（温故知新-寒假专供）专题01 长方体和正方体的表面积和体积（知识回顾+十三大重点难点题型讲练+拔尖训练 共39题）-苏教版数学六年级上册

专题01 长方体和正方体的表面积和体积 （知识回顾+十二大重点难点题型讲练+拔尖训练 共39题） 【原卷版】 知识回顾 1 知识点一：长方体和正方体的认识 1 知识点二：长方体和正方体的展开图 2 知识点三：长方体、正方体的表面积计算 2 知识点四：体积与体积单位 3 知识点五：长方体和正方体的体积 3 题型讲练 3 重点难点题型一：长方体表面积的计算与应用 3 重点难点题型二：正方体表面积的计算与应用 4 重点难点题型三：立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 5 重点难点题型四：组合体的表面积（长方体、正方体） 5 重点难点题型五：长方体的体积计算与应用 6 重点难点题型六：正方体的体积计算与应用 7 重点难点题型七：体积的等积变形（长方体、正方体） 8 重点难点题型八：立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 9 重点难点题型九：组合体的体积（长方体、正方体） 9 重点难点题型十：长方体、正方体的容积 10 重点难点题型十一：不规则物体的体积算法（长方体、正方体) 10 重点难点题型十二：表面涂色的正方体 11 拔尖训练 11 知识点一：长方体和正方体的认识 1.长方体的特征。 长方体是由6个长方形（也可能有2个相对的面是正方形）围成的立体图形，有6个面、12条棱和8个顶点，相对的面完全相同、相对的棱长度相等。 2. 长方体的长、宽、高的含义。 长方体相交于同一顶点的三条棱的长度，分别叫作它的长、宽、高。 知识点二：长方体和正方体的展开图 1.沿着正方体（或长方体）的棱将其剪开，可以把正方体（或长方体）展开成一个平面图形，这个平面图形就是正方体（或长方体）的展开图。 2.正方体（或长方体）的展开图的特点：在展开图中，正方体的6个面完全相同（长方体相对的面完全相同），相对的面完全隔开。 3. 一个表面涂色的正方体，把每条棱平均分成相等的若干份，然后切成同样大的小正方体。（1）3面涂色的小正方体有8个。 （2）如果用n表示把正方体的棱平均分成的份数（n为大于或等于2的自然数），用a、b分别表示2面涂色和1面涂色的小正方体的个数，那么a=(n-2)×12，b=(n-2)2×6。 知识点三：长方体、正方体的表面积计算 1.意义。 长方体（或正方体）6个面的总面积。 2.计算方法。 （1）长方体的表面积=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2=（长×宽+长×高+宽×高）×2。 （2）正方体的表面积=棱长×棱长×6。 知识点四：体积与体积单位 1.体积的意义：物体所占空间的大小叫作物体的体积。 2.容积的意义：容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积。 常用的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米，可以分别写成cm3、dm3和m3。 计量液体的体积，通常用升或毫升作单位。 1立方分米 = 1升，1立方厘米 = 1毫升 知识点五：长方体和正方体的体积 1.长方体的体积=长×宽×高，字母公式为V=abh。 2.正方体的体积=棱长×棱长×棱长，字母公式为V=a3。 3.底面积：长方体和正方体底面的面积，叫作它们的底面积。 4.体积计算公式：长方体(或正方体)的体积=底面积×高，如果用字母S表示底面积，h表示高，长方体(或正方体)的体积计算公式可以写成V=Sh。 5. 体积单位常用到，相邻进率是1000。 立方分米立方米，它们进率是1000。 立方分米立方厘米，它们进率是1000。 重点难点题型一：长方体表面积的计算与应用 【例1】（25-26六年级上·江苏泰州·期中）如图，一个长方体沿高截去2厘米后，表面积减少了48平方厘米，剩下部分成为一个正方体，原来长方体的体积是( )立方厘米。 【变式】（25-26六年级上·江苏泰州·期中）用9个如图甲所示的小长方体拼成一个如图乙所示的大长方体，已知小长方体的体积是750立方厘米，则大长方体的表面积是多少平方厘米？ 重点难点题型二：正方体表面积的计算与应用 【例2】．（24-25六年级上·江苏南京·期末）用棱长1厘米的小正方体摆长方体，像下面这样摆下去。 （1）把下表填写完整。 小正方体的个数 1 2 3 …… 摆成长方体的表面积/ 6 （    ） （    ） …… （2）当摆6个小正方体时，摆成的长方体的表面积是（    ）平方厘米；摆成的长方体表面积是62平方厘米时，一共摆了（    ）小正方体。 （3）像这样用个小正方体摆成的长方体表面积是（    ）平方厘米。 【变式】（24-25六年级上·江苏徐州·期中）下图在棱长为12厘米的正方体上挖去三个棱长为2厘米的小正方体和长12厘米，宽和高都是2厘米的小长方体，如下图所示，这个几何体的表面积是( )平方厘米。 重点难点题型三：立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 【例3】（24-25六年级上·安徽合肥·期末）在一个大正方体上面放置一个棱长是3分米的小正方体（如图），和之前的大正方体相比，表面积增加了（    ）。 A．54平方分米 B．45平方分米 C．36平方分米 【变式】（23-24六年级上·江苏扬州·期末）先观察再填空。（注：每个小正方体棱长是1厘米） 层数 1 2 3 4 5 … 正方体个数 1 3 6 10 15 … 表面积（平方厘米） 6 14 24 36 50 … 照这样摆放6层，搭成物体的个数是( )，表面积是( )平方厘米，摆放10层的表面积是( )平方厘米。 重点难点题型四：组合体的表面积（长方体、正方体） 【例4】（24-25六年级上·福建宁德·期末）下图中小正方体棱长都是1厘米，按下面的规律排列。 (1)图②的表面积是( )平方厘米，图③的表面积是( )平方厘米。 (2)由n个这样的小正方体排成一排组成的长方体的表面积是( )平方厘米。 【变式】（25-26六年级上·广西钦州·期中）把两块长6cm、宽4cm、厚3cm的长方体肥皂包装在一起，最少用（    ）cm2的包装纸。 A．108 B．168 C．180 D．216 重点难点题型五：长方体的体积计算与应用 【例5】（24-25六年级上·江苏南京·期末）玩转数学。 数学活动课上，明明想用下面的小棒和一些橡皮泥团搭一个长方体框架，他有以下三种小棒： 长度/厘米 9 4 7 根数/根 3 5 9 （1）请你帮他选一选材料（小棒不能折断），他能拼成下面（    ）号图形的框架。 （2）做完框架后，他需要把②号长方体框架的每个面围上彩色纸板（接头处忽略不计），需要选择下面的哪种纸板（单位：厘米）？把张数填在括号里。 （3）明明做完长方体后，想到刚看过的《小学生数学报》里介绍了我国古代数学名著《九章算术》中求底面是正方形的长方体的体积公式：方自乘，以高乘之即积尺。这里的“积尺”就是指立体图形的体积，你觉得②号图形中“方”是（    ）厘米。 （4）明明又补充了几根小棒，做成了③号正方体，他把6个面分别写上A、C、D、E、F、I，同桌仔细观察，说不用看就能知道谁和谁相对了，请你推理一下，和A相对的是字母（    ）。 （5）明明回到家看到家里两个长方体的饼干盒（尺寸如图所示）装满了饼干，已知小盒大约装了80克的饼干，大盒大约装了（    ）克饼干。 【变式】（25-26六年级上·江苏徐州·期中）下图中的①和②是两块形状不同的铁皮，将每块铁皮折弯后焊接成一个无盖的长方体铁桶（②号焊接成的是一个底面为正方形的无盖长方体铁桶），几号铁桶装水多一些？请通过计算说明。（铁皮厚度忽略不计） 重点难点题型六：正方体的体积计算与应用 【例6】（24-25六年级上·安徽合肥·期末）幸福工厂生产一批毛绒玩具，将这些毛绒玩具装到棱长为2分米的正方体包装盒内，再将这些包装盒装到一个长10分米，宽7分米，高4分米的长方体大纸箱内打包发往各地零售。长方体大纸箱最多能装（    ）个包装盒。 A．30 B．35 C．40 【变式】（24-25六年级上·安徽合肥·期末）如图，科学实验小组的同学们准备了大小不同的三个正方体水培花瓶。他们把两堆鹅卵石分别完全浸没在①号、②号两个正方体水培花瓶的水里，两个花瓶的水面分别上升了4厘米和8厘米。如果把这两堆鹅卵石都完全浸没在③号花瓶的水里，那么③号花瓶的水面会升高多少厘米？ 重点难点题型七：体积的等积变形（长方体、正方体） 【例7】（25-26六年级上·江苏宿迁·月考）有一个完全密封的长方体容器，从里面量，长是20厘米，宽是16厘米，高是10厘米。平放时里面水高8厘米，如果把这个容器竖起来放，里面的水高多少厘米？ 【变式】（25-26六年级上·山西太原·期中）在做“蜡烛的变化”这一实验时，小华所在的小组做了一支蜡烛。将一块棱长3厘米的正方体蜡块熔化，放入一个长2厘米、宽1.5厘米的长方体模具，制作成新蜡烛。 （1）实验发现：在制作蜡烛的过程中，蜡块仅仅是（    ）发生了变化，（    ）不变。 （2）求制作成的新蜡烛的高是多少厘米？（摸耗忽略不计） 重点难点题型八：立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 【例8】（25-26六年级上·江苏镇江·期中）一个长11厘米、宽10厘米、高8厘米的长方体木块可以切成（    ）个棱长为2厘米的小正方体。 A．100 B．80 C．60 D．110 【变式】（21-22六年级上·江苏·单元测试）一个长方体按以下三种方法分割成了两个长方体，表面积分别增加了40平方厘米、30平方厘米、24平方厘米。原来长方体的表面积是多少平方厘米，体积是多少立方厘米？ 重点难点题型九：组合体的体积（长方体、正方体） 【例9】（25-26六年级上·江苏徐州·期中）如图所示，由棱长2厘米的小正方体拼成的图形，表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【变式】（22-23五年级下·山东济南·期中）一块正方体木料，棱长是6厘米，在6个面的中央各挖走一个棱长是2厘米的正方体洞孔。这时它的表面积、体积各是多少？ 重点难点题型十：长方体、正方体的容积 【例10】（25-26六年级上·江苏淮安·期中）一种长方体无盖玻璃鱼缸，长40厘米、宽25厘米、高20厘米，做一个这样的鱼缸至少要用玻璃多少平方分米？这个鱼缸大约可以盛水多少升？（玻璃的厚度忽略不计） 【变式】（25-26六年级上·福建宁德·期中）用一张长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮，做一个深5厘米的无盖长方体容器（焊接处和铁皮厚度不计）。下面三种焊接方法中，哪种焊接后容积最大？请通过计算说明理由。（阴影部分为裁剪部分） 重点难点题型十一：不规则物体的体积算法（长方体、正方体) 【例11】（24-25六年级上·江苏无锡·期末）小平为了测量一个土豆的体积，设计了下面的实验步骤，但不小心打乱了顺序。 ①倒入适量的水，量出水面的高度是15厘米。 ②列式计算土豆的体积。 ③找一个无盖的长方体透明塑料罐，量得底面长8厘米，宽6厘米，高25厘米。 ④将土豆完全浸没在水中，量得水面高度是20厘米。 （1）正确的实验顺序是：（    ）→（    ）→（    ）→（    ）（填序号）。 （2）经过测量，这个土豆的体积是多少立方厘米？（计算说明） 【变式】（24-25六年级上·江苏宿迁·期中）下图是测量一颗玻璃球体积的过程：（1）将300cm3的水倒进一个容量为500cm3的杯子中；（2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；（3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出。根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积在（    ）。 A．20cm3以上，30cm3以下 B．30cm3以上，40cm3以下 C．40cm3以上，50cm3以下 D．50cm3以上，60cm3以下 重点难点题型十二：表面涂色的正方体 【例12】（24-25六年级上·安徽合肥·期末）李华用3D打印机制作了一个棱长1分米的正方体，如图。他把这个正方体表面涂上红色后，切割成棱长1厘米的小正方体，可以切( )个。这些小正方体中两面涂有红色的共有( )个。 【变式】（25-26六年级上·江苏连云港·期中）把一个表面涂色的正方体木块，平均分成若干个小正方体，如果2面涂色的有24个，那么1面涂色的有（    ）个。 A．36 B．27 C．24 D．8 1．（25-26六年级上·山西大同·期中）在一个长12厘米，宽9厘米，高6厘米的长方体容器中摆放棱长2厘米的小正方体，最多能摆（    ）块。 A．54块 B．162块 C．81块 D．72块 2．（24-25六年级上·安徽合肥·期末）把一个长方体纸盒沿棱剪开，平铺在桌面上，这个长方体的平面展开图可能是（    ）。 A． B． C． 3．（24-25六年级上·江苏盐城·期末）一根长24厘米的铁丝正好可以搭成一个正方体框架，这个正方体的体积是（    ）立方厘米。 A．8 B．27 C．64 D．216 4．（24-25六年级上·江苏常州·期末）一个正方体纸盒的展开图（如图），当它折叠成正方体纸盒时，P点与（    ）。 A．A B．B C．C D．D 5．（25-26六年级上·山西大同·期中）下图是一个立方体，该立方体展开有6个面，中间图给出了其中的5个面，请从下图的①～⑤个面中选一个形成立方体展开图，这个面是( )。 6．（25-26六年级上·山西大同·期中）王老师想要做一个长方体玻璃鱼缸，目前已有4块长方形玻璃，其中两块长8dm，宽6dm，另外两块长9dm，宽6dm，还需要一块长( )dm、宽( )dm的长方形玻璃。 7．（25-26六年级上·江苏徐州·期中）如图，一个棱长为3厘米的正方体，分别在它的前、后、左、右、上、下各面的中心位置挖去一个棱长1厘米的正方体后，它的表面积变为( )平方厘米。 8．（25-26六年级上·山西临汾·期中）棱长是6厘米的正方体，它的体积和表面积相等。( )（判断对错） 9．（24-25六年级上·山西临汾·期中）一个长3厘米，宽与高都是2厘米的长方体，将它挖掉一个棱长1厘米的小正方体后，它的表面积和体积都比原来小。( )（判断对错） 10．（24-25六年级上·江苏·课后作业）大正方体的棱长是小正方体的2倍，大正方体的表面积是小正方体的4倍。( )（判断对错） 11．（25-26六年级上·江苏宿迁·月考）计算图形的表面积和体积（单位：分米）。 12．（24-25六年级上·江苏盐城·期末）“互联网＋文旅”是宣传文化旅游景区的重要的手段，经过互联网短视频的宣传，“淮剧小镇”在“元旦”节迎来了人流高峰。杂技团在小镇靠墙搭了一个长方体的舞台（如图）。 （1）工作人员将舞台裸露在外的表面都粘上了红毯，粘红毯的面积一共有多大？ （2）考虑到演员的安全，工作人员要在舞台露在外面的所有棱上贴防撞条（贴着墙面和地面的棱不贴），至少需要准备多长的防撞条？ 13．（24-25六年级上·江苏扬州·期末）一辆汽车的油箱是一个长方体，从里面量，长8分米，宽6分米，高5分米。这个油箱的容积是多少升？如果每升柴油重0.85千克，这个油箱最多能装多少千克柴油？ 14．（25-26六年级上·江苏南通·期中）王老师在商场买了一盒礼品，礼品盒是一个长4分米、宽3分米、高2.5分米的长方体。 （1）如果用彩带把这个礼品盒捆扎起来（如图所示），打结处彩带长2分米，那么一共需要彩带多少分米？ （2）做这个礼品盒至少需要多少平方分米的硬纸板？ （3）这个礼品盒的体积是多少立方分米？ 15．（22-23六年级上·江苏淮安·期中）有一个如下图那样的长方体容器。现在以每秒0.75升的速度向这个容器注水。容器的底面有一块隔板（垂直于底面，不考虑厚度），将容器隔为A、B两个部分。B部分有一个洞，水按一定的流量往下漏。图①是表示从注水开始A部分的水的高度变化的图像。回答下面问题： （1）求图①中D表示的数。 （2）从B的洞中每秒流出来多少升水？ （3）求图①中P、Q表示的数。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 长方体和正方体的表面积和体积 （知识回顾+十二大重点难点题型讲练+拔尖训练 共39题） 【解析版】 知识回顾 1 知识点一：长方体和正方体的认识 1 知识点二：长方体和正方体的展开图 2 知识点三：长方体、正方体的表面积计算 2 知识点四：体积与体积单位 3 知识点五：长方体和正方体的体积 3 题型讲练 3 重点难点题型一：长方体表面积的计算与应用 3 重点难点题型二：正方体表面积的计算与应用 5 重点难点题型三：立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 7 重点难点题型四：组合体的表面积（长方体、正方体） 9 重点难点题型五：长方体的体积计算与应用 10 重点难点题型六：正方体的体积计算与应用 14 重点难点题型七：体积的等积变形（长方体、正方体） 15 重点难点题型八：立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 17 重点难点题型九：组合体的体积（长方体、正方体） 18 重点难点题型十：长方体、正方体的容积 20 重点难点题型十一：不规则物体的体积算法（长方体、正方体) 22 重点难点题型十二：表面涂色的正方体 23 拔尖训练 25 知识点一：长方体和正方体的认识 1.长方体的特征。 长方体是由6个长方形（也可能有2个相对的面是正方形）围成的立体图形，有6个面、12条棱和8个顶点，相对的面完全相同、相对的棱长度相等。 2. 长方体的长、宽、高的含义。 长方体相交于同一顶点的三条棱的长度，分别叫作它的长、宽、高。 知识点二：长方体和正方体的展开图 1.沿着正方体（或长方体）的棱将其剪开，可以把正方体（或长方体）展开成一个平面图形，这个平面图形就是正方体（或长方体）的展开图。 2.正方体（或长方体）的展开图的特点：在展开图中，正方体的6个面完全相同（长方体相对的面完全相同），相对的面完全隔开。 3. 一个表面涂色的正方体，把每条棱平均分成相等的若干份，然后切成同样大的小正方体。（1）3面涂色的小正方体有8个。 （2）如果用n表示把正方体的棱平均分成的份数（n为大于或等于2的自然数），用a、b分别表示2面涂色和1面涂色的小正方体的个数，那么a=(n-2)×12，b=(n-2)2×6。 知识点三：长方体、正方体的表面积计算 1.意义。 长方体（或正方体）6个面的总面积。 2.计算方法。 （1）长方体的表面积=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2=（长×宽+长×高+宽×高）×2。 （2）正方体的表面积=棱长×棱长×6。 知识点四：体积与体积单位 1.体积的意义：物体所占空间的大小叫作物体的体积。 2.容积的意义：容器所能容纳物体的体积叫作容器的容积。 常用的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米，可以分别写成cm3、dm3和m3。 计量液体的体积，通常用升或毫升作单位。 1立方分米 = 1升，1立方厘米 = 1毫升 知识点五：长方体和正方体的体积 1.长方体的体积=长×宽×高，字母公式为V=abh。 2.正方体的体积=棱长×棱长×棱长，字母公式为V=a3。 3.底面积：长方体和正方体底面的面积，叫作它们的底面积。 4.体积计算公式：长方体(或正方体)的体积=底面积×高，如果用字母S表示底面积，h表示高，长方体(或正方体)的体积计算公式可以写成V=Sh。 5. 体积单位常用到，相邻进率是1000。 立方分米立方米，它们进率是1000。 立方分米立方厘米，它们进率是1000。 重点难点题型一：长方体表面积的计算与应用 【例1】（25-26六年级上·江苏泰州·期中）如图，一个长方体沿高截去2厘米后，表面积减少了48平方厘米，剩下部分成为一个正方体，原来长方体的体积是( )立方厘米。 【答案】288 【思路引导】一个长方体沿高截去2厘米后，剩下部分是一个正方体，说明原长方体的高比长或宽多2厘米，且长和宽相等，也就是原长方体的底面是正方形。表面积减少48平方厘米，四个侧面共减少48平方厘米，那么一个侧面减少48÷4＝12（平方厘米），用每个面减少的面积除以2，得到原长方体的长或宽，根据长方体的体积＝长×宽×高计算。 【完整解答】48÷4÷2＝6（厘米） 6×6×（6＋2） ＝6×6×8 ＝288（立方厘米） 原来长方体的体积是288立方厘米。 【考点再现】用减少的表面积除以4，得到每个侧面减少的面积，再除以2得到原长方体的长或宽是解题关键。 【变式】（25-26六年级上·江苏泰州·期中）用9个如图甲所示的小长方体拼成一个如图乙所示的大长方体，已知小长方体的体积是750立方厘米，则大长方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】2250平方厘米 【思路引导】假设小长方体最长的棱为长，次长的棱为宽，最短的棱为高，根据图乙可得出：长＝3高，2长＝3宽。设小长方体的高为a，那么小长方体的长就是3a，宽就是3a×2÷3＝2a，那么小长方体的体积就是：3a×2a×a＝6a3，已知小长方体的体积是750立方厘米，即6a3＝750，那么a＝5，所以小长方体的长、宽、高分别是15厘米、10厘米、5厘米。再根据乙图求出大长方体的长、宽、高。最后根据长方体的表面积公式即可求出大长方体的表面积。 【完整解答】假设小长方体的高为a，则长为3a，宽为3a×2÷3＝2a。 3a×2a×a＝6a3 所以6a3＝750 6a3÷6＝750÷6 a3＝125 因为5×5×5＝125 所以a＝5 所以小长方体的长是：3×5＝15（厘米） 小长方体的宽是2×5＝10（厘米） 小长方体的高是1×5＝5（厘米） 大长方体的长：15×2＝30（厘米） 大长方体的宽：15×1＝15（厘米） 大长方体的高：10＋5＝15（厘米） （30×15＋30×15＋15×15）×2 ＝（450＋450＋225）×2 ＝1125×2 ＝2250（平方厘米） 答：大长方体的表面积是2250平方厘米。 【考点再现】本题解题关键是根据乙图分析出小长方体的长、宽、高三者的关系，根据小长方体的体积求出长、宽、高。 重点难点题型二：正方体表面积的计算与应用 【例2】．（24-25六年级上·江苏南京·期末）用棱长1厘米的小正方体摆长方体，像下面这样摆下去。 （1）把下表填写完整。 小正方体的个数 1 2 3 …… 摆成长方体的表面积/ 6 （    ） （    ） …… （2）当摆6个小正方体时，摆成的长方体的表面积是（    ）平方厘米；摆成的长方体表面积是62平方厘米时，一共摆了（    ）小正方体。 （3）像这样用个小正方体摆成的长方体表面积是（    ）平方厘米。 【答案】（1）见详解 （2）26；15 （3）4a＋2 【思路引导】（1）根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，求出小正方体的表面积，即：1×1×6＝6平方厘米；根据题意，一个小正方体摆成长方体表面积是6平方厘米；两个小正方体摆成长方体表面积是10平方厘米；三个小正方体摆成长方体表面积是14平方厘米； （2）（3）由此可知，每增加一个正方体，表面积就增加4平方厘米；一个正方体表面积是6平方厘米，可以写成：4×1＋2；两个正方体摆成长方体表面积10平方厘米，可以写成：4×2＋2；三个正方体摆成长方体表面积是14平方厘米，可以写成：4×3＋2；……，由此可知，a个正方体摆成长方体的表面积是：（4a＋2）平方厘米；当a＝6时，求出表面积；当表面积是62平方厘米，用表面积－2，再除以4，据此求出需要正方体的个数，据此解答。 【完整解答】（1）4×2＋2 ＝8＋2 ＝10（平方厘米） 4×3＋2 ＝12＋2 ＝14（平方厘米） 如图： 小正方体的个数 1 2 3 …… 摆成长方体的表面积/ 6 10 14 …… （2）4×6＋2 ＝24＋2 ＝26（平方厘米） （62－2）÷4 ＝60÷4 ＝15（个） 当摆6个小正方体时，摆成的长方体的表面积是26平方厘米；摆成的长方体表面积是62平方厘米时，一共摆了15小正方体。 （3）a×4＋2＝（4a＋2）平方厘米 像这样用个小正方体摆成的长方体表面积是（4a＋2）平方厘米。 【变式】（24-25六年级上·江苏徐州·期中）下图在棱长为12厘米的正方体上挖去三个棱长为2厘米的小正方体和长12厘米，宽和高都是2厘米的小长方体，如下图所示，这个几何体的表面积是( )平方厘米。 【答案】872 【思路引导】观察图形可知：通过面的平移，正方体上顶点处挖去的两个小正方体并没有减少正方体的表面积；面上挖去一个小正方体，正方体的表面积增加了4个边长为2厘米的小正方形的面积；挖去一个小长方体，正方体的表面积减少了长方体的左、右侧面的面积。正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方形的面积＝边长×边长，长方体的左、右侧面面积之和＝宽×高×2，据此分别代入数据求出原来正方体的表面积以及增加、减少部分的面积，最后用原正方体的表面积加上增加的面积，减去减少的面积，即可求出这个几何体的表面积。 【完整解答】12×12×6＋2×2×4－2×2×2 ＝864＋16－8 ＝872（平方厘米） 则这个几何体的表面积是872平方厘米。 【考点再现】本题关键是明确不同部位挖去小正方体后对大正方体表面积的影响。 重点难点题型三：立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 【例3】（24-25六年级上·安徽合肥·期末）在一个大正方体上面放置一个棱长是3分米的小正方体（如图），和之前的大正方体相比，表面积增加了（    ）。 A．54平方分米 B．45平方分米 C．36平方分米 【答案】C 【思路引导】将小正方体上面的面平移到下面，表面积增加了小正方体前后左右4个面的面积，因此增加的表面积＝小正方体的棱长×棱长×4，据此列式计算。 【完整解答】3×3×4＝36（平方分米） 表面积增加了36平方分米。 故答案为：C 【变式】（23-24六年级上·江苏扬州·期末）先观察再填空。（注：每个小正方体棱长是1厘米） 层数 1 2 3 4 5 … 正方体个数 1 3 6 10 15 … 表面积（平方厘米） 6 14 24 36 50 … 照这样摆放6层，搭成物体的个数是( )，表面积是( )平方厘米，摆放10层的表面积是( )平方厘米。 【答案】 21 66 150 【思路引导】搭成物体的个数： 摆放1层物体需要正方体的个数是1个，可以写成：1×（1＋1）÷2； 摆放2层物体需要正方体的个数是3个，可以写成：2×（2＋1）÷2； 摆放3层物体需要正方体的个数是6个，可以写成：3×（3＋1）÷2； …… 由此可知，摆放n层物体需要正方体的个数是：n×（n＋1）÷2，求出摆6层需要正方体的个数； 根据图中给出的表面积，搭成物体的表面积： 摆放1层物体表面积是6平方厘米，可以写成：5×1＋1×1； 摆放2层物体表面积是14平方厘米，可以写成：5×2＋2×2； 摆放3层层物体表面积是24平方厘米，可以写成：5×3＋3×3； …… 由此可知，摆放n层物体表面积是5×n＋n×n；由此可以求出摆6层物体的表面积，摆10层物体的表面积，据此解答。 【完整解答】根据分析可知，摆放6层，需要正方体的个数： 6×（6＋1）÷2 ＝6×7÷2 ＝42÷2 ＝21（个） 表面积：5×6＋6×6 ＝30＋36 ＝66（平方厘米） 摆放10层的表面积： 5×10＋10×10 ＝50＋100 ＝150（平方厘米） 摆放6层，搭成物体的个数是21个，表面积是66平方厘米，摆放10层的表面积是150平方厘米。 【考点再现】本题主要考查图形的变化规律，关键是根据给的表格找出对应的规律是解题的关键。 重点难点题型四：组合体的表面积（长方体、正方体） 【例4】（24-25六年级上·福建宁德·期末）下图中小正方体棱长都是1厘米，按下面的规律排列。 (1)图②的表面积是( )平方厘米，图③的表面积是( )平方厘米。 (2)由n个这样的小正方体排成一排组成的长方体的表面积是( )平方厘米。 【答案】(1) 10 14 (2)4n＋2 【思路引导】（1）图②长方体由2个小正方体排成一排，此时长方体的长为2厘米，宽为1厘米，高为1厘米。根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，可得其表面积为（2×1＋2×1＋1×1）×2，计算得10平方厘米；图③长方体由3个小正方体排成一排，此时长方体的长为3厘米、宽为1厘米、高为1厘米。其表面积为（3×1＋3×1＋1×1）×2，计算得14平方厘米； （2）由n个这样的小正方体排成一排组成的长方体，长为n厘米，宽为1厘米，高为1厘米。其表面积为（n×1＋n×1＋1×1）×2，化简即可。 【完整解答】（1）（2×1＋2×1＋1×1）×2 ＝（2＋2＋1）×2 ＝（4＋1）×2 ＝5×2 ＝10（平方厘米） （3×1＋3×1＋1×1）×2 ＝（3＋3＋1）×2 ＝（6＋1）×2 ＝7×2 ＝14（平方厘米） 图②的表面积是10平方厘米，图③的表面积是14平方厘米。 （2）（n×1＋n×1＋1×1）×2 ＝（n＋n＋1）×2 ＝（2n＋1）×2 ＝2n×2＋1×2 ＝（4n＋2）平方厘米 由n个这样的小正方体排成一排组成的长方体的表面积是（4n＋2）平方厘米。 【变式】（25-26六年级上·广西钦州·期中）把两块长6cm、宽4cm、厚3cm的长方体肥皂包装在一起，最少用（    ）cm2的包装纸。 A．108 B．168 C．180 D．216 【答案】B 【思路引导】将两个长方体拼在一起，想用最少的包装纸，即表面积最小，要将最大的面叠在一起，就会形成一个长6cm、宽4cm、厚3×2＝6（cm）的长方体，运用长方体的表面积公式：长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，求出这个长方体的表面积即可。 【完整解答】3×2＝6（cm） （6×4＋6×6＋4×6）×2 ＝（24＋36＋24）×2 ＝（60＋24）×2 ＝84×2 ＝168（cm2） 即最少用168cm2的包装纸。 故答案为：B 【考点再现】解题关键是要找出拼组后的长方体的长、宽、高各是多少，然后根据长方体表面积公式求解。 重点难点题型五：长方体的体积计算与应用 【例5】（24-25六年级上·江苏南京·期末）玩转数学。 数学活动课上，明明想用下面的小棒和一些橡皮泥团搭一个长方体框架，他有以下三种小棒： 长度/厘米 9 4 7 根数/根 3 5 9 （1）请你帮他选一选材料（小棒不能折断），他能拼成下面（    ）号图形的框架。 （2）做完框架后，他需要把②号长方体框架的每个面围上彩色纸板（接头处忽略不计），需要选择下面的哪种纸板（单位：厘米）？把张数填在括号里。 （3）明明做完长方体后，想到刚看过的《小学生数学报》里介绍了我国古代数学名著《九章算术》中求底面是正方形的长方体的体积公式：方自乘，以高乘之即积尺。这里的“积尺”就是指立体图形的体积，你觉得②号图形中“方”是（    ）厘米。 （4）明明又补充了几根小棒，做成了③号正方体，他把6个面分别写上A、C、D、E、F、I，同桌仔细观察，说不用看就能知道谁和谁相对了，请你推理一下，和A相对的是字母（    ）。 （5）明明回到家看到家里两个长方体的饼干盒（尺寸如图所示）装满了饼干，已知小盒大约装了80克的饼干，大盒大约装了（    ）克饼干。 【答案】（1）②； （2）见详解； （3）7； （4）C； （5）640 【思路引导】（1）长方体，正方体相对那一组棱长相等。据此分析解答。 （2）根据长方体相对那一组棱相等的，长方体有6个面，相对的面面积相同。据此分析解答。 （3）根据题意可知，②的底面是正方形，且边长是7厘米，所以方自乘就是7×7，我觉得②号图形中“方”是7厘米，据此解答； （4）根据旋转过程图可知，第一次旋转知道F面在A面的左面，第二次旋转知道和A面相对的面是C面，据此解答； （5）根据长方体体积＝长×宽×高，求出它们的体积，再相除，也就是大长方体是小长方体的几倍，然后再乘80，即可解答。 【完整解答】（1）根据题意分析，①号图形框架需要4根长9厘米的小棒，不能拼成；②号图形框架需要4根长4厘米和小棒和8根长7厘米的小棒；可以拼成；③号图形框架需要12根长7厘米的小棒，不能拼成。所以能拼成②号图形框架。 （2）②号图形框架需要4根长4厘米和小棒和8根长7厘米的小棒；六个面分别是2个边长是7厘米的正方形和4个长是7厘米，宽是4厘米的长方形。所以选择边长是7厘米的正方形彩色纸板2张，长是7厘米，宽是4厘米的长方形4张； 填写如下： （3）我觉得②号图形中“方”是7厘米； （4）和A相对的是字母C； （5）10×3×15＝450（立方厘米） 20×6×30＝3600（立方厘米） 80×（3600÷450） ＝80×8 ＝640（克） 答：大盒大约装了640克饼干。 【变式】（25-26六年级上·江苏徐州·期中）下图中的①和②是两块形状不同的铁皮，将每块铁皮折弯后焊接成一个无盖的长方体铁桶（②号焊接成的是一个底面为正方形的无盖长方体铁桶），几号铁桶装水多一些？请通过计算说明。（铁皮厚度忽略不计） 【答案】①号 【思路引导】根据题意可得①号铁桶的高为6分米，从而得出长为10－6＝4分米，进而得出宽为10－4－4＝2分米；②号铁桶的底面边长为12÷4＝3分米，进而得出高为8－3＝5分米；再根据长方体体积＝长×宽×高，求出①号铁桶与②号铁桶的体积大小，即可得出结论。 【完整解答】①号铁桶 高：6分米 长：10－6＝4（分米） 宽：10－4－4 ＝6－4 ＝2（分米） 体积：4×2×6 ＝8×6 ＝48（立方分米） ②号铁桶 底面边长：12÷4＝3（分米） 高：8－3＝5（分米） 体积：3×3×5 ＝9×5 ＝45（立方分米） 48立方分米＞45立方分米 答：①号铁桶装水多一些。 【考点再现】本题考查长方体的体积计算，根据题意得出长方体的长、宽、高是解题的关键。 重点难点题型六：正方体的体积计算与应用 【例6】（24-25六年级上·安徽合肥·期末）幸福工厂生产一批毛绒玩具，将这些毛绒玩具装到棱长为2分米的正方体包装盒内，再将这些包装盒装到一个长10分米，宽7分米，高4分米的长方体大纸箱内打包发往各地零售。长方体大纸箱最多能装（    ）个包装盒。 A．30 B．35 C．40 【答案】A 【思路引导】分别求出沿长方体的长一排可以放几个，用10分米除以2分米；沿长方体的宽可以放几个，用7分米÷2分米（剩下不够2分米的不够再放一排，商取整数）沿长方体的高可以放几个，用4分米除以2分米，然后将所得数据相乘，列式解答即可。 【完整解答】10÷2＝5（个） 7÷2＝3（个）……1（分米） 4÷2＝2（个） 5×3×2 ＝15×2 ＝30（个） 即长方体大纸箱最多能装30个包装盒。 故答案为：A 【变式】（24-25六年级上·安徽合肥·期末）如图，科学实验小组的同学们准备了大小不同的三个正方体水培花瓶。他们把两堆鹅卵石分别完全浸没在①号、②号两个正方体水培花瓶的水里，两个花瓶的水面分别上升了4厘米和8厘米。如果把这两堆鹅卵石都完全浸没在③号花瓶的水里，那么③号花瓶的水面会升高多少厘米？ 【答案】4厘米 【思路引导】当鹅卵石放入盛水的正方体花瓶中，水面上升的体积与鹅卵石的体积是相等的。针对①号正方体花瓶，已知其棱长为10厘米，水面因放入鹅卵石上升了4厘米，根据长方体体积公式：长方体体积＝长×宽×高，长方体的长和宽就是①号正方体花瓶的棱长，可算出①号花瓶中鹅卵石的体积；同理，②号正方体花瓶棱长为20厘米，水面上升8厘米，算出②号花瓶中鹅卵石的体积。再将两堆鹅卵石的体积相加，得到总体积，即要放入③号花瓶的鹅卵石总体积。已知③号正方体花瓶棱长为30厘米，根据底面积＝棱长×棱长，求出③号花瓶的底面积。最后根据“体积＝底面积×高”的公式逆用，用鹅卵石总体积除以③号花瓶的底面积，得出③号花瓶的水面上升高度。据此解答。 【完整解答】①号花瓶中鹅卵石体积： 10×10×4 ＝100×4 ＝400（立方厘米） ②号花瓶中鹅卵石体积： 20×20×8 ＝400×8 ＝3200（立方厘米） 两堆鹅卵石总体积： 400＋3200＝3600（立方厘米） ③号花瓶底面积：30×30＝900（平方厘米） ③号花瓶水面上升高度： 3600÷900＝4（厘米） 答：③号花瓶的水面会升高4厘米。 【考点再现】本题解题的关键在于抓住排水法的核心原理（不规则物体体积＝水面上升的柱体体积），先通过正方体体积公式分别求出两堆鹅卵石的体积并求和，再利用体积公式的逆运算，结合③号正方体的底面积，计算出水面上升的高度，关键是实现“体积”与“高度”之间的灵活转化，将不规则物体体积问题转化为规则正方体的体积计算问题。 重点难点题型七：体积的等积变形（长方体、正方体） 【例7】（25-26六年级上·江苏宿迁·月考）有一个完全密封的长方体容器，从里面量，长是20厘米，宽是16厘米，高是10厘米。平放时里面水高8厘米，如果把这个容器竖起来放，里面的水高多少厘米？ 【答案】16厘米 【思路引导】平放时，容器的长为20厘米，宽为16厘米，水高为8厘米，根据长方体体积＝长×宽×高计算出水的体积。竖放时，容器的底面变为宽16厘米和高10厘米组成的面，用宽乘高计算出竖放时的底面积，水的体积不变，根据水的体积÷竖放时的底面积＝水高，计算出水高。据此解答。 【完整解答】20×16×8÷（16×10） ＝320×8÷160 ＝2560÷160 ＝16（厘米） 答：里面的水高16厘米。 【变式】（25-26六年级上·山西太原·期中）在做“蜡烛的变化”这一实验时，小华所在的小组做了一支蜡烛。将一块棱长3厘米的正方体蜡块熔化，放入一个长2厘米、宽1.5厘米的长方体模具，制作成新蜡烛。 （1）实验发现：在制作蜡烛的过程中，蜡块仅仅是（    ）发生了变化，（    ）不变。 （2）求制作成的新蜡烛的高是多少厘米？（摸耗忽略不计） 【答案】（1）形状；体积 （2）9厘米 【思路引导】（1）蜡块从正方体变成长方体，只是外在的形状发生了改变，但蜡的多少没有变化，所以体积保持不变。 （2）已知正方体棱长，可以先计算出正方体蜡块体积，即正方体体积＝棱长棱长棱长，由（1）知，长方体的体积等于正方体的体积，根据公式长方体体积＝长宽高，可计算出长方体的高，也就是新蜡烛的高。 【完整解答】（1）根据分析可知：在制作蜡烛的过程中，蜡块仅仅是形状发生了变化，体积不变。 （2）333 ＝93 ＝27（立方厘米） 2721.5 ＝27（2×1.5） ＝273 ＝9（厘米） 答：制作成的新蜡烛的高是9厘米。 重点难点题型八：立体图形的切拼（长方体、正方体的体积） 【例8】（25-26六年级上·江苏镇江·期中）一个长11厘米、宽10厘米、高8厘米的长方体木块可以切成（    ）个棱长为2厘米的小正方体。 A．100 B．80 C．60 D．110 【答案】A 【思路引导】因为长方体的长是11厘米，不是2的倍数，所以解答这道题，不能单纯地用长方体的体积除以正方体的体积计算正方体的个数。应该看长方体的长、宽、高里分别有几个正方体的棱长，再把三个结果相乘即可，据此解答。 【完整解答】求长方体长中有几个正方体棱长： （个） 求长方体宽中有几个正方体棱长： （个） 求长方体高中有几个正方体棱长： （个） 求正方体的个数： 【变式】（21-22六年级上·江苏·单元测试）一个长方体按以下三种方法分割成了两个长方体，表面积分别增加了40平方厘米、30平方厘米、24平方厘米。原来长方体的表面积是多少平方厘米，体积是多少立方厘米？ 【答案】94平方厘米；60立方厘米 【思路引导】表面积分别增加了40平方厘米、30平方厘米、24平方厘米，增加的面积和就是原来长方体的面积；根据长×高×2＝40，长×宽×2＝30，宽×高×2＝24，由此求出长方体的体积。 【完整解答】40＋30＋24 ＝70＋24 ＝94（平方厘米） 答：原来长方体的表面积是94平方厘米。 长×高×2＝40，即长×高＝20＝5×4， 长×宽×2＝30，即长×宽＝15＝5×3， 宽×高×2＝24，即宽×高＝12＝4×3， 即长、宽、高分别是5厘米、4厘米、3厘米。 5×4×3 ＝20×3 ＝60（立方厘米） 答：体积是60立方厘米。 【考点再现】考查了立体图形的切拼，解题的关键是根据分解质因数求出长、宽、高。 重点难点题型九：组合体的体积（长方体、正方体） 【例9】（25-26六年级上·江苏徐州·期中）如图所示，由棱长2厘米的小正方体拼成的图形，表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 【答案】 152 80 【思路引导】观察图形可知，组合图形从前面、上面、右面分别看到6个、6个、7个小正方形，同理从后面、下面、左面也能看到6个、6个、7个小正方形，一共看到（6＋6＋7）×2个小正方形；那么组合图形的表面积＝每个小正方形的面积×看到的小正方形的个数，根据正方形的面积＝边长×边长，代入数据计算求解。 观察立体图形，共有10个小正方体，立体图形的体积＝每块小正方体的体积×小正方体的块数，根据正方体的体积公式V＝a3，代入数据计算求解。 【完整解答】看到的小正方形的个数： （6＋6＋7）×2 ＝19×2 ＝38（个） 组合图形的表面积： 2×2×38 ＝4×38 ＝152（平方厘米） 1个小正方体的体积： 2×2×2＝8（立方厘米） 组合图形的体积： 8×10＝80（立方厘米） 所以，表面积是152平方厘米，体积是80立方厘米。 【变式】（22-23五年级下·山东济南·期中）一块正方体木料，棱长是6厘米，在6个面的中央各挖走一个棱长是2厘米的正方体洞孔。这时它的表面积、体积各是多少？ 【答案】312平方厘米；168立方厘米 【思路引导】观察图形可知，在正方体木料的6个面中央各挖走一个棱长2厘米的正方体洞孔，则每个面都减少了1个（2×2）的面，同时又露出了5个（2×2）的面，所以每个面比原来增加了4个（2×2）的面，那么表面积比原来增加了6个（2×2×4）的面积；先根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，求出棱长为6厘米的正方体木料的表面积，再加上6个（2×2×4）的面积，即是此时立体图形的表面积。 此时立体图形的体积＝正方体木料的体积－6个小正方体洞孔的体积，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算求解。 【完整解答】表面积： 6×6×6＋2×2×4×6 ＝216＋96 ＝312（平方厘米） 体积： 6×6×6－2×2×2×6 ＝216－48 ＝168（立方厘米） 答：这时它的表面积是312平方厘米，体积是168立方厘米。 【考点再现】本题考查正方体的表面积、体积公式的运用，在求有缺口的立体图形的表面积时，要注意缺口的位置，原来这个位置有几个面，挖掉后露出了几个面，与原来的面相比较，是否一样，还是多了或少了，进而根据公式列式计算。 重点难点题型十：长方体、正方体的容积 【例10】（25-26六年级上·江苏淮安·期中）一种长方体无盖玻璃鱼缸，长40厘米、宽25厘米、高20厘米，做一个这样的鱼缸至少要用玻璃多少平方分米？这个鱼缸大约可以盛水多少升？（玻璃的厚度忽略不计） 【答案】36平方分米；20升 【思路引导】由题意可知，求做一个这样的鱼缸需要玻璃的面积就是求长方体的表面积，长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2，因为这种玻璃鱼缸无盖，所以只需要计算长方体5个面的面积，最后根据“长方体的体积＝长×宽×高”求出这个鱼缸的容积，计算过程中注意单位的换算，据此解答。 【完整解答】40×25＋（40×20＋25×20）×2 ＝40×25＋（800＋500）×2 ＝40×25＋1300×2 ＝1000＋2600 ＝3600（平方厘米） 3600平方厘米＝36平方分米 40×25×20 ＝1000×20 ＝20000（立方厘米） 20000立方厘米＝20立方分米＝20升 答：做一个这样的鱼缸至少要用玻璃36平方分米，这个鱼缸大约可以盛水20升。 【变式】（25-26六年级上·福建宁德·期中）用一张长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮，做一个深5厘米的无盖长方体容器（焊接处和铁皮厚度不计）。下面三种焊接方法中，哪种焊接后容积最大？请通过计算说明理由。（阴影部分为裁剪部分） 【答案】③焊接后的容积最大 【思路引导】结合图形找准三种焊接方法后长方体的长、宽和高各是多少。因为题目比较的是容积的大小，所以根据长宽高分别计算出来，进行大小比较即可。 【完整解答】①长： 宽： 容积： ②长： 宽： 容积： ③长： 容积： 答：第③种焊接后容积最大。 【考点再现】无盖容器容积关键看长宽高的乘积，易错点是结合图形找准不同的焊接方法下长和宽的数值，避免遗漏导致尺寸算错。 重点难点题型十一：不规则物体的体积算法（长方体、正方体) 【例11】（24-25六年级上·江苏无锡·期末）小平为了测量一个土豆的体积，设计了下面的实验步骤，但不小心打乱了顺序。 ①倒入适量的水，量出水面的高度是15厘米。 ②列式计算土豆的体积。 ③找一个无盖的长方体透明塑料罐，量得底面长8厘米，宽6厘米，高25厘米。 ④将土豆完全浸没在水中，量得水面高度是20厘米。 （1）正确的实验顺序是：（    ）→（    ）→（    ）→（    ）（填序号）。 （2）经过测量，这个土豆的体积是多少立方厘米？（计算说明） 【答案】（1）③；①；④；② （2）240立方厘米 【思路引导】（1）先找一个无盖的长方体透明塑料罐，测量出它的长、宽、高；再倒入一定量的水，测出水的高度；再把土豆放入水中，测量出放入土豆后水的高度，进而列式计算土豆的体积，据此解答。 （2）水面升高部分的体积，就是土豆的体积，根据长方体体积＝长×宽×高，代入数据，即可解答。 【完整解答】（1）实验顺序：第一步：③找一个无盖的长方体透明塑料罐，量得底面长8厘米，宽6厘米，高25厘米。 第二步：①倒入适量的水，量出水面的高度是15厘米。 第三步：④将土豆完全浸没在水中，量得水面高度是20厘米。 第四步：②列式计算土豆的体积。 正确的实验顺序是：③→①→④→②。 （2）8×6×（20－15） ＝8×6×5 ＝48×5 ＝240（立方厘米） 答：这个土豆的体积是240立方厘米。 【变式】（24-25六年级上·江苏宿迁·期中）下图是测量一颗玻璃球体积的过程：（1）将300cm3的水倒进一个容量为500cm3的杯子中；（2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；（3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出。根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积在（    ）。 A．20cm3以上，30cm3以下 B．30cm3以上，40cm3以下 C．40cm3以上，50cm3以下 D．50cm3以上，60cm3以下 【答案】C 【思路引导】先根据题意，求出杯子的剩余容量是多少：500－300＝200，再结合图2放入四颗玻璃球时，水没有满，可知：四颗玻璃球总体积小于200，和图3放入五颗玻璃球时，水满溢出，可知：五颗玻璃球总体积大于200，从而求出一颗玻璃球的体积范围，据此解答。 【完整解答】（1）根据图1“将300的水倒进一个容量500的杯子中”可知：杯子剩余容量：500－300＝200（）； （2）根据图2“将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满”可知：四颗玻璃球的总体积小于200，因为200÷4＝50（），因此，一个玻璃球的体积小于50； （3）根据图3“再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出”可知：五颗玻璃球的总体积大于200，因为200÷5＝40（），因此，一个玻璃球的体积大于40。 所以，一个玻璃球的体积在40以上，50以下。 故答案为：C 重点难点题型十二：表面涂色的正方体 【例12】（24-25六年级上·安徽合肥·期末）李华用3D打印机制作了一个棱长1分米的正方体，如图。他把这个正方体表面涂上红色后，切割成棱长1厘米的小正方体，可以切( )个。这些小正方体中两面涂有红色的共有( )个。 【答案】 1000 96 【思路引导】根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，分别求出大正方体的体积和小正方体的体积，然后用大正方体的体积除以小正方体的体积即可求出可切的个数；两面涂色的小正方体位于大正方体的棱上（非角位置），因为每条棱中间部分的小正方体恰好暴露在两个相邻面上。计算时，先确定每条棱上的两面涂色小正方体数量（去掉两个角），再乘总棱数，据此解答。 【完整解答】1分米＝10厘米 10×10×10 ＝100×10 ＝1000（立方厘米） 1×1×1＝1（立方厘米） 1000÷1＝1000（个） （10－2）×12 ＝8×12 ＝96（个） 切割成棱长1厘米的小正方体，可以切1000个。这些小正方体中两面涂有红色的共有96个。 【变式】（25-26六年级上·江苏连云港·期中）把一个表面涂色的正方体木块，平均分成若干个小正方体，如果2面涂色的有24个，那么1面涂色的有（    ）个。 A．36 B．27 C．24 D．8 【答案】C 【思路引导】2面涂色的小正方体位于大正方体的棱上（不包括顶点），正方体有12条棱，用2面涂色的小正方体的个数除以12即可求出每条棱上两面涂色的小正方体个数，再加上2（两端顶点处的小正方体个数）即可求出每条棱被分成的份数；1面涂色的小正方体位于大正方体的面上（不包括棱和顶点），在大正方体每个面的中心区域组成一个边长为（每条棱被分成的份数－2）的正方形，正方体有6个面，所以用（每条棱被分成的份数－2）×（每条棱被分成的份数－2）×6即可求出1面涂色的小正方体有多少个。据此解答。 【完整解答】每条棱上两面涂色的小正方体个数：24÷12＝2（个） 每条棱被分成的份数：2＋2＝4（份） 1面涂色的小正方体个数为： （4－2）×（4－2）×6 ＝2×2×6 ＝4×6 ＝24（个） 把一个表面涂色的正方体木块，平均分成若干个小正方体，如果2面涂色的有24个，那么1面涂色的有24个。 故答案为：C 【考点再现】解答本题的关键是用2面涂色的小正方体的个数除以12再加上2求出每条棱被分成的份数，并理解1面涂色的小正方体在大正方体每个面的中心区域组成一个边长为（每条棱被分成的份数－2）的正方形。 1．（25-26六年级上·山西大同·期中）在一个长12厘米，宽9厘米，高6厘米的长方体容器中摆放棱长2厘米的小正方体，最多能摆（    ）块。 A．54块 B．162块 C．81块 D．72块 【答案】D 【思路引导】①分别计算长、宽、高方向的小正方体数量： 长方向：长方体长12厘米，小正方体棱长2厘米，可放：12÷2＝6（块） 宽方向：长方体宽9厘米，9÷2＝4.5（块），实际只能放4块（剩余1厘米不够放1块） 高方向：长方体高6厘米，可放：6÷2＝3（块） ②计算总数量：总块数＝长方向数量×宽方向数量×高方向数量。 【完整解答】12÷2＝6（块） 9÷2＝4.5（块），实际只能放4块（剩余1厘米不够放1块） 6÷2＝3（块） （块） 最多能摆72块。 故答案为：D 2．（24-25六年级上·安徽合肥·期末）把一个长方体纸盒沿棱剪开，平铺在桌面上，这个长方体的平面展开图可能是（    ）。 A． B． C． 【答案】B 【思路引导】长方体的特征是长方体的六个面都是长方形，特殊情况下有两个相对的面是正方形，相对的面大小、形状相同，且在展开图中相对的面不能相邻。据此解答。 【完整解答】A．两个相对的面相邻，不能折成长方体，该选项错误； B．相对的面大小、形状相同，且均不相邻，能折成长方体，该选项正确； C．上面两个相对的面折叠后会重叠，不能折成长方体，该选项错误。 故答案为：B 3．（24-25六年级上·江苏盐城·期末）一根长24厘米的铁丝正好可以搭成一个正方体框架，这个正方体的体积是（    ）立方厘米。 A．8 B．27 C．64 D．216 【答案】A 【思路引导】根据题意可知，24厘米的铁丝长度正好是这个正方体的棱长总和，利用正方体的棱长总和＝棱长×12，计算出正方体框架的棱长；再利用正方体体积＝棱长×棱长×棱长，代入棱长的值，求出正方体体积即可。 【完整解答】24÷12＝2（厘米） 2×2×2 ＝4×2 ＝8（立方厘米） 因此，一根长24厘米的铁丝正好可以搭成一个正方体框架，这个正方体的体积是8立方厘米。 故答案为：A 4．（24-25六年级上·江苏常州·期末）一个正方体纸盒的展开图（如图），当它折叠成正方体纸盒时，P点与（    ）。 A．A B．B C．C D．D 【答案】C 【思路引导】根据题图可知，正方体的展开图属于“1－4－1”结构，根据“同层隔一面、异层隔两面”可知，相同数字的面相对（如图）， 据此折叠成正方体可知，P和C重合。 【完整解答】由分析可知：当折叠成正方体纸盒时，P点与C点重合。 故答案为：C 【考点再现】本题考查正方体“1－4－1”型展开图的折叠规律，核心依据“同层隔一面、异层隔两面”的位置原则判断点的重合关系：展开图中P点所在的独立面与C点所在的面，在折叠后属于异层且隔两面的对接位置，因此P点最终与C点重合，这也是解决正方体展开图点面对应问题的关键判定方法。 5．（25-26六年级上·山西大同·期中）下图是一个立方体，该立方体展开有6个面，中间图给出了其中的5个面，请从下图的①～⑤个面中选一个形成立方体展开图，这个面是( )。 【答案】⑤ 【思路引导】根据正方体展开图“1－4－1”的布局：1个正方形在上方，4个正方形在中间，1个正方形在下方，中间图的5个面符合“1－4－1”布局，据此分析。 【完整解答】由中间图的5个面可知，该正方体展开图符合“1－4－1”的布局：中间有4个正方形，上方有1个正方形，因此第6个面应在中间4个正方形的下方。 所以这个面是⑤。 6．（25-26六年级上·山西大同·期中）王老师想要做一个长方体玻璃鱼缸，目前已有4块长方形玻璃，其中两块长8dm，宽6dm，另外两块长9dm，宽6dm，还需要一块长( )dm、宽( )dm的长方形玻璃。 【答案】 9 8 【思路引导】制作一个长方体玻璃鱼缸，需要底面1块、侧面4块，共计5块玻璃。根据题意可知，4块玻璃均有一边为6，说明鱼缸的高度为6。已有的玻璃作为侧面，其底边长度分别对应鱼缸的长和宽，据此解答。 【完整解答】由分析可知，鱼缸的底面应为长9、宽8的长方形玻璃。 7．（25-26六年级上·江苏徐州·期中）如图，一个棱长为3厘米的正方体，分别在它的前、后、左、右、上、下各面的中心位置挖去一个棱长1厘米的正方体后，它的表面积变为( )平方厘米。 【答案】78 【思路引导】根据题意，在正方体6个面上分别挖去一个棱长1厘米的正方体后，相当于表面积在原本的基础上，还多了6个棱长1厘米的小正方体的4个侧面的面积，即多出了6×4＝24个侧面。正方体的表面积＝棱长×棱长×6，小正方体的每个侧面都是正方形，用1×1即可求出1个侧面的面积。最后用正方体的原来的表面积加上多出来的侧面面积，即可解答。 【完整解答】3×3×6＋1×1×4×6 ＝9×6＋1×4×6 ＝54＋4×6 ＝54＋24 ＝78（平方厘米） 所以它的表面积变为78平方厘米。 【考点再现】本题关键在于理解每个面挖去小正方体后，会增加小正方体的 4 个侧面；因为挖去后原面的空缺被小正方体的一个面补上，同时多了 4 个新侧面。 8．（25-26六年级上·山西临汾·期中）棱长是6厘米的正方体，它的体积和表面积相等。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】正方体的表面积和体积是两个不同的概念，表面积是物体表面面积的总和，单位是平方厘米；体积是物体所占空间的大小，单位是立方厘米。二者单位不同，无法直接比较大小。 【完整解答】表面积：6×6×6＝216（平方厘米） 体积：6×6×6＝216（立方厘米） 虽然计算结果数值相同，但表面积是216平方厘米，体积是216立方厘米，单位不同，表示的意义不同，因此不能判断它们相等；原题干说法错误。 故答案为：× 9．（24-25六年级上·山西临汾·期中）一个长3厘米，宽与高都是2厘米的长方体，将它挖掉一个棱长1厘米的小正方体后，它的表面积和体积都比原来小。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】分析题目，挖掉一个小正方体之后，减少了2个边长是1厘米的正方形的面，又增加了4个边长是1厘米的正方形的面，据此确定表面积的变化情况；挖掉一个小正方体之后的体积等于原来的长方体的体积减去一个棱长是1厘米的正方体的体积，据此解答。 【完整解答】根据分析可知：挖掉1个小正方体之后，表面积会增加，体积会减少。 一个长3厘米，宽与高都是2厘米的长方体，将它挖掉一个棱长1厘米的小正方体后，它的表面积增加了，体积减少了；原说法错误。 故答案为：× 10．（24-25六年级上·江苏·课后作业）大正方体的棱长是小正方体的2倍，大正方体的表面积是小正方体的4倍。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】设小正方体的棱长为a，则大正方体的棱长为2a，根据公式正方体的表面积＝棱长×棱长×6分别计算出小正方体和大正方体的表面积，再进行比较即可。 【完整解答】小正方体的表面积：6×a×a 大正方体的表面积：6×2a×2a＝6×a×a×4＝24×a×a 大正方体表面积是小正方体的4倍。 故答案为：√ 11．（25-26六年级上·江苏宿迁·月考）计算图形的表面积和体积（单位：分米）。 【答案】（1）左图：表面积150平方分米，体积99立方分米； （2）右图：表面积216平方分米，体积189立方分米。 【思路引导】本题考查组合图形的表面积与体积计算，需结合“长方体、正方体的表面积以及体积公式”，分析图形的组成（拼接或挖去），明确“重合面、新增面”对表面积的影响，再分别计算。    左图：由“长方体（长8、宽3、高3）”和“正方体（棱长3）”拼接而成。表面积需减去两者的重合面（2个正方形面）；体积为两者体积之和。 右图：由“大正方体（棱长6）”挖去“小正方体（棱长3）”而成。表面积挖去小正方体后新多出来的3个面刚好弥补挖掉少掉的3个面，故表面积不变；体积为大正方体体积减去小正方体体积。 【完整解答】（1）左图计算    表面积： 长方体表面积： （平方分米） 正方体表面积：（平方分米） 重合面面积（2个正方形）：（平方分米） 总表面积：（平方分米） 体积： 长方体体积：（立方分米） 正方体体积：（立方分米） 总体积：（立方分米）    所以表面积为：150平方分米；体积为：99立方分米。 （2）右图计算    表面积： 大正方体表面积：（平方分米） ，由于挖去的小正方体少了三个面且又新增了三个挖痕面，故表面积不变，其表面积为：216（平方分米） 体积： 大正方体体积：（立方分米） 小正方体体积：（立方分米） 总体积：（立方分米） 所以表面积为：216平方分米；体积为189立方分米。 12．（24-25六年级上·江苏盐城·期末）“互联网＋文旅”是宣传文化旅游景区的重要的手段，经过互联网短视频的宣传，“淮剧小镇”在“元旦”节迎来了人流高峰。杂技团在小镇靠墙搭了一个长方体的舞台（如图）。 （1）工作人员将舞台裸露在外的表面都粘上了红毯，粘红毯的面积一共有多大？ （2）考虑到演员的安全，工作人员要在舞台露在外面的所有棱上贴防撞条（贴着墙面和地面的棱不贴），至少需要准备多长的防撞条？ 【答案】（1）120平方米 （2）28米 【思路引导】（1）计算贴红毯的面积（裸露在外的表面积）舞台是长方体，但“靠墙靠地面”搭建，所以墙面和地面接触的面不需要贴红毯。找出所有裸露在外的面，再计算面积和；长方体中长12米、高6米，求出上面长方形的面积，前面：长12米、宽2米，求出一面长方形的面积。左右两个侧面：每个侧面是宽2米、高6米的长方形，求出两个侧面面积和，把这三个部分的面积相加，得到贴红毯的总面积。 （2）计算防撞条的长度（裸露在外的棱长和）防撞条贴在“裸露在外的棱”上，且“贴着墙面和地面的棱不贴”。先确定哪些棱是裸露的，再计算长度和；长方体有12条棱，分为4条长、4条宽、4条高。结合“靠墙靠地面”的条件，裸露的棱是：2条宽，1条长，2条高，把这三部分的长度相加，求出防撞条的总长度 【完整解答】（1）上面的面积：12×6＝72（平方米） 前面的面积：12×2＝24（平方米） 两侧的面积：2×6×2 ＝12×2 ＝24（平方米） 总面积：72＋24＋24 ＝96＋24 ＝120（平方米） 答：粘红毯的面积一共有120平方米。 （2）2×2＝4（米） 6×2＝12（米） 防撞条的总长度：4＋12＋12 ＝16＋12 ＝28（米） 答：至少需要准备28米的防撞条 13．（24-25六年级上·江苏扬州·期末）一辆汽车的油箱是一个长方体，从里面量，长8分米，宽6分米，高5分米。这个油箱的容积是多少升？如果每升柴油重0.85千克，这个油箱最多能装多少千克柴油？ 【答案】240升；204千克 【思路引导】计算长方体的容积使用长方体的体积公式，长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算出结果后，再根据1立方分米＝1升，把结果换算成用升作单位；用每升柴油重0.85千克乘油箱的容积即可得这个油箱最多能装多少千克柴油。 【完整解答】8×6×5 ＝48×5 ＝240（立方分米） 240立方分米＝240升 240×0.85＝204（千克） 答：这个油箱的容积是240升，这个油箱最多能装204千克柴油。 14．（25-26六年级上·江苏南通·期中）王老师在商场买了一盒礼品，礼品盒是一个长4分米、宽3分米、高2.5分米的长方体。 （1）如果用彩带把这个礼品盒捆扎起来（如图所示），打结处彩带长2分米，那么一共需要彩带多少分米？ （2）做这个礼品盒至少需要多少平方分米的硬纸板？ （3）这个礼品盒的体积是多少立方分米？ 【答案】（1）26分米 （2）59平方分米 （3）30立方分米 【思路引导】（1）根据长方体的特征，12条棱分为3组，每组4条棱的长度相等，由图形可知，所需彩带的长度＝两条长＋两条宽＋4条高，再加上打结用的2分米，据此解答。 （2）求做这个礼品盒至少需要硬纸板的面积，就是求这个长方体礼盒的表面积，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 （3）根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据，即可求出这个礼品盒的体积。 【完整解答】（1）4×2＋3×2＋2.5×4＋2 ＝8＋6＋10＋2 ＝14＋10＋2 ＝24＋2 ＝26（分米） 答：一共需要彩带26分米。 （2）（4×3＋3×2.5＋2.5×4）×2 ＝（12＋7.5＋10）×2 ＝（19.5＋10）×2 ＝29.5×2 ＝59（平方分米） 答：做这个礼品盒至少要59平方分米的硬纸板。 （3）4×2.5×3 ＝10×3 ＝30（立方分米） 答：这个礼品盒的体积是30立方分米。 15．（22-23六年级上·江苏淮安·期中）有一个如下图那样的长方体容器。现在以每秒0.75升的速度向这个容器注水。容器的底面有一块隔板（垂直于底面，不考虑厚度），将容器隔为A、B两个部分。B部分有一个洞，水按一定的流量往下漏。图①是表示从注水开始A部分的水的高度变化的图像。回答下面问题： （1）求图①中D表示的数。 （2）从B的洞中每秒流出来多少升水？ （3）求图①中P、Q表示的数。 【答案】（1）15 （2）0.3升/秒 （3）P：54；Q：24.225 【思路引导】（1）根据图①可知15秒可注满A部分，时间乘流速，求出A的容积，再除以它的长和宽，可求出它的高度； （2）根据图①可知隔板的高度是15厘米，用图B部分高15厘米的容积，除以注满B部分高15厘米时用的时间，就是每秒中注入B部分时的流速，用0.75升减去注入B部分的流速．就是每秒中从洞中流出的速度； （3）容器15厘米高度以上的水的注入速度都是0.75减去洞的流速，据此可求出P和Q表示的数。 【完整解答】（1）0.75升＝750立方厘米 750×15÷（25×30） ＝11250÷750 ＝15（厘米） 答：图①中D表示的数是15。 （2）30×15×15 ＝450×15 ＝6750（立方厘米） 6750立方厘米＝6.75升 6.75÷15＝0.45（升/秒） 0.75－0.45＝0.3（升/秒） 答：每秒中从洞中流出的速度0.3升/秒。 （3）25厘米＝2.5分米，15厘米＝1.5分米，24厘米＝2.4分米，30厘米＝3分米。 P点表示的数是： （2.5＋1.5）×3×（2.4－1.5）÷0.45＋30 ＝4×3×0.9÷0.45＋30 ＝12×0.9÷0.45＋30 ＝24＋30 ＝54（秒） Q点表示的数是： （70－64）×0.45÷[（2.5＋1.5）×3]＋24 ＝6×0.45÷[4×3]＋24 ＝6×0.45÷12＋24 ＝2.7÷12＋24 ＝0.225＋24 ＝24.225（厘米） 答：P点是54，Q点是24.225。 【考点再现】本题考查长方体体积公式的应用以及折线统计图的实际应用。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $