专题03 椭圆（14大重点题型+思维导图+知识清单）（举一反三期末专项训练）高二数学上学期苏教版选择性必修第一册

专题03 椭圆（14大重点题型+思维导图+知识清单）（期末专项训练） 【苏教版】 题型归纳 【知识清单1 椭圆的标准方程】 1．椭圆的定义 (1)定义：平面内与两个定点,的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫 作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距. (2)椭圆定义的集合表示P={,2a>}. 2．椭圆的标准方程 椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 椭圆在坐标 系中的位置 标准方程 焦点坐标 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c) a,b,c的关系 3．椭圆方程的求解 (1)用定义法求椭圆的标准方程 根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程. (2)用待定系数法求椭圆的标准方程 ①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，就可以利用待 定系数法求解.首先建立方程，然后依据题设条件，计算出方程中的a，b的值，从而确定方程（注意焦点的位置）. ②如果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题：一是分类讨论，分别就焦点 在x轴上和焦点在y轴上利用待定系数法设出椭圆的标准方程，再解答；二是用待定系数法设椭圆的一般方程为=1(A>0,B>0,A≠B)，再解答. 【知识清单2 椭圆的焦点三角形】 1．椭圆的焦点三角形 (1)焦点三角形的概念 设M是椭圆上一点，F1,F2为椭圆的焦点，当点M,F1,F2不在同一条直线上时，它们构成一个焦点三角 形，如图所示. (2)焦点三角形的常用公式 ①焦点三角形的周长L=2a+2c. ②在中，由余弦定理可得. ③设，，则. 【知识清单3 椭圆的简单几何性质】 1．椭圆的范围 设椭圆的标准方程为 (a>b>0)，研究椭圆的范围就是研究椭圆上点的横、纵坐标的取值范围. (1)从形的角度看：椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形框里. (2)从数的角度看：利用方程研究，易知=1-≥0，故≤1，即-a≤x≤a；=1-≥0，故≤1，即-b≤y≤b. 2．椭圆的对称性 (1)从形的角度看：椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形. (2)从数的角度看：在椭圆的标准方程 (a>b>0)中以-y代替y，方程并不改变，这说明当点 P(x,y)在椭圆上时，它关于x轴的对称点P1(x,-y)也在椭圆上，所以椭圆关于x轴对称；同理，以-x代替x，方程也不改变，所以椭圆关于y轴对称；以-x代替x，以-y代替y，方程也不改变，所以椭圆关于原点对称.坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫作椭圆的中心. 3．椭圆的顶点与长轴、短轴 以椭圆的标准方程 (a>b>0)为例. (1)顶点 令x=0，得y=±b；令y=0，得x=±a. 这说明A1(-a,0)，A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点，B1(0,-b)，B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点.因为x轴、 y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫作椭圆的顶点. (2)长轴、短轴 线段，分别叫作椭圆的长轴和短轴. 长轴长=2a，短轴长=2b，a和b分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长. 4．椭圆的离心率 (1)离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.用e表示，即e=. (2)离心率的范围：0<e<1. (3)椭圆离心率的意义：椭圆离心率的变化刻画了椭圆的扁平程度. 当e越接近于1时，c越接近于a，从而b=越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接 近于0，从而b=越接近于a，因此椭圆越接近于圆；当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为. 【知识清单4 直线与椭圆的位置关系】 1．点与椭圆的位置关系 (1)点与椭圆的位置关系： (2)对于点与椭圆的位置关系，有如下结论： 点在椭圆外+>1; 点在椭圆内+<1; 点在椭圆上+=1. 2．直线与椭圆的位置关系 (1)直线与椭圆的三种位置关系 类比直线与圆的位置关系，直线与椭圆有相离、相切、相交三种位置关系，如图所示. (2)利用方程讨论直线与椭圆的位置关系： Δ>0⇔直线与椭圆相交⇔有两个公共点； Δ=0⇔直线与椭圆相切⇔有且只有一个公共点； Δ<0⇔直线与椭圆相离⇔无公共点. 【知识清单5 弦长与“中点弦”问题】 1．弦长问题 (1)定义：直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦. (2)弦长公式：设直线l:y=kx+m交椭圆(a>b>0)于，两点， 则或. 2．“中点弦问题” (1)解决椭圆中点弦问题的两种方法 ①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根 与系数的关系以及中点坐标公式解决. ②点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中 点坐标和斜率的关系. 设，，代入椭圆方程(a>b>0)， 得， ①-②可得， 设线段AB的中点为，当时，有. 因为为弦AB的中点，从而转化为中点与直线AB的斜率之间的关系，这就是处理弦 中点轨迹问题的常用方法. (2)弦的中点与直线的斜率的关系 线段AB是椭圆(a>b>0)的一条弦，当弦AB所在直线的斜率存在时，弦AB的中点M的坐 标为，则弦AB所在直线的斜率为，即. 题型1 椭圆的定义及辨析 1．（24-25高二上·内蒙古·期末）如果椭圆上一点P到焦点的距离为6，那么点P到另一个焦点的距离是（   ） A．26 B．10 C．4 D．14 【答案】D 【解题思路】先求出，再根据椭圆的定义计算求解即可. 【解答过程】根据题意可得， 椭圆的长轴长为，根据，得. 故选：D. 2．（24-25高二上·浙江嘉兴·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为C上一点，满足，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】设，，根据椭圆定义得到，再由题中条件，结合勾股定理，即可得出结果. 【解答过程】解：设，， 因为椭圆C：， 所以由椭圆的定义可知，， 所以，即， 由勾股定理可知：， 求得 故选：B. 3．（24-25高二上·广东·期末）已知为椭圆上一点，分别为的左、右焦点，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】由椭圆方程求出，利用椭圆的定义式，求得，代入计算即得. 【解答过程】由可得：，则， 因，则，故. 故选：C. 4．（24-25高二上·湖南郴州·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用椭圆的定义，结合余弦定理求解即得. 【解答过程】依题意，，，而，则， 在中，由余弦定理得， 所以. 故选：C. 5．（24-25高二上·天津滨海新·期末）椭圆上一点到一个焦点的距离等于3，则点到另一个焦点的距离是 . 【答案】 【解题思路】根据椭圆方程得到，再根据椭圆的定义计算可得. 【解答过程】椭圆，则，设点到另一个焦点的距离为， 则，解得，即点到另一个焦点的距离是. 故答案为：. 题型2 椭圆标准方程的求解 6．（24-25高二上·湖南长沙·期末）若椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，，则该椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先根据过点得出，结合计算得出椭圆方程. 【解答过程】椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，所以， 又，则， 所以椭圆方程为， 故选:B. 7．（24-25高二上·广东东莞·期末）已知边长为2的正方形的四个顶点恰好是椭圆的左、右焦点和短轴两个端点，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据椭圆短轴长和焦距公式进行求解即可. 【解答过程】解：由题意，得，且焦点在x轴上， 则， 则椭圆的标准方程为 故选：D. 8．（24-25高二上·河北承德·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，P为椭圆C上一点，的最小值为1，且的周长为34，则椭圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用焦点三角形的周长为，及，结合椭圆的知识求解出椭圆方程即可. 【解答过程】因为的最小值为1，所以． 因为的周长为34，所以， 所以．因为， 所以，所以椭圆C的标准方程为． 故选：C. 9．（24-25高二上·上海·期末）焦点在轴上的椭圆过点，且点到两焦点的距离之和为8，则该椭圆标准方程为 . 【答案】 【解题思路】由椭圆的定义得到，再把点代入椭圆标准方程，求出即可. 【解答过程】设椭圆方程为， 因为点到两焦点的距离之和为8，所以， 又焦点在轴上的椭圆过点， 所以， 所以该椭圆标准方程为：. 故答案为：. 10．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)，，焦点在y轴上； (2)，． (3)经过点，两点； 【答案】(1) (2)或 (3) 【解题思路】（1）根据求出，结合焦点位置即可求解椭圆标准方程. （2）根据求出，按照焦点位置分类求解即可. （3）由题意确定焦点位置及，即可得解. 【解答过程】（1）因为，，所以， 因为椭圆焦点在y轴上，所以其标准方程为：； （2）因为，，所以， 因为椭圆焦点位置不确定，所以其标准方程为：或； （3）由题意得P、Q分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在x轴上， 所以，， 所以椭圆的标准方程为． 题型3 曲线方程与椭圆 11．（24-25高二上·广东深圳·期末）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由焦点在轴上的椭圆方程的特征求解即可． 【解答过程】，解得. 故选：D. 12．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由椭圆方程结构得到：，求解即可； 【解答过程】由题意可得：， 解得：， 故选：B. 13．（24-25高二上·河北沧州·期末）已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用方程表示椭圆的特征，列式求出的范围. 【解答过程】方程表示椭圆，则，解得或， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 14．（24-25高二上·陕西汉中·期末）“”是“方程 表示椭圆”的（      ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】列出表示椭圆的关于m的不等式组求解，再结合必要不充分条件的定义即可得解. 【解答过程】方程表示椭圆，则，解得且， 所以“”是“方程 表示椭圆”的必要不充分条件， 故选：B. 15．（24-25高二上·宁夏银川·期末）方程所表示的曲线是椭圆，则的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】根据椭圆的标准方程的特征，列出不等式组，即可求解. 【解答过程】因为方程所表示的曲线是椭圆， 所以满足，解得或, 因此的取值范围为. 故答案为：. 题型4 轨迹问题——椭圆 16．（24-25高二上·吉林长春·期末）已知点P是：上的动点，点，的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据，结合椭圆的定义可求出结果. 【解答过程】解：：的圆心C为，半径， 点，，又的垂直平分线交于点M， ， 的轨迹是以为焦点，长轴长为3的椭圆， ，， ，，， 点M的轨迹方程是 故选： 17．（24-25高二上·广东清远·期末）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，求得两圆的圆心和半径，判定已知两圆的位置关系为内切，求得切点坐标，利用动圆与已知两圆相外切，内切的条件列出关于和动圆半径r的方程组，消去r再利用椭圆的定义写出轨迹方程，最后根据已知两圆的位置关系做出取舍. 【解答过程】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 因为，所以两圆相内切于点， 设动圆的圆心为，半径为，则， ， 因此点的轨迹方程是以为焦点，长轴长为10的椭圆（不含点）， 所以该动圆的圆心的轨迹方程为. 故选：B. 18．（24-25高二上·北京丰台·期末）已知圆及点，在圆上任取一点，连接，将点折叠到点A，记与折痕的交点为（如图）. 当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】直接由题意可得：，符合椭圆定义，且得到长半轴和半焦距，再由求得，可求点的轨迹方程可求． 【解答过程】连接， 圆的圆心坐标为，半径为4． 因为将点折叠到点A，记与折痕的交点为，所以， 所以， 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，所以， 所以，所以点的轨迹方程为． 故选：A． 19．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知动圆P与圆：相切，且与圆：内切，记圆心P的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为 ． 【答案】 【解题思路】依题意可得，所以圆心的轨迹是以为焦点，实轴长为8的椭圆，进而可求其方程； 【解答过程】由已知得，圆半径为9，圆半径为1， 设动圆圆心，半径为，易知圆在圆内， 由于动圆与圆相切，且与圆相内切， 所以动圆与圆只能内切，且动圆在圆内， 故，所以， 所以圆心的轨迹是以为焦点，实轴长为8的椭圆， 则，所以， 所以曲线的方程为. 故答案为：. 20．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知平面上两点，，动点满足. (1)求动点的轨迹的标准方程； (2)当时，求点的纵坐标. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据椭圆定义可得答案； （2）设，可得，与椭圆方程联立可得答案. 【解答过程】（1）由，，动点满足， 可得动点的轨迹是以，为焦点的椭圆， 且，， 所以，，， 所以轨迹的标准方程为； （2）当动点满足时，可得在以为直径的圆上， 设，可得， 又，解得，，则的纵坐标为. 题型5 椭圆中的焦点三角形问题 21．（24-25高二上·青海海南·期末）椭圆的两个焦点为，，椭圆C上有一点P，则的周长为（    ） A．12 B．18 C．16 D．20 【答案】C 【解题思路】根据题意，结合椭圆的定义代入计算，即可得到结果. 【解答过程】因为，，所以，故的周长为． 故选：C. 22．（24-25高二上·福建福州·期末）已知分别是椭圆的左、右焦点，点在上，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意，，，可得的面积. 【解答过程】在椭圆中，，，， 则， 点在上，，所以， 则. 故选：A. 23．（24-25高二上·广东茂名·期末）已知点是椭圆的左、右焦点，若过焦点的直线交椭圆于两点，则的周长为（    ） A．6 B．4 C． D．8 【答案】D 【解题思路】根据椭圆的定义求解． 【解答过程】根据椭圆方程可得，则，由椭圆的定义得，， ，所以的周长为. 故选：D. 24．（24-25高二上·重庆·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，，点在椭圆上且在轴上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则的面积为 . 【答案】 【解题思路】根据题意结合椭圆定义可知，，再结合等腰三角形求高和面积. 【解答过程】由椭圆方程可知：， 因为分别为的中点，则，可得， 因为，则，且， 所以的面积为. 故答案为：. 25．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知椭圆的两焦点为，，点为椭圆上一点，且 (1)求此椭圆的方程 (2)若点满足，求的面积． 【答案】(1)； (2). 【解题思路】设椭圆的方程为,由焦点坐标求出，根据，求出，从而可求，即可得出椭圆方程； 在焦点三角形中，运用余弦定理结合椭圆的定义，求出，再利用三角形的面积公式，可求的面积． 【解答过程】（1）由题意，设椭圆的方程为， ∵焦点为，， ∴， 又， 所以，， ，． 所求椭圆的方程为． （2）在中，由余弦定理得 即， ∴， ∴， 所以. 题型6 椭圆中距离的最值问题 26．（24-25高二上·重庆北碚·期末）已知椭圆的方程为，则椭圆上一点到左焦点的距离最小值为（    ） A．8 B．5 C．3 D．2 【答案】D 【解题思路】根据椭圆方程及其性质，即可得点到左焦点的距离最小值. 【解答过程】由椭圆方程知，椭圆上点到左焦点的距离最小值为. 故选：D. 27．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知点，且是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据椭圆的定义，结合三点共线，即可求解. 【解答过程】取椭圆的右焦点为，故, 由于,故， 因此， 故的最小值为5，当且仅当三点共线，且在上半椭圆时取到最小值， 故选：B. 28．（24-25高二下·湖北·期末）设为椭圆上一动点，分别为椭圆的左､右焦点，已知点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解题思路】利用椭圆定义转化为，即求的最大值，根据三角形性质，当三点共线时最大可得答案. 【解答过程】，所以，所以轴， 因为，所以在椭圆内部，且， 所以， 即求的最大值， 由于，当三点共线时最大， 此时，， 所以. 故选：B. 29．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知为椭圆的右焦点，是椭圆上一动点，点为圆上一动点，则的最大值是 . 【答案】10 【解题思路】利用点与圆的位置关系，结合椭圆的定义，转化，利用数形结合，即可求的最大值. 【解答过程】设点为椭圆的左焦点，点为圆的圆心， 点为圆外的点，的最大值为,,即， 的最大值为， 如图，当四点共线时,“=”成立， ，,, 所以的最大值为. 故答案为：10. 30．（25-26高二上·广东清远·期中）已知椭圆：＋＝1内有一点，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，求： (1)的最大值与最小值； (2)的最小值． 【答案】(1)，－ (2)10－ 【解题思路】（1）连接并延长交椭圆于点，结合平面几何结论可得是使取得最大值的点，由此可得的最大值，延长交椭圆于点，可得是使取得最小值的点，由此可得结论； （2）结合椭圆的定义可得，连接，并延长交椭圆于点，，结合平面几何结论可得是使取得最小值的点，由此可求结论． 【解答过程】（1）由椭圆可知，，， 则，， 如图所示，连接并延长交椭圆于点， 则是使取得最大值的点， 于是， 因为， 则求的最小值，即求的最大值， 延长交椭圆于点，则是使取得最大值的点，即取得最小值的点， 于是 所以的最大值与最小值分别为和；    （2）连接，由椭圆的定义知， 则， 所以， 如图，连接，并延长交椭圆于点，， 则是使取得最小值的点， 于是. 题型7 利用椭圆的几何性质求标准方程 31．（24-25高二上·河北邢台·期中）已知椭圆的离心率为，且过点，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用椭圆中的关系求解即可. 【解答过程】由题意可得解得， 所以椭圆的方程为. 故选：A. 32．（24-25高二上·山东菏泽·期末）已知椭圆的长轴长为4，离心率为，则该椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据长轴以及离心率即可求解. 【解答过程】由长轴长为4，可得，又离心率为，即， 解得，故， 所以椭圆方程为， 故选：A. 33．（24-25高二上·湖北武汉·期末）阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意设出椭圆的标准方程，列出方程组，，进而可解答. 【解答过程】根据题意设椭圆的标准方程为. 则，解得：，， 所以椭圆C的标准方程为. 故选：C. 34．（24-25高二上·陕西宝鸡·期末）焦点在轴上，，的椭圆的标准方程为 . 【答案】 【解题思路】结合椭圆的性质，即可求解． 【解答过程】焦点在x轴上，，， 则，解得， 故 故所求椭圆的方程为：． 故答案为：． 35．（24-25高二上·湖南永州·期末）已知椭圆的离心率为，点在上． (1)求的方程； (2)设直线交于，两点，直线，的斜率之和为0，求直线的斜率． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据已知条件结合、、关系列方程，解方程即可求解； （2）设出直线方程，直曲联立，得到方程：，根据韦达定理得到：，，结合已知条件得到方程：，解方程验证即可求解. 【解答过程】（1） 依题意，，点在椭圆上， ∴解得，，， 所以椭圆的方程为：． （2）依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立，消得， ， 设，， 由韦达定理得， ，， 又，则， ∴， ，代入化简得： ， 将，代入化简得：， 即，∴或． 当时，直线过点，不合题意， 综上；直线的斜率为． 题型8 求椭圆的焦点、焦距与长短轴 36．（24-25高二上·山东烟台·期末）已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（    ） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解题思路】结合椭圆的几何性质，即可求解. 【解答过程】因为椭圆的一个焦点坐标为，可得且，解得. 故选：B. 37．（24-25高二上·广东梅州·期末）已知椭圆的离心率为，则其短轴长为（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】B 【解题思路】由条件列出离心率得到方程，求解得，即得其短轴长. 【解答过程】由知，离心率为， 解得，，故短轴长为. 故选：B. 38．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知椭圆，则椭圆C的焦距为（    ） A． B．10 C．3 D．6 【答案】D 【解题思路】由椭圆方程即可直接求解． 【解答过程】由，可得， 即，即， 即椭圆C的焦距为 故选： 39．（24-25高二上·北京延庆·期末）椭圆的长轴长为 ． 【答案】 【解题思路】将椭圆方程化为标准方程，根据椭圆的性质计算即可. 【解答过程】由， 显然椭圆的焦点在横轴上，其实轴长为. 故答案为：. 40．（25-26高二上·全国·期末）如图所示，椭圆的左、右焦点分别为，一条直线经过与椭圆交于A，B两点. (1)求椭圆的焦距、短轴长和离心率； (2)若直线的倾斜角为，求的面积. 【答案】(1)焦距为，短轴长为6，离心率为 (2) 【解题思路】（1）求出，，根据焦距，短轴长和离心率的定义求出答案； （2）求出直线方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，由求出面积. 【解答过程】（1）由已知方程得到，所以，， 由得， 故焦距为，短轴长为，离心率. （2）由（1）知焦点坐标为，设， 由已知得直线的方程为，即， 与联立消去得， 则， 故， 所以的面积为. 题型9 求椭圆的离心率或其取值范围 41．（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知双曲线C:的一条渐近线l与椭圆E:交于A，B两点，若（是椭圆的两个焦点），则椭圆E的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意不妨设l的方程为，根据题意可得的坐标，代入椭圆方程，进而计算可求得椭圆的离心率. 【解答过程】易知双曲线C的渐近线方程为，不妨设l的方程为. 如图，由，，可得， 代入椭圆方程，得，又， 故，解得（舍去），所以. 故选：A. 42．（24-25高二上·江苏镇江·期末）设椭圆的左，右焦点分别为，点P在C上，若，，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】在直角三角形中，，得，由，得，进行求解即可． 【解答过程】解：如图： 因为，所以， 则在直角三角形中，， 得， 由，得， 即椭圆的离心率为：． 故选：A. 43．（24-25高二上·安徽·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，且椭圆上存在点P，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由椭圆的定义可得，进而可得，可求椭圆的离心率的取值范围. 【解答过程】由椭圆的定义得，又，所以， 又，当且仅当点在椭圆下顶点时等号成立， 所以，即，则，即， 即椭圆的离心率的取值范围是. 故选：C. 44．（24-25高二上·上海·期末）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则椭圆的离心率 ． 【答案】 【解题思路】根据条件得到，再由，即可求解. 【解答过程】因为椭圆的长轴长是短轴长的倍， 则，即，所以， 故答案为：. 45．（24-25高二上·海南·期末）已知椭圆经过点 (1)求的方程和离心率； (2)若过点且斜率为1的直线与的另一个交点为，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）将点代入得到关于的方程组，解出即可得的方程，再求离心率即可； （2）易得直线方程为，求出交点坐标，再求面积即可. 【解答过程】（1）由题意得解得 所以的方程为． 的离心率为． （2）由题意知直线的方程为， 联立得得或所以 观察可知是等腰三角形，且与轴平行， 所以． 题型10 直线与椭圆的位置关系 46．（24-25高二上·江西·期末）直线与椭圆（）的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【解题思路】由直线与椭圆的位置关系求解即可. 【解答过程】因为直线过点， 而为椭圆的右端点和上端点， 故直线与椭圆相交. 故选：C. 47．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据椭圆方程的特点，可得且，可排除BC，再用特例进行判断. 【解答过程】根据椭圆方程的特点，可得且，可排除BC， 当时，点在椭圆内部，所以直线与椭圆必有公共点. 故选：D. 48．（24-25高二上·陕西西安·期末）若直线与圆相离，则过点的直线与椭圆的交点个数是（    ） A．0或1 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【解题思路】由直线与圆相离得，则点在椭圆的内部，由此即可得解. 【解答过程】由题意直线与圆相离，所以圆心到直线的距离，即， 而，即点在椭圆的内部， 所以过点的直线与椭圆的交点个数是2. 故选：D. 49．（24-25高二上·浙江温州·期末）已知直线与曲线有两个公共点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】当直线l与椭圆上半部分有两个交点时，直线l的斜率k介于直线l与椭圆上半部分相切时的斜率和直线l过椭圆上半部分右顶点时的斜率之间. 【解答过程】直线过定点，曲线是椭圆的上半部分， 当直线l与椭圆上半部分有两个交点时，直线l的斜率k介于直线l与椭圆上半部分相切时的斜率 和直线l过椭圆上半部分右顶点时的斜率之间，直线l与椭圆上半部分相切时的斜率为， 直线l过椭圆上半部分右顶点时的斜率为， 所以k的取值范围为. 故选：B. 50．（24-25高二上·重庆·期末）已知直线的方程为，椭圆的方程为，则直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 【答案】B 【解题思路】求出直线所过定点，判断该定点与椭圆位置关系即可判断直线与椭圆位置关系. 【解答过程】，即，令，解得， 则直线所过定点，代入椭圆方程，，则该定点在椭圆内， 则直线与椭圆的位置关系为相交. 故选：B. 题型11 椭圆的弦长与“中点弦”问题 51．（24-25高二上·重庆·期末）已知椭圆的一个焦点是，过原点的直线与相交于点，，的面积是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设直线方程，联立直线与椭圆，根据的面积求出，利用弦长公式求出弦长. 【解答过程】如图： 由题，不妨设，直线斜率存在， 设直线方程， 联立， ， ， 解得， 故， 故选：D. 52．（24-25高二上·河北廊坊·期末）已知椭圆，过点的直线交椭圆于A，B两点，且P为线段的中点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】判断点在椭圆内，利用点差法求出直线的斜率即可得其方程. 【解答过程】椭圆，由，得点在椭圆内，设， 则，两式相减得， 而，因此，即直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 故选：A. 53．（24-25高二上·甘肃酒泉·期末）已知椭圆与直线交于两点，若点为线段的中点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设点，利用题设条件得出利用点差法得到 ，代入结论整理得直线的斜率，即可求出直线的方程. 【解答过程】设点，因点为线段的中点，则（*） 又在椭圆（即）上，则 ①， ② ， 由，可得， 将（*）代入，化简得，即，可知直线的斜率为， 故直线的方程为：，即. 故选：B. 54．（24-25高二上·甘肃·期末）已知椭圆内一点，直线与椭圆交于两点，且为线段的中点，则 ． 【答案】 【解题思路】利用“点差法”求得直线的斜率，写出直线方程，联立方程组结合弦长公式即可求解. 【解答过程】设, 则，两式作差可得：， 因为为线段的中点，所以， 则， 所以直线的方程为， 联立，则， 所以， 故答案为：. 55．（24-25高二上·四川自贡·期末）已知椭圆，长轴长为4，离心率为 (1)求椭圆的方程； (2)过点倾斜角为的直线与椭圆相交于、，求. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据已知条件求得，进而求得椭圆的方程. （2）求得直线的方程，并与椭圆方程联立，利用弦长公式求得. 【解答过程】（1）由题意可得，，则， 又， 则， ∴椭圆的方程为. （2）∵直线l过点倾斜角为 ∴直线l的方程为即， 联立，得， 设， 则， ∴ . 题型12 椭圆中的面积问题 56．（24-25高二上·重庆沙坪坝·期末）已知是椭圆的左、右焦点，点P在C上，且线段的中点在以为直径的圆上，则三角形的面积为（   ） A． B． C．4 D．6 【答案】A 【解题思路】设的中点为，确定为等边三角形即可求解； 【解答过程】设的中点为， 则， 于是， 又，则为正三角形，即． 故选：A． 57．（24-25高二上·湖南·期末）直线：与椭圆：交于，两点，椭圆的上顶点为点，则的面积为 . 【答案】 【解题思路】将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式求出，并求出点到直线的距离求高，利用三角形的面积公式可求得的面积. 【解答过程】设点，.由消去，整理得，，所以，， 所以. 椭圆的上顶点，点到直线的距离， 所以的面积. 故答案为：. 58．（24-25高二上·江苏南通·期末）设椭圆的右焦点为，过原点的直线与交于点，且轴. (1)求的周长； (2)设点在上，求的面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题干的条件求出，进而得到.利用椭圆的对称性以及两点之间的距离公式即可求得结果； （2）由（1）知，设出与直线平行的直线，与椭圆联立使得判别式等于0，即可求得直线，再利用平行线的距离公式与面积公式即可求得结果. 【解答过程】（1） 已知椭圆的右焦点为，因为， 所以,因为轴，把代入椭圆方程中，得到， 不妨设，因为关于原点对称，则， 所以， 由椭圆的对称性可知：,所以， 所以的周长为； （2） 由（1）得， 由，可得直线的方程为：， 当的面积的最大值时，就是椭圆上的点到直线的距离最大时， 即与直线平行且与椭圆相切时，如上图，设， 联立，整理得：， 因为直线与椭圆相切，所以判别式，解得：，不妨取，所以直线， 则两平行线的距离， 故的面积的最大值. 59．（24-25高二上·河北保定·期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，，，离心率. (1)求椭圆C的方程； (2)过点作两条相互垂直的直线分别与曲线C相交于P，Q和E，F，求四边形EPFQ面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用待定系数法，即可求解； （2）利用弦长公式表示面积，再利用换元，转化为函数问题求最值. 【解答过程】（1）由，即，又，即，， ，故椭圆C的方程为. （2）设四边形EPFQ面积为S，当直线PQ与直线EF有一条斜率为0时，另一条斜率不存在， 不妨设直线PQ斜率不存在，此时直线EF与x轴重合， ，且PQ方程为，将与联立， 求得两交点为，，，故. 当直线PQ与直线EF有一条斜率为可设直线PQ的方程为， ，，联立方程， 得且恒成立， ，， 同理可得， 令，则，， 令，则， 在上单调递增，在上单调递减，，故. 60．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知椭圆的右焦点，过的直线交椭圆于两点，若，当时，. (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的下顶点为，的面积为，的面积为，求的最大值. 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）根据已知有、，结合椭圆参数关系求得、，即可得椭圆方程； （2）讨论直线斜率是否为0，设且，，联立椭圆并应用韦达定理、三角形面积公式得且，进而求其范围，即可得最大值. 【解答过程】（1）由右焦点，则，故，即， 若，当时，为的中点，即椭圆的通径， 所以，即，可得（负值舍），故， 所以. （2）当直线斜率为0时，要使最大，则，， 所以，此时最大； 当直线斜率不为0或斜率不存在时，令且，， 联立，得，显然， 所以，， 所以， 直线，且， 则到直线的距离分别为，， 所以，，则， 要使最大，则，此时且， 由 当时，，结合对勾函数的性质， 当时，当且仅当时取等号， 当时，当且仅当时取等号， 所以或且， 当时，， 综上，的最大值为. 题型13 椭圆中的参数范围及最值 61．（24-25高二上·安徽亳州·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上且位于第一象限，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设点，联立直线与的方程求出，同理求出，代入并借助基本不等式求出最大值. 【解答过程】椭圆的焦点，，设， 直线的方程为：，由消去， 得，则，，同理， 因此 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最大值为. 故选：C. 62．（24-25高二上·浙江嘉兴·期末）已知，是椭圆：的两个焦点，A，是椭圆上关于轴对称的不同的两点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设，由椭圆性质和已知条件得，由两点间的距离公式得，然后化简、换元结合二次函数单调性可求 【解答过程】由题意，设， 由于A，是椭圆上关于轴对称的不同的两点， 所以，又, 令，因为，所以， 所以， 由于对称轴为，所以在单调递减， 所以，又， 即，所以 故选：D.    63．（24-25高二上·湖北咸宁·期末）设F是椭圆的右焦点，P是椭圆上的动点，A是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【解题思路】根据椭圆的定义，结合两点间线段最短、点到直线距离公式进行求解即可. 【解答过程】， 设为该椭圆的左焦点，， 所以， 于是， 显然当三点共线，且与垂直时， 有最小值，最小值为， 故选：A. 64．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知为椭圆上一点，，分别为上动点，则的最大值为 ． 【答案】 【解题思路】根据给定条件，利用椭圆的定义及圆的性质求解即得. 【解答过程】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 由在椭圆上，得，解得，， 则椭圆的焦点，， 因此， 当且仅当分别为线段的延长线与圆的交点， 所以的最大值为. 故答案为：. 65．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知椭圆，，分别是椭圆的左，右焦点，是椭圆上任意一点．若的周长为6，且的最大值为3． (1)求的方程； (2)设点，过的直线与椭圆交于，两点，记直线，的斜率分别为，，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据的最大值为，结合焦点三角形的周长可得出关于的方程组，解得后再求出即得； （2）设，直线方程代入椭圆方程应用韦达定理得，然后代入斜率公式化简，由不等式的性质即可求解． 【解答过程】（1）由于，所以， 由于，故当时，此时的最大值为， 解得，又，解得，则， 所以椭圆方程为； （2）设，又， 当直线不与轴平行时，设直线方程为， 由得， 则，， 所以 ， 由于，故， 当直线与轴平行时，则直线方程为，此时， 综上可得的取值范围为， 题型14 椭圆中的定点、定值、定直线问题 66．（24-25高二上·四川达州·期末）已知椭圆方程为，，，过点的直线交椭圆于、两点，过点且平行于轴的直线与线段交于点，点关于点的对称点为，则直线一定过点（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先根据两条特殊直线的交点，判断定点的坐标，再设过点P的一般方程，联立椭圆方程，得到韦达定理，求得直线的方程，并代入定点坐标，验证是否成立，即可判断是否过定点. 【解答过程】因为，所以， ①假设过点的直线过原点，则，代入， 可得，，代入方程，可得 ，由得到.求得FN方程： ，过点. ②分析知过点的直线斜率一定存在，设. 联立得， 可得，则 因为点的横坐标与点的横坐标相等为，且点与点关于点对称，所以点的横坐标也为， 又，则，根据中点坐标公式计算得， 直线的斜率，直线的方程为， 假设直线经过定点，代入为验证， 即验证， 即验证， 即验证， 将韦达定理及得出的式子代入，得恒成立. 所以直线过点. 故选：D. 67．（24-25高二上·辽宁·期末）已知椭圆，直线过右焦点交椭圆于，两点，在椭圆长轴所在直线上必存在一点，使为定值，则点坐标为（   ） A． B． C． D．（2，0） 【答案】B 【解题思路】设直线方程为，，联立方程组结合韦达定理可得，设长轴上的点，可得，可求定点的坐标，验证斜率为0的情况即可. 【解答过程】椭圆，直线过右焦点， 当直线的斜率不为0时，设直线方程为，， 由，消去得，， 整理得，所以， 设长轴上的点， 可得， 所以 ， 当且仅当时，即时， 为定值，此时点坐标为， 当直线直线的斜率为0时，，计算可得， 所以在椭圆长轴所在直线上必存在一点，使为定值，且点坐标为. 故选：B. 68．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知椭圆的离心率为，点在上，过作直线与交于、两点，直线、的斜率分别为、． (1)求的标准方程； (2)判断是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是定值，-2 【解题思路】（1）由题意列方程组，求出的值，即得答案； （2）设直线l的方程并联立椭圆方程，可得根与系数的关系，求出的表达式，结合根与系数的关系化简，即得结论. 【解答过程】（1）由题意可得，解得， 故的标准方程为； （2）由题意知直线l的斜率存在，设其方程为，设， 联立得，得，需满足， 则， 则 ， 即为定值-2. 69．（24-25高二上·山东烟台·期末）已知椭圆上的点到其右焦点的最大距离为3． (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（异于）． ①若的面积为，求直线的方程； ②若直线与直线交于点，证明：点在一条定直线上． 【答案】(1) (2)① ；②证明见解析 【解题思路】（1）由题意可得，求出即可求解； （2）①设直线的方程和，联立椭圆方程，利用韦达定理，表示出弦长，结合点到直线的距离公式和三角形面积公式建立方程，解之即可求解； ②联立直线可得，由①知，化简计算即可求解. 【解答过程】（1）由题意可知，，所以． 又， 所以椭圆的方程为； （2）①设过点的直线方程为，点， 联立，得， 则， 则． 又因为点到直线的距离． 令，解得， 所以直线的方程为． ②由①知， 则直线，直线， 由，整理得． 由①知，得， 所以， 即，解得， 所以点在直线上．    70．（24-25高二上·安徽·期末）已知曲线的离心率为，分别为的左、右焦点，过点的直线与交于两点，面积的最大值为，点为的左顶点． (1)求曲线的方程； (2)证明：为定值； (3)已知双曲线，若所在直线与双曲线的左支分别交于点，点（均异于点），过点作的垂线，垂足为，证明：存在点使得为定值． 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3)证明见解析 【解题思路】（1）利用椭圆离心率及焦点三角形面积列式求出即可. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合斜率坐标公式计算得证. （3）直线的斜率存在时，设出其方程并与双曲线方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式计算可得直线过定点，再探讨直线的斜率不存在时的情况即可推理得证. 【解答过程】（1）设曲线的半焦距为c，由离心率为，得， 由的最大值为，得，而，解得，，， 所以曲线的方程为. （2）由（1）得，依题意，直线不垂直于轴，设，， 由消去得，则，， 则 ， 所以为定值； （3）    设，由（2）知，则， ①当直线斜率存在时，设其方程为，由直线不过点，得， 由消去得， ，且，，， 则， 整理得， 于是， 化简得，即，而，则，符合题意， 直线：，过定点； ②当直线斜率不存在时，由对称性，不妨令点在第二象限，直线的斜率为， 方程为，与方程联立可得，同理得，此时直线也过点， 因此直线过定点，设该点为， 由，得在为直径的圆上，圆的方程为，半径为， 所以存在点使得为定值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 椭圆（14大重点题型+思维导图+知识清单）（期末专项训练） 【苏教版】 题型归纳 【知识清单1 椭圆的标准方程】 1．椭圆的定义 (1)定义：平面内与两个定点,的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫 作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距. (2)椭圆定义的集合表示P={,2a>}. 2．椭圆的标准方程 椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 椭圆在坐标 系中的位置 标准方程 焦点坐标 F1(-c,0),F2 (c,0) F1(0,-c),F2 (0,c) a,b,c的关系 3．椭圆方程的求解 (1)用定义法求椭圆的标准方程 根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程. (2)用待定系数法求椭圆的标准方程 ①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，就可以利用待 定系数法求解.首先建立方程，然后依据题设条件，计算出方程中的a，b的值，从而确定方程（注意焦点的位置）. ②如果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题：一是分类讨论，分别就焦点 在x轴上和焦点在y轴上利用待定系数法设出椭圆的标准方程，再解答；二是用待定系数法设椭圆的一般方程为=1(A>0,B>0,A≠B)，再解答. 【知识清单2 椭圆的焦点三角形】 1．椭圆的焦点三角形 (1)焦点三角形的概念 设M是椭圆上一点，F1,F2为椭圆的焦点，当点M,F1,F2不在同一条直线上时，它们构成一个焦点三角 形，如图所示. (2)焦点三角形的常用公式 ①焦点三角形的周长L=2a+2c. ②在中，由余弦定理可得. ③设，，则. 【知识清单3 椭圆的简单几何性质】 1．椭圆的范围 设椭圆的标准方程为 (a>b>0)，研究椭圆的范围就是研究椭圆上点的横、纵坐标的取值范围. (1)从形的角度看：椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形框里. (2)从数的角度看：利用方程研究，易知=1-≥0，故≤1，即-a≤x≤a；=1-≥0，故≤1，即-b≤y≤b. 2．椭圆的对称性 (1)从形的角度看：椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形. (2)从数的角度看：在椭圆的标准方程 (a>b>0)中以-y代替y，方程并不改变，这说明当点 P(x,y)在椭圆上时，它关于x轴的对称点P1(x,-y)也在椭圆上，所以椭圆关于x轴对称；同理，以-x代替x，方程也不改变，所以椭圆关于y轴对称；以-x代替x，以-y代替y，方程也不改变，所以椭圆关于原点对称.坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫作椭圆的中心. 3．椭圆的顶点与长轴、短轴 以椭圆的标准方程 (a>b>0)为例. (1)顶点 令x=0，得y=±b；令y=0，得x=±a. 这说明A1(-a,0)，A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点，B1(0,-b)，B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点.因为x轴、 y轴是椭圆的对称轴，所以椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫作椭圆的顶点. (2)长轴、短轴 线段，分别叫作椭圆的长轴和短轴. 长轴长=2a，短轴长=2b，a和b分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长. 4．椭圆的离心率 (1)离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.用e表示，即e=. (2)离心率的范围：0<e<1. (3)椭圆离心率的意义：椭圆离心率的变化刻画了椭圆的扁平程度. 当e越接近于1时，c越接近于a，从而b=越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接 近于0，从而b=越接近于a，因此椭圆越接近于圆；当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为. 【知识清单4 直线与椭圆的位置关系】 1．点与椭圆的位置关系 (1)点与椭圆的位置关系： (2)对于点与椭圆的位置关系，有如下结论： 点在椭圆外+>1; 点在椭圆内+<1; 点在椭圆上+=1. 2．直线与椭圆的位置关系 (1)直线与椭圆的三种位置关系 类比直线与圆的位置关系，直线与椭圆有相离、相切、相交三种位置关系，如图所示. (2)利用方程讨论直线与椭圆的位置关系： Δ>0⇔直线与椭圆相交⇔有两个公共点； Δ=0⇔直线与椭圆相切⇔有且只有一个公共点； Δ<0⇔直线与椭圆相离⇔无公共点. 【知识清单5 弦长与“中点弦”问题】 1．弦长问题 (1)定义：直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦. (2)弦长公式：设直线l:y=kx+m交椭圆(a>b>0)于，两点， 则或. 2．“中点弦问题” (1)解决椭圆中点弦问题的两种方法 ①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根 与系数的关系以及中点坐标公式解决. ②点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中 点坐标和斜率的关系. 设，，代入椭圆方程(a>b>0)， 得， ①-②可得， 设线段AB的中点为，当时，有. 因为为弦AB的中点，从而转化为中点与直线AB的斜率之间的关系，这就是处理弦 中点轨迹问题的常用方法. (2)弦的中点与直线的斜率的关系 线段AB是椭圆(a>b>0)的一条弦，当弦AB所在直线的斜率存在时，弦AB的中点M的坐 标为，则弦AB所在直线的斜率为，即. 题型1 椭圆的定义及辨析 1．（24-25高二上·内蒙古·期末）如果椭圆上一点P到焦点的距离为6，那么点P到另一个焦点的距离是（   ） A．26 B．10 C．4 D．14 2．（24-25高二上·浙江嘉兴·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为C上一点，满足，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高二上·广东·期末）已知为椭圆上一点，分别为的左、右焦点，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25高二上·湖南郴州·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·天津滨海新·期末）椭圆上一点到一个焦点的距离等于3，则点到另一个焦点的距离是 . 题型2 椭圆标准方程的求解 6．（24-25高二上·湖南长沙·期末）若椭圆焦点在轴上且椭圆经过点，，则该椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·广东东莞·期末）已知边长为2的正方形的四个顶点恰好是椭圆的左、右焦点和短轴两个端点，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·河北承德·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，P为椭圆C上一点，的最小值为1，且的周长为34，则椭圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·上海·期末）焦点在轴上的椭圆过点，且点到两焦点的距离之和为8，则该椭圆标准方程为 . 10．（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)，，焦点在y轴上； (2)，． (3)经过点，两点； 题型3 曲线方程与椭圆 11．（24-25高二上·广东深圳·期末）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 13．（24-25高二上·河北沧州·期末）已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25高二上·陕西汉中·期末）“”是“方程 表示椭圆”的（      ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．（24-25高二上·宁夏银川·期末）方程所表示的曲线是椭圆，则的取值范围是 . 题型4 轨迹问题——椭圆 16．（24-25高二上·吉林长春·期末）已知点P是：上的动点，点，的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 17．（24-25高二上·广东清远·期末）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 18．（24-25高二上·北京丰台·期末）已知圆及点，在圆上任取一点，连接，将点折叠到点A，记与折痕的交点为（如图）. 当点在圆上运动时，点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 19．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知动圆P与圆：相切，且与圆：内切，记圆心P的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为 ． 20．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知平面上两点，，动点满足. (1)求动点的轨迹的标准方程； (2)当时，求点的纵坐标. 题型5 椭圆中的焦点三角形问题 21．（24-25高二上·青海海南·期末）椭圆的两个焦点为，，椭圆C上有一点P，则的周长为（    ） A．12 B．18 C．16 D．20 22．（24-25高二上·福建福州·期末）已知分别是椭圆的左、右焦点，点在上，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 23．（24-25高二上·广东茂名·期末）已知点是椭圆的左、右焦点，若过焦点的直线交椭圆于两点，则的周长为（    ） A．6 B．4 C． D．8 24．（24-25高二上·重庆·期中）已知椭圆的左右焦点分别为，，点在椭圆上且在轴上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则的面积为 . 25．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知椭圆的两焦点为，，点为椭圆上一点，且 (1)求此椭圆的方程 (2)若点满足，求的面积． 题型6 椭圆中距离的最值问题 26．（24-25高二上·重庆北碚·期末）已知椭圆的方程为，则椭圆上一点到左焦点的距离最小值为（    ） A．8 B．5 C．3 D．2 27．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知点，且是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 28．（24-25高二下·湖北·期末）设为椭圆上一动点，分别为椭圆的左､右焦点，已知点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 29．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知为椭圆的右焦点，是椭圆上一动点，点为圆上一动点，则的最大值是 . 30．（25-26高二上·广东清远·期中）已知椭圆：＋＝1内有一点，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，求： (1)的最大值与最小值； (2)的最小值． 题型7 利用椭圆的几何性质求标准方程 31．（24-25高二上·河北邢台·期中）已知椭圆的离心率为，且过点，则的方程为（   ） A． B． C． D． 32．（24-25高二上·山东菏泽·期末）已知椭圆的长轴长为4，离心率为，则该椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 33．（24-25高二上·湖北武汉·期末）阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 34．（24-25高二上·陕西宝鸡·期末）焦点在轴上，，的椭圆的标准方程为 . 35．（24-25高二上·湖南永州·期末）已知椭圆的离心率为，点在上． (1)求的方程； (2)设直线交于，两点，直线，的斜率之和为0，求直线的斜率． 题型8 求椭圆的焦点、焦距与长短轴 36．（24-25高二上·山东烟台·期末）已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（    ） A．1 B．3 C．4 D．5 37．（24-25高二上·广东梅州·期末）已知椭圆的离心率为，则其短轴长为（    ） A．4 B． C．8 D． 38．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知椭圆，则椭圆C的焦距为（    ） A． B．10 C．3 D．6 39．（24-25高二上·北京延庆·期末）椭圆的长轴长为 ． 40．（25-26高二上·全国·期末）如图所示，椭圆的左、右焦点分别为，一条直线经过与椭圆交于A，B两点. (1)求椭圆的焦距、短轴长和离心率； (2)若直线的倾斜角为，求的面积. 题型9 求椭圆的离心率或其取值范围 41．（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知双曲线C:的一条渐近线l与椭圆E:交于A，B两点，若（是椭圆的两个焦点），则椭圆E的离心率为（   ） A． B． C． D． 42．（24-25高二上·江苏镇江·期末）设椭圆的左，右焦点分别为，点P在C上，若，，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 43．（24-25高二上·安徽·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，且椭圆上存在点P，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 44．（24-25高二上·上海·期末）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则椭圆的离心率 ． 45．（24-25高二上·海南·期末）已知椭圆经过点 (1)求的方程和离心率； (2)若过点且斜率为1的直线与的另一个交点为，求的面积． 题型10 直线与椭圆的位置关系 46．（24-25高二上·江西·期末）直线与椭圆（）的位置关系为（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 47．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 48．（24-25高二上·陕西西安·期末）若直线与圆相离，则过点的直线与椭圆的交点个数是（    ） A．0或1 B．0 C．1 D．2 49．（24-25高二上·浙江温州·期末）已知直线与曲线有两个公共点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 50．（24-25高二上·重庆·期末）已知直线的方程为，椭圆的方程为，则直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 题型11 椭圆的弦长与“中点弦”问题 51．（24-25高二上·重庆·期末）已知椭圆的一个焦点是，过原点的直线与相交于点，，的面积是，则（    ） A． B． C． D． 52．（24-25高二上·河北廊坊·期末）已知椭圆，过点的直线交椭圆于A，B两点，且P为线段的中点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 53．（24-25高二上·甘肃酒泉·期末）已知椭圆与直线交于两点，若点为线段的中点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 54．（24-25高二上·甘肃·期末）已知椭圆内一点，直线与椭圆交于两点，且为线段的中点，则 ． 55．（24-25高二上·四川自贡·期末）已知椭圆，长轴长为4，离心率为 (1)求椭圆的方程； (2)过点倾斜角为的直线与椭圆相交于、，求. 题型12 椭圆中的面积问题 56．（24-25高二上·重庆沙坪坝·期末）已知是椭圆的左、右焦点，点P在C上，且线段的中点在以为直径的圆上，则三角形的面积为（   ） A． B． C．4 D．6 57．（24-25高二上·湖南·期末）直线：与椭圆：交于，两点，椭圆的上顶点为点，则的面积为 . 58．（24-25高二上·江苏南通·期末）设椭圆的右焦点为，过原点的直线与交于点，且轴. (1)求的周长； (2)设点在上，求的面积的最大值. 59．（24-25高二上·河北保定·期末）已知椭圆的左，右焦点分别为，，，离心率. (1)求椭圆C的方程； (2)过点作两条相互垂直的直线分别与曲线C相交于P，Q和E，F，求四边形EPFQ面积的取值范围. 60．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知椭圆的右焦点，过的直线交椭圆于两点，若，当时，. (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的下顶点为，的面积为，的面积为，求的最大值. 题型13 椭圆中的参数范围及最值 61．（24-25高二上·安徽亳州·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上且位于第一象限，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 62．（24-25高二上·浙江嘉兴·期末）已知，是椭圆：的两个焦点，A，是椭圆上关于轴对称的不同的两点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 63．（24-25高二上·湖北咸宁·期末）设F是椭圆的右焦点，P是椭圆上的动点，A是直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 64．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知为椭圆上一点，，分别为上动点，则的最大值为 ． 65．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知椭圆，，分别是椭圆的左，右焦点，是椭圆上任意一点．若的周长为6，且的最大值为3． (1)求的方程； (2)设点，过的直线与椭圆交于，两点，记直线，的斜率分别为，，求的取值范围． 题型14 椭圆中的定点、定值、定直线问题 66．（24-25高二上·四川达州·期末）已知椭圆方程为，，，过点的直线交椭圆于、两点，过点且平行于轴的直线与线段交于点，点关于点的对称点为，则直线一定过点（   ） A． B． C． D． 67．（24-25高二上·辽宁·期末）已知椭圆，直线过右焦点交椭圆于，两点，在椭圆长轴所在直线上必存在一点，使为定值，则点坐标为（   ） A． B． C． D．（2，0） 68．（24-25高二上·云南昆明·期末）已知椭圆的离心率为，点在上，过作直线与交于、两点，直线、的斜率分别为、． (1)求的标准方程； (2)判断是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由． 69．（24-25高二上·山东烟台·期末）已知椭圆上的点到其右焦点的最大距离为3． (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（异于）． ①若的面积为，求直线的方程； ②若直线与直线交于点，证明：点在一条定直线上． 70．（24-25高二上·安徽·期末）已知曲线的离心率为，分别为的左、右焦点，过点的直线与交于两点，面积的最大值为，点为的左顶点． (1)求曲线的方程； (2)证明：为定值； (3)已知双曲线，若所在直线与双曲线的左支分别交于点，点（均异于点），过点作的垂线，垂足为，证明：存在点使得为定值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $