第9章 平面向量（单元自测·基础卷）数学苏教版必修第二册

2025-2026学年必修第二册数学单元自测 第9章 平面向量·基础通关 建议用时：60分钟，满分：120分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．化简：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】.故选：A 2．已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，可得，解得.故选C. 3．如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，设，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图知，.故选：C. 4．向量，的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，，则，， ，所以，又，则.故选C 5．已知力作用于某一物体，使该物体从移动到，则力对该物体做的功为（    ） A．2 B．4 C．6 D．10 【答案】D 【解析】因为，所以力对该物体做的功为.故选：D. 6．已知向量满足，,则在方向上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因，由可得， 则在方向上的投影向量是.故选：A. 7．已知向量，满足，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，因为，所以， 又因为，所以， 所以.故选：C. 8．已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（　　） A． B． C．-1 D． 【答案】A 【解析】建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点， 则，，， 设，则，，， 则 当，时，取得最小值，故选：A 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】CD 【解析】对于A，假设，则使得， 则因为不共线得且，则无解，故不共线可作为一组基底，故A不正确； 对于B，假设，则使得， 则因为不共线得且，则无解，故不共线可作为一组基底，故B不正确； 对于C，因为，所以不能作为基底，故C正确. 对于D，因为，所以不能作为基底，故D正确. 故选：CD 10．若、、是非零向量，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 【答案】ABD 【解析】对于A选项，，A对； 对于B选项，，B对； 对于C选项，若，则， 所以或当时，，C错； 对于D选项，，当且仅当、方向相反时，等号成立，D对. 故选：ABD. 11．已知G为的重心（三角形三条中线的交点），则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】G为的重心（三角形三条中线的交点）， ，而不一定相等， 故不能推出，A错误； 如图：设的中点分别为 则，，，B正确； ，； 同理可得,，C错误； ，D正确. 故选：BD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12．在四边形中，有，则四边形的形状为 . 【答案】平行四边形 【解析】由得，，且， ∴四边形为平行四边形. 13．已知向量，向量满足，则的最大值是 . 【答案】6 【解析】因为向量，则，且， 可得，当且仅当与反向时，等号成立， 所以的最大值是6. 14．在中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为 .    【答案】 【解析】因为，所以，又， 所以， 因为点三点共线，所以，解得. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分）一条河的两岸平行，河宽.一艘船从A处出发航行到河的正对岸B处.航行的速度，水流的速度，水流方向向正东方向，求行驶航程最短时，所用的时间是多少.（结果精确到0.1min） 【解】若行驶航程最短，则航行方向与河岸垂直，如图所示， 设该船航行时的速度为，水流的速度为，合速度为， 已知，，    则， 所以. 所以行驶航程最短时，所用的时间是3.1min. 16．（本小题满分15分）已知四边形的顶点坐标为、、，且. (1)若点在第一象限，求实数的取值范围； (2)若点为直线外一点，为四边形对角线的交点，，求实数的值. 【解】（1）因为、，所以. 设点的坐标为，，，则. 由，得，解得， 因为点在第一象限，所以，，则，解得. 故实数的取值范围是. （2）由得， 即，所以. 因为，所以， 又点恰为四边形对角线的交点， 所以，则， 又，所以. 17．（本小题满分15分）已知，，且. (1)求向量与的夹角大小. (2)求. 【解】（1）由，得， 即， ， 解得. 又，. （2） . 18．（本小题满分17分）如图，在中，已知，，，，分别为，上的两点，，，相交于点．    (1)求的值； (2)求证：． 【解】（1）因为， 所以， 所以， 所以； （2）因为， 所以， 所以， 所以，即，所以． 19．（本小题满分17分）如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴､轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作.在此坐标系中，若，分别是的中点，分别与交于两点. (1)求； (2)求的坐标； (3)若点在线段上运动，设，求的最大值. 【解】（1）由题， . （2）设·， 因为三点共线，所以， 所以； 设， 因为三点共线，所以， 所以. （3）由题， 所以， 所以， 所以当时，取得最大值13. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年必修第二册数学单元自测 第9章 平面向量·基础通关 建议用时：60分钟，满分：120分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．化简：（   ） A． B． C． D． 2．已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，设，，则等于（    ） A． B． C． D． 4．向量，的夹角为（   ） A． B． C． D． 5．已知力作用于某一物体，使该物体从移动到，则力对该物体做的功为（    ） A．2 B．4 C．6 D．10 6．已知向量满足，,则在方向上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 7．已知向量，满足，，，则（　　） A． B． C． D． 8．已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（　　） A． B． C．-1 D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 10．若、、是非零向量，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 11．已知G为的重心（三角形三条中线的交点），则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12．在四边形中，有，则四边形的形状为 . 13．已知向量，向量满足，则的最大值是 . 14．在中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为 .    四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分）一条河的两岸平行，河宽.一艘船从A处出发航行到河的正对岸B处.航行的速度，水流的速度，水流方向向正东方向，求行驶航程最短时，所用的时间是多少.（结果精确到0.1min） 16．（本小题满分15分）已知四边形的顶点坐标为、、，且. (1)若点在第一象限，求实数的取值范围； (2)若点为直线外一点，为四边形对角线的交点，，求实数的值. 17．（本小题满分15分）已知，，且. (1)求向量与的夹角大小. (2)求. 18．（本小题满分17分）如图，在中，已知，，，，分别为，上的两点，，，相交于点．    (1)求的值； (2)求证：． 19．（本小题满分17分）如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴､轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作.在此坐标系中，若，分别是的中点，分别与交于两点. (1)求； (2)求的坐标； (3)若点在线段上运动，设，求的最大值. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年必修第二册数学单元自测 第9章平面向量·基础通关（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 2 3 8 C D A C A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 CD ABD BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.平行四边形 13.6 4品 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 【解】若行驶航程最短，则航行方向与河岸垂直，如图所示， 设该船航行时的速度为y，水流的速度为2，合速度为⑦， 已知=10km/h,=2km/h, B A 则厨-=46(km/h, 所以t=4=0.5 ×60≈3.1min 1146 所以行驶航程最短时，所用的时间是3.1mim 16.(本小题满分15分) 1/4 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【解】(1)因为A4,-1)、B(3,4),所以AB=(-1,5) 设点C的坐标为(x,y),x>0,y>0,则DC=(x-1,y+2) 由B=ADC>0,符+2=5，解得，-5-2 2(x-1)=-1 xs1-1 1-1=-1>0 因为点C在第一象限，所以x>0,y>0,，则 5-21>0 ，解得1<元< 2 λ>0 故实数之的取值范围是引 (2)由M=2M+3Mc得2(Mp-Ma=3Mc-MP), 即2AP=3PC,所以 4A_3 PC 2 因为AB=2DC(2>0),，所以ABIICD, 又点P恰为四边形ABCD对角线的交点， ABAP_3 所以△APBCPD,则CDCP2 又AB=元DC,所以九= AB 3 CD 2 17.(本小题满分15分) 【解】(1)（ā+bā-2b)=-6,得2-a.b-262=-6, 即d-a5lcos(a,b）-26=-6, 2/4 画学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 1-1×2cosa,b)-2×22=-6, 解得os位，列-方 又a.)e@,a-号r （2ba+2-Va+26=9+12a5cos号+4 1 /9+12×1×2× +4x22=V13 18.(本小题满分17分) 【解】因为-写c. 所以孤=孤+=孤+8C=孤+C-到-子孤+4C, x1+x16=16 0 所以网 2因为N=C, 所以丽=+N=-孤+号C。 所以孤丽-居西+兮c〔西+C-号丽+名c-号×4+名16=0， 所以AM⊥BN,即AM⊥BN,所以AM⊥PN, 19.(本小题满分17分) 【解】1)由题6，=os60=) 0=DA+0B=6e,+4e=V36g2+16e,2+48eE,=V36+16+24=2v9 (2)设0R=10P=10A+10B=10A+2λ0E, 因为么风4三点共线，所以天+2以=1→A-写 所u0丽-50a+o丽-(2} OT-HOF-WOA+OB-HOA+(OF-BF)-OA+OF-0-0A+HOF. 因为F74三点共线，所以红+1户μ子 3/4 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以0Toi+0丽（4 3 3》由题=0F-01=08+所-0=0丽-01=(-34， 所以OM=OA+kAF=(6-3k,4k)=(x,y),k∈[0,1→x=6-3k,y=4k, 所以xy+1=(6-3k)×4k+1=-12k2+24k+1=-12(k-1)2+13, 所以当k=1时，y+1取得最大值13. 4/4………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年必修第二册数学单元自测 第9章 平面向量·基础通关 建议用时：60分钟，满分：120分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．化简：（   ） A． B． C． D． 2．已知向量，，且，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，设，，则等于（    ） A． B． C． D． 4．向量，的夹角为（   ） A． B． C． D． 5．已知力作用于某一物体，使该物体从移动到，则力对该物体做的功为（    ） A．2 B．4 C．6 D．10 6．已知向量满足，,则在方向上的投影向量是（   ） A． B． C． D． 7．已知向量，满足，，，则（　　） A． B． C． D． 8．已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（　　） A． B． C．-1 D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 10．若、、是非零向量，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若，则 D． 11．已知G为的重心（三角形三条中线的交点），则下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12．在四边形中，有，则四边形的形状为 . 13．已知向量，向量满足，则的最大值是 . 14．在中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为 .    四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分）一条河的两岸平行，河宽.一艘船从A处出发航行到河的正对岸B处.航行的速度，水流的速度，水流方向向正东方向，求行驶航程最短时，所用的时间是多少.（结果精确到0.1min） 16．（本小题满分15分）已知四边形的顶点坐标为、、，且. (1)若点在第一象限，求实数的取值范围； (2)若点为直线外一点，为四边形对角线的交点，，求实数的值. 17．（本小题满分15分）已知，，且. (1)求向量与的夹角大小. (2)求. 18．（本小题满分17分）如图，在中，已知，，，，分别为，上的两点，，，相交于点．    (1)求的值； (2)求证：． 19．（本小题满分17分）如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴､轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作.在此坐标系中，若，分别是的中点，分别与交于两点. (1)求； (2)求的坐标； (3)若点在线段上运动，设，求的最大值. 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $