专题四 问题解决（导学案）四年级数学寒假自学课（西南大学版）

2025-2026学年西南大学版数学四年级寒假新课衔接 专题四 问题解决 一、思维导图 二、考点精讲 考点一：相遇问题 相距距离=路程和=甲路程+乙路程 相距距离=速度和×相遇时间 相遇时间=路程和÷速度和 速度和=路程和÷相遇时间 【典例分析1】武汉到上海的航线长1075千米，甲、乙两份船同时从武汉和上海开出，相向而行，甲船每小时行驶28千米，乙船每小时行驶15千米，经过多少小时相遇？ 【答案】25小时 【分析】根据题意可知，相遇时间＝路程÷（甲船的速度＋乙船的速度），依此列式并根据混合运算的计算顺序计算即可解答。 【详解】1075÷（28＋15） ＝1075÷43 ＝25（小时） 答：经过25小时相遇。 【点睛】解答此题的关键是要熟练掌握相遇问题的计算方法。 【典例分析2】快、慢两车同时从两地相对开出，快车每小时行60千米，慢车每小时行50千米，3小时后，两车还相距95千米（未相遇），两地相距多少千米？ 【答案】425千米 【分析】根据“速度×时间＝路程”，先计算快车和慢车每小时行驶的路程，再乘时间3小时，然后加上两车相距的95千米，就是两地相距的长度。 【详解】（60＋50）×3＋95 ＝110×3＋95 ＝330＋95 ＝425（千米） 答：两地相距425千米。 【点睛】正确理解速度、时间和路程之间的关系，是解答此题的关键。 【典例分析3】小强带着一只狗和小华同时从相距1400米的家中出发相向而行，小强每分钟走60米，小华每分钟80米。狗以每分钟120米的速度在他们两人之间往返跑，直到他们相遇为止。小狗一共跑了多少米？ 【答案】1200米 【分析】相遇时间＝路程÷速度之和，依此计算出两人相遇的时间，然后再根据“路程＝速度×时间”即可计算出小狗一共跑的路程，依此解答。 【详解】1400÷（80＋60） ＝1400÷140 ＝10（分钟） 120×10＝1200（米） 答：小狗一共跑了1200米。 【点睛】先计算出两人相遇的时间，是解答此题的关键。 【变式训练1】甲、乙两列火车同时从相距700千米的两地相向而行，甲车每时行75千米，经过5时相遇，乙车每时行（    ）千米。 A．65 B．685 C．47 【变式训练2】一辆汽车从甲地开往乙地，每时行48千米，另一辆汽车从乙地开往甲地，每时行32千米。两车分别从两地同时相对开出，5时后相遇，甲、乙两地相距多少千米？ 【变式训练3】上海到武汉的航线长1075千米。两艘轮船同时从两地相对开出，几小时后甲乙两船相距129千米？ 【变式训练4】两车从两地同时出发相向而行。客车每小时行40千米，小轿车每小时行80千米。小轿车因故障在途中停车修理了2小时。这样经过6小时两车在途中相遇，两地相距多少千米？ 考点二：有具体量的工程问题 工作总量=工作效率×工作时间 工作效率=工作总量÷工作时间 工作时间=工作总量÷工作效率 【典例分析】两个工程队从山的两面同时挖一条长784米的隧道，甲队每天挖22米，乙队每天挖27米。 （1）18天能够完成这项工程吗？ （2）挖完这条隧道时，乙队比甲队多挖多少米？ 【答案】（1）能完成 （2）80米 【分析】（1）由题意得，两个工程队从山的两面同时挖一条长784米的隧道，甲队每天挖22米，乙队每天挖27米。可以先用22加上27算出甲队和乙队每天一共挖多少米，再用784除以前面的得数算出一共要多少天才能挖完这条隧道。最后再与18天比较大小即可。 （2）由题意得，甲队每天挖22米，乙队每天挖27米。可以先用减法算出乙队每天比甲队多修多少米，然后再乘上要修的天数即可算出乙队比甲队多挖多少米。 【详解】（1）784÷（22＋27） ＝784÷49 ＝16（天） 16＜18 答：18天能够完成这项工程。 （2）（27－22）×16 ＝5×16 ＝80（米） 答：挖完这条隧道时，乙队比甲队多挖80米。 【变式训练1】小梅和小雪合打一份840个字的稿件，6分能打完吗？请计算说明。 【变式训练2】安装一条长3600米的天然气管道，前三天平均每天安装500米。余下的要求4天完成，平均每天要安装多少米？ 【变式训练3】某车间要生产1200个零件，计划10天完成。由于改进生产技术，实际每天多生产了30个。完成这项任务实际用了多少天？ 考点三：经济问题 【典例分析】江津芝麻杆深受消费者的喜爱。某超市的芝麻杆有两种规格：大袋芝麻杆18元/袋，小袋芝麻杆8元/袋。这天该超市芝麻杆的销售额为500元。这天该超市最少卖了多少袋芝麻杆？ 【答案】30袋 【分析】求最少卖了多少袋芝麻杆，也就是当大袋的芝麻杆卖得最多时，卖的袋数最少，用500除以18求出商和余数，得到的商就是大袋芝麻杆的袋数，余数再看能买到几袋小袋芝麻杆，如果有余数调整大袋芝麻杆的袋数，直到刚好没有余数为止。 【详解】500÷18＝27（袋）……14（元） 14÷8＝1（袋）……6（元） 27－1＝26（袋） 500－26×18 ＝500－468 ＝32（元） 32÷8＝4（袋） 26＋4＝30（袋） 答：这天该超市最少卖了30袋芝麻杆。 【变式训练1】书店拿出100本《科技博览》和50本《童话世界》举办特卖会，一共卖了1600元。这次特卖会最少卖出多少本书？ 《科技博览》10元/本 《童话世界》20元/本 【变式训练2】快餐成为一种用餐新时尚。周六，快餐店共卖出402元，最少卖出多少盒？ 【变式训练3】电影院有甲票座位40个，票价70元，乙票座位80个，票价20元，一场电影共收入3000元。 （1）这场电影最多有多少人？ （2）这场电影最少有多少人？ 三、强化训练 1．甲、乙两辆汽车同时从车站出发，向相反的方向行驶，甲车每时行66km，乙车每时行74km。两车开出4时后相距( )km。 2．有一块草坪（如下图），文文和明明同时从A点出发，4分后两人同时到达B点。这块草坪的周长是多少米？下面是错误的是（    ）。 A．（75＋65）×4 B．75×4＋65×4 C．（75－65）×4 3．甲乙两人同时从两地相向而行，甲骑车每小时行15千米，乙步行每小时行6千米，经过5小时两人相遇。两地之间的路程是( )千米。 4．甲每小时行7千米，乙每小时行5千米，两人由相隔18千米的两地相背而行，几小时后两人相隔54千米？算式是：( )。 5．某剧院有100个甲座，200个乙座。甲座每张票50元，乙座每张票20元。本场收入5600元，最多卖出（    ）张票。 A．130 B．232 C．284 6．甲、乙两个工程队修复510米长的公路，7月25日两队同时各在一端开工，甲队每天修45米，乙队每天修40米，8月1日前能否修完？ 7．甲、乙两个工程队合修一条长1500米的公路，他们从两端同时开工，10天完成任务．甲队每天修70米，乙队每天修多少米？ 8．加工一批服装,已经做了6天,平均每天做120套,还剩下560套没有完成｡这批服装的有多少套? 9．两个工程队同时从两端修一条水渠，甲队每天修120米，比乙队每天多修30米，用了一个星期修完了这条水渠。      （1）这条水渠全长多少千米？ （2）完工时甲、乙两队各修了多少千米？ （3）完工时，甲队比乙队共多少多少千米？ 10． 电影院共有一级座位100个，二级座位240个，在放映《铁血英雄》时，票房正好收入5000元．本场观众最多有多少人？ 11．蛋糕店新推出一款蛋糕，有大盒和小盒两种包装，一天这款蛋糕刚好卖出310元，这款蛋糕最少卖了多少盒？ 蛋糕 大盒：8元/金 小盒：3元/盒 12． 录像厅共有甲票座位50个，乙票座位100个，一场录像票房收入为440元． （1）本场观众最少多少人？ （2）本场观众最多多少人？ 13．小红和小华分别居住在学校两侧，他们同时出发，25分钟后在学校门口相遇，小红每分走60米，小华每分钟走40米，他们家谁离学校近？近多少米？ 14．客、货两车同时从相距45千米的两地背向而行，客车每小时行45千米，货车每小时行40千米，3小时后，客车到达目的地，货车离目的地还有30千米。客、货车的目的地相距多少千米？ 15．东西两地相距660千米，甲乙两车同时从东西两地出发相向而行，甲车每小时行60千米，乙车比甲车每小时慢20千米，甲车开出后因故障修车耽误了2小时，两车开出后多少小时还相距80千米？ 16．小军和小红两人从甲、乙两地骑自行车相向而行，小军每时走20千米，小红每时走25千米，两人相遇时离中点10千米。甲、乙两地相距多少千米？ 参考答案 考点一 【变式训练1】A 【分析】用行驶的距离除以行驶的时间求出每小时两车一共行驶的距离，再减去甲车行驶的75千米即可。 【详解】700÷5－75 ＝140－75 ＝65（千米） 乙车每时行驶65千米。 故答案为：A 【变式训练2】400千米 【分析】两辆汽车每小时行的路程和乘相遇所用的时间即等于甲、乙两的距离，据此即可解答。 【详解】（48＋32）×5 ＝80×5 ＝400（千米） 答：甲、乙两地相距400千米。 【点睛】本题是相遇问题应用题，根据“速度和×相遇所用的时间＝两车所行的路程”进行解答。 【变式训练3】22小时或28小时 【分析】根据题意，两艘船相距129千米时有两种情况，一种情况是还没相遇相距129千米，另一种情况是相遇后又相距129千米。还没相遇的情况，先用航线总长减去相距的129千米，求出甲乙两艘轮船总共行驶的路程，已知甲乙两船的速度，可根据“时间＝路程÷甲乙两船的速度和”代入对应数值，解答即可。已经相遇的情况，先用航线总长加上相距的129千米，除以甲乙两船的速度和。据此代入数值，列式求解即可。 【详解】①1075－129＝946（千米） 946÷（26＋17） ＝946÷43 ＝22（小时） ②1075＋129＝1204（千米） 1204÷（26＋17） ＝1204÷43 ＝28（小时） 答：22小时或28小时后甲乙两船相距129千米 【变式训练4】560千米 【分析】先根据路程＝速度×时间，求出6小时客车行驶的路程；小轿车因故障在途中停车修理了2小时，所以行驶时间是4小时，进一步计算小轿车行驶的路程。最后客车行驶的路程＋小轿车行驶的路程＝两地相距多少千米。 【详解】40×6＋80×（6－2） ＝240＋80×4 ＝240＋320 ＝560（千米） 答：两地相距560千米。 【点睛】本题考查速度、时间以及路程之间数量关系，熟练掌握即可解答。 考点二 【变式训练1】不能 【分析】用小梅每分钟打字字数加上小雪每分钟打字字数，求出两人每分钟打字字数和，再乘打字时间，求出打字总字数，再与这份稿件的字数比较大小。 【详解】（55＋65）×6 ＝120×6 ＝720（个） 840＞720 答：6分不能打完。 【变式训练2】525米 【分析】用天然气管道的总长度减去前三天已经安装的长度，求出剩余未安装的长度，再用剩余未安装的长度除以4，所得商即为平均每天要安装多少米。 【详解】（3600－500×3）÷4 ＝（3600－1500）÷4 ＝2100÷4 ＝525（米） 答：平均每天要安装525米。 【变式训练3】8天 【分析】本来生产1200个零件，计划用时10天，所以计划每天生产（个）零件，现在实际每天多生产了30个，也就是每天会生产（个），那么实际完成这项工作只需要（天）。 【详解】 ＝ ＝ ＝8（天） 答：完成这项任务实际用了8天。 考点三 【变式训练1】110本 【分析】要求这次特卖会最少卖出多少本书，应该先卖单价较高的书籍，《童话世界》每本20元，大于《科技博览》的每本10元，所以先卖50本《童话世界》；用1600减去50本《童话世界》的钱数，求出剩下的钱数；再用剩下的钱数除以10，求出需卖《科技博览》的本数；最后用需卖《科技博览》的本数加上50本《童话世界》，求出这次特卖会最少卖出多少本书。 【详解】50×20＝1000（元） 1600－1000＝600（元） 600÷10＝60（本） 50＋60＝110（本） 答：这次特卖会最少卖出110本书。 【变式训练2】41盒 【分析】要使卖出的盒数最少，应尽量多卖单价高的大盒。先假设全部卖出大盒，看是否能正好凑成402元，如果不能，再逐步减少大盒数量，增加小盒数量来凑够402元。 【详解】若全部卖大盒：402÷10＝40（盒）……2（元），此时不能正好凑成402元。 减少大盒数量，当大盒卖40盒时，花费40×10＝400元，还剩402－400＝2元，2元不够买小盒。 当大盒卖39盒时，花费39×10＝390元，还剩402－390＝12元，12÷6＝2（盒） 此时卖出的数量为：39＋2＝41（盒） 答：最少卖出41盒。 【变式训练3】（1）100人 （2）50人 【分析】（1）当观众最多时也就是乙票座位全部坐满，再坐一部分甲票座位；先根据总价＝数量×单价，求出80个乙票卖得的钱数，再求出甲票卖得的钱数，然后根据数量＝总价÷单价，求出甲票卖出的数量，最后加80即可解答。 （2）当观众最少时也就是甲票座位全部坐满，再坐一部分乙票座位；先根据总价＝数量×单价，求出40个甲票卖得的钱数，再求出乙票卖得的钱数，然后根据数量＝总价÷单价，求出乙票卖出的数量，最后加40即可解答。 【详解】（1）（3000－80×20）÷70＋80 ＝（3000－1600）÷70＋80 ＝1400÷70＋80 ＝20＋80 ＝100（人） 答：这场电影最多有100人。 （2）（3000－40×70）÷20＋40 ＝（3000－2800）÷20＋40 ＝200÷20＋40 ＝10＋40 ＝50（人） 答：这场电影最少有50人。 强化训练 1．560 【分析】因为两辆车向相反的方向行驶，所以两车距离是两车行驶路程和。根据路程＝速度×时间解答。 【详解】66×4＋74×4 ＝（66＋74）×4 ＝140×4 ＝560（km） 两车开出4时后相距560km。 2．C 【分析】根据题意可知，文文从A点出发先到C点再到B点，明明从A点出发到B点，则两个人走的路程和即为这个三角形草坪的周长，根据路程＝速度×时间，分别计算出两个人走的路程再相加，即可求出这块草坪的周长是多少米，可以利用乘法分配律简便计算，据此选择即可。 【详解】75×4＋65×4 ＝（75＋65）×4 ＝140×4 ＝560（米） 这块草坪的周长是560米，列式错误的是（75－65）×4。 故答案为：C 3．105 【分析】先求出甲、乙两人的速度和，再根据速度和×时间＝路程，据此列式解答即可。 【详解】（15＋6）×5 ＝21×5 ＝105（千米） 所以，两地之间的路程是105千米。 【点睛】此题属于典型应用题中的相遇问题，利用基本数量关系解决问题。 4．（54－18）÷（7＋5）＝3（小时） 【分析】已知甲、乙两人各自的速度，两人由相隔18千米的两地相背而行，几小时后两人相隔54千米，那么两人在这个时间内行走的路程之和是（54－18）千米；根据“时间＝路程÷速度”，用两人行走的路程之和除以两人的速度和，即可求解。 【详解】（54－18）÷（7＋5） ＝36÷12 ＝3（小时） 3小时后两人相隔54千米。 算式是：（54－18）÷（7＋5）＝3（小时） 5．B 【分析】要是卖出的票数最多，就要多卖乙座的票；假如200张乙座的票都卖完，则卖了200×20＝4000元；5600－4000＝1600元，剩下的1600元都是卖甲座的票所得的，用1600除以50，求出卖的甲座的票数，最后加上200，即可求出最多卖出多少张票。 【详解】（5600－200×20）÷50＋200 ＝（5600－4000）÷50＋200 ＝1600÷50＋200 ＝32＋200 ＝232（张） 最多卖出232张票。 故答案为：B 6．510÷（45+40） =510÷85 =6（天） 从7月25日--8月1日有8天 6＜8 答：8月1日前能修完． 【详解】先根据工作时间=工作总量÷工作效率，求出两队修路需要的时间，再求出从7月25日--8月1日之间的天数比较解答． 7．（1500-70×10）÷10 =800÷10 =80（米） 答：乙队每天修80米． 【详解】用总路程减去甲队10天完成的工作量，剩下的工作量是乙队10天干的工作量，再运用“工作总量÷工作时间=工作效率”由此即可求出乙队每天修的米数． 8．1280套 【详解】120×6+560=1280(套)   答:这批服装有1280套｡ 9．（1）1470米 （2）甲队修840米，乙队修630米 （3）210米 【详解】（1）（120+120 - 30）×7=1470（米） 答：水渠全长1470米。 （2）120×7=840（米）  1470 - 840=630（米） 答：甲队修840米，乙队修630米。 （3）840 - 630=210（米） 答：完工时，甲比乙多修210米。 10．（5000-240×20）÷40 =（5000-4800）÷40 =200÷40 =5（个） 240+5=245（个） 答：本场观众最多有245人． 【详解】本场观众最多有多少人，就要使二级座位满座，用总钱数减去二级座收入的钱数，再除以一级座每位的钱数，就是一级座上的人数．据此解答． 11．40盒 【分析】首先根据“数量＝总价÷单价”，用卖蛋糕一共花的钱除以大盒蛋糕的价格，求出大盒蛋糕最多能买多少盒；然后看余数是多少元，可以通过卖几小盒蛋糕得到，然后将大盒蛋糕的数量加上小盒蛋糕的数量即可。 【详解】310÷8＝38（盒）……6（元） 6÷3＝2（盒） 38＋2＝40（盒） 答：这款蛋糕最少卖了40盒。 12．（1）（440-50×8）÷2+50， =（440-400）÷2+50， =40÷2+50， =20+50， =70（人）， 答：本场观众最少70人． （2）（440-100×2）÷8+100， =（440-200）÷8+100， =240÷8+100， =30+100， =130（人）， 答：本场观众最多130人． 【详解】（1）观众最少时也就是甲种票全卖完，再卖掉乙种票的一部分，先根据总价=数量×单价，求出甲种票卖得的钱数，再求出乙种票卖得的钱数，然后根据数量=总价÷单价，求出乙种票卖出的数量，最后加甲种票卖得张数即可解答． （2）观众最多时也就是乙种票全卖完，再卖掉甲种票的一部分，先根据总价=数量×单价，求出乙种票卖得的钱数，再求出甲种票卖得的钱数，然后根据数量=总价÷单价，求出甲种票卖出的数量，最后加乙种票卖得张数即可解答． 13．小华家；500米 【分析】根据路程＝速度×时间，分别求出小红和小华走路路程，再比较两个路程大小，并将两个路程相减求差。 【详解】60×25＝1500（米） 40×25＝1000（米） 1500＞1000 1500－1000＝500（米） 答：小华家离学校近，近500米。 【点睛】本题考查路程问题，根据路程、速度和时间之间的关系解答。 14．330千米 【分析】路程＝速度之和×时间，依此计算出客车和货车3小时行驶的总路程，客车和货车3小时行驶的总路程＋45千米＋30千米＝客、货车的目的地之间的距离，依此列式并计算即可。 【详解】（45＋40）×3 ＝85×3 ＝255（千米） 255＋45＋30＝330（千米） 答：客、货车的目的地相距330千米。 【点睛】此题考查的是普通的行程问题，应先计算出客车和货车3小时行驶的总路程再解答。 15．7小时 【详解】[660 -（60 - 20）×2-80]÷(60+60-20)+2=7(小时） 答：两车开出后7小时还相距80千米。 16．180千米 【分析】两人相遇时离中点10千米，则小红比小军多走了2个10千米，因此用小红比小军多走的路程除以小红每小时比小军每小时多走的路程，即可计算出相遇需要的时间，再根据“速度之和×相遇时间＝路程”计算出甲、乙两地的距离即可。 【详解】10×2＝20（千米） 20÷（25－20） ＝20÷5 ＝4（小时） （25＋20）×4 ＝45×4 ＝180（千米） 答：甲、乙两地相距180千米。 【点睛】此题考查的是相遇问题的计算，先计算出两人相遇需要的时间是解答此题的关键。 学科网（北京）股份有限公司7 学科网（北京）股份有限公司 $