3 直角三角形（课件）2025-2026学年北师大版八年级数学下册

该初中数学课件围绕直角三角形的性质、判定、勾股定理及其逆定理、互逆命题展开，通过复习直角三角形定义和已学性质导入，以“两锐角互余为什么”“勾股定理反过来怎么叙述”等探究问题搭建学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于采用探究式教学，通过勾股定理的“赵爽弦图”证明培养逻辑推理（数学思维），互逆命题辨析发展抽象能力（数学眼光），例题结合坐标问题（如求点B坐标）用数学语言表达现实世界。小结归纳知识联系，帮助学生构建知识体系，教师可借助清晰流程提升教学效果。

北师大版 八年级下册 3.直角三角形 第1课时 直角三角形的性质与判定 1 学习目标 1.会证明直角三角形的性质定理和判定定理，并能应用性质进行计算和证明。 2.能写出一个命题的逆命题，并会判断其真假，会识别两个互逆命题。 3.通过勾股定理及其逆定理的证明，体会同一个定理可以从不同角度，用不同方法加以证明。 2 复习回顾 1.直角三角形的定义是什么？ 2.我们探索过直角三角形的哪些性质？ 有一个角是直角的三角形叫直角三角形。 直角三角形的两个锐角互余。 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方(勾股定理)。 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 进行新课 探究1：直角三角形的两个锐角互余，为什么？ 根据三角形内角和定理，即可得到“直角三角形的两锐角互余”。 如果一个三角形有两个角互余，那么这个三角形是直角三角形吗？ A B C 如图，在△ABC中，∠A+∠C=90°，那么△ABC是直角三角形吗？ 在△ABC中，∵∠A+∠B+∠C=180°， 又∠A+∠C=90°， ∴∠B=90°。 于是△ABC是直角三角形。 几何语言： 在Rt△ABC中， ∵∠C=90°， ∴∠A+∠B=90° 定理 直角三角形的两个锐角互余。 定理 有两个角互余的三角形是直角三角形。 几何语言： 在△ABC中， ∵∠A+∠B=90°， ∴∠C=90°， ∴△ABC是直角三角形 直角三角形的性质 直角三角形的判定 探究2：你能说出勾股定理的内容并证明吗？ 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 即 c2 = a2 + b2 a b c 你能利用基本事实和已有定理，证明勾股定理吗？ D E F G H I A B C a b c 勾股定理的证明方法之一： 如图，在△ABC 中，∠C = 90°， BC = a，AC = b，AB = c。 分别以 Rt△ABC 的三边为边作正方形AHIB，ACDE，CBFG。 连接 EB，CH。过点 C 作 AB 的垂线，分别交 AB 和 HI 于点 M，N。 M N 正方形ACDE、长方形AHNM、长方形MNIB，以及△EAB和△CAH的面积分别记作S正方形ACDE，S长方形AHNM， S长方形MNIB，S△EAB，S△CAH。 D E F G H I A B C a b c ∵EA = CA， ∠EAB =∠CAH = 90°+∠CAB， AB = AH， ∴△EAB ≌△CAH（SAS）。 又∵S正方形 ACDE = 2S△EAB， S长方形AHNM = 2S△CAH， ∴b2 = S长方形AHNM。 同理 a2 = S长方形MNIB。 ∴ c2 = a2 + b2。 M N 练一练 如图，A(8，0)，C(－2，0)，以点A为圆心，AC的长为半径作弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为________。 (0，6) 尝试·交流 探究3：你能用基本事实和已有定理证明这个结论吗？ 勾股定理反过来，怎么叙述呢？ 在一个三角形中，当两条边的平方和等于第三边的平方时，这个三角形是直角三角形。 a b c A B C 已知：如图，在△ABC 中，AB2 + AC2 = BC2。 求证：△ABC 是直角三角形。 要证明△ABC是直角三角形，一般需要证明有一个角是直角。这里的已知条件是边的关系，由此你能想到什么？ 借助边的关系，你能构造一个直角三角形，使它与△ABC全等吗？ 分析： 证明：如图，作 Rt△A'B'C'， 使∠A' = 90°，A'B' = AB，A'C' = AC， 则 A'B'2 + A'C'2 = B'C'2（勾股定理）。 ∵AB2 + AC2 = BC2， ∴BC2 = B'C'2。 ∴BC = B'C'。 ∴△ABC ≌ △A'B'C'（SSS）。 ∴∠A =∠A' = 90° （全等三角形的对应角相等）。 因此，△ABC 是直角三角形。 A' B' C' 已知：如图，在△ABC 中，AB2 + AC2 = BC2。 求证：△ABC 是直角三角形。 A B C 定理 如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 A B C 几何语言： 在△ABC中，∵AC2+BC2=AB2， ∴△ABC是直角三角形，且∠C=90° 勾股定理逆定理： 练一练 如图，在△ABC中，BC=6，AC=8，AB=10，则△ABC的面积是______。 24 观察·交流 （1）观察下面的第一个定理和第二个定理，它们的条件和结论之间有怎样的关系？第三个定理和第四个定理呢？与同伴进行交流。 直角三角形的两个锐角互余。 有两个角互余的三角形是直角三角形。 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 两个定理的条件和结论互换了位置 （2）观察下面三组命题： 如果两个角是对顶角，那么它们相等； 如果两个角相等，那么它们是对顶角。 如果a=b，那么a2=b2； 如果a2=b2，那么a=b。 一个三角形中相等的边所对的角相等； 一个三角形中相等的角所对的边相等。 上面每组中两个命题的条件和结论也有类似的关系吗？ 如果两个角是对顶角，那么它们相等； 如果两个角相等，那么它们是对顶角。 条件 结论 结论 条件 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题。 互逆命题 如果把其中一个命题称为原命题，那么另一个命题就称为它的逆命题。 原命题 逆命题 尝试·思考 你能写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题吗？它们都是真命题吗？ 逆命题：如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等。 原命题是真命题，逆命题是假命题。 原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题。 互逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。 直角三角形的两个锐角互余。 有两个角互余的三角形是直角三角形。 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 互逆定理 互逆定理 你还能举出一些互逆定理的例子吗？ 练一练 下列说法中错误的是（ ） A.任何一个命题都有逆命题 B.一个真命题的逆命题可能是真命题 C.一个定理不一定有逆定理 D.任何一个定理都没有逆定理 D 归纳：定理与逆定理的关系 命题 定理 逆命题 逆定理 条件、结论互换 正确 正确 条件、结论互换后仍为真命题 随堂练习 1.如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形。若AB=10，AH=6，则EF的长为（ ） A.8 B.6 C.4 D.2 D 【教材P26 随堂练习 第1题】 2.在△ABC中，已知∠A=∠B=45°，BC=3，求AB的长。 解：在△ABC中，∠A=∠B=45°，BC=3， ∴∠C=90°，AC=BC=3。 ∴△ABC是直角三角形， ∴AB2=AC2+BC2。 ∴AB= 。 证明：∵BC=10cm，BC边上的中线AD=12cm， ∴BD=5cm， 在△ABD中，∵AB2=BD2+AD2， ∴△ABD是直角三角形，∠ADB=90°∴∠ADC=90°， 在Rt△ADC中，AC2=AD2+DC2。 ∴AC=13cm， ∴AB=AC。 【教材P27 随堂练习 第2题】 3.已知：在△ABC中，AB=13cm，BC=10cm，BC边上的中线AD=12cm。求证：AB=AC。 4. 说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假。 （1）四边形是多边形； （2）两直线平行，同旁内角互补； （3）如果ab=0，那么a=0，b=0。 【教材P26 随堂练习 第3题】 解：（1）多边形是四边形。原命题是真命题，逆命题是假命题。 （2）同旁内角互补，两直线平行。原命题是真命题，逆命题是真命题。 （3）如果 a = 0，b = 0，那么 ab = 0。原命题是假命题，逆命题是真命题。 课堂小结 定理 直角三角形的两个锐角互余。 定理 有两个角互余的三角形是直角三角形。 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 定理 如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 原命题 逆命题 原命题 逆命题 互逆命题 互逆命题 布置作业 1.从教材习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 $北师大版 八年级下册 第2课时 直角三角形全等的判定 1 学习目标 1.掌握“斜边、直角边(HL)”的判定方法。 2.能初步应用“斜边、直角边”条件判定两个直角三角形全等。 3.能用尺规解决“已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形”的问题。 2 复习回顾 如图，AB⊥BE于点B，DE⊥BE于点E。 (1)若∠A=∠D，AB=DE，则根据______，△ABC≌△DEF； A B C F E D (2)若∠A=∠D，BC=EF，则根据______，△ABC≌△DEF； (3)若AB=DE，BC=EF，则根据______，△ABC≌△DEF； (4)若AB=DE，BC=EF，AC=DF，则根据______，△ABC≌△DEF。 ASA AAS SAS SSS 进行新课 两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等吗？ 如果其中一组等边的对角都是直角呢？ A B C F E D 如图，AB⊥BE于点B，DE⊥BE于点E。若AB=DE，AC=DF，则Rt△ABC 与Rt △DEF是否全等？ 尝试·交流 已知斜边和一条直角边，如何作出这个直角三角形呢？ （1）假设满足条件的直角三角形已经作出，你能画出这个直角三角形的草图吗？ （2）你是按照怎样的步骤画这个草图的？先画一画，再用尺规试一试，并与同伴进行交流。 如图，已知线段 a，c（a＜c），用尺规作Rt△ABC，使∠C =90°，AB = c，BC = a。 a c 1.作射线CN。 2.过点C作射线CN的垂线CM。 3.在射线CM上截取CB=a。 4.以点B为圆心，以线段c的长为半径作弧，交射线CN于点A。 5.连接AB。 △ABC就是所要作的直角三角形。 C N M B A 猜想：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 1.分析命题： 条件：两个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等。 结论：这两个直角三角形全等。 2.数学语言： 已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′。 求证：△ABC≌△A′B′C′。 A C B A' C' B' 已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′。 求证：△ABC≌△A′B′C′。 A C B A' C' B' 证明：在△ABC 中， ∵∠C = 90°， ∴BC2 = AB2 – AC2（勾股定理）。 同理，B'C'2 = A'B'2 – A'C'2。 ∵AB = A'B'，AC = A'C'， ∴BC = B'C'。 ∴△ABC ≌△A'B'C'（SSS）。 定理 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 几何语言： 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中， ∵∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′， ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL） 这一定理可以简述为“斜边、直角边”或“HL”。 A C B A' C' B' 直角三角形全等的判定： 判定两个直角三角形全等的思路： 已知对应相等的元素 可选择的判定方法 需寻找的条件 一锐角 斜边(H) 一直角边(L) “ASA”或“AAS” 一边对应相等 “HL”或“AAS” 一条直角边对应相等或一锐角对应相等 “HL”或“SAS” 或“ASA”或“AAS” 另一边对应相等或一锐角对应相等 例 如图，有两个长度相等的梯子，左边梯子竖直方向的高度 AC 与右边梯子水平方向的长度 DF 相等，两个梯子的倾斜角∠CBA 和∠EFD 的大小有什么关系？ 解：根据题意，可知 ∠BAC =∠EDF = 90°， BC = EF，AC = DF， ∴Rt△BAC ≌Rt△EDF（HL）。 ∴∠CBA =∠DEF（全等三角形的对应角相等）。 ∵∠DEF +∠EFD = 90°（直角三角形的两个锐角互余）， ∴∠CBA +∠EFD = 90°。 练一练 1. 如图，已知点A，D，C，F在同一条直线上，∠B=∠E=90°，AB=DE，若用“HL”的方法判定Rt△ABC≌Rt△DEF，则添加的条件可以是____________________。 AD=CF (或AC=DF) 练一练 2. 如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB于点D，BC=BD。如果AC=3cm，那么AE+DE的长为（ ） A. 2 cm B.3 cm C.4 cm D. 5 cm B 随堂练习 1.如图，AF=BE，∠A=∠B=90°，补充下列条件后仍不能判定△ACE≌△BDF的是（ ） A.AC=BD B.CE=DF C.AC // BD D.CE // DF C 【教材P30 随堂练习 第1题】 2.判断下列命题的真假，并说明理由： （1）两个锐角分别相等的两个直角三角形全等； （2）斜边及一锐角分别相等的两个直角三角形全等； （3）两条直角边分别相等的两个直角三角形全等； （4）一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等。 解：（1）假命题；（2）真命题；（3）真命题；（4）真命题。 【教材P30 随堂练习 第2题】 3.如图，两根长度均为12m的绳子，一端系在旗杆上的A点，另一端拉直后分别固定在地面的两个木桩（用B、C两点表示）上，两个木桩到旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。 解：根据题意，可知∠AOB =∠AOC = 90°， AB = AC，AO = AO， ∴Rt△AOB≌Rt△AOC（HL）。 ∴BO =CO（全等三角形的对应边相等）。 即两个木桩到旗杆底部的距离相等。 4.如图，AD，BC相交于点O，AC=BD，∠C=∠D=90°。 （1）求证：△AOC≌△BOD； （2）△ABC和△BAD全等吗？请说明理由。 （1）证明：在△AOC和△BOD中， ∵∠AOC= ∠BOD，∠C= ∠D=90°，AC=BD， ∴△AOC≌△BOD（AAS）。 （2）解：△ABC和△BAD全等。理由： 在Rt△ABC和Rt△BAD中， ∵AB=BA，AC=BD， ∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）。 课堂小结 定理 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 A C B A' C' B' 布置作业 1.从教材习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 $