专题02 全等三角形（知识必备+7大重难题型+过关验收）（期末复习讲义）八年级数学上学期新教材人教版

该初中数学全等三角形期末复习讲义通过表格系统梳理核心考点、复习目标与考情规律，分模块构建知识脉络，涵盖全等形概念、判定性质、角平分线等内容，结合示意图呈现平移、翻折等全等类型，用思维导图归纳证明思路与辅助线添加方法，清晰呈现重难点内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，从基础通关到综合拓展，典例涵盖动态几何（如点运动导致全等）、辅助线构造（倍长中线法）等题型，培养推理意识与创新意识。方法指导具体，如尺规作图步骤、证明思路总结，帮助不同层次学生掌握，支持教师精准教学与学生自主复习。

专题02 全等三角形（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 全等形与全等三角形的概念识别 理解全等形与全等三角形的定义，能准确识别生活中的全等形，熟练掌握全等三角形的对应元素识别方法，包括对应顶点、对应边、对应角的判定技巧，书写全等表达式时能规范标注对应顶点位置。 基础考点。多以选择题形式考查，结合生活实例判断是否为全等形。 全等三角形的性质应用 牢记全等三角形的核心性质，拓展掌握衍生性质（对应边上的高线、中线相等，对应角的角平分线相等，周长与面积相等），并理解性质的应用前提是“全等”。 基础考点，核心考查对应边、对应角的计算，常结合三角形内角和、外角性质、垂直关系等，需先准确识别对应元素。 全等三角形的判定 全面掌握全等三角形的判定定理，明确不同三角形的判定适用范围：一般三角形的判定方法与直角三角形特有的HL判定定理，清晰区分各定理的条件限制。 核心重点，重点考查SSS、SAS、ASA、AAS的灵活选择，直角三角形HL判定的应用。 角平分线的性质与判定 理解并掌握角平分线的性质与判定定理，明确两者的逻辑关系，掌握定理应用的关键条件，并能关联全等三角形证明过程推导定理的合理性。 多与全等证明结合考查，部分题目会涉及角平分线与垂直关系的综合应用。 全等三角形综合应用 1.掌握全等三角形与其他几何知识的综合应用能力，能结合三角形内角和、外角性质、平行线性质、等腰三角形性质等知识解决综合计算与证明题。 2. 具备辅助线构造能力，在无法直接证明全等的情况下，能通过添加常见辅助线构造全等三角形。 3. 能运用全等三角形知识解决实际问题。 高频难点，结合平行线、等腰三角形、直角三角形性质等知识，形成多步推理的综合证明题，考查学生的知识整合与逻辑推理能力。 知识点01 全等形与全等三角形 1. 全等形定义：能够完全重合的两个图形叫作全等形. 2. 全等三角形的有关概念和表示方法 相关概念 示例 定义 能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形 △ABC与△DEF全等 相关概念 示例 对应元素 对应顶点：重合的顶点叫作对应顶点 点A与点D， 点B与点E，点C与点F 对应边：重合的边叫作对应边 AB与DE，BC与EF，AC与DF 对应角：重合的角叫作对应角 ∠A与∠D， ∠B与∠E，∠C与∠F 相关概念 示例 表示方法 全等用符号“≌”表示，读作“全等于” △ABC≌△DEF 2. 三种常见的全等类形 (1)平移型 (2)翻折型 (3)旋转型 知识点02 全等三角形的判定与性质 一般三角形 直角三角形 判定 边角边（SAS） 角边角（ASA） 角角边（AAS） 边边边（SSS） 两直角边对应相等 一边一锐角对应相等 斜边、直角边定理（HL） 性质 对应边相等，对应角相等（其他对应元素也相等，如对应边上的高相等） 备注 判定三角形全等必须有一组对应边相等 知识点03 全等三角形的证明思路 知识点04 全等三角形证明方法 1． 证明线段相等的方法： (1) 证明两条线段所在的两个三角形全等. (2) 利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等. (3) 等式性质. 2． 证明角相等的方法： (1) 利用平行线的性质进行证明. (2) 证明两个角所在的两个三角形全等. (3) 利用角平分线的判定进行证明. (4) 同角（等角）的余角（补角）相等. (5) 对顶角相等. 3． 证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法： 可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明. 4． 辅助线的添加: (1)作公共边可构造全等三角形； (2)倍长中线法； (3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形； (4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形. 5. 证明三角形全等的思维方法: （1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两 个角所在的两个三角形及它们全等的条件. （2） 如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质 或先证明其他的两个三角形全等以补足条件. （3） 如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形， 通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质. 知识点05 用尺规作一个角等于已知角 用尺规作一个角等于已知角 已知∠ AOB(如图 ①)，求作∠A′O′B ′，使∠A′O′B′＝∠AOB ，并证明. 证明：连接CD，C′D′. 由作法(1)(2)可知OC=OD=O′C′； 由作法(3)可知CD=C′D′，O′C′=O′D′， ∴ OD=O′D′.∴△ OCD ≌△ O′C′D′(SSS). ∴∠AOB=∠A′O′B′. 知识点06 作一个角的平分线 已知：∠ AOB. 求作：∠ AOB 的平分线. 知识点07 角的平分线的性质与判定 1. 性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等 . 几何语言：如图， ∵ OP 平分∠ AOB，PE ⊥ OA 于点E，PF ⊥ OB 于点F，∴ PE=PF. 2. 判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 几何语言：如图， ∵ 点P 为∠ AOB 内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE， ∴点P 在∠ AOB 的平分线OC 上. 知识点08 证明几何命题的一般步骤 1. 证明一个几何命题的一般步骤 (1)明确命题中的已知和求证； (2)根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； (3) 经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. 2. 推理证明中常见的分析方法 (1) 综合法：从已知条件入手，根据已学过的定义、定理、全等的判定方法等，逐步推出要证的结论. (2) 分析法：从要证明的结论出发，根据已学过的定义、定理、全等的判定方法等，寻找使结论成立所需的条件，这样一步步逆推，一直追溯到结论成立的条件与已知条件吻合. (3)“两头凑”的方法：分别从已知条件和结论入手，当从已知条件推导出的结论与从结论倒推出所需的条件相吻合时，问题可得证. 题型一 全等形与全等三角形定义 【典例1】（23-24八年级上·广西河池·期末）在下列各组图形中，属于全等图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24八年级上·江苏无锡·期末）下列说法正确的是（    ） A．面积相等的图形叫做全等图形 B．周长相等的图形叫做全等图形 C．能完全重合的图形叫做全等图形 D．形状相同的图形叫做全等图形 【变式1-2】（22-23八年级上·四川乐山·期中）已知，且与是对应角，和是对应角，则下列说法中正确的是（   ） A．与是对应边 B．与是对应边 C．与是对应边 D．不能确定 的对应边 题型二 全等三角形的性质 【典例2-1】（24-25八年级上·云南红河·期末）如图，若，且，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【典例2-2】（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）如图，在长方形中，．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点B匀速运动，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点C匀速运动，点R从点C出发，以每秒a个单位长度的速度沿向点D匀速运动，连接，三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其它点也停止运动．若在某一时刻，与全等，则a的值为（　　） A．2或 B．2或 C．或 D．2或 【变式2-1】（23-24八年级上·全国·期末）如图， ，B、C和A、D分别是对应顶点．如果， ， ，那么BC的长是（    ）   A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2-2】（24-25八年级上·吉林·期末）如图，，，，则 ． 【变式2-3】（25-26八年级上·河南信阳·期末）如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在射线上运动，当点运动结束时，点随之结束运动，当点运动到某处时有与全等，则的运动速度是 ． 题型三 三角形全等的判定综合 【典例3】（23-24八年级上·吉林四平·期末）如图，，，垂足分别为，，，，求证：． 【变式3-1】（24-25八年级上·云南楚雄·期末）如图，，且．求证：． 【变式3-2】（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，点B、C、E、F共线，，，．求证：． 【变式3-3】（24-25八年级下·广西桂林·期末）如图，在中，，，垂足分别为 E，D，且有，求证：． 题型四 三角形全等的性质与判定综合 【典例4】（24-25八年级上·河南漯河·期末）如图，在四边形中，是对角线上一点，，，求证：． 【变式4-1】（24-25八年级上·甘肃武威·期末）如图，在和中，，，与相交于点O．求证：． 【变式4-2】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，为上一点，为上一点，为延长线上的一点，，，． (1)请猜想与有什么关系，并说明理由； (2)若，，求． 【变式4-3】（25-26八年级上·全国·期末）如图，过的顶点作，且，再作，且，交于，交于，与相交于点． 求证： (1)； (2)． 【变式4-4】（23-24八年级上·山东泰安·期末）如图，已知和都是等腰直角三角形，，． (1)如图①所示，延长交于点F，求的度数； (2)将绕点A旋转如图②所示位置摆放，连接，，且与交于点F，请判断与之间位置与数量关系，并说明理由． 题型五 角的平分线 【典例5】（23-24八年级上·云南红河·期末）如图，是中的平分线，交于点E，交于点F．若，，，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式5-1】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）两个完全一样的三角板如图摆放，它们的顶点重合于点，则点一定在（ ） A．的平分线上 B．边的高上 C．边的垂直平分线上 D．边的中线上 【变式5-2】（23-24八年级上·安徽安庆·期末）如图，三条公路、、两两相交，计划建一座加油站，满足到三条公路的距离相等，则可供选址的地方有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式5-3】（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在和中，，，，分别交，于点F，G，连接． (1)求证：； (2)求证：平分． 题型六 尺规作图 【典例6-1】（25-26八年级上·上海静安·期末）已知：及线段，点在上．求作点，使，且点到的距离相等．（尺规作图，保留作图痕迹） 【典例6-2】（24-25八年级上·河南信阳·期末）（1）尺规作图：在下方作射线，使得，且射线交的延长线于点E（不要求写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图中，若，是边上的中线，，求的值． 【典例6-3】（23-24八年级上·浙江·期末）已知和线段（如图）． (1)用直尺和圆规作（点在的上方），使，（做出图形，保留痕迹，不写作法）． (2)这样的三角形能作几个？ 【变式6-1】（23-24八年级上·全国·期末）如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线，交于点．已知，，则点到的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，点D是的边上一点，请用尺规作图的方法在边上求作一点E，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式6-3】（23-24八年级上·浙江杭州·期末）尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹） 已知：、，线段．求作：，使，，． 题型七 全等三角形综合应用 【典例7-1】（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）【发现问题】 （1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，，中线的取值范围是多少？ 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是_____； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题拓展】 （2）如图2，，，与互补，连接、，是的中点，求证：： （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，，．求的面积． 【典例7-2】（22-23八年级上·贵州黔东南·期末）【初步探索】（1）如图1，在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．小芮同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明：，再证明，可得出结论，他的结论应是 ； 【灵活运用】（2）如图2，若在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立，说明理由． 【拓展延伸】（3）如图3，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，满足，请判断与的数量关系．并证明你的结论． 【典例7-3】（23-24八年级上·贵州遵义·期末）在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．    (1)【观察发现】 如图①，与的数量关系是 ； (2)【尝试探究】 点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数； (3)【深入思考】 如图②，若E为中点，探索与的数量关系． 【典例7-4】（24-25八年级上·重庆綦江·期末）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到_____，_____，_____．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点；我们把这个数学模型称为“婆罗摩笈多”模型． (3)如图2，，，，连接，，的面积为，的面积为，，求的值． 【变式7-1】（24-25八年级上·山东威海·期末）如图1，在四边形中，，点，点分别在边，上，已知，． (1)求证：； (2)如图2，若点，点分别在边，的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并说明理由． 【变式7-2】（24-25八年级上·全国·期末）【综合探究】为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小军在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长到，使，连接． （1）【探究发现】图1中，由已知和作图能得到的理由是 ． A．    B．    C．    D． （2）【初步应用】如图2，在中，若，，求得的取值范围是________． A．    B．    C．    D． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． （3）【问题解决】如图3，分别以和为边作等腰直角三角形，即在中，，，在中，，，连接，试探究与的数量关系，并说明理由． 提示：．延长到，使，连接，根据（，，）证明，得，又因为，所以． 【变式7-3】（25-26八年级上·全国·期末）（1）如图1，，点 M，N 分别在上，且，连接交于点 D，求证：； （2）如图2，在中， 于点 M，点 N 在上，且，求证：； （3）如图3，在中，点E 在边上，点 F 在线段上，且，连接．求证：． 【变式7-4】（24-25八年级上·甘肃武威·期末）【问题情境】 （1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分，点A为上一点，过点A作 垂足为C，延长交于点B， 可根据 证明，则， (即点C为的中点)． 【类比解答】 （2）如图2，在中，平分，于E，若，若通过上述构造全等的方法，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 【变式7-5】（23-24八年级上·重庆江津·期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 （1）如图，，，过点作于点，过点作交的延长线于点．由，得．又，，可以推理得到，进而得到＝______，＝______．（请完成填空）我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型． 【模型应用】 （2）①如图，，，，连接、，且于点，与直线交于点，求证：点是的中点； ②如图，若点为轴上一动点，点为轴上一动点，点的坐标为，是否存在以、、为顶点且以为斜边的三角形为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）下列4个图形中的全等图形是（   ）        A．①和② B．③和④ C．①和③ D．②和④ 2．（25-26八年级上·全国·期末）下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（   ） A．两条直角边分别相等 B．一条直角边和一个锐角分别相等 C．斜边和一个锐角分别相等 D．两条边分别相等 3．（24-25八年级上·四川泸州·期末）如图，在中，图中的字母a，b，c表示三角形的边长，则①②③④四个三角形中的条件能够判定和全等的是（　　） A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④ 4．（25-26八年级上·全国·期末）如图，已知，要使，还需要添加一个条件，你添加的条件是 ． 5．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，CD是AB边上的高线，BE平分，交CD于点E，，，则的面积等于 ． 6．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，已知和线段a，b，用直尺和圆规作，，（保留作图痕迹） 7．（25-26八年级上·西藏日喀则·期末）如图，点是的中点，，． (1)求证：； (2)求证：． 8．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知：如图，与交于点与交于点，． (1)求证：； (2)求证：． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）三个全等三角形按如图的形式摆放，若，则的度数为 ． 2．（24-25八年级上·宁夏石嘴山·期末）如图，已知，点、在线段上，且．请你添加一个条件，使得．你添加的条件是：_____（只填一个）．添加条件后证明：． 3．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，已知平分，点为上一点，连接，． (1)请从 ， 中任选一个作为条件，使得结论“”成立 (2)在（）的条件下，若，，求的度数． 4．（25-26八年级上·江苏南通·期末）已知：如图，在、中，，，，点、、三点在同一直线上，连接． (1)求证：； (2)试猜想、有何特殊位置关系，并证明． 5．（24-25八年级上·江西景德镇·期末）如图，在的网格图中，线段的端点都在格点上，请按要求用无刻度直尺作图． (1)在图1中作格点线段，垂足为； (2)在图2中作点，使得． 6．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）如图，已知． 实践操作： （1）作，使．（要求：尺规作图，点D在直线的下方，保留作图痕迹，不写作法）． 推理与探究： （2）点E是上一点，．探究：线段与有怎样的数量关系，并说明理由． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）综合与实践： 【问题情境】课外数学社团开展活动时，辅导老师提出了如下问题：如图，中，若，点为边上的中点，试求中线的取值范围． 【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接，如图1.请根据小明同学的方法思考： （1）由已知条件和作辅助线，能得到，理由是 ． A．             B．             C．             D． （2）由“三角形的三边关系定理”，可以得到中线的取值范围为 ． 【方法提炼】在解决三角形相关问题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【解决问题】 （3）如图2，在四边形中，M是边的中点，已知平分，且，垂足为，若，试求的长度． 2．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）数学课上，老师让同学们利用三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系 问题情境： 如图1，三角形纸片中，，.将点C放在直线上，点A，B位于直线的同侧，过点A作于点D 初步探究： (1)在图1的直线上取点E，使，得到图2，猜想线段与的数量关系，并说明理由； (2)小颖又拿了一张三角形纸片继续进行拼图操作，其中，.小颖在图1的基础上，将三角形纸片的顶点P放在直线上，点M与点B重合，过点N作于点H.如图3，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由 3．（22-23八年级上·云南玉溪·期末）数学探究： (1)如图一，在平面直角坐标系中点，，连接，以为直角边在第一象限内作等腰直角，则点B的坐标是________________． (2)如图二，，．当点C在x轴负半轴上运动，点在y轴正半轴上运动，点在第三象限时，作轴于点D，试判断a，m，n之间的关系，请证明你的结论． 4．（24-25八年级上·河南信阳·期末）【问题提出】 我们知道：三角形全等的判定方法有：“，，，”，面对于“”，课本第38页提供了如下材料： 思考：如图1，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出．固定住长木棍，转动短木棍，得到，这个实验说明了什么？ 这个实验说明：有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，即“”不一定成立．那么，什么情况下，“”成立呢？数学兴趣小组对两个三角形按角进行分类，展开了以下探究． 【初步思考】 我们不妨设这个对应角为，然后对进行分类，可分为“是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． 【深入探究】 (1)第一种情况：当是直角时，． 如图2，在和中，，，，根据 ，可以知道． (2)第二种情况：当是钝角时，． 如图3，在和中，，，，且、都是钝角，李明由（1）受到了启发，很快证出了．请聪明的你完成李明的推理过程； (3)第三种情况：当是锐角时，和不一定全等． ①如图4，在和中，，，，且、都是锐角，则的结论是否仍然成立；请说明成立的理由； ②如图4，和是不全等的，还要满足什么条件，就可以使？请直接写出结论： ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 全等三角形（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 全等形与全等三角形的概念识别 理解全等形与全等三角形的定义，能准确识别生活中的全等形，熟练掌握全等三角形的对应元素识别方法，包括对应顶点、对应边、对应角的判定技巧，书写全等表达式时能规范标注对应顶点位置。 基础考点。多以选择题形式考查，结合生活实例判断是否为全等形。 全等三角形的性质应用 牢记全等三角形的核心性质，拓展掌握衍生性质（对应边上的高线、中线相等，对应角的角平分线相等，周长与面积相等），并理解性质的应用前提是“全等”。 基础考点，核心考查对应边、对应角的计算，常结合三角形内角和、外角性质、垂直关系等，需先准确识别对应元素。 全等三角形的判定 全面掌握全等三角形的判定定理，明确不同三角形的判定适用范围：一般三角形的判定方法与直角三角形特有的HL判定定理，清晰区分各定理的条件限制。 核心重点，重点考查SSS、SAS、ASA、AAS的灵活选择，直角三角形HL判定的应用。 角平分线的性质与判定 理解并掌握角平分线的性质与判定定理，明确两者的逻辑关系，掌握定理应用的关键条件，并能关联全等三角形证明过程推导定理的合理性。 多与全等证明结合考查，部分题目会涉及角平分线与垂直关系的综合应用。 全等三角形综合应用 1.掌握全等三角形与其他几何知识的综合应用能力，能结合三角形内角和、外角性质、平行线性质、等腰三角形性质等知识解决综合计算与证明题。 2. 具备辅助线构造能力，在无法直接证明全等的情况下，能通过添加常见辅助线构造全等三角形。 3. 能运用全等三角形知识解决实际问题。 高频难点，结合平行线、等腰三角形、直角三角形性质等知识，形成多步推理的综合证明题，考查学生的知识整合与逻辑推理能力。 知识点01 全等形与全等三角形 1. 全等形定义：能够完全重合的两个图形叫作全等形. 全等形的特征：“两相同”与“两无关”. (1)“两相同”：①形状相同；②大小相同. (2)“两无关”：①与位置无关；②与方向无关. 2. 全等三角形的有关概念和表示方法 相关概念 示例 定义 能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形 △ABC与△DEF全等 相关概念 示例 对应元素 对应顶点：重合的顶点叫作对应顶点 点A与点D， 点B与点E，点C与点F 对应边：重合的边叫作对应边 AB与DE，BC与EF，AC与DF 对应角：重合的角叫作对应角 ∠A与∠D， ∠B与∠E，∠C与∠F 相关概念 示例 表示方法 全等用符号“≌”表示，读作“全等于” △ABC≌△DEF 2. 三种常见的全等类形 (1)平移型 (2)翻折型 (3)旋转型 知识点02 全等三角形的判定与性质 一般三角形 直角三角形 判定 边角边（SAS） 角边角（ASA） 角角边（AAS） 边边边（SSS） 两直角边对应相等 一边一锐角对应相等 斜边、直角边定理（HL） 性质 对应边相等，对应角相等（其他对应元素也相等，如对应边上的高相等） 备注 判定三角形全等必须有一组对应边相等 知识点03 全等三角形的证明思路 知识点04 全等三角形证明方法 1． 证明线段相等的方法： (1) 证明两条线段所在的两个三角形全等. (2) 利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等. (3) 等式性质. 2． 证明角相等的方法： (1) 利用平行线的性质进行证明. (2) 证明两个角所在的两个三角形全等. (3) 利用角平分线的判定进行证明. (4) 同角（等角）的余角（补角）相等. (5) 对顶角相等. 3． 证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法： 可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明. 4． 辅助线的添加: (1)作公共边可构造全等三角形； (2)倍长中线法； (3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形； (4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形. 5. 证明三角形全等的思维方法: （1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两 个角所在的两个三角形及它们全等的条件. （2） 如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质 或先证明其他的两个三角形全等以补足条件. （3） 如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形， 通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质. 知识点05 用尺规作一个角等于已知角 用尺规作一个角等于已知角 已知∠ AOB(如图 ①)，求作∠A′O′B ′，使∠A′O′B′＝∠AOB ，并证明. 作法：(1)以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB 于点C，D； (2)作一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC为半径作弧，交O′A′于点C′； (3)以点C′为圆心，CD为半径画弧，与上一步作的弧相交于点D′； (4)过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′即为所求作的角(如图 ②). 证明：连接CD，C′D′. 由作法(1)(2)可知OC=OD=O′C′； 由作法(3)可知CD=C′D′，O′C′=O′D′， ∴ OD=O′D′.∴△ OCD ≌△ O′C′D′(SSS). ∴∠AOB=∠A′O′B′. 知识点06 作一个角的平分线 已知：∠ AOB. 求作：∠ AOB 的平分线. 作法：(1)以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB 于点N. (2)分别以点M，N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧在∠ AOB 的内部相交于点C. (3)画射线OC. 射线OC 即为∠AOB的平分线(如图). 知识点07 角的平分线的性质与判定 1. 性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等 . 角的平分线的性质的两个必要条件 (1)点在角平分线上； (2)这个点到角两边的距离即点到角两边的垂线段的长度. 两者缺一不可. 几何语言：如图， ∵ OP 平分∠ AOB，PE ⊥ OA 于点E，PF ⊥ OB 于点F，∴ PE=PF. 2. 判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 几何语言：如图， ∵ 点P 为∠ AOB 内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE， ∴点P 在∠ AOB 的平分线OC 上. 知识点08 证明几何命题的一般步骤 1. 证明一个几何命题的一般步骤 (1)明确命题中的已知和求证； (2)根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； (3) 经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. 2. 推理证明中常见的分析方法 (1) 综合法：从已知条件入手，根据已学过的定义、定理、全等的判定方法等，逐步推出要证的结论. (2) 分析法：从要证明的结论出发，根据已学过的定义、定理、全等的判定方法等，寻找使结论成立所需的条件，这样一步步逆推，一直追溯到结论成立的条件与已知条件吻合. (3)“两头凑”的方法：分别从已知条件和结论入手，当从已知条件推导出的结论与从结论倒推出所需的条件相吻合时，问题可得证. 题型一 全等形与全等三角形定义 【典例1】（23-24八年级上·广西河池·期末）在下列各组图形中，属于全等图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 解：属于全等图形， 故选A． 【变式1-1】（23-24八年级上·江苏无锡·期末）下列说法正确的是（    ） A．面积相等的图形叫做全等图形 B．周长相等的图形叫做全等图形 C．能完全重合的图形叫做全等图形 D．形状相同的图形叫做全等图形 【答案】C 【详解】解：A、面积相等，但图形不一定能完全重合，说法错误； B、周长相等的两个图形不一定能完全重合，说法错误； C、能完全重合的图形叫做全等图形，符合全等形的概念，正确； D、形状相同的两个图形也不一定是全等形，说法错误； 故选：C． 【变式1-2】（22-23八年级上·四川乐山·期中）已知，且与是对应角，和是对应角，则下列说法中正确的是（   ） A．与是对应边 B．与是对应边 C．与是对应边 D．不能确定 的对应边 【答案】A 【详解】解：与是对应角，和是对应角， 和是对应角， 与是对应边， 故选A． 题型二 全等三角形的性质 【典例2-1】（24-25八年级上·云南红河·期末）如图，若，且，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，， ， ， ； 故选． 【典例2-2】（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）如图，在长方形中，．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点B匀速运动，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点C匀速运动，点R从点C出发，以每秒a个单位长度的速度沿向点D匀速运动，连接，三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其它点也停止运动．若在某一时刻，与全等，则a的值为（　　） A．2或 B．2或 C．或 D．2或 【答案】A 【详解】解：设t秒后，与全等， 根据题意得：，， 当时，， ∴， 解得：； 当时，， ∴， 解得：， 综上所述，a的值为2或． 故选：A 【变式2-1】（23-24八年级上·全国·期末）如图， ，B、C和A、D分别是对应顶点．如果， ， ，那么BC的长是（    ）   A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴，即． 故选：C． 【变式2-2】（24-25八年级上·吉林·期末）如图，，，，则 ． 【答案】 【详解】解：∵， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式2-3】（25-26八年级上·河南信阳·期末）如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在射线上运动，当点运动结束时，点随之结束运动，当点运动到某处时有与全等，则的运动速度是 ． 【答案】或． 【详解】解：设点在射线上运动速度为，它们运动的时间为， 则，，，， 若， 则，， ，， 解得：，； 若， 则，， ，， 解得：，； 综上，的运动速度是或， 故答案为：或． 题型三 三角形全等的判定综合 【典例3】（23-24八年级上·吉林四平·期末）如图，，，垂足分别为，，，，求证：． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵，，垂足分别为，， ∴， 在和中， ， ∴． 【变式3-1】（24-25八年级上·云南楚雄·期末）如图，，且．求证：． 【详解】证明：， ． 在和中， ． 【变式3-2】（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，点B、C、E、F共线，，，．求证：． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【变式3-3】（24-25八年级下·广西桂林·期末）如图，在中，，，垂足分别为 E，D，且有，求证：． 【详解】证明： ∵，， ∴ 在和中 ∵， ∴（）． 题型四 三角形全等的性质与判定综合 【典例4】（24-25八年级上·河南漯河·期末）如图，在四边形中，是对角线上一点，，，求证：． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【变式4-1】（24-25八年级上·甘肃武威·期末）如图，在和中，，，与相交于点O．求证：． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式4-2】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，为上一点，为上一点，为延长线上的一点，，，． (1)请猜想与有什么关系，并说明理由； (2)若，，求． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ， 在与中，， ∴ ； （2）解：在与中， ∴， ，， ， ． 【变式4-3】（25-26八年级上·全国·期末）如图，过的顶点作，且，再作，且，交于，交于，与相交于点． 求证： (1)； (2)． 【详解】（1）证明： ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ． （2）证明： ， ， ， ， ， 即． 【变式4-4】（23-24八年级上·山东泰安·期末）如图，已知和都是等腰直角三角形，，． (1)如图①所示，延长交于点F，求的度数； (2)将绕点A旋转如图②所示位置摆放，连接，，且与交于点F，请判断与之间位置与数量关系，并说明理由． 【详解】（1）解：在和中， ， ， ， ， ， ； （2）解：与相互垂直，． 理由如下：， ， 即， 在和中，    ， ， ， ， ， ． 题型五 角的平分线 【典例5】（23-24八年级上·云南红河·期末）如图，是中的平分线，交于点E，交于点F．若，，，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【详解】解：∵是的平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴ 解得，． 故选：B． 【变式5-1】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）两个完全一样的三角板如图摆放，它们的顶点重合于点，则点一定在（ ） A．的平分线上 B．边的高上 C．边的垂直平分线上 D．边的中线上 【答案】A 【详解】解：作射线， 由题意得，，，， 平分， 故选：A． 【变式5-2】（23-24八年级上·安徽安庆·期末）如图，三条公路、、两两相交，计划建一座加油站，满足到三条公路的距离相等，则可供选址的地方有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【详解】解：∵加油站要到三条公路的距离都相等， ∴加油站必须是三条相交直线所组成的三角形的两内角或两外角的角平分线的交点，而相邻两外角平分线有个交点，内角平分线的交点有个， ∴加油站可供选址的地方有个， 故选：． 【变式5-3】（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，在和中，，，，分别交，于点F，G，连接． (1)求证：； (2)求证：平分． 【详解】（1）证明：， ， ， ，， ， ． （2）证明：如图，分别过点A作于点M，于点N， ， ，， ， ， ，， 平分． 题型六 尺规作图 【典例6-1】（25-26八年级上·上海静安·期末）已知：及线段，点在上．求作点，使，且点到的距离相等．（尺规作图，保留作图痕迹） 【详解】解：如图所示，点为所求： 【典例6-2】（24-25八年级上·河南信阳·期末）（1）尺规作图：在下方作射线，使得，且射线交的延长线于点E（不要求写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图中，若，是边上的中线，，求的值． 【详解】（1）图形如图所示： （2）∵是边上的中线， ∴，， 由（1）作图知 在与中 ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ 在与中 ∴ ∴． 【典例6-3】（23-24八年级上·浙江·期末）已知和线段（如图）． (1)用直尺和圆规作（点在的上方），使，（做出图形，保留痕迹，不写作法）． (2)这样的三角形能作几个？ 【详解】（1）解：如图，和即为所作， ； （2）解：由图可得：这样的三角形能作个． 【变式6-1】（23-24八年级上·全国·期末）如图，在中，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线，交于点．已知，，则点到的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示，过点D作于E， 由作图方法可知，平分， ∵，， ∴， ∴点到的距离为3， 故选：C． 【变式6-2】（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，点D是的边上一点，请用尺规作图的方法在边上求作一点E，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【详解】解：如图所示：点即为所求； 由作图可知：， ∴． 【变式6-3】（23-24八年级上·浙江杭州·期末）尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹） 已知：、，线段．求作：，使，，． 【详解】解：按如下字母命名题干已知： 作射线，以点为圆心，长为半径画弧交于点，则；以点为圆心，长为半径画弧，交的两边于两点，连接，再以点为圆心，长为半径画弧，再以点为圆心，为半径画弧，连接与两弧的交点得到射线，则；再以点为圆心，为半径作弧，交两边于，连接，再以点为圆心，长为半径作弧，后以点为圆心，为半径作弧，连接点与两弧交点得射线，两个射线交点为点，即为所求，作图如下： 题型七 全等三角形综合应用 【典例7-1】（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）【发现问题】 （1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，，中线的取值范围是多少？ 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是_____； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题拓展】 （2）如图2，，，与互补，连接、，是的中点，求证：： （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，，．求的面积． 【详解】解：（1）∵是的中线． ∴， ∵，， ∴， ∴， 可得 ， 即：， ∴， 故答案为：； （2）延长至点，使得，连接，如图2： 由题意得：， ，， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）如图3， 由（2）可得：，，， ． ． ，， ． ， ， ， ． 【典例7-2】（22-23八年级上·贵州黔东南·期末）【初步探索】（1）如图1，在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．小芮同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明：，再证明，可得出结论，他的结论应是 ； 【灵活运用】（2）如图2，若在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立，说明理由． 【拓展延伸】（3）如图3，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，满足，请判断与的数量关系．并证明你的结论． 【详解】解：（1）．理由如下： 如图1，延长到点，使，连接， ， ， 又， ， 在与中， ， ， ，， ，， ， ， 即， ； 在与中， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）（1）中的结论仍成立，理由如下： 如图2，延长到点，使，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ， ， 又， ， ； （3）． 证明：如图3，延长到点，使，连接， ，， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， 即， ． 【典例7-3】（23-24八年级上·贵州遵义·期末）在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．    (1)【观察发现】 如图①，与的数量关系是 ； (2)【尝试探究】 点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数； (3)【深入思考】 如图②，若E为中点，探索与的数量关系． 【详解】（1）∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）的大小不改变， 如图①，作交于点F，则，    ∴， 由（1）得， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴的大小不改变，． （3）， 理由：如图②，作交于点G，作于点H，则    ∴， ∵E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【典例7-4】（24-25八年级上·重庆綦江·期末）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到．进而得到_____，_____，_____．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点；我们把这个数学模型称为“婆罗摩笈多”模型． (3)如图2，，，，连接，，的面积为，的面积为，，求的值． 【详解】（1）解：，， ， ， ， 在和中， ， ，， ， 故答案为：，； （2）证明：如图2，过作于，过作于， 由“字”模型得：， ， 同理：， ， ，， ， 在与中， ， ， ， 点是的中点； （3）解：如图3，过作于，交于，过作于，过作于， ，，， 由“字”模型得：，， ，， 由（2）知：点是的中点， 得， ， ， 即， ， 的值为1012． 【变式7-1】（24-25八年级上·山东威海·期末）如图1，在四边形中，，点，点分别在边，上，已知，． (1)求证：； (2)如图2，若点，点分别在边，的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并说明理由． 【详解】（1）证明：如图，延长至点，使， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，在上截取， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：． 【变式7-2】（24-25八年级上·全国·期末）【综合探究】为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小军在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长到，使，连接． （1）【探究发现】图1中，由已知和作图能得到的理由是 ． A．    B．    C．    D． （2）【初步应用】如图2，在中，若，，求得的取值范围是________． A．    B．    C．    D． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． （3）【问题解决】如图3，分别以和为边作等腰直角三角形，即在中，，，在中，，，连接，试探究与的数量关系，并说明理由． 提示：．延长到，使，连接，根据（，，）证明，得，又因为，所以． 【详解】解：（1）是边上的中线， ， 在和中， ， ， 由已知和作图能得到的理由是， 故选：B； （2）如图，延长到，使，连接， ， 由（1）得， ， 在中，， ， ， ， 故选：C； （3），理由如下： 如图，延长到，使得，连接，    由（1）得， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 【变式7-3】（25-26八年级上·全国·期末）（1）如图1，，点 M，N 分别在上，且，连接交于点 D，求证：； （2）如图2，在中， 于点 M，点 N 在上，且，求证：； （3）如图3，在中，点E 在边上，点 F 在线段上，且，连接．求证：． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴； （2）过点 B 作于点K，如图 ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 即， ∵， ∴ ∴， ∴； （3）在的延长线上取一点 H，使得，连接，如图 ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴ ， ∴． 【变式7-4】（24-25八年级上·甘肃武威·期末）【问题情境】 （1）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分，点A为上一点，过点A作 垂足为C，延长交于点B， 可根据 证明，则， (即点C为的中点)． 【类比解答】 （2）如图2，在中，平分，于E，若，若通过上述构造全等的方法，求的度数． 【拓展延伸】 （3）如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． 【详解】解：（1）∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 故答案为：； （2）延长交于点，如图 同理可证明， ∴， ∵， ∴； （3），证明如下： 延长、交于点，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可证明， ∴， ∴． 【变式7-5】（23-24八年级上·重庆江津·期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 （1）如图，，，过点作于点，过点作交的延长线于点．由，得．又，，可以推理得到，进而得到＝______，＝______．（请完成填空）我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型． 【模型应用】 （2）①如图，，，，连接、，且于点，与直线交于点，求证：点是的中点； ②如图，若点为轴上一动点，点为轴上一动点，点的坐标为，是否存在以、、为顶点且以为斜边的三角形为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）解：由题意可知， ，， 故答案为：，； （2）证明：如图1，过点作交于点，过点作交于点， ，， ， ， 在和中， ， ， ； 同理可得：． ， ， 在和中， ， ， ， 点是的中点． （3）解：如图，当点在轴正半轴上时，由【模型呈现】可知， ，， ， ， ； 当点在轴负半轴上时，同理可得． 综上所述，点的坐标为或． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）下列4个图形中的全等图形是（   ）        A．①和② B．③和④ C．①和③ D．②和④ 【答案】C 【详解】解：A．不是全等图形，故此选项不合题意； B．不是全等图形，故此选项不符合题意； C．是全等图形，故此选项符合题意； D．不是全等图形，故此选项不合题意． 故选：C． 2．（25-26八年级上·全国·期末）下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（   ） A．两条直角边分别相等 B．一条直角边和一个锐角分别相等 C．斜边和一个锐角分别相等 D．两条边分别相等 【答案】D 【详解】解：A．两条直角边分别相等，可用判定全等； B．一条直角边和一个锐角分别相等，可用或判定全等； C．斜边和一个锐角分别相等，可用判定全等； D．两条边分别相等，没有明确对应关系，如果相等的两条边，在一个三角形中是两条直角边，而在另一个三角形中是一条直角边和一条斜边，则不能判定两直角三角形全等．例如，一个直角三角形的两条边是长为3和4的两条直角边，而另一个直角三角形的两条边是长为3的直角边和长为4的斜边，则这两个直角三角形不全等． 故选：D． 3．（24-25八年级上·四川泸州·期末）如图，在中，图中的字母a，b，c表示三角形的边长，则①②③④四个三角形中的条件能够判定和全等的是（　　） A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④ 【答案】D 【详解】解：①图的三角形与不能证明两个三角形全等； ②图的三角形与可以利用证明两个三角形全等； ③图的三角形与不能证明两个三角形全等； ④图的三角形与可以利用证明两个三角形全等； 故选D． 4．（25-26八年级上·全国·期末）如图，已知，要使，还需要添加一个条件，你添加的条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：添加， ∵，，， ∴． 添加 ∵，，， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 5．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，CD是AB边上的高线，BE平分，交CD于点E，，，则的面积等于 ． 【答案】6 【详解】解：作于， 平分 的面积为 故答案为：6． 6．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，已知和线段a，b，用直尺和圆规作，，（保留作图痕迹） 【详解】解：这样的三角形能作2个． 如图，和为所作． 7．（25-26八年级上·西藏日喀则·期末）如图，点是的中点，，． (1)求证：； (2)求证：． 【详解】（1）证明：∵点是的中点， ． 在与中，， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∴， 8．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知：如图，与交于点与交于点，． (1)求证：； (2)求证：． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）证明：如图所示： ∵， 即， ∵ ∴， ∵，且 ∴． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）三个全等三角形按如图的形式摆放，若，则的度数为 ． 【答案】 【详解】解：三角形的外角和是， ， 三个三角形全等， ，， ∵， ∴， ， ∵， ∴， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·宁夏石嘴山·期末）如图，已知，点、在线段上，且．请你添加一个条件，使得．你添加的条件是：_____（只填一个）．添加条件后证明：． 【详解】解：添加的条件是：． 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 3．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，已知平分，点为上一点，连接，． (1)请从 ， 中任选一个作为条件，使得结论“”成立 (2)在（）的条件下，若，，求的度数． 【详解】（1）解：（1）∵平分， ∴， 选择 ， 在和中， ， ∴； 选择 ， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26八年级上·江苏南通·期末）已知：如图，在、中，，，，点、、三点在同一直线上，连接． (1)求证：； (2)试猜想、有何特殊位置关系，并证明． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ． （2）解：、特殊位置关系为． 证明如下：由（1）知， ． ， ． ． 即． 、特殊位置关系为． 5．（24-25八年级上·江西景德镇·期末）如图，在的网格图中，线段的端点都在格点上，请按要求用无刻度直尺作图． (1)在图1中作格点线段，垂足为； (2)在图2中作点，使得． 【详解】（1）解：如图1中，线段即为所求（答案不唯一）， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 故． （2）解：如图中，点即为所求： ， ，， 在和中， ， ， ， 即为所求点． 6．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）如图，已知． 实践操作： （1）作，使．（要求：尺规作图，点D在直线的下方，保留作图痕迹，不写作法）． 推理与探究： （2）点E是上一点，．探究：线段与有怎样的数量关系，并说明理由． 【详解】解：（1）如图即为所求； （2）．理由： ， ． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）综合与实践： 【问题情境】课外数学社团开展活动时，辅导老师提出了如下问题：如图，中，若，点为边上的中点，试求中线的取值范围． 【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接，如图1.请根据小明同学的方法思考： （1）由已知条件和作辅助线，能得到，理由是 ． A．             B．             C．             D． （2）由“三角形的三边关系定理”，可以得到中线的取值范围为 ． 【方法提炼】在解决三角形相关问题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【解决问题】 （3）如图2，在四边形中，M是边的中点，已知平分，且，垂足为，若，试求的长度． 【详解】解：（1）∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：A； （2）∵，即， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）延长，交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴ 在和中， ， ∴. ∴，. 在和中， ， ∴. ∴， ∴， ∵， ∴． 2．（23-24八年级上·山西吕梁·期末）数学课上，老师让同学们利用三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系 问题情境： 如图1，三角形纸片中，，.将点C放在直线上，点A，B位于直线的同侧，过点A作于点D 初步探究： (1)在图1的直线上取点E，使，得到图2，猜想线段与的数量关系，并说明理由； (2)小颖又拿了一张三角形纸片继续进行拼图操作，其中，.小颖在图1的基础上，将三角形纸片的顶点P放在直线上，点M与点B重合，过点N作于点H.如图3，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由 【详解】（1）解：，理由如下： 过点B作于点F，即， ， ，， . ， . . 在和中，， . . ，， . . （2）解：.理由如下： 过点B作于点F，∴， 由（1）可得：， . ， ，. ， . . 在和中，， . . 3．（22-23八年级上·云南玉溪·期末）数学探究： (1)如图一，在平面直角坐标系中点，，连接，以为直角边在第一象限内作等腰直角，则点B的坐标是________________． (2)如图二，，．当点C在x轴负半轴上运动，点在y轴正半轴上运动，点在第三象限时，作轴于点D，试判断a，m，n之间的关系，请证明你的结论． 【详解】（1）∵，， ∴，， 当时，过B作于， ∵等腰直角， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴点B的坐标是 同理，当时，过B作于，此时， 点B的坐标是 综上，点B的坐标是、； 故答案为：、； （2）． 证明：作轴于E， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中 ∴， ∴，， ∵轴于E，BD⊥y轴于点D， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（24-25八年级上·河南信阳·期末）【问题提出】 我们知道：三角形全等的判定方法有：“，，，”，面对于“”，课本第38页提供了如下材料： 思考：如图1，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出．固定住长木棍，转动短木棍，得到，这个实验说明了什么？ 这个实验说明：有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，即“”不一定成立．那么，什么情况下，“”成立呢？数学兴趣小组对两个三角形按角进行分类，展开了以下探究． 【初步思考】 我们不妨设这个对应角为，然后对进行分类，可分为“是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究． 【深入探究】 (1)第一种情况：当是直角时，． 如图2，在和中，，，，根据 ，可以知道． (2)第二种情况：当是钝角时，． 如图3，在和中，，，，且、都是钝角，李明由（1）受到了启发，很快证出了．请聪明的你完成李明的推理过程； (3)第三种情况：当是锐角时，和不一定全等． ①如图4，在和中，，，，且、都是锐角，则的结论是否仍然成立；请说明成立的理由； ②如图4，和是不全等的，还要满足什么条件，就可以使？请直接写出结论： ． 【详解】（1）解：∵， ∴和是直角三角形， 在和中， 故答案为：； （2）证明：在和 ，且都是钝角，如图，过点作交的延长线于，过点作交的延长线于， 且都是钝角， 在和 在 和 在和中 ； （3）解：①在和中，，且都是锐角，如图，和不全等； ②由①图可知，， ∴当时，就唯一确定了， 则． 当时， 即， 在和中， 故答案为：或． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $