学易金卷：高二数学上学期期末模拟卷01（北京专用）（人教A版）

2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷01 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册+数列。 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知点关于轴的对称点为，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间中对称点的性质求解即可. 【详解】因为点关于轴的对称点为， 所以，故C正确. 故选：C 2．方程表示的圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的一般方程得到圆的标准方程，从而求得圆心坐标和圆的半径. 【详解】由，得. 所以方程表示的圆的圆心坐标为，半径为3. 故选：B. 3．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若直线与平面垂直，则实数的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线面垂直得到与平行，设，得到方程组，求出. 【详解】因为直线与平面垂直，故与平行； 设且，即，解得. 故选：D 4．若焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程为，则其离心率为（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据渐近线方程得到，再利用求出离心率. 【详解】设双曲线方程为，则渐近线方程为， 则，所以，离心率为. 故选：C 5．等差数列中，若，，则其公差等于（   ） A．2 B．3 C．6 D．18 【答案】A 【分析】根据等差数列的通项公式计算即可求解. 【详解】由题意知，设等差数列的公差为， ， 两式相减，得，所以. 故选：A 6．设，则“”是直线与直线平行的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】求出平行时参数a的值，再由充分不必要条件定义即可得解. 【详解】由题直线的斜率为，在y轴上截距为2， 若直线与直线平行， 则或， 所以“”是直线与直线平行的充分不必要条件. 故选：A 7．已知圆，圆，则圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．相交 C．外切 D．内含 【答案】B 【分析】分别求出两个圆的圆心和半径，再判断两个圆的位置关系. 【详解】圆的圆心为半径为 ，圆的圆心为半径为 ， 则 ，， 因为 ，所以圆与圆相交. 故选：B. 8．如图，在平行六面体中，与的交点为点，设，，，则下列向量中与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算结合空间向量基本定理计算即可. 【详解】. 故选：B. 9．已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线所过的定点M，再根据直线与垂直时，弦最小，结合圆的弦长公式即可得解. 【详解】根据题意，圆，圆心的坐标为，半径， 直线，即，恒过定点， 又由圆的方程为，则点在圆内， 当直线与垂直时，弦最小， 此时， 则的最小值为； 故选：A 10．2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的LOGO（如图所示），设计师的灵感来源于曲线．当，，时，给出下列四个结论： ①曲线C关于原点对称； ②曲线C所围成的封闭图形的面积小于24； ③曲线C上的点到原点O的距离的最大值为3； ④设，直线交曲线C于P，Q两点，则的周长大于12． 其中正确结论的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】确定在曲线上，①正确，曲线在一个长为6，宽为4的矩形内部，②正确，利用三角换元计算得到③正确，确定椭圆在曲线内，④错误，得到答案. 【详解】曲线：， 对①：取曲线上点，则满足在曲线上， 故曲线关于原点对称，正确； 对②：取，，取，，故曲线在一个长为，宽为的矩形内部， 故其面积小于，正确； 对③：设曲线上一点为，则，设， 到原点的距离的平方为，， ，当时，距离平方有最大值为，故距离的最大值为，错误； 对④：对于曲线和椭圆，设点 在上， 点在上，则， ，故， 所以， 设点在上，点在上，则， 所以，即， 故椭圆在曲线内(除四个交点外)， 如图： 设直线交椭圆 于两点，交轴于， 为椭圆的两个焦点， 由椭圆的定义可知：，， 所以的周长为12，由图可知，的周长大于12，正确. 故选：B 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．抛物线的焦点到其准线的距离为 ． 【答案】4 【分析】根据给定条件，求出抛物线的焦点坐标及准线方程即可. 【详解】抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 所以所求距离为. 故答案为：4 12．已知是等差数列，公差不为零.若，，成等比数列，且，则数列的通项公式是 . 【答案】 【分析】根据条件列出关于公差和首项的方程，解之即可求解. 【详解】因为数列是等差数列，公差不为零，且，，成等比数列， 所以，即，所以， 又因为，所以公差，则， 故答案为：. 13．光线从点射到轴上，经反射后经过点，则反射光线所在直线的方程为 ，光线从到的路线长度为 . 【答案】 【分析】由题设，反射光线过和，应用点斜式写出方程，再由从到的路线长度为与的距离，两点式求路线长度. 【详解】由题设，反射光线过和，故斜率为， 所以反射光线为，整理得， 光线从到的路线长度，即为与的距离， 所以路线长度为. 故答案为：， 14．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则点到平面的距离题 ．    【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，用点到平面的距离公式计算即可. 【详解】由题可建立如图所示空间直角坐标系：    则，，，， 则，， 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则平面的一个法向量为， 则点P到平面的距离. 故答案为：. 15．若无穷数列满足：，当时，，则称是“数列”，则下列正确的有 ①．若是“数列”则为假命题 ②．若是“数列”且是等差数列，则单调递增 ③．若是“数列”且单调递减，则是等比数列 ④．若是“数列”且是周期数列，则集合的元素个数最多是50 【答案】①④ 【分析】根据新定义数列，计算判断①，结合等差数列，单调性，周期数列计算判断②③④． 【详解】对于①，若是“数列”，当时，， ，若 当时，，所以， 当时，，所以， 当时，，所以， 故命题若是“数列”则为假命题，①正确； 对于②，若是“数列”且是等差数列，设公差为， 当时，，即， 当时，，则，，即， 此时，数列不单调递增，②错误； 对于③，若是“数列”且单调递减， 当时，，因为数列单调递减，所以. 当时，，因为数列单调递减，所以. 当时，，因为数列单调递减，所以. 可知数列不是等比数列，③错误； 对于④，若是“数列”且是周期数列，假设周期为， 当时，， 当时，，所以或 若时，当时，，所以或， 若时，当时，，所以或， 这样数列值会越来越大（非周期），所以 若时，当时，，所以或， 若时，当时，，所以或， 若时，当时，，所以或， 同理按此规律计算可得数列的取值可能是， 所以的元素个数最多是，④正确． 故选：①④． 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（满分13分）已知向量，. (1)求; (2)求; (3)若，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示即可得解； （2）求出，再根据空间向量的模的坐标表示即可得解； （3）由，可得，再根据数量积的运算律即可得解. 【详解】（1）由题意，. （2）由，，得， 则. （3）由，得，则，即，解得. 17．（满分14分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，分别为棱，的中点，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面平行的判定定理即可证明； （2）以点为坐标原点，、、分别为、、轴，如图建立空间直角坐标系.求出直线的方向向量和平面的法向量，由线面角的向量公式代入即可得出答案. 【详解】（1）证明：在四棱锥中， 取的中点，连接、， 因为是的中点，所以，且. 又因为底面是正方形，是的中点， 所以，且.所以. 所以四边形是平行四边形，所以. 由于平面，平面，所以平面. （2）因为底面是正方形，所以.又因为平面. 所以以点为坐标原点，、、分别为、、轴，如图建立空间直角坐标系. ，，，，，. ，， 设平面的法向量为.有：即令，则， 所以..设直线与平面所成角为. 有：. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18．（满分13分）已知圆过原点和点，圆心在轴上. (1)求圆的方程； (2)直线经过点，且被圆截得的弦长为6，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设圆的圆心坐标为，由已知列出方程，求得，进而求得半径，即可得出结果； （2）设出直线方程，利用垂径定理，列方程求出直线的斜率即可得出结果. 【详解】（1）设圆的圆心坐标为.依题意，在，解得 从而圆的半径为，所以圆的方程为. （2）依题意，圆C的圆心到直线的距离为4， 显然直线符合题意. 当直线的斜率存在时，设其方程为，即 所以解得，所以直线的方程为 综上，直线的方程为或. 19．（满分15分）已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，、、、分别是、、、的中点.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个条件作为已知.条件①：平面；条件②：；条件③：平面平面. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成锐二面角的大小； (3)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为，若存在， 求线段的长度；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2) (3)答案见解析. 【分析】（1）选条件①：平面，利用面面垂直的判定定理得到平面平面，再由，利用面面垂直的性质定理证明； 选条件②：，由，得到，又，得到平面，然后利用面面垂直的判定定理得到平面平面，再由，利用面面垂直的性质定理证明； 选条件③：平面平面，由，利用面面垂直的性质定理证明； （2）由（1）建立空间直角坐标系，求得平面EFG的一个法向量为，易知平面ABCD的一个法向量为，由求解； （3）设，，得到，由（2）知平面EFG的一个法向量为，由求解. 【详解】（1）证明：选条件①：平面， 又平面ABCD， 所以平面平面， 因为是正三角形， 且是的中点， 所以，又平面APD平面ABCD=AD，平面APD 所以平面； 选条件②：； 因为，所以， 则，又，且， 所以平面， 又平面ABCD， 所以平面平面， 因为是正三角形， 且是的中点， 所以，又平面APD平面ABCD=AD，平面APD 所以平面； 选条件③：平面平面. 因为是正三角形， 且是的中点， 所以，又平面APD平面ABCD=AD，平面APD 所以平面； （2）由（1）建立如图所示空间直角坐标系： 则， ， 所以， 设平面EFG的一个法向量为， 则，即， 令，则，所以， 易知平面ABCD的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面所成锐二面角为； （3）设，， 则， 由（2）知平面EFG的一个法向量为：， 所以直线与平面所成角的正弦值为， 即，整理得， 因为，所以方程无解，即不存在满足条件的点M. 20．（满分15分）已知椭圆E：的左右顶点分别为、，点M在E上（异于左右顶点）、且面积的最大值为2．过点M和点的直线l与E交于另外一点B，且B关于x轴的对称点为C． (1)求椭圆E的标准方程； (2)试判断直线MC是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由； (3)线段MC的长度能否为下列值：、？（直接写出结论即可） 【答案】(1) (2)直线MC过定点，定点坐标； (3)线段MC的长度能为，不能为. 【分析】（1）当在短轴的端点时，取得面积的最大值，表示出的面积即可求出的值，即可求出椭圆E的标准方程； （2）联立直线的方程和椭圆方程，化简写出根与系数关系，求得直线的方程，结合根与系数关系来判断出直线过定点. （3）求出的最大值和最小值即可得出答案. 【详解】（1）当在短轴的端点时，取得面积的最大值， 则，所以椭圆E的标准方程为：. （2），依题意可知直线的斜率存在且不为， 设直线的方程为，设， 消去并化简得， ， 直线的方程为， 根据椭圆的对称性可知，若直线过定点，则定点在轴上， 由此令得， 即 ， 所以定点为.    （3）因为直线MC过点，所以的最小值为过点且垂直轴与椭圆的交点， 令，则，解得：，故. 的最大值为长轴长，故， 所以，所以线段MC的长度能为，不能为. 21．（满分15分）已知有穷数列A：，，…，，满足（），若存在一个正整数k（），使得数列A中存在连续的k项与该数列中另一个连续的k项恰好按次序对应相等，则称数列A是“k阶可重复数列”.例如数列A：0, 1, 1, 0, 1, 1, 0.因为，，，，与，，，按次序对应相等，所以数列是“4阶可重复数列”. (1)判断数列A：1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1.是不是“5阶可重复数列”？如果是，请写出重复的这5项； (2)若项数为m的数列A一定是“3阶可重复数列”，则m的最小值是多少？说明理由； (3)假设数列A不是“4阶可重复数列”，若在其最后一项后再添加一项0或1，均可使新数列是“4阶可重复数列”，且，求数列A的最后一项的值. 【答案】(1)是，1，0，1，0，1 (2)11，理由见解析 (3)0 【分析】（1）根据条件及给出的新定义判断: （2）结合所给出的新定义，分类讨论可得结果: （3）用反证思想进行推理，可得，即得答案. 【详解】（1）解：数列A：1，1，0，1，0，1，0，1，1，1， 因为，，，，与，，，，按次序对应相等， 所以是“5阶可重复数列”，重复的这5项为1，0，1，0，1； （2）解：因为数列的每一项只可以是0或1，所以连续3项共有种不同的情形． 若，则数列中有9组连续3项，则这其中至少有两组按次序对应相等， 即项数为11的数列一定是“3阶可重复数列”； 若，数列0，0，1，0，1，1，1，0，0，0不是“3阶可重复数列”； 则时，均存在不是“3阶可重复数列”的数列． 所以，要使数列一定是“3阶可重复数列”，则m的最小值是11． （3）由于数列在其最后一项后再添加一项0或 1, 均可使新数列是“4 阶可重复数列”， 即在数列的末项后再添加一项0或1，则存在， 使得，，，与，，，0按次序对应相等， 或，，，与，，，1按次序对应相等， 如果，，与，，不能按次序对应相等, 那么必有，，使得，，、，，与，，按次序对应相等. 此时考虑，和，其中必有两个相同， 这就导致数列中有两个连续的四项恰按次序对应相等， 从而数列是“4 阶可重复数列”，这和题设中数列不是“4 阶可重复数列” 矛盾. 所以，，与，，按次序对应相等，从而. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷01 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题4分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共25分） 11．____________________ 12． ____________________ 13． ____________________ ____________________ 14．___________________ 15.____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（13分） 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷01 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 好 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题4分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][CD] 9[A][B][CD] 2 [A][B][C][D] 6A]B][C]D] 10[AB][C]D] 4 3[A][B][C][D] 7[A]B][C]D] 阙 4[A]B][C]D] 8[A]B][C]D] 三、 填空题（每小题5分，共25分） 11 12 警 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(13分) 17.(14分) 入 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(15分) E C 10 G 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷01 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ==▣===-====。。=-。====-。一=▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 口 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题4分，共40分）》 1[A][B][C][D] 5.[A][B][C1[D1 9.[A1[B][C1[D] 2.[A][B][C][D] 6.A][B][CJ[D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.A][B1[C1[D1 4.A][B1[CI[D] 8.A][B][C1[D1 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题5分，共25分） 11. 12. 13 14 15. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共6个小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16.(13分) 17.(14分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(15分) P E 0 0 A 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 0.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年高二数学上学期期末模拟01 参考答案 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C B D C A A B B A B 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11. 4 12． 13． ， 14. 1 15.①④ 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.（满分13分） 【详解】（1）由题意，.（3分） （2）由，，得， 则.（9分） （3）由，得，则，即，解得.（13分） 17．（满分14分） 【详解】（1）证明：在四棱锥中， 取的中点，连接、， 因为是的中点，所以，且. 又因为底面是正方形，是的中点， 所以，且.所以. 所以四边形是平行四边形，所以. 由于平面，平面，所以平面.（6分） （2）因为底面是正方形，所以.又因为平面. 所以以点为坐标原点，、、分别为、、轴，如图建立空间直角坐标系. ，，，，，. ，， 设平面的法向量为.有：即令，则， 所以..设直线与平面所成角为. 有：. 所以直线与平面所成角的正弦值为.（14分） 18．（满分13分） 【详解】（1）设圆的圆心坐标为.依题意，在，解得 从而圆的半径为，所以圆的方程为.（5分） （2）依题意，圆C的圆心到直线的距离为4， 显然直线符合题意. 当直线的斜率存在时，设其方程为，即 所以解得，所以直线的方程为 综上，直线的方程为或.（13分） 19．（满分15分） 【详解】（1）证明：选条件①：平面， 又平面ABCD， 所以平面平面， 因为是正三角形， 且是的中点， 所以，又平面APD平面ABCD=AD，平面APD 所以平面； 选条件②：； 因为，所以， 则，又，且， 所以平面， 又平面ABCD， 所以平面平面， 因为是正三角形， 且是的中点， 所以，又平面APD平面ABCD=AD，平面APD 所以平面； 选条件③：平面平面. 因为是正三角形， 且是的中点， 所以，又平面APD平面ABCD=AD，平面APD 所以平面；（5分） （2）由（1）建立如图所示空间直角坐标系： 则， ， 所以， 设平面EFG的一个法向量为， 则，即， 令，则，所以， 易知平面ABCD的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面所成锐二面角为；（11分） （3）设，， 则， 由（2）知平面EFG的一个法向量为：， 所以直线与平面所成角的正弦值为， 即，整理得， 因为，所以方程无解，即不存在满足条件的点M.（15分） 20．（满分15分） 【详解】（1）当在短轴的端点时，取得面积的最大值， 则，所以椭圆E的标准方程为：.（4分） （2），依题意可知直线的斜率存在且不为， 设直线的方程为，设， 消去并化简得， ， 直线的方程为， 根据椭圆的对称性可知，若直线过定点，则定点在轴上， 由此令得， 即 ， 所以定点为.（11分）    （3）因为直线MC过点，所以的最小值为过点且垂直轴与椭圆的交点， 令，则，解得：，故. 的最大值为长轴长，故， 所以，所以线段MC的长度能为，不能为.（15分） 21．（满分15分） 【详解】（1）解：数列A：1，1，0，1，0，1，0，1，1，1， 因为，，，，与，，，，按次序对应相等， 所以是“5阶可重复数列”，重复的这5项为1，0，1，0，1；（4分） （2）解：因为数列的每一项只可以是0或1，所以连续3项共有种不同的情形． 若，则数列中有9组连续3项，则这其中至少有两组按次序对应相等， 即项数为11的数列一定是“3阶可重复数列”； 若，数列0，0，1，0，1，1，1，0，0，0不是“3阶可重复数列”； 则时，均存在不是“3阶可重复数列”的数列． 所以，要使数列一定是“3阶可重复数列”，则m的最小值是11．（9分） （3）由于数列在其最后一项后再添加一项0或 1, 均可使新数列是“4 阶可重复数列”， 即在数列的末项后再添加一项0或1，则存在， 使得，，，与，，，0按次序对应相等， 或，，，与，，，1按次序对应相等， 如果，，与，，不能按次序对应相等, 那么必有，，使得，，、，，与，，按次序对应相等. 此时考虑，和，其中必有两个相同， 这就导致数列中有两个连续的四项恰按次序对应相等， 从而数列是“4 阶可重复数列”，这和题设中数列不是“4 阶可重复数列” 矛盾. 所以，，与，，按次序对应相等，从而.（15分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷01 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册+数列。 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知点关于轴的对称点为，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．方程表示的圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A． B． C． D． 3．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若直线与平面垂直，则实数的值为（　　） A． B． C． D． 4．若焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程为，则其离心率为（   ） A． B． C． D．2 5．等差数列中，若，，则其公差等于（   ） A．2 B．3 C．6 D．18 6．设，则“”是直线与直线平行的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知圆，圆，则圆与圆的位置关系为（    ） A．外离 B．相交 C．外切 D．内含 8．如图，在平行六面体中，与的交点为点，设，，，则下列向量中与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 9．已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 10．2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的LOGO（如图所示），设计师的灵感来源于曲线．当，，时，给出下列四个结论： ①曲线C关于原点对称； ②曲线C所围成的封闭图形的面积小于24； ③曲线C上的点到原点O的距离的最大值为3； ④设，直线交曲线C于P，Q两点，则的周长大于12． 其中正确结论的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．抛物线的焦点到其准线的距离为 ． 12．已知是等差数列，公差不为零.若，，成等比数列，且，则数列的通项公式是 . 13．光线从点射到轴上，经反射后经过点，则反射光线所在直线的方程为 ，光线从到的路线长度为 . 14．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则点到平面的距离题 ．    15．若无穷数列满足：，当时，，则称是“数列”，则下列正确的有 ①．若是“数列”则为假命题 ②．若是“数列”且是等差数列，则单调递增 ③．若是“数列”且单调递减，则是等比数列 ④．若是“数列”且是周期数列，则集合的元素个数最多是50 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（满分13分）已知向量，. (1)求; (2)求; (3)若，求的值. 17．（满分14分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，分别为棱，的中点，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 18．（满分13分）已知圆过原点和点，圆心在轴上. (1)求圆的方程； (2)直线经过点，且被圆截得的弦长为6，求直线的方程. 19．（满分15分）已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，、、、分别是、、、的中点.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个条件作为已知.条件①：平面；条件②：；条件③：平面平面. (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成锐二面角的大小； (3)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为，若存在， 求线段的长度；若不存在，说明理由. 20．（满分15分）已知椭圆E：的左右顶点分别为、，点M在E上（异于左右顶点）、且面积的最大值为2．过点M和点的直线l与E交于另外一点B，且B关于x轴的对称点为C． (1)求椭圆E的标准方程； (2)试判断直线MC是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由； (3)线段MC的长度能否为下列值：、？（直接写出结论即可） 21．（满分15分）已知有穷数列A：，，…，，满足（），若存在一个正整数k（），使得数列A中存在连续的k项与该数列中另一个连续的k项恰好按次序对应相等，则称数列A是“k阶可重复数列”.例如数列A：0, 1, 1, 0, 1, 1, 0.因为，，，，与，，，按次序对应相等，所以数列是“4阶可重复数列”. (1)判断数列A：1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1.是不是“5阶可重复数列”？如果是，请写出重复的这5项； (2)若项数为m的数列A一定是“3阶可重复数列”，则m的最小值是多少？说明理由； (3)假设数列A不是“4阶可重复数列”，若在其最后一项后再添加一项0或1，均可使新数列是“4阶可重复数列”，且，求数列A的最后一项的值. / 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷01 答题卡 ! 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×1【1【/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1[AJ[B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[AJ[BJ[C][D] 6[A]IB][C][D] 10.[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7AJIBIIC]ID] 4[AJ[B]IC][D] 8.[A][B1[CI[D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题5分，共25分） 11. 12. 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共6个小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.(13分) 17.(14分) >D B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(15分) E D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 0.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！