学易金卷：高二数学上学期期末模拟卷01（沪教版）【沪教版必修三全部，选择性必修一第3～4章空间向量、数列 】

2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷01 数 学（沪教版）·答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] * 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 19． （14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（18分） 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页）1 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷01（沪教版） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修第三册（第10章 空间直线与平面，第11章 简单几何体，第12章 概率初步，第13章 统计）；沪教版选择性必修第一册（第3章 空间向量及其应用，第4章 数列，） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果. 1. 必然事件发生的概率为 2. 等差数列的公差为2，记前n项的和为，若，则 . 3. 已知球的半径为2，则该球的体积为 4. 现有甲、乙两组数据．甲组数据有6个数，其平均数为3，方差为5；乙组数据有9个数，其平均数为5，方差为3．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为 5. 如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是 6. 已知圆柱的底面圆的半径与球的半径相等，若圆柱的表面积与球的表面积也相等，则圆柱的体积与球的体积之比 ． 7. 已知向量，，若与共线，则实数的值为 . 8. 某运动员在某次男子10米气手枪射击比赛中的得分数据（单位：环）如茎叶图所示，则这组数据的平均数为 ． 9. 甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层随机抽样抽取一个容量为90的样本，应在丙校抽取学生人数为 ． 10. 某科研攻关项目中遇到一个问题，请了甲、乙两位专家单独解决此问题，若甲、乙能解决此问题的概率分别为m，n，则此问题被解决的概率为 11. 设首项不为零的等差数列{an}的前n项和是Sn，若不等式＋≥对任意an和正整数n恒成立，则实数λ的最大值为 . 12. 如图，已知三棱锥的所有棱长均相等，点满足，点在棱上运动，设与平面所成的角为，则的最大值为 . 二、选择题（本大题共有4题，满分18分．其中第13、14题每题满分4分，第15、16题每题满分5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分. 13. “平面内有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面内”用符号语言表述是（    ） A． B． C． D． 14. 某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个.命中个数的茎叶图如下图，则下面结论中错误的一个是（   ） A．甲的极差是29 B．甲的中位数是24 C．甲罚球命中率比乙高 D．乙的众数是21 15. 有一组样本数据：，其平均数为2024．由这组数据得到新的样本数据：，2024，那么这两组数据一定有相同的（    ） A．极差 B．中位数 C．方差 D．众数 16．设等差数列的前项和为，首项，公差，若对任意的正整数，总存在正整数，使，则的最小值为　　 A． B． C． D． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. （本题满分14分） 某地教育部门对某学校学生的阅读素养进行检测，在该校随机抽取了名学生进行检测，实行百分制，现将所得的成绩按照分成6组，并根据所得数据作出了如下所示的频数与频率的统计表和频率分布直方图． （1）求出表中及图中的值； （2）估计该校学生阅读素养的成绩中位数以及平均数． 18.（本题满分14分） 已知正四棱柱的底面边长为1，点、分别在边、上，且，． （1）证明：平面； （2）若2，求直线与平面所成角的正弦值． 19. （本题满分14分） 如图，在中，，，，将绕轴旋转一周形成了一个旋转体. （1）求这个旋转体的体积； （2）求这个旋转体的表面积. 20. （本题满分18分） 在乒乓球比赛中，一个发球回合时长是指从运动员发球开始，到其中一方得分为止的时间．现记录一场比赛中运动员连续10个发球回合时长（单位：秒），数据如下：3.2，4.7，5.3，4.1，5.8，9.6，12.4，6.5，7.2，8.9． （1）求这组数据的极差和中位数； （2）如果定义一个发球回合时长超过5.0秒为“长发球回合”，那么从这10个发球回合时长中随机抽取3个，求至少有2个是“长发球回合”的概率； （3）假设甲乙运动员相约进行一次比赛，比赛有两种赛制可选：①一局定胜负：只打一局，胜者赢得比赛；②三局两胜：先赢得两局者为胜，最多打三局．若甲在一局中获胜的概率为．从甲的角度考虑，哪种赛制对他更有利？请说明理由． 21. （本题满分18分） 已知是公差为2的等差数列，数列的前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）求； （3）[x]表示不超过的最大整数，当时，是定值，求正整数的最小值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷01（沪教版） 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修第三册（第10章 空间直线与平面，第11章 简单几何体，第12章 概率初步，第13章 统计）；沪教版选择性必修第一册、第二册（第3章 空间向量及其应用，第4章 数列，） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果. 1. 必然事件发生的概率为 【提示】直接根据必然事件和不可能事件的概念得答案. 【答案】1； 【解析】必然事件是一定会发生的事件，其发生的概率为1； 故答案为：1； 【说明】本题考查了确定性事件与随机事件的概率 2. 等差数列的公差为2，记前n项的和为，若，则 . 【提示】利用等差数列的求和公式和等差中项性质，及等差数列的通项公式即可求解； 【答案】 【解析】由等差数列的求和公式得：， ，因为等差数列的公差:, 又由等差数列的通项公式可得：，所以解得. 故答案为： 【说明】本题考查了等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算 3. 已知球的半径为2，则该球的体积为 【提示】根据球的体积公式即可求得答案； 【答案】 【解析】球的半径为2，则该球的体积为, 【说明】本题考查了球的体积的有关计算 4. 现有甲、乙两组数据．甲组数据有6个数，其平均数为3，方差为5；乙组数据有9个数，其平均数为5，方差为3．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为 【提示】由分层抽样中数据方差的计算公式计算即可； 【答案】4.76 【解析】设甲、乙组平均数分别为，方差分别为，两组数据混合成一组的平均数为，方差为，则，，， 则， 【说明】本题考查了计算几个数据的极差、方差、标准差、计算几个数的平均数 5. 如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是 【提示】由组合体结构特征，用一个平面截几何体，根据平面不同截法判断截面轮廓，即可得答案. 【答案】①⑤ 【解析】一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形去掉上侧一条边，而圆锥的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分，且三角形顶点必在矩形下侧底边中点上、抛物线顶点不可能在矩形下侧底边上． 故答案为：①⑤ 【说明】本题考查了组合体截面的形状、圆锥的结构特征辨析、圆柱的结构特征辨析 6. 已知圆柱的底面圆的半径与球的半径相等，若圆柱的表面积与球的表面积也相等，则圆柱的体积与球的体积之比 ． 【提示】根据圆柱的侧面积公式和球的表面积公式得出半径等于圆柱的高，再根据体积公式化简即可. 【答案】 【解析】设圆柱的底面圆和球的半径为，圆柱的高为， 则由题意得，，则， 则. 故答案为： 【说明】本题考查了球的表面积的有关计算、球的体积的有关计算、柱体体积的有关计算、圆柱表面积的有关计算 7. 已知向量，，若与共线，则实数的值为 . 【提示】根据空间向量共线，设，得到方程组，求出. 【答案】2 【解析】因为与共线，所以存在，使得， 即，故，解得. 故答案为：2 【说明】本题考查了空间向量平行的坐标表示 8. 某运动员在某次男子10米气手枪射击比赛中的得分数据（单位：环）如茎叶图所示，则这组数据的平均数为 ． 【提示】先读取茎叶图得到数据，再利用平均数公式求解平均数即可. 【答案】 【解析】由题意得得分数据分别为， 则平均数为. 故答案为： 【说明】本题考查了由茎叶图计算平均数 9. 甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层随机抽样抽取一个容量为90的样本，应在丙校抽取学生人数为 ． 【提示】根据分层抽样的比例，列式求得答案. 【答案】15 【解析】由题意可设在丙校抽取学生人数为n， 则 ，解得 ， 故答案为：15 【说明】本题考查抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 10. 某科研攻关项目中遇到一个问题，请了甲、乙两位专家单独解决此问题，若甲、乙能解决此问题的概率分别为m，n，则此问题被解决的概率为 【提示】利用概率的基本性质及相互独立事件的概率公式计算即得. 【答案】 【解析】记事件“甲专家独立解决”，事件“乙专家独立解决”， 则，而相互独立，即， 所以，即问题被解决的概率为. 故答案为： 【说明】本题考查了独立事件的乘法公式、概率的基本性质 11. 设首项不为零的等差数列{an}的前n项和是Sn，若不等式＋≥对任意an和正整数n恒成立，则实数λ的最大值为 . 【答案】 【解析】在等差数列{an}中，首项不为零， 即a1≠0，则数列的前n项和为. 由不等式＋≥，可得：， 则：，即：， 令，换元可得：， 结合恒成立的结论有：，即λ的最大值为. 【说明】本题考查了等差数列与等比数列综合应用 12. 如图，已知三棱锥的所有棱长均相等，点满足，点在棱上运动，设与平面所成的角为，则的最大值为 . 【提示】作出直线与平面所成的角，解直角三角形求得的表达式，由此求得的最大值. 【答案】 【解析】依题意可知，该几何体为正四面体，设顶点在底面的射影是，是底面中心，连接，过作，交于，连接. 设正四面体的棱长为，.在三角形中， 由余弦定理得.由于平面，所以平面，， 所以是直线与平面所成的角， 设为.在三角形中，， 所以.所以. 所以当时，的最大值为. 故答案为： 【说明】本题主要考查直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查最值的求法，本题综合考查了余弦定理解三角形、求线面角 二、选择题（本大题共有4题，满分18分．其中第13、14题每题满分4分，第15、16题每题满分5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分. 13. “平面内有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面内”用符号语言表述是（    ） A． B． C． D． 【提示】由点线面的关系把文字语言翻译成符号语言即可. 【答案】C 【解析】平面内有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面内， 符号表达为：，， 故选：C 【说明】本题考查了平面的概念及其表示 14. 某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个.命中个数的茎叶图如下图，则下面结论中错误的一个是（   ） A．甲的极差是29 B．甲的中位数是24 C．甲罚球命中率比乙高 D．乙的众数是21 【提示】通过茎叶图找出甲的最大值及最小值求出极差判断出A对；找出甲中间的两个数，求出这两个数的平均数即数据的中位数，判断出D错；根据图的数据分布，判断出甲的平均值比乙的平均值大，判断出C对． 【答案】B 【解析】由茎叶图知 甲的最大值为37，最小值为8，所以甲的极差为29，故A对 甲中间的两个数为22，24，所以甲的中位数为故B不对 甲的命中个数集中在20而乙的命中个数集中在10和20，所以甲的平均数大，故C对 乙的数据中出现次数最多的是21，所以D对 故选B． 【说明】茎叶图的优点是保留了原始数据，便于记录及表示，能反映数据在各段上的分布情况．茎叶图不能直接反映总体的分布情况，这就需要通过茎叶图给出的数据求出数据的数字特征，进一步估计总体情况； 本题考查了观察茎叶图比较数据的特征、由茎叶图计算中位数 15. 有一组样本数据：，其平均数为2024．由这组数据得到新的样本数据：，2024，那么这两组数据一定有相同的（    ） A．极差 B．中位数 C．方差 D．众数 【提示】由题意不妨设，由极差、中位数、方差以及众数的概念并结合的平均数为2024，即可逐一判断各个选项. 【答案】A 【解析】对于A，不妨设已经按照从小到大的顺序排列好了， 由其平均数为2024可知，， 所以两组数据的极差都是，故A正确； 对于B，取为满足题设， 但是的中位数为2023， 的中位数为，故B错误； 对于C，结合B选项以及题设可知， 的平均数是2024，  的平均数也是2024， 的方差为， 的方差为，故C错误； 对于D，的众数是2029， 的众数是2024，2029，故D错误. 故选：A. 【说明】本题考查了计算几个数据的极差、方差、标准差、计算几个数的平均数、计算几个数的中位数 16．设等差数列的前项和为，首项，公差，若对任意的正整数，总存在正整数，使，则的最小值为　　 A． B． C． D． 【提示】首先求得，令，化简得到，由，得，，再利用等差数列前项和公式得到，利用二次函数的性质能求出结果． 【答案】D 【解析】由题意得， 则，即， 令，得，即，① 即， ，，，即， ，，代入①，得， 当时，， ， 即，， ， 当或时，的最小值为． 故选：D． 【说明】本题考查了求等差数列前n项和、确定数列中的最大（小）项 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. （本题满分14分） 某地教育部门对某学校学生的阅读素养进行检测，在该校随机抽取了名学生进行检测，实行百分制，现将所得的成绩按照分成6组，并根据所得数据作出了如下所示的频数与频率的统计表和频率分布直方图． （1）求出表中及图中的值； （2）估计该校学生阅读素养的成绩中位数以及平均数． 【提示】（1）根据样本总体和频数，频率的定义结合频率和为1计算得到答案． （2）根据平均数和中位数的定义计算得到答案． 【答案】（1）；（2）中位数是，平均数是68.5． 【解析】（1）；； ，解得．【6分】 （2）设中位数为，则，解得； 平均数为： ．【14分】 【说明】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图估计平均数 18.（本题满分14分） 已知正四棱柱的底面边长为1，点、分别在边、上，且，． （1）证明：平面； （2）若2，求直线与平面所成角的正弦值． 【提示】（1）根据平行线的性质可得，进而可证线面平行； （2）方法一：建系标点，求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角；方法二：利用等体积法求点到平面的距离，进而求线面夹角. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）因为，，则，可得， 且平面，平面，所以平面.【6分】 （2）方法一：以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示：    则， 可得， 设平面的法向量为，则， 令，则，，可得， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值是．【14分】 方法二：由题意可知：，，， 则， ， 设点到平面的距离为， 因为三棱锥的体积即为三棱锥-的体积， 则，解得， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值．【14分】 【说明】求线面角、线面角的向量求法、证明线面平行、求点面距离 19. （本题满分14分） 如图，在中，，，，将绕轴旋转一周形成了一个旋转体. （1）求这个旋转体的体积； （2）求这个旋转体的表面积. 【提示】（1）旋转体是两个圆锥的组合体，利用圆锥的体积计算旋转体的体积（2）利用圆锥的表面积计算旋转体的表面积； 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）绕轴旋转一周，形成的几何体（一个大圆锥挖去一个小圆锥余下的部分） 如图所示.在中，，，， . 设旋转体的底面面积为，旋转得到同底的两圆锥的侧面积分别为和，则旋转体的体积 .【8分】 （2）由（1）得旋转体的表面积 . 【14分】 【说明】本题考查了圆锥表面积的有关计算、求旋转体的体积 20. （本题满分18分） 在乒乓球比赛中，一个发球回合时长是指从运动员发球开始，到其中一方得分为止的时间．现记录一场比赛中运动员连续10个发球回合时长（单位：秒），数据如下：3.2，4.7，5.3，4.1，5.8，9.6，12.4，6.5，7.2，8.9． （1）求这组数据的极差和中位数； （2）如果定义一个发球回合时长超过5.0秒为“长发球回合”，那么从这10个发球回合时长中随机抽取3个，求至少有2个是“长发球回合”的概率； （3）假设甲乙运动员相约进行一次比赛，比赛有两种赛制可选：①一局定胜负：只打一局，胜者赢得比赛；②三局两胜：先赢得两局者为胜，最多打三局．若甲在一局中获胜的概率为．从甲的角度考虑，哪种赛制对他更有利？请说明理由． 【提示】（1）根据极差和中位数的计算公式即可求解； （2）根据古典概型的概率的计算公式结合组合数公式即可求解； （3）分别计算一局定输赢和三局两胜情况下甲获胜的概率，比较大小. 【答案】（1），；（2）；（3）一局定胜负对甲更有利 【解析】（1）将题中数据按从小到大的排序排列得： 3.2，4.1，4.7，5.3，5.8，6.5，7.2，8.9，9.6，12.4． 故极差为；中位数为.【4分】 （2）因为长发球回合数，短发球回合数， 所以从 10 个中随机抽取 3 个，至少有 2 个是长发球回合的概率为： ；【10分】 （3）对于甲来说，一局定胜负的情况下，赢得比赛的概率为， 三局两胜的情况下，赢得比赛的概率为， 则， 因为，所以，即， 所以一局定胜负对甲更有利. 【18分】 【说明】本题考查了计算古典概型问题的概率、独立事件的乘法公式、计算几个数的中位数、计算几个数据的极差、方差、标准差 21. （本题满分18分） 已知是公差为2的等差数列，数列的前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）求； （3）[x]表示不超过的最大整数，当时，是定值，求正整数的最小值． 【提示】（1）先由是公差为2的等差数列，求得递推关系，再利用叠加法求得，进而得到的通项公式； （2）法一：两次利用错位相减法即可求得数列的前项和为；法二：构造得，再利用裂项相消法即可得解； （3）利用数列单调性结合题给条件即可求得正整数的最小值. 【答案】（1）；（2）；（3）7 【解析】（1）设，则． 因为是公差为2的等差数列，所以． 设，则， 所以时， ． 所以，即， 又，满足上式，所以【6分】 （2）（方法一）因为， 所以 两式相减得． 设， 则， 两式相减得 ， 则． 所以，即． （方法二）因为，【12分】 所以． 所以 则， 即．【12分】 （3）当时，，且，所以的定值为9． 所以当时，． 令，则， ， 所以单调递减． 因为，所以，即正整数的最小值为【18分】 【说明】本题综合考查了根据数列的单调性求参数、错位相减法求和、求等比数列前n项和、累加法求数列通项 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷01（沪教版） （考试时间：120分钟，分值：150分） 参考答案 一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果. 1. 【答案】1； 2. 【答案】 3. 【答案】 4. 【答案】4.76 5. 【答案】①⑤ 6. 【答案】 7. 【答案】2 8. 【答案】 9. 【答案】15 10. 【答案】 11. 【答案】 12. 【答案】 二、选择题（本大题共有4题，满分18分．其中第13、14题每题满分4分，第15、16题每题满分5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分. 13 14 15 16 C B A D 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. （本题满分14分） 【提示】（1）根据样本总体和频数，频率的定义结合频率和为1计算得到答案． （2）根据平均数和中位数的定义计算得到答案． 【答案】（1）；（2）中位数是，平均数是68.5． 【解析】（1）；； ，解得．【6分】 （2）设中位数为，则，解得； 平均数为： ．【14分】 【说明】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图估计平均数 18.（本题满分14分） 【提示】（1）根据平行线的性质可得，进而可证线面平行； （2）方法一：建系标点，求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角；方法二：利用等体积法求点到平面的距离，进而求线面夹角. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）因为，，则，可得， 且平面，平面，所以平面.【6分】 （2）方法一：以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示：    则， 可得， 设平面的法向量为，则， 令，则，，可得， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值是．【14分】 方法二：由题意可知：，，， 则， ， 设点到平面的距离为， 因为三棱锥的体积即为三棱锥-的体积， 则，解得， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值．【14分】 【说明】求线面角、线面角的向量求法、证明线面平行、求点面距离 19. （本题满分14分） 【提示】（1）旋转体是两个圆锥的组合体，利用圆锥的体积计算旋转体的体积（2）利用圆锥的表面积计算旋转体的表面积； 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）绕轴旋转一周，形成的几何体（一个大圆锥挖去一个小圆锥余下的部分） 如图所示.在中，，，， . 设旋转体的底面面积为，旋转得到同底的两圆锥的侧面积分别为和，则旋转体的体积 .【8分】 （2）由（1）得旋转体的表面积 . 【14分】 【说明】本题考查了圆锥表面积的有关计算、求旋转体的体积 20. （本题满分18分） 【提示】（1）根据极差和中位数的计算公式即可求解； （2）根据古典概型的概率的计算公式结合组合数公式即可求解； （3）分别计算一局定输赢和三局两胜情况下甲获胜的概率，比较大小. 【答案】（1），；（2）；（3）一局定胜负对甲更有利 【解析】（1）将题中数据按从小到大的排序排列得： 3.2，4.1，4.7，5.3，5.8，6.5，7.2，8.9，9.6，12.4． 故极差为；中位数为.【4分】 （2）因为长发球回合数，短发球回合数， 所以从 10 个中随机抽取 3 个，至少有 2 个是长发球回合的概率为： ；【10分】 （3）对于甲来说，一局定胜负的情况下，赢得比赛的概率为， 三局两胜的情况下，赢得比赛的概率为， 则， 因为，所以，即， 所以一局定胜负对甲更有利. 【18分】 【说明】本题考查了计算古典概型问题的概率、独立事件的乘法公式、计算几个数的中位数、计算几个数据的极差、方差、标准差 21. （本题满分18分） 【提示】（1）先由是公差为2的等差数列，求得递推关系，再利用叠加法求得，进而得到的通项公式； （2）法一：两次利用错位相减法即可求得数列的前项和为；法二：构造得，再利用裂项相消法即可得解； （3）利用数列单调性结合题给条件即可求得正整数的最小值. 【答案】（1）；（2）；（3）7 【解析】（1）设，则． 因为是公差为2的等差数列，所以． 设，则， 所以时， ． 所以，即， 又，满足上式，所以【6分】 （2）（方法一）因为， 所以 两式相减得． 设， 则， 两式相减得 ， 则． 所以，即． （方法二）因为，【12分】 所以． 所以 则， 即．【12分】 （3）当时，，且，所以的定值为9． 所以当时，． 令，则， ， 所以单调递减． 因为，所以，即正整数的最小值为【18分】 【说明】本题综合考查了根据数列的单调性求参数、错位相减法求和、求等比数列前n项和、累加法求数列通项 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷01 ----------- 数学（沪教版）·答题卡 姓名： 贴条形码区 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 ! 员所粘贴的条形码。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂；非选 准考证号 择题必须用0.5mm黑色签字笔答 注意事 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 体工整、笔迹清晰。 0 0 0 3.请按题号顺序在各题目的答题区域 内作答，超出区域书写的答案无 123 123 123 123 123 123 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 5 5 5 5 5 破。 5 正确填涂 67 678 6789 678 6789 123456789 123456789 123456789 012345678 8 78 缺考标记 9 9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12 题每题5分) ! 7. 10 期 二、选择题（本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16 题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13[AJ[B][C][D] 14[A][B][C]D] 15[A][B][C][D] 16[A][B][C][D] 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形框限定区域的答案无效！ 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、 21题每题18分.) 17.(14分) 频率 组距 0.030----- 0.025 0.010 0.005 0 4050607080 90100成绩/分 分组 频数 频率 [40,50) [50,60) 25 p [60,70) 0.30 [70,80) m n [80,90) 10 0.10 [90,100) 合计 M 1 数学第2页（共6页） ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(14分) D C A B D B 数学第3页（共6页） 学校 班级 姓名 准考证号 密 封 线 UUUI 1!. E14) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(18分) 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(18分) 数学第6页（共6页） ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷01（沪教版） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修第三册（第10章 空间直线与平面，第11章 简单几何体，第12章 概率初步，第13章 统计）；沪教版选择性必修第一册（第3章 空间向量及其应用，第4章 数列，） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果. 1. 必然事件发生的概率为 2. 等差数列的公差为2，记前n项的和为，若，则 . 3. 已知球的半径为2，则该球的体积为 4. 现有甲、乙两组数据．甲组数据有6个数，其平均数为3，方差为5；乙组数据有9个数，其平均数为5，方差为3．若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为 5. 如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是 6. 已知圆柱的底面圆的半径与球的半径相等，若圆柱的表面积与球的表面积也相等，则圆柱的体积与球的体积之比 ． 7. 已知向量，，若与共线，则实数的值为 . 8. 某运动员在某次男子10米气手枪射击比赛中的得分数据（单位：环）如茎叶图所示，则这组数据的平均数为 ． 9. 甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层随机抽样抽取一个容量为90的样本，应在丙校抽取学生人数为 ． 10. 某科研攻关项目中遇到一个问题，请了甲、乙两位专家单独解决此问题，若甲、乙能解决此问题的概率分别为m，n，则此问题被解决的概率为 11. 设首项不为零的等差数列{an}的前n项和是Sn，若不等式＋≥对任意an和正整数n恒成立，则实数λ的最大值为 . 12. 如图，已知三棱锥的所有棱长均相等，点满足，点在棱上运动，设与平面所成的角为，则的最大值为 . 二、选择题（本大题共有4题，满分18分．其中第13、14题每题满分4分，第15、16题每题满分5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分. 13. “平面内有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面内”用符号语言表述是（    ） A． B． C． D． 14. 某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个.命中个数的茎叶图如下图，则下面结论中错误的一个是（   ） A．甲的极差是29 B．甲的中位数是24 C．甲罚球命中率比乙高 D．乙的众数是21 15. 有一组样本数据：，其平均数为2024．由这组数据得到新的样本数据：，2024，那么这两组数据一定有相同的（    ） A．极差 B．中位数 C．方差 D．众数 16．设等差数列的前项和为，首项，公差，若对任意的正整数，总存在正整数，使，则的最小值为　　 A． B． C． D． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. （本题满分14分） 某地教育部门对某学校学生的阅读素养进行检测，在该校随机抽取了名学生进行检测，实行百分制，现将所得的成绩按照分成6组，并根据所得数据作出了如下所示的频数与频率的统计表和频率分布直方图． （1）求出表中及图中的值； （2）估计该校学生阅读素养的成绩中位数以及平均数． 18.（本题满分14分） 已知正四棱柱的底面边长为1，点、分别在边、上，且，． （1）证明：平面； （2）若2，求直线与平面所成角的正弦值． 19. （本题满分14分） 如图，在中，，，，将绕轴旋转一周形成了一个旋转体. （1）求这个旋转体的体积； （2）求这个旋转体的表面积. 20. （本题满分18分） 在乒乓球比赛中，一个发球回合时长是指从运动员发球开始，到其中一方得分为止的时间．现记录一场比赛中运动员连续10个发球回合时长（单位：秒），数据如下：3.2，4.7，5.3，4.1，5.8，9.6，12.4，6.5，7.2，8.9． （1）求这组数据的极差和中位数； （2）如果定义一个发球回合时长超过5.0秒为“长发球回合”，那么从这10个发球回合时长中随机抽取3个，求至少有2个是“长发球回合”的概率； （3）假设甲乙运动员相约进行一次比赛，比赛有两种赛制可选：①一局定胜负：只打一局，胜者赢得比赛；②三局两胜：先赢得两局者为胜，最多打三局．若甲在一局中获胜的概率为．从甲的角度考虑，哪种赛制对他更有利？请说明理由． 21. （本题满分18分） 已知是公差为2的等差数列，数列的前项和为，且． （1）求的通项公式； （2）求； （3）[x]表示不超过的最大整数，当时，是定值，求正整数的最小值． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $