期末冲刺专题10 因式分解易错点详解(易错点归纳+易错解析+巩固提高)2025-2026学年人教版数学八年级上册

2025-2026人教版八年级数学上期末冲刺专题 专题10 因式分解易错点详解(易错点归纳+易错解析+巩固提高) 因式分解是初中代数的核心内容，也是后续学习分式、一元二次方程等重要知识的基础。为了帮助你更好地掌握这一章，现梳理了新人教版八年级数学第十七章“因式分解”的主要易错点。 易错领域 常见错误类型 概念理解错误 混淆因式分解与整式乘法：误将因式分解（化为积的形式）的过程做成了整式乘法（展开）。结果形式错误：结果不是几个整式的积的形式，或出现了非整式（如分式）。 提公因式法 公因式提取不彻底：只提取了字母部分，忽略了系数的最大公约数。提后漏项：当某项与公因式完全相同时，提取后该项位置应为“1”，容易被漏掉。符号错误：提取负公因式时，括号内各项未全部变号。 公式法 平方差公式应用不当：未能识别出平方项，或混淆了 和 所代表的整体。完全平方公式结构判断错误：无法准确识别符合完全平方公式的三项式。分解不彻底：使用公式后，得到的因式本身还能继续分解。 十字相乘法 符号判断错误：当常数项为负时，对交叉相乘后一次项系数的符号处理错误。验证步骤缺失：凑出数字后，未经验证就直接写出因式。 分组分解法 分组目的不明确：盲目分组，导致分组后无法提公因式或应用公式。分组后分解不彻底：完成分组提取后，未检查整个式子是否还能继续分解。 1.因式分解概念理解错误 例1．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）下列各式从左边到右边的变形，是因式分解且分解正确的是（    ） A． B． C． D． 典型错解 D 错因分析 因式分解的定义理解错误，因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，D选项不是整式的积 正确解法 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，据此判定即可求解，掌握因式分解的定义是解题的关键． 【详解】解：、该式从左边到右边的变形是整式乘法，不是因式分解，不合题意； 、该式左边和右边不相等，左边不能因式分解，变形错误，不合题意； 、该式从左边到右边是因式分解，符合题意； 、该式左边不能因式分解，不合题意； 故选：． 针对练习1 一、单选题 1．（24-25八年级上·广东深圳·期末）下列等式，从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·四川成都·期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·四川自贡·期末）下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）下列变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·上海·期中）下列从左到右变形，是因式分解的有（   ） ；；；；． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 6．（25-26八年级上·山东泰安·期中）如果是的一个因式，则的值为 ． 2.公因式提取不彻底 例2．（24-25八年级上·上海·期末）因式分解： ． 典型错解 解： =（x-y）2(3a+ax-ay) 错因分析 因式分解必须要分解到不能再分解为止。两个式子还有公因式没有提取出来导致错误。 正确解法 【答案】 【分析】本题考查了整式的因式分解，灵活选择因式分解的方法是解题的关键．首先观察式子中的，利用的关系，将其转化为的形式，然后提取公因式进行因式分解． 【详解】解： ， ， ， ， ， 故答案为：． 针对练习2 一、填空题 1．（24-25八年级上·上海普陀·期中）因式分解： ． 2．（24-25七年级上·上海·期末）分解因式： ． 二、解答题 3．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）因式分解：． 4．（24-25八年级上·山西吕梁期末）分解因式： (1)； (2) 5．（25-26八年级上·上海·期中）因式分解： 6．（25-26八年级上·全国·期中）已知x、y满足方程组，求的值． 3.公式法中公式识别不清 例3．（24-25八年级上·上海·期末）下列多项式能用公式法分解因式的有（     ） ① ② ③ ④ ⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 典型错解 D 错因分析 对于乘法公式的特征分辨不清出错。 正确解法 【答案】B 【分析】本题考查公式法分解因式，主要利用平方差公式和完全平方公式判断每个多项式是否符合公式形式． 【详解】解：∵ ① 不符合完全平方公式或平方差公式，故不能用乘法公式进行分解； ② ，符合完全平方公式，故能分解； ③ ，不符合平方差或完全平方公式，故不能用乘法公式进行分解； ④ ，符合平方差公式，故能分解； ⑤ ，符合完全平方公式，故能分解． ∴ 能用公式法分解的有②、④、⑤，共3个． 故选：B． 针对练习3 一、单选题 1．（24-25八年级上·山西晋城·期末）若多项式★可以因式分解，则★不能是（） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上山西吕梁期末）下列各式中，能用完全平方公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 二、解答题 3．（24-25八年级上·福建泉州·期末）因式分解： (1)； (2)． 4．（24-25八年级上·河南信阳·期末）分解因式 ： (1) (2) 5．（24-25八年级上·甘肃定西·期末）因式分解： (1)； (2) 6．（24-25八年级上·山东日照·期末）分解因式： (1)； (2)； (3)． 7．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）因式分解： (1)； (2)． 4.运用公式因式分解不彻底 例4．（24-25八年级上·河南开封·期末）因式分解： 典型错解： 解：设， 原式 错因分析 运用公式因式分解时，分解不彻底 正确解法 【答案】 【分析】本题考查了用完全平方公式和平方差公式分解因式，灵活运用完全平方公式分解因式是解题的关键． 中的还可以运用完全平方公式分解因式，即可得到答案； 【详解】解： 因为， 所以分解的最后结果为； 针对练习4 一、解答题 1．（24-25八年级上·福建泉州·期末）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)． 2．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）把下列多项式因式分解： (1)． (2)． (3)． 3．（24-25八年级上·广东·深圳期末）因式分解： (1)； (2)． 4．24-25八年级上·江苏苏州·期末）因式分解 (1) (2) 5．（24-25八年级上·山东威海·期末）因式分解： (1) (2) (3) 6．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）因式分解： (1)； (2)． 8．24-25八年级上·山东日照期末）因式分解： (1) (2)． 5.十字相乘法中符号判断错误 例5．（24-25八年级上·山东淄博·期末）因式分解： 典型错解 （x-5）(x+7) 错因分析 对于十字相乘法中的符号判断错误，当常数项为负时，对交叉相乘后一次项系数的符号处理错误。 正确解法 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，准确的计算是解决本题的关键． 利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 针对练习5 1．（25-26八年级上·湖南·期末）因式分解： (1) (2) 2．（25-26八年级上·上海·期末）因式分解： 3．（25-26八年级上·上海宝山·期中）因式分解：． 4（24-25八年级上·山东日照·期末）因式分解： 5．（24-25八年级上·江西景德镇·期末）下面是小华学习数学的一篇日记，请认真阅读，并完成后面的任务 2025年5月5日阴转晴 今天我有一个新发现，真是震撼！通过认真阅读“阅读与思考”的内容介绍，我发现在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示． 任务： (1)因式分解：_________． (2)若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a的所有可能的值． 6．（24-25八年级上·山西太原·期末）因式分解：． 7．（24-25八年级上·上海松江·期末）因式分解：． 6.分组分解法分组错误 例6．（24-25八年级上·上海·期末）因式分解：x2—6y+2x—3xy 典型错解 x2—6y+2x—3xy =（x2—6y）+(2x---3xy) 无法分解 错因分析 盲目分组，没有预料分组后必须有公因式或能够运用公式造成无法分解 正确解法 解: x2—6y+2x—3xy =(x2-3xy)+(2x—6y) =x(x--3y)+2(x—3y) =(x—3y)(x+2) 针对练习6 一、填空题 1．（25-26七年级上·上海宝山·期中）因式分解： ． 2．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）因式分解： ． 二、解答题 3．（24-25八年级上·上海宝山·期末）因式分解： 4．（24-25八年级上·上海·期末）因式分解： 5．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）因式分解： (1) (2) 6．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）因式分解 (1) (2) 7．（24-25八年级上·江苏南通·期末）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法． 例如：（）． (1)分解因式：； (2)若，都是正整数且满足，求的值； (3)若，为实数且满足，整式，求整式的最小值。 8．（24-25八年级上·上海·期中）下面是对整式因式分解的部分过程．解答下列问题： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （第五步） (1)在横线上继续完成对本题的因式分解． (2)在上述的因式分解过程中，用到因式分解的方法有 ．（写出两种方法） (3)请你尝试用以上方法对整式进行因式分解． 一、单选题 1．（25-26八年级上·北京西城·期中）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（  ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 二、解答题 3．（24-25八年级上·上海·期末）（1）因式分解：； （2）因式分解： 4．（24-25八年级上·云南红河·期末）因式分解： (1)； (2)． 5．（25-26八年级上·全国·期末）分解因式： 6．（24-25八年级上·江苏·期末）分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 7．（24-25八年级上·重庆綦江·期末）分解因式： (1)； (2)． 8．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 9．（24-25八年级上·山西·期末）阅读并解答 在分解因式时，李老师讲了如下方法：     第一步     第二步     第三步     第四步 (1)从第一步到第二步里面运用了什么公式______________． (2)从第二步到第三步运用了什么公式______________． (3)仿照上例分解因式． 10．（24-25八年级上·四川达州·期末）因式分解 (1) (2) 11．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）等式是数学学习中常见的代数模型． (1)利用多项式的乘法法则推导这个等式； (2)若x、p、q都是正数，请用图形面积给出它的几何解释（画出图形并做出解释）； (3)这个模型的逆向变形可以将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 例如：分解因式2．． 《十字相乘法分解因式》 先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数．（如图） 这样，我们也可以得到． 请根据上述方法，将多项式分解因式． 12．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）分解因式： (1)； (2)． 13．（24-25八年级上·陕西西安·期末）阅读下面的材料： 常用的分解因式的方法有提取公因式法，公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解．如，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前、后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．具体过程如下： 像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫作分组分解法． 利用分组分解法解决下面的问题： (1)分解因式：； (2)若多项式利用分组分解法可分解为，求的值． 14．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）利用完全平方公式和的特点可以解决很多数学问题．下面给出两个例子： 例1．分解因式：              例2：若，求M的最小值．                                 ∵               ∴当时，M的最小值是1． 仔细阅读上面例题，模仿解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当x、y为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值； (3)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求周长的最大值． 易 错 题 型 解 析 巩 固 提 高 易 错 题 型 归 纳 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026人教版八年级数学上期末冲刺专题 专题10 因式分解易错点详解(易错点归纳+易错解析+巩固提高)（解析版） 因式分解是初中代数的核心内容，也是后续学习分式、一元二次方程等重要知识的基础。为了帮助你更好地掌握这一章，现梳理了新人教版八年级数学第十七章“因式分解”的主要易错点。 易错领域 常见错误类型 概念理解错误 混淆因式分解与整式乘法：误将因式分解（化为积的形式）的过程做成了整式乘法（展开）。结果形式错误：结果不是几个整式的积的形式，或出现了非整式（如分式）。 提公因式法 公因式提取不彻底：只提取了字母部分，忽略了系数的最大公约数。提后漏项：当某项与公因式完全相同时，提取后该项位置应为“1”，容易被漏掉。符号错误：提取负公因式时，括号内各项未全部变号。 公式法 平方差公式应用不当：未能识别出平方项，或混淆了 和 所代表的整体。完全平方公式结构判断错误：无法准确识别符合完全平方公式的三项式。分解不彻底：使用公式后，得到的因式本身还能继续分解。 十字相乘法 符号判断错误：当常数项为负时，对交叉相乘后一次项系数的符号处理错误。验证步骤缺失：凑出数字后，未经验证就直接写出因式。 分组分解法 分组目的不明确：盲目分组，导致分组后无法提公因式或应用公式。分组后分解不彻底：完成分组提取后，未检查整个式子是否还能继续分解。 1.因式分解概念理解错误 例1．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）下列各式从左边到右边的变形，是因式分解且分解正确的是（    ） A． B． C． D． 典型错解 D 错因分析 因式分解的定义理解错误，因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，D选项不是整式的积 正确解法 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，据此判定即可求解，掌握因式分解的定义是解题的关键． 【详解】解：、该式从左边到右边的变形是整式乘法，不是因式分解，不合题意； 、该式左边和右边不相等，左边不能因式分解，变形错误，不合题意； 、该式从左边到右边是因式分解，符合题意； 、该式左边不能因式分解，不合题意； 故选：． 针对练习1 一、单选题 1．（24-25八年级上·广东深圳·期末）下列等式，从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解的定义，判断每个选项是否将多项式化为几个整式的积的形式．本题主要考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式是解题的关键． 【详解】解：选项A，，是对单项式的拆分，不是因式分解，故该选项不符合题意； 选项B，，是整式乘法，不是因式分解，故该选项不符合题意； 选项C，，是因式分解，故该选项符合题意； 选项D，，不是整式，原变形不是因式分解，故该选项不符合题意． 故选：C． 2．（24-25八年级上·四川成都·期末）下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握把一个多项式化成几个整式乘积形式叫因式分解是解题的关键． 根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式转化为几个整式的积的形式． 【详解】解：A、右边为，是乘积与常数的和，不符合因式分解的结果是积的形式，故此选项不符合题意． B、左边乘积式，右边多项式，不是因式分解，故此选项不符合题意． C、左边提取公因数得，进一步分解为，符合因式分解的定义，故此选项符合题意． D、左边的正确分解应为，而右边为，分解错误，故此选项不符合题意． 故选：C． 3．（23-24八年级上·四川自贡·期末）下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，根据定义逐一判定即可得答案，理解因式分解的定义是解题的关键． 【详解】解：、等式从左到右为整式乘法运算，不是因式分解，该选项不合题意； 、等式左边是单项式，从左到右为单项式变形，不是因式分解，该选项不合题意； 、等式右边是多项式，从左到右属于整式乘法运算，不是因式分解，该选项不合题意； 、等式从左到右是因式分解，该选项符合题意； 故选：． 4．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）下列变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的定义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式的积的形式．根据定义，判断各选项是否满足左边为多项式、右边为积的形式即可． 【详解】解：A中左边是积的形式，右边是多项式，是整式乘法，不是因式分解； B中左边是积的形式，右边是多项式，是整式乘法，不是因式分解； C中右边不是积的形式（含有减法），不是因式分解； D中左边是多项式，右边是，即积的形式，符合因式分解定义； 故选：D． 5．（25-26七年级上·上海·期中）下列从左到右变形，是因式分解的有（   ） ；；；；． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查因式分解，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可． 【详解】是单项式的变形，不是因式分解； 中等号右边不是积的形式，不是因式分解； 是乘法运算，不是因式分解； ，符合提取公因式法，是因式分解； 符合因式分解的定义，是因式分解； 综上所述，因式分解有2个． 故选：B 二、填空题 6．（25-26八年级上·山东泰安·期中）如果是的一个因式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，若是多项式的一个因式，则根据因式定理，当时多项式的值为0，代入求解即可． 【详解】解：若是多项式的一个因式，则根据因式定理，当时多项式的值为0，即： ， ， ， ， 故答案为：． 2.公因式提取不彻底 例2．（24-25八年级上·上海·期末）因式分解： ． 典型错解 解： =（x-y）2(3a+ax-ay) 错因分析 因式分解必须要分解到不能再分解为止。两个式子还有公因式没有提取出来导致错误。 正确解法 【答案】 【分析】本题考查了整式的因式分解，灵活选择因式分解的方法是解题的关键．首先观察式子中的，利用的关系，将其转化为的形式，然后提取公因式进行因式分解． 【详解】解： ， ， ， ， ， 故答案为：． 针对练习2 一、填空题 1．（24-25八年级上·上海普陀·期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．利用提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为： 2．（24-25七年级上·上海·期末）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，通过变形将式子化为具有公因式的形式是解题的关键．先将题中的变形为，然后提取公因式，最后对括号内的式子进行化简即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 二、解答题 3．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查的是因式分解，直接利用提公因式法分解因式即可． 【详解】解： ． 4．（24-25八年级上·山西吕梁期末）分解因式： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）将化为之后，提公因式即可； （2）将化为之后，提公因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．（25-26八年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式法进行因式分解是解题的关键． 先凑出公因式，然后再提取公因式即可解答． 【详解】解： ． 6．（25-26八年级上·全国·期中）已知x、y满足方程组，求的值． 【答案】1584 【分析】本题考查了因式分解的应用，整体思想求代数式的值等知识，正确分解因式是解题的关键；提取公因式得，再整体代入即可求解． 【详解】解： ， ∵x、y满足方程组 ∴原式． 3.公式法中公式识别不清 例3．（24-25八年级上·上海·期末）下列多项式能用公式法分解因式的有（     ） ① ② ③ ④ ⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 典型错解 D 错因分析 对于乘法公式的特征分辨不清出错。 正确解法 【答案】B 【分析】本题考查公式法分解因式，主要利用平方差公式和完全平方公式判断每个多项式是否符合公式形式． 【详解】解：∵ ① 不符合完全平方公式或平方差公式，故不能用乘法公式进行分解； ② ，符合完全平方公式，故能分解； ③ ，不符合平方差或完全平方公式，故不能用乘法公式进行分解； ④ ，符合平方差公式，故能分解； ⑤ ，符合完全平方公式，故能分解． ∴ 能用公式法分解的有②、④、⑤，共3个． 故选：B． 针对练习3 一、单选题 1．（24-25八年级上·山西晋城·期末）若多项式★可以因式分解，则★不能是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，多项式需能因式分解，选项A、B、C均可使多项式通过完全平方公式或平方差公式因式分解，而选项D引入四次项导致无法分解． 【详解】解：A、★=，多项式为，可分解． B、★=，多项式为，可分解． C、★=，多项式为，且，可分解． D、★=，多项式为，无法因式分解． 故选：D． 2．（24-25八年级上山西吕梁期末）下列各式中，能用完全平方公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据完全平方公式的特点判断即可； 【详解】不能用完全平方公式，故A不符合题意； 不能用完全平方公式，故B不符合题意； ，能用完全平方公式，故C符合题意； 不能用完全平方公式，故D不符合题意； 故答案选C． 【点睛】本题主要考查了因式分解公式法的判断，准确判断是解题的关键． 二、解答题 3．（24-25八年级上·福建泉州·期末）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，掌握提取公因式法与公式法是解题的关键． （1）先提取公因式，再利用公式法进行因式分解； （2）先提取公因数，再利用公式法进行因式分解． 【详解】（1）解： （2）解： 4．（24-25八年级上·河南信阳·期末）分解因式 ： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，可根据平方差公式以及提取公因式法来进行因式分解． （1）直接利用平方差公式进行因式分解，后续再整理化简即可． （2）先将变形为，提取公因式后，再对剩余部分整理合并，最终完成因式分解． 【详解】（1） ． （2） ． 5．（24-25八年级上·甘肃定西·期末）因式分解： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握综合运用提取公因式和公式法因式分解成为解答本题的关键． （1）先提取公因式3，然后再运用完全平方公式因式分解即可； （2）先提取公因式x，然后再运平方差公式因式分解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 6．（24-25八年级上·山东日照·期末）分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查因式分解，掌握知识点是解题的关键． （1）先提公因式，再根据完全平方公式进行因式分解即可； （2）先提公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可； （3）根据完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） 7．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，掌握提公因式法和公式法是解题的关键． （1）先提公因式，再采用公式法即可； （2）将代数式进行变形，再提取公因式，然后采用公式法进行因式分解． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 4.运用公式因式分解不彻底 例4．（24-25八年级上·河南开封·期末）因式分解： 典型错解： 解：设， 原式 错因分析 运用公式因式分解时，分解不彻底 正确解法 【答案】 【分析】本题考查了用完全平方公式和平方差公式分解因式，灵活运用完全平方公式分解因式是解题的关键． 中的还可以运用完全平方公式分解因式，即可得到答案； 【详解】解： 因为， 所以分解的最后结果为； 针对练习4 一、解答题 1．（24-25八年级上·福建泉州·期末）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键： （1）先提公因式，再利用平方差公式法进行因式分解即可； （2）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可； （3）先用平方差公式再利用完全平方公式进行因式分解。 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式． （3）原式 ． 2．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）把下列多项式因式分解： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握提取公因式、公式法进行因式分解是解决此题的关键． （1）先提取公因式，再利用完全平方公式进行分解； （2）先利用完全平方公式进行分解，再结合平方差公式进一步分解； （3）先将转化为，再结合平方差公式进一步分解，最后利用完全平方公式进行分解． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 3．（24-25八年级上·广东·深圳期末）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解． （1）先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可； （2）先根据完全平方公式将原式化为，再根据平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．24-25八年级上·江苏苏州·期末）因式分解 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）先提取公因式2，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．（24-25八年级上·山东威海·期末）因式分解： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解． （1）先将后三项提取负号构成完全平方式，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先运用平方差公式分解因式，再计算加减即可； （3）提取公因式即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 6．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可； （2）先用平方差公式，再用完全平方公式进行因式分解． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 8．24-25八年级上·山东日照期末）因式分解： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解． （1）直接提取公因式即可； （2）根据平方差公式分解因式，再根据完全平方公式分解即可． 【详解】（1）解： （2）解： 5.十字相乘法中符号判断错误 例5．（24-25八年级上·山东淄博·期末）因式分解： 典型错解 （x-5）(x+7) 错因分析 对于十字相乘法中的符号判断错误，当常数项为负时，对交叉相乘后一次项系数的符号处理错误。 正确解法 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，准确的计算是解决本题的关键． 利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 针对练习5 1．（25-26八年级上·湖南·期末）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解； （1）先分组，然后根据提公因式法，公式法和十字相乘法因式分解，即可求解； （2）先分组，再根据提公因式法，公式法和十字相乘法因式分解，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 2．（25-26八年级上·上海·期末）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解． 通过寻找两个数使其和为、积为10进行因式分解即可． 【详解】解：原多项式为， 寻找两个数，它们的和为，积为10． 10的因数对中，和满足条件． 因此，因式分解为． 3．（25-26八年级上·上海宝山·期中）因式分解：． 【答案】 【分析】此题考查因式分解的十字相乘法，将二次三项式分解为两个一次二项式的乘积；十字相乘法的关键是熟练的“拆两头，凑中间”；在中，准确找到两个合适的数，使得它们的和等于中间项的系数为，它们的积等于首项的系数和末项的系数的乘积，所以需要两个数，它们的积为 ，它们的和为，这两个数为和，再进行因式分解即可． 【详解】根据分析，使用十字相乘法得： 4（24-25八年级上·山东日照·期末）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查十字相乘法分解因式，多项式乘法． 利用十字相乘法分解因式，重新组合，按照多项式乘法计算，再用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解： 5．（24-25八年级上·江西景德镇·期末）下面是小华学习数学的一篇日记，请认真阅读，并完成后面的任务 2025年5月5日阴转晴 今天我有一个新发现，真是震撼！通过认真阅读“阅读与思考”的内容介绍，我发现在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”，因式分解二次三项式的公式为．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示． 任务： (1)因式分解：_________． (2)若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式，求整数a的所有可能的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】此题考查了因式分解——十字相乘法， （1）由一次项为：，则常数项为，再利用十字相乘法分解因式即可； （2）找出所求满足乘积为，相加为a的值即可． 【详解】（1）解：一次项为，常数项为， 则； （2）解：若二次三项式可以分解成两个一次因式乘积的形式， 则整数a的所有可能的值：， 即整数a的所有可能的值：． 6．（24-25八年级上·山西太原·期末）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解．原式整理得，利用十字相乘法分解得到，再利用十字相乘法继续分解即可． 【详解】解： ． 7．（24-25八年级上·上海松江·期末）因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查的是因式分解，掌握因式分解的方法是解决问题的关键． 解法1：先计算整式的乘法，再合并同类项，最后利用十字乘法分解因式即可． 解法2：将当成整体，直接利用十字乘法分解因式即可． 【详解】解：解法1： ． 解法2： ． 6.分组分解法分组错误 例6．（24-25八年级上·上海·期末）因式分解：x2—6y+2x—3xy 典型错解 x2—6y+2x—3xy =（x2—6y）+(2x---3xy) 无法分解 错因分析 盲目分组，没有预料分组后必须有公因式或能够运用公式造成无法分解 正确解法 解: x2—6y+2x—3xy =(x2-3xy)+(2x—6y) =x(x--3y)+2(x—3y) =(x—3y)(x+2) 针对练习6 一、填空题 1．（25-26七年级上·上海宝山·期中）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解－分组分解法、提公因式法，正确找出可提取的公因式是解题关键． 利用分组分解法，将原式重新组合为，再进行因式分解，前两项提公因式a，后两项提公因式，再应用提公因式法分解即可. 【详解】解： 故答案为： 2．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）因式分解： ． 【答案】 【分析】此题考查了运用分组法和公式法进行因式分解的能力，先将该多项式分组，再运用公式法进行因式分解，关键是能准确确定分解方法． 【详解】解：， 故答案为：． 二、解答题 3．（24-25八年级上·上海宝山·期末）因式分解： 【答案】 【分析】此题考查了因式分解中的分组分解法，解题的关键是合理分组后提取公因式． 首先将原式变形为，然后利用分组分解法分别提公因式得到，进一步提公因式分解即可． 【详解】 ． 4．（24-25八年级上·上海·期末）因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 先分组分解，再用提取公因式法分解． 【详解】解： ． 5．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分组分解法，公式法进行分解因式，十字相乘法分解因式．正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把原式整理得，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答． （2）先把原式整理得，再运用十字相乘法进行因式分解，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）因式分解 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了综合提公因式法与公式法，分组分解法因式分解，熟练掌握相关运算方法为解题关键． （1）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可； （2）先利用完全平方公式，再利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： （2） ． 7．（24-25八年级上·江苏南通·期末）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法． 例如：（）． (1)分解因式：； (2)若，都是正整数且满足，求的值； (3)若，为实数且满足，整式，求整式的最小值。 【答案】(1) (2)或 (3)的最小值是 【分析】本题考查了分组分解法进行因式分解，熟练掌握运用提公因式法以及公式法进行因式分解是解题的关键． （1）先分组，再运用提公因式法进行因式分解； （2）先将变形为，即，然后再解决本题． （3）先将变形为，再代入，然后进行变形，得到，最后根据非负数的性质得出的最小值． 【详解】（1）解： （2）解：∵ ∴ ∴ ∴ ，都是正整数 ，且、都是整数， 或 或 或 解得或其他两种不符合，为正整数，舍去 故：或； （3）由得代入 ， ∵， ∴， ∴的最小值是． 8．（24-25八年级上·上海·期中）下面是对整式因式分解的部分过程．解答下列问题： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （第五步） (1)在横线上继续完成对本题的因式分解． (2)在上述的因式分解过程中，用到因式分解的方法有 ．（写出两种方法） (3)请你尝试用以上方法对整式进行因式分解． 【答案】(1)，； (2)分组分解法，提公因式法，公式法（任选其二即可）； (3)． 【分析】本题考查了分解因式． （1）先利用平方差公式把第三步式子分解因式，再利用提公因式法分解因式即可； （2）根据所给因式分解过程即可得到答案； （3）先把原式变形为，再分组得到，据此分解因式即可． 【详解】（1）解：原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （第五步） 故答案为：，； （2）解：第二步用了分组分解法，第三步用了提公因式法，第四步运用公式法； 故答案为：分组分解法，提公因式法，公式法（任选其二即可）； （3）解： ． 一、单选题 1．（25-26八年级上·北京西城·期中）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的定义． 因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式．选项A是整式乘法，选项B右边不是积的形式，选项C等式不成立，选项D符合定义． 【详解】解：∵ 因式分解要求左边是多项式，右边是整式的积， 选项A: 是从积到多项式，是乘法运算，不是因式分解； 选项B: 右边不是积的形式； 选项C: 但左边 ，右边 ，两者不相等，故错误； 选项D: 右边是积的形式，且等式成立； 故选：D． 2．（25-26八年级上·湖南衡阳·期中）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式．根据定义，逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵因式分解是将多项式化为整式的积的形式， A．，右边是积的形式，且等式成立，故该选项正确； B．，等式不成立，且正确因式分解应为，故该选项错误； C．，是从积到多项式，是整式乘法，不是因式分解，故该选项错误； D．，右边不是积的形式，不是因式分解，故该选项错误． 故选：A． 二、解答题 3．（24-25八年级上·上海·期末）（1）因式分解：； （2）因式分解： 【答案】（1）（2） 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键． （1）原式先分组，再运用因式分解法分解即可； （2）把看作整体，运用十字相乘法分解为，再分别运用完全平方公式和十字相乘法分解即可． 【详解】解：（1） （2） 4．（24-25八年级上·云南红河·期末）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了综合提公因式和公式法分解因式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用提公因式进行因式分解，即可作答． （2）先进行提公因式，再进行平方差公式法进行因式分解，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．（25-26八年级上·全国·期末）分解因式： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解： ． 6．（24-25八年级上·江苏·期末）分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了整式的因式分解，掌握提公因式法和公式法是解决本题的关键． （1）先利用相反数的意义把化为，再提取公因式； （2）利用完全平方公式分解因式； （3）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式； （4）两次利用平方差公式分解因式； （5）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 7．（24-25八年级上·重庆綦江·期末）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法． （1）用提取公因式法分解即可； （2）整理后用完全平方公式分解即可． 【详解】（1） ； （2） ． 8．（25-26七年级上·上海·期中）因式分解： 【答案】 【分析】本题重点考查完全平方公式分解因式和提公因式法分解因式，完全平方公式分解因式需要运用完全平方公式，完全平方公式为，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法，熟练掌握因式分解的技巧是本题解题的关键． 先对前三项运用完全平方公式，后两项提取公因式，最后再提取公因式，即可完成计算． 【详解】解： ． 9．（24-25八年级上·山西·期末）阅读并解答 在分解因式时，李老师讲了如下方法：     第一步     第二步     第三步     第四步 (1)从第一步到第二步里面运用了什么公式______________． (2)从第二步到第三步运用了什么公式______________． (3)仿照上例分解因式． 【答案】(1)完全平方公式 (2)平方差公式 (3) 【分析】此题考查了因式分解，完全平方公式，平方差公式的运用，熟练掌握相关运算方法是解本题的关键． （1）利用完全平方公式的结构特点判断即可； （2）利用平方差公式的结构特点判断即可； （3）仿照以上方法将原式分解即可． 【详解】（1）解：根据题意，从第一步到第二步里面运用了完全平方公式， 故答案为：完全平方公式 （2）根据题意，从第二步到第三步运用了平方差公式， 故答案为：平方差公式 （3） 10．（24-25八年级上·四川达州·期末）因式分解 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因式，再用完全平方式因式分解． （2）先用平方差公式因式分解，再用完全平方公式因式分解． 【详解】（1） （2） 【点睛】此题考查了因式分解，解题的关键是熟悉因式分解的基本步骤1．提取公因式；2．套用公式． 11．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）等式是数学学习中常见的代数模型． (1)利用多项式的乘法法则推导这个等式； (2)若x、p、q都是正数，请用图形面积给出它的几何解释（画出图形并做出解释）； (3)这个模型的逆向变形可以将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 例如：分解因式2．． 《十字相乘法分解因式》 先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项的系数．（如图） 这样，我们也可以得到． 请根据上述方法，将多项式分解因式． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法，因式分解． （1）多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，由此计算即可； （2）画出图形，根据面积的不同求法证明即可； （3）仿照题中给出的方法分解因式即可． 【详解】（1）解：根据多项式的乘法：； （2）解：如图所示为所画的图形， 大长方形的面积有两种表示方法：一种整体表示为：长宽， 另一种是四块小长方形面积之和：， 即； （3）解：如图， ∴． 12．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】该题主要考查了换元法进行因式分解，解题的关键是掌握因式分解的常见方法． （1）设，将原式变形再运用完全平方公式和十字相乘法求解即可； （2）设，将原式变形再运用十字相乘法求解即可； 【详解】（1）解：设 原式 （2）解：设， 原式 ． 13．（24-25八年级上·陕西西安·期末）阅读下面的材料： 常用的分解因式的方法有提取公因式法，公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解．如，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前、后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．具体过程如下： 像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫作分组分解法． 利用分组分解法解决下面的问题： (1)分解因式：； (2)若多项式利用分组分解法可分解为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分组分解法分解因式．解题关键是正确分组，使得分组后可以分别进行因式分解，并且分解后能出现新的公因式，进而提取公因式完成整个多项式的因式分解． （1）进行分组为，通过提取公因式，乘法分配律的逆运算进行因式分解； （2）先用整式乘法还原，再由对应项系数相等得出、的值，进而求出． 【详解】（1）解： ． （2）， 而 比较系数可得， ． 14．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）利用完全平方公式和的特点可以解决很多数学问题．下面给出两个例子： 例1．分解因式：              例2：若，求M的最小值．                                 ∵               ∴当时，M的最小值是1． 仔细阅读上面例题，模仿解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当x、y为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值； (3)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求周长的最大值． 【答案】(1)； (2)，； (3)13． 【分析】本题考查因式分解，偶次方的非负性，熟练掌握配方法是解题的关键． （1）把原式变换成满足完全平方公式的特点的式子，可解得答案； （2）把原式变换成满足完全平方公式的特点的式子，可解得答案； （3）把原式变换成满足完全平方公式的特点的式子，求出a、b，再根据两边之和大于第三边的条件判断出c的最大值，可解得答案； 【详解】（1） = = = （2） = = 当 ， 时，多项式有最小值为3 （3）， 变形为 ， 整理得， 根据两边之和大于第三边的判定， 又因为c是正整数，所以 所以周长的最大值= 巩 固 提 高 易 错 题 型 解 析 易 错 题 型 归 纳 学科网（北京）股份有限公司 $