寒假作业08 直线与圆锥曲线的位置关系3类重点必刷题型（巩固培优）高二数学苏教版

限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 寒假作业08 直线与圆锥曲线的位置关系 一、直线和曲线联立 （1）椭圆与直线相交于两点，设， ， 椭圆与过定点的直线相交于两点，设为，如此消去，保留，构造的方程如下：， （2）抛物线与直线相交于两点，设， 联立可得，时， 特殊地，当直线过焦点的时候，即，，因为为通径的时候也满足该式，根据此时A、B坐标来记忆． 抛物线与直线相交于两点，设， 联立可得，时， 二、根的判别式和韦达定理 与联立，两边同时乘上即可得到，为了方便叙述，将上式简记为．该式可以看成一个关于的一元二次方程，判别式为可简单记． 同理和联立，为了方便叙述，将上式简记为，，可简记． 与C相离；与C相切；与C相交． 注意：（1）由韦达定理写出，，注意隐含条件． （2）求解时要注意题干所有的隐含条件，要符合所有的题意． （3）如果是焦点在y轴上的椭圆，只需要把，互换位置即可． （4）直线和双曲线联立结果类似，焦点在x轴的双曲线，只要把换成即可； 焦点在y轴的双曲线，把换成即可，换成即可． （5）注意二次曲线方程和二次曲线方程往往不能通过联立消元，利用判断根的关系，因为此情况下往往会有增根，根据题干的隐含条件可以舍去增根（一般为交点横纵坐标的范围限制），所以在遇到两条二次曲线交点问题的时候，使用画图的方式分析，或者解方程组，真正算出具体坐标． 三、弦长公式 设，根据两点距离公式． （1）若在直线上，代入化简，得； （2）若所在直线方程为，代入化简，得 （3）构造直角三角形求解弦长，．其中为直线斜率，为直线倾斜角． 注意：（1）上述表达式中，当为，时，； （2）直线上任何两点距离都可如上计算，不是非得直线和曲线联立后才能用． （3）直线和曲线联立后化简得到的式子记为，判别式为，时，，利用求根公式推导也很方便，使用此方法在解题化简的时候可以大大提高效率． （4）直线和圆相交的时候，过圆心做直线的垂线，利用直角三角形的关系求解弦长会更加简单． （5）直线如果过焦点可以考虑焦点弦公式以及焦长公式． 四、已知弦的中点，研究的斜率和方程 （1）是椭圆的一条弦，中点，则的斜率为， 运用点差法求的斜率；设，，，都在椭圆上， 所以，两式相减得 所以 即，故 （2）运用类似的方法可以推出；若是双曲线的弦，中点，则；若曲线是抛物线，则． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 直线与圆锥曲线的位置关系 1．（25-26高二上·海南省直辖县级单位·月考）设为抛物线的焦点，过点且倾斜角为的直线交于两点，（    ） A．12 B．10 C．9 D．6 2．（25-26高二上·江苏·期末）过椭圆的一个焦点作轴的垂线，若交于，两点，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026高三·全国·专题练习）垂直于x轴的直线交抛物线y2＝4x于A，B两点，且，则直线AB的方程为 ． 4．（25-26高二上·北京·月考）已知椭圆的左焦点为，不经过且斜率为的直线交C于A，B两点．当的周长最大时， ． 5．（25-26高二上·黑龙江佳木斯·月考）已知椭圆，其中离心率为，长轴长为4. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线交椭圆于两点，为坐标原点，若的面积为，求. 6．（25-26高二上·江苏·期末）在平面直角坐标系中，已知椭圆过点，焦距为，过点且斜率为的直线与交于不同的两点． (1)求椭圆的方程； (2)求斜率的取值范围； (3)当时，求两点的坐标． 题型二 中点弦问题 1．（25-26高二上·重庆江北·月考）若过点的直线与椭圆相交于两点，且关于直线对称，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·河北保定·期中）若双曲线的焦距为4，直线与交于A，B两点，且线段AB的中点为，则直线的斜率为（    ） A．2 B． C．1 D． 3．（25-26高二上·江苏·期末）已知椭圆内一点，直线与椭圆交于两点，且为线段的中点，则 ． 4．（25-26高二上·河北石家庄·月考）过点的直线与双曲线相交于两点，若点是线段的中点，则直线的方程为 . 5．（25-26高二上·河北石家庄·月考）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线相交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程. 6．（25-26高二上·重庆·期中）已知椭圆 ，点 为椭圆内一点，过点 的直线 与椭圆交于 、 两点， (1)若直线 的斜率为 1，求线段 的长度. (2)若 为线段 的中点，求直线 的方程. 题型三 面积问题 1．（25-26高二上·江苏·期末）已知F为抛物线的焦点，斜率为的直线与抛物线交于A，B两点，且位于x轴的两侧（A在x轴的上方），（其中为坐标原点），则（    ） A．4：1 B．5：1 C．5：2 D．7：2 2．（25-26高二上·辽宁·月考）已知椭圆，作椭圆关于直线的对称图形，得到椭圆，点，，是椭圆上第三象限内的动点，为对称后的对应点，则面积的取值范围是 ． 3．（25-26高二上·江苏·期末）已知曲线，两条直线均过坐标原点O，和曲线C交于M，N两点，和曲线C交于P，Q两点，若的面积为，则四边形的面积为 . 4．（2025·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知动点与定点的距离和到定直线的距离之比是常数2． (1)求动点的轨迹方程； (2)过点的动直线与曲线交于两点，问：在轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2025·云南·模拟预测）设抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，为坐标原点. (1)求； (2)设点，直线，与的另一个交点分别为，求面积的最小值. 1．（25-26高三上·江苏徐州·月考）已知椭圆的右顶点为，且椭圆的离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)已知为的右焦点，，为轴上两动点，且． （i）若的外接圆与在第二象限的交点为，直线交轴于点，记的面积为的面积为，求； （ii）若直线分别与交于点，求证：直线恒过定点． 2．（24-25高三上·福建漳州·月考）已知椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，点P为上一点，周长为，其中为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)直线与交于A，B两点， ①求面积的最大值； ②设，试证明点Q在定直线上，并求出定直线方程. 3．（福建省长汀县第一中学�厦门英才学校2025-2026学年高二上学期12月联考数学试卷）中国结是一种手工编织工艺品，其外观对称精致，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，中国结有着复杂曼妙的曲线，其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线也称为卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系中到两定点、距离之积为的点的轨迹是双纽线，其轨迹为一条连续的封闭曲线， (1)判断是否在曲线上； (2)若点在椭圆上，，证明：； (3)若直线与曲线只有一个交点，求的取值范围. 4．（25-26高三上·天津·月考）已知椭圆的左右焦点分别为，，且其中一个焦点与抛物线的焦点重合，直线与椭圆交于，两点，的周长为8. (1)求椭圆的标准方程； (2)若斜率为的直线与抛物线交于，两点，斜率为的直线与抛物线交于，两点. ①求和（用含的代数式表示）； ②若，试判断是否存在最大值，若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由. 1．（25-26高三上·北京·月考）2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的LOGO（如图所示），设计师的灵感来源于曲线．当，，时，给出下列四个结论： ①曲线C关于原点对称； ②曲线C所围成的封闭图形的面积小于24； ③曲线C上的点到原点O的距离的最大值为3； ④设，直线交曲线C于P，Q两点，则的周长大于12． 其中正确结论的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（25-26高二上·浙江湖州·月考）（多选题）已知椭圆，，是左右焦点，在椭圆的上半部分（含端点）上存在n个点，，…，，（，），是右顶点，是左顶点，使得，，…，成为公差是的等差数列，则下列说法正确的是（   ） A．的周长为16 B．当时，n的最大值为14 C．当时， D．的最小值为 3．（25-26高二上·四川成都·期中）①已知斜率为的直线与椭圆交于两点，若线段的中点为（）则； ②对任意的，，； ③点P为直线l：上的一个动点，A，B为圆M：上任意两个不重合的点，记的最小值为m，的最大值为n，则； ④覆盖曲线的面积最小的圆是.以上说法正确的有 .（填序号） 4．（25-26高二上·江苏南通·期中）早在一千多年之前，我国已经把溢流孔用于造桥技术，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击．现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔的轮廓线均为抛物线的一部分，且4个溢流孔的轮廓线相同．结合下图，根据图上尺寸，建立平面直角坐标系，则桥拱的轮廓线所在的抛物线方程为 ，B，C两点的横坐标之差为 ． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：60min 完成时间： 月 日 天气： 寒假作业08 直线与圆锥曲线的位置关系 一、直线和曲线联立 （1）椭圆与直线相交于两点，设， ， 椭圆与过定点的直线相交于两点，设为，如此消去，保留，构造的方程如下：， （2）抛物线与直线相交于两点，设， 联立可得，时， 特殊地，当直线过焦点的时候，即，，因为为通径的时候也满足该式，根据此时A、B坐标来记忆． 抛物线与直线相交于两点，设， 联立可得，时， 二、根的判别式和韦达定理 与联立，两边同时乘上即可得到，为了方便叙述，将上式简记为．该式可以看成一个关于的一元二次方程，判别式为可简单记． 同理和联立，为了方便叙述，将上式简记为，，可简记． 与C相离；与C相切；与C相交． 注意：（1）由韦达定理写出，，注意隐含条件． （2）求解时要注意题干所有的隐含条件，要符合所有的题意． （3）如果是焦点在y轴上的椭圆，只需要把，互换位置即可． （4）直线和双曲线联立结果类似，焦点在x轴的双曲线，只要把换成即可； 焦点在y轴的双曲线，把换成即可，换成即可． （5）注意二次曲线方程和二次曲线方程往往不能通过联立消元，利用判断根的关系，因为此情况下往往会有增根，根据题干的隐含条件可以舍去增根（一般为交点横纵坐标的范围限制），所以在遇到两条二次曲线交点问题的时候，使用画图的方式分析，或者解方程组，真正算出具体坐标． 三、弦长公式 设，根据两点距离公式． （1）若在直线上，代入化简，得； （2）若所在直线方程为，代入化简，得 （3）构造直角三角形求解弦长，．其中为直线斜率，为直线倾斜角． 注意：（1）上述表达式中，当为，时，； （2）直线上任何两点距离都可如上计算，不是非得直线和曲线联立后才能用． （3）直线和曲线联立后化简得到的式子记为，判别式为，时，，利用求根公式推导也很方便，使用此方法在解题化简的时候可以大大提高效率． （4）直线和圆相交的时候，过圆心做直线的垂线，利用直角三角形的关系求解弦长会更加简单． （5）直线如果过焦点可以考虑焦点弦公式以及焦长公式． 四、已知弦的中点，研究的斜率和方程 （1）是椭圆的一条弦，中点，则的斜率为， 运用点差法求的斜率；设，，，都在椭圆上， 所以，两式相减得 所以 即，故 （2）运用类似的方法可以推出；若是双曲线的弦，中点，则；若曲线是抛物线，则． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 直线与圆锥曲线的位置关系 1．（25-26高二上·海南省直辖县级单位·月考）设为抛物线的焦点，过点且倾斜角为的直线交于两点，（    ） A．12 B．10 C．9 D．6 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、与抛物线焦点弦有关的几何性质 【分析】联立直线与抛物线的方程可得韦达定理，进而根据焦点弦的公式即可求解，或者利用二级结论求解. 【详解】方法一：由题意知抛物线焦点，所以直线. 由得. 设，,则由抛物线的几何性质，得. 方法二：由于，因为，所以. 故选：A. 2．（25-26高二上·江苏·期末）过椭圆的一个焦点作轴的垂线，若交于，两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据椭圆方程求a、b、c、椭圆中的通径问题、求椭圆的焦点、焦距 【分析】根据方程及a，b，c的关系，可得c值，不妨设l过右焦点，可得A，B点的横坐标，代入椭圆方程，可得纵坐标，即可得答案, 【详解】根据椭圆方程可得，则，解得 不妨设l过右焦点，A点在第一象限，则， 代入椭圆方程可得， 所以 故选：D. 3．（2026高三·全国·专题练习）垂直于x轴的直线交抛物线y2＝4x于A，B两点，且，则直线AB的方程为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】直线与抛物线相交求直线方程、求直线与抛物线的交点坐标、直线与抛物线交点相关问题 【分析】先设出垂直于轴的直线方程，求出该直线与抛物线交点的坐标，再根据两点间距离公式即可得到直线的方程. 【详解】设直线的方程为， 把代入，得，解得， 所以交点A，B的坐标分别为和； ，得， 即直线的方程为. 故答案为：. 4．（25-26高二上·北京·月考）已知椭圆的左焦点为，不经过且斜率为的直线交C于A，B两点．当的周长最大时， ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】求椭圆中的弦长、求椭圆中的最值问题、椭圆定义及辨析 【分析】根据椭圆的定义证明当直线过点时，的周长最大，联立方程组求直线与椭圆的交点横坐标，根据弦长公式求结论. 【详解】椭圆的左焦点的坐标为，则椭圆的右焦点的坐标为， 由椭圆的定义可得，， 所以的周长为， 又，所以，当且仅当在线段上时取等号， 所以当直线过点时，的周长最大， 又直线的斜率为，所以直线的方程为， 联立，消可得，所以或， 所以， 所以当的周长最大时，. 故答案为： 5．（25-26高二上·黑龙江佳木斯·月考）已知椭圆，其中离心率为，长轴长为4. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线交椭圆于两点，为坐标原点，若的面积为，求. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据a、b、c求椭圆标准方程、根据韦达定理求参数 【分析】（1）由长轴长为4，得出，由离心率为，求出，再根据即可得出椭圆的标准方程； （2）由题意知直线的斜率存在，画出图形，设直线，联立直线与椭圆方程化简写出韦达定理，利用弦长公式求出，再求出原点到直线的距离，表示出三角形的面积，解出参数，求出即可. 【详解】（1）因为长轴长为，所以， 由离心率为，可得， 从而， 故椭圆的方程为. （2）由题意知当直线的斜率存在设为，记， 如图所示： 故设直线，， 联立， 整理得：， 由 解得：， 由韦达定理得：， 所以 ， 又原点到直线的距离为： ， 则 ， 即，解得：满足题意， 所以. 6．（25-26高二上·江苏·期末）在平面直角坐标系中，已知椭圆过点，焦距为，过点且斜率为的直线与交于不同的两点． (1)求椭圆的方程； (2)求斜率的取值范围； (3)当时，求两点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【难度】0.65 【知识点】根据椭圆过的点求标准方程、根据a、b、c求椭圆标准方程、求直线与椭圆的交点坐标、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围 【分析】（1）根据题设求出基本量后可得椭圆的方程； （2）联立直线方程和椭圆方程，消元后利用判别式为正可求参数的范围； （3）结合（2）中结果可求两点坐标. 【详解】（1）由题意得，， 又，所以， 所以的方程为． （2）过点且斜率为的直线的方程为， 联立与，得， 因为直线与交于不同的两点， 所以，解得或， 故斜率的取值范围是． （3）时，， 联立得，， 解得或， 当时，， 当时，， 故或． 题型二 中点弦问题 1．（25-26高二上·重庆江北·月考）若过点的直线与椭圆相交于两点，且关于直线对称，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 【分析】根据“对称”求出直线斜率，进而求出中点坐标，利用点差法建立、的关系，即可求出椭圆的离心率. 【详解】因为点关于直线对称，所以直线与直线垂直， 所以. 所以直线的方程为. 设的中点为，则在直线与直线上，则 ，解得，，即. 设，，则，，， 两式相减得，，又， 所以，即，所以. 因为，所以. 故选：D. 2．（25-26高二上·河北保定·期中）若双曲线的焦距为4，直线与交于A，B两点，且线段AB的中点为，则直线的斜率为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】已知两点求斜率、由弦中点求弦方程或斜率、求双曲线的焦距 【分析】先根据双曲线的焦距求出，然后设，将其代入双曲线方程得到等式，根据中点坐标进而可求出直线的斜率. 【详解】由双曲线的焦距为4，得，解得. 设，则，则， 因为点是线段的中点， ，所以， 所以. 故选：A. 3．（25-26高二上·江苏·期末）已知椭圆内一点，直线与椭圆交于两点，且为线段的中点，则 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】求椭圆中的弦长、由弦中点求弦方程或斜率、根据韦达定理求参数 【分析】利用“点差法”求得直线的斜率，写出直线方程，与椭圆方程联立，根据韦达定理及弦长公式即可求解. 【详解】设, 则，两式作差可得：， 因为为线段的中点，所以， 则， 所以直线的方程为，整理得， 联立，得，则， 所以， 故答案为：. 4．（25-26高二上·河北石家庄·月考）过点的直线与双曲线相交于两点，若点是线段的中点，则直线的方程为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由弦中点求弦方程或斜率、直线的点斜式方程及辨析 【分析】利用点差法可求出直线的斜率，再利用点斜式可得答案. 【详解】设 ， 在双曲线 上， 且 为 的中点, 则. 由， 两式相减并整理得 ， 代入 ，， 得： 化简得：， 即， 又因为直线过点， 故直线方程为 故答案为：. 5．（25-26高二上·河北石家庄·月考）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线相交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、由弦中点求弦方程或斜率、根据双曲线过的点求标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】（1）根据渐近线方程得到，然后根据经过的点坐标求出的值，进而求得双曲线的方程. （2）设，将其代入双曲线方程中进行化简即可求得直线的斜率，进而得到直线的方程. 【详解】（1）因为双曲线的一条渐近线方程为， 即，又双曲线的渐近线方程为，所以，即. 而双曲线经过点，所以有，解得. 所以双曲线的方程为. （2）设，将其代入双曲线方程中得 ，两式相减得 因为线段的中点坐标为，所以. 所以，设直线的斜率为，则. 所以直线的方程为，即. 6．（25-26高二上·重庆·期中）已知椭圆 ，点 为椭圆内一点，过点 的直线 与椭圆交于 、 两点， (1)若直线 的斜率为 1，求线段 的长度. (2)若 为线段 的中点，求直线 的方程. 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】求椭圆中的弦长、由弦中点求弦方程或斜率 【分析】（1）先求出直线方程，然后联立直线与椭圆方程，求出坐标，进而可求出线段的长度. （2）设，然后将其代入椭圆方程中，两式相减，结合中点坐标，即可求出直线斜率，进而求出其方程. 【详解】（1）若直线的斜率为1，那么该直线方程为，即. 联立直线与椭圆方程组得，解得. 所以. 所以. （2）设，则满足，两式相减得 ，因为是线段的中点， 所以，所以， 则有，所以直线的方程为， 即，即. 题型三 面积问题 1．（25-26高二上·江苏·期末）已知F为抛物线的焦点，斜率为的直线与抛物线交于A，B两点，且位于x轴的两侧（A在x轴的上方），（其中为坐标原点），则（    ） A．4：1 B．5：1 C．5：2 D．7：2 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、根据韦达定理求参数、数量积的坐标表示、直线与抛物线交点相关问题 【分析】设直线的方程，将其与抛物线方程联立，由韦达定理和向量的数量积为零求得，即得直线方程，代入抛物线方程求出点的坐标，再由三角形面积公式求出面积即可. 【详解】在抛物线中，焦点的坐标为. 设直线的方程为，， 联立直线与抛物线方程，消去，可得. 由，可得； 由韦达定理可得，. 则. 将，代入上式可得： . 因为，所以，即，解得或. 因为、位于轴两侧，所以，故，满足， 由可得，代入得， 解得，. 当时，；当时， 所以，. . 所以. 故选：B. 2．（25-26高二上·辽宁·月考）已知椭圆，作椭圆关于直线的对称图形，得到椭圆，点，，是椭圆上第三象限内的动点，为对称后的对应点，则面积的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求椭圆中的最值问题 【分析】设点，根据对称性求得，利用点到直线距离求得点到直线的距离，求得，令，则，根据直线与椭圆位置关系求得，即可得解. 【详解】设点，，， 因为点与点关于对称，所以， 因为，直线， 所以点到直线的距离， 所以． 令，所以， 因为，，所以当直线无限接近点时，无限接近； 联立，得， 由得 当直线与椭圆相切于第三象限时，取得最小值为， 所以，所以， 所以面积的取值范围为． 故答案为： 3．（25-26高二上·江苏·期末）已知曲线，两条直线均过坐标原点O，和曲线C交于M，N两点，和曲线C交于P，Q两点，若的面积为，则四边形的面积为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】先将曲线方程化为标准形式，判断对称性，再利用对称关系，分析交点关系，结合三角形面积关系求出四边形面积. 【详解】曲线可化为，为双曲线的标准方程.因为双曲线关于原点对称，直线过原点，且与双曲线交于两点，所以两点关于原点对称；直线过原点，且与双曲线交于两点，所以两点关于原点对称， 所以， 由，得， 由，得，又 所以， 所以. 故答案为： 4．（2025·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知动点与定点的距离和到定直线的距离之比是常数2． (1)求动点的轨迹方程； (2)过点的动直线与曲线交于两点，问：在轴上是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)动点的轨迹为双曲线． (2)存在点满足题意. 【难度】0.65 【知识点】求平面轨迹方程、双曲线中的直线过定点问题、求双曲线的轨迹方程、根据韦达定理求参数 【分析】（1）根据题意，结合距离公式，化简计算，即可得答案. （2）由题意，根据面积公式，分析可得，即，设出直线方程，与抛物线联立，根据韦达定理，可得，表达式，根据直线方程，代入，化简整理，即可得答案. 【详解】（1）由已知得：，所以， 化简可得：，即动点的轨迹为双曲线. （2）因为， 所以，即， 所以． 显然过点的动直线不与x轴重合，故设直线方程为， ，，， 联立，可得， 首先有，且， 由韦达定理得，， 因为，所以， 即，整理得， 所以，化简得， 当时，方程恒成立， 当时，解得， 故在轴上存在点，使得． 5．（2025·云南·模拟预测）设抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，为坐标原点. (1)求； (2)设点，直线，与的另一个交点分别为，求面积的最小值. 【答案】(1) (2)8 【难度】0.65 【知识点】抛物线中的三角形或四边形面积问题、直线与抛物线交点相关问题、数量积的坐标表示、根据韦达定理求参数 【分析】（1）利用直线与抛物线联立，由直线经过轴上的点的横坐标，可得两交点的纵坐标之积为定值，再结合点在抛物线上，又可求得两交点的横坐标之积为定值，从而可得向量积为定值； （2）利用第一问的结论，来研究交点的纵坐标，并可求得直线经过轴上的点的横坐标，再把的面积转化为的纵坐标之差与的长度之积的一半来进行计算即可求解. 【详解】（1） 设，，直线的方程为， 由得，时， 则， 因为直线经过点，所以，故，此时 而两点在上，故，，所以， 所以. （2）设，，因为直线，经过点， 由（1）知，由，则，， 设直线的方程为， 同理得，， 则，， 由， 而，所以，故. 所以直线经过定点，且， ， 当且仅当时等号成立，所以面积的最小值为8. 1．（25-26高三上·江苏徐州·月考）已知椭圆的右顶点为，且椭圆的离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)已知为的右焦点，，为轴上两动点，且． （i）若的外接圆与在第二象限的交点为，直线交轴于点，记的面积为的面积为，求； （ii）若直线分别与交于点，求证：直线恒过定点． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【难度】0.4 【知识点】椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆中的直线过定点问题、根据离心率求椭圆的标准方程 【分析】（1）根据椭圆右顶点、离心率求出、值，代入椭圆标准方程即可. （2）（i）利用垂直关系得到，求出直角三角形外接圆方程，与椭圆联立得到点纵坐标，结合三角形面积公式求解即可. （ii）设出直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理及的值，化简后可发现轴上截距为定值，即可得证. 【详解】（1）设椭圆的焦距为， 因为椭圆的右顶点为，所以． 因为椭圆的离心率为，所以，解得， 所以， 所以椭圆的方程为． （2）（i）由，，得． 中，外接圆圆心为中点，半径为. 所以外接圆方程为， 整理得， 设， 则， 消去，得， 即 化简得， 又，所以． 过点作轴，则，所以. 所以． （ii）设直线的方程为， 联立，消去，整理得， 因为直线与交于， 所以，即． 因为， 所以， 所以， 即，即， 化简得， 因为，所以， 所以直线恒过定点． 2．（24-25高三上·福建漳州·月考）已知椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，点P为上一点，周长为，其中为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)直线与交于A，B两点， ①求面积的最大值； ②设，试证明点Q在定直线上，并求出定直线方程. 【答案】(1) (2)①；②证明见解析， 【难度】0.4 【知识点】求椭圆中的最值问题、椭圆中的定直线、根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆中的弦长 【分析】（1）根据题意列出方程组，求出及，即可得解； （2）①设，.联立直线和椭圆组成的方程组，利用韦达定理求出，再求出点O到直线的距离，即可得的面积，再利用基本不等式即可求出最大值；②设,由得到三点坐标之间的关系，再利用韦达定理转化成之间的关系，即可得证. 【详解】（1）设椭圆的焦距为2c， 依题意有，解得. 又因为，所以椭圆的方程为； （2） ①设，. 由消去,得*. 因为直线与交于A，B两点， 所以方程*的，解得. 又由韦达定理可知，， 所以弦长 ， 又因为点O到直线的距离， 所以的面积 ， 当且仅当，即时等号成立. 所以面积的最大值为； ②设， 由可得，即. 因为，所以，故， 于是有，所以点Q在定直线. 3．（福建省长汀县第一中学�厦门英才学校2025-2026学年高二上学期12月联考数学试卷）中国结是一种手工编织工艺品，其外观对称精致，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，中国结有着复杂曼妙的曲线，其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线也称为卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系中到两定点、距离之积为的点的轨迹是双纽线，其轨迹为一条连续的封闭曲线， (1)判断是否在曲线上； (2)若点在椭圆上，，证明：； (3)若直线与曲线只有一个交点，求的取值范围. 【答案】(1)在，理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【难度】0.4 【知识点】求平面轨迹方程、圆锥曲线新定义、点与曲线的位置关系、椭圆定义及辨析 【分析】（1）利用题中定义判断即可； （2）利用椭圆的定义和勾股定理可求出的值，即可证得结论成立； （3）求出曲线的方程，可知直线在曲线必有一个定点为原点，然后将直线的方程与曲线的方程联立，结合题意可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）记点，则， 故点在曲线上. （2）对于椭圆，，，则， 故、分别为椭圆的左、右焦点， 由椭圆的定义可得， 因为，由勾股定理可得， 因为， 所以，故. （3）任取曲线上一点，则， 即，即， 整理可得，故曲线的方程为， 易知原点在曲线上，所以直线与曲线一定有公共点， 联立，结合题意可知无非零实数解， 即无非零实数解，则，可得，解得或， 因此实数的取值范围是. 4．（25-26高三上·天津·月考）已知椭圆的左右焦点分别为，，且其中一个焦点与抛物线的焦点重合，直线与椭圆交于，两点，的周长为8. (1)求椭圆的标准方程； (2)若斜率为的直线与抛物线交于，两点，斜率为的直线与抛物线交于，两点. ①求和（用含的代数式表示）； ②若，试判断是否存在最大值，若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)①，；②存在最大值144 【难度】0.4 【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、直线与抛物线交点相关问题、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】（1）求出，，即可得椭圆方程； （2）①联立直线与椭圆方程，利用韦达定理和斜率公式即可求解； ②直线的方程为，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理和弦长公式求出，利用单调性即可求解. 【详解】（1）因为抛物线的焦点为， 所以椭圆的右焦点为，即， 根据椭圆的定义，的周长为，所以，可得， 所以椭圆的标准方程为. （2）①联立直线与椭圆方程可得，， 整理得， 设，，， 椭圆中，，故，，， ，，，. ②直线的方程为， 联立直线与抛物线方程得，即， 设，，故， ，同理， ， ，故， 单调递增，当时，有最大值. 1．（25-26高三上·北京·月考）2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的LOGO（如图所示），设计师的灵感来源于曲线．当，，时，给出下列四个结论： ①曲线C关于原点对称； ②曲线C所围成的封闭图形的面积小于24； ③曲线C上的点到原点O的距离的最大值为3； ④设，直线交曲线C于P，Q两点，则的周长大于12． 其中正确结论的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、求椭圆中的最值问题、由方程研究曲线的性质 【分析】确定在曲线上，①正确，曲线在一个长为6，宽为4的矩形内部，②正确，利用三角换元计算得到③正确，确定椭圆在曲线内，④错误，得到答案. 【详解】曲线：， 对①：取曲线上点，则满足在曲线上， 故曲线关于原点对称，正确； 对②：取，，取，，故曲线在一个长为，宽为的矩形内部， 故其面积小于，正确； 对③：设曲线上一点为，则，设， 到原点的距离的平方为，， ，当时，距离平方有最大值为，故距离的最大值为，错误； 对④：对于曲线和椭圆，设点 在上， 点在上，则， ，故， 所以， 设点在上，点在上，则， 所以，即， 故椭圆在曲线内(除四个交点外)， 如图： 设直线交椭圆 于两点，交轴于， 为椭圆的两个焦点， 由椭圆的定义可知：，， 所以的周长为12，由图可知，的周长大于12，正确. 故选：B 2．（25-26高二上·浙江湖州·月考）（多选题）已知椭圆，，是左右焦点，在椭圆的上半部分（含端点）上存在n个点，，…，，（，），是右顶点，是左顶点，使得，，…，成为公差是的等差数列，则下列说法正确的是（   ） A．的周长为16 B．当时，n的最大值为14 C．当时， D．的最小值为 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】椭圆中焦点三角形的周长问题、求椭圆中的最值问题、等差数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和 【分析】对于A，根据椭圆的标准方程，结合焦点三角形的性质，可得其正误；对于B，根据椭圆顶点与焦点坐标，利用等差数列的通项公式以及单调性，可得其正误；对于C，利用裂项相消，可得其正误；对于D，由题意构造函数，利用导数求得最值，可得其正误. 【详解】对于A，由椭圆，则，所以， 所以焦点三角形的周长，故A正确； 对于B，由A可得，即， 由等差数列的公差，则， 整理可得，由，则，解得，所以的最大值为，故B错误； 对于C，由，则，所以 ，故C正确； 对于D，由题意可得，，，则， 令，求导可得， 令，由，解得，此时，即，符合题意， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，故D正确. 故选：ACD. 3．（25-26高二上·四川成都·期中）①已知斜率为的直线与椭圆交于两点，若线段的中点为（）则； ②对任意的，，； ③点P为直线l：上的一个动点，A，B为圆M：上任意两个不重合的点，记的最小值为m，的最大值为n，则； ④覆盖曲线的面积最小的圆是.以上说法正确的有 .（填序号） 【答案】①②④ 【难度】0.4 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、用两点间的距离公式求函数最值、由弦中点求弦方程或斜率、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】①设出坐标，利用点差法，结合点的坐标，即可求得参数的取值范围； ②取点，根据所求表达式的几何意义为正方形内一点到4个顶点距离之和，结合图象的结构特征，即可判断； ③根据题意分析得当，分别为圆的切线，且最小时，最大，此时最小，再利用二倍角公式即可得，再根据最大时为钝角，所以的最大值为1，即.即可得. ④根据对称性得到曲线图形，再根据对称性求到原点的距离的最小值即可判断； 【详解】①设，，又点，在椭圆上， 则，，两式相减可得：， 又，，则， 又点，在椭圆内，则，解得，所以，正确； ②取点，    则表示正方形内一点到4个顶点距离之和， 由于,当P点位于正方形对角线交点处时，等号成立， 故所求表达式的最小值为，正确； ③由题意得的标准方程为，所以圆心，半径为2， 如图：      所以圆心到直线的距离为，所以直线与相离， 所以当分别为圆的切线，且最小时， 最大，又，则最大， 所以最大，此时最小， 此时，即． 由于最大时为钝角，的最大值为1，即, 故，错误； ④因点在曲线上，点，也都在曲线上， 则曲线关于x轴，y轴对称， 当时，曲线的方程为，表示以点为圆心，为半径的圆在直线上方的半圆(含端点)， 因此，曲线是四个顶点为的正方形各边为直径向正方形外所作半圆围成，如图，    曲线上的点到原点距离最大值为，圆能覆盖曲线，则，故覆盖曲线的面积最小的圆是，正确. 故答案为：①②④ 4．（25-26高二上·江苏南通·期中）早在一千多年之前，我国已经把溢流孔用于造桥技术，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击．现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔的轮廓线均为抛物线的一部分，且4个溢流孔的轮廓线相同．结合下图，根据图上尺寸，建立平面直角坐标系，则桥拱的轮廓线所在的抛物线方程为 ，B，C两点的横坐标之差为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】抛物线的应用、求实际问题中的抛物线方程 【分析】根据已知条件，分别设抛物线的方程，结合抛物线过点，以及4个溢流孔的轮廓线平移关系求、所在溢流孔的抛物线，再联立抛物线方程求出交点坐标即可得. 【详解】设桥拱所在抛物线的方程为，该抛物线过点， ，解得，故桥拱所在抛物线为①， 设所在溢流孔的抛物线方程为，该抛物线过点， ，解得，故所在溢流孔的抛物线为， 个溢流孔的轮廓线相同， ，所在溢流孔的抛物线为②， 联立①②，消元得，解得或， 所以，，则B，C两点的横坐标之差为. 故答案为：， 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $