学易金卷：高二数学上学期期末模拟卷01（上海专用）【沪教版必修三全部，选择性必修一第3～4章空间向量、数列 】

2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷01（上海专用） 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版选择性必修中立体几何 空间向量 数列 概率统计 一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果. 1. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的高为 . 【提示】画出直观图，结合斜二测画法的定义得到答案. 【答案】 【解析】画出直观图如下： 为该平面图形的高，. 故答案为： 【说明】本题考查了由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算 2. 一个袋子中有4个红球，个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球．已知取出的2个球都是红球的概率为，那么 ． 【提示】根据古典概型公式列方程求解. 【答案】6 【解析】设事件“两次取出的都是红球”，则. 因为，所以， 所以，解得． 故答案为：6. 【说明】计算古典概型问题的概率、有放回与无放回问题的概率 3. 若数列是首项为1，公比为2的等比数列，记其前n项和为，则 ． 【提示】利用等比数列的前项和公式可求. 【答案】 【解析】因为为等比数列，故， 故答案为：. 【说明】本题考查了求等比数列前n项和 4. 若一个球的半径为，则它的体积为 ． 【提示】由球的体积公式可得. 【答案】 【解析】由球的半径， 得, 故答案为：. 【说明】本题考查了球的体积的有关计算 5. 已知向量，若，则实数的值为 ． 【提示】根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律及坐标表示，列式求解作答. 【答案】 【解析】向量，则，， 因为，则，解得， 所以实数的值为. 故答案为： 【说明】本题考查了空间向量模长的坐标表示、空间向量的坐标运算、空间向量数量积的应用 6. 在空间直角坐标系中，向量（）在面上的投影向量为，在向量上的投影向量为，则与的夹角为 . 【提示】先求出的坐标，利用向量夹角的余弦公式求出其夹角即可. 【答案】 【解析】由题意有：向量在面上的投影向量为， 向量在向量上的投影向量为， 所以， 所以与的夹角为. 故答案为：. 【说明】本题考查了向量夹角的计算、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、求投影向量 7. 有一组数据，其平均数为3 ，方差为2，则新的数据 的方差为 . 【提示】由已知得，， 然后计算的平均数和方差可得答案. 【答案】2 【解析】由已知得，， 所以， . 故答案为：2. 【说明】计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差 8. 国南北朝时期的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，将底面半径都为b，高都为的半椭球（左侧图）和已被挖去了圆锥的圆柱右侧图）（被挖去的圆锥以圆柱的上底面为底面，下底面的圆心为顶点）放置于同一平面上，用平行于平面且与平面任意距离d处的平面截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环，可以证明总成立．据此，图中圆柱体（右侧图）的底面半径b为2，高a为3，则该半椭球体（左侧图）的体积为 ． 【提示】利用圆柱、圆锥的体积公式，即可得出结论． 【答案】 【解析】根据题意，因为总成立， 所以半椭球体的体积为， 由题意知：，， 所以半椭球体的体积为：． 故答案为：． 【说明】本题考查了锥体体积的有关计算、柱体体积的有关计算 9. 如图，已知正三棱柱的底面边长为1cm，高为5cm，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为 . 【提示】曲面最值问题一般都化曲为平，变成两点间线段最短. 【答案】 【解析】 如图将正三棱柱侧面展开2次，可知曲面上的最小值即为对角线= 故答案为： 【说明】本题考查了棱柱的展开图及最短距离问题 10. 如图，长方体下底面边长分别为4，6，侧棱长为3．点在棱上运动，点在底面上运动，，则中点的轨迹形成图形的面积为 ． 【提示】由于点的高低对中点不产生影响，故压扁平行六面体得到平行四边形,固定点（或），运动另一点（或）即得轨迹为曲边四边形，画出图形. 【答案】． 【解析】由于点的高低对中点不产生影响，故也可以考虑压扁平行六面体得到平行四边形． 由于，故投影长为4，再分别固定点（或），运动另一点（或）， 即得轨迹为曲边四边形（图19中阴影部分）． 面积为． 【说明】本题考查了立体几何中的轨迹问题 11. 在棱长为1的正方体中，E、F分别为棱、的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为 . 【提示】以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点到平面的距离． 【答案】 【解析】以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，0，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则 令，则，，所以平面的一个法向量． 点到平面的距离为． 故答案为: . 【说明】本题考查了点到平面距离的向量求法 12. 已知数列的前n项和为，且不是常数列，则以下命题正确的是 ． ①若数列为等差数列，则为等比数列； ②若数列为等差数列，恒成立，则是严格增数列； ③若数列为等比数列，则为等差数列； ④若数列为等差数列，，，则的最大值在n为8或9时取到． 【提示】定义法求出，即可说明①；反证法，证明不成立，即可说明②；当数列中有负数项， 无意义，即可判断③；根据等差数列的性质可得，，进而结合已知可得.即可得出的符号，进而判断④. 【答案】①②④ 【解析】对于①，设公差为，则， 则是个常数，所以为等比数列，故①正确； 对于②，设，已知恒成立，显然有. 有， 则当时，有，即， 有， 与已知恒成立，矛盾， 所以，假设不成立，所以. 所以是严格增数列，故②正确； 对于③，数列为等比数列，若中有负数项时，则无意义； 故③错误； 对于④，数列为等差数列，由可得，， 所以. 又，所以. 且当时，；当时，. 所以，的最大值在n为8或9时取到，故④正确. 故答案为：①②④. 【说明】本题考查了反证法证明、由定义判定等比数列、等差数列的单调性、判断等差数列 二、选择题（本大题共有4题，满分18分．其中第13、14题每题满分4分，第15、16题每题满分5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分. 13. 我国古代数学名著《九章算术》商功一章中介绍了圆堡壔（dao，即圆柱体）：“今有圆堡壔，周四丈八尺，高一丈一尺”，翻译为白话文为“已知圆柱体，底面周长为4丈8尺，高为1丈1尺”，现在设该圆柱体的两个底面的圆周在同一个球面上，则该球的表面积约为（     ）（注：取3，1丈尺）（    ） A．平方尺 B．1131平方尺 C．337平方尺 D．平方尺 【提示】由题，记该圆柱体的底面半径为r，球体的半径为R，则，. 【答案】B 【解析】记该圆柱体的底面半径为r，则，， 圆柱体的高h为11尺，记球体的半径为R， 则， 球的表面积为（平方尺）． 故选：B． 【说明】本题考查了球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 14. 甲、乙两人独立地解决同一个问题，甲能解决这个问题的概率是，乙能解决这个问题的概率是，那么至少有一人能解决这个问题的概率是（ ） A． B． C． D． 【提示】事件“至少有一人能解决这个问题”的对立事件是“两个人都不能解决这个问题”，算出后者的概率即可 【答案】D 【解析】因为事件“至少有一人能解决这个问题”的对立事件是 “两个人都不能解决这个问题”， 事件“两个人都不能解决这个问题”的概率为 所以至少有一人能解决这个问题的概率是 故选：D 【说明】本题考查了利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 15．如图茎叶图记录了甲乙两位射箭运动员的次比赛成绩（单位：环），若两位运动员平均成绩相同，则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为（     ） A． B． C． D． 【提示】根据甲、乙二人的平均成绩相同求出x的值，再根据茎叶图中的数据得出乙的方差较小，求出乙的方差即可. 【答案】A 【解析】因为，甲乙二人的平均成绩相同，即， 解得，所以，，根据茎叶图中的数据知乙的成绩波动小，即方差较小， 且乙成绩方差为， 故选：A. 【说明】本题考查了观察茎叶图比较数据的特征、由茎叶图计算平均数、用方差、标准差说明数据的波动程度 16. 中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美．如图是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的棱上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体：①有12个顶点；②有14个面；③表面积为3；④体积为，正确的有（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【提示】该半正多面体的所有顶点恰为正方体各棱的中点,即为正方体截去8个三棱锥所剩部分，结合正方体的性质即可求得. 【答案】C 【解析】该半正多面体的所有顶点恰为正方体各棱的中点，其棱长为，有12个顶点，14个面（6个正方形，8个正三角形），它可由正方体去掉8个三棱锥所剩部分，它的表面积为 ，体积为， ∴①②④正确， 故选C． 【说明】本题以印信为背景，考查了学生空间想象力，考查了组合体的切接问题，解题时，关键是能将“半正多面体”还原出正方体，再利用正方体的性质再去解决. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. （本题满分14分） 如图，长方体中，，，点为的中点. （1）求证:直线平面 （2）求直线与平面所成角的大小. 【提示】（1）依题意可得、，再由线面垂直判定定理即可得证； （2）设和交于点，连接，即可得到，则为直线与平面所成角，再由锐角三角函数计算可得. 【答案】（1）证明见解析；（2）； 【解析】（1）在长方体，因为， 所以四边形是正方形，所以， 又因为平面，平面，所以， 又，平面， 所以平面；【6分】 （2）如图所示，设和交于点，则为的中点，连接 因为，点是的中点，. 由（1）知为在平面内的射影，故为直线与平面所成角， 又因为，且， 所以，， 又， 直线与平面所成角的大小；【14分】 【说明】本题考查了证明线面垂直、求线面角 18. （本题满分14分） 如图，在长方体中，，，点在棱上运动. （1）证明：； （2）设为棱的中点，在棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求的值，若不存在，说明理由； 【提示】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得. （2）根据向量法列方程，从而求得. 【答案】（1）证明详见解析；（2）存在，且 【解析】（1）建立如图所示空间直角坐标系， ， 设，则， ，所以.【6分】 （2）若是的中点，则， ，设平面的法向量为， 则，故可设， 设，， 若平面，平面， 则，所以是的中点，所以.【14分】 【说明】本题考查了补全线面平行的条件、空间位置关系的向量证明的向量求法 19. （本题满分14分） 已知是公差为2的等差数列，是公比为2的等比数列，满足． （1）求数列，的通项公式； （2）记，的前n项和分别为，若，求n的值． 【提示】（1）根据等差数列和等比数列的性质，列出方程组，求出参数，写出通项公式即可； （2）根据等差数列和等比数列的前项和公式，写出前项和，列出方程，求出结果即可. 【答案】（1）；（2）15 【解析】（1）由题意得，， 又因为， 则，又 解得，可得， 因此，；【8分】 （2）由（1）得，， 由，得，即，解得；【14分】 【说明】本题考查了等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和 20. （本题满分18分） 某市正在征集志愿者，为了了解前来面试的志愿者的情况，现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同． （1）求图中的值并估计面试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）估计这100名候选者面试成绩的第80百分位数； （3）抽取的100名候选者中，第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和30，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和20，求第二组和第四组面试成绩的总平均数和总方差． 【提示】（1）由题意可得，可求，根据平均数等于每个小矩形面积乘上小矩形底边中点的横坐标之和求解； （2）再根据百分位数的定义求解第80百分位数即可. （3）利用分层抽样的平均数公式与方差公式计算即可. 【答案】（1），69.5；（2）77.5；（3）平均数为70，方差是 . 【解析】（1）由题意可知：，解得， 可知每组的频率依次为：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05， 所以平均数为；【6分】 （2）成绩在的频率为，满意度在的频率为 设百分之80分位数为，则， 则， 解得，故百分之80分位数为77.5  【10分】 （3）100名候选者中第二组的人数为100×0.25=25人，第四组的人数为100×0.2=20人 则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数，… 设第二组、第四组面试者的面试成绩的平均数与方差分别为， 第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差 ． 故估计第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数为70，方差是；【18分】 21. （本题满分18分） 若数列与都是严格增数列且无公共项，将它们的项合并在一起并按由小到大的顺序排列，在得到的新数列中，来自的任意两项均不相邻，则称为的“隔数列”. （1）若是首项与公差均为整数的等差数列，，且数列是数列的“隔数列”，求的通项公式； （2）若，是首项为1，公比为的等比数列，且数列是数列的“隔数列”，求整数的值； （3）设是公比为的无穷等比数列，其前项和为，若是的“隔数列”，求的取值范围． 【提示】（1）设等差数列的首项为，公差为，则且， 依题意可得，即可求出与，即可求出； （2）设的公比为，依题意可得或，即可求出的取值范围，从而得解； （3）依题意可得且，对一切正整数恒成立，即可求出的取值范围. 【答案】（1）或；（2）；（3） 【解析】（1）设等差数列的首项为，公差为，则且， 由数列是数列的“隔数列”， 则，且， 所以且，即，所以或， 所以或；【4分】 （2）设的公比为， 因为数列是数列的“隔数列”， 即数列是数列的“隔数列”， 所以或， 解得或，即或， 所以或， 所以整数的值为；【10分】 （3）因为是的“隔数列”， 所以与都是严格增数列， 由是严格增数，可知对一切正整数恒成立， 又由是严格增数列，可知，即对一切正整数恒成立， 所以且， 这时因为对于一切大于等于的整数恒成立， 故必有， 即对一切正整数恒成立， 即对一切正整数恒成立， 即对一切正整数恒成立，所以，即， 所以的取值范围为.【18分】 【说明】本题综合考查了等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、等比数列前n项和的基本量计算、数列新定义；解答本题的关键是理解所给定义，再结合等差（等比）数列的基本量计算即可. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷01（上海专用） 参考答案 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版选择性必修中立体几何 空间向量 数列 概率统计 一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果. 1. 【答案】 2. 【答案】6 3. 【答案】 4. 【答案】 5. 【答案】 6. 【答案】 7. 【答案】2 8. 【答案】 9. 【答案】 10. 【答案】． 11. 【答案】 12. 【答案】①②④ 二、选择题（本大题共有4题，满分18分．其中第13、14题每题满分4分，第15、16题每题满分5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分. 13 14 15 16 B D A C 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. （本题满分14分） 【提示】（1）依题意可得、，再由线面垂直判定定理即可得证； （2）设和交于点，连接，即可得到，则为直线与平面所成角，再由锐角三角函数计算可得. 【答案】（1）证明见解析；（2）； 【解析】（1）在长方体，因为， 所以四边形是正方形，所以， 又因为平面，平面，所以， 又，平面， 所以平面；【6分】 （2）如图所示，设和交于点，则为的中点，连接 因为，点是的中点，. 由（1）知为在平面内的射影，故为直线与平面所成角， 又因为，且， 所以，， 又， 直线与平面所成角的大小；【14分】 【说明】本题考查了证明线面垂直、求线面角 18. （本题满分14分） 【提示】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得. （2）根据向量法列方程，从而求得. 【答案】（1）证明详见解析；（2）存在，且 【解析】（1）建立如图所示空间直角坐标系， ， 设，则， ，所以.【6分】 （2）若是的中点，则， ，设平面的法向量为， 则，故可设， 设，， 若平面，平面， 则，所以是的中点，所以.【14分】 【说明】本题考查了补全线面平行的条件、空间位置关系的向量证明的向量求法 19. （本题满分14分） 【提示】（1）根据等差数列和等比数列的性质，列出方程组，求出参数，写出通项公式即可； （2）根据等差数列和等比数列的前项和公式，写出前项和，列出方程，求出结果即可. 【答案】（1）；（2）15 【解析】（1）由题意得，， 又因为， 则，又 解得，可得， 因此，；【8分】 （2）由（1）得，， 由，得，即，解得；【14分】 【说明】本题考查了等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和 20. （本题满分18分） 【提示】（1）由题意可得，可求，根据平均数等于每个小矩形面积乘上小矩形底边中点的横坐标之和求解； （2）再根据百分位数的定义求解第80百分位数即可. （3）利用分层抽样的平均数公式与方差公式计算即可. 【答案】（1），69.5；（2）77.5；（3）平均数为70，方差是 . 【解析】（1）由题意可知：，解得， 可知每组的频率依次为：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05， 所以平均数为；【6分】 （2）成绩在的频率为，满意度在的频率为 设百分之80分位数为，则， 则， 解得，故百分之80分位数为77.5  【10分】 （3）100名候选者中第二组的人数为100×0.25=25人，第四组的人数为100×0.2=20人 则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数，… 设第二组、第四组面试者的面试成绩的平均数与方差分别为， 第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差 ． 故估计第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数为70，方差是；【18分】 21. （本题满分18分） 【提示】（1）设等差数列的首项为，公差为，则且， 依题意可得，即可求出与，即可求出； （2）设的公比为，依题意可得或，即可求出的取值范围，从而得解； （3）依题意可得且，对一切正整数恒成立，即可求出的取值范围. 【答案】（1）或；（2）；（3） 【解析】（1）设等差数列的首项为，公差为，则且， 由数列是数列的“隔数列”， 则，且， 所以且，即，所以或， 所以或；【4分】 （2）设的公比为， 因为数列是数列的“隔数列”， 即数列是数列的“隔数列”， 所以或， 解得或，即或， 所以或， 所以整数的值为；【10分】 （3）因为是的“隔数列”， 所以与都是严格增数列， 由是严格增数，可知对一切正整数恒成立， 又由是严格增数列，可知，即对一切正整数恒成立， 所以且， 这时因为对于一切大于等于的整数恒成立， 故必有， 即对一切正整数恒成立， 即对一切正整数恒成立， 即对一切正整数恒成立，所以，即， 所以的取值范围为.【18分】 【说明】本题综合考查了等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、等比数列前n项和的基本量计算、数列新定义；解答本题的关键是理解所给定义，再结合等差（等比）数列的基本量计算即可. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷01 数 学（上海专用）·答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] * 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 19． （14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（18分） 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页）1 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷01 ----------- 数学（上海专用)·答题卡 姓名： 贴条形码区 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 ! 员所粘贴的条形码。 2. 选择题必须用2B铅笔填涂；非选 准考证号 择题必须用0.5mm黑色签字笔答 注意事 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 体工整、笔迹清晰。 0 0 0 3.请按题号顺序在各题目的答题区域 内作答，超出区域书写的答案无 123 123 123 123 123 123 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 5 5 5 5 5 破。 5 正确填涂 67 678 6789 678 6789 123456789 123456789 123456789 012345678 8 78 缺考标记 9 9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12 题每题5分) ! 7 10 期 二、选择题（本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16 题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13[AJ[B][C][D] 14[A][B][C]D] 15[A][B][C][D] 16[A][B][C][D] 数学第1页（共6页） ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形框限定区域的答案无效！ 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、 21题每题18分.) 17.(14分) D C B D C 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(14分) D C B 2 C B 数学第3页（共6页） 学校 班级 姓名 准考证号 密 封 线 UUUI 1e.140) ■■■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(18分) 个频率/组距 0.045 b 0.020 a 0455565758595成绩/分 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(18分) 数学第6页（共6页） 2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷01（上海专用） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修三全部，选择性必修一第3~4章空间向量、数列 一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果. 1. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的高为 . 2. 一个袋子中有4个红球，个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球．已知取出的2个球都是红球的概率为，那么 ． 3. 若数列是首项为1，公比为2的等比数列，记其前n项和为，则 ． 4. 若一个球的半径为，则它的体积为 ． 5. 已知向量，若，则实数的值为 ． 6. 在空间直角坐标系中，向量（）在面上的投影向量为，在向量上的投影向量为，则与的夹角为 . 7. 有一组数据，其平均数为3 ，方差为2，则新的数据 的方差为 . 8. 国南北朝时期的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，将底面半径都为b，高都为的半椭球（左侧图）和已被挖去了圆锥的圆柱右侧图）（被挖去的圆锥以圆柱的上底面为底面，下底面的圆心为顶点）放置于同一平面上，用平行于平面且与平面任意距离d处的平面截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环，可以证明总成立．据此，图中圆柱体（右侧图）的底面半径b为2，高a为3，则该半椭球体（左侧图）的体积为 ． 9. 如图，已知正三棱柱的底面边长为1cm，高为5cm，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为 . 10. 如图，长方体下底面边长分别为4，6，侧棱长为3．点在棱上运动，点在底面上运动，，则中点的轨迹形成图形的面积为 ． 11. 在棱长为1的正方体中，E、F分别为棱、的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为 . 12. 已知数列的前n项和为，且不是常数列，则以下命题正确的是 ． ①若数列为等差数列，则为等比数列； ②若数列为等差数列，恒成立，则是严格增数列； ③若数列为等比数列，则为等差数列； ④若数列为等差数列，，，则的最大值在n为8或9时取到． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分．其中第13、14题每题满分4分，第15、16题每题满分5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分. 13. 我国古代数学名著《九章算术》商功一章中介绍了圆堡壔（dao，即圆柱体）：“今有圆堡壔，周四丈八尺，高一丈一尺”，翻译为白话文为“已知圆柱体，底面周长为4丈8尺，高为1丈1尺”，现在设该圆柱体的两个底面的圆周在同一个球面上，则该球的表面积约为（     ）（注：取3，1丈尺）（    ） A．平方尺 B．1131平方尺 C．337平方尺 D．平方尺 14. 甲、乙两人独立地解决同一个问题，甲能解决这个问题的概率是，乙能解决这个问题的概率是，那么至少有一人能解决这个问题的概率是（ ） A． B． C． D． 15．如图茎叶图记录了甲乙两位射箭运动员的次比赛成绩（单位：环），若两位运动员平均成绩相同，则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为（     ） A． B． C． D． 16. 中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美．如图是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的棱上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体：①有12个顶点；②有14个面；③表面积为3；④体积为，正确的有（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. （本题满分14分） 如图，长方体中，，，点为的中点. （1）求证:直线平面 （2）求直线与平面所成角的大小. 18. （本题满分14分） 如图，在长方体中，，，点在棱上运动. （1）证明：； （2）设为棱的中点，在棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求的值，若不存在，说明理由； 19. （本题满分14分） 已知是公差为2的等差数列，是公比为2的等比数列，满足． （1）求数列，的通项公式； （2）记，的前n项和分别为，若，求n的值． 20. （本题满分18分） 某市正在征集志愿者，为了了解前来面试的志愿者的情况，现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同． （1）求图中的值并估计面试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）估计这100名候选者面试成绩的第80百分位数； （3）抽取的100名候选者中，第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和30，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和20，求第二组和第四组面试成绩的总平均数和总方差． 21. （本题满分18分） 若数列与都是严格增数列且无公共项，将它们的项合并在一起并按由小到大的顺序排列，在得到的新数列中，来自的任意两项均不相邻，则称为的“隔数列”. （1）若是首项与公差均为整数的等差数列，，且数列是数列的“隔数列”，求的通项公式； （2）若，是首项为1，公比为的等比数列，且数列是数列的“隔数列”，求整数的值； （3）设是公比为的无穷等比数列，其前项和为，若是的“隔数列”，求的取值范围． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷01（上海专用） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版必修三全部，选择性必修一第3~4章空间向量、数列 一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果. 1. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的高为 . 2. 一个袋子中有4个红球，个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球．已知取出的2个球都是红球的概率为，那么 ． 3. 若数列是首项为1，公比为2的等比数列，记其前n项和为，则 ． 4. 若一个球的半径为，则它的体积为 ． 5. 已知向量，若，则实数的值为 ． 6. 在空间直角坐标系中，向量（）在面上的投影向量为，在向量上的投影向量为，则与的夹角为 . 7. 有一组数据，其平均数为3 ，方差为2，则新的数据 的方差为 . 8. 国南北朝时期的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，将底面半径都为b，高都为的半椭球（左侧图）和已被挖去了圆锥的圆柱右侧图）（被挖去的圆锥以圆柱的上底面为底面，下底面的圆心为顶点）放置于同一平面上，用平行于平面且与平面任意距离d处的平面截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环，可以证明总成立．据此，图中圆柱体（右侧图）的底面半径b为2，高a为3，则该半椭球体（左侧图）的体积为 ． 9. 如图，已知正三棱柱的底面边长为1cm，高为5cm，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为 . 10. 如图，长方体下底面边长分别为4，6，侧棱长为3．点在棱上运动，点在底面上运动，，则中点的轨迹形成图形的面积为 ． 11. 在棱长为1的正方体中，E、F分别为棱、的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为 . 12. 已知数列的前n项和为，且不是常数列，则以下命题正确的是 ． ①若数列为等差数列，则为等比数列； ②若数列为等差数列，恒成立，则是严格增数列； ③若数列为等比数列，则为等差数列； ④若数列为等差数列，，，则的最大值在n为8或9时取到． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分．其中第13、14题每题满分4分，第15、16题每题满分5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分. 13. 我国古代数学名著《九章算术》商功一章中介绍了圆堡壔（dao，即圆柱体）：“今有圆堡壔，周四丈八尺，高一丈一尺”，翻译为白话文为“已知圆柱体，底面周长为4丈8尺，高为1丈1尺”，现在设该圆柱体的两个底面的圆周在同一个球面上，则该球的表面积约为（     ）（注：取3，1丈尺）（    ） A．平方尺 B．1131平方尺 C．337平方尺 D．平方尺 14. 甲、乙两人独立地解决同一个问题，甲能解决这个问题的概率是，乙能解决这个问题的概率是，那么至少有一人能解决这个问题的概率是（ ） A． B． C． D． 15．如图茎叶图记录了甲乙两位射箭运动员的次比赛成绩（单位：环），若两位运动员平均成绩相同，则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为（     ） A． B． C． D． 16. 中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体体现了数学的对称美．如图是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的棱上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体：①有12个顶点；②有14个面；③表面积为3；④体积为，正确的有（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. （本题满分14分） 如图，长方体中，，，点为的中点. （1）求证:直线平面 （2）求直线与平面所成角的大小. 18. （本题满分14分） 如图，在长方体中，，，点在棱上运动. （1）证明：； （2）设为棱的中点，在棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求的值，若不存在，说明理由； 19. （本题满分14分） 已知是公差为2的等差数列，是公比为2的等比数列，满足． （1）求数列，的通项公式； （2）记，的前n项和分别为，若，求n的值． 20. （本题满分18分） 某市正在征集志愿者，为了了解前来面试的志愿者的情况，现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同． （1）求图中的值并估计面试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）估计这100名候选者面试成绩的第80百分位数； （3）抽取的100名候选者中，第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和30，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和20，求第二组和第四组面试成绩的总平均数和总方差． 21. （本题满分18分） 若数列与都是严格增数列且无公共项，将它们的项合并在一起并按由小到大的顺序排列，在得到的新数列中，来自的任意两项均不相邻，则称为的“隔数列”. （1）若是首项与公差均为整数的等差数列，，且数列是数列的“隔数列”，求的通项公式； （2）若，是首项为1，公比为的等比数列，且数列是数列的“隔数列”，求整数的值； （3）设是公比为的无穷等比数列，其前项和为，若是的“隔数列”，求的取值范围． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $