专题05立方根新课闯关预习必备讲义(知识点梳理+常考题型精讲精练+分层强化)2025-2026学年人教版七年级数学下册

专题05立方根新课闯关预习必备讲义 Q预习小提醒：提前回顺平方根的定义和性质，带着凝问探索立方根的世界， 你会发现数学的奇妙关联！ 一趣味导入：从“正方体魔法”说起 假如你有一个棱长为2Cm的正方体橡皮泥，想把它重新捏成一个新的正方体， 使新正方体的体积是原来的8倍，你知道新正方体的棱长是多少吗？反过来， 若已知一个正方体的体积是64cm3,你能快速算出它的棱长吗？ 这些问题都需要用到我们今天要预习的新知识一一立方根。它和我们之前学的 平方根一样，都是数的重要运算，却又有着独特的性质，跟着讲义一起解锁吧！ 二.核心知识点预习：读懂立方根的“本质” 1.立方根的定义（重点） 类比平方根的定义，我们可以这样定义立方根：如果一个数的立方等于，那么 这个数叫做a的立方根或三次方根。 用数学语言表示为：若x3=a,则x叫做a的立方根，记作x=点（读作“三 次根号a”),其中“别”是三次根号，根指数3不能省略（注意与平方根的区 别，平方根的根指数2可省略)。 2.立方根的性质（难点+易错点） 结合平方根的性质对比学习，更容易掌握立方根的特点，具体如下表： 对比项 平方根 立方根 正数的根 有两个，互为相反数 有一个，是正数 0的根 有一个，是0 有-个，是0(60) 负数的根 没有平方根 有一个，是负数 根指数 根指数2可省略 根指数3不可省略 易错提醒：负数没有平方根，但负数有一个立方根，这是立方根与平方根最核心 的区别，一定要牢记！ 试卷第1页，共3页 3.立方根的重要结论 (1)一a=-点：一个负数的立方根，等于这个数的相反数的立方根的相反 数（简单说就是“负号可以提到根号外”）。 举例：一64=-一64=-4，因为64的立方根是4，所以-64的立方根是 -4。 (2)(a)3=a:一个数的立方根的立方，等于这个数本身。 举例：(5)3=5，(-3)3=-3。 (3)图 =a:一个数的立方的立方根，等于这个数本身。 举例：2=2，-5)3=-5。 三.预习疑问：带着问题去上课 1.立方根和平方根在运算时有哪些不同的注意事项？ 2.如何快速判断一个数的立方根是整数还是小数？ 3.立方根在实际生活中还有哪些应用场景？ 预习小结：立方根的核心是“一个数的立方等于a,则这个数是a的立方根”， 关键要区分它与平方根的性质差异，牢记负数有一个立方根、根指数3不可省 略这两个要点。带着自测中的问题和疑问去听课，效率会更高哦！ 常考题型精讲讲练 【题型1.立方根的概念理解】 【典例】-8的立方根为() A.2 B.-2 C.2或-2 D.4 【跟踪专练1】己知2025≈12.65,202.5≈5.87，则2.025≈ 【跟踪专练2】给出下列4个说法：①只有正数才有平方根；②2是4的平方根；③平方根 等于它本身的数只有0：④27的立方根是±3.其中，正确的有() A.①② B.③④ C.②③ D.②④ 试卷第1页，共3页 【题型2.求一个数的立方根】 【典例】己知ad=-27,a=_ 【跟踪专练1】下列式子正确的是() A.√16=±4 B.-8=2 C.-100=-10 D.-3)2=-3 【跟踪专练2】已知正数m的两个不同的平方根分别为a+5和-2a-2,则-。m的立方根 8 为一 【题型3.已知一个数的立方根，求这个数】 【典例】=2，则x的值为() A.4 B.8 C.-4 D.±8 【跟踪专练1】已知68.8≈4.098，且-x≈40.98，则x= 【跟踪专练2】下列说法中，不正确的是() A.0.027的立方根是0.3 B.-1的立方根是-1 C.0的立方根是0 D.125的立方根是±5 【题型4.与立方根有关的规律探索题】 【典例】已知1285≈10.87，则285一 【跟踪专练1】已知2025=a,3202.5=b,那么2.025=() A.0.1a B.10a C.0.1b D.10b 【跟踪专练2】若0.367=0.716,3.67=1.542,36.7=6.058，则-367=一 【题型5.立方根的实际应用】 【典例】七年级(1)班的班委准备把一个容积是216dm3的正方体纸箱用作“暖冬行动”的捐 款“爱心箱”，则这个“爱心箱”的棱长为() A.6dm B.36dm C.72dm D.108dm 【跟踪专练1】一个正方体纸盒的体积为18dm3,则其棱长是 dm. 【跟踪专练2】魔方可以看作是一个正方体，现有一个体积为125cm的魔方，则这个魔方 的棱长为() 试卷第1页，共3页 A.5cm B.4cm C.3cm D.√5cm 【题型6.算术平方根和立方根的综合应用】 【典例】下列结论正确的是() A.(9=-9 B.-36的平方根是-6 C.若√a=a,则a=1 D.64的立方根是±4 【跟踪专练1】若4a+1的算术平方根是5，则a+2的立方根是 【跟踪专练2】已知4m+11的立方根是3,5m-3n+2的算术平方根是4，则-n的值为() A.5 B.3 C.2 D.9 【题型7.计算器平方根和立方根】 【典例】用科学计算器进行计算，按键顺序依次为√厂 1 0-1= 则计算器显示结果与下列各数最接近的一个是() A.1.2 B.2.0 C.2.2 D.2.3 【跟踪专练1】用计算器计算（结果精确到0.01）： (1)2√6+3V7≈： 2)25-+5— 【跟踪专练2】小海和乐乐在运用计算器求√ā与√b(其中a、b是两个正有理数)的值时， 通过按键得到的√a与√b的结果分别如图1和图2所示，那么a和b的数量关系是() 2.031083455 20.31083455 图1 图2 1 A.a=10b B.a=100b C.a="b D.a-1b 10 100 分层强化通关 1.下列说法正确的个数有() ①0是最小的整数；②绝对值等于它的相反数的数是负数；③若a+b<0且ab>0,则a,b 试卷第1页，共3页 同为负数；④一个数的立方是它本身，则这个数为1或0：⑤+y是单项式 2 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.利用科学计算器求解：正方形的面积为10，则它的边长约为」 (精确到0.001) 3.有两个正方体纸盒，己知小正方体纸盒的棱长是5cm,大正方体纸盒的体积比小正方体 纸盒的体积大91cm3,则大正方体纸盒的棱长cm, 4.解方程： (1)(x-1)2=16: (2)8x+5)-27=0. 5.如果23.7≈2.872,237≈6.188，那么0.0237的结果约是(） A.0.2872 B.0.02872 C.0.6188 D.0.06188 6.已知0.214≈0.5981,2.14≈1.289,21.4≈2.776，则V21400≈() A.27.76 B.12.89 C.59.81 D.5.98 7.观察下表，并解决问题 0.0004 0.04 4 400 40000 0.02 0.2 2 20 200 ()根据上表，可以得到被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律：若被开方数 的小数点向右（或向左）移动两位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移 动 位 (2)已知√0.2≈0.4472，√2≈1.414，则V20≈ (3)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根，已知0.3≈0.6694,3≈1.442， 30≈3.107，则300≈ 8.己知2a-1的平方根是3,3a+b-1的立方根是4，c是算术平方根等于自身的数，则 a+2b-c2= 9.已知一个正数的两个不同的平方根分别是2a-9与3+a,2b+2的立方根是-2. (1)求a,b的值； 试卷第1页，共3页 (2)求2a-b的平方根. 10.小林想测量一个铁球的半径，先将铁球放在一个圆柱形小水桶中，然后装满水，拿出铁 球后，小水桶中水面下降了4cm,量得小水桶的底面直径为6cm,求铁球的半径.（球的 4 体积公式为V=。π，r为球的半径) 3 11.已知A=如-b-3√a+2是a+2的算术平方根，B=3a26-9√2-b是2-b的立方根，求A+B的 立方根 试卷第1页，共3页 专题05立方根新课闯关预习必备讲义 预习小提醒：提前回顾平方根的定义和性质，带着疑问探索立方根的世界，你会发现数学的奇妙关联！ 一.趣味导入:从“正方体魔法”说起 假如你有一个棱长为2cm的正方体橡皮泥，想把它重新捏成一个新的正方体，使新正方体的体积是原来的8倍，你知道新正方体的棱长是多少吗？反过来，若已知一个正方体的体积是64cm³，你能快速算出它的棱长吗？ 这些问题都需要用到我们今天要预习的新知识——立方根。它和我们之前学的平方根一样，都是数的重要运算，却又有着独特的性质，跟着讲义一起解锁吧！ 二.核心知识点预习:读懂立方根的“本质” 1.立方根的定义(重点) 类比平方根的定义，我们可以这样定义立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根。 用数学语言表示为：若x³ = a，则x叫做a的立方根，记作x = （读作“三次根号a”），其中“∛”是三次根号，根指数3不能省略（注意与平方根的区别，平方根的根指数2可省略）。 2.立方根的性质(难点+易错点) 结合平方根的性质对比学习，更容易掌握立方根的特点，具体如下表： 对比项 平方根 立方根 正数的根 有两个，互为相反数 有一个，是正数 0的根 有一个，是0 有一个，是0（= 0） 负数的根 没有平方根 有一个，是负数 根指数 根指数2可省略 根指数3不可省略 易错提醒：负数没有平方根，但负数有一个立方根，这是立方根与平方根最核心的区别，一定要牢记！ 3.立方根的重要结论 （1） = -：一个负数的立方根，等于这个数的相反数的立方根的相反数（简单说就是“负号可以提到根号外”）。 举例： = - = -4，因为64的立方根是4，所以-64的立方根是-4。 （2）()³ = a：一个数的立方根的立方，等于这个数本身。 举例：()³ = 5，()³ = -3。 （3） = a：一个数的立方的立方根，等于这个数本身。 举例： = 2， = -5。 三.预习疑问:带着问题去上课 1. 立方根和平方根在运算时有哪些不同的注意事项？ 2. 如何快速判断一个数的立方根是整数还是小数？ 3. 立方根在实际生活中还有哪些应用场景？ 预习小结：立方根的核心是“一个数的立方等于a，则这个数是a的立方根”，关键要区分它与平方根的性质差异，牢记负数有一个立方根、根指数3不可省略这两个要点。带着自测中的问题和疑问去听课，效率会更高哦！ 【题型1.立方根的概念理解】 【典例】的立方根为（   ） A．2 B． C．2或 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了立方根，理解立方根的定义是解题的关键． 根据立方根的定义解题即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 【跟踪专练1】已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查立方根求值，根据题中条件，将，运用立方根性质求解即可得到答案．熟记立方根定义与求法是解决问题的关键． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【跟踪专练2】给出下列4个说法：①只有正数才有平方根；②2是4的平方根；③平方根等于它本身的数只有0；④27的立方根是．其中，正确的有（   ） A．①② B．③④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【分析】本题主要考查平方根和立方根的定义，理解平方根和立方根的定义是解题的关键． 根据平方根和立方根的定义，逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：∵0和正数都有平方根， ∴①错误， ∵是的一个平方根， ∴②正确， ∵平方根等于它本身的数只有， ∴③正确， ∵的立方根是3， ∴④错误， 故选：C． 【题型2.求一个数的立方根】 【典例】已知， ． 【答案】 【分析】本题考查立方根的定义，理解立方根的定义是解题的关键．因为 ，所以，即可得出答案． 【详解】解：因为 ， 所以 ； 故答案为：． 【跟踪专练1】下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方根和立方根，根据算术平方根和立方根的定义，逐项判断正误即可． 【详解】A、，原式子错误，不符合题意； B、，原式子错误，不符合题意； C、，原式子正确，符合题意； D、，原式子错误，不符合题意； 故选C． 【跟踪专练2】已知正数m的两个不同的平方根分别为和，则的立方根为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的定义和求一个数的立方根，根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，因此它们的和为零，据此列方程求出的值，再求出，然后计算，最后求其立方根． 【详解】解：∵正数的两个不同的平方根分别为和， ∴ ， 即， 解得， ∴， ∴， ∴ ， ∴ 的立方根为， 故答案为：． 【题型3.已知一个数的立方根,求这个数】 【典例】，则的值为（    　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了立方根，根据立方根的定义解答即可求解，掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 【跟踪专练1】已知，且，则x= ． 【答案】 【分析】本题主要考查立方根的运算，根据题意，得到，再解方程即可． 【详解】，， ， ， ． 故答案为：． 【跟踪专练2】下列说法中，不正确的是（   ） A．的立方根是 B．的立方根是 C．0的立方根是0 D．的立方根是 【答案】D 【分析】本题考查了立方根的性质：一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根是0，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题利用立方根的性质对选项逐一判断，即可求解． 【详解】解：A．的立方根是，故选项正确； B．的立方根是，故选项正确； C．0的立方根是0，故选项正确； D．∵，∴的立方根等于5，故选项错误． 故选：D 【题型4.与立方根有关的规律探索题】 【典例】已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，根据被开方数扩大倍，立方根扩大倍；被开方数缩小倍，立方根缩小倍解答即可，掌握立方根的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】已知，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的小数点的移动规律是解题的关键． 根据被开方数小数点向左移动三位，则立方根小数点向左移动一位求解即可． 【详解】解：，， ∴ 故选：A． 【跟踪专练2】若，，，则= ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．依据被开方数小数向左或向右移动3位时，则对应的立方根的小数点向左或向右移动1位求解即可． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为：． 【题型5.立方根的实际应用】 【典例】七年级（1）班的班委准备把一个容积是的正方体纸箱用作“暖冬行动”的捐款“爱心箱”，则这个“爱心箱”的棱长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求一个数的立方根，解题关键是明确正方体体积是棱长的立方，会求立方根． 根据正方体体积是棱长的立方，求的立方根即可． 【详解】解：∵正方体体积是棱长的立方， ∴体积为的正方体的棱长是． 故答案为：A． 【跟踪专练1】一个正方体纸盒的体积为，则其棱长是 ． 【答案】 【分析】此题是考查立方根的应用，会求一个数的立方根是解题的关键． 根据正方体的体积公式即可求出棱长． 【详解】解：设正方体的棱长为， ∴ ∴ 即棱长是． 故答案为：． 【跟踪专练2】魔方可以看作是一个正方体，现有一个体积为的魔方，则这个魔方的棱长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查求一个数的立方根，掌握立方根的概念和求一个数的立方根是解题的关键．正方体的体积是棱长的三次幂，已知体积求棱长，则是求体积的三次方根，由此即可求解． 【详解】解：根据题意得，设正方体的棱长为， ∴，则， ∴正方体的棱长为， 故选：A． 【题型6.算术平方根和立方根的综合应用】 【典例】下列结论正确的是（    ） A． B．的平方根是 C．若，则 D．64的立方根是 【答案】A 【分析】本题考查了立方根、平方根、算术平方根，熟练掌握立方根、平方根、算术平方根的定义是解题的关键．根据立方根、平方根、算术平方根的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A、，故此选项结论正确，符合题意； B、没有平方根，故此选项结论不正确，不符合题意； C、若，则或，故此选项结论不正确，不符合题意； D、64的立方根是4，故此选项结论不正确，不符合题意； 故选：A． 【跟踪专练1】若的算术平方根是5，则的立方根是 ． 【答案】2 【分析】本题考查算术平方根，立方根．根据的算术平方根是5可得，从而求出a的值，进而求出，即可求出它的立方根． 【详解】解：∵的算术平方根是5， ∴， ∴， ∴， ∴的立方根是2． 故答案为：2 【跟踪专练2】已知的立方根是3，的算术平方根是4，则的值为（    ） A．5 B．3 C．2 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根、立方根的应用，熟练掌握算术平方根，立方根的定义是解题的关键．根据算术平方根和立方根的定义得到m，n的值，然后得出代数式的值，即可求解． 【详解】解：的立方根是3， ， 解得， 的算术平方根是4， ， 将代入中， 有， 解得， 则的值为． 故选：C． 【题型7.计算器-平方根和立方根】 【典例】用科学计算器进行计算，按键顺序依次为，则计算器显示结果与下列各数最接近的一个是（    ） A．1.2 B．2.0 C．2.2 D．2.3 【答案】C 【分析】本题考查计算器—基础知识，根据题目中的运算程序，可以计算出相应的结果． 【详解】由题意可得，， 故选：C． 【跟踪专练1】用计算器计算（结果精确到）： （1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查了计算器运算算术平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用计算器算出，再运算乘法，最后运算加法，即可作答． （2）先运用计算器算出，再运算乘法，最后运算加减法，即可作答． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：． 【跟踪专练2】小海和乐乐在运用计算器求与（其中a、b是两个正有理数）的值时，通过按键得到的与的结果分别如图1和图2所示，那么a和b的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根的性质，根据算术平方根的性质，被开方数的小数点每向左（右）平移两个数位，算术平方根的小数点向左（右）平移1个数位，进行判断即可． 【详解】解：右图可知：， ∴， ∴； 故选D． 1．下列说法正确的个数有（    ） ①0是最小的整数；②绝对值等于它的相反数的数是负数；③若且，则，同为负数；④一个数的立方是它本身，则这个数为1或0；⑤是单项式 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了整数、绝对值、有理数运算、立方和单项式的概念，熟练掌握相关知识点是解题的关键； 根据整数、绝对值、有理数运算、立方和单项式的概念，逐一判定即可． 【详解】①0不是最小的整数，因为没有最小的整数，故①错误； ②绝对值等于它的相反数的数是0或负数，故②错误； ③若且，则，同为负数，故③正确； ④一个数的立方是它本身，则这个数为1或0或，故④错误； ⑤是多项式，不是单项式，故⑤错误； 综上可知，正确的是③． 故选：A． 2．利用科学计算器求解：正方形的面积为10，则它的边长约为 ．（精确到0.001） 【答案】3.162 【分析】本题考查算术平方根的应用及科学计算器的使用方法，设正方形的边长为，则，再利用科学计算器求解即可． 【详解】解：设正方形的边长为，则， 所以， 在科学计算器上依次按键，1，0，，显示3.162277660， 精确到0.001为3.162， 故答案为：3.162． 3．有两个正方体纸盒，已知小正方体纸盒的棱长是，大正方体纸盒的体积比小正方体纸盒的体积大，则大正方体纸盒的棱长 ． 【答案】6 【分析】本题考查立方根的应用，设大正方体纸盒的棱长为，根据“大正方体纸盒的体积比小正方体纸盒的体积大”列方程，利用立方根解方程即可． 【详解】解：设大正方体纸盒的棱长为， 由题意，得， 整理，得， 解得． 即大正方体纸盒的棱长为， 故答案为：6． 4．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查利用平方根和立方根解方程，熟练掌握平方根和立方根的定义，是解题的关键： （1）利用平方根解方程即可； （2）利用立方根解方程即可． 【详解】（1）解：， ， 解得或； （2）， ， ， ， 解得． 5．如果，那么的结果约是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了立方根，如果把一个数扩大倍，则它的立方根扩大倍，如果把一个数缩小倍，则它的立方根缩小倍，做题的关键是掌握以上规律．根据立方根的变化特点和给出的数据进行解答即可． 【详解】解：，且，， ． 故选：A． 6．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根、立方根的性质等知识点，掌握立方根的性质成为解题的关键． 将21400分解为，再利用立方根的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选A． 7．观察下表，并解决问题． a 0.0004 0.04 4 400 40000 0.02 0.2 2 20 200 (1)根据上表，可以得到被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动两位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动______位． (2)已知，，则______． (3)根据上述探究过程类比研究一个数的立方根，已知，，，则______． 【答案】(1)一 (2) (3) 【分析】本题考查了数字类规律探索、算术平方根、立方根，熟练掌握以上知识点并灵活运用，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据表格中的数据总结规律即可； （2）根据所得规律即可求得答案； （3）由题意并结合被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律可得立方根的规律，从而求得答案． 【详解】（1）解：由表格数据可得：若被开方数的小数点向右（或向左）移动两位，则它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位； （2）解：∵， ∴； （3）解：由题意并结合被开方数和它的算术平方根之间的小数点的变化规律可得：若被开立方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位； ∵， ∴． 8．已知的平方根是，的立方根是4，是算术平方根等于自身的数，则 ． 【答案】105或104 【分析】本题考查平方根、算术平方根与立方根，解题的关键是理解算术平方根等于自身的数存在0与1两种情况．     根据平方根、算术平方根与立方根的定义分别计算出a、b、c的值，再代入代数式求值即可． 【详解】由题意可知： 解得：或． ∴， 或． 故答案为：105或104． 9．已知一个正数的两个不同的平方根分别是与，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了立方根和平方根的概念，解题的关键是熟练掌握立方根和平方根的概念． （1）根据一个正数的两个不同的平方根和为0得到方程，即可求解，再根据立方根的定义得到，即可求解； （2）将求解得代入进行求值，再求解平方根． 【详解】（1）解:根据题意得，， 解得， 的立方根是， ， 解得； （2）解：由（1）知，，， ， 的平方根是， 的平方根是． 10．小林想测量一个铁球的半径，先将铁球放在一个圆柱形小水桶中，然后装满水，拿出铁球后，小水桶中水面下降了，量得小水桶的底面直径为，求铁球的半径．（球的体积公式为，r为球的半径） 【答案】铁球的半径为 【分析】本题主要考查了利用立方根解决几何问题，解题的关键是掌握立方根运算法则． 设铁球的半径为，根据球体的体积等于水下降的体积，列出方程，利用立方根求解即可． 【详解】解：设铁球的半径为，根据题意得， 铁球的体积， ， 解得， ∴铁球的半径为． 11．已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根、立方根和平方根的定义，求出，的值是解题关键；先根据算术平方根和立方根的根指数定义列出方程组，求解得到的值，再代入的表达式求出，最后计算的立方根． 【详解】解：由题意知：， 解得：，， ∴ ∴，， ∴ ∴的立方根等于． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $