精品解析：湖南省衡阳市耒阳市童星实验学校2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

童星实验学校初三年级数学第三次励志教育 满分：120分 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 若式子有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列等式正确的是(　　) A. B. C. D. 3. 信阳是河南传统餐饮历史文化名城，信阳菜历经千年的积淀和发展，以鲜、香、爽、醇、中的独特味道传遍大江南北.某游客慕名而来，决定从“筒鲜鱼”“固始鹅块”“石凉粉”“罗山大肠汤”“闷罐肉”这5个特色美食中随机选取2 个进行品尝，则他抽到“筒鲜鱼”和“固始鹅块”的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知三角形两边长分别为和，第三边长是方程的根，则第三边长是（　　） A. B. C. D. 5. 若tan(a+10°)=1，则锐角a的度数是（ ） A. 20° B. 30° C. 35° D. 50° 6. 在二次函数的图像中，将x轴向下平移4个单位，y轴向右平移3个单位后，得到的图像所对应的二次函数表达式为（ ） A. B. C. D. 7. 二次的函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 下表是二次函数的函数值y与自变量x的几组对应值．下列结论正确的是（ ） x 0 1 2 y m m n A. B. C. D. 9. 如图，为等边三角形，且点坐标为，以原点为位似中心，将放大到，若点的坐标为，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x=1.分析下列5个结论：①2c<3b；②若0<x<3，则ax2+bx+c>0；③；④（k为实数）；⑤(m为实数).其中正确的结论个数有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 已知：方程是一元二次方程，则a的值为______． 12. 已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，则A、B两点间的距离是______． 13. 关于x的一元二次方程的解是，，则不等式的解集为______． 14. “劳动创造世界”，劳动教育已纳入国家人才培养全过程．某学农基地加大投入，建设新型农场，该农场一种作物的亩产量两年内从400千克增加到484千克，则两年平均增长率为________． 15. 如图，是的弦，于点H，点P是所对的优弧上一点，若，，则__________． 16. 如图，一座拱桥的轮廓是抛物线型．拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m，则支柱的长度为______m． 17. 如图，在上述网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，O都在格点上，则∠AOB的正弦值是______． 18. 如图，分别过点作x轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为______． 三、解答题（共65分） 19. 计算： 20. 先化简，再求值：，其中实数，满足． 21. 已知关于x的方程x2-2(k-1)x+k2 =0有两个实数根x1.x2. (1)求实 数k的取值范围; (2)若(x1+1)(x2+1)=2，试求k的值. 22. 某款SUV型汽车后备箱门正常开启时如图所示，该车型高，后备箱门长，当后备箱门正常开启后，．某车主的储藏室空间高度为m，问该车停入储藏室后能否正常开启后备箱门． 23. 如图，是的直径，内接于，，的延长线相交于点，且． （1）求证：； （2）求的度数． 24. 如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，以所在的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴也是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为． （1）求抛物线的解析式． （2）现有一辆货运卡车，高为，宽为，它能从正中间通过该隧道吗？ 25. 定义：如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“直观三角形”． （1）抛物线y=x2的“直观三角形”是　 　． A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 （2）若抛物线y=ax2+2ax﹣3a的“直观三角形”是直角三角形，求a的值； （3）如图，面积为12的矩形ABCO的对角线OB在x轴的正半轴上，AC与OB相交于点E，若△ABE是抛物线y=ax2+bx+c的“直观三角形”，求此抛物线的解析式． 26. 如图，抛物线经过点和点，与y轴交于点C，顶点为D，连接、，与抛物线的对称轴l交于点E. （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点P是第一象限抛物线上的动点，连接，，当四边形面积取最大值时，求点P的坐标； （3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以M，N，E为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 童星实验学校初三年级数学第三次励志教育 满分：120分 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 若式子有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】分析：根据二次根式有意义的条件进行解答． 详解：依题意得：x-2≥0， 解得x≥2． 故选D． 点睛：考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 2. 下列等式正确的是(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】一一计算判断即可. 【详解】解：A. ，故A正确，D错误； B. ，故B错误； C. ，故C错误； 故选：A. 【点睛】本题考查了二次根式的性质，负指数幂，绝对值的意义，注意二次根式和绝对值的非负性. 3. 信阳是河南传统餐饮历史文化名城，信阳菜历经千年的积淀和发展，以鲜、香、爽、醇、中的独特味道传遍大江南北.某游客慕名而来，决定从“筒鲜鱼”“固始鹅块”“石凉粉”“罗山大肠汤”“闷罐肉”这5个特色美食中随机选取2 个进行品尝，则他抽到“筒鲜鱼”和“固始鹅块”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过列表法列出所有情况，再根据抽到“筒鲜鱼”和“固始鹅块”的情况数利用概率公式进行计算即可． 【详解】记“筒鲜鱼”“固始鹅块”“石凉粉”“罗山大肠汤”“闷罐肉”分别为A、B、C、D、E．抽到“筒鲜鱼”和“固始鹅块”即为AB或BA，则5个特色美食中随机选取2个进行品尝的所有可能情况列表为： A B C D E A AB AC AD AE B AB BC BD BE C AC BC CD CE D AD BD CD DE E AE BE CE DE 共有20种等可能事件，其中抽到AB或BA的有2种， 到AB或BA的概率为 即抽到“筒鲜鱼”和“固始鹅块”的概率为． 故选：C． 【点睛】本题考查了列表法或画树状图法求概率，即一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包括其中的m种结果，那么事件A发生的概率． 4. 已知三角形两边长分别为和，第三边长是方程的根，则第三边长是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据利用因式分解法解一元二次方程得，，再根据三角形的三边关系即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∵三角形两边长分别为和， ∴，， ∴三角形的第三边为， 故选． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，三角形的三边关系的应用，掌握三角形的三边关系的应用是解题的关键． 5. 若tan(a+10°)=1，则锐角a的度数是（ ） A. 20° B. 30° C. 35° D. 50° 【答案】C 【解析】 【分析】根据特殊角的正切三角函数值即可得． 【详解】，且为锐角， ， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查了特殊角的正切三角函数值，熟记特殊角的正切三角函数值是解题关键． 6. 在二次函数的图像中，将x轴向下平移4个单位，y轴向右平移3个单位后，得到的图像所对应的二次函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由平移坐标轴可知图像向相反方向移动，根据“左加右减，上加下减”的规律即可得出平移后抛物线的解析式． 【详解】解：∵将x轴向下平移4个单位，y轴向右平移3个单位 ∴函数图像向上平移4个单位，然后向左平移3个单位 把二次函数的图像向上平移4个单位，然后向左平移3个单位，则平移后的图像对应的二次函数的表达式为：． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数图像的平移，掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 7. 二次的函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】从图象中得到，，故一次函数的图象分布在第一，三，四象限，解答即可． 本题考查了抛物线的顶点坐标，一次函数图象分布，熟练掌握顶点坐标，一次函数图象分布是解题的关键． 【详解】从图象中得到，， 故一次函数的图象分布在第一，三，四象限， 故选B． 8. 下表是二次函数的函数值y与自变量x的几组对应值．下列结论正确的是（ ） x 0 1 2 y m m n A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据表格中数据，可以求出抛物线的对称轴，再根据对称性即可得到大小关系． 【详解】解：由表格可以得到：抛物线对称轴为 二次函数开口向上 当时，y随x的增大而增大 选项错误 又对称轴为直线 选项正确 二次函数经过，且开口向上 函数图像与x轴有两个交点 选项错误 无法判断m，n的正负 选项错误 故选B． 9. 如图，为等边三角形，且点坐标为，以原点为位似中心，将放大到，若点的坐标为，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，得出位似比是解题关键． 利用已知对应点坐标变化得出与位似，且位似比为，进而得出与的面积之比． 【详解】解：过点A作， 在等边中，点坐标为， ∴，， 在中， ∴ 以原点为位似中心，将放大到， ∵点的坐标为， ∴与位似，且位似比为， ∴与的面积之比为， 故选：B． 10. 如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x=1.分析下列5个结论：①2c<3b；②若0<x<3，则ax2+bx+c>0；③；④（k为实数）；⑤(m为实数).其中正确的结论个数有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据题中条件可得：，进而得出a、b之间的关系，根据其对称轴以及增减性分别代入验证即可. 【详解】解：根据题中条件可得：， 即：， 把其代入二次函数得：， 对于①：因为当时，y值小于0，即可得：， ，故①正确， 对于②：通过图像可得：当位于2和3之间的时候y值有一段小于0的， ②错误， 对于③：当时，y值小于0， 把其代入中可得： ，即：， 两边同时平方得：，故③正确， 对于④：观察图像可以知道，函数在的时候是递减的， 而， 把其代入得：， 即：，故④错误， 对于⑤：对于任意的，其代入二次函数表达式中所得y值永远小于时的y值， 即： ， 两边乘以a，不等号变号得： ，故⑤错， 故答案为：B. 【点睛】本题考查的是二次函数图像和性质的结合，解题关键在于搞懂题中的条件以及二次函数的增减性. 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 已知：方程是一元二次方程，则a的值为______． 【答案】9 【解析】 【分析】由一元二次方程的定义即可求出答案； 【详解】由题意可知， ， ， ， ， 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，结合绝对值的计算是解题的关键． 12. 已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，则A、B两点间的距离是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，通过求解二次方程得到与轴的交点横坐标，再计算两点距离即可得出结果，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：令，则， 解得，， ∴A、B两点的坐标为和， ∴A、B两点间的距离是， 故答案为：． 13. 关于x的一元二次方程的解是，，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，由一元二次方程的解可知二次函数与水平线的交点，结合二次项系数为正，可得不等式的解集为两根之间，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：方程，即，其解为，， ∵， ∴函数图象开口向上， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 14. “劳动创造世界”，劳动教育已纳入国家人才培养全过程．某学农基地加大投入，建设新型农场，该农场一种作物的亩产量两年内从400千克增加到484千克，则两年平均增长率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，掌握等量关系：若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为是解决问题的关键． 设平均每年增产的百分率为，列出方程，求解即可． 【详解】解：设平均每年增产的百分率为， 则第一年的产量为， 第二年的产量在第一年产量的基础上增加，为， 则列出的方程是， 解得：或（舍去）， 故答案为：． 15. 如图，是的弦，于点H，点P是所对的优弧上一点，若，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接OA，OB，由，可得；由是的弦，于点H，可得OH是弦心距，；在Rt△AOH中，，由正切定理可得，进而可得． 【详解】连接OA，OB， ∵， ∴， ∵是的弦，于点H， ∴，， 在Rt△AOH中， ∵， ∴， ∴． 故填． 【点睛】本题主要考查圆中同弧所对的圆周角和圆心角的关系以及解弦心距所构成的直角三角形的问题；利用好弦心距，熟练掌握圆中有关知识是解决本题的关键． 16. 如图，一座拱桥的轮廓是抛物线型．拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m，则支柱的长度为______m． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，运用待定系数法求出函数的解析式即可解决问题． 【详解】解：建立平面直角坐标系，如图， 则 设抛物线的解析式为， 把代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为：， ∴当时，， ∴ 故答案为： 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． 17. 如图，在上述网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，O都在格点上，则∠AOB的正弦值是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用勾股定理求出AO、BO的长，再由=AB×2=AO⋅BC，得出BC，sin∠AOB可得答案． 【详解】解：如图，过点O作OE⊥AB于点E， 过点B作BC⊥OA于点C． 由勾股定理，得AO=，BO=， ∵=AB×OE=AO×BC， ∴BC= =， ∴sin∠AOB= =． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角函数的综合应用，熟练掌握正弦函数的意义、勾股定理的应用及三角形的面积求法是解题的关键． 18. 如图，分别过点作x轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意分别将，…代入解析式，求得与的坐标，的长，分别表示出所求式子的各项，拆项后抵消即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：把代入；中， 得到，， ∴， ∴， 同理，把代入，中， 得到，， ∴， ∴， … 代入；中 得到， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次函数和一次函数的点的坐标求法及数字型的规律探索，属于规律型试题，找出题中的规律是解本题的关键． 三、解答题（共65分） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是实数的运算．分别根据算术平方根、零指数幂及负整数指数幂的计算法则、特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则计算出各数即可． 【详解】解： 20. 先化简，再求值：，其中实数，满足． 【答案】，2 【解析】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，根据负数没有平方根求出x与y的值，代入计算即可求出值． 【详解】解：原式＝ ＝， ∵， ∴，，即 解得：，， ∴． 【点睛】此题考查了分式的化简求值和二次根式有意义的条件．二次根式的被开方数为非负数才有意义． 21. 已知关于x的方程x2-2(k-1)x+k2 =0有两个实数根x1.x2. (1)求实 数k的取值范围; (2)若(x1+1)(x2+1)=2，试求k的值. 【答案】(1) ；(2)k=-3. 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围； （2）根据根与系数可得出x1+x2=2（k-1），x1x2=k2，结合（x1+1）（x2+1）=2，即可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k值，结合（1）的结论即可得出结论． 【详解】解：（1）∵关于x的方程x2-2（k-1）x+k2=0有两个实数根， ∴△=[-2（k-1）]2-4×1×k2≥0， ∴k≤， ∴实数k的取值范围为k≤． （2）∵方程x2-2（k-1）x+k2=0的两根为x1和x2， ∴x1+x2=2（k-1），x1x2=k2． ∵（x1+1）（x2+1）=2，即x1x2+（x1+x2）+1=2， ∴k2+2（k-1）+1=2， 解得：k1=-3，k2=1． ∵k≤， ∴k=-3． 【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数关系，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有实数根”；（2）根据根与系数关系结合（x1+1）（x2+1）=2，找出关于k的一元二次方程． 22. 某款SUV型汽车后备箱门正常开启时如图所示，该车型高，后备箱门长，当后备箱门正常开启后，．某车主的储藏室空间高度为m，问该车停入储藏室后能否正常开启后备箱门． 【答案】该车停入储藏室后能够正常开启后备箱门 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作垂线构造直角三角形是解题关键．过点C作交延长线于点D，求出即可判断． 【详解】解：过点C作交延长线于点D， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴（米）， ∴（米）， ∵， ∴该车停入储藏室后能够正常开启后备箱门． 23. 如图，是的直径，内接于，，的延长线相交于点，且． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1） 证明：∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵ ∴， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定以及性质，圆内接四边形的性质，等边对等角等知识，掌握这些性质是解题的关键． （1）由等弧所对的圆周角相等可得出，再由等边对等角得出，等量代换可得出，又，即可得出． （2）连接，由直径所对的圆周角等于得出，设，即，由相似三角形的性质可得出，再根据圆内接四边形的性质可得出，即可得出的值， 进一步即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，如下图： ∵为直径， ∴， 设， ∴， 由（1）知： ∴， ∵四边形是圆的内接四边形， ∴， 即， 解得： 24. 如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，以所在的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，y轴也是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为． （1）求抛物线的解析式． （2）现有一辆货运卡车，高为，宽为，它能从正中间通过该隧道吗？ 【答案】（1） （2）这辆货运卡车不能从正中间通过该隧道． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键． （1）根据抛物线在坐标系中的特殊位置，可以设抛物线的顶点式，进而可求抛物线的解析式； （2）根据题意，把代入解析式，得到，由于，于是得到货运卡车不能通过． 【小问1详解】 解：根据题意可得抛物线顶点E的坐标为，设抛物线的解析式为．由已知可得，点B的坐标为，且在此抛物线上， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， 【小问2详解】 解：当时，． ∵， ∴这辆货运卡车不能从正中间通过该隧道． 25. 定义：如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“直观三角形”． （1）抛物线y=x2的“直观三角形”是　 　． A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 （2）若抛物线y=ax2+2ax﹣3a的“直观三角形”是直角三角形，求a的值； （3）如图，面积为12的矩形ABCO的对角线OB在x轴的正半轴上，AC与OB相交于点E，若△ABE是抛物线y=ax2+bx+c的“直观三角形”，求此抛物线的解析式． 【答案】（1）B；（2）a=±；（3）抛物线的解析式y=﹣x2+6x﹣24． 【解析】 【分析】按照题目中给定的“直观三角形”定义，求解，（1）证明三角形是等边三角形.(2)利用三角形是直角三角形反推a.（3）利用已知条件，列方程组求二次函数的解析式. 【详解】解：（1）设抛物线y=x2﹣2x与x轴的交点坐标为A，B，顶点为D， ∴A（0，0），B（2，0），D（，﹣3）， ∴AD=BD=2，AB=2， ∴AB=AD=BD， ∴△ABD是等边三角形， ∴抛物线y=x2﹣2x对应的“直观三角形”是等边三角形， 故答案为B； （2）设抛物线y=ax2+2ax﹣3a与x轴的交点坐标为A，B，顶点为D，∴A（﹣3，0），B（1，0），D（﹣1，﹣4a）， ∵抛物线y=ax2+2ax﹣3a对应的“直观三角形”是直角三角形， ∴AB2=AD2+BD2， ∴16=4+16a2+4+16a2， ∴a=±； （3）如图， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AE=CE=OE=BE， ∴S△ABE=S矩形ABCD=×12=3， ∵△ABE是抛物线的“直观三角形”， 根据抛物线的对称性得，AE=AB， ∴AE=AB=BE， ∴△ABE是等边三角形， 过点A作AH⊥BE， ∴AH=ABsin∠ABE=AB=BE， ∴BE2=3， ∴BE=2， ∴AH=3，EH=， ∴A（3，3），E（2，0），B（4，0）， 设抛物线解析式为y=a（x﹣3）2+3， 将点E（2，0）代入得，a=﹣1， ∴y=﹣（x﹣3）2+3=﹣x2+6x﹣24． ∴过点A，B，E三点的抛物线的解析式y=﹣x2+6x﹣24． 【点睛】1.新定义题型：新定义压轴题要把题目中所给定的定义理解并掌握，转换为已经学习过的知识，去解决未知问题. 2.求二次函数的解析式 （1）已知二次函数过三个点，利用一般式，y＝ax2＋bx＋c（）.列方程组求二次函数解析式. (2)已知二次函数与x轴的两个交点(，利用双根式，y=（）求二次函数解析式,而且此时对称轴方程过交点的中点,. (3)已知二次函数的顶点坐标，利用顶点式,（）求二次函数解析式. 26. 如图，抛物线经过点和点，与y轴交于点C，顶点为D，连接、，与抛物线的对称轴l交于点E. （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点P是第一象限抛物线上的动点，连接，，当四边形面积取最大值时，求点P的坐标； （3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以M，N，E为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）将、代入，列方程组求出、的值即可； （2）过点作轴于点，交于点，先求出直线的函数表达式，再设点的横坐标为，将线段及四边形的面积用含的代数式表示，再根据二次函的性质求出四边形面积取最大值时点的坐标； （3）存在符合条件的点，设，，先求出抛物线的对称轴和点的坐标，确定是等腰三角形，则以，，为顶点的三角形也是等腰三角形，再按，和，，以及，，分别求出点的坐标． 【小问1详解】 解：抛物线经过点和点， ， 解得， 该抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 如图1，过点作轴于点，交于点， 抛物线，当时，， ， 设直线的函数表达式为，则， 解得， 直线的函数表达式为， 设，，则， ， ， ， ， 当时，四边形面积取最大值，此时， ． 【小问3详解】 存在，设，， ，， 是等腰直角三角形， 以，，为顶点的三角形与相似， 以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形， 点、关于抛物线的对称轴对称， 抛物线的对称轴为直线， 直线，当时，， ， 设直线交轴于点， 如图2，，，则， 解得，（不符合题意，舍去）， ， ， ； 如图3，，，则， ， 解得，（不符合题意，舍去）， ； 如图4，，， 作于点，则， ， 由图3可知， ， ， ， 综上所述，的坐标为或或． 【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数表达式、相似三角形的判定、等腰直角三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识与方法，还涉及数形结合、分类讨论等数学思想的运用，此题难度较大，属于考试压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $