学易金卷：高一数学上学期期末模拟卷01（江苏地区专用，人教A版2019必修第一册）

2025-2026学年高一数学上学期上学期期末试卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B A C A D B A D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AD ACD ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． ①. ②. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【解析】（1）由，解得或， 则，，（2分） 当时，由，即，得，解得， 则，（4分） 所以.（6分） （2）由（1）知，， 由，即，得，解得，则，（9分） 由“”是“”的必要条件，得，（11分） 因此，解得， 所以实数的取值范围是.（13分） 16．（15分） 【解析】（1） ；（5分） （2） ；（10分） （3） .（15分） 17．（15分） 【解析】（1）由题意，得函数 ，（2分） 由，解得， 所以的单调递增区间为.（5分） （2）当时，，所以，则， 当即时，函数取得最小值为；（8分） 当即时，函数取得最大值为；（10分） （3）由题意得时，有解， 而此时，即有解，只需要即可，（12分） ，， 令，则在上单调递减， 所以当时，，即，所以.（15分） 18．（17分） 【解析】（1）若，则，令，得， 故的定义域为．（3分） （2）令，则. 因为函数是上的增函数，在上单调递增， 所以根据复合函数单调性的判断方法可得： 函数在上单调递增,且在上恒成立，（5分） 所以，解得. 故取值范围为.（8分） （3）因为对任意，存在，使得不等式成立， 所以.（9分） 令，，因为， 所以，.（11分） 又二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 所以当时，函数有最小值，故当时，.（13分） 所以对于任意恒成立，即对于任意恒成立， 故对于任意恒成立. 又由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立， 故，即的取值范围为．（17分） 19．（17分） 【解析】（1），不是，的“友好函数”，理由如下： 取，因为，所以不存在，使得， 所以，不是，的“友好函数”；（4分） （2）由题意，对任意，存唯一使成立， 即，所以函数的值域是函数值域的子集.（6分） 因为，，所以，其值域为， 而在上单调递增，故值域为， 从而，即，所以；（8分） （3）当是的“友好函数”时， 由题意，对任意的，存在唯一的，使成立， 即，则的值域是值域的子集.（9分） 当是的“友好函数”时， 由题意，对任意的，存在唯一的使成立， 即，则的值域是值域的子集. 所以的值域与值域相同（且值域中的数值一一对应）.（10分） 当是的“友好函数”时，因为， 若存在使得，则不存在，使得， 所以当时，，所以， 因为在上单调递减，所以， ①当时，，不符合要求；（12分） ②当时，，， 因为，所以，不符合要求；（13分） ③当时，，， 若，则在上单调递减， 从而在上单调递增，故， 从而时，， 因为的值域与值域相同，所以， 即，所以，又在上单调递增， 所以当时，的最大值为1.（15分） 若，则在上单调递减，在上单调递增， 此时值域与值域中的数值不可能一一对应，不符合要求. 综上：，的最大值为1.（17分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ 2025-2026学年高一数学上学期期末试卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 刘 区域书写的答案无效：在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分) I[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 戡 杯 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0 分，共18分) 9[A[B][C][D] 10[A][B][C][D] 1I[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 13. 14 器 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年高一数学上学期期末试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019必修第一册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2．已知，为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3．设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4．函数在区间的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5．如图所示的几何图形，设弧的长度是，弧的长度是，扇环的面积为，扇形的面积为.若，则（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 6．已知幂函数（），在区间上是单调减函数．若，，则（ ） A. B. C. D. 7．已知点是函数的图象的一个对称中心，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 8．若定义在上的函数满足对任意的，且，都有，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数的部分图象如图所示，函数的零点为-3和1，则（ ） A. B. C. D. 关于的不等式的解集为 10．已知函数（且，），则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的图象过定点 B. 若，则的最小值为2 C. 若，则 D. 若， 11．已知函数，其中，下列命题中正确的是（ ） A. 若，函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到 B. 若，曲线与曲线在区间上的交点个数为6 C. 若在上有且仅有5个零点，则的取值范围是 D. 若在上有且仅有5个零点，则在单调递增 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若，则______ 13．设是定义在上的函数，若是偶函数，是奇函数，则的值为______ 14．已知函数若存在实数，使得方程有4个不同的实数根，且.则的取值范围为______，的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 设函数的定义域为集合，的定义域为集合． （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 16．（15分） （1）化简：； （2）求值：； （3）求值：. 17．（15分） 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）当时，求的最值． （3）当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围． 18．（17分） 已知函数． （1）若，求的定义域； （2）若在上单调递增，求的取值范围； （3）设，若对任意，存在，使得不等式成立，求 的取值范围． 19． （17分） 已知两个函数，，，若对任意的，存在唯一的，使得成立，则称为的“友好函数”. （1）判断函数，是否为，的“友好函数”，并说明理由； （2）若函数，是，的“友好函数”，求的最小值； （3）已知函数，，，，若 是的“友好函数”，且也是的“友好函数”，求实数的值及的最大值. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期期末试卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019必修第一册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2．已知，为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3．设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4．函数在区间的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5．如图所示的几何图形，设弧的长度是，弧的长度是，扇环的面积为，扇形的面积为.若，则（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 6．已知幂函数（），在区间上是单调减函数．若，，则（ ） A. B. C. D. 7．已知点是函数的图象的一个对称中心，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 8．若定义在上的函数满足对任意的，且，都有，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数的部分图象如图所示，函数的零点为-3和1，则（ ） A. B. C. D. 关于的不等式的解集为 10．已知函数（且，），则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的图象过定点 B. 若，则的最小值为2 C. 若，则 D. 若， 11．已知函数，其中，下列命题中正确的是（ ） A. 若，函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到 B. 若，曲线与曲线在区间上的交点个数为6 C. 若在上有且仅有5个零点，则的取值范围是 D. 若在上有且仅有5个零点，则在单调递增 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若，则______ 13．设是定义在上的函数，若是偶函数，是奇函数，则的值为______ 14．已知函数若存在实数，使得方程有4个不同的实数根，且.则的取值范围为______，的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 设函数的定义域为集合，的定义域为集合． （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 16．（15分） （1）化简：； （2）求值：； （3）求值：. 17．（15分） 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）当时，求的最值． （3）当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围． 18．（17分） 已知函数． （1）若，求的定义域； （2）若在上单调递增，求的取值范围； （3）设，若对任意，存在，使得不等式成立，求 的取值范围． 19． （17分） 已知两个函数，，，若对任意的，存在唯一的，使得成立，则称为的“友好函数”. （1）判断函数，是否为，的“友好函数”，并说明理由； （2）若函数，是，的“友好函数”，求的最小值； （3）已知函数，，，，若 是的“友好函数”，且也是的“友好函数”，求实数的值及的最大值. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高一数学上学期期末试卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ ____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期期末试卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019必修第一册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 1.【答案】B 【解析】， ，则． 故选：B． 2．已知，为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 2.【答案】A 【解析】因为，则，所以，即由可推出， 取，可得，而，即由不可推出， 所以“”是“”的充分不必要条件，故A对，B,C,D错, 故选：A. 3．设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 3.【答案】C 【解析】因为， ， ， 所以. 故选：C. 4．函数在区间的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4.【答案】A 【解析】令， 则， 所以为奇函数，排除BD； 又当时，，所以，排除C. 故选：A. 5．如图所示的几何图形，设弧的长度是，弧的长度是，扇环的面积为，扇形的面积为.若，则（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 5.【答案】D 【解析】设，由，得，即， 所以 故选：D 6．已知幂函数（），在区间上是单调减函数．若，，则（ ） A. B. C. D. 6.【答案】B 【解析】由题意可得，解得，又，所以，所以， ，所以， 所以， 所以，即， 因为，，所以， 所以，所以. 故选：B. 7．已知点是函数的图象的一个对称中心，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 7.【答案】A 【解析】正切函数的对称中心为， 令，则原函数化为， 当时，，此时，故对称中心的纵坐标， 横坐标满足：，，， 于是：， 当时，. 故选：A 8．若定义在上的函数满足对任意的，且，都有，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8.【答案】D 【解析】因为对任意的，且，都有， 即对任意两个不相等的正实数，不妨设，都有， 所以有， 所以函数是上的减函数， 由的定义域为，则在中满足，解得， 当时， ， 则，所以，解得， 故不等式的解集为． 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数的部分图象如图所示，函数的零点为-3和1，则（ ） A. B. C. D. 关于的不等式的解集为 9.【答案】AD 【解析】函数的零点为和1，则， 又因为图象开口向下，所以， 对于A：，A选项正确； 对于B：，B选项错误； 对于C：，C选项错误； 对于D：关于的不等式的解集为，D选项正确； 故选：AD 10．已知函数（且，），则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的图象过定点 B. 若，则的最小值为2 C. 若，则 D. 若， 10.【答案】ACD 【解析】对于A，令，，则的图象过定点，故A正确； 对于B，，， 当且仅当，即时取等号，故B错误； 对于C，因，则在R上单调递增，又， 则，故C正确； 对于D，因，则在R上单调递减， 又注意到时，函数单调递增， 则，故D正确. 故选：ACD 11．已知函数，其中，下列命题中正确的是（ ） A. 若，函数的图象可由函数的图象向左平移个单位长度得到 B. 若，曲线与曲线在区间上的交点个数为6 C. 若在上有且仅有5个零点，则的取值范围是 D. 若在上有且仅有5个零点，则在单调递增 11.【答案】ABD 【解析】对于A，当时，， 将的图象向左平移个单位长度，得， 即得到的图象，所以A正确， 对于B，当时，，周期，在上是3个周期， 先作出在上的图象，然后向右平移两次，每次平移一个周期可得在上的图象， 再在同一坐标系中作出在的图象， 由图可知曲线与曲线在区间上的交点个数为6，所以B正确， 对于C，当时，， 若在上有且仅有5个零点，则， 解得，所以C错误， 对于D，当时，， 由选项C可知，则， 所以， 所以， 所以在单调递增，所以D正确. 故选：ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若，则______ 12.【答案】 【解析】因为，即， 所以. 故答案为：. 13．设是定义在上的函数，若是偶函数，是奇函数，则的值为______ 13.【答案】 【解析】因为是偶函数，是奇函数， 则，， 两式相减得， 则， 则. 故答案为：. 14．已知函数若存在实数，使得方程有4个不同的实数根，且.则的取值范围为______，的取值范围为______. 14.【答案】 ①. ②. 【解析】画出函数的图象如图所示： 要使得方程有4个不同的实数根， 只需有4个不同的实数根，即的图象有四个交点， 结合图象可知：. 因为，所以， 所以， 即， 所以，即， 而是的两根，即， 因为，满足所以， ， 令，因为，则在单调递增， 所以，故. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 设函数的定义域为集合，的定义域为集合． （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 15.（13分） 【解析】（1）由，解得或，则，， 当时，由，即，得，解得，则， 所以. （2）由（1）知，， 由，即，得，解得，则， 由“”是“”的必要条件，得，因此，解得， 所以实数的取值范围是. 16．（15分） （1）化简：； （2）求值：； （3）求值：. 16.（15分） 【解析】（1） ； （2） ； （3） . 17．（15分） 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）当时，求的最值． （3）当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围． 17.（15分） 【解析】（1）由题意，得函数 ， 由，解得， 所以的单调递增区间为. （2）当时，，所以，则， 当即时，函数取得最小值为； 当即时，函数取得最大值为； （3）由题意得时，有解， 而此时，即有解，只需要即可， ，， 令，则在上单调递减， 所以当时，，即，所以. 18．（17分） 已知函数． （1）若，求的定义域； （2）若在上单调递增，求的取值范围； （3）设，若对任意，存在，使得不等式成立，求 的取值范围． 18.（18分） 【解析】（1）若，则，令，得， 故的定义域为． （2）令，则. 因为函数是上的增函数，在上单调递增， 所以根据复合函数单调性的判断方法可得： 函数在上单调递增,且在上恒成立， 所以，解得. 故取值范围为. （3）因为对任意，存在，使得不等式成立， 所以. 令，，因为， 所以，. 又二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 所以当时，函数有最小值，故当时，. 所以对于任意恒成立，即对于任意恒成立， 故对于任意恒成立. 又由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立， 故，即的取值范围为． 19． （17分） 已知两个函数，，，若对任意的，存在唯一的，使得成立，则称为的“友好函数”. （1）判断函数，是否为，的“友好函数”，并说明理由； （2）若函数，是，的“友好函数”，求的最小值； （3）已知函数，，，，若 是的“友好函数”，且也是的“友好函数”，求实数的值及的最大值. 19.（17分） 【解析】（1），不是，的“友好函数”，理由如下： 取，因为，所以不存在，使得， 所以，不是，的“友好函数”； （2）由题意，对任意，存唯一使成立， 即，所以函数的值域是函数值域的子集. 因为，，所以，其值域为， 而在上单调递增，故值域为， 从而，即，所以； （3）当是的“友好函数”时， 由题意，对任意的，存在唯一的，使成立， 即，则的值域是值域的子集. 当是的“友好函数”时， 由题意，对任意的，存在唯一的使成立， 即，则的值域是值域的子集. 所以的值域与值域相同（且值域中的数值一一对应）. 当是的“友好函数”时，因为， 若存在使得，则不存在，使得， 所以当时，，所以， 因为在上单调递减，所以， ①当时，，不符合要求； ②当时，，， 因为，所以，不符合要求； ③当时，，， 若，则在上单调递减， 从而在上单调递增，故， 从而时，， 因为的值域与值域相同，所以， 即，所以，又在上单调递增， 所以当时，的最大值为1. 若，则在上单调递减，在上单调递增， 此时值域与值域中的数值不可能一一对应，不符合要求. 综上：，的最大值为1. / 学科网（北京）股份有限公司 $