数学一模突破卷04（浙江专用）学易金卷：2026年高考第一次模拟考试

西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年高考第一次模拟考试 数学·参考答案 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的. 2 4 5 6 D C A B D A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9 10 11 ACD ABD ABC 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 π 1m-1+1.1 12.3160 13.8 14.2”-4+45neN 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 【解析】(1)因为co2-1+cosA。 22，cos24b+c 22c’ 所以I+csA=b+C-。+1,即osA= c,(2分) 由正弦定理得cosA=sinB sin C cos Asin C=sin B' 又A+B+C=元，所以sinB=si血(r-(A+C)=sin(A+C) 所以os4sinC=sinB=sin(A+C)=sin1cosC+cos1sinC,即inC=-0,(4分) 1/9 @学科网·学易金卷 www.zxxk com 做好卷，就用学易金卷 又Ae(0 ,所以sinA≠0，所以cosC=0, 又C∈(0，，所以C= 2·(6分) (2)因为AB=3AD,所以BD=2AD 在6ABc中，C-交，则mA-8C C·(8分) AD AC BD BC 在A4CD中，sin∠ACD sin.∠ADC:在△BCD中，sin∠BCDsin.∠BDC 因为∠ADC+∠BDC=π，所以sin∠ADC=sin∠BDC. 因为∠ACD+∠BCD=C=2所以coS∠ACD=Sn∠BCD10分 2AD BC AD AC 将BD=2AD'sin∠BCD=cos∠ACD代入上式得，cos∠ACD=sin∠BDC,又sin∠ACDsin∠ADC, 两式相除得，2tan∠ACD=BC :tan A. AC tan 4 所以an∠ACD 2.(13分) 16.(15分) 【解析】(1)取AD的中点G,连接BG,FG, AB=BD,G为AD的中点，BG⊥AD, 又AD⊥DC,·BGIICD.(2分) 又BG丈平面ECD,CDC平面ECD,.BG∥平面ECD. F为AE的中点，FGIIED.(4分) 又FG文平面ECD,EDC平面ECD,∴.FG∥平面ECD, 又Bc门FG=G,BG,FGC平面BFG,平面BFG/平面ECD, 又BFc平面BFG,.BF∥平面ECD.(6分) (2)EA⊥ED,由(I)知FGIIED,.FG⊥AE, 又EB=AB,F为AE的中点，.BF⊥AE, 又BFOFG=F,BF,FGC平面BFG，,AE⊥平面BFG, 又BGC平面BFG,∴.BG⊥AE, 2/9 西学科网·学易金卷 www.zxxk com 做好卷，就用学易金卷 又BG⊥AD,ADOAE=A,AD,AEC平面EAD,BG⊥平面EAD, 又BGc平面ABCD,∴.平面EAD⊥平面ABCD, 连接EG,EA=ED,G为AD的中点，.EG⊥AD 又平面EAD∩平面ABCD=AD,EGC平面EAD, ∴EG⊥平面ABCD,BGc平面ABCD,∴EG⊥BG,(9分) 以G为坐标原点，GB,GD,GE所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， ZA G D B ∠EBG是EB与平面ABCD所成的角，即∠EBG=30°， -0楼400用0-8号8后威9 ma.正小受号.正受号 设平面BE的法向量为=(，)， -x- 2 2,=0 6花=2 则 *=0令与=-l5》 设平面DBE的法向量为，=(：，2)， %B=6,- - 2 260 则 %DE=- 2* =0'令 21 =得-阳分) 设二面角A-EB-D的平面角为B, 3/9 西学科网·学易金卷 www.zxxk com 做好卷，就用学易金卷 “lcos0=cos,n 11 nn2 √7x√77， 所以sin0=V-cos9-45 ,即二面角。的正弦值为7·(5分) 17.(15分) 【解析】1)当”=1时，由4 =aam,符=a=4,所4=4.2分) 因为45，=aa.,所以451=aa,≥2， 两式相减得4S,-=a,(a-a,小，即4a,=aa,a,小， 因为a的各顶均为正数，所以，04≥2引，4分 当”为偶数时，数列a(k∈N)是以4=4为首项，4为公差的等差数列， 则0：=a,+(k-1×4=4+(k-刂×4=4h=2×2 ,(6分) 当n为奇数时，数列a}(k∈N)是以4=2为首项，4为公差的等差数列， 则4=a+(k-×4=2+k-1刂×4=4k-2=22k- 综上，a,=2n,n∈N (8分) 所以41-a,=2(n+1-2n=2 所以a是以4=2为首项，2为公差的等差数列， 3.=a+an,4-+a:q0分) 2 66=611 (2)Snnn+1)（nn+1),(11分) 4/9 西学科网·学易金卷 www.zxxk com 做好卷，就用学易金卷 无-日5+片6.分 6 因为Sn的各项均为正数，所以T,≥工=3， 所以 ≤Tn<6 .(15分) 18.(17分) 【解析】(1D由f(=2sinx-sin2x,0≤x≤元， 所以f(=20os-2cos2x=2cosx-220osx-1刂=(-cosx+1(4cosx+2列，（3分) 令f刘>0，得2<cosr<1,即0<x<2 39 2π 令f(<0,得cosx<-2,即3 <x<π， 0 2π 2π 所以函数/在、3)上单调递增，在3 上单调递减，(6分) 2π-3 又f10=0,) ,fπ=0」 前微1-作）.分 (2)i设8)=f八y-hn(r+1=2sinx-sin2r-n(x+1l 所以8x)=-4c0s2x+2cosx+2-1 +1,(10分) 当写sx≤受时，1>0，所以g-4s+2os+,2分 又4oe2a+2osrl4omj-0swrs 所以-4cos2x+2cosx+1>0恒成立. 5/9 @学科网·学易金卷 www.zxxk com 做好卷，就用学易金卷 ππ 所以g(x)>0在区间32 上恒成立. ππ 所以y=在区间3'2上为增函数， (15分) “32 所以当音sxs受时，f>nx+:17分) 19.(17分) 【解析】()由题意知∠EGR=90°，则S5Gfc=1→GFGF=2,1分) 又lGr+lG=F5=4c2,(Gf+GF°-2 GRlIGR=4c2→4a-4=4c2→u-c2=l,2分) 25-2-5→a+c=2+5,a-e-2-5,解得a=2'c=5·6=1（4分 又内=2a+2c 所以排因c的方程为y产-1(6分) G E, 2)（i)设直线，的方程为y-1=kx-2,其中>，且41即y=-2+1 设直线/与椭圆C交于点M(,),Nx,) y=kc-2k+1, 联立方程组 整理得， 4k2+1x2-16k2-8k)x+16k2-16k=0 △=16k2-8X)2°-44k2+116k2-16k>0。 6/9 ©学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 16k2-8k 所以x+x2= 42+1,63= 16k2-16k 42+1，(6分) 1=k+k=1+1 （i):kk,=k+k),“元kk太名 产55六 2xx2-(x+x_2.xx,-(x+五) k（x-2)(x2-2)kxx2-2x+x2)+4(8分) 16k2-16k16k2-8k -8k 2 4k2+14K2+1 Fk16k2-16k-2× 2=4即4”月(0分) 4k2+1 2x16k6+4K21 4k2+1 4 )法：直线y的方程为y=kx+l,令y0,得，放，0、 皮当线v与轴交点0：直线y的方程为1，令y0,得=名，放90 y=k,x+1, 联立方程组+=人整理得】 4k3+1x2+8k2x=0 解得5 4+1或0（舍），乃=5+1=6， 8k2 8k2+1=二4k2+1,(12分 4k3+1 4k3 1,1 1 由(1)可知，店+龙4，故有=4+无，代入上式， 中器中. 因为点w在前下方且不在，销上，放<或分得2+ 0 7/9 西学科网·学易金卷 www.zxxk com 做好卷，就用学易金卷 所以 2+ 1） 8然-8k,(2%,+l=4.4+2%=41+26- k24k2+14k+1 4K3+1 4k+1 (14分) （,2k2-1 故只需考虑6>号，令1=2站，-1则7>0 -=22+2, 2 当且仅当t= tsV2即k 5+!时，不等式取等号， 2 所以aN7 W2+2 的面积的最大值为 17分) 法=线aw的方为y=x+1,令0，=，0 设直线BN与x轴交于点Q,直 上+=4，故kk 由(1)可知，kk =4,所以点42.0是线段70的中点， 故ABwT的面积S=2Sw=2 ABxd=V5d, 其中d为点N到直线AB的距离， 思路1显然，当过点N且与直线AB平行的直线I'与椭圆C相切时，取最大值， 1 设直线r的方程为y=一2+m(m<0,即x+2y-2m=0, 1 y=-2x+m. 联立方程组 x2 整理得 +y2=1, 4 x2-2x+2m2-2=0 据4=-2m-42m-2列=0，解得m=2（正含)， 8/9 西学科网·学易金卷 www.zxxk com 做好卷，就用学易金卷 所以平行直线x+2y+25-0与直线：x+2y-2=0 间的距离为 22-(-2_22+2 2W2+2 5 5,即的最大值为5， ABNT的面积的最大值为V5×Y2+2=2 5 思路2因为直线1的方程为x+2y-2=0,所以 =5d=5.+22=k+2g-2 V12+22 因为州5在精圆（上，放学+片=1，泛5=2s0:为如9：不绮设0（小2 3 =k+2%-4=12cos0+2sn9-2-2m[0+f}-2 所以 当0=5π 4,x=2h-2时，S22 即△BNT的面积的最大值为2√2+2. B 9/9 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2026年高考第一次模拟考试 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C[D] 5[A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 6[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 双阙 4[A]B][C][D] 8[A][B][C[D] 二、选择题（全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][CID] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．已知复数z满足，则（     ） A．4 B． C．2 D． 3．已知向量，，则（     ） A． B． C． D． 4．已知圆 与圆 的公共弦所在的直线与直线 平行，则两平行线间的距离为（     ） A． B． C． D． 5．已知在中，，若点为双曲线的两个焦点，且点在上，则的离心率为（     ） A．7 B． C． D． 6．若的展开式中的系数比的系数小300，则实数（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 7．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取2个数，则这2个数中至少有1个阴数的概率为（     ） A． B． C． D． 8．已知函数 恰有 3 个不同的极值点，则 的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下面关于函数叙述中正确的是（　　） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．在上的最大值为 D．不等式的解集为 10．已知曲线，则下列结论中正确的是（    ） A．E关于直线对称 B．E与直线无公共点 C．E上的点到直线的最大距离是 D．E与圆有三个公共点 11．如左图，某同学在一张矩形卡片上绘制了函数的部分图象，A，B分别是图象的一个最高点和最低点，M是图象与y轴的交点，，垂足为D，现将该卡片沿x轴折成如图2所示的直二面角，对于图2，则下列结论正确的是（ ） A． B．点D到直线AB的距离为 C．点D到平面ABM的距离为 D．平面OBD与平面ABM夹角的余弦值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知都是锐角，，则 . 13．在立方体中放入9个球，一个与立方体6个面都相切，其余8个相等的球都与这个球及立方体的三个面相切，已知8个相等的球的半径都为，则立方体的体积为 ． 14．已知正方体顶点处有一质点Q，点Q每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若质点Q的初始位置位于点A处，记点Q移动n次后在面上的概率为．则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且满足． (1)求角C的大小； (2)若点D在边AB上，且满足，求的值． 16．（15分）如图1，在五边形中，，，且，将沿折成图2，使得，为的中点． (1)证明：平面； (2)若与平面所成的角为，求二面角的正弦值． 17．（15分）已知各项均为正数的数列的前项和为. (1)求； (2)记数列的前项和为，证明：. 18．（17分）已知函数． (1)当时，求的最大值； (2)当时，求证：（记）． 19．（17分）在平面直角坐标系中，已知是椭圆的左右焦点，以为直径的圆和椭圆在第一象限的交点为，若三角形的面积为1，其内切圆的半径为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点是椭圆的上顶点，过点的直线与椭圆交于两点，其中点在第一象限，点在轴下方且不在轴上，设直线，的斜率分别为 （ⅰ）若，求出的值； （ⅱ）设直线与轴交于点，求的面积S的最大值． 试卷第4页，共5页 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2026年高考第一次模拟考试 高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．已知复数z满足，则（     ） A．4 B． C．2 D． 3．已知向量，，则（     ） A． B． C． D． 4．已知圆 与圆 的公共弦所在的直线与直线 平行，则两平行线间的距离为（     ） A． B． C． D． 5．已知在中，，若点为双曲线的两个焦点，且点在上，则的离心率为（     ） A．7 B． C． D． 6．若的展开式中的系数比的系数小300，则实数（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 7．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取2个数，则这2个数中至少有1个阴数的概率为（     ） A． B． C． D． 8．已知函数 恰有 3 个不同的极值点，则 的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下面关于函数叙述中正确的是（　　） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．在上的最大值为 D．不等式的解集为 10．已知曲线，则下列结论中正确的是（    ） A．E关于直线对称 B．E与直线无公共点 C．E上的点到直线的最大距离是 D．E与圆有三个公共点 11．如左图，某同学在一张矩形卡片上绘制了函数的部分图象，A，B分别是图象的一个最高点和最低点，M是图象与y轴的交点，，垂足为D，现将该卡片沿x轴折成如图2所示的直二面角，对于图2，则下列结论正确的是（ ） A． B．点D到直线AB的距离为 C．点D到平面ABM的距离为 D．平面OBD与平面ABM夹角的余弦值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知都是锐角，，则 . 13．在立方体中放入9个球，一个与立方体6个面都相切，其余8个相等的球都与这个球及立方体的三个面相切，已知8个相等的球的半径都为，则立方体的体积为 ． 14．已知正方体顶点处有一质点Q，点Q每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若质点Q的初始位置位于点A处，记点Q移动n次后在面上的概率为．则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且满足． (1)求角C的大小； (2)若点D在边AB上，且满足，求的值． 16．（15分）如图1，在五边形中，，，且，将沿折成图2，使得，为的中点． (1)证明：平面； (2)若与平面所成的角为，求二面角的正弦值． 17．（15分）已知各项均为正数的数列的前项和为. (1)求； (2)记数列的前项和为，证明：. 18．（17分）已知函数． (1)当时，求的最大值； (2)当时，求证：（记）． 19．（17分）在平面直角坐标系中，已知是椭圆的左右焦点，以为直径的圆和椭圆在第一象限的交点为，若三角形的面积为1，其内切圆的半径为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点是椭圆的上顶点，过点的直线与椭圆交于两点，其中点在第一象限，点在轴下方且不在轴上，设直线，的斜率分别为 （ⅰ）若，求出的值； （ⅱ）设直线与轴交于点，求的面积S的最大值． 试题第3页（共6页） 试题第4页（共6页） 试题第1页（共6页） 试题第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考第一次模拟考试 高三数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交集的定义可得集合. 【详解】因为集合，，故. 故选：D. 2．已知复数z满足，则（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】利用复数运算法则计算可得，再利用共轭复数定义计算即可得解. 【详解】，则， 故， 故. 故选：C. 3．已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由坐标计算向量夹角的余弦可得. 【详解】由，得，， 所以. 故选：A 4．已知圆 与圆 的公共弦所在的直线与直线 平行，则两平行线间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出圆与圆的公共弦所在直线方程，再由平行关系求出并验证，最后利用平行线距离公式即可得到答案. 【详解】圆与圆的方程相减得，即为圆与圆的公共弦所在直线方程， 由直线与直线平行，得，解得， 当时，两直线方程均为，此时两直线重合，故舍去； 当时，公共弦所在直线方程为，即， 直线，两直线平行， 此时圆，即，即圆心，半径， 圆的圆心，半径，，符合题意， 所以的值为，此时两直线距离为. 故选：C 5．已知在中，，若点为双曲线的两个焦点，且点在上，则的离心率为（    ） A．7 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线的定义，结合余弦定理建立关系式，进而求出离心率. 【详解】设，（），因为点为双曲线的两个焦点，所以. 在中，由余弦定理得，，即，解得，即. 因为点在双曲线上，所以，即，所以. 故双曲线的离心率为：. 故选：B. 6．若的展开式中的系数比的系数小300，则实数（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】根据题意，求得展开式的通项，分别求得和的系数，列出方程，即可求得的取值. 【详解】由二项式展开式的通项为， 令，可得，所以展开式的的系数为， 令，可得，所以展开式的的系数为， 因为展开式中的系数比的系数小300，可得， 即，解得或， 又因为，所以. 故选：A. 7．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取2个数，则这2个数中至少有1个阴数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分类计数和间接法可得。 【详解】由题意可得，为阳数，为阴数， 若从这10个数中任取2个数，则共有种可能， 抽取的两个数中没有阴数，共有种， 从这10个数中任取2个数，则这2个数中至少有1个阴数的概率为： ， 故选：D 8．已知函数 恰有 3 个不同的极值点，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求函数的导数，再由题意转化为与函数在区间恰有2个交点，再利用函数的导数分析函数的图像和性质，即可求解. 【详解】，令，得或， 即或，设函数，则， 当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增， 故，因为，所以，则，即，因为有 3 个不同的极值点， 所以不是关于的方程的解，所以 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下面关于函数叙述中正确的是（　　） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．在上的最大值为 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】根据正弦型函数的单调性、对称性、最值性质，结合代入法逐一判断即可. 【详解】对于A，所以的图象关于直线对称，故A正确； 对于B：因为的图象关于点对称，故B错误； 对于C：由，得，当，即时，，C正确； 对于D：又，即， 所以，所以D正确． 故选：ACD 10．（多选）已知曲线，则下列结论中正确的是（   ） A．E关于直线对称 B．E与直线无公共点 C．E上的点到直线的最大距离是 D．E与圆有三个公共点 【答案】ABD 【分析】先分析曲线方程，作出曲线的图象，再利用曲线的图象和性质，结合两点间距离公式、切点的性质，分析判断选项． 【详解】曲线E的方程为， 当，时，曲线E的方程为； 当，时，曲线E的方程为，是焦点在x轴上的等轴双曲线右支的一部分； 当，时，曲线E的方程为，是焦点在y轴上的等轴双曲线上支的一部分． 作出曲线E的图象如图： 由图象可知曲线E关于直线对称，曲线E与直线无公共点，故A，B正确： 作的平行线与曲线E切于点， 曲线E上的点到直线的最大距离等于圆的半径，即，故C错误； 圆的圆心为：， 曲线E上的点到圆心的距离为， 圆过点A，如图： 曲线E与圆有三个公共点，故D正确． 故选：ABD． 11．如左图，某同学在一张矩形卡片上绘制了函数的部分图象，A，B分别是图象的一个最高点和最低点，M是图象与y轴的交点，，垂足为D，现将该卡片沿x轴折成如图2所示的直二面角，对于图2，则下列结论正确的是（） A． B．点D到直线AB的距离为 C．点D到平面ABM的距离为 D．平面OBD与平面ABM夹角的余弦值为 【答案】ABC 【分析】根据题目条件求出图1中点的坐标，建立空间直角坐标系，求出图2中点的坐标，再逐项判断作答． 【详解】由题可知，点为函数最大值点，点为函数最小值点，是轴交点， 结合余弦函数图像可得： 在图2中建立如图所示空间坐标系. 则，，，， ，故A正确； ，， ， ， 点到直线的距离为，B正确. 设平面的法向量，， ，，，点到平面的距离： ，故C正确， 平面在平面上，故可取为平面的法向量， 平面的法向量，，故D错误. 故选：ABC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知都是锐角，，则 . 【答案】/ 【分析】要求，先求，结合已知可有，利用两角差的余弦公式展开可求. 【详解】、为锐角， ， ， 由于为锐角， 故答案为： 13．在立方体中放入9个球，一个与立方体6个面都相切，其余8个相等的球都与这个球及立方体的三个面相切，已知8个相等的球的半径都为，则立方体的体积为 ． 【答案】8 【分析】设立方体的边长为a，根据相切关系，列等式，即可求解. 【详解】如图，设立方体的边长为， 则，，再结合对称性， 可得，解得， 所以立方体的体积为8． 故答案为：8 14．已知正方体顶点处有一质点Q，点Q每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若质点Q的初始位置位于点A处，记点Q移动n次后在面上的概率为．则 ． 【答案】 【分析】分析得到，构造法求出，分组求和，结合等比数列求和公式得到答案. 【详解】若质点Q位于平面的顶点处，再移动一次， 有的概率会位于平面的顶点处，有的概率位于平面的顶点处， 由题意得， 设，则，所以， 解得，所以， 又，所以， 所以为等比数列，首项为，公比为， 所以，即， . 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．(13分)在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且满足． (1)求角C的大小； (2)若点D在边AB上，且满足，求的值． 【答案】(1)；(2)2. 【分析】（1）由半角公式、正弦定理、三角和的正弦公式对已知条件进行化简，得到，进而得到，求出角C的值. （2）找出三角形中存在的边角关系，结合正弦定理即可求解. 【详解】（1）因为，， 所以，即， 由正弦定理得，即， 又，所以， 所以，即， 又，所以，所以， 又，所以. （2）因为，所以. 在中，，则. 在中，；在中，. 因为，所以. 因为，所以. 将，代入上式得，，又， 两式相除得，. 所以. 16．（15分）如图1，在五边形中，，，且，将沿折成图2，使得，为的中点． (1)证明：平面； (2)若与平面所成的角为，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）取的中点，连接，，从而证明平面，平面，即可得到平面平面，即可得证． （2）推导出平面，平面，平面平面，连接，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的正弦值． 【详解】（1）取的中点，连接，， ，为的中点，， 又，． 又平面，平面，平面． 为的中点，． 又平面，平面，平面， 又，平面，平面平面， 又平面，平面． （2），由（1）知，， 又，为的中点，， 又，平面，平面， 又平面，， 又，，平面，平面， 又平面，平面平面， 连接，，为的中点，， 又平面平面，平面， 平面，平面，， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 是与平面所成的角，即， ，设，则，，，， ，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，令，得， 设平面的法向量为， 则，令，得， 设二面角的平面角为， ， 所以，即二面角的正弦值为． 17．（15分）已知各项均为正数的数列的前项和为. (1)求； (2)记数列的前项和为，证明：. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【分析】（1）由等式关系判断数列为等差数列，计算前项和； （2）根据裂项相消法计算数列的前项和，进而证得不等式. 【详解】（1）当时，由，得，所以， 因为，所以， 两式相减得，即， 因为的各项均为正数，所以， 当为偶数时，数列是以为首项，4为公差的等差数列， 则， 当为奇数时，数列是以为首项，4为公差的等差数列， 则， 综上，，， 所以， 所以是以为首项，2为公差的等差数列， ； （2）， ， 因为的各项均为正数，所以， 所以. 18．（17分）已知函数． (1)当时，求的最大值； (2)当时，求证：（记）． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【分析】（1）利用导数分析函数在上的单调性，进而求得最大值； （2）构造函数，求导得，由于当时，，所以，结合可得在区间上恒成立，进而得到在区间上为增函数，进而求解即可得证. 【详解】（1）由，， 所以， 令，得，即； 令，得，即， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又，，． 所以． （2）设， 所以， 当时，，所以， 又， 所以恒成立． 所以在区间上恒成立． 所以在区间上为增函数， 所以， 所以当时，. 【点睛】关键点睛：本题第（2）问关键在于构造函数求导后，利用时，，放缩成，进而得到在区间上恒成立，从而得到在区间上为增函数，即可求解. 19．（17分）在平面直角坐标系中，已知是椭圆的左右焦点，以为直径的圆和椭圆在第一象限的交点为，若三角形的面积为1，其内切圆的半径为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点是椭圆的上顶点，过点的直线与椭圆交于两点，其中点在第一象限，点在轴下方且不在轴上，设直线，的斜率分别为 （ⅰ）若，求出的值； （ⅱ）设直线与轴交于点，求的面积S的最大值． 【答案】(1)；(2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）由三角形的面积公式，椭圆的性质，三角形内切圆半径列方程组解出可得； （2）（i）设直线的方程为，直曲联立，用韦达定理表示出斜率之间的关系化简可得； （ii）方法一，由点斜式得到直线的方程，求出点坐标，联立曲线方程求出，再由三角形的面积公式表示出面积，然后利用换元法令，结合基本不等式求解； 方法二，先由（i）得到点是线段的中点，故的面积， 思路1  当过点且与直线平行的直线与椭圆相切时，取最大值，设直线的方程为，直曲联立，令判别式等于零得到最大距离即可； 思路2  由点到直线的距离表示出，设，，结合辅助角公式求解. 【详解】（1）由题意知，则， 又，， 又，，解得，，， 所以椭圆的方程为.    （2）（ⅰ）设直线的方程为，其中，且，即， 设直线与椭圆交于点，， 联立方程组整理得， ， 所以，， （ⅰ）， 即， （ⅱ）法一：直线的方程为，令，得，故， 设直线与轴交于点，直线的方程为，令，得，故联立方程组整理得， 解得或0（舍），， 所以的面积 ， 由（ⅰ）可知，，故，代入上式， 所以， 因为点在轴下方且不在轴上，故或，得， 所以， 显然，当时，，当时，， 故只需考虑，令，则， 所以， 当且仅当，，即时，不等式取等号， 所以的面积的最大值为． 法二：直线的方程为，令，得，故，设直线与轴交于点，直线的方程为，令，得，故， 由（ⅰ）可知，，故，所以点是线段的中点， 故的面积， 其中为点到直线的距离， 思路1  显然，当过点且与直线平行的直线与椭圆相切时，取最大值， 设直线的方程为，即， 联立方程组整理得， 据，解得（正舍）， 所以平行直线与直线之间的距离为 ，即的最大值为， 所以的面积的最大值为． 思路2  因为直线的方程为，所以， 因为在椭圆上，故，设，，不妨设， 所以， 当，，时，， 即的面积的最大值为．    试卷第18页，共18页 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $