椭圆期末复习通关练习题-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.1椭圆期末复习通关练习题 一、单选题 1．已知椭圆的左、右焦点分别是，且是椭圆上的一点．若，则（　　） A． B．1 C． D．5 2．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，若A是上一动点，则的周长为（ ） A． B． C． D． 3．已知椭圆C：的左焦点为，过原点的直线l与C交于A，B（A在第一象限）两点，P为C上异于A，B的一点，，当轴时，，，则（   ） A． B． C．1 D．2 4．已知椭圆：（），过的右焦点作直线交椭圆于，两点，若中点坐标为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知椭圆的左、右焦点分别是，离心率为，在轴下方的点在椭圆上．若的面积为6，则直线的斜率可以为（　　） A． B． C． D． 6．一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 7．已知椭圆上一点与两焦点所夹的角，则的面积为（    ） A． B． C． D． 8．法国著名的数学家蒙日首先发现，椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为.已知椭圆的焦点在轴上，A，B为上任意两点，动点在直线上.若恒为锐角，则的焦距的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知椭圆的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，，的延长线交于点，且，则（   ） A．的离心率为 B．直线的斜率为 C．为等腰三角形 D． 10．已知方程，则下列说法正确的有（　　） A．当时，方程表示直线 B．当时，方程表示的曲线是圆 C．当时，方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆 D．若方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 11．已知椭圆：的上、下焦点分别为，，点是椭圆上的一个动点，则以下说法正确的是（   ） A．的周长为6 B．若，则的面积为 C．椭圆上存在4个点，使得 D．的最小值为 三、填空题 12．设椭圆：(，)的左､右焦点分别为，，离心率为，是上一点，且，若的面积为，则 ． 13．过椭圆：右焦点的直线：交于、两点，为AB的中点，且OP的斜率为，则椭圆的标准方程为 . 14．已知椭圆，是椭圆上的动点，则下列命题中，正确的有 个 （1）若椭圆的焦点在轴上，则 （2）若椭圆的离心率，则或 （3）当且时，的面积为 （4）当时存在点P使得 四、解答题 15．设椭圆的左焦点为，右焦点为，上顶点为，离心率为，是坐标原点，且. (1)求椭圆的方程. (2)已知过点的直线与椭圆的两交点为，，若，求直线的方程. 16．已知椭圆的焦距为，且过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆相交于两点，设直线的斜率分别为，试探究是否为定值？请说明理由. 17．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一点. (1)若焦距为，点的坐标为，求椭圆的标准方程； (2)若，且的面积为，求的值. 18．曲率半径可用来描述曲线上某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大，则曲线在该点处的弯曲程度越小．已知椭圆上点处的曲率半径公式为．已知椭圆上所有点相应的曲率半径的最大值为，最小值为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆相交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程： (3)记椭圆的左焦点为，为椭圆上一动点，定点，求的最大值． 19．已知椭圆（）的离心率，椭圆上动点到右焦点的距离最大值等于3． (1)求的方程； (2)设是坐标平面上的动点，且线段的垂直平分线与恰有一个公共点 ①求动点的轨迹方程； ②求线段的长度的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】根据椭圆的定义即可求解. 【详解】由椭圆的方程及题意知，，所以， 所以．由椭圆的定义，得，又， 所以． 故选：D． 2．C 【分析】根据已知条件求得，结合椭圆的定义求得的周长. 【详解】在椭圆C中，， 由椭圆的定义可得， 则的周长为. 故选：C 3．D 【分析】根据已知条件求得，，即得椭圆方程，设，则，且，进而求出点坐标，应用两点式求线段长度，即可得. 【详解】若直线过原点且与椭圆交于A，B两点，P为椭圆上异于A，B的点，此时， 由P为椭圆C上一点，设，则，轴时， 则，，故椭圆C为，， 设，则①， 因为直线l过原点即直线AB过原点O， 根据椭圆的对称性且，则有，即②， 由①②得，，，即， 因为A，B两点关于原点对称，所以， 所以，，故. 故选：D 4．D 【分析】设以及中点坐标，利用“点差法”得到之间的关系，从而得到之间的关系，结合即可求解出椭圆的方程. 【详解】设，的中点，则直线的斜率， 由两式相减得，即， 而，，因此，又， 解得，所以椭圆的方程为：. 故选：D 5．A 【分析】根据离心率及，求出，再由三角形面积求出点，即可求直线斜率. 【详解】在椭圆中，，离心率，所以， 所以．解得， 所以椭圆的方程为，所以，． 由题意得，的面积为6，解得． 因为，所以． 因为点在椭圆上，所以． 当时，直线的斜率为； 当时，直线的斜率为． 故选：A 6．A 【分析】由圆与圆的位置关系及椭圆的定义和标准方程可得结果. 【详解】设动圆圆心为，半径为，设已知圆的圆心分别为、， 将圆的方程配方得：，圆心，半径为， 圆同理化为，圆心，半径为， 当动圆与圆相外切时，有① 当动圆与圆相内切时，有② 将①②两式相加，得 动圆圆心到点和的距离和是常数， 所以点的轨迹是焦点为点、，长轴长等于的椭圆， 故，，，. 故选：A. 7．C 【分析】方法一：在中，利用余弦定理和椭圆的定义可构造方程求得，代入三角形面积公式即可求得结果； 方法二：利用椭圆焦点三角形面积二级结论直接求解即可. 【详解】方法一：由椭圆方程知：长轴长，焦距； 设，，由椭圆的定义知：， 在中，由余弦定理得：， 解得：， . 方法二：根据椭圆焦点三角形面积二级结论得：. 故选：C. 8．A 【分析】由已知分析可知，直线与圆相离，利用直线与圆的位置关系可求出的取值范围，再结合椭圆离心率公式可求得椭圆的焦距的范围. 【详解】由题意知，圆为椭圆的“蒙日圆”， 如图，A，B为上任意两点，动点在直线上.若恒为锐角， 则点在圆外，又动点在直线上， 则直线与圆相离， 所以，得，所以， 则，即， 则的焦距的取值范围为． 故选：A 9．ACD 【分析】根据椭圆的定义、的关系及余弦定理对选项逐一分析即可. 【详解】对于C：，，则， 所以， 所以为等腰三角形，故C正确； 对于A：， 所以，解得， 所以，所以，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于D：，所以， 所以，所以，故D正确.    故选：. 10．ABD 【分析】对于ABC，代入数据逐个判断即可，对于D，由求解即可判断. 【详解】当时，方程可化为，解得，表示直线，故A正确． 当时，方程可化为，表示以原点为圆心，半径的圆，故B正确． 当且时，方程可化为．当时，方程可化为，表示焦点在轴上的椭圆，故C错误． 若方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆， 则，解得， 即实数的取值范围是，故D正确． 故选：ABD． 11．ABD 【分析】根据椭圆的定义和几何性质，结合三角形周长计算判断A；根据椭圆的定义和余弦定理，结合三角形面积公式计算判断B；根据椭圆几何性质可以判断C；根据椭圆的定义和常数代换法求得式子的最值判断D. 【详解】对于A，椭圆：的上、下焦点分别为，，点是椭圆上的一个动点， 则，，， 所以的周长为，A正确. 对于B，若，根据余弦定理可得 ， 可得，解得， 则的面积为，B正确. 对于C，由椭圆的性质可知：当点为椭圆的左顶点或右顶点时，最大， 此时，则，所以椭圆上不存在点，使得，C错误. 对于D，因为， 所以 当且仅当，即时取等号， 的最小值是，D正确. 故选：ABD. 12． 【分析】根据已知公式，结合椭圆的定义，勾股定理和面积公式，即可求解. 【详解】根据题意，离心率为，所以，所以，设，， 由椭圆的定义可得，，因为，所以，因为的面积为， 所以，即，所以，即，解得， 因为，所以. 故答案为：. 13． 【分析】先由直线方程求得右焦点坐标，得，再设，点坐标代入椭圆方程相减得出直线与直线斜率的关系，从而求得的关系，结合可求得得椭圆方程． 【详解】在中令得，所以椭圆右焦点为，即， 设，，， ∴，两式相减得， 所以，即，从而， ∴， 又，因此， ∴椭圆标准方程， 故答案为： 14． 【分析】根据椭圆的焦点位置，结合椭圆方程及离心率公式判断（1）（2），由确定椭圆参数，再在焦点三角形中应用椭圆的有界性及余弦定理判断（3）（4）. 【详解】对于（1），由椭圆方程，若焦点在轴上，则，所以（1）错误； 对于（2），当椭圆焦点在轴上时，，解得， 当椭圆焦点在轴上时，，解得，所以（2）正确； 对于（3），根据题意椭圆，则，，，， 则， 所以，而，则， 所以，所以（3）正确； 对于（4），根据题意椭圆， 当点为椭圆的上下顶点时， ，则， 则取到最大值， 所以，所以存在点P使得，所以（4）正确. 故（2）（3）（4）正确，即有个命题正确.    故答案为：. 15．(1) (2) 【分析】（1）依次由题设列出关于的等量关系即可分析计算求解； （2）由题意设直线方程为，与椭圆联立方程，借助韦达定理和向量垂直的坐标表示计算求解t即可得解. 【详解】（1）设椭圆的焦距为，则，∴， ∵，∴， 又，，，∴， ∴，∴，∴，， ∴椭圆C的方程为. （2）由（1）知，，由题可设直线方程为， 由得， 设，，则，，， ∵，∴，∴， ∴，∴， ∴，∴， ∴的方程为. 16．(1) (2)是，理由见解析 【分析】（1）根据条件，建立的方程，直接求出即可得到结果； （2）设出直线方程，联立，通过消元得到，再由韦达定理得，，再直接对化简即可求出结果. 【详解】（1）由，得到，又椭圆过点， 所以，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）由题意知直线斜率不为0，设直线方程为，， 联立，消整理得， 所以， 又 ， 所以为定值.    17．(1) (2) 【分析】（1）首先根据焦距可以求解的值，然后再将点代入椭圆方程中，进而通过解方程求解，的值； （2）由的面积求解的值，再结合椭圆的定义和余弦定理进行求解即可. 【详解】（1）已知，所以得：，即， 由于点在椭圆上，将其代入椭圆方程， 可得：，即， 又因为，即. 联立，整理得：，解得：或（舍） 所以，故椭圆的标准方程为. （2）因为，所以的面积， 则，根据椭圆定义可得：. 根据余弦定理可得：， 整理得：， 代入得：，即，即得：. 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据椭圆方程可得，进而可得，结合题意可得，即可得方程； （2）设，，根据题意利用点差法可得，即可得方程； （3）根据椭圆定义可得，代入结合图形的性质分析求解. 【详解】（1）因为点在椭圆上，则，即， 可得， 因为，则， 可得，所以， 则，，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）因为，可知点在椭圆内，直线与椭圆必相交， 设，，则线段的中点坐标为， 可得，，， 因为点，在椭圆内， 则，两式相减得， 整理可得，即，可得， 所以直线的方程为，即. （3）由题意可知：，则椭圆的左、右焦点分别为，， 因为，即， 则， 当且仅当点在的延长线上时，等号成立， 所以的最大值为. 19．(1) (2)① ；② 【分析】（1）根据条件，直接求出，即可求解； （2）①设，分和两种情况讨论，当时，可直接求得或，当时，的垂直平分线方程为：，联立直线与椭圆方程，结合条件，利用直线与椭圆的位置关系，得，化简即可求解；②利用恰为圆心，利用圆的性质有，再求出的范围，即可求解. 【详解】（1）由题可知，，解得，， 又，所以椭圆方程为. （2）由（1）知，设，则的中点为， ①当时，的垂直平分线方程为， 此时，则或；即或 当时，的垂直平分线方程为：， 由，消得， ， 整理得， 因为线段的垂直平分线与恰有一个公共点， 则， 即， 整理得， 即， 因为，所以， 而，也满足该式， 故点的方程为，即． ②由①知，点的方程是以为圆心，为半径的圆，且圆心为椭圆左焦点， 又易知点在圆内，则， 又由椭圆的性质知，，得到， 故所求线段MQ长度的取值范围是    答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $