专题02 数轴动点相关计算问题（六大压轴题专项训练）数学新教材沪教版五四制六年级上册

**基本信息** 以“通法+题型+挑战”构建三阶训练体系，聚焦数轴动点四大核心要素，通过分类讨论、规律探究等方法培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|2大原则|绝对值表示距离、分类讨论、时间合规性检验|从核心概念到通用方法，构建问题解决底线思维| |题型归纳|6类题型（每类含例+变式）|单动点用含t代数式分段表示；双动点分匀速/变速列方程；新定义转化为常规运算|按“单点→双点→定值→变速→新定义”梯度进阶，覆盖动态问题全场景| |压轴挑战|14道综合题|多阶段运动分段计算、参数分类讨论、新定义迁移应用|融合代数推理与几何直观，培养复杂问题建模能力|

专题02 数轴动点相关计算问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、数轴上单动点分类讨论问题 题型二、数轴上单动点规律探究问题 题型三、数轴动点中的定值求证问题 题型四、数轴双动点匀速运动问题 题型五、数轴双动点变速运动问题 题型六、数轴动点背景下的新定义题型 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 数轴动点问题是初中代数几何核心重难点，所有题型均围绕数轴点的位置表示、动点运动规律、线段距离计算、动态数量关系四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是动点位置、距离公式必须带绝对值，位置不确定时必须分类讨论，二是运动时间取值必须符合实际意义，时间不能为负数，所有动点结果、定值结论、参数取值最终均需结合运动范围合规检验。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、数轴上单动点分类讨论问题 题型模版 1.特征：题干仅有一个动点，未固定动点位置，涉及动点在定点左侧、右侧、两点之间等不确定情况，求解线段长度、点的位置、对应参数值，多解题型居多。 2.方法：先用含时间t的代数式表示动点对应数，利用绝对值列式表示线段距离；根据动点位置分段分类讨论，覆盖所有区间、不重不漏；求出结果后检验时间取值为非负数，剔除不符合运动范围的增根。 【例1】数轴上点 对应的数为 6，点 是数轴上一点，且 ，动点 从原点出发，以每秒 1 个单位的速度沿数轴正方向匀速运动，当 运动至 中点时，运动时间为__________s． 【答案】2 或 10 【详解】解：∵点对应的数为6，， ∴点对应的数为或， ∴当运动至中点时，点对应的数为2或者10， ∴运动时间为2秒或10秒． 故答案为：2或10． 【例2】如图，数轴上两点、对应的数分别是、，其中、满足， (1)求、的值，并在数轴上标出、两点； (2)数轴上有一动点，当时，请直接写出点对应的数的值． 【答案】(1)，， 数轴上标出、两点如下： (2)或 【分析】 【详解】（1）解：， ，， 解得：， （2）、两点对应的数分别为和，点对应的数为， ，， ， ， 解得：或． 【变式1-1】如图，点A，O，B在数轴上表示的数分别为，0，10，点C是数轴上一动点，其表示的数为x． (1)若点C到A、B两点的距离相等，点C表示的数为_______，点C在数轴______（填“正”或“负”）半轴； (2)数轴上是否存在点C，使得点C到点A的距离恰好是点A到点B距离的？若存在，求出x的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)2；正； (2)或 【分析】 【详解】（1）解：因为点C到A、B两点的距离相等，点A，B在数轴上表示的数分别为，10， 所以， ， 所以点C表示的数为， 所以点C在数轴正半轴， 故答案为：2；正； （2）解：存在； 因为点A、B间的距离为：，点C到点A的距离恰好是点A到点B距离的， 所以， ①当点C在点A的左边时，点C表示的数为：， ②当点C在点A的右边时，点C表示的数为：； 综上所述，x的值为：或 . 【变式1-2】如图，在数轴上，点A表示的数是10，点B表示的数为50，点P是数轴上的动点．点P沿数轴的负方向运动，在运动过程中，当点P到点A的距离与点P到点B的距离比是时，点P表示的数是______． 【答案】26或 【详解】解：在点P运动过程中，，即， 分两种情况： ①当点P运动到点A右侧时，， 此时点P表示的数是； ②当点P运动到点A左侧时，设，则， ∵， ∴， 则，则， ∴点P表示的数是， 综上所述，点P表示的数是26或， 故答案为：26或． 【变式1-3】已知在数轴上有两点，点表示的数为，点表示的数为，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒（）． (1)当时，求线段的长度； (2)若点是线段的中点，在点运动的过程中，是否存在某一时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)个单位长度 (2)存在， 【分析】 【详解】（1）解：当时，点表示的数为， ∴个单位长度； （2）解：存在，理由如下： 由题意得，点运动秒时表示的数为， ∵点表示的数为，点是线段的中点， ∴点表示的数为， ∵， ∴，解得或（不合，舍去）， ∴存在，使得． 题型二、数轴上单动点规律探究问题 题型模版 1.特征：单动点按照固定步数、往返、左右交替的规律持续运动，给出前几次运动结果，要求推导第n次运动后的位置、对应数值、运动距离等结论。 2.方法：依次列举前3–5次动点运动后的数值，找出周期规律或等差、递推变化关系；归纳出含n的通用代数式，通过代入特殊值验证规律准确性，结合题意求解对应问题。 【例3】如图，一个动点从原点开始向左运动，每秒运动1个单位长度，并且规定：每向左运动3秒就向右运动2秒，之后再向左运动3秒，向右移动2秒，…，则该动点运动到第2025秒时所对应的数是_____． 【答案】 【详解】解：∵一个动点从原点开始向左运动，每秒运动1个单位长度，且每向左运动3秒就向右运动2秒， ∴每运动5秒相当于该动点向左移动1秒，即向左移动1个单位长度， ∵， ∴该动点运动到第2025秒时所对应的数是， 故答案为：． 【例4】如图，一动点的初始位置位于数轴上的原点，现对该动点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至点，第2次从点向左移动3个单位长度至点，第3次从点向右移动6个单位长度至点，第4次从点向左移动9个单位长度至点，依此类推，移动20次后该动点在数轴上表示的数为________  ． 【答案】 【详解】解：由题意可得：移动次后该点对应的数为(为正数)； 移动次后该点对应的数为(为负数)， 移动次后该点对应的数为(为正数)， 移动次后该点对应的数为(为负数)， 移动次后该点对应的数为(为正数)， ∴移动奇数次后该点所表示的数为； 移动偶数次后该点所表示的数为． ∴移动20次后该点所表示的数为． 故答案为：． 【变式2-1】如图所示，数轴被折成，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字2所对应的点与数轴上的数3所对应的点重合，数轴固定，圆紧贴数轴沿着数轴的正方向滚动，那么数轴上的数2024将与圆周上的数字（　　）重合． A．3 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】 【详解】解：圆上的四个数，每旋转一周即循环一次，则与圆周上的2重合的数是， 即，同理与1重合的数是， 与0重合的数是， 与3重合的数是，其中是正整数． 而，把数和点对应起来， ∴数轴上的数2024将与圆周上的数字1重合． 故选：C． 【变式2-2】在数轴上，点A表示的数为，有一动点P，从点A出发，在数轴上做有规律的运动：第1次从点A出发向右运动1个单位长度到点，第2次从点向左运动2个单位长度到点，第3次从点向右运动3个单位长度到点，第4次从点向左运动4个单位长度到点……按照此规律不断地左右运动，则第2025次运动到点时对应的数为______． 【答案】1010 【分析】 【详解】解：由题意，第2025次运动到点时对应的数为： ． 故答案为：1010． 【变式2-3】长方形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别为和，．若长方形绕着点顺时针方向在数轴上翻转，翻转第次后，点所对应的数为；绕点翻转第次后点A对应的数为；以此类推继续翻转，则翻转次后，落在数轴上的两点所对应的数中较大的是_______________________．    【答案】3035 【详解】解：如图，翻转4次，为一个周期，右边的点移动6个单位，    ∵， ∴右边的点移动， ∴， 故答案为：3035． 题型三、数轴动点中的定值求证问题 题型模版 1.特征：动点在数轴上持续运动，运动时间、位置不断变化，但题干要求证明某一线段和、差、倍数关系或代数式的值为固定不变的常数，与时间t无关。 2.方法：设运动时间为t，表示出动点对应数，列式化简目标代数式；化简后若含t项系数为0，即可证明结果为定值；最后代入任意时刻数值验证定值成立，确保推导无误。 【例5】已知点A、B、C、D在数轴上，点A和点C表示的数分别为、1，点B在点A的右侧，点D在点C的右侧，且，． (1)直接写出点B和点D表示的数分别为： 、 ； (2)若线段沿着数轴向右以2个单位长度/秒的速度运动，同时线段沿着数轴向左以1个单位长度/秒的速度运动，设运动的时间为t（秒），． ①若点B和点D重合，则t的值为 ，若点A和点C重合，则t的值为 ； ②若线段和线段重叠部分为个单位长度，求运动时间t的值； ③当时，下面两个式子：（Ⅰ）；（Ⅱ）中有一个式子的值是定值，你认为是定值的式子是 （填写序号），并直接写出这个定值． 【答案】(1)、2 (2)①；；②或；③是定值的式子是（Ⅰ），这个定值为3 【分析】 【详解】（1）解：∵点A和点C表示的数分别为、1， ∴， ∵，， ∴， ∴点B和点D表示的数分别为、2； 故答案为：、2 （2）解：根据题意得：运动t秒后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，点D表示的数为， ①当点B和点D重合时，， 解得：； 当点A和点C重合时，， 解得：； 故答案为：； ②当点B在点C、D之间时，， 解得：； 当点A在点C、D之间时，， 解得：； 综上所述，运动时间t的值为或； ③当时，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，点D表示的数为，此时线段在线段上， 当时，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，点D表示的数为，此时线段在线段上， ∴当时， 线段在线段上， 此时，， ∴，是定值； ∴，大小与t的值有关，不是定值； 综上所述，是定值的式子是（Ⅰ），这个定值为3． 【例6】如图：在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，c是最大的负整数，且a、b满足． (1)______，______，______． (2)若将数轴折叠，使得点A与点B重合，则点C与数______表示的点重合； (3)点B，C开始在数轴上运动，点B与点C分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设运动时间为t秒，点B与点C之间的距离表示为，则当时，求时间t的值； (4)在（3）的条件下，若点A以每秒1个单位长度的速度同时向左运动，点A与点B之间的距离表示为，则的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)，5， (2) (3)4或8 (4)不变， 【分析】 【详解】（1）解：是最大的负整数，且a、b满足， ，，， ，， 故答案为：；5；． （2）解：， 故答案为： （3）解：秒钟过后，点B表示的数为，点C表示的数为， ， ， 解得或， 时间t的值为4或8； （4）解：的值不随着时间t的变化而变化， t秒钟过后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， ，， ． 的值为定值． 【变式3-1】如图，在数轴上点A表示a，点B表示b，点C表示c，并且，b是数轴上最小的正整数， (1)由题意可得：________，________，________． (2)点A、B、C在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度沿数轴向右运动，设点A、B、C同时运动，运动时间为t秒．在点A、B、C同时运动的过程中，的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，求出的值． 【答案】(1) (2)不随时间t的变化而变化，且为定值13． 【分析】 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∵b是数轴上最小的正整数， ∴， 故答案为：． （2）解：当运动时间为t秒时，A表示的数为，B表示的数为，C表示的数为， ∴， ∴ ， ∴不随时间t的变化而变化，且为定值13． 【变式3-2】如图，已知直线上有两条可以左右移动的线段：，，且，满足，点，分别为，中点． (1)求线段，的长； (2)线段以每秒个单位长度向右运动，同时线段以每秒个单位长度也向右运动．若运动秒后，，求此时线段的长； (3)若，将线段固定不动，线段以每秒个单位长度向左运动，在线段向左运动的某一个时间段内，是否存在的值为定值？如果存在，请求出这个定值，并求出在哪一个时间段内；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)的长为或 (3)当秒时，为定值，定值为 【分析】 【详解】（1）解： ， ，， ，， ，； （2）解：设直线为数轴， ，， ， 设点表示的数为，点表示的数为， 点分别为的中点， 点表示的数是，点表示的数是， 运动后点表示的数是， 点表示的数是， ， ， 解得或， 运动后， 运动后或； 的长为或； （3）解：，，，，， ，， 线段固定不动，线段以每秒个单位速度向左运动， 运动秒后，，， 当秒时，， 当秒时，， 当秒时， ∴当秒时，为定值，定值为． 【变式3-3】如图1，已知数轴上点A表示的数为6，点B在点A左边，且．动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（）秒． (1)数轴上点B表示的数是 ，点P表示的数是 （用含t的式子表示）． (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发，则点P运动多少秒时与点Q相距4个单位长度？并求出此时点P表示的数． (3)若点P，Q以（2）中的速度同时分别从点A，B向右运动，同时点R从原点O以每秒4个单位长度的速度向右运动，是否存在常数m，使得为定值？若存在，请求出m的值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)6秒或14秒，或 (3)存在常数m，使得为定值，m的值为，这个定值为20 【分析】 【详解】（1）解：∵点A表示的数为6，点B在点A左边，且， ∴点B表示的数是， ∵动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴点P表示的数是， 故答案为：，； （2）解：t秒时，Q表示的数为， 根据题意，得， 解得或， 当时，点P表示的数为； 当时，点P表示的数为； 答：点P运动6秒或14秒时与点Q相距4个单位长度，点P表示的数为或； （3）解：设t秒后为定值， 由题意得， ， ∵为定值， ∴的值与t无关， ∴， 解得， ∴当时，为定值，定值为20． 题型四、数轴双动点匀速运动问题 题型模版 1.特征：数轴上两个动点同时运动，两点速度恒定不变，运动方向可同向、相向、反向，求解相遇时间、相距距离、重合位置、定点时刻等问题。 2.方法：分别用含t式子表示两个动点位置，根据相遇、相距、重合等条件列方程；相遇问题利用路程和/路程差列式，距离问题加绝对值，求解后检验时间t≥0，符合实际运动场景。 【例7】数轴上三点对应的数为，动点从出发，每秒向右移动单位，同时动点从出发，每秒向左移动单位． (1)几秒后相遇？ (2)相遇时点对应的数是多少？ 【答案】(1)秒 (2) 【分析】 【详解】（1）解：∵单位， ∴秒， ∴秒后相遇； （2）解：点对应的数是： ． 【例8】如图所示的数轴上，点O为原点，点A表示的数为，点B表示的数为b，且、b满足 (1)A、B两点对应的数分别为＝ ，b＝ ； (2)若将数轴折叠，使点A与点B重合，则原点O与表示数 的点重合； (3)若动点P从点A出发沿数轴正方向运动，动点Q同时从点B出发也沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，点P可以追上点Q？ 【答案】(1)，5 (2)4 (3)3秒后 【分析】 【详解】（1）∵， ∴， ∴． 故答案为：-1，5； （2）∵， ∴原点O与表示数4的点重合． 故答案为：4； （3）由题意，可知A点表示的数是，B点表示的数是5， 设运动t秒后，P点对应的数是，Q点对应的数是， P点追上Q点时，两个点表示的数相同， ， ． 答：运动3秒后，点P可以追上点Q； 【点睛】本题考查了动点与数轴的综合，绝对值的非负性，平方的非负性等，能根据点的运动表示出数轴上点P和点Q表示的数是解题的关键． 【变式4-1】如图，数轴上A点表示的数是，B点表示的数是，C点表示的数是． (1)若要使A、C两点所表示的数是一对相反数，则“原点”表示的数是：____． (2)若此时恰有一只老鼠在B点，一只小猫在C点，老鼠发现小猫后立即以每秒一个单位的速度向点A方向逃跑，小猫随即以每秒两个单位的速度追击．在小猫未抓住老鼠前，用时间t（秒）的代数式表示老鼠和小猫在移动过程中分别与点A之间的距离． 【答案】(1)4 (2)老鼠在移动过程中与点A之间的距离为：，小猫在移动过程中与点A之间的距离为：． 【分析】 【详解】（1） 解：根据相反数的意义，可知“原点”到A、C两点的距离相等，即为：， ∴“原点”表示的数为：， （2） 解：老鼠在移动过程中与点A之间的距离为：， 小猫在移动过程中与点A之间的距离为：． 【变式4-2】已知直线上线段，线段（点在点的左侧，点在点的左侧，起始位置时点与点重合），线段从点开始以1个单位的速度向左运动，同时点从点开始以2个单位的速度向左运动，点是线段的中点，当时，线段运动时间是______． 【答案】4或36 【分析】 【详解】解：设线段运动的时间为t秒，以点A为原点，建立数轴，各点初始位置为： 点A、点表示0，点、点B表示12，点C表示， 根据运动速度和方向，t秒后各点在数轴上的位置为： 点C：，点M：， ∵点N是线段的中点， ∴根据中点坐标公式可得：， ∴，， 已知， 代入得方程：； 分情况讨论： 情况1：， 解得； 情况2：， 解得； 线段运动的时间是4秒或36秒， 故答案为：4或36． 【变式4-3】如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位长度到达点，再向右移动3个单位长度到达点，然后再向右移动5个单位长度到达点． （1）两点间的距离__________； （2）若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左移动，同时点从点、点从点分别以每秒2个单位长度、每秒3个单位长度的速度沿数轴向右移动．设移动时间为秒，则__________． 【答案】 3 12 【分析】 【详解】解：（1）∵一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位长度到达点，再向右移动3个单位长度到达点，然后再向右移动5个单位长度到达点， ∴点A表示的数为， 点B表示的数为：， 点C表示的数为：， ∴； 故答案为：3； （2）由题意得，，， ∴秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴， ， ∴． 故答案为：12． 题型五、数轴双动点变速运动问题 题型模版 1.特征：两个动点运动过程中速度发生改变，存在分段运动（先快后慢、先匀速后变速、折返变速），运动过程分多个阶段，题型综合性强。 2.方法：根据速度变化节点划分运动时间段，分段写出每段速度与动点位置表达式；分阶段列方程求解，严格区分各段时间范围，杜绝跨区间计算，最终汇总所有符合条件的解。 【例9】如图，在数轴上原点表示数0，点表示数是，点表示的数是，且点在原点右侧，点在原点的左侧，点到原点距离24个单位长度．，满足式子．    (1)求m，n的值； (2)若动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动：同时动点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿着数轴向右运动，求两点运动时间为何值时，线段的长为14个单位长度； (3)若动点从点出发沿数轴向左运动，到达原点之前的速度为每秒1个单位长度，到达原点之后的速度为每秒4个单位长度；同时动点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿着数轴向右运动，求两点运动时间为何值时，、两点到原点的距离相等． 【答案】(1)，； (2)运动时间为5或12秒时，线段的长为14个单位长度； (3)运动时间为7或或16秒时，、两点到原点的距离相等． 【分析】 【详解】（1）解：点表示的数是，点在原点的左侧，且点到原点的距离为24个单位长度， ； 又，即， ． 点表示数是，且点在原点右侧， ； （2）解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为． 依题意，得：， 即或， 解得：或． 答：运动时间为5或12秒时，线段的长为14个单位长度； （3）解：①当时，点表示的数为，点表示的数为． ， ， 即或， 解得：或； ②当时，点表示的数为，点表示的数为． ， ， 即， 解得：． 答：运动时间为7或或16秒时，、两点到原点的距离相等． 【例10】如图，将数轴在原点与点处各折一下得到“折线数轴”，点表示，点表示24，点表示16，我们称点与点在“折线数轴”上相距24长度单位．动点从点出发，以2单位/秒速度沿“折线数轴”正向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点从点出发，以1单位/秒速度沿数轴负向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，设它们运动的时间为秒． (1)直接写出点与点在“折线数轴”上相距的长度单位数； (2)当两点在点相遇时，点所对应的数是多少？ (3)当两点相距3个单位长度时，直接写出的值． 【答案】(1)26 (2) (3)或 【分析】 【详解】（1）解：由题意得，点与点在“折线数轴”上相距的长度单位数为； （2）解：由题意得，秒，秒，秒，秒， ∴点P运动到点O的时间为5秒，运动到点C的时间为秒， 点Q运动到点C的时间为8秒，运动到点O的时间为秒， ∴点P与点Q的相遇点一定在上， ∴， 解得， ∴， ∴点M表示的数为； （3）解：由（2）可知，当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵两点相距3个单位长度， ∴， ∴， ∴或， 解得（舍去）或（舍去）； 当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵两点相距3个单位长度， ∴， ∴， ∴或， 解得（舍去）或（舍去）； 当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵两点相距3个单位长度， ∴， ∴， ∴或， 解得或； 当时，点P表示的数为，点Q表示的数为0，此时点P与点Q的距离为11， 当时，点Q过点O向数轴负方向运动，此时点P与点Q的距离大于11，故不满足题意； 综上所述，或． 【变式5-1】“阳光向上，跑动青春”，为营造阳光运动的校园氛围，培养学生热爱体育、崇尚运动的健康观念和良好习惯，学校利用课间进行趣味跑操活动，其中有两名学生课间在操场上沿着直线进行折返跑，往返1次．将这条直线看成数轴，起点记为，折返点记为，主席台记为，两位同学分别记为点，，若动点，从同时出发向点运动，到达点后折返到点．已知：数轴上点、对应的数为、，且满足，点对应的数为的相反数等于本身． (1)直接写出、、的值； (2)设点在数轴上对应的数为，那么当为多少时能使得？ (3)已知点的速度为3个单位长度/秒，点的速度为2个单位长度/秒，当动点到达点后，点开始改变速度，以个单位长度/秒继续折返跑，4秒后，，两点相距2个单位长度，求的值． 【答案】(1)，， (2) (3)或或或 【分析】 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，， ∵k的相反数等于本身， ∴； （2）解：∵， ∴， 当时，， 解得：； 当时，，此方程无解； 当时，动点在点右侧，不成立； ∴当为时能使得； （3）解：当点到达点时，需要的时间为：（秒）， ∴此时点到达，与点的距离为， ∴4秒后，点P的位置为， 当点向点运动时，点在点右侧： ， 解得：； 当点向点运动时，点在点左侧： ， 解得：； 当点到达点后，向点运动时，点在点左侧： ， 解得：； 当点到达点后，向点运动时，点在点右侧： ， 解得：， 综上所述，当的值为或或或时，4秒后，、两点相距2个单位长度． 【变式5-2】，如图1，点与点到原点的距离相等，、、分别表示、、三点在数轴上对应的数，如图2，我们将数轴在点和点处各弯折一次，使与处于水平位置、动点从点出发到点停止，以每秒2个单位的速度沿数轴正方向运动，上坡时的速度变为原来的一半，之后恢复原来的速度，动点从点处出发到点停止，以每秒1个单位的速度沿数轴负方向运动，下坡时的速度变为原来的两倍，之后恢复为原来的速度，若、同时出发，设运动时间为． (1)_____，_____，_____； (2)当、两点相遇时，求运动时间的值； (3)在运动过程中，是否存在，使动点、两点在数轴上相距的长度是、两点在数轴上相距的长度的倍，若存在，直接写出的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)当、两点相遇时，运动时间的值为 (3)存在动点、两点在数轴上相距的长度是、两点在数轴上相距的长度的倍，的值为或或 【分析】 【详解】（1）解：∵，， ∴， 解得，， ∴点表示的数为，点表示的数为， ∵点与点到原点的距离相等， ∴点表示的数为，即， 故答案为：； （2）解：动点从点出发到点停止，以每秒2个单位的速度沿数轴正方向运动，上坡时的速度变为原来的一半，动点从点处出发到点停止，以每秒1个单位的速度沿数轴负方向运动，下坡时的速度变为原来的两倍，设运动时间为， 由（1）可知，当在点表示的数为，点表示的数为， ∴点从的时间为，从的时间为，从的时间为， 点从的时间为，从的时间为，从的时间为， ∴当时，点在上，点在上，不能相遇，不符合题意； 当时，点走的路程为， 点走的路程为， 当、两点相遇时，， 解得，，不符合题意，舍去； 当时，点表示的数为，点表示的数为， 当、两点相遇时，， 解得，； ∴当、两点相遇时，运动时间的值为； （3）解：存在，理由如下， 第一种情况：时，点在上，点在上， 点、两点在数轴上相距为：， 点、两点在数轴上相距为， ∴， 解得，； 第二种情况：时，点在上、在上， 点、两点在数轴上相距为:， 点、两点在数轴上相距为， ∴， 解得：； 第三种情况：时，点、在上， 点、两点在数轴上相距为:， 点、两点在数轴上相距为， ∴， 解得，； 第四种情况：时，点在上，点在上， 点、两点在数轴上相距为：， 点、两点在数轴上相距为， ∴， 解得：；（舍去） 第五种情况：时，点在上，点在上时， 点、两点在数轴上相距为:， 点、两点在数轴上相距为， ∴， 解得，（舍去）； 综上所述，存在动点、两点在数轴上相距的长度是、两点在数轴上相距的长度的倍，的值为或或． 【变式5-3】已知点、、、在数轴上，它们表示的数分别为，且满足，点在点的右侧且到点的距离12个单位长度，点表示的数是14． (1)_______，________， _______； (2)动点从点出发以4个单位/秒的速度向右运动，同时点从点出发，以个单位/秒速度向左运动． ①当点到达点后停留6秒后再以原来的速度向左运动，假设运动时间为秒．当、两点相距8个单位时，求的值； ②我们规定、两点之间为“变速区”，规则为动点从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，动点从点运动到点期间速度变为原来的3倍，之后也立刻恢复原速，当点到达点时停止运动，点也随之停止运动，当为何值时，、两点的距离是24？ 【答案】(1)；； (2)①或12或或；②或 【分析】 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； ∵点在点的右侧且到点的距离12个单位长度， ∴， ∴； （2）解：①秒， ∴点P从点A运动到点C需要9秒， 当点P从点A运动到点C的过程中，且P、Q没有相遇时，点P与点Q相距8个单位，则， 解得； 当点P从点A运动到点C的过程中，且P、Q相遇后，点P与点Q相距8个单位，则， 解得（舍去）； 当点P在点C停留时，点P与点Q相距8个单位，则， 解得； 当点P从点C向左运动，且P、Q没有相遇时，点P与点Q相距8个单位，则， 解得； 当点P从点C向左运动，且P、Q相遇后，点P与点Q相距8个单位，则， 解得； 综上所述，t的值为或12或或． ②秒，秒 ∴点P从点A运动到点B的时间需要6秒，点Q从点D运动到点C的时间需要6秒 当点P从点A向右运动，且没有经过点B时，若P、Q两点的距离是24，则， 解得； 点P运动出变速区需要的时间为秒，点Q运动出变速区需要的时间为秒， 当点P和点Q都运动出变速区时，若P、Q两点的距离是24，则， 解得； 综上所述，t的值为或． 【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，非负数的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 题型六、数轴动点背景下的新定义题型 题型模版 1.特征：结合数轴动点运动，题干自定义全新概念、新运算、新距离规则，依托动点位置、运动距离设置问题，无法套用常规动点公式。 2.方法：精准读懂新定义规则，将陌生定义转化为常规数轴位置、距离运算；结合动点表达式代入新定义列式计算，严格遵循题干规则，不主观套用旧结论，最终结果代入定义核验。 【例11】设m为有理数，数轴上点A表示有理数a，给出以下两个定义：定义为点A向右移动m个单位长度后得到的点；定义为数轴上的一点从原点出发向右移动个单位长度后得到的点．（说明：向右移动负数个单位长度表示向左移动正数个单位长度．例如，向右移动个单位长度表示向左移动2个单位长度） (1)①若点表示有理数，则表示的有理数是__________； ②若点A，B分别表示有理数，，则与之间的距离为_________； (2)如图，点A，B分别表示有理数，2，试说明与之间的距离为定值，并求出这一定值． 【答案】(1)①3；②3； (2)过程见解析，值为3． 【分析】 【详解】（1）解： ， ②当A表示时，， 当B表示1.5时，， 则：与之间的距离为， 故填①3，②3； （2）根据题意，得，， ∴ 则：与之间的距离为定值，值为3． 【例12】【概念理解】定义：在数轴上，我们称数轴上某点到定点（点表示的数为6）的距离为该点的“绝对坐标”，记作（其中是点表示的数）．如：数轴上有一点表示的数为8，则 【问题情境】如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是6，点表示的数是16，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向点运动，到达点后立即以同样的速度向点运动；动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点运动．，两点同时出发，设运动的时间为秒，当点到点时停止运动，点也随之停止． 【初步探究】（1）根据定义，_____，_____． 【深入思考】（2）在运动过程中，是否存在某一时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【综合探究】（3）我们发现，在，两点运动的过程中的某个阶段，的值是个定值，则定值为_____． 【答案】（1）16，10；（2）存在，；（3）32． 【分析】 【详解】解：（1）∵（是点表示的数），点表示的数是，点表示的数是16， ∴，． 故答案为：16，10． （2）∵点从点出发到B的距离为：， ∴所需时间秒， ∴当时，点P表示的数为； 当时，点Q从点B到A的距离为16，所需时间为：（秒）， ∴点P表示的数为， ∵点Q表示的数为， ①当时，， ∵， ∴， 当，解得：（不符合题意舍去）； 当，解得：（符合题意）； ②当时，， ∵， ∴， 当，解得：（不符合题意舍去）； 当，解得：（不符合题意舍去）． 综上，． （3）①当时，， ∴． ②当时，， ∵， ∴． 综上，当P在A、B之间，Q在B、A之间时，的值是个定值，则定值为32． 故答案为：32． 【变式6-1】【定义新知】 数轴上有三个点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”．例如：如图，数轴上点A，B，C所表示的数依次为1，3，4，此时点是点A，C的“关联点”． 【尝试应用】 （1）若数轴上点表示的数为，点表示的数为1，点表示的数为4，请判断点是否为，的“关联点”，并说明理由． 【拓展探索】 （2）已知数轴上点表示的数为，点表示的数为2，P为数轴上一个动点： ①若点在点的左侧，且点是点A，B的“关联点”，求此时点所表示的数； ②若点在点的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，请求出此时点所表示的数． 【答案】（1）点是点A，B的“关联点”，见解析；（2）①点所表示的数为0或或；②点所表示的数为8或14或5 【分析】 【详解】解：（1）点是点A，B的“关联点” 理由：点与点之间的距离为， 点与点之间的距离为， ∵ ∴点是点A，B的“关联点”； （2）由点A、B所表示的数可知， 点与点之间的距离为． ①当点在点与点之间时： 点与点之间的距离为， 或点与点之间的距离为， 所以此时点表示的数为或； 当点在点的左侧时： 点与点之间的距离等于点与点之间距离的2倍． 所以点与点之间的距离等于点与点之间的距离， 所以此时点表示的数为． 综上可知，点所表示的数为0或或． ②当点为点A，B的“关联点”时： 因为点在点的右侧， 所以点与点之间的距离等于点与点之间距离的2倍， 所以点与点之间的距离等于点与点之间的距离， 所以此时点所表示的数为； 当点为点P，B的“关联点”时： 因为点在点的右侧，点在点的左侧， 所以点与点之间的距离等于点与点之间距离的2倍， 所以点与点之间的距离等于点与点之间的距离， 所以此时点所表示的数为； 当点为点P，A的“关联点”时： 点与点之间的距离等于点与点之间距离的2倍或， 又因为点在点的右侧， 所以此时点所表示的数为或． 综上可知，点所表示的数为8或14或5． 【变式6-2】阅读理解，完成下则各题 定义：已知为数轴上任意三点，若点到点的距离是它到点的距离的倍，则称点是的倍点．例如：如图，点是的倍点，点不是的倍点，但点是的倍点，根据这个定义解决下面问题：    (1)在图中，点______的倍点（填写“是”或“不是”）；的倍点是点______（填写或或或）； (2)如图，为数轴上两点，点表示的数是，点表示的数是，若点是的倍点，则点表示的数是______； (3)若为数轴上两点，点在点的左侧，，一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为秒，求当为何值时，点恰好是和两点的倍点？（用含的代数式表示）． 【答案】(1)是， (2)或 (3)或或 【分析】 【详解】（1）解：由图可得，，， ∴， ∴点是的倍点； ∵， ∴的倍点是点， 故答案为：是，； （2）解：设点表示的数是， 当点在线段上时，则， 解得； 当点在线段的延长线上时，则， 解得； ∴点表示的数是或， 故答案为：或； （3）解：由题意得，， 当点是的倍点且点在线段上时，则， 解得； 当点是的倍点时，则， 解得； 当点是的倍点且点在线段的延长线上时，则， 解得； 综上，当的值为或或时，点恰好是和两点的倍点． 【变式6-3】如图，在数轴上，点和点表示的数分别为和2，点为数轴上一点，定义点关于AB的特征值为． (1)当点表示的数为3时，__________； (2)若，求点表示的数； (3)M、N为数轴上两个动点，点表示的数为，点表示的数为．点为线段上一点，当点在线段上运动时，的最大值记为．直接写出运动过程中的最小值以及此时的值． 【答案】(1) (2)点表示的数为或 (3)的最小值为，此时 【分析】 【详解】（1）解：∵点和点表示的数分别为和2， ∴， ∵点表示的数为3， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， 设点表示的数为x， 当P在A左侧时，，解得：； 当P在B右侧时，，解得：； ∴点表示的数为或； （3）解：点为线段上一点，当点在线段上运动时，的最大值记为， ∵恒定， ∴取得最大值时取得最大值， ∵， ∴此时P在线段外且位于线段上离线段较远的端点． ∵取最小值， ∴当， 即， 解得：， 此时的最大值， ∴最小值． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．数轴上的点沿数轴向右移动7个单位后到达点，且点到原点的距离为1，若数轴上的点到点和到原点的距离相等，则点表示的数是_____． 【答案】或 【详解】解：∵点到原点的距离为， ∴点表示的数为或； ∵点沿数轴向右移动个单位后到达点， ∴点表示的数为或； ∵点到点和到原点的距离相等， ∴点是点A与原点所连线段的中点， 当点表示的数为时，点表示的数为， 当点表示的数为时，点表示的数为． 综上所述，点C表示的数为或． 2．如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为4，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有________________． ①B对应的数是2；②点P到达点B时，；③时，；④在点P的运动过程中，线段的长度不变． 【答案】②④/④② 【详解】解：∵点A对应的数为4，且，在的左侧， ∴点对应的数是，故①错误； 由题意得：， ∴时，点到达点，故②正确； 分两种情况：当点在点的右侧， ， ， ， 时，； 当点在点的左侧， ， ， ， 时，， 综上所述，时，或4，故③错误； 分两种情况：当点在点的右侧， ∵分别为的中点， ， ， 当点在点的左侧， ∵分别为的中点， ∴， ， ∴在点的运动过程中，线段的长度不变，故④正确． 所以，上述结论中正确的是②④． 3．如图，点为原点，、为数轴上两点，，且，点从点开始以每秒个单位的速度向右运动，当点开始运动时，点、分别以每秒个单位和每秒个单位的速度同时向右运动，设运动时间为秒． （1）当时，______________ ； （2）若的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则______________ ． 【答案】 或0 【分析】 【详解】解：（1）点为原点，、为数轴上两点，，且， ，， 数轴上点所表示的数为，点所表示的数为， 当时，点点对应的数为，点点对应的数为， ， 故答案为：； （2）设移动的时间为，则移动后点所表示的数为，点所表示的数为，点所表示的数为， ，，， 当时，， 若的值与的取值无关， 则， 解得：， 当时，， 若的值与的取值无关， 则， 解得：； 故答案为：或0． 4．数轴上点同时运动，规定向右为正方向，表格为不同时间对应数字： 时间 点M对应数 15 3 点对应数 1 9 (1)补全表格； (2)判断两点运动过程中是否相遇，若相遇，求出相遇点表示的数； (3)运动时间为，若，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)相遇，相遇点表示的数为 (3)或5 【分析】 【详解】（1）解：由题意可知，点在时的对应数为，在时的对应数为， 点的运动速度为，即点向左运动，每秒移动3个单位长度， 点在的对应数为； 由题意可知，点在时的对应数为，在时的对应数为， 点的运动速度为，即点向右运动，每秒移动2个单位长度， 点在的对应数为； （2）解：设运动时间为，则点对应数为，点对应数为， 若两点运动过程中相遇，则， 解得：， 即两点运动时相遇，相遇点表示的数为； （3）解：设运动时间为，则点对应数为，点对应数为， ，， ， ， 解得：或5， 即若，的值为或5． 5．如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达点，再向右移动到达点，然后再向右移动到达点，数轴上一个单位长度表示． (1)请你在数轴上表示出，，三点的位置； (2)把点到点的距离记为，则 ； (3)若点以每秒的速度匀速向右移动，同时点以每秒的速度匀速向左移动．设移动时间为秒，问几秒后，两点相距？ 【答案】(1)见解析； (2) (3)秒或秒后，两点相距． 【分析】 【详解】（1）解：点对应的数为， 点对应的数为， 点对应的数为， ，，三点的位置在数轴上表示如下： （2）解：． （3）解：，两点相遇前， 解得， ，两点相遇后， 解得， ∴秒或秒后，两点相距． 6．A，B两点在数轴上的位置如图所示，其中点A对应的有理数为，点B对应的有理数为4．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（）． (1)当时，的长为 ，点P表示的有理数为 ； (2)当时，求t的值． 【答案】(1)4；； (2)2或3 【分析】 【详解】（1）解：当时，， ∴点P表示的有理数为． （2）解：（秒）． 当时，， 解得：； 当时，， 解得：． 答：当时，t的值为2或3． 7．如图，点A、B在一条直线上，距离为10个单位长度，点A以每秒2个单位长度的速度运动，点B以每秒1个单位长度的速度运动．设点A、B同时出发，运动的时间为x秒． (1)若A、B同时向右运动6秒，则点A、B之间的距离是 个单位长度，若同时向左运动6秒，则点A、B之间的距离是 个单位长度． (2)点A、B同时同向开始运动，经过多少秒后点A、B重合？ (3)若点A向右运动，点B向左运动，经过多少秒A、B两点之间相距2个单位长度？ 【答案】(1)4；16 (2)10秒 (3)秒或4秒 【分析】 【详解】（1）解：向右运动时：， 向左运动时：； （2）解：， 答：经过10秒后点A、B重合； （3）解：①点A、B相遇前相距2个单位长度， ， ； ②点A、B相遇后相距2个单位长度， ， ； 答：经过秒或4秒后点A、B两点之间相距2个单位长度． 8．如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上在原点左侧的一点，且两点间的距离为，动点P从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒 (1)点运动到线段的中点时，它所表示的数是______． (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．点在数轴上表示的数为，动点同时出发． ①当点运动多少秒时，点追上点？ ②动点运动到点时则立即返回以原速度向点运动，动点返回到点时动点两点同时停止运动，则点运动多少秒时，点与点间的距离为个单位长度？ 【答案】(1)2 (2)①4秒；②1秒或7秒或9秒 【分析】 【详解】（1）解：∵数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在原点左侧的一点，且两点间的距离为8， ∴点B表示的数为， ∴P点运动到线段的中点时，它所表示的数是； （2）解：①当运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为， 当点追上点时，， 解得：， 即当点P运动4秒时，点P追上点Q； ②点P到点C所用的时间为（秒）， 点Q到点C所用的时间为（秒）， 点P从点C返回到点A所用的时间为（秒）， 点Q从点C返回到点A所用时间为（秒） 当时， 若点P在点Q的右侧，点P与点Q之间的距离为6个单位长度， 则， 解得：； 若点P在点Q的左侧，点P与点Q之间的距离为6个单位长度， 则， 解得：； 当时，点P从点C向点A运动，点Q从点B向点C运动，点P表示的数为， 若点P在点Q左侧，点P与点Q之间的距离为6个单位长度， 则， 解得，不合题意，舍去 若点P在点Q右侧，点P与点Q之间的距离为6个单位长度， 则， 解得：； 当时，点P从点C向点A运动，点Q从点C向点B运动，且点P在点Q的右侧， 点Q表示的数为， 点P与点Q之间的距离为6个单位长度，则， 解得，不合题意，舍去； 综上，点P运动1秒或7秒或9秒时，点P与点Q间的距离为6个单位长度． 9．已知数轴上有A、B、C三点，点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a、b满足，点C在数轴上对应的数为x，且x是方程的解． (1)数轴上点A、B、C表示的数分别为 、 、 ； (2)如图1，若动点P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，经过多少秒时，P、Q之间的距离恰好等于4？ (3)如图2，若动点P、Q两点同时从A、B出发，分别向右以3个单位长度、5个单位长度匀速运动，同时动点R从点C出发，向左以2个单位长度匀速运动．是否存在某一时刻，P、Q、R 三点恰好有其中一点为其余两点的中点？若存在，求出所有满足条件的时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，30，10， (2)经过19秒或21秒时，P、Q之间的距离恰好等于4 (3)秒或秒 【分析】 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴，， 解方程得，， ∴， ∴数轴上点A、B、C表示的数分别为，30，10； （2）解：设运动时间为t秒， 由题意得，运动t秒后点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵P、Q之间的距离恰好等于4， ∴， ∴， ∴或， 解得或， ∴经过19秒或21秒时，P、Q之间的距离恰好等于4； （3）解：设运动时间为m秒， 由题意得，运动m秒后点P表示的数为，点Q表示的数为，点R表示的数为， 当点R为P、Q的中点时，则， 解得； 当点P为R、Q的中点时，则， 解得； 当点Q为P、R的中点时，则， 解得（舍去）； 综上所述，所有满足条件的时间为秒或秒． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，数轴上两点距离计算，非负数的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 10．如图，在数轴上点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为，为原点． (1)，两点间的距离是______，，两点的中点所对应的数是______； (2)若点以每秒个单位长度的速度沿数轴负方向运动，则秒时，点走到的位置所对应的数是______（用含的代数式表示）； (3)若点，都以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向同时运动，而点不动，秒时，，，中有一点是三点所在线段的中点，则的值为______． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】 【详解】（1）解：点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为， ，两点间的距离是：， ，两点的中点所对应的数是． （2）解：点对应的数为，点以每秒个单位长度的速度沿数轴负方向运动， 秒时，点走到的位置所对应的数是； （3）解：由题意可得：秒时，点所对应的数是，点所对应的数是， 当点为点和点的中点时， ， 解得：； 当点为点和点的中点时， ， 解得：； 点不可能是点和点的中点，因为点和点的速度一样，点始终在最右边； 由上可得，的值为或． 11．数轴上两个点表示的数分别是，且满足．点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向右移动秒． (1)直接写出___________，___________； (2)若为的中点，为的中点，试判断在点运动的过程中，线段的长度是否发生变化？请说明理由； (3)对于数轴上的点，给出如下定义：记点到点的距离为，点到点的距离为，如果，那么称点是点的“关联点”． ①若，直接写出点的“关联点”在数轴上对应的数为___________． ②若点是点的“关联点”，且，直接写出的值___________． 【答案】(1)；2 (2)不变，理由见解析 (3)①或；②或或 【分析】 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：； （2）解：根据题意可得： ， 点表示的数为， ，为的中点，为的中点， 点表示的数为，点表示的数为， ， 线段的长度不变； （3）解：①点从点出发向右运动，，， 点表示的数为， ，， ， 点表示的数为或， 故答案为：或； ②点表示的数为， ，， ， ， 当点在点左边时，点表示的数为， ，， ， ， 解得：或； 当点在点右边时，点表示的数为， ， 点在点左边， ，， ， 解得：， 综上所述，或或， 故答案为：或或． 12．如图，数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为9，点D表示的数为17，在点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”，我们称点A和点D在数轴上相距28个长度单位，动点P从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q从点D出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射线和射线上的运动速度相同均为2个单位/秒，“上坡路段”从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍．设运动的时间为t秒，问： (1)动点P从点A运动至D点需要时间为_____秒； (2)P、Q两点到原点O的距离相同时，求出动点P在数轴上所对应的数． 【答案】(1)19 (2)或 【分析】 【详解】（1）解：根据题意知：，，， ∵“水平路线”速度是2个单位/秒，从B到C速度变为“水平路线”速度的一半， ∴动点P从点A运动至D点需要的时间为（秒）； （2）解：设运动时间为t秒， ①当，即P在上，Q在上，由P、Q两点到原点O的距离相同得，方程无解，不符合题意； ②当，即P在上，Q在上时，P表示的数是，Q表示的数是， ∴，解得，此时P已不在上，不符合题意，这种情况不存在； ③当，即P在上，Q在上时，P表示的数是，Q表示的数是， ∴，解得或， ∴P表示的数是或； ④当，即P在上，Q在上时，P表示的数是，Q表示的数是， ∴，解得（不合题意，舍去）， ⑤当，即P在上，Q在上时，P表示的数是，Q表示的数是， ∴，此方程无解，不符合题意； 综上所述，P、Q两点到原点O的距离相同时，动点P在数轴上所对应的数是或． 13．对于数轴上的三个点A，B，C，给出如下定义：若点C到点A的距离是点C到点B的距离的k倍（k为正整数），则称C点是A，B两个点的“整k距点”，记为：．已知点A在数轴上对应的数是，点B在数轴上对应的数是10． (1)若，且点C在数轴上对应的数是7，则______； (2)点M从出发，以每秒1个单位的速度沿数轴正方向运动至点B，设运动的时间为t秒，若，求出t的值； (3)点M从出发，以每秒3个单位的速度沿数轴正方向运动，同时点N从2出发，以每秒1个单位的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒，若，求出t的值． 【答案】(1) (2) (3)或5 【分析】 【详解】（1）解：∵点C对应的数是7，点A在数轴上对应的数是，点B在数轴上对应的数是10， ∴． ∵， ∴，即，解得：． 故答案为：； （2）解：由题意得：，， ， ， 解得：； （3）解：由题意得：，， ， ，， M、N相遇前：，解得：， M、N相遇后：，解得：， 综上：或5． 14．已知数轴上A，B，C三个点表示的数分别是，b，c，且满足，动点P、Q都从点A出发，且点P以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，设点P运动时间为 (1)直接写出______，______； (2)若M为的中点，N为的中点，试判断在点P运动的过程中，线段的长度是否发生变化，请说明理由； (3)当点P运动到点B时，点Q再从点A出发，以每秒3个单位长度的速度在A、C之间往返运动，直至P点停止运动，Q点也停止运动，当点P从点A开始运动后的时间t是______秒时，P、Q两点之间的距离为 【答案】(1)，11 (2) 解：在点P运动的过程中，线段的长度不发生变化，理由如下： 根据题意，P表示的数为， 为的中点，N为的中点， 表示的数为，N表示的数为， ， 线段的长度不发生变化； (3)秒或秒或 【分析】 【详解】（1）解：， ，， ，； （2）略 （3）解：数轴上A，B，C三个点表示的数分别是，，11， ，， 当时，点P运动到点B；Q从A到或从C到所需时间为秒， 根据题意，P表示的数为， ①当时，Q表示的数为， 、Q两点之间的距离为7， ， 或， 解得：或舍去； ②当时，Q表示的数为， 、Q两点之间的距离为7， ， 或， 解得：或； ③当时，Q表示的数为， 、Q两点之间的距离为7， ， 或， 解得：舍去或舍去； 综上所述，t为秒或秒或秒时，P、Q两点之间的距离为7． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 数轴动点相关计算问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、数轴上单动点分类讨论问题 题型二、数轴上单动点规律探究问题 题型三、数轴动点中的定值求证问题 题型四、数轴双动点匀速运动问题 题型五、数轴双动点变速运动问题 题型六、数轴动点背景下的新定义题型 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 数轴动点问题是初中代数几何核心重难点，所有题型均围绕数轴点的位置表示、动点运动规律、线段距离计算、动态数量关系四大核心展开，解题贯穿两条底线原则：一是动点位置、距离公式必须带绝对值，位置不确定时必须分类讨论，二是运动时间取值必须符合实际意义，时间不能为负数，所有动点结果、定值结论、参数取值最终均需结合运动范围合规检验。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、数轴上单动点分类讨论问题 题型模版 1.特征：题干仅有一个动点，未固定动点位置，涉及动点在定点左侧、右侧、两点之间等不确定情况，求解线段长度、点的位置、对应参数值，多解题型居多。 2.方法：先用含时间t的代数式表示动点对应数，利用绝对值列式表示线段距离；根据动点位置分段分类讨论，覆盖所有区间、不重不漏；求出结果后检验时间取值为非负数，剔除不符合运动范围的增根。 【例1】数轴上点 对应的数为 6，点 是数轴上一点，且 ，动点 从原点出发，以每秒 1 个单位的速度沿数轴正方向匀速运动，当 运动至 中点时，运动时间为__________s． 【例2】如图，数轴上两点、对应的数分别是、，其中、满足， (1)求、的值，并在数轴上标出、两点； (2)数轴上有一动点，当时，请直接写出点对应的数的值． 【变式1-1】如图，点A，O，B在数轴上表示的数分别为，0，10，点C是数轴上一动点，其表示的数为x． (1)若点C到A、B两点的距离相等，点C表示的数为_______，点C在数轴______（填“正”或“负”）半轴； (2)数轴上是否存在点C，使得点C到点A的距离恰好是点A到点B距离的？若存在，求出x的值，若不存在，说明理由． 【变式1-2】如图，在数轴上，点A表示的数是10，点B表示的数为50，点P是数轴上的动点．点P沿数轴的负方向运动，在运动过程中，当点P到点A的距离与点P到点B的距离比是时，点P表示的数是______． 【变式1-3】已知在数轴上有两点，点表示的数为，点表示的数为，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒（）． (1)当时，求线段的长度； (2)若点是线段的中点，在点运动的过程中，是否存在某一时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 题型二、数轴上单动点规律探究问题 题型模版 1.特征：单动点按照固定步数、往返、左右交替的规律持续运动，给出前几次运动结果，要求推导第n次运动后的位置、对应数值、运动距离等结论。 2.方法：依次列举前3–5次动点运动后的数值，找出周期规律或等差、递推变化关系；归纳出含n的通用代数式，通过代入特殊值验证规律准确性，结合题意求解对应问题。 【例3】如图，一个动点从原点开始向左运动，每秒运动1个单位长度，并且规定：每向左运动3秒就向右运动2秒，之后再向左运动3秒，向右移动2秒，…，则该动点运动到第2025秒时所对应的数是_____． 【例4】如图，一动点的初始位置位于数轴上的原点，现对该动点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至点，第2次从点向左移动3个单位长度至点，第3次从点向右移动6个单位长度至点，第4次从点向左移动9个单位长度至点，依此类推，移动20次后该动点在数轴上表示的数为________  ． 【变式2-1】如图所示，数轴被折成，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字2所对应的点与数轴上的数3所对应的点重合，数轴固定，圆紧贴数轴沿着数轴的正方向滚动，那么数轴上的数2024将与圆周上的数字（　　）重合． A．3 B．0 C．1 D．2 【变式2-2】在数轴上，点A表示的数为，有一动点P，从点A出发，在数轴上做有规律的运动：第1次从点A出发向右运动1个单位长度到点，第2次从点向左运动2个单位长度到点，第3次从点向右运动3个单位长度到点，第4次从点向左运动4个单位长度到点……按照此规律不断地左右运动，则第2025次运动到点时对应的数为______． 【变式2-3】长方形在数轴上的位置如图所示，点对应的数分别为和，．若长方形绕着点顺时针方向在数轴上翻转，翻转第次后，点所对应的数为；绕点翻转第次后点A对应的数为；以此类推继续翻转，则翻转次后，落在数轴上的两点所对应的数中较大的是_______________________．    题型三、数轴动点中的定值求证问题 题型模版 1.特征：动点在数轴上持续运动，运动时间、位置不断变化，但题干要求证明某一线段和、差、倍数关系或代数式的值为固定不变的常数，与时间t无关。 2.方法：设运动时间为t，表示出动点对应数，列式化简目标代数式；化简后若含t项系数为0，即可证明结果为定值；最后代入任意时刻数值验证定值成立，确保推导无误。 【例5】已知点A、B、C、D在数轴上，点A和点C表示的数分别为、1，点B在点A的右侧，点D在点C的右侧，且，． (1)直接写出点B和点D表示的数分别为： 、 ； (2)若线段沿着数轴向右以2个单位长度/秒的速度运动，同时线段沿着数轴向左以1个单位长度/秒的速度运动，设运动的时间为t（秒），． ①若点B和点D重合，则t的值为 ，若点A和点C重合，则t的值为 ； ②若线段和线段重叠部分为个单位长度，求运动时间t的值； ③当时，下面两个式子：（Ⅰ）；（Ⅱ）中有一个式子的值是定值，你认为是定值的式子是 （填写序号），并直接写出这个定值． 【例6】如图：在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，c是最大的负整数，且a、b满足． (1)______，______，______． (2)若将数轴折叠，使得点A与点B重合，则点C与数______表示的点重合； (3)点B，C开始在数轴上运动，点B与点C分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设运动时间为t秒，点B与点C之间的距离表示为，则当时，求时间t的值； (4)在（3）的条件下，若点A以每秒1个单位长度的速度同时向左运动，点A与点B之间的距离表示为，则的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【变式3-1】如图，在数轴上点A表示a，点B表示b，点C表示c，并且，b是数轴上最小的正整数， (1)由题意可得：________，________，________． (2)点A、B、C在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度沿数轴向右运动，设点A、B、C同时运动，运动时间为t秒．在点A、B、C同时运动的过程中，的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，求出的值． 【变式3-2】如图，已知直线上有两条可以左右移动的线段：，，且，满足，点，分别为，中点． (1)求线段，的长； (2)线段以每秒个单位长度向右运动，同时线段以每秒个单位长度也向右运动．若运动秒后，，求此时线段的长； (3)若，将线段固定不动，线段以每秒个单位长度向左运动，在线段向左运动的某一个时间段内，是否存在的值为定值？如果存在，请求出这个定值，并求出在哪一个时间段内；如果不存在，请说明理由． 【变式3-3】如图1，已知数轴上点A表示的数为6，点B在点A左边，且．动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（）秒． (1)数轴上点B表示的数是 ，点P表示的数是 （用含t的式子表示）． (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发，则点P运动多少秒时与点Q相距4个单位长度？并求出此时点P表示的数． (3)若点P，Q以（2）中的速度同时分别从点A，B向右运动，同时点R从原点O以每秒4个单位长度的速度向右运动，是否存在常数m，使得为定值？若存在，请求出m的值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 题型四、数轴双动点匀速运动问题 题型模版 1.特征：数轴上两个动点同时运动，两点速度恒定不变，运动方向可同向、相向、反向，求解相遇时间、相距距离、重合位置、定点时刻等问题。 2.方法：分别用含t式子表示两个动点位置，根据相遇、相距、重合等条件列方程；相遇问题利用路程和/路程差列式，距离问题加绝对值，求解后检验时间t≥0，符合实际运动场景。 【例7】数轴上三点对应的数为，动点从出发，每秒向右移动单位，同时动点从出发，每秒向左移动单位． (1)几秒后相遇？ (2)相遇时点对应的数是多少？ 【例8】如图所示的数轴上，点O为原点，点A表示的数为，点B表示的数为b，且、b满足 (1)A、B两点对应的数分别为＝ ，b＝ ； (2)若将数轴折叠，使点A与点B重合，则原点O与表示数 的点重合； (3)若动点P从点A出发沿数轴正方向运动，动点Q同时从点B出发也沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，点P可以追上点Q？ 【变式4-1】如图，数轴上A点表示的数是，B点表示的数是，C点表示的数是． (1)若要使A、C两点所表示的数是一对相反数，则“原点”表示的数是：____． (2)若此时恰有一只老鼠在B点，一只小猫在C点，老鼠发现小猫后立即以每秒一个单位的速度向点A方向逃跑，小猫随即以每秒两个单位的速度追击．在小猫未抓住老鼠前，用时间t（秒）的代数式表示老鼠和小猫在移动过程中分别与点A之间的距离． 【变式4-2】已知直线上线段，线段（点在点的左侧，点在点的左侧，起始位置时点与点重合），线段从点开始以1个单位的速度向左运动，同时点从点开始以2个单位的速度向左运动，点是线段的中点，当时，线段运动时间是______． 【变式4-3】如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位长度到达点，再向右移动3个单位长度到达点，然后再向右移动5个单位长度到达点． （1）两点间的距离__________； （2）若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左移动，同时点从点、点从点分别以每秒2个单位长度、每秒3个单位长度的速度沿数轴向右移动．设移动时间为秒，则__________． 题型五、数轴双动点变速运动问题 题型模版 1.特征：两个动点运动过程中速度发生改变，存在分段运动（先快后慢、先匀速后变速、折返变速），运动过程分多个阶段，题型综合性强。 2.方法：根据速度变化节点划分运动时间段，分段写出每段速度与动点位置表达式；分阶段列方程求解，严格区分各段时间范围，杜绝跨区间计算，最终汇总所有符合条件的解。 【例9】如图，在数轴上原点表示数0，点表示数是，点表示的数是，且点在原点右侧，点在原点的左侧，点到原点距离24个单位长度．，满足式子．    (1)求m，n的值； (2)若动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动：同时动点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿着数轴向右运动，求两点运动时间为何值时，线段的长为14个单位长度； (3)若动点从点出发沿数轴向左运动，到达原点之前的速度为每秒1个单位长度，到达原点之后的速度为每秒4个单位长度；同时动点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿着数轴向右运动，求两点运动时间为何值时，、两点到原点的距离相等． 【例10】如图，将数轴在原点与点处各折一下得到“折线数轴”，点表示，点表示24，点表示16，我们称点与点在“折线数轴”上相距24长度单位．动点从点出发，以2单位/秒速度沿“折线数轴”正向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点从点出发，以1单位/秒速度沿数轴负向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，设它们运动的时间为秒． (1)直接写出点与点在“折线数轴”上相距的长度单位数； (2)当两点在点相遇时，点所对应的数是多少？ (3)当两点相距3个单位长度时，直接写出的值． 【变式5-1】“阳光向上，跑动青春”，为营造阳光运动的校园氛围，培养学生热爱体育、崇尚运动的健康观念和良好习惯，学校利用课间进行趣味跑操活动，其中有两名学生课间在操场上沿着直线进行折返跑，往返1次．将这条直线看成数轴，起点记为，折返点记为，主席台记为，两位同学分别记为点，，若动点，从同时出发向点运动，到达点后折返到点．已知：数轴上点、对应的数为、，且满足，点对应的数为的相反数等于本身． (1)直接写出、、的值； (2)设点在数轴上对应的数为，那么当为多少时能使得？ (3)已知点的速度为3个单位长度/秒，点的速度为2个单位长度/秒，当动点到达点后，点开始改变速度，以个单位长度/秒继续折返跑，4秒后，，两点相距2个单位长度，求的值． 【变式5-2】，如图1，点与点到原点的距离相等，、、分别表示、、三点在数轴上对应的数，如图2，我们将数轴在点和点处各弯折一次，使与处于水平位置、动点从点出发到点停止，以每秒2个单位的速度沿数轴正方向运动，上坡时的速度变为原来的一半，之后恢复原来的速度，动点从点处出发到点停止，以每秒1个单位的速度沿数轴负方向运动，下坡时的速度变为原来的两倍，之后恢复为原来的速度，若、同时出发，设运动时间为． (1)_____，_____，_____； (2)当、两点相遇时，求运动时间的值； (3)在运动过程中，是否存在，使动点、两点在数轴上相距的长度是、两点在数轴上相距的长度的倍，若存在，直接写出的值，若不存在，说明理由． 【变式5-3】已知点、、、在数轴上，它们表示的数分别为，且满足，点在点的右侧且到点的距离12个单位长度，点表示的数是14． (1)_______，________， _______； (2)动点从点出发以4个单位/秒的速度向右运动，同时点从点出发，以个单位/秒速度向左运动． ①当点到达点后停留6秒后再以原来的速度向左运动，假设运动时间为秒．当、两点相距8个单位时，求的值； ②我们规定、两点之间为“变速区”，规则为动点从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，动点从点运动到点期间速度变为原来的3倍，之后也立刻恢复原速，当点到达点时停止运动，点也随之停止运动，当为何值时，、两点的距离是24？ 题型六、数轴动点背景下的新定义题型 题型模版 1.特征：结合数轴动点运动，题干自定义全新概念、新运算、新距离规则，依托动点位置、运动距离设置问题，无法套用常规动点公式。 2.方法：精准读懂新定义规则，将陌生定义转化为常规数轴位置、距离运算；结合动点表达式代入新定义列式计算，严格遵循题干规则，不主观套用旧结论，最终结果代入定义核验。 【例11】设m为有理数，数轴上点A表示有理数a，给出以下两个定义：定义为点A向右移动m个单位长度后得到的点；定义为数轴上的一点从原点出发向右移动个单位长度后得到的点．（说明：向右移动负数个单位长度表示向左移动正数个单位长度．例如，向右移动个单位长度表示向左移动2个单位长度） (1)①若点表示有理数，则表示的有理数是__________； ②若点A，B分别表示有理数，，则与之间的距离为_________； (2)如图，点A，B分别表示有理数，2，试说明与之间的距离为定值，并求出这一定值． 【例12】【概念理解】定义：在数轴上，我们称数轴上某点到定点（点表示的数为6）的距离为该点的“绝对坐标”，记作（其中是点表示的数）．如：数轴上有一点表示的数为8，则 【问题情境】如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是6，点表示的数是16，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向点运动，到达点后立即以同样的速度向点运动；动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点运动．，两点同时出发，设运动的时间为秒，当点到点时停止运动，点也随之停止． 【初步探究】（1）根据定义，_____，_____． 【深入思考】（2）在运动过程中，是否存在某一时刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【综合探究】（3）我们发现，在，两点运动的过程中的某个阶段，的值是个定值，则定值为_____． 【变式6-1】【定义新知】 数轴上有三个点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”．例如：如图，数轴上点A，B，C所表示的数依次为1，3，4，此时点是点A，C的“关联点”． 【尝试应用】 （1）若数轴上点表示的数为，点表示的数为1，点表示的数为4，请判断点是否为，的“关联点”，并说明理由． 【拓展探索】 （2）已知数轴上点表示的数为，点表示的数为2，P为数轴上一个动点： ①若点在点的左侧，且点是点A，B的“关联点”，求此时点所表示的数； ②若点在点的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，请求出此时点所表示的数． 【变式6-2】阅读理解，完成下则各题 定义：已知为数轴上任意三点，若点到点的距离是它到点的距离的倍，则称点是的倍点．例如：如图，点是的倍点，点不是的倍点，但点是的倍点，根据这个定义解决下面问题：    (1)在图中，点______的倍点（填写“是”或“不是”）；的倍点是点______（填写或或或）； (2)如图，为数轴上两点，点表示的数是，点表示的数是，若点是的倍点，则点表示的数是______； (3)若为数轴上两点，点在点的左侧，，一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为秒，求当为何值时，点恰好是和两点的倍点？（用含的代数式表示）． 【变式6-3】如图，在数轴上，点和点表示的数分别为和2，点为数轴上一点，定义点关于AB的特征值为． (1)当点表示的数为3时，__________； (2)若，求点表示的数； (3)M、N为数轴上两个动点，点表示的数为，点表示的数为．点为线段上一点，当点在线段上运动时，的最大值记为．直接写出运动过程中的最小值以及此时的值． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．数轴上的点沿数轴向右移动7个单位后到达点，且点到原点的距离为1，若数轴上的点到点和到原点的距离相等，则点表示的数是_____． 2．如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为4，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有________________． ①B对应的数是2；②点P到达点B时，；③时，；④在点P的运动过程中，线段的长度不变． 3．如图，点为原点，、为数轴上两点，，且，点从点开始以每秒个单位的速度向右运动，当点开始运动时，点、分别以每秒个单位和每秒个单位的速度同时向右运动，设运动时间为秒． （1）当时，______________ ； （2）若的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则______________ ． 4．数轴上点同时运动，规定向右为正方向，表格为不同时间对应数字： 时间 点M对应数 15 3 点对应数 1 9 (1)补全表格； (2)判断两点运动过程中是否相遇，若相遇，求出相遇点表示的数； (3)运动时间为，若，直接写出的值． 5．如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动到达点，再向右移动到达点，然后再向右移动到达点，数轴上一个单位长度表示． (1)请你在数轴上表示出，，三点的位置； (2)把点到点的距离记为，则 ； (3)若点以每秒的速度匀速向右移动，同时点以每秒的速度匀速向左移动．设移动时间为秒，问几秒后，两点相距？ 6．A，B两点在数轴上的位置如图所示，其中点A对应的有理数为，点B对应的有理数为4．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（）． (1)当时，的长为 ，点P表示的有理数为 ； (2)当时，求t的值． 7．如图，点A、B在一条直线上，距离为10个单位长度，点A以每秒2个单位长度的速度运动，点B以每秒1个单位长度的速度运动．设点A、B同时出发，运动的时间为x秒． (1)若A、B同时向右运动6秒，则点A、B之间的距离是 个单位长度，若同时向左运动6秒，则点A、B之间的距离是 个单位长度． (2)点A、B同时同向开始运动，经过多少秒后点A、B重合？ (3)若点A向右运动，点B向左运动，经过多少秒A、B两点之间相距2个单位长度？ 8．如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上在原点左侧的一点，且两点间的距离为，动点P从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒 (1)点运动到线段的中点时，它所表示的数是______． (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．点在数轴上表示的数为，动点同时出发． ①当点运动多少秒时，点追上点？ ②动点运动到点时则立即返回以原速度向点运动，动点返回到点时动点两点同时停止运动，则点运动多少秒时，点与点间的距离为个单位长度？ 9．已知数轴上有A、B、C三点，点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a、b满足，点C在数轴上对应的数为x，且x是方程的解． (1)数轴上点A、B、C表示的数分别为 、 、 ； (2)如图1，若动点P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，经过多少秒时，P、Q之间的距离恰好等于4？ (3)如图2，若动点P、Q两点同时从A、B出发，分别向右以3个单位长度、5个单位长度匀速运动，同时动点R从点C出发，向左以2个单位长度匀速运动．是否存在某一时刻，P、Q、R 三点恰好有其中一点为其余两点的中点？若存在，求出所有满足条件的时间；若不存在，请说明理由． 10．如图，在数轴上点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为，为原点． (1)，两点间的距离是______，，两点的中点所对应的数是______； (2)若点以每秒个单位长度的速度沿数轴负方向运动，则秒时，点走到的位置所对应的数是______（用含的代数式表示）； (3)若点，都以每秒个单位长度的速度沿数轴正方向同时运动，而点不动，秒时，，，中有一点是三点所在线段的中点，则的值为______． 11．数轴上两个点表示的数分别是，且满足．点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向右移动秒． (1)直接写出___________，___________； (2)若为的中点，为的中点，试判断在点运动的过程中，线段的长度是否发生变化？请说明理由； (3)对于数轴上的点，给出如下定义：记点到点的距离为，点到点的距离为，如果，那么称点是点的“关联点”． ①若，直接写出点的“关联点”在数轴上对应的数为___________． ②若点是点的“关联点”，且，直接写出的值___________． 12．如图，数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为9，点D表示的数为17，在点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”，我们称点A和点D在数轴上相距28个长度单位，动点P从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q从点D出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射线和射线上的运动速度相同均为2个单位/秒，“上坡路段”从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍．设运动的时间为t秒，问： (1)动点P从点A运动至D点需要时间为_____秒； (2)P、Q两点到原点O的距离相同时，求出动点P在数轴上所对应的数． 13．对于数轴上的三个点A，B，C，给出如下定义：若点C到点A的距离是点C到点B的距离的k倍（k为正整数），则称C点是A，B两个点的“整k距点”，记为：．已知点A在数轴上对应的数是，点B在数轴上对应的数是10． (1)若，且点C在数轴上对应的数是7，则______； (2)点M从出发，以每秒1个单位的速度沿数轴正方向运动至点B，设运动的时间为t秒，若，求出t的值； (3)点M从出发，以每秒3个单位的速度沿数轴正方向运动，同时点N从2出发，以每秒1个单位的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒，若，求出t的值． 14．已知数轴上A，B，C三个点表示的数分别是，b，c，且满足，动点P、Q都从点A出发，且点P以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，设点P运动时间为 (1)直接写出______，______； (2)若M为的中点，N为的中点，试判断在点P运动的过程中，线段的长度是否发生变化，请说明理由； (3)当点P运动到点B时，点Q再从点A出发，以每秒3个单位长度的速度在A、C之间往返运动，直至P点停止运动，Q点也停止运动，当点P从点A开始运动后的时间t是______秒时，P、Q两点之间的距离为 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $