寒假作业06 双曲线10类重点必刷题型（巩固培优）高二数学苏教版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 寒假作业06 双曲线 双曲线方程 标准方程 图形 ( A 2 ) 第一定义 到两定点的距离之差等于常数2 焦点坐标 ， ， 对称性 关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称 顶点坐标 ， ， 范围 实轴、虚轴 实轴长为，虚轴长为 离心率 渐近线方程 令， 焦点到渐近线的距离为 令， 焦点到渐近线的距离为 共渐近线的双曲线方程 切线方程 为切点 为切点 切线方程 对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得． 弦长公式 设直线与双曲线两交点为，，． 则弦长， ，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数． 通径 通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为 焦点三角形 双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形， 设，，，则， ， 焦点三角形中一般要用到的关系是 等轴双曲线 等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 双曲线的定义 1．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知圆，点在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用双曲线定义求方程、求双曲线的轨迹方程 【分析】根据垂直平分线的性质，可得，结合双曲线的定义，可得a，c的值，根据a，b，c的关系，即可求得答案. 【详解】因为圆心，，所以， 因为线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为， 所以， 所以， 所以Q点轨迹为双曲线，且， 所以，则点的轨迹方程为.    故选：B 2．（25-26高二上·湖南长沙·月考）设，是平面内两个定点，动点P满足，则P点的轨迹方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用双曲线定义求方程 【分析】利用双曲线的定义求解即可. 【详解】由双曲线的定义可知，点P的轨迹是以，为焦点的双曲线， 因为，，所以， 所以其轨迹方程为. 故选：B 3．（24-25高二上·湖南邵阳·月考）一动圆过定点，且与已知圆：外切，则动圆圆心的轨迹方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求平面轨迹方程、利用双曲线定义求方程 【分析】结合图象利用双曲线的定义判断动圆圆心的轨迹，然后再求方程即可. 【详解】圆与圆外切，如图， ，即， ， 由双曲线的定义，点的轨迹是以为焦点，为实轴长的双曲线的左支，其中，， ． 故所求轨方程为：． 故选：C． 4．（24-25高二上·河北石家庄·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为，以线段为直径的圆与圆相切，则动点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用双曲线定义求方程、求平面轨迹方程、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】根据两圆相切的条件，结合双曲线的定义求轨迹方程. 【详解】由已知圆半径为， 如图，当两圆外切时，设的中点为，即为圆心， ，即， 取，连接，O是中点，则， 因此， 当两圆内切时，记动点为，的中点为D， 则，所以， 因为点、分别是、的中点，所以， 所以， 所以动点P满足，而， 所以点P轨迹是以，为焦点，实轴长为的双曲线， ，则，又，因此， 双曲线方程为， 故选：A. 5．（25-26高三上·上海·期中）若将方程化简为的形式，则 【答案】 【知识点】根据双曲线方程求a、b、c、利用双曲线定义求方程 【分析】将方程两边取平方后整理成，再进行两边取平方，化简即得双曲线的轨迹方程，写出，计算即得答案. 【详解】由两边取平方， 可得， 整理得：， 两边再取平方，可得， 即，也即. 故，则. 故答案为：. 6．在中，是的中点，，，则的面积的最大值为 ． 【答案】 【知识点】利用双曲线定义求方程、三角形面积公式及其应用 【分析】建立直角坐标系，以所在直线为轴，以为坐标原点建立平面直角坐标系，用距离公式表示条件，联立圆的方程与双曲线的方程，得到，的面积最大即求的最大值. 【详解】以所在直线为轴，以为坐标原点建立如图8所示的平面直角坐标系， 则的面积只与点的纵坐标有关．    设的长为，则点既在以为圆心，为半径的圆上， 又在以为焦点，实轴长为的双曲线右支上， 联立圆与双曲线的方程有 两式相减并整理得． 当且仅当时取到等号，所以． 故答案为：. 题型二 双曲线方程的充要条件 1．（23-24高二下·浙江·期中）“”是“方程表示的曲线是双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断命题的必要不充分条件、充要条件的证明、判断方程是否表示双曲线 【分析】根据双曲线的标准方程，结合充分、必要条件的概念即可求解. 【详解】若，则，所以方程表示双曲线； 若方程表示双曲线，则，解得或， 所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件. 故选：A 2．（23-24高二上·上海·期末）已知实常数、，是为双曲线方程的______条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要 【答案】C 【知识点】判断方程是否表示双曲线、探求命题为真的充要条件 【分析】先求出表示双曲线的充要条件，再根据充分条件和必要条件的定义进行判断. 【详解】当表示双曲线时，则， 而当时，表示的是双曲线， 所以是为双曲线方程的充要条件. 故选：C. 3．方程表示的曲线，下列说法错误的是（   ） A．当时，表示两条直线 B．当，表示焦点在x轴上的椭圆 C．当时，表示圆 D．当时，表示焦点在x轴上的双曲线 【答案】B 【知识点】判断方程是否表示双曲线、判断方程是否表示椭圆、二元二次方程表示的曲线与圆的关系、直线的方程的概念 【分析】根据的值或范围结合各曲线或直线方程的特点对选项一一验证即可. 【详解】对于A：当时，方程为，表示与两条直线，则A说法正确； 对于B：化为，当时，，则，则表示焦点在轴上的椭圆，故B说法错误； 对于C：当时，方程为，表示圆心为原点，半径为1的圆，则C说法正确； 对于D：化为，当时，，则，则表示焦点在x轴上的双曲线，故D说法正确； 故选：B. 4．已知曲线，则下列结论正确的是（    ） A．若，，则C是两条直线，都平行于y轴 B．若，则C是圆，其半径为 C．若，则C是椭圆．其焦点在轴上 D．若，则C是双曲线，渐近线方程为 【答案】D 【知识点】判断方程是否表示双曲线、判断方程是否表示椭圆 【分析】根据每个选项中的值或范围，将曲线化为对应曲线的标准方程，再根据圆锥曲线的性质判断每个选项是否正确. 【详解】当，时，，即，所以C是两条直线，但都不平行于y轴，A错误；当，则，所以C是圆，其半径为，故B错误；当，则，，所以C是椭圆，其焦点在轴上，C错误；当，则，所以C是双曲线，渐近线方程为，D正确； 故选：D 题型三 焦点三角形的周长、面积及其它问题 1．（25-26高二上·山东济南·月考）已知点在离心率为的双曲线的左支上，，是双曲线的右焦点，若周长的最小值是，则此时的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形面积公式及其应用、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、根据双曲线方程求a、b、c 【分析】先根据双曲线的定义将三角形的周长转化为，再进一步放缩得到最小值，进而可得双曲线的基本量及方程.再由此时三点共线可得直线的方程，与双曲线方程联立可得点的坐标，进而可计算三角形的面积. 【详解】设双曲线的左焦点为，,如图： 由双曲线， 所以周长为， 当且仅当三点共线时取等号. 如图： 所以,得，即——①. 又因为离心率为，所以——②，将②代入①得，， 解得或（舍去）所以，所以双曲线方程为. 此时，直线的方程为，联立方程，消去y， 得，解得，再代入直线方程得，所以的坐标为. 所以. 故选：B. 2．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点是双曲线左支上一点，点，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】由双曲线的定义得出，即得出的周长为，由点为线段与双曲线的交点时，周长取最小值，即可求解. 【详解】如下图所示：    在双曲线中，，，则，则、， 由双曲线的定义可得，所以， 所以的周长为 ， 当且仅当点为线段与双曲线的交点时，等号成立， 故周长的最小值为. 故选：C. 3．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知，是双曲线：的两个焦点，为上一点，且，若的面积是，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】根据双曲线的焦点三角形的面积公式列式求解即可. 【详解】下面证明双曲线的焦点三角形的面积公式，. 由题意，，， 则中， 由余弦定理可得: ， 则， 所以 . 由双曲线的焦点三角形的面积公式可知，解得， 即． 故选：A. 4．（2025·四川成都·模拟预测）已知是双曲线（）上的点，该双曲线的两个焦点分别为与，且，，则的面积是（   ） A．6 B．10 C．12 D．20 【答案】A 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】根据双曲线的定义和已知条件求出，再判断的形状，进而求出其面积. 【详解】根据可知，双曲线的半焦距，由（），得. 根据双曲线的定义，，即，可得或. 当时，点在轴上，不符合题意， 当，由于，， 可知是直角三角形，边为斜边， 的面积， 故选：A. 5．（2025高二·全国·专题练习）双曲线与双曲线有相同的渐近线，双曲线与椭圆有相同的焦点，点为双曲线上的点且在第一象限内，在坐标轴负方向、正方向的焦点记为，，点，当点的位置变化时，的周长的最小值为 . 【答案】 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】可设所求的双曲线的方程为，结合双曲线与椭圆有相同的焦点得到，根据双曲线的定义可得， 计算的周长可转化为，当，，三点共线时，周长取最小值. 【详解】由题意，可设所求的双曲线的方程为，即. 椭圆的焦点坐标为，， 所以双曲线的焦点为，，所以，， 所以双曲线的方程为，则，， 如图： 的周长为. 当，，三点共线时，有最小值，最小值， 故的周长的最小值为. 故答案为： 6．（25-26高二上·上海·期中）已知双曲线：的左、右焦点分别是，，过的直线交双曲线左支于，两点，若，则的周长为 ． 【答案】12 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】根据双曲线的定义和性质，即可求出的周长． 【详解】由双曲线的方程可知， 则，， 则 ，   即， 则的周长为， 故答案为：12 题型四 双曲线中两点距离的最值问题 1．（25-26高二上·江苏·期末）已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是（    ） A．7 B．6 C．5 D． 【答案】B 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值、利用定义求双曲线中线段和、差的最值 【分析】利用双曲线的定义，结合到圆上点的距离最小值，就可以把的最小值转化为，然后再利用两点间距离线段最短，即可求得最小值. 【详解】 根据题意，结合圆的性质和双曲线的定义，即可求解. 由圆可化为，则，半径为1， 因为是的下焦点，则，所以， 由双曲线定义可得， 所以， 当且仅当四点共线时，取得最小值，即的最小值是. 故选：B. 2．（25-26高二上·湖北·月考）P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆和上的点，则的最大值为（    ） A．7 B．8 C．9 D． 【答案】D 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、定点到圆上点的最值（范围）、利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值、利用定义求双曲线中线段和、差的最值 【分析】结合已知条件，利用双曲线的定义推出，结合曲线与圆的位置关系推出，进而求出最大值． 【详解】双曲线方程为，则， ， ，， 又、分别是圆和上的点， 即、在以为圆心，半径为的圆上， ， ． 故选：D． 3．（25-26高二上·河北石家庄·月考）已知是双曲线的左焦点，点是双曲线的右支上的动点，点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【知识点】利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 【分析】根据双曲线的定义对所求代数式进行变形，结合两点间距离公式即可求出最小值. 【详解】由题意知，双曲线，，，左焦点，右焦点. 由双曲线的定义可知，双曲线右支上点满足，即， 所以，当、、共线时，等号成立. ， 故的最小值为. 故选：B. 4．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知是双曲线的上焦点，点是双曲线下支上的动点，点，则的最小值为（   ） A．11 B．9 C． D．5 【答案】B 【知识点】利用定义求双曲线中线段和、差的最值、利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 【分析】求出下焦点的坐标，由双曲线的定义可得，由图知，当三点共线（在线段上）时，的值最小，计算即得． 【详解】由，得，，， 所以上焦点，则下焦点为，又， 由双曲线的定义得， 由图知，当三点共线（在线段上）时，取得最小值9．    故选：B． 5．（2025高三·全国·专题练习）已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是 . 【答案】6 【知识点】利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】根据题意，结合圆的性质和双曲线的定义，即可求解. 【详解】由圆可化为，则，半径为1， 设是的下焦点，则，由双曲线定义可得，如图：    所以，又， 当且仅当四点共线时，取得最小值，即的最小值是. 故答案为：6 6．（24-25高二下·福建宁德·开学考试）已知双曲线的左焦点为为双曲线右支上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值是 ． 【答案】10 【知识点】利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 【分析】记双曲线的右焦点为，由双曲线的定义得，则结合三点共线求解即可． 【详解】如图所示： 记双曲线的右焦点为，则，得， 圆的圆心，半径为1， 则，等号成立时，四点共线． 故的最小值是：10． 故答案为：10 题型五 离心率 1．（25-26高二上·江苏·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，过且倾斜角为的直线与双曲线的右支有两个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据双曲线的渐近线的性质，结合双曲线离心率公式进行求解即可. 【详解】由题意知，双曲线的渐近线方程为， 要使直线与双曲线的右支有两个交点， 需使双曲线的渐近线方程的斜率小于直线的斜率， 即，即，由， 得，整理得，所以， 因为双曲线中，所以双曲线的离心率的范围是. 故选：B 2．（25-26高二上·天津河北·月考）已知双曲线的焦距为10，点在的渐近线上，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】方法一：写出双曲线方程的渐近线方程，代入点坐标得到的数量关系，由化简离心率公式并求得结果. 方法二：写出双曲线方程的渐近线方程，代入点坐标得到的数量关系，由焦距求得，由，求得，然后由离心率的公式求得结果. 【详解】方法一：双曲线的渐近线方程为， ∵点在的渐近线上，即，∴， ∵， ∴离心率. 方法二：双曲线的渐近线方程为， ∵点在的渐近线上，即，∴， 由题意可得，即， ∵，即，解得，∴，即， 所以离心率. 故选：A. 3．（25-26高二上·天津河东·月考）设双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率可能为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据双曲线焦点位置确定的值，从而求双曲线离心率. 【详解】当双曲线的焦点在轴上时，则， 所以离心率； 当双曲线的焦点在轴上时，，即， 所以离心率， 综上，该双曲线的离心率可以为或． 故符合的选项有C. 故选：C． 4．（25-26高二上·安徽蚌埠·月考）已知双曲线的两个焦点为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线，与的两支交于两点，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、正弦定理解三角形、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】设切点为，可判断在双曲线的右支上，设，，根据同角三角函数的基本关系及切线的性质，可求出，，，在中，由求出，再由正弦定理求出，，最后根据双曲线的定义得到的关系式，即可得解. 【详解】由题意知双曲线的焦点在轴上，过作圆的切线，设切点为， 因为，所以在双曲线的右支上.如图， 则，且，，由勾股定理知. 设，则，. 设， 由，即，得. 在中， . 由正弦定理得， 所以，. 又， 所以，即， 所以双曲线的离心率. 故选：C. 5．（25-26高二上·福建厦门·月考）已知双曲线的左，右焦点分别为，过点作斜率为的直线交双曲线的右支于A，B两点，其中点在第一象限，若，则双曲线的离心率为 ． 【答案】2 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】利用双曲线的定义式，结合题设条件，推得，设在中，利用余弦定理可得关于的齐次方程，解之即得离心率. 【详解】 如图，根据双曲线的定义得，， 由于，，则， 所以．设由题可得，则， 在中，由余弦定理，可得整理得， 即，因，则可得 . 故答案为：2． 6．（25-26高二上·江苏·期末）已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们关于原点对称的两个交点，的平分线交于点M，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为 . 【答案】1 【知识点】基本不等式求和的最小值、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，焦距为，利用椭圆与双曲线的性质、以及余弦定理，求得，得到，再应用“1”的代换及基本不等式求目标式的最小值，即可得到答案. 【详解】不妨设椭圆和双曲线的中心均在原点，对称轴均为坐标轴，如图所示， 设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，焦距为， 设点在第一象限，根据椭圆及双曲线的定义，得， 所以， 因为，所以， 根据对称性知四边形为平行四边形，所以， 所以为等边三角形，所以， 在中，由余弦定理得， 化简得，所以， 则， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值是1. 故答案为：1. 题型六 渐近线 1．（25-26高二上·广西南宁·月考）双曲线的一个焦点为，则的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线 【分析】由题意求出，再由渐近线的定义即可得解. 【详解】依题意，由为双曲线的焦点得，所以， 故渐近线方程为． 故选：C 2．（中学生标准学术能力（TDA）诊断性测试2026届高三上学期12月测试数学试题）已知双曲线的一条渐近线方程为，则（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】利用双曲线方程可得渐近线方程，从而问题得解. 【详解】由双曲线可得一条渐近线方程为， 所以由题意可知：， 故选：C. 3．（25-26高二上·甘肃金昌·月考）双曲线C的左右两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N(在同一支上）两点，且，则C的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程 【分析】依据题意可知双曲线的焦点在轴上，设过作圆的切线切点为，过作直线的垂线，垂足为，根据已知条件分别求解出，，代入双曲线定义中可得：，进而求解渐近线方程. 【详解】 M、N在双曲线的同一支，设过作圆的切线切点为B， 所以，因为，所以为锐角， ，，， 过作直线的垂线，垂足为， 由此可得：，， 设，由，得，， ，， 由于，得：， 解得：，即得：的渐近线方程为. 故选：D 4．（25-26高二上·江苏南京·月考）已知是双曲线右支上不同的两点，是的右焦点，点关于原点的对称点为，且，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、已知方程求双曲线的渐近线、根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程 【分析】利用双曲线对称性结合题意可得四边形为矩形，利用双曲线定义及与勾股定理计算可用表示出，，再利用为直角三角形，借助勾股定理可列出与、、有关齐次方程，即可计算出，即可得解. 【详解】设双曲线的左焦点为，连接、、、，如图所示， 根据双曲线的对称性可知四边形为平行四边形， 又因为，所以，所以四边形为矩形， 因，设，则， 由双曲线的定义可得：，， 又因为为直角三角形，所以， 则，得，则， 又因为为直角三角形，，所以， 则， 所以，即，其渐近线方程为. 故选：D. 5．（25-26高三上·北京·月考）双曲线的渐近线方程是 ． 【答案】 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线 【分析】根据双曲线的标准方程得到，即可得到渐近线方程. 【详解】由双曲线方程知，，， 所以双曲线的渐近线方程为. 故答案为：. 6．（25-26高二上·浙江·期中）已知O为坐标原点，双曲线C：的上焦点为F，下顶点为A，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若，则C的渐近线方程为 . 【答案】 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线 【分析】应用点到直线的距离得，结合的关系得，在中应用余弦定理得，进而有，即得渐近线斜率，根据双曲线参数关系求渐近线方程. 【详解】由题意，，双曲线的渐近线为，如图，    设点在上，则，故， 所以，则， 故， 所以，故， 所以C的渐近线方程为 故答案为： 题型七 直线与双曲线的位置关系 1．（25-26高二上·天津河东·月考）已知直线与双曲线的左支交于点A，右支交于点B. (1)求斜率k的取值范围； (2)若的面积为（O为坐标原点），求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题 【分析】（1）联立直线与双曲线的方程，结合题意列式计算即可； （2）设直线与轴交于点，进而根据韦达定理及的面积为列方程计算即可. 【详解】（1）设，， 联立，得， 因为直线与双曲线左右两支各交于一点， 则，解得， 则求斜率k的取值范围为. （2）由（1）知，，， 设直线与轴交于点， 则 ， 解得或（舍去）， 则直线的方程为. 2．（25-26高二上·河北·月考）已知双曲线过点，焦点到渐近线的距离为. (1)求的方程； (2)已知直线与双曲线相切于，过与直线垂直的直线与轴，轴分别交于，两点，设的中点为，求点的轨迹方程. 【答案】(1) (2) 【知识点】求平面轨迹方程、根据双曲线过的点求标准方程、求双曲线的切线方程 【分析】（1）焦点到渐近线的距离为.再将点代入方程求解得到，从而得到双曲线的方程为. （2）设直线的方程为，联立直线与双曲线方程整理得，因为直线与双曲线相切于则，化简得到，求出E点坐标，写出过与直线垂直的直线，写出可得，从而得到设，化简得到点的轨迹方程为. 【详解】（1）设焦点，， 到渐近线的距离， 又因为双曲线过点，则，解得， 所以双曲线的方程为 （2）由题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为， 联立直线与双曲线方程，有，整理得， 因为直线与双曲线相切于，则，即， 所以 ， 解得点坐标为， 于是过与直线垂直的直线为，可得， 设，则，于是，， 则.即点的轨迹方程为 3．（25-26高二上·广东汕头·期中）已知双曲线的一条渐近线的斜率为为上一点. (1)求的方程； (2)过的右焦点且倾斜角为的直线交于两点，为坐标原点，求的长度. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、根据双曲线的渐近线求标准方程、求双曲线中的弦长 【分析】（1）由已知条件建立关于的方程组，解出即可； （2）根据条件写出直线的方程，联立直线与双曲线方程，求出的坐标，再利用两点间距离公式求解即可. 【详解】（1）由题得:，解得， 所以双曲线的方程为：. （2）设， 如图所示： 由题得直线的方程为， 联立得：，整理得：， 所以， 所以 所以. 4．（25-26高二上·河南焦作·期中）已知双曲线的渐近线方程为，焦距为6. (1)求的方程； (2)过点的直线与交于M，N两点，若以为直径的圆过坐标原点，求的方程. 【答案】(1) (2)或 【知识点】根据韦达定理求参数、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、根据双曲线的渐近线求标准方程、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】（1）根据题意建立的方程组，求出进而即得； （2）设，与双曲线方程联立得，，结合求得的值，进而即得直线方程. 【详解】（1）由题，可得，解得， 所以双曲线的方程为. （2）由题，直线的斜率一定存在，设，，， 联立，消去，整理得， 则，即且， ，， 若以为直径的圆过坐标原点，则， ， 整理得， ，解得，满足题意， 所以直线的方程为或.    题型八 定点与定值问题 1．（25-26高二上·江苏·期末）已知双曲线的离心率为分别为其左、右顶点，点在上.为直线上的动点，与双曲线的另一交点为与双曲线的另一交点为. (1)求双曲线的方程； (2)证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据双曲线过的点求标准方程、双曲线中的直线过定点问题 【分析】（1）根据题意列出关于的方程组求解即可； （2）设，由已知条件分别求出点的坐标，设定点为，再由共线向量的坐标表示列式计算的值即可. 【详解】（1）由题意得，，解得， 故双曲线的方程为. （2）由（1）知，双曲线的左顶点，右顶点， 设直线上的动点， 于是直线的斜率，直线的方程为,与双曲线联立， 消得：， 整理得：， 设交点，则由韦达定理可得：， 即，则， 直线的斜率，直线的方程为， 再与双曲线联立，消得：， 整理得：， 设交点，则由韦达定理可得：， 即，则， 由双曲线的对称性知，若直线过定点，则定点必在轴上， 不妨设这个定点为， 则 因为，所以， 整理得：， ， 当时，可得，则直线过点， 当时，直线与轴重合，直线也过点， 所以直线经过定点. 2．（25-26高二上·江西景德镇·月考）已知双曲线C：的离心率为，且点在双曲线上 (1)求C的方程； (2)设点A为C的左顶点，若过点的直线l与C的右支交于P，Q两点．证明：直线AP和直线AQ的斜率乘积为定值. 【答案】(1)； (2)直线AP和直线AQ的斜率乘积为，证明过程见解析 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据双曲线过的点求标准方程、根据离心率求双曲线的标准方程、双曲线中的定值问题 【分析】（1）根据离心率，点及，得到方程组，求出，得到双曲线方程； （2）设直线l的方程为，联立，得到两根之和，两根之积，代入计算出. 【详解】（1）由题意得，将代入中得 ，又， 解得，故双曲线方程为； （2）由题意得，显然过点的直线l斜率不为0， 故设直线l的方程为，联立得 ，则，解得， 设，则， ， 则. 3．（25-26高二上·河南濮阳·期中）已知双曲线E：（，）的左、右焦点分别为，，离心率为，P为E上一点，且． (1)求E的方程； (2)过点且不与x轴重合的直线l交E于A，B两点，点B关于x轴的对称点为，求证：直线恒过点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】双曲线中的直线过定点问题、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】（1）利用双曲线的性质求得，利用离心率求得，进而求得，可求解析式； （2）设直线l的方程为，，，联立方程组，结合韦达定理得，，求得直线的方程为，令，可求得定点坐标. 【详解】（1）设E的半焦距为c（）． 由题意知P在E的右支上，，∴， ∵，∴， ∴， ∴E的方程为． （2）依题意，设直线l的方程为，，． 联立直线与双曲线的方程，得 消去x并整理，得， ∴，且，解得，且． ∴，． 由题意知，， ∴直线的方程为． 令，得 ， ∴直线恒过点．    4．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知，，三点 (1)求外接圆方程； (2)若过点的直线l与中心在原点，过B，C两点的双曲线D相交于M，N两点，A能否是线段MN的中点？请说明理由？ (3)S，T是双曲线D上的两个动点，且直线BS，BT的斜率互为相反数，证明直线ST的斜率为定值． 【答案】(1) (2)不是，理由见解析. (3)证明见解析 【知识点】求过已知三点的圆的标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、双曲线中的定值问题 【分析】（1）设圆的一般方程列方程组计算求解； （2）代入点得出双曲线方程，再应用点差法计算求解结合点A为线段MN的中点得出矛盾； （3）联立方程计算得出，再应用斜率公式计算求解. 【详解】（1）设圆方程为， ， 求出， 所以所求圆方程为； （2）不能， 设双曲线D方程为， 则，所以双曲线方程为， 若存在，由题易知直线斜率存在，设，且， 因为M、N在双曲线上， 所以，两式相减可得， 所以， 若点A为线段MN的中点， 则，即，代入上式， 所以，则直线l的斜率， 又由题知点P在直线上，且 所以不存在符合题意直线l， 综上，点A不是线段MN的中点 （3）设，直线BS方程为 则， 所以， 所以 得， 同理， 所以. 题型九 最值与范围问题 1．（25-26高二上·江苏·期末）已知双曲线：的实轴长为2，右焦点到双曲线的渐近线距离为. (1)求双曲线的方程； (2)过点作直线交双曲线的右支于两点，连接并延长交双曲线左支于点（为坐标原点），求的面积的最小值； (3)设定点，过点的直线交双曲线于两点，不是双曲线的顶点，若在双曲线上存在一点，使得直线的斜率与直线的斜率之和为定值，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)12 (3) 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、求双曲线中的最值问题、双曲线中存在定点满足某条件问题 【分析】（1）根据实轴长可求，根据焦点到渐近线的距离可求，故可得双曲线方程； （2）设：，，，联立直线方程和双曲线方程消去后结合韦达定理可得面积的解析式（用表示），再结合换元法可求其面积的最大值； （3）设直线的方程为，联立化简可得，由条件化简可得，，结合双曲线的范围可得结论. 【详解】（1）因为双曲线的实轴长为2，故， 而双曲线的渐近线为， 故右焦点到渐近线的距离为， 故双曲线的方程为：； （2）显然直线与轴不垂直，设：，，， 由双曲线的对称性知的中点为，故， 联立 ， 故，， 由于A，均在双曲线右支，故，故， 而， 代入韦达定理得， 令，则， 易知在上为减函数，则当时，， 综上：的面积的最小值为12； （3）不妨设，，， 若直线的斜率为，则直线与双曲线的交点为双曲线的顶点，与条件矛盾， 所以可设直线的方程为，且， 联立，消可得， 方程的判别式， 所以，则，， 所以， ， ， ， 所以 所以 所以， 因为直线的斜率与直线的斜率之和为定值， 所以，故， 故为定值， 所以， 因为或，，， 所以或，存在双曲线上的点满足， 使得直线的斜率与直线的斜率之和为定值，定值为， 所以的范围为. 2．（25-26高二上·江苏南京·月考）已知双曲线的渐近线方程是，且过点. (1)求的标准方程； (2)、分别为双曲线的左、右顶点，与轴不垂直的直线与双曲线的左支相交于、两点，记直线、、、的斜率分别为、、、，已知. （i）证明：为定值； （ii）求面积的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、双曲线中的参数及范围、双曲线中的定值问题 【分析】（1）根据题意，设双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程，求出的值，即可得出双曲线的方程； （2）（i）设点、，利用斜率公式结合双曲线的方程可求出，再结合可得出的值； （ii）解法一：设直线的方程为，将该直线方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，根据结合韦达定理求出的值，再结合三角形的面积公式与函数相关知识可求得面积的取值范围； 解法二：设直线的方程为，直线的方程为，将直线的方程与双曲线的方程联立，可求出点的坐标，同理可得出点的坐标，根据，，可求出的取值范围，根据可得出，再结合三角形的面积公式与函数相关知识可求得面积的取值范围. 【详解】（1）因为双曲线的渐近线方程为，设双曲线的方程为， 因为双曲线过点，所以， 所以双曲线的方程为，即为. （2）（i）设点、，又，， 所以，同理，， 所以，所以； （ii）（法一）由已知与坐标轴不垂直，故可设直线的方程为， 由，消去得， 所以，                              . 所以， 整理，得， 即 整理，得，解得或， 当时，直线过点，不合题意，舍去， 当时，直线过点，满足题意， 所以直线过定点，                                    .. 因为， 又，所以， 由直线与双曲线的左支有两个交点，且与坐标轴不垂直， 得，令，则， ， 因为在上单调递减，所以， 所以，所以面积的取值范围是. （ii）（法二）设直线的方程为，直线的方程为， 由消去得，则，解得，， 同理，. 由直线与双曲线的左支有两个交点，且与坐标轴不垂直， 所以，，可得，解得即且. 又，即， 所以. 由， 令，且且， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 且，，故， 所以， ， 由在上单调递减，所以，即， 所以，所以面积的取值范围是. 3．（25-26高二上·山西·期中）已知双曲线的离心率为2，右焦点为. (1)求的方程. (2)若动直线过点，且与交于，两点（在第一象限，在第四象限），过点作直线的垂线，垂足为. （i）证明：直线恒过点； （ii）设为坐标原点，的面积为，求的最小值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）15. 【知识点】双曲线中的直线过定点问题、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、根据离心率求双曲线的标准方程 【分析】（1）根据焦点和离心率列方程，解方程得到，然后写双曲线方程即可； （2）（i）设直线的方程，与双曲线方程联立，然后写直线的方程，利用韦达定理得到当时，，从而得证； （ii）利用三角形面积公式和韦达定理得到，然后利用换元法和基本不等式求最值即可. 【详解】（1）设的半焦距为，由知.             又离心率，所以，从而.             所以的方程为. （2）    （i）设，点，，. 由可得， 因为与在第一象限和第四象限各有一个交点，所以， 且，.             直线， 令，得，             又， 所以直线恒过点.             （ii）如图，设， 则.             设，则， 在上单调递增， 所以当，即时，取得最小值，最小值为15. 4．（25-26高二上·浙江丽水·期中）已知双曲线的渐近线方程是，且过点. (1)求的标准方程； (2)，分别为双曲线的左、右顶点，，分别为的左、右焦点，与轴不垂直的直线与双曲线的左支相交于，两点，记直线，，，的斜率分别为已知. （i）证明直线过定点，并求出该定点的坐标； （ii）求面积的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析，（ii） 【知识点】双曲线中的直线过定点问题、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】（1）由已知渐近线方程，设设双曲线的方程为，代入点求解即可； （2）（i）设直线的方程为,联立直线与双曲线，由韦达定理代入关系式，化简整理得的关系，求得定点； （ii）由（2）得的关系，代入韦达定理，代入面积表达式，换元结合基本不等式求最值即可.. 【详解】（1）设双曲线的方程为， 因为双曲线过点， 所以， 所以双曲线的方程为. （2）（i）设直线的方程为，，， 又，， 所以 同理，， 所以，所以， 由消去得，， 所以， 所以， 整理，得， 即 整理，得， 解得或， 当时，直线过点，不合题意，舍去， 当时，直线过点，满足题意， 所以直线过点. （ii）因为， 又，所以， 由直线与双曲线的左支有两个交点，且与坐标轴不垂直， 得，令， 则，， 因为在上单调递减， 所以， 所以得的取值范围是.    题型十 开放性问题与探索性问题 1．（25-26高三上·上海·期中）如图，设双曲线的左顶点为点，直线与双曲线相交于A、B两点，且A、B两点均异于点. (1)求点的坐标，及双曲线的离心率； (2)若线段AB的中点为，求直线的方程； (3)若以线段AB为直径的圆恒过点，试判断直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】(1)， (2) (3)过定点，定点坐标为． 【知识点】由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数、双曲线中的直线过定点问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】（1）根据给定条件，求出，，即可求得左顶点坐标以及离心率； （2）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理结合中点坐标公式求解； （3）利用韦达定理及数量积的坐标表示求出的关系即可得解. 【详解】（1）由题可得：， 所以双曲线C的左顶点为，双曲线的离心率为： （2）由消去整理得，， 则，且， 设，则， 由为的中点，可得， 解得，满足， 所以直线l的方程为，即. （3）由（2）知，．且， 则 ， 因以为直径的圆恒过点P，则有， 即，解得或， 当时，直线过，不符合题意； 当时，直线过定点， 所以直线l过定点，该定点坐标为. 2．（25-26高二上·山东菏泽·期中）已知双曲线（，）的实轴长为，右焦点到一条渐近线的距离为1. (1)求的方程； (2)过上一点，作的切线，与的两条渐近线分别交于，两点，为点关于坐标原点的对称点，过作的切线，与的两条渐近线分别交于，两点，求四边形的面积； (3)过上一点向的两条渐近线作垂线，垂足分别为，，是否存在点，满足？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3)存在点Q满足条件，或或或. 【知识点】双曲线中存在定点满足某条件问题、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、根据双曲线的渐近线求标准方程、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】（1）由题意列出关于的方程组即可求解； （2）先由点在双曲线上求纵坐标，用“联立方程+判别式”求切线方程，再求切线与渐近线交点，结合“两点间距离+点到直线距离”算三角形面积，利用平行四边形与三角形的面积倍数关系得结果 （3）设Q坐标，利用双曲线方程建立与的关系，用点到直线距离公式表示，代入条件求解，判断方程是否有解即可. 【详解】（1）因为双曲线的实轴长为，所以，解得， 设C的一条渐近线为，因为右焦点到一条渐近线的距离为1， 所以， 所以双曲线； （2）由（1）可得，如图，由题意可知四边形为平行四边形，其面积为， 由题意可得直线的斜率存在，设直线， 代入点得，且， 联立得 因为直线与双曲线相切，故， 联立，所以直线的方程为，    设直线与的交点为R，与的交点为S， 联立，同理得， 则， 因为原点O到直线的距离， 所以. （3）假设存在点Q满足条件 ，如图，设，则， 点Q到直线的距离为， 同理，所以， 又因为，所以或， 当时，解得， 则联立解得或，同理有或， 所以存在点或或或，满足.    3．（25-26高二上·江苏常州·期中）设椭圆的左右焦点，分别是双曲线的左右顶点，且椭圆的右顶点到双曲线的渐近线的距离为. (1)求椭圆的方程； (2)设圆上的任意一点处的切线交椭圆于点，问： 是否为定值? 若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是， 【知识点】椭圆中的定值问题、已知方程求双曲线的渐近线、根据a、b、c求椭圆标准方程、数量积的坐标表示 【分析】（1）由题意得，得，再由椭圆右顶点到双曲线渐近线的距离求得，进而得椭圆方程； （2）当切线的斜率不存在时，求出的坐标，计算；当切线的斜率存在时，设方程为，因为与圆相切求得的关系，将切线的方程代入椭圆，结合韦达定理及数量积的坐标运算得计算. 【详解】（1）双曲线的左右顶点分别为， 由题意得：，故， 双曲线渐近线方程为， 故椭圆右顶点到双曲线渐近线距离为， 因为，解得：，故， 所以椭圆方程为. （2）当切线的斜率不存在时，其方程为， 将代入，得， 不妨设，， ，， 所以； 当切线的斜率存在时，设方程为， 因为与圆相切，所以，即， 将代入，得， 所以， 又 ， 综上，. 4．（25-26高二上·黑龙江牡丹江·期中）已知两定点，，动点P满足到A与B的连线斜率乘积为1 (1)求P的轨迹方程； (2)过点的直线交的轨迹于A、B， （ⅰ）若A、B在y轴的右侧，且的面积为，求的方程； （ⅱ）是否存在轴上的定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)（）； (2)（ⅰ）；（ⅱ）存在点. 【知识点】双曲线中存在定点满足某条件问题、求双曲线中三角形（四边形）的面积问题、求双曲线的轨迹方程、数量积的坐标表示 【分析】（1）结合斜率公式利用直接法求轨迹方程即可； （2）（ⅰ）设直线l：，设，，联立直线与轨迹的方程，利用韦达定理和三角形的面积公式即可求解； （ⅱ）设，利用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，化简整理，结合定值思想，可得. 【详解】（1）设，，， 由，化简得（）. （2） 设直线l：，代入得：， 整理得： 设，， 因为，均在双曲线的右支上，所以，且， 所以，. （ⅰ）所以， ，可得， ∴直线的方程为：. （ⅱ）假设存在轴上的定点，使得为定值. 因为，， 所以 . 因为为常数，所以， 此时. 所以存在点，使得为定值. 1．（25-26高二上·吉林·月考）已知椭圆与双曲线有相同的左、右焦点，，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、双曲线定义的理解、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】为椭圆双曲线共焦点问题，利用椭圆和双曲线的定义，求出离心率之间的关系解题. 【详解】由题意可得，， 两式相减得， 所以，即， 所以， 令，则，， 且函数在上单调递增，则， 所以的取值范围是. 故答案为：D 2．（25-26高二上·湖南·月考）已知双曲线的左､右焦点分别为，过作直线的垂线，与的右支交于点.若的面积为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据给定条件，结合三角形面积求出点坐标，再由点在双曲线上建立方程求出离心率. 【详解】设，显然点在第一象限， 由的面积为，得，解得， 由直线，得直线方程为，则， 又，则，整理得，， 所以双曲线的离心率为. 故选：A 3．（25-26高二上·河北·期中）已知分别是双曲线的左、右焦点，过斜率不为0的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，记与的内切圆面积分别是和，若，则双曲线的离心率为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】内切圆半径分别是，过分别向轴作垂线，垂足分别是，连接，由题意可证得与相似，可得，结合已知可求双曲线的离心率. 【详解】设与的内切圆的圆心分别是， 内切圆半径分别是，过分别向轴作垂线，垂足分别是，连接， 在中，设内切圆与的三边的切点分别为， 则切线长定理可得， ，所以， 故点为双曲线的左顶点，同理可得：点为双曲线的右顶点． 而点均在的平分线上，所以与相似，故， 因为与的内切圆面积分别是和，若，所以， 所以，从而. 故选：D． 4．（25-26高二上·江苏南京·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，点是右支上一点，．若点到直线的距离为，则的离心率为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】B 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】利用双曲线的定义，构造齐次方程，进而可得离心率. 【详解】 如图所示，由已知得，且，， 则 又由双曲线定义可知，即，而， 可得，即，解得（舍）或， 所以离心率， 故选：B. 5．（25-26高二上·黑龙江大庆·期中）椭圆与双曲线具有相同的焦点，在第一象限的交点为点，过点作的内角分线和外角分线分别交轴于，两点，过作的内角分线交，于，两点，如图所示，设，，若，则的最大值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】椭圆中焦点三角形的其他问题、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、条件等式求最值 【分析】设，，根据椭圆、双曲线定义可得，结合余弦定理可得，结合角平分线的性质可得，，再利用基本不等式运算求解即可. 【详解】设，， 由题意可得：，解得， 在中，由余弦定理可得， 即， 整理可得，即，可得， 由题意可知：为的内心， 则，， 可得， 因为点在的内角分线上，则点到直线的距离相等， 且点在的外角分线上，则点到直线的距离相等， 可知点到直线的距离相等，则为的角平分线， 则，， 可得， 由可得， 则，即， 且，可得，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值是. 故选：B. 6．（25-26高三上·山东威海·期中）（多选题）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，为坐标原点，则（   ） A．当为线段的中点时，直线的斜率为 B．若，则 C． D．若直线的斜率为，且，则 【答案】BD 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、双曲线中的定值问题 【分析】由直线与双曲线的关系判断A，设，表示出和，得出，再结合即可判断B，设，利用两点之间距离公式，分别表示出和，通过作差即可判断C，根据双曲线的定义，得出，再证出点与点关于直线对称可判断D. 【详解】如图， 若直线的斜率为时，直线的方程为， 联立双曲线，可得，， 即直线与双曲线不相交，故A错误； 设，，， ，， 又 ，，故B正确； 设，其中，则，即， ， ， ，， ，，故C错误； ，，，， ，∵直线的斜率为即， 且过点，∴直线的方程为， 又∵，， ， ，即， 又∵点到直线的距离，点到直线的距离，即， ∴点与点关于直线对称，，，故D正确, 故选：BD． 7．（25-26高二上·陕西西安·月考）（多选题）已知双曲线过点，且与双曲线共渐近线，直线与双曲线交于两点，分别过点且与双曲线相切的两条直线交于点，则下列结论正确的是（） A．双曲线的标准方程是 B．若的中点为，则直线的方程为 C．若点的坐标为，则直线的方程为 D．若点在直线上运动，则直线恒过点 【答案】ABC 【知识点】求共渐近线的双曲线的标准方程、求双曲线的切线方程、双曲线中的直线过定点问题、由弦中点求弦方程或斜率 【分析】对于A，根据两双曲线共渐近线设出双曲线方程，代入点即可得解；对于B，运用点差法求得直线的斜率，即可得出直线方程；对于C，设，将直线代入双曲线方程，由，结合，解得斜率代回可得直线的方程；对于，设点，类比选项，求出直线的方程，设出点代入直线的方程比较可得直线的方程，从而得解. 【详解】对于A：若双曲线与共渐近线，则可设双曲线， 代入，得，即，则，故A正确； 对于B：设，由在双曲线上，得，两式相减， 得，即， 又的中点为，所以， 得，所以， 直线的方程为，即，故B正确； 对于C：设直线，代入曲线的方程得： ， 又， 所以， 令，得，又因为， 故可转化为， 解得，则，结合， 整理得直线的方程为，故C正确； 对于D：设，由选项同理可得直线的方程为， 由点在直线上运动，可设， 因为点在与上，所以， 因此直线的方程为， 即，令，解得， 所以直线恒过点，故D错误. 故选：ABC. 8．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知、为双曲线的左、右焦点，过点作一条渐近线的垂线交双曲线的右支于点（在第一象限），则离心率的取值范围为 ；若直线与轴交于点（在轴同侧），连接，若点恰好为的内切圆圆心，则的离心率为 ． 【答案】 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】空一：可用、表示出直线的斜率，结合渐近线斜率与双曲线交点个数计算即可得； 空二：利用内切圆圆心与三角形角平分线的关系可得，则可得为的中点，再利用双曲线定义计算与勾股定理及离心率定义计算即可得. 【详解】空一：设向渐近线作垂线，垂足为H， 则， 由与渐近线平行的直线与双曲线最多一个交点， 而直线与双曲线左右支各有一交点，故， 则，故； 空二：设的内心为，则， 故内心在以为直径的圆上，连接，又， 则，设， 则，所以， 而， 所以，所以，即， 又，所以，即H为的中点， 又，，所以，则， 由双曲线定义可得，所以， 在中，， 所以，即， 所以离心率. 故答案为：；. 1．（25-26高二上·云南曲靖·月考）将双曲线绕其中心旋转适当的角度后可得到一些熟悉函数的图象．如反比例函数，“双勾”函数，“飘带”函数等，它们的图象都可以由某条双曲线绕其中心旋转适当的角度而得到．现将双曲线绕原点旋转适当的角度后，得到函数的图象．则双曲线的离心率的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据题意可知旋转后的图象仍为双曲线，得到旋转后的函数两条渐近线，进而得出的值，再结合离心率计算即可求解. 【详解】易知“飘带”函数的两条渐近线为和， 由题可知，两渐近线的夹角一直不变，设为，则，所以， 已知在原双曲线中，轴是渐近线夹角的角平分线， 所以一条渐近线的斜率， 所以. 故选： 2．（25-26高二上·江苏南京·期中）如图所示，双曲线型冷却塔的外形，是离心率为2的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，已知该冷却塔的上口半径为，下口半径为，高为（数据以外壁即冷却塔外侧表面计算），则冷却塔的最小直径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、根据双曲线过的点求标准方程 【分析】利用双曲线方程来求解两个点的坐标，利用离心率来消元，利用高来得到方程，即可求解. 【详解】 设双曲线方程为，由离心率为可知：， 则，即， 再由题意知，， 代入双曲线方程得：， ， 由高为可得：， 平方得：， 即， 由图可得冷却塔的最小直径为， 故选：C. 3．（25-26高二上·安徽阜阳·月考）古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明.希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇编》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明.他指出：到定点的距离与到定直线的距离（定点不在直线上）的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线.当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线.现有方程表示的曲线是双曲线，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】圆锥曲线的统一定义的应用、双曲线定义的理解 【分析】根据两点间距离和点到直线的距离公式，变形等式，结合双曲线的定义，即可求解. 【详解】由方程，， 得，则， 即，可得动点到定点和定直线的距离的比值为常数. 由双曲线的定义，可得，解得. 故选：B 4．（24-25高二下·重庆巴南·期中）如图，在圆锥中，为底面圆的直径，过的中点与平行作平面截圆锥，得到截面与圆锥侧面的交线是双曲线的一部分．若，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、证明线面垂直、锥体体积的有关计算 【分析】设曲线与圆锥的底面圆交于点，取的中点，过作，交直线于点，过点作轴，建立平面直角坐标系，设双曲线方程为，得到及点坐标，即可求出，从而求出离心率. 【详解】设曲线与圆锥的底面圆交于点，, 则,为等边三角形， 设为的中点，取的中点， 过作，交直线于点，过点作轴， 建立如图平面直角坐标系，设双曲线方程为， 得到,又,所以, 则 则，故， 从而求出离心率. 故选：A. 5．（2025·河南·一模）（多选题）双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，点在上，点，点在直线上，则下列说法正确的是（    ） 附：双曲线在其上一点处的切线方程为. A． B． C．作于点，则（为坐标原点） D．若的延长线交于点，则的内心在定直线上 【答案】BCD 【知识点】求双曲线的切线方程、根据离心率求双曲线的标准方程、双曲线定义的理解、求直线交点坐标 【分析】设点在第一象限，根据离心率求出，可得选项A错误；根据得，结合双曲线方程可得B正确；分析得直线与双曲线相切，是切点，结合等腰三角形性质及双曲线定义可得选项C正确；分析得直线是双曲线的切线，切点分别为点，联立两切线方程表示点坐标可得选项D正确. 【详解】设双曲线的半焦距为.根据双曲线的对称性，不妨设点在第一象限. 对于A，由题意得，，，解得， 故，，A错误. 对于B，由题可知双曲线右顶点坐标为，故，则， ∴直线的斜率存在， ∵点在直线上，∴， ∴，则， ∵，∴，故，解得，故B正确. 对于C，由题意得，点处的切线方程为，切线斜率为， ∵，故直线与双曲线相切，是切点. 由双曲线的光学性质可知，双曲线上任意一点处的切线平分该点与两焦点连线的夹角， 则平分，延长，与的延长线交于点，连接， 则为等腰三角形，， ∵为的中点，为的中点， ∴，故C正确. 对于D，记的内心为，则是的平分线，是的平分线， 由选项C可得，直线是双曲线的切线，切点分别为点，设， 则直线的方程为，直线的方程为， 联立两式，解得， 由得，，设直线， 则式可化为，即点在定直线上，故D正确. 故选：BCD. 6．（25-26高二上·安徽·月考）某数学兴趣小组研究发现：奇函数的图象是双曲线，如图，该双曲线有两条渐近线．若以该双曲线的中心为原点，两个焦点所在直线为轴重新建立直角坐标系，则此时双曲线的标准方程为 ． 【答案】 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据双曲线的渐近线求标准方程 【分析】根据题意求出两条渐近线的方程分别为和，从而焦点所在直线的方程为，求出实轴顶点坐标可得，再结合求解. 【详解】由题意，当趋于无穷大时，， 可得两条渐近线的方程分别为和，两条渐近线的夹角为， 依据题意重新建立直角坐标系， 以两渐近线的角平分线为轴，焦点所在直线为轴， 由解得或 记双曲线的实半轴长为，虚半轴长为， 可得，又，所以， 故此时双曲线的标准方程为． 故答案为： 7．（2023·山东·二模）如图，在矩形中，，，分别为边，的中点，分别为线段（不含端点）和上的动点，满足，直线，的交点为，已知点的轨迹为双曲线的一部分，则该双曲线的离心率为 . 【答案】 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】以所在的直线为轴，线段的中垂线所在的直线为轴，求出直线，的方程，联立两方程解出点的坐标，进而可得点所在双曲线方程，由离心率公式计算即可得答案. 【详解】解：以所在的直线为轴，线段的中垂线所在的直线为轴，建立如图所示的直角坐标系： 设，则， 则有，，，，，，， 设， 所以，， 又因为，所以， 所以或， 又因为， 所以直线的方程为：，即， 同理可得直线的方程为：，即， 由，可得， 即， 因为，， ，, 即有，， 所以点所在双曲线方程为：， 所以， 所以， 所以. 故答案为： 【点睛】思路点睛：椭圆或双曲线中，要求离心率的值，就要求出的值(或数量关系或关于的一个二次方程). 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：90min 完成时间： 月 日 天气： 寒假作业06 双曲线 双曲线方程 标准方程 图形 ( A 2 ) 第一定义 到两定点的距离之差等于常数2 焦点坐标 ， ， 对称性 关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称 顶点坐标 ， ， 范围 实轴、虚轴 实轴长为，虚轴长为 离心率 渐近线方程 令， 焦点到渐近线的距离为 令， 焦点到渐近线的距离为 共渐近线的双曲线方程 切线方程 为切点 为切点 切线方程 对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得． 弦长公式 设直线与双曲线两交点为，，． 则弦长， ，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数． 通径 通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为 焦点三角形 双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形， 设，，，则， ， 焦点三角形中一般要用到的关系是 等轴双曲线 等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为． 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 双曲线的定义 1．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知圆，点在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·湖南长沙·月考）设，是平面内两个定点，动点P满足，则P点的轨迹方程是（    ）． A． B． C． D． 3．（24-25高二上·湖南邵阳·月考）一动圆过定点，且与已知圆：外切，则动圆圆心的轨迹方程是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·河北石家庄·期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为，以线段为直径的圆与圆相切，则动点P的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·上海·期中）若将方程化简为的形式，则 6．在中，是的中点，，，则的面积的最大值为 ． 题型二 双曲线方程的充要条件 1．（23-24高二下·浙江·期中）“”是“方程表示的曲线是双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高二上·上海·期末）已知实常数、，是为双曲线方程的______条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要 3．方程表示的曲线，下列说法错误的是（   ） A．当时，表示两条直线 B．当，表示焦点在x轴上的椭圆 C．当时，表示圆 D．当时，表示焦点在x轴上的双曲线 4．已知曲线，则下列结论正确的是（    ） A．若，，则C是两条直线，都平行于y轴 B．若，则C是圆，其半径为 C．若，则C是椭圆．其焦点在轴上 D．若，则C是双曲线，渐近线方程为 题型三 焦点三角形的周长、面积及其它问题 1．（25-26高二上·山东济南·月考）已知点在离心率为的双曲线的左支上，，是双曲线的右焦点，若周长的最小值是，则此时的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点是双曲线左支上一点，点，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知，是双曲线：的两个焦点，为上一点，且，若的面积是，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·四川成都·模拟预测）已知是双曲线（）上的点，该双曲线的两个焦点分别为与，且，，则的面积是（   ） A．6 B．10 C．12 D．20 5．（2025高二·全国·专题练习）双曲线与双曲线有相同的渐近线，双曲线与椭圆有相同的焦点，点为双曲线上的点且在第一象限内，在坐标轴负方向、正方向的焦点记为，，点，当点的位置变化时，的周长的最小值为 . 6．（25-26高二上·上海·期中）已知双曲线：的左、右焦点分别是，，过的直线交双曲线左支于，两点，若，则的周长为 ． 题型四 双曲线中两点距离的最值问题 1．（25-26高二上·江苏·期末）已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是（    ） A．7 B．6 C．5 D． 2．（25-26高二上·湖北·月考）P是双曲线的右支上一点，M、N分别是圆和上的点，则的最大值为（    ） A．7 B．8 C．9 D． 3．（25-26高二上·河北石家庄·月考）已知是双曲线的左焦点，点是双曲线的右支上的动点，点，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 4．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知是双曲线的上焦点，点是双曲线下支上的动点，点，则的最小值为（   ） A．11 B．9 C． D．5 5．（2025高三·全国·专题练习）已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是 . 6．（24-25高二下·福建宁德·开学考试）已知双曲线的左焦点为为双曲线右支上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值是 ． 题型五 离心率 1．（25-26高二上·江苏·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，过且倾斜角为的直线与双曲线的右支有两个交点，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·天津河北·月考）已知双曲线的焦距为10，点在的渐近线上，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·天津河东·月考）设双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率可能为（    ） A． B． C．2 D． 4．（25-26高二上·安徽蚌埠·月考）已知双曲线的两个焦点为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线，与的两支交于两点，且，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·福建厦门·月考）已知双曲线的左，右焦点分别为，过点作斜率为的直线交双曲线的右支于A，B两点，其中点在第一象限，若，则双曲线的离心率为 ． 6．（25-26高二上·江苏·期末）已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们关于原点对称的两个交点，的平分线交于点M，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为 . 题型六 渐近线 1．（25-26高二上·广西南宁·月考）双曲线的一个焦点为，则的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 2．已知双曲线的一条渐近线方程为，则（    ） A．4 B．2 C． D． 3．（25-26高二上·甘肃金昌·月考）双曲线C的左右两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N(在同一支上）两点，且，则C的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·江苏南京·月考）已知是双曲线右支上不同的两点，是的右焦点，点关于原点的对称点为，且，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·北京·月考）双曲线的渐近线方程是 ． 6．（25-26高二上·浙江·期中）已知O为坐标原点，双曲线C：的上焦点为F，下顶点为A，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若，则C的渐近线方程为 . 题型七 直线与双曲线的位置关系 1．（25-26高二上·天津河东·月考）已知直线与双曲线的左支交于点A，右支交于点B. (1)求斜率k的取值范围； (2)若的面积为（O为坐标原点），求直线的方程. 2．（25-26高二上·河北·月考）已知双曲线过点，焦点到渐近线的距离为. (1)求的方程； (2)已知直线与双曲线相切于，过与直线垂直的直线与轴，轴分别交于，两点，设的中点为，求点的轨迹方程. 3．（25-26高二上·广东汕头·期中）已知双曲线的一条渐近线的斜率为为上一点. (1)求的方程； (2)过的右焦点且倾斜角为的直线交于两点，为坐标原点，求的长度. 4．（25-26高二上·河南焦作·期中）已知双曲线的渐近线方程为，焦距为6. (1)求的方程； (2)过点的直线与交于M，N两点，若以为直径的圆过坐标原点，求的方程. 题型八 定点与定值问题 1．（25-26高二上·江苏·期末）已知双曲线的离心率为分别为其左、右顶点，点在上.为直线上的动点，与双曲线的另一交点为与双曲线的另一交点为. (1)求双曲线的方程； (2)证明：直线过定点. 2．（25-26高二上·江西景德镇·月考）已知双曲线C：的离心率为，且点在双曲线上 (1)求C的方程； (2)设点A为C的左顶点，若过点的直线l与C的右支交于P，Q两点．证明：直线AP和直线AQ的斜率乘积为定值. 3．（25-26高二上·河南濮阳·期中）已知双曲线E：（，）的左、右焦点分别为，，离心率为，P为E上一点，且． (1)求E的方程； (2)过点且不与x轴重合的直线l交E于A，B两点，点B关于x轴的对称点为，求证：直线恒过点． 4．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知，，三点 (1)求外接圆方程； (2)若过点的直线l与中心在原点，过B，C两点的双曲线D相交于M，N两点，A能否是线段MN的中点？请说明理由？ (3)S，T是双曲线D上的两个动点，且直线BS，BT的斜率互为相反数，证明直线ST的斜率为定值． 题型九 最值与范围问题 1．（25-26高二上·江苏·期末）已知双曲线：的实轴长为2，右焦点到双曲线的渐近线距离为. (1)求双曲线的方程； (2)过点作直线交双曲线的右支于两点，连接并延长交双曲线左支于点（为坐标原点），求的面积的最小值； (3)设定点，过点的直线交双曲线于两点，不是双曲线的顶点，若在双曲线上存在一点，使得直线的斜率与直线的斜率之和为定值，求实数的取值范围. 2．（25-26高二上·江苏南京·月考）已知双曲线的渐近线方程是，且过点. (1)求的标准方程； (2)、分别为双曲线的左、右顶点，与轴不垂直的直线与双曲线的左支相交于、两点，记直线、、、的斜率分别为、、、，已知. （i）证明：为定值； （ii）求面积的取值范围. 3．（25-26高二上·山西·期中）已知双曲线的离心率为2，右焦点为. (1)求的方程. (2)若动直线过点，且与交于，两点（在第一象限，在第四象限），过点作直线的垂线，垂足为. （i）证明：直线恒过点； （ii）设为坐标原点，的面积为，求的最小值. 4．（25-26高二上·浙江丽水·期中）已知双曲线的渐近线方程是，且过点. (1)求的标准方程； (2)，分别为双曲线的左、右顶点，，分别为的左、右焦点，与轴不垂直的直线与双曲线的左支相交于，两点，记直线，，，的斜率分别为已知. （i）证明直线过定点，并求出该定点的坐标； （ii）求面积的取值范围. 题型十 开放性问题与探索性问题 1．（25-26高三上·上海·期中）如图，设双曲线的左顶点为点，直线与双曲线相交于A、B两点，且A、B两点均异于点. (1)求点的坐标，及双曲线的离心率； (2)若线段AB的中点为，求直线的方程； (3)若以线段AB为直径的圆恒过点，试判断直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 2．（25-26高二上·山东菏泽·期中）已知双曲线（，）的实轴长为，右焦点到一条渐近线的距离为1. (1)求的方程； (2)过上一点，作的切线，与的两条渐近线分别交于，两点，为点关于坐标原点的对称点，过作的切线，与的两条渐近线分别交于，两点，求四边形的面积； (3)过上一点向的两条渐近线作垂线，垂足分别为，，是否存在点，满足？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 3．（25-26高二上·江苏常州·期中）设椭圆的左右焦点，分别是双曲线的左右顶点，且椭圆的右顶点到双曲线的渐近线的距离为. (1)求椭圆的方程； (2)设圆上的任意一点处的切线交椭圆于点，问： 是否为定值? 若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 4．（25-26高二上·黑龙江牡丹江·期中）已知两定点，，动点P满足到A与B的连线斜率乘积为1 (1)求P的轨迹方程； (2)过点的直线交的轨迹于A、B， （ⅰ）若A、B在y轴的右侧，且的面积为，求的方程； （ⅱ）是否存在轴上的定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 1．（25-26高二上·吉林·月考）已知椭圆与双曲线有相同的左、右焦点，，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·湖南·月考）已知双曲线的左､右焦点分别为，过作直线的垂线，与的右支交于点.若的面积为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·河北·期中）已知分别是双曲线的左、右焦点，过斜率不为0的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，记与的内切圆面积分别是和，若，则双曲线的离心率为（   ） A． B．2 C． D．3 4．（25-26高二上·江苏南京·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，点是右支上一点，．若点到直线的距离为，则的离心率为（　　） A． B． C．2 D． 5．（25-26高二上·黑龙江大庆·期中）椭圆与双曲线具有相同的焦点，在第一象限的交点为点，过点作的内角分线和外角分线分别交轴于，两点，过作的内角分线交，于，两点，如图所示，设，，若，则的最大值是（    ）    A． B． C． D． 6．（25-26高三上·山东威海·期中）（多选题）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，为坐标原点，则（   ） A．当为线段的中点时，直线的斜率为 B．若，则 C． D．若直线的斜率为，且，则 7．（25-26高二上·陕西西安·月考）（多选题）已知双曲线过点，且与双曲线共渐近线，直线与双曲线交于两点，分别过点且与双曲线相切的两条直线交于点，则下列结论正确的是（） A．双曲线的标准方程是 B．若的中点为，则直线的方程为 C．若点的坐标为，则直线的方程为 D．若点在直线上运动，则直线恒过点 8．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知、为双曲线的左、右焦点，过点作一条渐近线的垂线交双曲线的右支于点（在第一象限），则离心率的取值范围为 ；若直线与轴交于点（在轴同侧），连接，若点恰好为的内切圆圆心，则的离心率为 ． 1．（25-26高二上·云南曲靖·月考）将双曲线绕其中心旋转适当的角度后可得到一些熟悉函数的图象．如反比例函数，“双勾”函数，“飘带”函数等，它们的图象都可以由某条双曲线绕其中心旋转适当的角度而得到．现将双曲线绕原点旋转适当的角度后，得到函数的图象．则双曲线的离心率的值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏南京·期中）如图所示，双曲线型冷却塔的外形，是离心率为2的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，已知该冷却塔的上口半径为，下口半径为，高为（数据以外壁即冷却塔外侧表面计算），则冷却塔的最小直径为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·安徽阜阳·月考）古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明.希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇编》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明.他指出：到定点的距离与到定直线的距离（定点不在直线上）的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线.当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线.现有方程表示的曲线是双曲线，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·重庆巴南·期中）如图，在圆锥中，为底面圆的直径，过的中点与平行作平面截圆锥，得到截面与圆锥侧面的交线是双曲线的一部分．若，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·河南·一模）（多选题）双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为，点在上，点，点在直线上，则下列说法正确的是（    ） 附：双曲线在其上一点处的切线方程为. A． B． C．作于点，则（为坐标原点） D．若的延长线交于点，则的内心在定直线上 6．（25-26高二上·安徽·月考）某数学兴趣小组研究发现：奇函数的图象是双曲线，如图，该双曲线有两条渐近线．若以该双曲线的中心为原点，两个焦点所在直线为轴重新建立直角坐标系，则此时双曲线的标准方程为 ． 7．（2023·山东·二模）如图，在矩形中，，，分别为边，的中点，分别为线段（不含端点）和上的动点，满足，直线，的交点为，已知点的轨迹为双曲线的一部分，则该双曲线的离心率为 . 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $