专题04平方根新课闯关预习必备讲义(知识点梳理+常考题型精讲精练+分层强化)2025-2026学年人教版七年级数学下册

专题04平方根新课闯关预习必备讲义 1.理解平方根的概念，掌握平方根的表示方法与核心性质，能区分平方根与算术平方根。 2.明确平方与开平方互为逆运算，会求非负数的平方根及解简单的平方等于某非负数的方程。 3.掌握算术平方根的定义、双重非负性，能辨析平方根与算术平方根的区别与联系。 4.初步学会用“夹逼法”估算无理数的算术平方根，建立数感。 预习必备 知识点梳理 1.算术平方根的概念 2.关键技能 3.易错点辨析 4.知识拓展 常考题型 精讲精炼 1.平方根的核心概念解析 2.平方根的求解方法与步骤 3.由平方根反推原数的计算技巧 4.利用平方根解方程 5.算术平方根的定义与求解 6.算术平方根非负性的解题思路 7.算术平方根取值范围的估算方法 8.算术平方根相关的规律探索题 9.算术平方根的实际应用 分层强化 题型通关 强化专练(15题) 【知识点01.算术平方根的概念】 1.定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x² = a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。 2.表示方法：a的算术平方根记为，读作 “根号 a”，a 叫做被开方数。 3.性质： 正数a的算术平方根是一个正数。 0 的算术平方根是 0，即= 0。 负数没有算术平方根。 4.举例： 因为3² = 9，所以9的算术平方根是3，记作 = 3。 因为()² = ，所以的算术平方根是，记作= 【知识点02.关键技能】 1.求一个非负数的算术平方根 步骤： (1)确定被开方数a是否为非负数（a ≥ 0）。 (2)找到一个正数x，使得x² = a。 (3)则x就是a的算术平方根，记作 = x。 举例： 求16的算术平方根： 因为4² = 16，所以16的算术平方根是4，即 = 4。 2.估算算术平方根的大小 方法：通过找与被开方数相邻的两个完全平方数，确定其算术平方根的范围。 举例： 估算的大小： 因为3² = 9，4² = 16，且9 < 10 < 16，所以 3 < < 4。 3.算术平方根的性质应用 性质 1：()² = a（a ≥ 0）。 举例：()² = 5，()² = 0。 性质 2： = |a|。 举例： = |3| = 3， = |-3| = 3。 【知识点03.易错点辨析】 1.注意被开方数的取值范围： 算术平方根的被开方数必须是非负数（a ≥ 0）。 例如，无意义，因为被开方数 -4 是负数。 2.理解算术平方根的非负性： 算术平方根本身也是一个非负数，即 ≥ 0。 例如， = 2，而不是-2。 3.区分算术平方根和平方根： 算术平方根是一个非负数，而平方根是一对相反数。 例如， = 2（算术平方根），±= ±2（平方根） 【知识点04.知识拓展】 1.立方根的引入： 与平方根类似，立方根是指一个数的立方等于另一个数，这个数就是另一个数的立方根。 表示方法：a的立方根记为。 性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0 的立方根是 0。 2.实数的概念： 有理数和无理数统称为实数。 无理数是无限不循环小数，例如 、π 等。 实数与数轴上的点一一对应。 【题型1.平方根的核心概念解析】 【典例】16的平方根为（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】A 【分析】此题考查平方根的定义，一个正数的平方根有两个，且互为相反数，16是正数，因此其平方根为 【详解】∵， ∴ 16的平方根是， 故选：A 【跟踪专练1】若的平方根只有一个，则x的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查平方根的性质，根据0的平方根是0，只有一个，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵的平方根只有一个， ∴， ∴； 故答案为：3． 【跟踪专练2】以下语句其写成式子正确的是（   ） A．7是49的算术平方根，即 B．7是的算术平方根，即 C．是49的平方根，即 D．是49的平方根，即 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根和平方根，分别利用算术平方根和平方根的定义及性质对每个选项逐个分析，即可得到正确的答案． 【详解】解：A．7是49的算术平方根， 即，故该选项错误； B．7是的算术平方根，即，故该选项正确； C．是49的平方根，即，故该选项错误； D．是49的平方根，即，故该选项错误； 故选：B 【题型2.平方根的求解方法与步骤】 【典例】16的平方根是 ，的算术平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根和算术平方根的知识，16的平方根是平方等于16的数，有两个值；表示25的算术平方根，其值为5，再求5的算术平方根即可． 【详解】解：16的平方根是，，5的算术平方根是，即的算术平方根是． 故答案为：，． 【跟踪专练1】若，则的平方根是（ 　 ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方公式、非负数的性质以及平方根的定义．将方程左边配成完全平方式可得，利用非负数的和为零则每个非负数为零的性质，求出和的值，再计算的平方根即可解答． 【详解】解：， ， ，， 且， ，， 即，， ， 的平方根为， 故选． 【跟踪专练2】已知a，b为常数，且单项式与的和仍是单项式，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同类项、平方根等知识点，掌握同类项的相同字母的指数必须相等是解题的关键． 根据两个单项式的和仍是单项式，可知它们为同类项，因此相同字母的指数必须相等，从而求出a和b的值，再计算的平方根． 【详解】解：∵单项式与的和仍是单项式， ∴与是同类项， ∴，， ∴， ∴的平方根为． 故答案为：． 【题型3.由平方根反推原数的计算技巧】 【典例】一个正数的两个不相等的平方根是和，那么这个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方根的性质，利用正数的平方根互为相反数求出的值，进而求出一个平方根即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵ 一个正数的两个不相等的平方根是和， ∴， 解得， ∴一个平方根为， ∴ 这个正数为， 故选：． 【跟踪专练1】已知一个正数m的两个不同的平方根分别为a和，则 ， ． 【答案】 3 9 【分析】此题主要考查了平方根的定义，掌握一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键． 根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，列出方程求解a，再求m． 【详解】解：∵一个正数m的两个平方根分别为和， ∴ 解得：． 则． 故答案为：3；9． 【跟踪专练2】已知：，，且，则的值为（　　） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值和二次根式，根据绝对值的性质和二次根式的性质可得：，，又因为，根据非负数的绝对值等于它本身，可知或，根据、的值求代数式的值即可． 【详解】解：，， ，， ， ， 或， 当时，，则； 当时，，则． 故选：D． 【题型4.利用平方根解方程】 【典例】方程的解是 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了利用平方根解方程，通过移项将方程化为，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：， 移项得，即， ∴ 或 ， 即或， 故答案为：或． 【跟踪专练1】已知，且，下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是利用平方根的含义解方程，相反数的含义，根据可得，，结合，进一步可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴互为相反数， ∴． 故选：C 【跟踪专练2】已知，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查换元法解一元二次方程，平方差公式，解题的关键是学会用整体思想解决问题．注意． 利用整体思想，令，则有，从而得到，再利用求平方根解方程即可． 【详解】解：令， ， ， ， ， ， ． 故答案为：9． 【题型5.算术平方根的定义与求解】 【典例】下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根，根据算术平方根的定义，逐一进行计算即可． 【详解】解：A中，，故该选项不正确，不符合题意；     B中，，故该选项不正确，不符合题意； C中，，故该选项正确，符合题意；     D中，无意义，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练1】的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根，求一个数的平方根． 先计算的值，再求该值的平方根即可． 【详解】解：的平方根是． 故答案为：． 【跟踪专练2】两个连续的正整数，其中较小的数的算术平方根是，那么较大的数的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了算术平方根，熟知算术平方根的定义是解题的关键．根据算术平方根的定义，较小的数等于的平方，则较大的数是较小数加，再求算术平方根即可． 【详解】解：设较小的正整数为， 的算术平方根是， 则， 较大的正整数为：， 较大的数的算术平方根为：． 故选A． 【题型6.算术平方根非负性的解题思路】 【典例】若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值和算术平方根非负性，求代数式的值，正确把握相关定义是解题关键．直接根据非负性得出，的值，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】已知、为实数，且，则的平方根是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查非负性，求一个数的平方根，根据非负性，求出的值，进而求出的平方根即可． 【详解】∵ ，，且， ∴，， ∴，即，，即， ∴， ∴ 的平方根为； 故选B． 【跟踪专练2】若a、b为实数，且与互为相反数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值的非负性，算术平方根的非负性，代数式求值． 根据相反数的定义，两个数互为相反数则它们的和为零，根据绝对值的非负性，算术平方根的非负性求出a和b的值，进而代入计算即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， 又∵，， ∴且， ∴，， 即，， ∴． 故答案为：． 【题型7.算术平方根取值范围的估算方法】 【典例】估算的结果应在（    ） A．6和7之间 B．7和8之间 C．8和9之间 D．9和10之间 【答案】D 【分析】本题考查无理数的估算，先估算的值，再计算的范围即可得到答案． 【详解】解： ∵，， ∴介于2和3之间， 又∵，， ∴在2.6到2.7之间； 当时，； 当时，， ∴的范围为到． 故的结果在到之间，位于9和10之间，选项D满足． 故选：D． 【跟踪专练1】根据以下表格里的数据： 2.024 20.24 202.4 2024 20240 1.422 4.499 14.22 44.99 142.2 则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，被开方数的小数点每向左移动两位，那么开方的结果的小数点就向左移动一位，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】估计的值在（    ） A．4 到5之间 B．5 到6之间 C．6  到7之间 D．7 到 8 之 间 【答案】D 【分析】本题考查了估算无理数的大小，先估算出和的范围，再相加即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 即在7和8之间， 故选：D． 【题型8.算术平方根相关的规律探索题】 【典例】已知，，，则 ．(用含a或b的代数式表示) 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的规律问题，根据被开方数乘以100，对应算术平方根乘以10即可得解． 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】如果一个自然数的算术平方根是n，则下一个自然数的算术平方根是（   ） A．n+1 B．+1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根的定义．注意一个正数的正的平方根，是这个数的算术平方根；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根． 首先根据算术平方根的概念先求得这个自然数为，再根据算术平方根的定义即可求得与这个自然数相邻的下一个自然数的算术平方根． 【详解】解：∵一个自然数的算术平方根是n， ∴这个自然数为， ∴与这个自然数相邻的下一个自然数为， ∴与这个自然数相邻的下一个自然数的算术平方根是． 故选：D． 【跟踪专练2】观察下列各式：，，，，； （1）已知n为正整数，＝ ； （2）的值为 ． 【答案】 n 46 【分析】此题考查了平方根运算规律的归纳与运用能力，关键是能通过观察、猜想准确归纳出该类问题的运算规律． （1）利用以上所得规律可得； （2）将变形为然后根据解析（1）中得出的结论进行求解即可． 【详解】解：（1） ∵ n为正整数 ∴ 故答案为：； （2） 故答案为：46. 【题型9.算术平方根的实际应用】 【典例】如图，用面积为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长是（　　） A． B．3 C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根的应用，由题意可得大正方形的面积为6，进而根据算术平方根的意义即可求解，掌握算术平方根的意义是解题的关键． 【详解】解：由题意得，大正方形的面积为， ∴大正方形的边长是， 故选：C． 【跟踪专练1】已知一个正方形的面积为2，则其边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的应用，正方形的面积等于边长的平方，所以2的算术平方根即为所求． 【详解】解：已知一个正方形的面积为2，则其边长为． 故答案为： 【跟踪专练2】如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的周长为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了算术平方根的应用、正方形的面积等知识点，掌握数形集合思想成为解题的关键． 根据正方形的面积公式求得两个正方形的边长分别是、2，再根据阴影部分的周长公式计算即可． 【详解】解：∵矩形内有两个相邻的正方形面积分别为 2和4， ∴两个正方形的边长分别是、2， ∴阴影部分的周长为． 故选C． 1．若一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个正数是（   ） A．1 B．3 C．9 D．25 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根，根据一个正数的两个平方根互为相反数得出a的值，进而得出答案． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得：， 故， 则这个正数是：． 故选：C． 2．若方程的解分别为a，b，且，下列说法正确的是（   ） A．是3的平方根 B．是3的平方根 C．是3的算术平方根 D．是3的算术平方根 【答案】D 【分析】本题考查了方程解的定义，算术平方根的定义，熟记定义，灵活运用定义是解题的关键．根据方程解的定义和算术平方根的意义判断即可． 【详解】解：∵ 方程 的解分别为 ，且， ∴ ，， ∴ 和是3的平方根， ∵ ， ∴ ， ∴ 是3的算术平方根（非负的平方根）． 故选：D． 3．已知代数式的值是4，则代数式的值是（    ） A．13 B．9 C．1 D．9或1 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的求值以及求平方根，解题的关键是根据平方根的性质求出的值，再整体代入计算． 先由求出的值，再将变形为，最后整体代入求值． 【详解】解：因为， 所以， 对进行变形可得：， 当时，代入上式可得：， 当时，代入上式可得：， 所以，代数式的值是9或1， 故选：D． 4．若，且、为连续正整数，则= 【答案】 【分析】本题考查实数的估算与大小比较的能力，先估算出的取值范围，得出，的值，进而可得出结论．根据题意求出，的值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，为两个连续整数， ∴，， ∴． 故答案为：． 5．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了算术平方根的概念，解题的关键是理解算术平方根每向左（或右）移动一位，则被开方数向相同的方向移动两位，反之，被开方数每移动两位，则算术平方根向相同的方向移动一位． 利用算术平方根的概念进行求解即可． 【详解】解： 故答案为：． 6．已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查非负性，求一个数的算术平方根，将原等式化为非负数的和为0的形式，求出的值，再根据算术平方根的定义进行求解即可． 【详解】解：， ， ， ∴， ∴， ∴． 7．已知，则的平方根是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值、平方的非负性，平方根，有理数的加法，正确计算是解题的关键．两数相加得零则两数互为相反数，而两个加数皆为非负数，则两个加数都为零，据此解答即可． 【详解】解：， ，， ，， ， 的平方根是， 的平方根是． 故选：A． 8．已知满足，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】由二次根式的非负性得，从而得，结合条件即可求解． 此题主要考查了非负数的性质，解题突破点是根据已知求出未知数的值，另外要注意算术平方根、绝对值具有非负性的知识点的运用． 【详解】解：由得， 而， 故， 解得， 故时， 又， ，，， ， 故， 故答案为：． 9．下列说法错误的个数是（   ） ①关于的方程的解是；    ②关于的方程无解； ③关于的方程有唯一解；    ④关于的方程的根是． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了等式的性质，方程的解，平方根，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 利用等式的性质，方程的解法逐一判断即可． 【详解】解：①方程，当时，若，方程左边恒为，右边不为，方程无解；若，方程变为，此时可以取任意实数，只有当时，方程的解才是，故①错误； ②方程，因为，所以，，当，即时，，方程有解；当时，方程在实数范围内无解，故②错误； ③因为，所以，对于方程，两边同时除以，可得，有唯一解，故③正确； ④对于方程，可变形为，则（舍去，因为实数范围内平方数非负），所以，而不是，故④错误； 综上错误的是为：①②④，三个； 故选：C． 10．如图，分别把两个面积为的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形，将4个小三角形拼成一个大正方形，那么大正方形的边长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，根据题意得出大正方形的面积，根据正方形的面积公式可得边长． 【详解】解：∵把两个面积为的小正方形拼成一个大正方形， ∴大正方形的面积为， ∴大正方形的边长是， 故答案为：． 11．已知，． (1)已知x的算术平方根为3，求a的值； (2)如果x，y都是同一个正数的两个平方根，求这个数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查算术平方根，平方根，解一元一次方程，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据算术平方根的定义求出，即得关于的方程，求解即可； （2）一个正数的两个平方根互为相反数，据此列方程求出，再求即可． 【详解】（1）解：∵x的算术平方根为3， ∴， 即 ； （2）解：∵x，y都是同一个正数的两个平方根， 解得， ∴． 答：这个数是． 12．小明制作了一张面积为的正方形贺卡想寄给朋友．现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为，面积为． (1)求长方形信封的长和宽； (2)小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断． 【答案】(1)长方形信封的长为，宽为 (2)小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封，理由见解析 【分析】本题考查了算术平方根的应用，以及无理数的估算，利用算术平方根的定义求出正方形贺卡的边长是解题的关键． （1）先设长方形信封的长为，宽为，根据面积为列方程求解即可； （2）先求出贺卡的边长，然后与信封的宽比较即可． 【详解】（1）解：设长方形信封的长为，宽为， 由题意得， ∴，负值舍去 ∴，， 答：长方形信封的长为，宽为． （2）小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封 由题意得：面积为的正方形贺卡的边长是， ∵， ∴， ∴信封的宽大于正方形贺卡的边长， ∴小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封． 13．（1）如图1，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．求大正方形的边长； （2）如图2，某同学把长为2，宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图所示的一个正方形，求小长方形的对角线的长度． 【答案】（1）4；（2） 【分析】本题主要考查算术平方根的应用． （1）根据拼接前后的面积相等建立方程求解可得答案． （2）设小长方形的对角线的长度为m，利用面积关系建立方程即可． 【详解】解：（1）设大正方形的边长为x， 由题意得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， 答：大正方形的边长为4； （2）设小长方形的对角线的长度为m， 由题意得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， 答：小长方形的对角线的长度为． 14．阅读材料，解答问题： (1)计算下列各式： ①__________，__________， ②__________，__________． (2)运用（1）中的结果可以得到：；，通过计算，我们可以发现__________． (3)通过（1）（2），完成下列问题： ①化简：__________． ②计算：__________． ③化简：的结果是__________． 【答案】(1)①，；②， (2) (3)①；②；③ 【分析】本题考查算术平方根的计算，读懂题意，理解题中新的运算公式，掌握运算法则是解决问题的关键． （1）由算术平方根的定义计算即可得到答案； （2）根据规律总结即可得答案； （3）由（2）中直接计算即可得到答案． 【详解】（1）解：①，， ②，． 故答案为：①，；②， （2）解：∵；， ∴通过计算，我们可以发现． 故答案为： （3）解：①． ②． ③． 故答案为：①；②；③． 15．小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，他借助有理数的运算，定义了一种新运算“⊕”，运算规则为：． (1)计算的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)13 【分析】本题考查新定义运算，有理数的混合运算，绝对值非负性质，理解新定义的运算规则并正确计算是解题的关键． （1）根据新定义的运算规则计算即可； （2）先求出m、n的值，再代入根据新定义运算求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ， ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $专题04平方根新课闯关预习必备讲义 预习目标 1.理解平方根的概念，掌握平方根的表示方法与核心性质，能区分平方根与算 术平方根。 2.明确平方与开平方互为逆运算，会求非负数的平方根及解简单的平方等于某 非负数的方程。 3.掌握算术平方根的定义、双重非负性，能辨析平方根与算术平方根的区别与 联系。 4.初步学会用“夹逼法”估算无理数的算术平方根，建立数感。 预习内容概览 预习必备 1.算术平方根的概念 2.关键技能 知识点梳理 3.易错点辨析 4.知识拓展 1.平方根的核心概念解析 2.平方根的求解方法与步骤 3.由平方根反推原数的计算技巧 4.利用平方根解方程 常考题型 5.算术平方根的定义与求解 6算术平方根非负性的解题思路 精讲精炼 7.算术平方根取值范围的估算方法 8算术平方根相关的规律探索题 9.算术平方根的实际应用 分层强化 强化专练(15题 题型通关 3 知识点梳理 【知识点01.算术平方根的概念】 1.定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x 叫做a的算术平方根。 2.表示方法： a的算术平方根记为点，读作“根号a”,a叫做被开方数。 3.性质 试卷第1页，共3页 正数a的算术平方根a是-个正数。 0的算术平方根是0，即60。 负数没有算术平方根。 4.举例： 因为32=9，所以9的算术平方根是3，记作9=3。 因为（号2=寺，所以的算术平方根是，记作昏号 【知识点02.关键技能】 1.求一个非负数的算术平方根 步骤： (1)确定被开方数a是否为非负数(a≥0)。 (2)找到一个正数x,使得x2=a。 (3)则x就是a的算术平方根，记作a=X。 举例： 求16的算术平方根： 因为4=16，所以16的算术平方根是4，即V16=4。 2.估算算术平方根的大小 方法：通过找与被开方数相邻的两个完全平方数，确定其算术平方根的范围。 举例： 估算V10的大小： 因为3=9,4=16，且9<10<16，所以3<V10<4。 3.算术平方根的性质应用 性质1：（a)2=a(a≥0)。 举例：（52=5，（V6)2=0。 性质2：V=a。 举例：32=|31=3， 3) =-3=3。 试卷第1页，共3页 【知识点O3.易错点辨析】 1.注意被开方数的取值范围： 算术平方根的被开方数必须是非负数(a≥0)。 例如， 4无意义，因为被开方数-4是负数。 2.理解算术平方根的非负性： 算术平方根a本身也是一个非负数，即 ≥0。 例如，4=2，而不是-2。 3.区分算术平方根和平方根： 算术平方根是一个非负数，而平方根是一对相反数。 例如， 4 =2(算术平方根)，±4±2（平方根） 【知识点04.知识拓展】 1.立方根的引入： 与平方根类似，立方根是指一个数的立方等于另一个数，这个数就是另一个数的 立方根。 表示方法：a的立方根记为· 性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。 2.实数的概念： 有理数和无理数统称为实数。 无理数是无限不循环小数，例如巨、π等。 实数与数轴上的点一一对应。 常考题型精讲精练 【题型1.平方根的核心概念解析】 【典例】16的平方根为() A.±4 B.4 C.±2 D.2 试卷第1页，共3页 【跟踪专练1】若3-x的平方根只有一个，则x的值是 【跟踪专练2】以下语句其写成式子正确的是() A.7是49的算术平方根，即√49=±7 B.7是(-7)的算术平方根，即V(-7)2=7 C.7是49的平方根，即±√49=7 D.7是49的平方根，即√49=±7 【题型2.平方根的求解方法与步骤】 【典例】16的平方根是，√25的算术平方根是」 【跟踪专练1】若a2-2a+1+√b-35=0,则a+b的平方根是() A.6 B.±6 C.V34 D.±√34 【跟踪专练2】已知a,b为常数，且单项式2xy与x少的和仍是单项式，则a+b的平 3 方根为。 【题型3.由平方根反推原数的计算技巧】 【典例】一个正数的两个不相等的平方根是3a+2和-7a+10,那么这个数是() A.121 B.100 C.3 D.9 【跟踪专练1】已知一个正数m的两个不同的平方根分别为a和2a-9,则a=-, 1m=_ 【跟踪专练2】已知：|a=5,Vb2=7,且a+b=a+b,则a-b的值为() A.2或-2 B.-2 C.-12 D.-2或-12 【题型4.利用平方根解方程】 【典例】方程x2+1=2的解是。 【跟踪专练1】己知a2=b2=7,且a≠b,下列式子正确的是() A.a=7 B.b=-√7 C.a+b=0 D.ab=7 试卷第1页，共3页 【跟踪专练2】已知(x2+4y2+1)(x2+4y2-1=80,则x2+4y2= 【题型5.算术平方根的定义与求解】 【典例】下列各式计算正确的是() A.V81=±9 B.√16=±4 C.-√25=-5 D.√-100=-10 【跟踪专练1】√49的平方根是 【跟踪专练2】两个连续的正整数，其中较小的数的算术平方根是x,那么较大的数的算术 平方根是() A.2+1 B.√x+1 C.x2+1 D.√F+1 【题型6.算术平方根非负性的解题思路】 【典例】若Vx+3+y+2=0,则x+y的值是 【跟踪专练1】已知x、y为实数，且√x-2+3(y-)2=0,则y的平方根是() A.2 B.±2 C.±5 D.√ 【跟踪专练2】若a、b为实数，且口-与√b+2互为相反数，则(a+b)225= 【题型7.算术平方根取值范围的估算方法】 【典例】估算2√万+4的结果应在() A.6和7之间B.7和8之间 C.8和9之间 D.9和10之间 【跟踪专练1】根据以下表格里的数据： 2.024 20.24 202.4 2024 20240 √m≈ 1.422 4.499 14.22 44.99 142.2 则√0.02024≈ 【跟踪专练2】估计√⑧+√18的值在() A.4到5之间B.5到6之间 C.6到7之间 D.7到8之间 试卷第1页，共3页 【题型8.算术平方根相关的规律探索题】 【典例】已知√2.3=a,√23=b,√2300=k,则k= ·(用含a或b的代数式表示) 【跟踪专练1】如果一个自然数的算术平方根是，则下一个自然数的算术平方根是() A.+1 B.n2+1 C.√n+l D.√n2+1 【跟踪专练2】观察下列各式：√=1，√1+3=2，√1+3+5=3，√1+3+5+7=4， V1+3+5+7+9=5: (1)己知n为正整数， V1+3+5+7+9+11+…+(2n-1=_ (2)V4+12+20+28+36+44+…+180的值为 【题型9.算术平方根的实际应用】 【典例】如图，用面积为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长是() A.3 B.3 C.√6 D.6 【跟踪专练1】已知一个正方形的面积为2，则其边长为 【跟踪专练2】如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的周 长为() 2 4 A. B.4 C.4+2V2 D.22 分层强化通关 1.若一个正数的两个不同的平方根分别是2a-1和-a+2,则这个正数是() A.1 B.3 C.9 D.25 2.若方程(x-2=3的解分别为a,b,且a<b,下列说法正确的是() A.a是3的平方根 B.b是3的平方根 C.a-2是3的算术平方根 D.b-2是3的算术平方根 试卷第1页，共3页 3.己知代数式(3a-b)2的值是4，则代数式6a-2b+5的值是() A.13 B.9 C.1 D.9或1 4.若a<√23<b,且a、b为连续正整数，则a+b= 5.若6.24≈2.4982,62.4≈7.8992，则V0.624≈ 6.已知4a2+√a+2b+|2b+c=4a-1,则Va+b+c的值是 7.已知1a-1川+b-4=0,则的平方根是() 6 B.月 C. 4 D. 4 8.已知a,b,c满足√a+b+c+√(a2+1)×(b-6)+10-2b=2,则代数式a+c的值 是」 9.下列说法错误的个数是() ①关于x的方程ar=b的解是x二名】 ②关于x的方程x2=-a2+1无解； ③关于x的方程a2+1)x=b有唯一解： ④关于x的方程x4=25的根是x=±5. A.1 B.2 C.3 D.4 10.如图，分别把两个面积为10℃m的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形，将4个小 三角形拼成一个大正方形，那么大正方形的边长是cm. 11.已知x=1-2a,y=3a-4 (I)己知x的算术平方根为3，求a的值； (2)如果x,y都是同一个正数的两个平方根，求这个数 12.小明制作了一张面积为100cm的正方形贺卡想寄给朋友.现有一个长方形信封如图所 示，长、宽之比为3：2，面积为240cm2. 口口口口口口 口口▣口口口 试卷第1页，共3页 ()求长方形信封的长和宽； (②)小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断. 13.(1)如图1，用两个边长为√⑧的小正方形纸片剪拼成一个大正方形.求大正方形的边 长： (2)如图2，某同学把长为2，宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图所示的一个正方形， 求小长方形的对角线的长度， 图1 图2 14.阅读材料，解答问题： (1)计算下列各式： ①√4×9= ,V4x9= ②V16×25= ,16×√25= (2)运用(1)中的结果可以得到：√8=√4×√2=2√2；√24=√4x√6=26，通过计算， 我们可以发现√ab= (3)通过(1)(2)，完成下列问题： ①化简：√8= ②计算：2+√27= ③化简：√ab(a>0,b>0的结果是= 15.小明同学在学习完有理数的运算后，对运算产生了浓厚的兴趣，他借助有理数的运算， 定义了一种新运算“⊕”，运算规则为：a⊕b=a×b-a-b. (1)计算-2)©2的值： (2)若m+3+√2n-8=0,求m⊕ 的值 试卷第1页，共3页