度为． 故答案为：． 15．（2024·广东茂名·二模）如图，如图，安装路灯的路面比种植树木的地面高，在路灯的照射下，路基留在地面上的影长为，通过测量知道的距离为，则路灯的高度是 m． 【答案】 【思路点拨】本题考查了相似三角形的应用，中心投影，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据题意可得：，，，从而可得，，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【规范解答】解：由题意得：，， ∴， 由题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴路灯的高度是, 故答案为：． 16．（23-24九年级下·河南郑州·月考）为了测得一棵树的高度，一个小组的同学进行了如下测量：在阳光下，测得一根与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为米．同时发现这棵树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），测得墙壁上的影长为米，落在地面上的影长为3米，则这棵树的高度为 ． 【答案】米 【思路点拨】本题考查了平行投影的应用，解题的关键明确在同一时刻物高和影长成正比，经过树在教学楼上的影子的顶端作树的垂线和经过树顶的太阳光线以及树所成三角形，与竹竿，影子光线形成的三角形相似，这样就可求出垂足到树的顶端的高度，再加上墙上的影高就是树高． 【规范解答】设从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度是米． 则有， 解得 树高是（米． 故答案为米． 17．（23-24九年级下·山东泰安·月考）如图，小阳发现电线杆 的影子落在土坡的坡面 和地面 上，量得 米，米，的坡度为：；且此时测得 米杆在地面上的影长为 米，则电线杆的高度为 米． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是平行投影，坡度的含义，如图，延长与的延长线交于 过作于 利用坡度先求解 再利用同一时刻物高与影长成比例求解 从而可得答案. 【规范解答】解：如图，延长与的延长线交于 过作于 设 则 因为同一时刻测得1米杆在地面上的影长为2米， 而 同理可得： 故答案为： 18．（2025·山西长治·二模）某天晚上，同学们带上竹竿和卷尺到马路的人行道上测量路对面路灯的高度．因路上设有隔离带，同学们无法直接到达路灯下面．同学们在人行道上将1米长的竹竿直立，并不断移动竹竿的位置，当竹竿在路灯下的影长米时停止移动，并标记为点，然后沿着方向直行2米，即米，在点处直立竹竿，测得此时竹竿的影长米，求路灯的高度．（结果精确到0.1米） 【答案】路灯的高度约为7.7米． 【思路点拨】本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用．由题意可知，推出，求得，求得，再由相似三角形的对应边成比例即可得出答案． 【规范解答】解：设米， 由题意得， 米， ， ， ， 米，米，米， ∴(米）， 米， ， ， ， ， ， 解得． 答：路灯的高度约为7.7米． 19．（2024·广东·二模）阳光下，电线杆落在一段斜坡和水平地面上的影子分别是和，小亮量得，斜坡的坡度为，小亮的身高，此时他在水平地面上的影子长为，求电线杆的长度（结果保留根号）． 【答案】 【思路点拨】本题考查了矩形的性质和判定，三角函数，相似三角形的应用，利用影长测量物体的高度，通常利用相似三角形的性质即在同一时刻物高与影长的比相等．过点D作交的延长线于点E，于F， 根据坡度的定义可得，再根据三角函数可得，再根据相似三角形的性质可得，即可得解． 【规范解答】解：过点D作，交的延长线于点E，于F， 则， 四边形为矩形， ， 在中，斜坡的坡度为， 则， ， ，， ， ∵小亮的身高，此时他在水平地面上的影子长为， ， ， ， 答：电线杆的长度为． 20．（2025·广东珠海·一模）某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测量旗杆的高度．如图，在某一时刻，旗杆的影子为，与此同时在C处立一根标杆，标杆的影子为，，．请你从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求旗杆的高度．条件①：；条件②：从D处看旗杆顶部A的仰角为．注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．参考数据：，，． 【答案】旗杆的高度约为． 【思路点拨】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，投影的性质，掌握投影的性质及解直角三角形的应用是解题的关键． 先求得的长为．若选择条件①：根据同一时刻物高与影长成正比进行计算即可求解； 若选择条件②：过点作，垂足为，则，，解可得，再根据线段的和差关系即可求解． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴的长为． 若选择条件①： 由题意得：， ∴， ∴， ∴旗杆的高度为； 若选择条件②： 过点D作，垂足为F， 则，， 在中，， ∴， ∴， ∴旗杆的高度约为． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $