专题01 有理数（知识必备+11大重难题型+过关验收）（期末复习讲义）六年级数学上学期新教材沪教版五四制

该初中数学有理数期末复习讲义以“核心考点-复习目标-考情规律”表格为统领，通过层级化知识框架梳理有理数概念、运算及应用，用对比表格呈现整数与分数分类、运算律法则，结合数轴与绝对值的几何意义，构建“概念-运算-数形结合”的逻辑脉络，突出相反数、混合运算等重难点的内在联系。 讲义亮点在于分层递进的题型设计，从基础概念辨析到数轴动点综合题，如“有理数运算的实际应用”结合行程、盈亏问题培养模型意识，“程序流程图计算”提升运算能力与推理意识。例题配变式训练，附易错点解析，助力不同层次学生巩固，为教师精准教学提供系统支持。

专题01 有理数（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 有理数的相关概念 1. 理解有理数的概念与分类，明确正数、负数、零的 意义，能准确判别非正数、非负数、非正整数、非负 整数等拓展概念，理清整数、分数与有理数的从属关 系。 2. 掌握数轴的三要素，能熟练画出数轴并在数轴上表 示有理数，理解数轴上点与有理数的一一对应关系，运用数轴比较有理数的大小。 3. 明晰相反数、绝对值的定义与性质，能快速求一个 有理数的相反数和绝对值，掌握绝对值的非负性，能解决绝对值化简问题及综合应用。 1. 基础考点，考查用正负数表示相反意义的量，判断给定数中的正数、负数、非正数等 2. 必考点，求一个数的相反数或绝对值、判断绝对值相关的命题正确性、绝对值的非负性应用。 在选择、填空、解答题中均有涉及。 有理数混合运算 熟练掌握有理数的加、减、乘、除、乘方五种运算的 法则，理解运算律的适用场景，能准确运用运算律简 化运算。掌握有理数混合运算的顺序规则，能规范完 成多步骤混合运算。 必考点，含乘方、括号的多步骤运算，重点考查运算顺序和符号处理。 有理数运算的实际应用 能从实际问题中提取数量关系，将实际问题转化为有 理数运算问题并求解；提升运用有理数运算解决生活 中价格、行程、收支、增减变化等实际场景问题的能 力，增强数学应用意识；掌握解决实际问题的一般步 骤，培养分析问题、解决问题的逻辑思维。 结合生活场景的运算问题，如根据里程变化计算总路程、根据单价和数量计算盈亏并进行有理数运算，考查数学建模与应用能力。 数轴及其综合的应用 能通过数轴的直观性推理有理数的大小关系，结合绝对值的性质推理简单的代数式取值问题，培养初步的逻辑演绎能力。提升数形结合思想的应用能力，能将抽象的有理数问题转化为直观的数轴图形问题，培养逻辑推理和综合分析能力。 核心考点，在数轴上表示有理数、根据数轴比较数的大小、确定数轴上两点间的距离或未知点表示的数，常与相反数、绝对值结合考查。 知识点01 有理数的引入 正数与负数 一.具有相反意义的量 1.定义：在生活中存在各种各样的量，其中有一类量，它们的属性相同(即同类量)，但表示的意义却相反，我们把这样的量叫做具有相反意义的量 . 2. 用正数、负数表示具有相反意义的量 为了更好地区分这些具有相反意义的量，若我们把其中一种意义的量用正数表示，则与它具有相反意义的量就可以用负数表示 . 特别提醒：用正数、负数表示具有相反意义的量时，一般地，向指定趋势变化用正数表示，向指定趋势的相反趋势变化用负数表示. 二.正数、负数的定义 1.定义 正数：像 2%,4,3.5 这样大于0的数叫做正数.有时,为了明确表达意义,在正数的前面加上“+”(正)号.如 +2,+0.7。 负数:像 -3,-2.7%,-4.5 这样在正数前加上符号“-”(负)的数叫做负数 注意： 0 既不是正数，也不是负数 . 2. 数的符号  一个数前面的“ +”“－”号叫做它的符号，其中“ +”号可以省略不写，而“－”号不能省略不写 . 3. 符号“+”“－”的双重含义 (1) 作为运算符号是加减号； (2) 作为性质符号是正负号 . 三、有理数 1. 整数 正整数、0、负整数统称为整数,如-3,-2,0,1,2,3等 2.分数 正分数、负分数统称为分数,如+1-,0.18,-1.35,-分数都可以化为有限小数或无限循环小数的形式,同时有限小数和限循环小数 又都可以化为分数.无限不循环小数不能转化成分数. 3.有理数 整数和分数统称为有理数，“有理数都可以写成分数的形式， 4.几个常用数学名词的含义 (1)正整数:既是正数,又是整数的数 (2)负整数:既是负数,又是整数的数 (3)正分数:既是正数,又是分数的数 (4)负分数:既是负数,又是分数的数 (5)非负数:正数和 0. (6)非正数:负数和 0. (7)非负整数(也叫自然数):正整数和0. (8)非正整数:负整数和0. (9)正有理数:正整数和正分数 (10)负有理数:负整数和负分数 (11)非正有理数:0、负整数和负分数 (12)非负有理数:0、正整数和正分数 四、有理数的分类 1.有理数的分类： 2. 有理数分类的三原则 (1) 分类不重复： 所分的各类应当互不包含 . (2) 分类无遗漏： 所分各类之“和”必须是原来的全部 . (3) 标准要统一： 必须按同一分类标准进行分类 . 数轴 一、数轴 1. 定义 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴 . 2. 画数轴的步骤 (1) 画直线，取原点： 画一条直线(通常画成水平位置)，在这条直线上任取一个点表示数 0，这个点叫做原点 . (2) 标正方向： 通常规定直线上从原点向右的方向为正方向，画上箭头，则相反方向为负方向 . (3) 选取单位长度，标数： 选取适当的长度为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次标上 1、 2、3、… ；从原点向左，每隔一个单位长度取一个点，依次标上 －1、 －2、 －3、… . 二、数轴上的点与有理数的关系 对应关系 有理数数轴上的点表示的数 . 三、利用数轴比较数的大小 1. 利用数轴比较有理数大小的法则 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大 . 2. 比较有理数大小法则 正数都大于 0，负数都小于 0，正数都大于负数 . 相反数 1.定义 只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0. 要点归纳： （1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同. （2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉. （3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数. （4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可. 2.相反数的性质 （1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）. （2）互为相反数的两数和为0. 绝对值 1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|. 要点归纳： （1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有： （2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． （3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的． 2.绝对值的性质 1.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 2.求法 （1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数． （2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等. （3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 有理数的大小比较 1.数轴法比较有理数的大小 在数轴上表示出两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b． 2.法则比较有理数的大小 两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0 正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0 知识点02 有理数的加法与减法 有理数的加法法则 1. 有理数加法法则 (1)同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和. (2)绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差. 互为相反数的两个数相加得0 . 同号两数相加： 绝对不相等的异号两数相加： (3)一个数与0 相加，仍得这个数. 2. 有理数加法运算的各种情况如下表 和 用字母表示 符号 绝对值 同号两数相加 取相同的符号 取相同的符号 若a ﹥ 0，b ﹥ 0，则a＋b=＋(|a|＋|b|) 若a ﹤ 0，b ﹤ 0，则a＋b=－(|a|＋|b|) 异号两数相加 绝对值不相等 取绝对值较大的加数的符号 相减(大减小) 若a ﹥ 0，b ﹤ 0，且|a| ﹥ |b|，则a＋b=＋(|a|－|b|) 若a ﹤ 0，b ﹥ 0，且|a| ﹥ |b|，则a＋b=－(|a|－|b|) 互为相反数 0 若a ﹥ 0，b ﹤ 0，且|a|=|b|，则a＋b=0 一个数与0 相加 仍得这个数 a＋0=a 3. 有理数加法运算的步骤 有理数加法的运算律 1. 有理数加法的运算律 运算律 文字叙述 用字母表示 加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变 a＋b=b＋a 加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 (a＋b)＋c=a＋(b＋c) 2. 加法运算律的运用技巧 (1)互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”； (2)符号相同的数先相加——“同号结合法”； (3)整数与整数、小数与小数、分母相同(或分母成倍数关系易化成同分母)的数先相加——“同形结合法”； (4)几个相加得整数的数先相加——“凑整法”； (5)带分数相加时，可先拆成整数与分数的和，再分别相加——“拆项结合法”. 有理数的减法 1. 有理数减法法则 减去一个数，等于加这个数的相反数. 用字母表示：a－b=a＋(－b)，其中a，b 表示任意有理数. 2. 两数相减差的符号 (1)较大的数－ 较小的数= 正数，即若a>b，则a－b>0 . (2)较小的数－ 较大的数= 负数，即若a<b，则a－b<0 . (3)相等的两个数的差为0，即若a=b，则a－b=0 . 有理数的加减混合运算 1. 有理数加减混合运算的方法 (1)运用减法法则，将有理数加减混合运算中的减法转化为加法，转化为加法后的式子是几个正数或负数的和的形式. (2)运用加法交换律，加法结合律进行计算，使运算简便. 如：(＋7)－(＋1 0)＋(－3)－(－8) =(＋7)＋(－1 0)＋(－3)＋8 =(7 ＋8)＋[(－1 0)＋(－3)]=15 ＋(－13)=2 . 2. 省略和式中的括号和加号 将有理数的加减混合运算统一成加法运算时，在和式里可以把加号及加数的括号省略不写，以简化书写形式.如(－20)＋(－3)＋(＋2)＋(－5)可以写成－20 －3 ＋2 －5 . 这个式子有两种读法： (1)按加法的结果来读：负2 0 、负3、正2、负5 的和； (2)按运算来读：负20 减3 加2 减5. 数轴上两点之间的距离 数轴上，点A，B 分别表示数a，b，则A，B 两点之间的距离为线段AB 的长度，AB=|a－b|.(如下图)： 知识点03 有理数的乘法与除法 有理数的乘法法则 有理数的乘法 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同零相乘，都得0． 有理数的乘法运算律 乘法结合律：(a×b)×c＝a×(b×c)； 乘法分配律：(a＋b)×c＝a×c＋b×c. 多个有理数相乘 多个有理数相乘的法则： ①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正． ②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． （4）方法指引： ①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘． ②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单． 倒数的概念 （1）倒数：乘积是1的两数互为倒数． 一般地，a•1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． （2）方法指引： ①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的． ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同． 【规律方法】求相反数、倒数的方法 求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可 求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一 求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置 注意：0没有倒数． 有理数除法法则 （1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a• （b≠0） （2）方法指引： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． （2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右． 有理数的乘除混合运算 有理数乘除混合运算通常是先将除法转化成乘法,然后按照乘法法则,确定积的符号,最后求出结果. 注意：除法没有运算律，只有将除法转化为乘法后，才可以利用乘法的运算律简化运算 知识点04 有理数的乘方 有理数的乘方 （1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．） （2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0． （3）方法指引： ①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值； ②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减． 非负数的性质：偶次方 偶次方具有非负性． 任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 知识点05 有理数的混合运算 有理数的混合运算 （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧 1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算． 2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解． 3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算． 4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便． 题型一 有理数的引入分类与相关概念 【例1】（25-26六年级上·上海虹口·期中）中国是最早采用正负数来表示相反意义的量的国家，如果盈利元记作“元”，那么亏损元记作（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【例2】（25-26六年级上·上海·期中）下列说法正确的是（    ） A．有理数分为正有理数和负有理数； B．负数的绝对值还是负数； C．既没有最小的负数，也没有最大的负数； D．两个有理数的差一定是负数． 【例3】（25-26六年级上·上海黄浦·期中）化简： ． 【例4】（25-26六年级上·上海·期中）某公司去年第一季度（1月到3月）共亏损万元，第二季度（4月到6月）平均每月盈利万元，说明这个公司去年上半年总的盈亏情况． 【变式1】（24-25六年级上·上海·期中）下面说法正确的是（   ） A．正数和负数统称为有理数 B．是最大的负数 C．零不是正数，也不是负数，但是整数 D．自然数就是正整数 【变式2】（25-26六年级上·上海·期中）分数的相反数是 ． 【变式3】（25-26六年级上·上海·月考）在，，，，，中自然数是 ． 【变式4】（25-26六年级上·上海宝山·期中）如果与互为相反数，那么 ． 【变式5】把下列各数分类，并填在表示相应集合的大括号内： ，，，，，，，， （1）整数集合：{ …}； （2）分数集合：{ …}； （3）非正数集合：{ …}； （4）负有理数集合：{ …}． （5）自然数集合：{ …}． 题型二 有理数大小比较 【例1】（25-26六年级上·上海浦东新·期中）若（a、b、c都大于0），下面关系正确的是（    ）． A． B． C． D． 【例2】（25-26六年级上·上海宝山·期中）某乳品公司生产盒装牛奶，根据质量要求，每盒牛奶的净含量可以有升的误差．现抽查6盒牛奶，超过规定净含量的升数记作正数，不足规定净含量的升数记作负数．检查结果如下表所示，那么其中净含量最接近规定的盒装牛奶编号是 ． 1 2 3 4 5 6 【变式1】（25-26六年级上·上海·月考）比较大小： ． 【变式2】（24-25六年级上·上海·月考）用“”号连接：，，； ． 【变式3】（24-25六年级上·上海宝山·期中）如图，记录了三个城市某年一月份的平均气温，其中平均气温最低的城市是 ． 城市 北京 上海 天津 平均气温 题型三 有理数的加法与减法及其应用 【例1】（24-25六年级上·上海金山·期末）纽约、悉尼与北京的时差如下表（正数表示同一时刻比北京时间快的时数，负数表示同一时刻比北京时间慢的时数）： 城市 悉尼 纽约 时差/时 +2 当北京1月8日23时，悉尼、纽约的时间分别是（   ） A．1月9日1时；1月7日10时 B．1月9日1时；1月8日10时 C．1月8日21时；1月8日10时 D．1月8日21时；1月9日12时 【例2】（25-26六年级上·上海·月考）计算： ． 【例3】（24-25六年级上·上海·月考）计算： 【例4】（25-26六年级上·上海浦东新·期中）一个数减去等于减去的差，求这个数． 【变式1】（24-25六年级上·上海·月考）已知甲地的海拔高度是米，甲地比乙地高10米，乙地比丙地低6米，则丙地的海拔高度是 米． 【变式2】（25-26六年级上·上海·期中）计算：． 【变式3】（25-26六年级上·上海·月考）计算：． 【变式4】（25-26六年级上·上海松江·期中）为备战学校秋季运动会，小明记录了9月21日至25日每日跑步的距离，正数表示比前一天多跑的距离，负数表示比前一天少跑的距离．已知9月20日小明跑步1000米，具体每日距离变化如表： 日期 9月21日 9月22日 9月23日 9月24日 9月25日 距离变化/米 (1)小明在9月21日、22日各跑步多少米？ (2)小明在这5天的跑步练习中，跑步最多的一天是多少米？ (3)小明在这5天的跑步练习中，累计跑步多少米？ 题型四 有理数的乘法与除法及其应用 【例1】（24-25六年级上·上海·月考）下列说法中错误的是（   ） A．一个数与0相乘，积为0 B．一个数与1相乘，积仍为这个数 C．一个数与相乘，积为这个数的相反数； D．一个数与它本身相乘，积为正数 【例2】（25-26六年级上·上海·月考） ； 【例3】（24-25六年级上·上海·月考）的倒数是 ． 【例4】（24-25六年级上·上海·月考）计算： 【变式1】（25-26六年级上·上海·月考） ； 【变式2】（25-26六年级上·上海青浦·期中）计算： 【变式3】（25-26六年级上·上海浦东新·期中）计算：． 【变式4】（24-25六年级上·上海浦东新·期中）某快递公司在上海市区开展 “同城即时达” 配送服务，配送员小李的配送路线以公司仓库为原点，规定向东为正方向，向西为负方向，单位为“千米”．小李一天内的6次配送点的坐标依次为（每次配送后均返回仓库再出发）：，，，，，（注：坐标表示该配送点相对原点的位置）．若配送车每行驶1千米的耗油量为0.08升，且出发时油箱内有4升油． (1)小李完成第3次配送并返回仓库后，一共行驶了多少千米？ (2)小李完成全部6次配送任务返回仓库后，油箱内还剩多少升的油？ (3)若将小李的任务调整为：从仓库出发，每次配送后不返回仓库，而是直接前往下一个配送点．问小李完成6次配送任务后，油箱内剩余油量是否足够支撑他行驶到位于仓库西面2千米处的加油站？请通过计算说明理由． 题型五 有理数四则混合运算及其应用 【例1】（25-26六年级上·上海浦东新·月考）计算： ． 【例2】（25-26六年级上·上海·月考）计算：． 【例3】（25-26六年级上·上海青浦·期中）某公路检修小组从A地出发沿东西向的路面检修公路，规定检修车向东行驶的路程为正，向西行驶的路程为负，一天中行驶记录如下表．（单位：千米） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)收工时，检修小组距离A地多远？在A地的什么方向？ (2)记录到第______次时，检修小组距离A地最远； (3)如果检修车每千米耗油0.2升，那么共耗油多少升？ 【变式1】（24-25六年级上·上海浦东新·期中）计算： ． 【变式2】（25-26六年级上·上海·月考）若a与b互为相反数，m与n互为倒数，则 ． 【变式3】（25-26六年级上·上海·月考）计算： 【变式4】（24-25六年级上·上海·月考）某条河流的水位去年1月1日零时，在警戒线下，若1~3月每月下降，4~6月每月上涨，7~10月每月上涨，11~12月每月下降． (1)这条河流去年总的水位是上涨还是下降？请通过列式计算加以说明． (2)求从哪个月开始，水位超警戒线． 题型六 有理数的乘方及其应用 【例1】（24-25六年级上·上海·月考）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25六年级上·上海闵行·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．0既没有倒数，也没有相反数 B．能够写成分数（a、b是整数，）的数叫作有理数 C．如果一个数的偶次幂是正数，那么这个数是负数 D．如果一个数的平方等于它本身，那么这个数是 【例3】（25-26六年级上·上海·月考）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统．约定逢十进一是十进制，逢二进一是二进制．十进制数，记作1024；二进制数，记作；二进制数转化为十进制数为 ． 【变式1】（25-26六年级上·上海奉贤·期中）名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意为：一尺木棍，第一天截取它的一半，以后每天截取剩下部分的一半，那么永远也截取不尽．照这样推算，第四天截取木棍总长度的（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25六年级上·上海·月考）某种细胞，每过20分钟便由1个分裂成2个，2个这种细胞，经过1小时，能分裂成 个． 【变式3】（24-25六年级上·上海·期中）生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10010转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法…… (1)根据以上信息，将二进制数“101110”转化为十进制的数是______； (2)按照上面的格式将十进制数“4372”转化为八进制数是______； (3)在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时间一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，则孩子已经出生的天数是______天． 题型七 程序流程图与有理数计算 【例1】（25-26六年级上·上海·期中）如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，第一次输出的结果是1，返回进行第二次运算则输出的是8，…，则第2025次输出的结果是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【例2】（25-26六年级上·上海普陀·期中）下图是一个流程图． (1)已知输入的的值为，求出最后输出结果； (2)已知输入的的值为，求出最后输出结果． 【变式1】（25-26六年级上·上海闵行·月考）如图所示是计算机程序计算，若开始输入，则最后输出的结果是 ． 【变式2】（25-26六年级上·上海闵行·月考）按照如图所示的计算程序，若输入的，则输出的值为；若输入的，则输出的结果 ． 【变式3】（25-26六年级上·上海杨浦·期中）如图所示为一种数值转换机的运算程序． (1)输入分数，输出的结果为______； (2)输入分数，输出的结果为_______； (3)如果输出的结果是，那么输入的分数是多少？ 题型八 有理数的混合运算 【例1】（25-26六年级上·上海·月考）＝ ； 【例2】（24-25六年级上·上海·月考）计算： 【例3】（24-25六年级上·上海·月考）计算：； 【例4】（25-26六年级上·上海·月考）计算： 【变式1】（25-26六年级上·上海·月考）计算：． 【变式2】（25-26六年级上·上海·月考）计算：． 【变式3】（25-26六年级上·上海·期中）计算： (1)． (2) 【变式4】（25-26六年级上·上海虹口·期中）以下是小杰同学计算的过程： 解：原式             ①                  ②                        ③                                ④ (1)以上解题过程中，最开始出现错误的是第_________步（填序号）： (2)写出正确的解答过程 题型九 绝对值的应用 【例1】（24-25六年级上·上海·月考）下列说法正确的是（   ） A．有理数的绝对值为正数 B．如果两数和为0，那么这两个数绝对值相等 C．只有正数和负数才有相反数 D．如果两个数绝对值相等，那么这两个数之和为0 【例2】（25-26六年级上·上海普陀·月考）如果，下列成立的是（   ） A． B． C．或 D．或 【例3】（25-26六年级上·上海青浦·期中）若，则 ． 【变式1】（25-26六年级上·上海·期中）如果是有理数，则下列各式的值一定不小于零的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26六年级上·上海·月考）已知，则 ， ． 【变式3】（25-26六年级上·上海·期中）数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离就可记作．回答下列问题： (1)几何意义是数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是______；式子的几何意义是_______． (2)根据绝对值的几何意义，当时，______； (3)当表示x的点在与5之间移动时，的值为一个固定的值是______； (4)探究：的最小值是______． 题型十 数轴上两点之间的距离 【例1】（25-26六年级上·上海·期中）如果数轴上的点Q表示的有理数是，那么点Q到原点的距离为 个单位长度 【例2】（25-26六年级上·上海浦东新·期中）如图，数轴上单位长度代表，点A、点B都在数轴上，A表示的数为，且点B与点A相距，则点B表示的数是 ． 【变式1】（25-26六年级上·上海·期中）在数轴上，点C到表示的点距离为2个单位长度，且点C在表示的点的左侧，那么点C表示的数为 ． 【变式2】（25-26六年级上·上海杨浦·期中）（1）在数轴上分别画出点、、、．点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是． （2）数轴上点表示的数是，点距离点为个单位长度，求点表示的数． 【变式3】（25-26六年级上·上海闵行·期中）如图，将一把刻度尺放在数轴上，刻度尺上的“”和“”分别对应数轴上的和． (1)若数轴的单位长度是，那么的值为_____． (2)若刻度尺上“”对应数轴上的3，那么的值为_____． (3)已知点和所表示的点在同一数轴上，点和所表示的点相距5个单位长度，则点表示的数是_____． 题型十一 数轴上点的平移（动点问题） 【例1】数轴上一点A向左移动5个单位后到达点B，如果点B到原点的距离为1，则点A表示的数是（    ） A．1 B．1或 C．5或 D．4或6 【例2】（25-26六年级上·上海·期中）如图，点､､是数轴上排列的三个点（数轴的单位长度是），对应刻度尺上的数分别､和，移动刻度尺，当点在数轴上表示的数为时，数轴上点所对应的数为 ． 【变式1】 数轴上点A表示的数是，将点A在数轴上平移6个单位长度得到点B，则点B表示的数是 ． 【变式2】 在数轴上有一个动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上运动，若点的运动规律是先向右运动1个单位长度，再向左运动2个单位长度，再向右运动3个单位长度，再向左运动4个单位长度，以此类推，每次运动单位长度依次递增，第113秒时，点在数轴上所对应的数是 ． 【变式3】（25-26六年级上·上海·期中）如图，边长是的正方形放在数轴上，点与原点重合，点与表示的点重合，将正方形在数轴上向右滚动，问 (1)点第一次落在数轴上时，点所表示的数是__________． (2)点第五次落在数轴上时，点所表示的数是__________． (3)点落在（2）题表示的数时，以点、、三点为顶点的三角形面积是____________． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25六年级上·上海·月考）如图，数轴上表示的相反数的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 2．（25-26六年级上·上海青浦·期中）如果两个有理数的和是负数，那么这两个数（   ） A．都是负数 B．一个是正数，另一个是负数 C．至少有一个是负数 D．以上答案都不正确 3．（25-26六年级上·上海青浦·期中）若，，且，则的值为() A． B． C．1或 D．5或． 4．（25-26六年级上·上海·月考）立方等于其相反数的数是 ． 5．（24-25六年级上·上海金山·期末）计算：． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 6．（24-25六年级上·上海·月考）比较大小： 7．（25-26六年级上·上海·月考）计算：． 8．（25-26六年级上·上海·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 9．（25-26六年级上·上海·期中）小王上周五在股市以收盘价（收市时的价格）每股25元买进某公司股票1000股，在接下来的一周交易日内，小王记下该股票每日收盘价格相比前一天的涨跌情况：（单位：元） 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌（元） 根据上表回答问题： (1)星期二收盘时，该股票每股______元？ (2)本周内该股票收盘时的最高价是______元，最低价是______元？ (3)已知买入股票与卖出股票均需支付交易费．交易费的计算方式是：成交金额乘以0.005．若小王在本周五以收盘价将全部股票卖出，他的收益情况如何？ 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 10．（25-26六年级上·上海浦东新·期中）计算（新教材）． (1) (2) (3) 11．（25-26六年级上·上海·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 12．（25-26六年级上·上海·月考）如图，数轴上有、两点． (1)、两点表示的数分别是______，______； (2)若点表示，点表示，点表示，请你把点、点、点表示在如图所示的数轴上； (3)将、、、、五个点所表示的数用“”连接起来：______． 13．（25-26六年级上·上海·月考）请阅读材料，并解决问题 生活中常用“分贝（）”衡量声音响度，规定：若（L为声音的响度值），则k称为L的“分贝指数”，记为．由定义可知：与表示k、L之间的同一关系．“分贝指数”有如下运算性质： 若A、B为正响度值，则，． (1)根据“分贝指数”的定义，填空： ， ； (2)根据运算性质，填空： （m为正响度值且）； (3)若，计算的值． 14．（25-26六年级上·上海虹口·期中）阅读下面材料： 计算：． 解法①： 原式 解法②： 原式． 解法③： 先计算：． 所以，原式 (1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法__________是错误的（填序号）； (2)请你根据材料尝试计算：． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 有理数（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 有理数的相关概念 1. 理解有理数的概念与分类，明确正数、负数、零的 意义，能准确判别非正数、非负数、非正整数、非负 整数等拓展概念，理清整数、分数与有理数的从属关 系。 2. 掌握数轴的三要素，能熟练画出数轴并在数轴上表 示有理数，理解数轴上点与有理数的一一对应关系，运用数轴比较有理数的大小。 3. 明晰相反数、绝对值的定义与性质，能快速求一个 有理数的相反数和绝对值，掌握绝对值的非负性，能解决绝对值化简问题及综合应用。 1. 基础考点，考查用正负数表示相反意义的量，判断给定数中的正数、负数、非正数等 2. 必考点，求一个数的相反数或绝对值、判断绝对值相关的命题正确性、绝对值的非负性应用。 在选择、填空、解答题中均有涉及。 有理数混合运算 熟练掌握有理数的加、减、乘、除、乘方五种运算的 法则，理解运算律的适用场景，能准确运用运算律简 化运算。掌握有理数混合运算的顺序规则，能规范完 成多步骤混合运算。 必考点，含乘方、括号的多步骤运算，重点考查运算顺序和符号处理。 有理数运算的实际应用 能从实际问题中提取数量关系，将实际问题转化为有 理数运算问题并求解；提升运用有理数运算解决生活 中价格、行程、收支、增减变化等实际场景问题的能 力，增强数学应用意识；掌握解决实际问题的一般步 骤，培养分析问题、解决问题的逻辑思维。 结合生活场景的运算问题，如根据里程变化计算总路程、根据单价和数量计算盈亏并进行有理数运算，考查数学建模与应用能力。 数轴及其综合的应用 能通过数轴的直观性推理有理数的大小关系，结合绝对值的性质推理简单的代数式取值问题，培养初步的逻辑演绎能力。提升数形结合思想的应用能力，能将抽象的有理数问题转化为直观的数轴图形问题，培养逻辑推理和综合分析能力。 核心考点，在数轴上表示有理数、根据数轴比较数的大小、确定数轴上两点间的距离或未知点表示的数，常与相反数、绝对值结合考查。 知识点01 有理数的引入 正数与负数 一.具有相反意义的量 1.定义：在生活中存在各种各样的量，其中有一类量，它们的属性相同(即同类量)，但表示的意义却相反，我们把这样的量叫做具有相反意义的量 . 2. 用正数、负数表示具有相反意义的量 为了更好地区分这些具有相反意义的量，若我们把其中一种意义的量用正数表示，则与它具有相反意义的量就可以用负数表示 . 特别提醒：用正数、负数表示具有相反意义的量时，一般地，向指定趋势变化用正数表示，向指定趋势的相反趋势变化用负数表示. 二.正数、负数的定义 1.定义 正数：像 2%,4,3.5 这样大于0的数叫做正数.有时,为了明确表达意义,在正数的前面加上“+”(正)号.如 +2,+0.7。 负数:像 -3,-2.7%,-4.5 这样在正数前加上符号“-”(负)的数叫做负数 注意： 0 既不是正数，也不是负数 . 2. 数的符号  一个数前面的“ +”“－”号叫做它的符号，其中“ +”号可以省略不写，而“－”号不能省略不写 . 3. 符号“+”“－”的双重含义 (1) 作为运算符号是加减号； (2) 作为性质符号是正负号 . 三、有理数 1. 整数 正整数、0、负整数统称为整数,如-3,-2,0,1,2,3等 2.分数 正分数、负分数统称为分数,如+1-,0.18,-1.35,-分数都可以化为有限小数或无限循环小数的形式,同时有限小数和限循环小数 又都可以化为分数.无限不循环小数不能转化成分数. 3.有理数 整数和分数统称为有理数，“有理数都可以写成分数的形式， 4.几个常用数学名词的含义 (1)正整数:既是正数,又是整数的数 (2)负整数:既是负数,又是整数的数 (3)正分数:既是正数,又是分数的数 (4)负分数:既是负数,又是分数的数 (5)非负数:正数和 0. (6)非正数:负数和 0. (7)非负整数(也叫自然数):正整数和0. (8)非正整数:负整数和0. (9)正有理数:正整数和正分数 (10)负有理数:负整数和负分数 (11)非正有理数:0、负整数和负分数 (12)非负有理数:0、正整数和正分数 四、有理数的分类 1.有理数的分类： 2. 有理数分类的三原则 (1) 分类不重复： 所分的各类应当互不包含 . (2) 分类无遗漏： 所分各类之“和”必须是原来的全部 . (3) 标准要统一： 必须按同一分类标准进行分类 . 数轴 一、数轴 1. 定义 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴 . 2. 画数轴的步骤 (1) 画直线，取原点： 画一条直线(通常画成水平位置)，在这条直线上任取一个点表示数 0，这个点叫做原点 . (2) 标正方向： 通常规定直线上从原点向右的方向为正方向，画上箭头，则相反方向为负方向 . (3) 选取单位长度，标数： 选取适当的长度为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次标上 1、 2、3、… ；从原点向左，每隔一个单位长度取一个点，依次标上 －1、 －2、 －3、… . 二、数轴上的点与有理数的关系 对应关系 有理数数轴上的点表示的数 . 三、利用数轴比较数的大小 1. 利用数轴比较有理数大小的法则 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大 . 2. 比较有理数大小法则 正数都大于 0，负数都小于 0，正数都大于负数 . 相反数 1.定义 只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0. 要点归纳： （1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同. （2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉. （3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数. （4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可. 2.相反数的性质 （1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）. （2）互为相反数的两数和为0. 绝对值 1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|. 要点归纳： （1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有： （2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． （3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的． 2.绝对值的性质 1.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 2.求法 （1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数． （2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等. （3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 有理数的大小比较 1.数轴法比较有理数的大小 在数轴上表示出两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b． 2.法则比较有理数的大小 两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0 正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0 知识点02 有理数的加法与减法 有理数的加法法则 1. 有理数加法法则 (1)同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和. (2)绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差. 互为相反数的两个数相加得0 . 同号两数相加： 绝对不相等的异号两数相加： (3)一个数与0 相加，仍得这个数. 2. 有理数加法运算的各种情况如下表 和 用字母表示 符号 绝对值 同号两数相加 取相同的符号 取相同的符号 若a ﹥ 0，b ﹥ 0，则a＋b=＋(|a|＋|b|) 若a ﹤ 0，b ﹤ 0，则a＋b=－(|a|＋|b|) 异号两数相加 绝对值不相等 取绝对值较大的加数的符号 相减(大减小) 若a ﹥ 0，b ﹤ 0，且|a| ﹥ |b|，则a＋b=＋(|a|－|b|) 若a ﹤ 0，b ﹥ 0，且|a| ﹥ |b|，则a＋b=－(|a|－|b|) 互为相反数 0 若a ﹥ 0，b ﹤ 0，且|a|=|b|，则a＋b=0 一个数与0 相加 仍得这个数 a＋0=a 3. 有理数加法运算的步骤 有理数加法的运算律 1. 有理数加法的运算律 运算律 文字叙述 用字母表示 加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变 a＋b=b＋a 加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 (a＋b)＋c=a＋(b＋c) 2. 加法运算律的运用技巧 (1)互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”； (2)符号相同的数先相加——“同号结合法”； (3)整数与整数、小数与小数、分母相同(或分母成倍数关系易化成同分母)的数先相加——“同形结合法”； (4)几个相加得整数的数先相加——“凑整法”； (5)带分数相加时，可先拆成整数与分数的和，再分别相加——“拆项结合法”. 有理数的减法 1. 有理数减法法则 减去一个数，等于加这个数的相反数. 用字母表示：a－b=a＋(－b)，其中a，b 表示任意有理数. 2. 两数相减差的符号 (1)较大的数－ 较小的数= 正数，即若a>b，则a－b>0 . (2)较小的数－ 较大的数= 负数，即若a<b，则a－b<0 . (3)相等的两个数的差为0，即若a=b，则a－b=0 . 有理数的加减混合运算 1. 有理数加减混合运算的方法 (1)运用减法法则，将有理数加减混合运算中的减法转化为加法，转化为加法后的式子是几个正数或负数的和的形式. (2)运用加法交换律，加法结合律进行计算，使运算简便. 如：(＋7)－(＋1 0)＋(－3)－(－8) =(＋7)＋(－1 0)＋(－3)＋8 =(7 ＋8)＋[(－1 0)＋(－3)]=15 ＋(－13)=2 . 2. 省略和式中的括号和加号 将有理数的加减混合运算统一成加法运算时，在和式里可以把加号及加数的括号省略不写，以简化书写形式.如(－20)＋(－3)＋(＋2)＋(－5)可以写成－20 －3 ＋2 －5 . 这个式子有两种读法： (1)按加法的结果来读：负2 0 、负3、正2、负5 的和； (2)按运算来读：负20 减3 加2 减5. 数轴上两点之间的距离 数轴上，点A，B 分别表示数a，b，则A，B 两点之间的距离为线段AB 的长度，AB=|a－b|.(如下图)： 知识点03 有理数的乘法与除法 有理数的乘法法则 有理数的乘法 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同零相乘，都得0． 有理数的乘法运算律 乘法结合律：(a×b)×c＝a×(b×c)； 乘法分配律：(a＋b)×c＝a×c＋b×c. 多个有理数相乘 多个有理数相乘的法则： ①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正． ②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． （4）方法指引： ①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘． ②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单． 倒数的概念 （1）倒数：乘积是1的两数互为倒数． 一般地，a•1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． （2）方法指引： ①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的． ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同． 【规律方法】求相反数、倒数的方法 求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可 求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一 求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置 注意：0没有倒数． 有理数除法法则 （1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a• （b≠0） （2）方法指引： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． （2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右． 有理数的乘除混合运算 有理数乘除混合运算通常是先将除法转化成乘法,然后按照乘法法则,确定积的符号,最后求出结果. 注意：除法没有运算律，只有将除法转化为乘法后，才可以利用乘法的运算律简化运算 知识点04 有理数的乘方 有理数的乘方 （1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方． 乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．） （2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0． （3）方法指引： ①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值； ②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减． 非负数的性质：偶次方 偶次方具有非负性． 任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 知识点05 有理数的混合运算 有理数的混合运算 （1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧 1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算． 2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解． 3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算． 4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便． 题型一 有理数的引入分类与相关概念 【例1】（25-26六年级上·上海虹口·期中）中国是最早采用正负数来表示相反意义的量的国家，如果盈利元记作“元”，那么亏损元记作（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【知识点】相反意义的量、正负数的实际应用 【分析】本题考查了相反意义的量，正负数的实际应用，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 盈利记为正数，则亏损记为负数． 【详解】解：∵盈利元记作元， 盈利记为正，则亏损用负数表示， ∴亏损元记作元， 故选：B． 【例2】（25-26六年级上·上海·期中）下列说法正确的是（    ） A．有理数分为正有理数和负有理数； B．负数的绝对值还是负数； C．既没有最小的负数，也没有最大的负数； D．两个有理数的差一定是负数． 【答案】C 【知识点】绝对值的几何意义、有理数的分类、正负数的定义 【分析】本题考查有理数的分类、绝对值的性质、负数的范围以及有理数减法的性质． 需要根据基本概念逐一判断选项的正误． 【详解】∵ 有理数包括正有理数、负有理数和零，但选项A说“有理数分为正有理数和负有理数”，忽略了零， ∴ A错误； ∵ 负数的绝对值是它的相反数，是正数，而不是负数， ∴ B错误； ∵ 负数没有最小值（可无限减小），也没有最大值（负数中越接近零越大，但零不是负数）， ∴ C正确； ∵ 两个有理数的差可以是正数、负数或零，如， ∴ D错误． 故选：C． 【例3】（25-26六年级上·上海黄浦·期中）化简： ． 【答案】 【知识点】化简多重符号 【分析】本题考查了相反数的定义，一个数的相反数的相反数是它本身，据此化简即可求解﹒ 【详解】解：﹒ 故答案为： 【例4】（25-26六年级上·上海·期中）某公司去年第一季度（1月到3月）共亏损万元，第二季度（4月到6月）平均每月盈利万元，说明这个公司去年上半年总的盈亏情况． 【答案】这个公司上半年总共盈利万元 【知识点】正负数的实际应用 【分析】本题考查了正负数的定义，理解题意并列出算式是解题的关键． 根据正负数的定义进行解题． 【详解】解： ， ∴盈利万元． 答：这个公司上半年总共盈利万元． 【变式1】（24-25六年级上·上海·期中）下面说法正确的是（   ） A．正数和负数统称为有理数 B．是最大的负数 C．零不是正数，也不是负数，但是整数 D．自然数就是正整数 【答案】C 【知识点】有理数的分类、有理数的定义 【分析】本题考查的是有理数的定义与有理数的分类，根据有理数的分类进行判断即可．有理数包括：整数（正整数、0和负整数）和分数（正分数和负分数）． 【详解】解：A、正数和负数、零统称为有理数 ，选项错误，不符合题意； B、是最大的负整数，选项错误，不符合题意； C、零不是正数，也不是负数，但是整数，选项正确，符合题意； D、除0以外的自然数就是正整数，选项错误，不符合题意； 故选：C． 【变式2】（25-26六年级上·上海·期中）分数的相反数是 ． 【答案】/ 【知识点】相反数的定义 【分析】本题主要考查了相反数， 根据相反数的定义，正数的相反数是在该数前加负号． 【详解】解：的相反数是． 故答案为：． 【变式3】（25-26六年级上·上海·月考）在，，，，，中自然数是 ． 【答案】，， 【知识点】有理数的分类 【分析】本题考查了自然数的定义，根据自然数是从开始的整数，即可求解． 【详解】解：根据自然数是从开始的整数可知，，，是自然数． 故答案为：，，． 【变式4】（25-26六年级上·上海宝山·期中）如果与互为相反数，那么 ． 【答案】3 【知识点】求一个数的绝对值、相反数的应用 【分析】本题考查相反数和绝对值，根据相反数的定义，求出A的值，再代入绝对值计算即可． 【详解】解：因为 A 与互为相反数， 所以， 故； 故答案为：3． 【变式5】把下列各数分类，并填在表示相应集合的大括号内： ，，，，，，，， （1）整数集合：{ …}； （2）分数集合：{ …}； （3）非正数集合：{ …}； （4）负有理数集合：{ …}． （5）自然数集合：{ …}． 【答案】（1）；（2）； （3）；（4）；（5）． 【知识点】带“非”字的有理数、有理数的分类 【分析】（1）根据整数的定义进行分析，即可； （2）根据分数的定义进行分析，即可； （3）根据非正数的定义进行分析，即可； （4）根据负数，有理数的定义进行分析，即可； （5）根据自然数的定义进行分析，即可． 【详解】（1）整数集合：； （2）分数集合：； （3）非正数集合：； （4）负有理数集合：； （5）自然数集合：． 【点睛】本题考查有理数的知识，解题的关键是掌握有理数的分类． 题型二 有理数大小比较 【例1】（25-26六年级上·上海浦东新·期中）若（a、b、c都大于0），下面关系正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数大小比较 【分析】本题考查等式的性质与比大小，掌握好等式的两条性质是解题关键． 利用等式的性质，将已知等式转化为用a表示b和c，然后比较大小． 【详解】解：根据等式的性质，等价于， ∴， 等价于， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 【例2】（25-26六年级上·上海宝山·期中）某乳品公司生产盒装牛奶，根据质量要求，每盒牛奶的净含量可以有升的误差．现抽查6盒牛奶，超过规定净含量的升数记作正数，不足规定净含量的升数记作负数．检查结果如下表所示，那么其中净含量最接近规定的盒装牛奶编号是 ． 1 2 3 4 5 6 【答案】6 【知识点】有理数大小比较的实际应用 【分析】本题主要考查了有理数比较大小的实际应用，比较各编号误差的绝对值，绝对值最小的最接近规定净含量． 【详解】解：，，，，，， ∵， ∴净含量最接近规定的盒装牛奶编号是6， 故答案为：6． 【变式1】（25-26六年级上·上海·月考）比较大小： ． 【答案】> 【知识点】有理数大小比较 【分析】本题考查了有理数的大小比较，通过比较两个负数的绝对值大小，绝对值大的负数反而小． 【详解】解：，， 因为， 所以， 因此． 故答案为：>． 【变式2】（24-25六年级上·上海·月考）用“”号连接：，，； ． 【答案】 【知识点】有理数大小比较、化简多重符号、求一个数的绝对值 【分析】题目主要考查有理数的大小比较，多重符号的化简，熟练掌握化简方法是解题关键． 先化简每个表达式，再比较数值大小． 【详解】解：，，， ， ， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25六年级上·上海宝山·期中）如图，记录了三个城市某年一月份的平均气温，其中平均气温最低的城市是 ． 城市 北京 上海 天津 平均气温 【答案】天津 【知识点】有理数大小比较的实际应用、有理数大小比较 【分析】本题考查了正数和负数，有理数的比较大小，先比较三个城市的平均气温，即可解答，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， ∴平均气温最低的是天津， 故答案为：天津． 题型三 有理数的加法与减法及其应用 【例1】（24-25六年级上·上海金山·期末）纽约、悉尼与北京的时差如下表（正数表示同一时刻比北京时间快的时数，负数表示同一时刻比北京时间慢的时数）： 城市 悉尼 纽约 时差/时 +2 当北京1月8日23时，悉尼、纽约的时间分别是（   ） A．1月9日1时；1月7日10时 B．1月9日1时；1月8日10时 C．1月8日21时；1月8日10时 D．1月8日21时；1月9日12时 【答案】B 【知识点】正负数的实际应用、有理数加法在生活中的应用、有理数减法的实际应用 【分析】本题考查的是正负数的应用，根据时差定义，悉尼比北京快2小时，纽约比北京慢13小时，直接计算悉尼和纽约的时间即可． 【详解】解：由题意可得：悉尼时间1月8日23时2小时1月9日1时； 纽约时间1月8日23时13小时1月8日10时； 故选：B 【例2】（25-26六年级上·上海·月考）计算： ． 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值、有理数加法运算 【分析】本题考查绝对值，以及有理数的加法运算，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则．先计算绝对值，再根据有理数加法法则运算． 【详解】解：， 故答案为：． 【例3】（24-25六年级上·上海·月考）计算： 【答案】 【知识点】有理数加法运算律、有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，加法运算律，掌握相关运算法则是解题关键．结合加法交换律和结合律计算即可． 【详解】解： ． 【例4】（25-26六年级上·上海浦东新·期中）一个数减去等于减去的差，求这个数． 【答案】 【知识点】有理数的减法运算 【分析】本题主要考查了分数的加减运算、有理数的加减运算等知识点，弄清楚减数、被减数、差之间的关系是解题的关键． 先根据减数、被减数、差之间的关系列式，然后再运用有理数的加减运算计算即可． 【详解】解：这个数是： ． 答：这个数是. 【变式1】（24-25六年级上·上海·月考）已知甲地的海拔高度是米，甲地比乙地高10米，乙地比丙地低6米，则丙地的海拔高度是 米． 【答案】 【知识点】有理数减法的实际应用 【分析】此题考查了有理数的加减运算的实际应用，根据题意列式求解即可． 【详解】∵甲地的海拔高度是米，甲地比乙地高10米，乙地比丙地低6米， ∴（米） ∴丙地的海拔高度是米． 故答案为：． 【变式2】（25-26六年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，正确运算是解题的关键．先把原式写成省略加号和括号的和的形式，再根据加法交换律、结合律进行运算即可． 【详解】解：原式， ． 【变式3】（25-26六年级上·上海·月考）计算：． 【答案】 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数加减中的简便运算 【分析】本题考查了有理数加减混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键；先写成省略括号的形式，再利用交换律与结合律进行简便计算即可． 【详解】解： ． 【变式4】（25-26六年级上·上海松江·期中）为备战学校秋季运动会，小明记录了9月21日至25日每日跑步的距离，正数表示比前一天多跑的距离，负数表示比前一天少跑的距离．已知9月20日小明跑步1000米，具体每日距离变化如表： 日期 9月21日 9月22日 9月23日 9月24日 9月25日 距离变化/米 (1)小明在9月21日、22日各跑步多少米？ (2)小明在这5天的跑步练习中，跑步最多的一天是多少米？ (3)小明在这5天的跑步练习中，累计跑步多少米？ 【答案】(1)米；米 (2)米 (3)累计跑步米 【知识点】有理数加减混合运算的应用、正负数的实际应用 【分析】本题考查正负数的应用，有理数加减运算解决实际问题，读懂题意，准确得到每天跑步距离是解决问题的关键． （1）按照每日距离变化表，直接计算即可得到答案； （2）按照每日距离变化表，直接计算这5天跑步距离即可得到答案； （3）由（2）中各天跑步距离直接求和即可得到答案． 【详解】（1）解：9月21日：（米）， 9月22日：（米）， 答：小明在9月21日跑步米、22日跑步米； （2）解：9月21日：（米）， 9月22日：（米）， 9月23日：（米）， 9月24日：（米）， 9月25日：（米）， 9月25日是跑步最多的一天，是（米）； （3）解：由（2）中各天跑步距离可得，（米） 答：累计跑步米． 题型四 有理数的乘法与除法及其应用 【例1】（24-25六年级上·上海·月考）下列说法中错误的是（   ） A．一个数与0相乘，积为0 B．一个数与1相乘，积仍为这个数 C．一个数与相乘，积为这个数的相反数； D．一个数与它本身相乘，积为正数 【答案】D 【知识点】两个有理数的乘法运算、相反数的定义 【分析】本题考查有理数的乘法性质，需逐一判断各选项的正确性，特别注意特殊值0的情况，据此进行判断即可 【详解】解：选项A：任何数与0相乘，积为0，正确； 选项B：任何数与1相乘，积仍为该数，正确； 选项C：任何数与相乘，积为该数的相反数，正确； 选项D：当数为0时，，0不是正数，故错误； 故选：D 【例2】（25-26六年级上·上海·月考） ； 【答案】0 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，任何数与0相乘都得0，据此可得答案． 【详解】解：， 故答案为：0． 【例3】（24-25六年级上·上海·月考）的倒数是 ． 【答案】 【知识点】倒数 【分析】本题考查倒数的定义，熟知倒数的定义是解题的关键． 将带分数转换为假分数，再根据倒数的定义求解即可． 【详解】解：原数为 ，转换为假分数为 ． ∴ 的倒数为 ． 故答案为：． 【例4】（24-25六年级上·上海·月考）计算： 【答案】12 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 利用乘法分配律展开计算即可． 【详解】解：根据乘法分配律， ． 【变式1】（25-26六年级上·上海·月考） ； 【答案】 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题主要考查了有理数的除法计算，将带分数转换为假分数，利用除以一个数等于乘以它的倒数的法则，进行乘法运算并约分即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式2】（25-26六年级上·上海青浦·期中）计算： 【答案】 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的乘除混合运算法则． 先将除法化为乘法，再根据有理数乘法运算法则计算即可． 【详解】解： ． 【变式3】（25-26六年级上·上海浦东新·期中）计算：． 【答案】 【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，乘法运算律的运用，根据题目特点，运用运算律简化运算是关键．先计算绝对值并将除法转化为乘法，再利用乘法分配律计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】解： ． 【变式4】（24-25六年级上·上海浦东新·期中）某快递公司在上海市区开展 “同城即时达” 配送服务，配送员小李的配送路线以公司仓库为原点，规定向东为正方向，向西为负方向，单位为“千米”．小李一天内的6次配送点的坐标依次为（每次配送后均返回仓库再出发）：，，，，，（注：坐标表示该配送点相对原点的位置）．若配送车每行驶1千米的耗油量为0.08升，且出发时油箱内有4升油． (1)小李完成第3次配送并返回仓库后，一共行驶了多少千米？ (2)小李完成全部6次配送任务返回仓库后，油箱内还剩多少升的油？ (3)若将小李的任务调整为：从仓库出发，每次配送后不返回仓库，而是直接前往下一个配送点．问小李完成6次配送任务后，油箱内剩余油量是否足够支撑他行驶到位于仓库西面2千米处的加油站？请通过计算说明理由． 【答案】(1)一共行驶了20千米 (2)油箱内还剩0.16升油 (3)油箱内剩余油量足够支撑他行驶到位于仓库西面2千米处的加油站，理由见解析 【知识点】有理数加法在生活中的应用、有理数乘法的实际应用 【分析】本题主要考查有理数运算的应用，解题的关键是理解题意； （1）计算每一次行驶的路程，注意是往返行驶，然后问题可求解； （2）先求出完成6次配送的总路程，然后根据剩下的油=出发前油箱的油量完成6次配送所消耗的油量，进而问题可求解； （3）根据题意可直接列式进行求解． 【详解】（1）解：由题意得：（千米）； 答：一共行驶了20千米． （2）解：6次配送往返总距离：（千米）； 剩余油量（升）， 答：油箱内还剩0.16升油． （3）解：最后行驶到加油站的总距离（千米）， 所需油量（升）， ∵， ∴油箱内剩余油量足够支撑他行驶到位于仓库西面2千米处的加油站． 题型五 有理数四则混合运算及其应用 【例1】（25-26六年级上·上海浦东新·月考）计算： ． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查有理数的加减运算，将式子转化为，进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【例2】（25-26六年级上·上海·月考）计算：． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算、有理数乘法运算律 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练计算是解题的关键． 将除法转换成乘法，再根据乘法分配律计算即可． 【详解】解： ． 【例3】（25-26六年级上·上海青浦·期中）某公路检修小组从A地出发沿东西向的路面检修公路，规定检修车向东行驶的路程为正，向西行驶的路程为负，一天中行驶记录如下表．（单位：千米） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)收工时，检修小组距离A地多远？在A地的什么方向？ (2)记录到第______次时，检修小组距离A地最远； (3)如果检修车每千米耗油0.2升，那么共耗油多少升？ 【答案】(1)收工时距离A地1千米，在A地的东边 (2)五 (3)共耗油8.2升 【知识点】正负数的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查正负数的实际应用，有理数混合运算的实际应用． （1）将所有行驶记录相加，得到收工时相对于A地的位置，正数表示东，负数表示西； （2）计算每次行驶后的累计位置，并比较其绝对值，绝对值最大时距离A地最远； （3）所有行驶记录的绝对值之和为总路程，乘以每千米耗油量即得总耗油量． 【详解】（1）解：由题意得，（千米）， ∴收工时距离A地1千米，在A地的东边； （2）解：第一次距地：千米， 第二次距地：千米， 第三次距地：千米， 第四次距地：千米， 第五次距地：千米， 第六次距地：千米， 第七次距地：千米， ∴第五次距地最远， 故答案为：五； （3）解：（升）， 答：共耗油升． 【变式1】（24-25六年级上·上海浦东新·期中）计算： ． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握有理数的乘除运算法则是解题的关键．根据有理数的乘除运算规则，同级运算从左到右依次计算，将除法转化为乘法，进行计算即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式2】（25-26六年级上·上海·月考）若a与b互为相反数，m与n互为倒数，则 ． 【答案】 【知识点】倒数、有理数四则混合运算、相反数的定义 【分析】本题考查了相反数的定义，倒数的定义，有理数的混合运算． 根据相反数的定义，倒数的定义得到，，再代入计算即可． 【详解】解：∵a与b互为相反数，m与n互为倒数， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 【变式3】（25-26六年级上·上海·月考）计算： 【答案】0 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的加减乘除混合运算，先把式子的利用商不变的性质整理得到，再进行计算，即可作答． 【详解】解： ． 【变式4】（24-25六年级上·上海·月考）某条河流的水位去年1月1日零时，在警戒线下，若1~3月每月下降，4~6月每月上涨，7~10月每月上涨，11~12月每月下降． (1)这条河流去年总的水位是上涨还是下降？请通过列式计算加以说明． (2)求从哪个月开始，水位超警戒线． 【答案】(1)上涨，见解析； (2)7月 【知识点】正负数的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，理解题意是解题关键． （1）根据题意将每月上涨或下降的水位计算求和即可； （2）设警戒水位线为米，逐月计算水位，找出水位首次变为正数的月份即可． 【详解】（1）解： ， 即这条河流去年总的水位是上涨； （2）解：设警戒水位线为米， 3月时水位为，在警戒线以下， 6月时水位为，在警戒线以下， 7月时水位为，在警戒线以上， 即从7月开始，水位超警戒线． 题型六 有理数的乘方及其应用 【例1】（24-25六年级上·上海·月考）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查有理数的乘方运算，熟练掌握有理数的乘方运算是关键．根据有理数的乘方运算法则计算，即可判断答案． 【详解】解： A、 因为，所以选项 A错误，不合题意； B、 因为，所以选项 B错误，不合题意； C、计算正确，选项C符合题意； D、因为，所以选项D错误，不合题意． 故选：C． 【例2】（24-25六年级上·上海闵行·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．0既没有倒数，也没有相反数 B．能够写成分数（a、b是整数，）的数叫作有理数 C．如果一个数的偶次幂是正数，那么这个数是负数 D．如果一个数的平方等于它本身，那么这个数是 【答案】B 【知识点】有理数幂的概念理解、倒数、相反数的定义、有理数的定义 【分析】本题考查倒数、相反数、偶次幂、有理数的乘方，掌握倒数、相反数、偶次幂、有理数的乘方的意义是正确判断的前提．根据倒数、相反数、偶次幂的意义进行判断即可． 【详解】解：A．没有倒数，但0的相反数是0，因此选项A不正确； B．能够写成分数（a、b是整数，）的数叫作有理数，因此选项B正确； C．如果一个数的偶次幂是正数，那么这个数可能是正数，有可能是负数，因此选项C不正确； D．如果一个数的平方等于它本身，那么这个数是0或，因此选项D不正确； 故选：B． 【例3】（25-26六年级上·上海·月考）进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统．约定逢十进一是十进制，逢二进一是二进制．十进制数，记作1024；二进制数，记作；二进制数转化为十进制数为 ． 【答案】 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查了进制问题． 根据二进制转化为十进制的方法，将二进制数的每一位乘以对应的2的幂次再求和． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式1】（25-26六年级上·上海奉贤·期中）名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意为：一尺木棍，第一天截取它的一半，以后每天截取剩下部分的一半，那么永远也截取不尽．照这样推算，第四天截取木棍总长度的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】乘方的应用 【分析】本题主要考查了有理数的乘方的意义，熟练掌握有理数的乘方的意义是解题的关键． 根据题意，第一天截取，第二天截取，第三天截取，依次类推即可． 【详解】解：第一天截取，则剩下； 第二天截取，则剩下； 第三天截取，则剩下； …… 由此可以得到第天截取， 第四天截取木棍总长度的． 故选：B． 【变式2】（24-25六年级上·上海·月考）某种细胞，每过20分钟便由1个分裂成2个，2个这种细胞，经过1小时，能分裂成 个． 【答案】16 【知识点】乘方的应用 【分析】本题考查了有理数乘方的应用，熟练掌握运算法则是解题关键．先求出细胞每20分钟分裂一次，1小时共分裂3轮，再根据每过20分钟便由1个分裂成2个列式计算即可得． 【详解】解：∵每过20分钟细胞分裂一次， ∴经过1小时，分裂轮数为（轮）， ∵某种细胞，每过20分钟便由1个分裂成2个， ∴2个这种细胞，经过1小时，能分裂成（个）， 故答案为：16． 【变式3】（24-25六年级上·上海·期中）生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10010转化为十进制数：；其他进制也有类似的算法…… (1)根据以上信息，将二进制数“101110”转化为十进制的数是______； (2)按照上面的格式将十进制数“4372”转化为八进制数是______； (3)在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时间一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，则孩子已经出生的天数是______天． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】乘方的应用 【分析】本题考查了有理数乘方的应用； （1）根据题目信息直接进行计算即可； （2）根据十进制转八进制的方法列式计算即可； （3）根据满五进一可知，类似于五进制数，然后仿照二进制转十进制的方法列式计算即可． 【详解】（1）解：将二进制数“10110”转化为十进制数是， 故答案为：； （2）解： ， 则将十进制数“4372”转化为八进制数为：； （3）解：因为从右向左绳结的数量依次为2，3，1， 所以孩子已经出生的天数为天． 题型七 程序流程图与有理数计算 【例1】（25-26六年级上·上海·期中）如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，第一次输出的结果是1，返回进行第二次运算则输出的是8，…，则第2025次输出的结果是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】本题考查了程序图与有理数计算的规律性问题．先根据数据运算程序计算出前几次的输出结果，再归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：第1次运算输出的结果为， 第2次运算输出的结果为， 第3次运算输出的结果为， 第4次运算输出的结果为， 第5次运算输出的结果为， 第6次运算输出的结果为， 第7次运算输出的结果为， 第8次运算输出的结果为， 归纳类推得：运算结果以1、8、4、2为周期，每4次循环一次， ，余数为1， 所以第2025次运算输出的结果与第1次输出的结果相同， 即为1， 故选：A． 【例2】（25-26六年级上·上海普陀·期中）下图是一个流程图． (1)已知输入的的值为，求出最后输出结果； (2)已知输入的的值为，求出最后输出结果． 【答案】(1)． (2)． 【知识点】程序流程图与有理数计算、有理数四则混合运算 【分析】此题考查了程序的流程图及有理数的混合运算，弄清题中的程序流程列出算式进行计算是解题的关键． （1）根据题中的程序流程图，将 代入计算得到结果为，不是整数，输出结果即可． （2）根据题中的程序流程图将 代入计算得到结果为9，是整数，再根据题中的程序流程图计算得到结果为是整数，再根据题中的程序流程图计算得到结果为是整数，再根据题中的程序流程图计算得到结果为不是整数，输出结果即可． 【详解】（1）解：把代入程序中得：， 不是整数，     输出结果为：． （2）解：把代入程序中得：， 是整数， 把代入程序中得：， 是整数， 把代入程序中得：， 是整数， 把代入程序中得：， 不是整数， 输出结果为：． 【变式1】（25-26六年级上·上海闵行·月考）如图所示是计算机程序计算，若开始输入，则最后输出的结果是 ． 【答案】13 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】此题考查的是根据程序图求值，掌握程序图中的条件和有理数的各个运算法则是解决此题的关键．将代入，按照程序图运算，结果不满足，就将结果重复程序图中的运算，直到结果，输出结果即可． 【详解】解：若开始输入时，则， ∴， ∴则最后输出的结果是13， 故答案为：13． 【变式2】（25-26六年级上·上海闵行·月考）按照如图所示的计算程序，若输入的，则输出的值为；若输入的，则输出的结果 ． 【答案】3 【知识点】程序流程图与有理数计算 【分析】此题主要考查了代数式求值，正确得出b的值是解题关键．直接利用已知代入得出b的值，进而求出输入时，得出y的值． 【详解】解：∵当输入x的值是，输出y的值是， ∴， 解得：， 故输入x的值是3时，． 故答案为：3． 【变式3】（25-26六年级上·上海杨浦·期中）如图所示为一种数值转换机的运算程序． (1)输入分数，输出的结果为______； (2)输入分数，输出的结果为_______； (3)如果输出的结果是，那么输入的分数是多少？ 【答案】(1) (2) (3)或或或 【知识点】程序流程图与有理数计算、相反数的定义、有理数的分类 【分析】此题将计算机编程流程与数学结合，题型新颖，考查了正负数的认识，有理数的加减法和相反数，正确计算是解题的关键． （1）先判断是负数，再进行的计算，判断结果为负数，直接输出即可； （2）先判断出是正数，再进行的计算，结果为正数，再取相反数即可； （3）要对输出结果进行分类讨论，前一程序结果是和进行逆向运算，并要验证是否符合题意即可． 【详解】（1）解：因为是负数，所以运算为， 所以输出结果为． （2）解：因为是正数，所以运算为， 所以输出结果为的相反数为． （3）解：如果输出的结果是，那么可分两种情况讨论： ①输出之前是取了相反数，使得结果为，则有，符合题意； ，符合题意； ②输出之前是未取相反数，结果就是，则有，符合题意 ，符合题意； 所以输入的分数为或或或． 题型八 有理数的混合运算 【例1】（25-26六年级上·上海·月考）＝ ； 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算和乘除运算，掌握相关法则是解题的关键．先计算乘方，再将除法转化为乘法计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【例2】（24-25六年级上·上海·月考）计算： 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握运算法则是解体的关键. 先计算乘方，再计算乘除即可. 【详解】解：原式 . 【例3】（24-25六年级上·上海·月考）计算：； 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算、有理数乘法运算律 【分析】此题考查有理数的混合运算，掌握运算顺序，正确判定符号计算即可． 先算乘方和括号里面的，再算乘除，最后算加减法即可． 【详解】解： 【例4】（25-26六年级上·上海·月考）计算： 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算． 先计算乘方，并将带分数化为假分数，再结合乘法分配律计算乘除即可． 【详解】解： ． 【变式1】（25-26六年级上·上海·月考）计算：． 【答案】 【知识点】有理数的乘方运算、含乘方的有理数混合运算、求一个数的绝对值、有理数四则混合运算 【分析】该题考查了有理数的混合运算，先将绝对值、带分数、幂分别化简为最简形式，再根据有理数乘法法则（负负得正）计算乘积，得到最终结果． 【详解】解： ． 【变式2】（25-26六年级上·上海·月考）计算：． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算，先计算乘方和绝对值，再计算乘除法，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 【变式3】（25-26六年级上·上海·期中）计算： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】含乘方的有理数混合运算、有理数乘除混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先把除法变成乘法，再根据乘法计算法则求解即可； （2）先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式4】（25-26六年级上·上海虹口·期中）以下是小杰同学计算的过程： 解：原式             ①                  ②                        ③                                ④ (1)以上解题过程中，最开始出现错误的是第_________步（填序号）： (2)写出正确的解答过程 【答案】(1)② (2)，过程见解析 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算．熟练掌握有理数的乘除混合运算法则，是解题的关键． （1）根据含乘方的有理数混合运算法则判断作答即可； （2）根据含乘方的有理数混合运算法则，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的，进行解答即可． 【详解】（1）解：由题意知，乘除混合运算时，从左向右依次计算， ∴解题过程中开始出现错误的步骤是②， 故答案为：②； （2）解： ． 题型九 绝对值的应用 【例1】（24-25六年级上·上海·月考）下列说法正确的是（   ） A．有理数的绝对值为正数 B．如果两数和为0，那么这两个数绝对值相等 C．只有正数和负数才有相反数 D．如果两个数绝对值相等，那么这两个数之和为0 【答案】B 【知识点】相反数的定义、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值的定义，正确理解相反数的定义和绝对值的定义是解题的关键．根据相反数的定义，绝对值的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、因为0的绝对值为0，不是正数，所以选项A错误，不符合题意； B、如果两数和为0，则它们互为相反数，而互为相反数的绝对值相等，所以选项B正确，符合题意； C、因为0的相反数是0，所以不是只有正数和负数才有相反数，所以选项C错误，不符合题意； D、因为绝对值相等的两数相等或互为相反数，但和不一定为0，所以选项D错误，不符合题意． 故选：B． 【例2】（25-26六年级上·上海普陀·月考）如果，下列成立的是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【知识点】绝对值非负性 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，根据绝对值的非负性可得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 【例3】（25-26六年级上·上海青浦·期中）若，则 ． 【答案】或 【知识点】绝对值的几何意义 【分析】本题考查了绝对值的定义，绝对值表示数轴上点到原点的距离，根据绝对值的定义，一个数的绝对值为3，则这个数可以是3或，由此即可得解，熟练掌握绝对值的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴或， 故答案为：或． 【变式1】（25-26六年级上·上海·期中）如果是有理数，则下列各式的值一定不小于零的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】绝对值非负性 【分析】本题考查绝对值的非负性．绝对值具有非负性，对于任意有理数恒成立；而其他选项在取负值时可能小于零． 【详解】解：∵表示的绝对值，根据绝对值的定义，对于任何有理数，都有； 而A．、B．、C．在时均可能小于零， 例如当时，， 但当时，， ∴只有选项D的值一定不小于零． 故选：D． 【变式2】（25-26六年级上·上海·月考）已知，则 ， ． 【答案】 1 / 【知识点】绝对值非负性 【分析】本题考查了绝对值的非负性．根据绝对值的非负性，两个非负数的和为零，则每个数都为零，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，且， ∴， 解得， 解得， 故答案为：． 【变式3】（25-26六年级上·上海·期中）数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A、B两点间的距离就可记作．回答下列问题： (1)几何意义是数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是______；式子的几何意义是_______． (2)根据绝对值的几何意义，当时，______； (3)当表示x的点在与5之间移动时，的值为一个固定的值是______； (4)探究：的最小值是______． 【答案】(1)，数轴上表示数的点与数的点之间的距离 (2)或5 (3)7 (4)8 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，绝对值的几何意义，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键： （1）根据两点间的距离公式列式，根据绝对值的意义，进行作答即可； （2）根据绝对值的几何意义，以及两点间的距离公式进行计算即可； （3）根据绝对值的几何意义，进行求解即可； （4）根据绝对值的几何意义，得到当在和7之间时，的值最小，为和7之间距离，进行求解即可． 【详解】（1）解：几何意义是数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是； 式子的几何意义是数轴上表示数的点与数的点之间的距离； （2）解：，即数轴上表示的点到表示2的点的距离为3， ∴或； 故答案为：或5； （3）解：当表示x的点在与5之间移动时，； （4）解：表示数轴上表示的点到表示的点以及到表示的点的距离之和， ∴当表示x的点在与7之间移动时，的值最小，为． 题型十 数轴上两点之间的距离 【例1】（25-26六年级上·上海·期中）如果数轴上的点Q表示的有理数是，那么点Q到原点的距离为 个单位长度 【答案】6 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了绝对值的定义，理解绝对值的几何意义是解题的关键．点Q表示的有理数为，根据绝对值的几何意义，点到原点的距离等于该数的绝对值． 【详解】解：， 故答案为：6． 【例2】（25-26六年级上·上海浦东新·期中）如图，数轴上单位长度代表，点A、点B都在数轴上，A表示的数为，且点B与点A相距，则点B表示的数是 ． 【答案】或2 【知识点】数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示数，掌握数轴上两点间的距离公式是解答本题的关键． 分点B在点A的左侧和右侧两种情况，分别根据数轴上两点之间的距离求解即可． 【详解】解：当点B在点A的左侧时，点B所表示的数为， 当点B在点A的右侧时，点B所表示的数为． 故答案为：或2． 【变式1】（25-26六年级上·上海·期中）在数轴上，点C到表示的点距离为2个单位长度，且点C在表示的点的左侧，那么点C表示的数为 ． 【答案】 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示数，数轴上两点之间的距离， 根据数轴上两点间距离公式和点的位置关系，列出绝对值方程求解，并结合点C在左侧的条件确定答案． 【详解】解：设点C表示的数为x，根据题意，点C到的距离为2， 即， 解得或， 又因为点C在的左侧， 所以． 故答案为：． 【变式2】（25-26六年级上·上海杨浦·期中）（1）在数轴上分别画出点、、、．点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是． （2）数轴上点表示的数是，点距离点为个单位长度，求点表示的数． 【答案】（1）见解析；（2）或． 【知识点】数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，数轴上两点间的距离． （1）用数轴上的点表示各数即可； （2）根据数轴上两点间的距离作答即可． 【详解】（1）解：如图： （2）解：数轴上点表示的数是，点距离点为个单位长度， 则点表示的数是或． 【变式3】（25-26六年级上·上海闵行·期中）如图，将一把刻度尺放在数轴上，刻度尺上的“”和“”分别对应数轴上的和． (1)若数轴的单位长度是，那么的值为_____． (2)若刻度尺上“”对应数轴上的3，那么的值为_____． (3)已知点和所表示的点在同一数轴上，点和所表示的点相距5个单位长度，则点表示的数是_____． 【答案】(1)1 (2) (3)2或 【知识点】数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查数轴与有理数，掌握数轴上两点间的距离公式的计算方法是正确解答的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离与刻度尺上两点之间的距离相等进行计算即可； （2）根据刻度尺的刻度对应值，求出数轴上的单位长度，再根据数轴上两点之间的距离与刻度尺上两点之间的距离相等进行计算即可． （3）分点在左右两侧根据两点间距离公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，． 解得， 故答案为：1； （2）解：∵刻度尺上“”对应数轴上的3， ∴数轴的单位长度为， 所以， 解得． 故答案为：5； （3）解：当点在左侧时，点表示的数是：； 当点在右侧时，点表示的数是：； 故答案为：2或． 题型十一 数轴上点的平移（动点问题） 【例1】数轴上一点A向左移动5个单位后到达点B，如果点B到原点的距离为1，则点A表示的数是（    ） A．1 B．1或 C．5或 D．4或6 【答案】D 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上点的平移（动点问题） 【分析】本题考查了用数轴表示有理数，数轴上两点之间的距离，先得出点B表示的数，再得出点A表示的数即可． 【详解】解：由条件可知：点B表示的数是：和1， ∵点A向左移动5个单位后到达点B， ∴点A表示的数是4或6， 故选：D． 【例2】（25-26六年级上·上海·期中）如图，点､､是数轴上排列的三个点（数轴的单位长度是），对应刻度尺上的数分别､和，移动刻度尺，当点在数轴上表示的数为时，数轴上点所对应的数为 ． 【答案】0.6/ 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、数轴上点的平移（动点问题） 【分析】本题主要考查了实数与数轴．求出在数轴上点B和点C的距离，这个距离等于点C和点B表示的两数之间的距离，点B表示，则点C表示的数即可求出． 【详解】解：∵数轴上点B和点C对应刻度尺上的数分别为1.8，5.4，且数轴的单位长度是， ∴点B和点C的距离为， ∴当点在数轴上表示的数为时，数轴上点所对应的数为， 故答案为：0.6． 【变式1】 数轴上点A表示的数是，将点A在数轴上平移6个单位长度得到点B，则点B表示的数是 ． 【答案】1或 【知识点】数轴上点的平移（动点问题） 【分析】本题主要考查了数轴上的动点，掌握“右移加，左移减”是解题的关键． 根据平移时坐标的变化规律列式计算即可． 【详解】解：当点A在数轴上向右平移6个单位长度得到点B，则； 当点A在数轴上向左平移6个单位长度得到点B，则． 综上，点B表示的数是1或． 故答案为：1或． 【变式2】 在数轴上有一个动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上运动，若点的运动规律是先向右运动1个单位长度，再向左运动2个单位长度，再向右运动3个单位长度，再向左运动4个单位长度，以此类推，每次运动单位长度依次递增，第113秒时，点在数轴上所对应的数是 ． 【答案】 【知识点】有理数的加减混合运算、数轴上点的平移（动点问题）、数轴上的规律探究 【分析】本题考查数轴上点的运动规律问题，根据数轴上运动时“右加左减”计算即可． 【详解】解：∵，， ∴第113秒时，点在数轴上所对应的数是， 故答案为：． 【变式3】（25-26六年级上·上海·期中）如图，边长是的正方形放在数轴上，点与原点重合，点与表示的点重合，将正方形在数轴上向右滚动，问 (1)点第一次落在数轴上时，点所表示的数是__________． (2)点第五次落在数轴上时，点所表示的数是__________． (3)点落在（2）题表示的数时，以点、、三点为顶点的三角形面积是____________． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】数轴上点的平移（动点问题）、数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查用数轴上的点表示有理数，解题的关键是掌握数轴上的点表示有理数的方法． （1）根据正方形的边长，即可得到点第一次落在数轴上表示的数； （2）根据正方形的周长，即可得到点第五次落在数轴上表示的数； （3）根据题意求出，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为，点与原点重合， ∴点第一次落在数轴上时，点所表示的数是， 故答案为：； （2）解：∵正方形的边长为，点与原点重合，点第一次落在数轴上时，点所表示的数是， ∴点第五次落在数轴上时，点所表示的数是， 故答案为：； （3）解：由（2）知点第五次落在数轴上时，点所表示的数是， 此时，点在点的正上方，点所表示的数是，即， ∴以点、、三点为顶点的三角形面积为， 故答案为：． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25六年级上·上海·月考）如图，数轴上表示的相反数的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【知识点】用数轴上的点表示有理数、相反数的定义 【分析】本题考查了相反数，用数轴上的点表示有理数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数． 根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案． 【详解】解：的相反数是2． 故选：D． 2．（25-26六年级上·上海青浦·期中）如果两个有理数的和是负数，那么这两个数（   ） A．都是负数 B．一个是正数，另一个是负数 C．至少有一个是负数 D．以上答案都不正确 【答案】C 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题考查了有理数的加法，两个有理数的和为负数，说明它们的总和小于零，如果两个数都是非负数（即正数或零），则它们的和必然大于或等于零，与和为负数矛盾，因此，至少有一个数是负数，由此即可得解，熟练掌握有理数的加法法则是解此题的关键． 【详解】解：设两个有理数为和，且， 如果且，则，与矛盾， 故和不能同时为非负数， ∴那么这两个数至少有一个是负数， 故选：C． 3．（25-26六年级上·上海青浦·期中）若，，且，则的值为() A． B． C．1或 D．5或． 【答案】C 【知识点】两个有理数的乘法运算、求一个数的绝对值 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的乘法运算法则；由绝对值的意义，和各有两种取值，但根据可知和异号，因此只有两种可能组合，分别计算即可得到结果． 【详解】解：，或， ，或， 又，和异号． 当，时，， 当，时，， 的值为或． 故选：C． 4．（25-26六年级上·上海·月考）立方等于其相反数的数是 ． 【答案】0 【知识点】相反数的定义、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了相反数的定义，有理数的乘方运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据立方的意义、相反数的意义求解． 【详解】解：立方等于其相反数的数是0， 故答案为：0． 5．（24-25六年级上·上海金山·期末）计算：． 【答案】 【知识点】含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，先运算乘方，再运算括号内，然后把除法化为乘法，最后运算乘法，即可作答． 【详解】解： ． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 6．（24-25六年级上·上海·月考）比较大小： 【答案】 【知识点】化简多重符号、求一个数的绝对值、有理数大小比较 【分析】本题考查了绝对值和相反数，有理数的大小比较，掌握相关运算法则是解题关键．先化简绝对值和多重符号，再比较大小即可． 【详解】解：∵ ； ； ∴， 所以 ． 故答案为：． 7．（25-26六年级上·上海·月考）计算：． 【答案】111 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题主要考查了有理数的乘法分配律，根据乘法分配律去括号，然后计算乘法，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 8．（25-26六年级上·上海·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2)8 (3) (4)16 (5) 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数乘法运算律、有理数乘除混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算、加减法及乘除运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加减运算法则可进行求解； （2）把除法化为乘法，再按顺序计算可进行求解； （3）逆用有理数乘法分配律可进行求解； （4）根据有理数乘法分配律可进行求解； （5）先算乘方和绝对值，然后再进行有理数的加减运算可进行求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ． 9．（25-26六年级上·上海·期中）小王上周五在股市以收盘价（收市时的价格）每股25元买进某公司股票1000股，在接下来的一周交易日内，小王记下该股票每日收盘价格相比前一天的涨跌情况：（单位：元） 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌（元） 根据上表回答问题： (1)星期二收盘时，该股票每股______元？ (2)本周内该股票收盘时的最高价是______元，最低价是______元？ (3)已知买入股票与卖出股票均需支付交易费．交易费的计算方式是：成交金额乘以0.005．若小王在本周五以收盘价将全部股票卖出，他的收益情况如何？ 【答案】(1) (2)； (3)小王在本周五以收盘价将全部股票卖出，他会赚元 【知识点】正负数的实际应用、有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查有理数的混合运算，正数和负数，理解题意并列得正确的算式是解题的关键， （1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）根据正数和负数的实际意义分别求得每天的实际股票价格后即可求得答案； （3）结合（2）中所求列式计算即可． 【详解】（1）解：（元）， 即星期二收盘时，该股票每股元， 故答案为：； （2）解：周一实际的股票价格：（元）， 周二实际的股票价格：（元）， 周三实际的股票价格：（元）， 周四实际的股票价格：（元）， 周五实际的股票价格：（元）， 则本周内该股票收盘时的最高价是元，最低价是元， 故答案为：；； （3）解： （元）， 即小王在本周五以收盘价将全部股票卖出，他会赚1740元． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 10．（25-26六年级上·上海浦东新·期中）计算（新教材）． (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求一个数的绝对值、有理数加减中的简便运算 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，有理数加减中的简便运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）同分母的先相加； （2）小数化为分数，同分母的先相加； （3）先化去绝对值，再加同分母的先相加． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 11．（25-26六年级上·上海·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3)4 (4)16 (5) (6) 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数乘除混合运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题主要考查含有乘方的有理数的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）先通分，再根据分数的加减运算法则计算即可； （2）同分母分数向加，再根据整数与分数的加减运算法则计算即可； （3）先确定符号，再把小数变分式，除法变乘法，根据有理数乘除混合运算法则计算即可； （4）先算括号里，再根据分数的乘除混合运算法则计算即可； （5）先算乘方，绝对值化简，再根据乘法运算法则计算即可； （6）先算括号里的数，再根据分数的除法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 12．（25-26六年级上·上海·月考）如图，数轴上有、两点． (1)、两点表示的数分别是______，______； (2)若点表示，点表示，点表示，请你把点、点、点表示在如图所示的数轴上； (3)将、、、、五个点所表示的数用“”连接起来：______． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题考查了数轴，理解数轴的性质是解答关键． （）观察数轴求解； （）根据数轴的性质，即可将点、点、点表示在数轴上； （）根据数轴上右边的数总比左边的大来求解． 【详解】（1）解：根据题意得： 点表示的数为，点表示的数为. 故答案为：，； （2）根据题意表示如下 （3）∵数轴上右边的数总比左边的数大， ∴． 13．（25-26六年级上·上海·月考）请阅读材料，并解决问题 生活中常用“分贝（）”衡量声音响度，规定：若（L为声音的响度值），则k称为L的“分贝指数”，记为．由定义可知：与表示k、L之间的同一关系．“分贝指数”有如下运算性质： 若A、B为正响度值，则，． (1)根据“分贝指数”的定义，填空： ， ； (2)根据运算性质，填空： （m为正响度值且）； (3)若，计算的值． 【答案】(1)1，3 (2)4 (3) 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查了新定义，有理数的乘方计算，正确理解新定义是解题的关键． （1），，再根据新定义可得答案； （2）根据新定义可得，据此可得答案； （3）根据新定义可得，，再根据可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； （2）解：， ∴； （3）解：∵， ∴； ∵， ∴， ∴． 14．（25-26六年级上·上海虹口·期中）阅读下面材料： 计算：． 解法①： 原式 解法②： 原式． 解法③： 先计算：． 所以，原式 (1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法__________是错误的（填序号）； (2)请你根据材料尝试计算：． 【答案】(1)① (2) 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查了乘法分配律的应用． （1）除法不满足分配律，解法①错误； （2）采用解法③的思路，先计算，再取结果的倒数． 【详解】（1）解：除法不满足分配律因此解法①是错误的． 故答案为：①； （2）解：先计算： 原式 . 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $