第2章 直线与圆的位置关系（章节复习检测中等卷）-2025-2026学年浙教版数学九年级下册优选题练习卷

2025-2026学年浙教版数学九年级下册章节复习检测中等卷 第2章 直线与圆的位置关系 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.46 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请选择正确选项前的字母代号） 1．（2025·重庆·二模）如图，在中，，经过点C且与相切于点B，交于点D，连接．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等边对等角．利用切线的性质求得，求得，利用等边对等角求得，利用三角形内角和定理求得，利用圆周角定理求得，再利用等边对等角和圆周角定理即可求解． 【规范解答】解：连接， ∵是的切线， ∴即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2．（2025·海南省直辖县级单位·二模）如图，是的直径，C为上一点，过点C的切线与过点A且垂直于该切线的直线相交于点D，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了切线的性质，圆周角定理，四边形内角和，由题意可得，再根据圆周角定理可得，由切线的性质得到，利用四边形内角和求出，由即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的切线，， ∴，， ∴， ∴． 故选：D． 3．（24-25九年级下·上海·月考）已知同一平面内有和点A与点B，如果的半径为，线段，线段，那么直线与⊙的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离或相切 D．相交或相切 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了直线与圆的位置关系，要确定直线与圆的位置关系，要比较圆心到直线的距离与半径的大小，从而可确定位置关系． 根据圆心到直线的距离与圆的半径大小的关系进行判断，即当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交；圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切；圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离． 【规范解答】解：∵的半径为，线段，线段 ∴点在以为圆心长为半径的圆上，点在以O圆心长为半径的上 当时，如左图所示，由知，直线与相切； 当与不垂直时，如右图所示，过点作于点，则所以直线与相交； ∴直线与的位置关系为相交或相切， 故选：D． 4．（2025·山西朔州·三模）如图，为的弦，是的直径，过点B作的切线交的延长线于点D，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了切线的性质，圆的基本性质．连接，利用半径相等结合等边对等角求得，再利用三角形的外角性质求得，再根据切线的性质即可求解． 【规范解答】解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， 故选：D． 5．（24-25九年级下·广东广州·期中）如图，点为的内心，，，，将平移，使其顶点与点重合，则图中阴影部分的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了三角形内心的定义、平移的性质及角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形的内心是角平分线的交点是关键． 连接，，根据点为的内心，可得和分别平分和，再根据平移，使其顶点与点重合，可得，可得角相等，从而得等腰三角形，进而可得图中阴影部分的周长． 【规范解答】解：如图，连接，， 点为的内心， 和分别平分和， ，， 将平移，使其顶点与点重合， ，， ，， ，， ，， ． 所以图中阴影部分的周长为． 故选：B． 6．（24-25九年级下·山东·期末）发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图是发动机的实物剖面图，图是其示意图．图中，点在直线上往复运动，推动点做圆周运动形成，与表示曲柄连杆的两直杆，点、是直线与的交点；当点运动到时，点到达；当点运动到时，点到达．若，，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C．当与相切时， D．当时， 【答案】C 【思路引导】本题考查了线段的和与差、勾股定理、切线的性质，根据圆的性质可知，线段之间的关系可以得到：；根据线段之间的关系可求，，从而可以求出；根据切线的定义可知，利用勾股定理可以求出；利用勾股定理可以求出，所以可得，根据可得：，所以． 【规范解答】解：A选项：点运动到时，点到达，， ， 又， ， ， 故A选项错误； B选项：点运动到时，点到达，， ， ， ， ， 故B选项错误； C选项：如下图所示， ，， ， 设，则， 与相切， ， 在中，， ， 解得：，(不符合题意，舍去)， 故C选项正确； D选项：如下图所示，当时，， 在中，， ， ，， , 故D选项错误． 故选：C． 7．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点在线段上，与轴交于、两点，当与该一次函数的图象相切时，的长度是（    ） A．3 B．4 C．6 D．2 【答案】D 【思路引导】本题考查了一次函数的几何应用，切线的性质，勾股定理，由一次函数解析式可得，，即得，设与直线相切于点，连接，可得，， 由可得，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【规范解答】解：当时，；当时，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 如图，设与直线相切于点，连接， ∴，， 设， ∵， ∴， 即， 解得， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 8．（24-25九年级下·广东广州·月考）如图，是一个不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿，分别相切于点，，不倒翁的鼻尖正好是圆心，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了等边对等角、三角形内角和定理、切线的性质，连接，由等边对等角可得，由三角形内角和定理可得，由切线的性质可得，由此即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【规范解答】解：如图，连接， ， ∵， ∴， ∴， ∵不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿，分别相切于点，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 9．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）如图，为的直径，点P在的延长线上，过点P作的切线，点C为切点，，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．3.5 【答案】B 【思路引导】此题考查的是切线的性质、解直角三角形等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．连接，根据切线的性质及三角函数的定义可得，得出，根据勾股定理得出，进而可得出答案． 【规范解答】解：连接， ∵是的切线， ∴， ∵为的直径，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 10．（2025·河南·模拟预测）数学家研究发现：当弦一定时，圆越小，该弦所对的优弧上的圆周角就越大，劣弧上的圆周角就越小．已知点、的坐标分别是，点为轴正半轴上一动点，当最大时，点的坐标是（    ） A．(4，0) B． C． D．(2，0) 【答案】B 【思路引导】根据切线性质，勾股定理，圆的性质，解答即可. 【规范解答】解：根据题意，当的外接圆与x相切于点C时，最大， 设外接圆的圆心为D，连接，，过点D作于点E， ∵点、的坐标分别是， ∴点D一定在线段的垂直平分线上， 点， 故， 根据切线性质， ∴， ∴四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B. 【考点剖析】本题考查了勾股定理，垂径定理，切线的性质，圆的性质，矩形的判定和性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键. 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（2025·山东滨州·二模）如图，已知点在上，，直线与相切，切点为，且为弧的中点，则等于 ．   【答案】/18度 【思路引导】本题考查了切线的性质，三角形内角和以及等腰三角形的性质，根据为的中点，三角形内角和可求出，再根据切线的性质即可求解． 【规范解答】解：，为弧的中点， ， ， ， ∵直线与相切， ， ， 故答案为：． 12．（2025·河南平顶山·二模）如图，在中，O为边上一点，以点O为圆心，的长为半径作与边相切，D为边的中点，连接．若，则的半径长为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查切线的性质，直角三角形斜边上的中线，解直角三角形，过点O作的垂线，垂足为E，切线的性质得到，根据直角三角形斜边上的中线，得到，勾股定理求出的长，根据，列出比例式进行求解即可． 【规范解答】解：如图，过点O作的垂线，垂足为E． ∵与边相切， ∴． 在中， ∵D为边的中点， ∴， ∵， ∴， ， 设的半径长为r， ∴， 解得 故答案为：． 13．（2025·广东广州·二模）如图，分别与圆相切于两点，点为圆上一点，连接，若，则的度数为 ． 【答案】/80度 【思路引导】本题主要考查了圆周角定理，切线的性质，连接，由圆周角定理得到，由切线的性质得到，据此根据四边形内角和定理即可求出答案． 【规范解答】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵分别与圆相切于两点， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（2025·浙江嘉兴·二模）如图，已知与相切于A点，连结，，若，则的大小为 ． 【答案】40 【思路引导】本题考查了切线的性质，三角形的内角和定理，根据切线的性质和三角形的内角和定理即可得到结论． 【规范解答】解：∵与相切于A点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：40． 15．（24-25九年级下·浙江绍兴·月考）如图，在中，，，点在上，以为半径的圆与相切于点．是边上的动点，当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】3或2.4 【思路引导】根据切线的性质定理，勾股定理，直角三角形的等面积法解答即可．本题主要考查了切线的性质和勾股定理，熟练掌握这些性质定理是解决本题的关键． 【规范解答】解：连接， ①当点与点重合时，为， 设圆的半径， ∴，， ∵， 在中，根据勾股定理可得：， 解得：， 即； ②当时，过点作于点， ∵， ∴ ， ∵，，， ∴， 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 16．（2025·浙江·模拟预测）如图，的半径为1，圆心角，过点A作的切线，交的延长线于点C，过点B作于点D，记，，则 ．（用含m，n的代数式表示） 【答案】 【思路引导】本题考查的是切线的性质、相似三角形的判定与性质，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 根据切线的性质得到，得到，证明 ，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算得到答案． 【规范解答】解：是的切线， ， ， ， ， ，即， 解得：， 故答案为：． 17．（2025·吉林长春·三模）如图，以点为圆心的两个同心圆中，为大圆的直径，交小圆于两点（点靠近点），大圆的弦与小圆相切于点，连结．给出下面五个结论：①；②；③；④当时，若，则阴影部分的面积和为；⑤连结，当时，与面积相等．上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】①②⑤ 【思路引导】题目主要考查切线的性质，垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质及中位线的判定和性质等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键 根据题意，利用垂径定理及切线的性质即可判断①；利用切线的性质及各角之间的关系判断②；利用相似三角形的判定和性质判断③；利用圆周角定理及等边三角形的判定和性质，中位线的性质定理判断④；结合图形之间的面积关系即可判断⑤． 【规范解答】解：连接，如图所示： ∵大圆的弦与小圆相切于点， ∴，，故①正确，符合题意； ∴， ∵是小圆的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确，符合题意； ∵，， ∴， ∴，即，故③错误，不符合题意； 当时，则， 连接， ∴， ∴，为等边三角形， ∵点P、O为中点， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积和为：，故④错误，不符合题意； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴面积，面积， ∵面积， 面积， ∴面积面积， 故⑤正确，符合题意； 综上可得：正确的结论是①②⑤， 故答案为：①②⑤． 18．（19-20九年级上·江西赣州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，半径为1的的圆心从点（点在直线上）出发以每秒个单位长度的速度沿射线运动，设点运动的时间为秒，则当 时，与坐标轴相切． 【答案】1或3或5 【思路引导】本题考查了切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理．设与坐标轴的切点为，根据已知条件得到，，，求得，，，证明出是等腰直角三角形，，然后分三种情况进行讨论：①当与轴相切时，②如图，与轴和轴都相切时，③当点只与轴相切时． 【规范解答】解：设与坐标轴的切点为， 直线与轴、轴分别交于点、，点， 时，， 时，， 时，， ，，， 根据勾股定理：，，， 是等腰直角三角形，， ①当与轴相切时， 点是切点，的半径是1， 轴，， 是等腰直角三角形， ，， ， 点的速度为每秒个单位长度， ； ②如图，与轴和轴都相切时， ， ， 点的速度为每秒个单位长度， ； ③当点只与轴相切时， ， ， 点的速度为每秒个单位长度， ． 综上所述，则当或3或5秒时，与坐标轴相切， 故答案为：1或3或5． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（2025·江苏无锡·三模）如图，在的边上取一点O，以O为圆心，为半径画，与边相切于点D，，连接交于点E，连接，并延长交线段于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）连接，由切线的性质可知，再根据题意易证，即得出，即证明出是的切线； （2）设的半径为r，由，，可得，，可得，再进一步求解即可. 【规范解答】（1）解：如图，连接， 与边相切于点D， ，即， ，，， ， ， 又∵是半径， ∴是的切线； （2）解：设的半径为r， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴的半径为. 【考点剖析】本题考查切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形．作合适的辅助线是解答本题的关键． 20．（本题6分）（2025·河南商丘·模拟预测）图1是焦作市某路口的地标性建筑玻璃球，某兴趣小组想借助影子测量玻璃球的半径，兴趣小组建立了如图2所示的模型．在某一时刻，太阳光照射玻璃球，落在地面上的影子米，同一时刻，一根1米长竖直立在地面上的木杆的影子长米．设光线分别与相切于点，则即为玻璃球的直径，请求出玻璃球的半径． 【答案】玻璃球半径为3米 【思路引导】本题考查了解直角三角形，切线的性质，平行线间的距离．过点A作于点F，根据切线的性质以及平行线间的距离，可得米，再由，可得，从而得到，然后在中，解直角三角形可得，即可求解． 【规范解答】解：过点A作于点F， 设玻璃球半径为米， 根据题意得：均为圆O的切线，，， ∵为直径， ∴， ∴米， ∵， ∴， ∴， ∵，米，米， ∴米， ∴， ∴， ∵米， ∴， ∴米， 即玻璃球的半径为3米． 21．（本题8分）（2025·山东聊城·三模）如图，为直径，C，D为上不同于A，B的两点，，连接．过点C作，垂足为E，直线与相交于F点． (1)求证：为的切线； (2)当，时，求的半径以及的长． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为6，的长为 【思路引导】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形，掌握圆周角定理，切线的判定方法，解直角三角形是解决问题的关键． （1）连接，由圆周角定理结合已知得出，得出，由平行线的性质得出，即可证明为的切线； （2）连接，，由圆周角定理得出，由，得出，由三角形内角和定理及，得出，利用解直角三角形求出． 【规范解答】（1）证明：如图，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径，∴为的切线； （2）解：连接，在中，， ∴， ∴． ∵为直径， ∴， ∵，∴， ∵，∴， ∴，∴． ∴的半径为6，的长为． 22．（本题8分）（2025·山西忻州·二模）如图，已知为的直径，与相切于点，连接． (1)过点作，垂足为点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，求证：是的平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查作图—基本作图、切线的性质、平行线的判定与性质． （1）根据垂线的作图方法作图即可； （2）根据切线的性质可得，则可得，则，再由，可得，即可知是． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求． （2）证明：如图，连接， 与相切于点， ， 又， ， ， ， ， ， 是的平分线． 23．（本题8分）（2025·陕西渭南·二模）如图，在等腰中，，以的中点为圆心作分别与、相切于点、，交于点（点在点右侧），连接并延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【思路引导】本题主要考查了圆的切线的性质、等腰直角三角形的性质及勾股定理，解直角三角形等知识，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，根据切线的性质证明，得，，进而证明，从而得出线段相等； （2）连接，先证明四边形是正方形．根据等腰直角三角形的边长关系求出，．设，则，．进而可得，而，在等腰直角三角形中，， 即，解方程即可得解． 【规范解答】（1）证明：连接， 切于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：连接， 与 相切于点， ， 又，，， 所以四边形是矩形， 是的中点， 在等腰 中，， ， 矩形 是正方形． ， 在等腰中，， 是的中点， ． 设，则， ， ． 又，， ， 在等腰直角三角形中，, ， 则, 即， 解得． ． 24．（本题8分）（2024·湖北·模拟预测）如图，是半圆的直径，点为半圆上一点（不与点重合），点是的中点，过点作的切线，交的延长线于点，交的延长线于点． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，求与线段的长度，并比较二者的大小． 【答案】(1)，理由见解析 (2)的长，，的长 【思路引导】本题考查圆周角定理，切线的性质，弧长公式： （1）连接，由是的切线可得，根据点是的中点和圆周角定理，推出，进而得到，根据平行线的性质即可求解； （2）由可得，根据弧长公式求出，由，可得，得到，根据勾股定理可求出，最后比较即可． 【规范解答】（1）解：，理由如下： 如图，连接， 是的切线， ，即． 点是的中点， ， ， ，即； （2）解：，， ∴， ， 的长， ， ， ， ， ， ， ∴的长， 综上，的长，，的长． 25．（本题10分）（2023·北京·模拟预测）根据材料，回答问题． 我国古代的人们擅长通过计算来研究图形的度量性质，《测圆海镜》就是系统地研究勾股形与其相关圆关系的平面几何的著作．《测圆海镜》第二卷的第8题是一道弦外容圆问题：假令圆城一所，不知周径，四面开门，门外纵横各有十字大道…其东南十字道头定为巽地…或问：甲乙二人同立于巽地，乙西行四十八步而止，甲北行九十步，望乙与城参相直，城径几何？ 本题的“弦外容圆”指在勾股形（直角三角形）外与弦（斜边）相切的旁切圆，题设条件如图所示，是直角三角形，，步，步，正好与圆城相切于点D，，也与圆城相切，切点分别为点E，F，求圆城的直径．请根据“弦外容圆”的题设条件完成下列问题： (1)小军解决本题时，认为线段的长就是的半径，请你说明理由； (2)请你帮小军计算圆城的直径． 【答案】(1)见解析 (2)圆城的直径为步 【思路引导】（1）如图1，连接，，由切线的性质得出，由，得出四边形是矩形，由，得出四边形是正方形，得出，即可得出的长就是的半径； （2）由勾股定理求出（步），设的半径为x步，则（步），由切线长定理得出步，步，由，得出关于x的方程，解方程求出，即可求出圆城的直径． 【规范解答】（1）解：如图1，连接，， ∵，是的切线， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴的长就是的半径； （2）如图2， ∵，步，步， ∴（步）， 设的半径为x步，则（步）， ∵，是的切线， ∴步， ∵，是的切线， ∴步， ∵， ∴， 解得：， ∴的直径为（步）， ∴圆城的直径为步． 【考点剖析】本题考查了切线的判定与性质，矩形的判定，正方形的判定与性质，勾股定理，切线长定理，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 26．（本题10分）（2025·江苏南京·中考真题）某纸杯的尺寸（单位：）如图（1）所示，展开它的侧面得到扇环纸片（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分）． (1)的长为____________，____________； (2)记表示两边长分别为，（，单位：）的矩形纸片的大小． ①图（2）是可以剪出扇环纸片的一张矩形纸片，它的一边与相切，点，在对边上，点，分别在另外两边上，直接写出，的值； ②用一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片吗？说明理由； ③若一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片，写出求的范围的思路（无需算出最终结果）． 【答案】(1)， (2)①，②可以，理由见解析③见解析 【思路引导】（1）设， ，则，利用圆的周长公式和弧长公式解答即可； （2）①延长，，延长线交于点，设矩形的边与相切于点，连接，交于点，利用圆的切线的性质定理，矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理解答即可； ②将扇环纸片按如图所示放置，在矩形的边上，延长，，延长线交于点，过点作于点，过点作于点，利用直角三角形的边角关系定理求得，的长度，再利用它们与的矩形纸片的长与宽作比较即可； ③设计出能够放置扇环纸片的最小的的矩形纸片即可． 【规范解答】（1）解：由题意得：的长为，的长为， 设， ，则， ， ， ． 故答案为：，； （2）解：①延长，，延长线交于点，设矩形的边与相切于点，连接，交于点，如图， 则， 四边形为矩形， 四边形，为矩形， ， 由题意得：，，，， 为等边三角形， ，，， ，， ，， ， ． ②用一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片，理由： 将扇环纸片按如图所示放置，在矩形的边上，延长，，延长线交于点，过点作于点，过点作于点， 由题意得：，，，， ，，， ， ，， ，， 用一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片． ③设的矩形纸片为矩形，，将扇环纸片如图放置，使点在边上，点在边上，点在边上，与边相切于点， 则此时的值最小，若求的范围，则此时的为的最小值． 延长，，延长线交于点，连接，交于点，过点作于点，过点作于点，设交于点， 由题意得：，，，， 与边相切于点， ， ，，四边形为矩形， 四边形，四边形，四边形为矩形， ，，， ，． 求得，的值即可求得的最小值； 由于，解和即可求得结论． 【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆的切线的性质定理，弧长公式，分类讨论的思想方法，矩形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，等边三角形的判定与性质，添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年浙教版数学九年级下册章节复习检测中等卷 第2章 直线与圆的位置关系 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.46 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请选择正确选项前的字母代号） 1．（2025·重庆·二模）如图，在中，，经过点C且与相切于点B，交于点D，连接．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．（2025·海南省直辖县级单位·二模）如图，是的直径，C为上一点，过点C的切线与过点A且垂直于该切线的直线相交于点D，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·上海·月考）已知同一平面内有和点A与点B，如果的半径为，线段，线段，那么直线与⊙的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离或相切 D．相交或相切 4．（2025·山西朔州·三模）如图，为的弦，是的直径，过点B作的切线交的延长线于点D，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级下·广东广州·期中）如图，点为的内心，，，，将平移，使其顶点与点重合，则图中阴影部分的周长为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级下·山东·期末）发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图是发动机的实物剖面图，图是其示意图．图中，点在直线上往复运动，推动点做圆周运动形成，与表示曲柄连杆的两直杆，点、是直线与的交点；当点运动到时，点到达；当点运动到时，点到达．若，，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C．当与相切时， D．当时， 7．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，点在线段上，与轴交于、两点，当与该一次函数的图象相切时，的长度是（    ） A．3 B．4 C．6 D．2 8．（24-25九年级下·广东广州·月考）如图，是一个不倒翁的主视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿，分别相切于点，，不倒翁的鼻尖正好是圆心，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）如图，为的直径，点P在的延长线上，过点P作的切线，点C为切点，，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．3.5 10．（2025·河南·模拟预测）数学家研究发现：当弦一定时，圆越小，该弦所对的优弧上的圆周角就越大，劣弧上的圆周角就越小．已知点、的坐标分别是，点为轴正半轴上一动点，当最大时，点的坐标是（    ） A．(4，0) B． C． D．(2，0) 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（2025·山东滨州·二模）如图，已知点在上，，直线与相切，切点为，且为弧的中点，则等于 ．   12．（2025·河南平顶山·二模）如图，在中，O为边上一点，以点O为圆心，的长为半径作与边相切，D为边的中点，连接．若，则的半径长为 ． 13．（2025·广东广州·二模）如图，分别与圆相切于两点，点为圆上一点，连接，若，则的度数为 ． 14．（2025·浙江嘉兴·二模）如图，已知与相切于A点，连结，，若，则的大小为 ． 15．（24-25九年级下·浙江绍兴·月考）如图，在中，，，点在上，以为半径的圆与相切于点．是边上的动点，当为直角三角形时，的长为 ． 16．（2025·浙江·模拟预测）如图，的半径为1，圆心角，过点A作的切线，交的延长线于点C，过点B作于点D，记，，则 ．（用含m，n的代数式表示） 17．（2025·吉林长春·三模）如图，以点为圆心的两个同心圆中，为大圆的直径，交小圆于两点（点靠近点），大圆的弦与小圆相切于点，连结．给出下面五个结论：①；②；③；④当时，若，则阴影部分的面积和为；⑤连结，当时，与面积相等．上述结论中，正确结论的序号有 ． 18．（19-20九年级上·江西赣州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，半径为1的的圆心从点（点在直线上）出发以每秒个单位长度的速度沿射线运动，设点运动的时间为秒，则当 时，与坐标轴相切． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（2025·江苏无锡·三模）如图，在的边上取一点O，以O为圆心，为半径画，与边相切于点D，，连接交于点E，连接，并延长交线段于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 20．（本题6分）（2025·河南商丘·模拟预测）图1是焦作市某路口的地标性建筑玻璃球，某兴趣小组想借助影子测量玻璃球的半径，兴趣小组建立了如图2所示的模型．在某一时刻，太阳光照射玻璃球，落在地面上的影子米，同一时刻，一根1米长竖直立在地面上的木杆的影子长米．设光线分别与相切于点，则即为玻璃球的直径，请求出玻璃球的半径． 21．（本题8分）（2025·山东聊城·三模）如图，为直径，C，D为上不同于A，B的两点，，连接．过点C作，垂足为E，直线与相交于F点． (1)求证：为的切线； (2)当，时，求的半径以及的长． 22．（本题8分）（2025·山西忻州·二模）如图，已知为的直径，与相切于点，连接． (1)过点作，垂足为点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，求证：是的平分线． 23．（本题8分）（2025·陕西渭南·二模）如图，在等腰中，，以的中点为圆心作分别与、相切于点、，交于点（点在点右侧），连接并延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 24．（本题8分）（2024·湖北·模拟预测）如图，是半圆的直径，点为半圆上一点（不与点重合），点是的中点，过点作的切线，交的延长线于点，交的延长线于点． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，求与线段的长度，并比较二者的大小． 25．（本题10分）（2023·北京·模拟预测）根据材料，回答问题． 我国古代的人们擅长通过计算来研究图形的度量性质，《测圆海镜》就是系统地研究勾股形与其相关圆关系的平面几何的著作．《测圆海镜》第二卷的第8题是一道弦外容圆问题：假令圆城一所，不知周径，四面开门，门外纵横各有十字大道…其东南十字道头定为巽地…或问：甲乙二人同立于巽地，乙西行四十八步而止，甲北行九十步，望乙与城参相直，城径几何？ 本题的“弦外容圆”指在勾股形（直角三角形）外与弦（斜边）相切的旁切圆，题设条件如图所示，是直角三角形，，步，步，正好与圆城相切于点D，，也与圆城相切，切点分别为点E，F，求圆城的直径．请根据“弦外容圆”的题设条件完成下列问题： (1)小军解决本题时，认为线段的长就是的半径，请你说明理由； (2)请你帮小军计算圆城的直径． 26．（本题10分）（2025·江苏南京·中考真题）某纸杯的尺寸（单位：）如图（1）所示，展开它的侧面得到扇环纸片（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分）． (1)的长为____________，____________； (2)记表示两边长分别为，（，单位：）的矩形纸片的大小． ①图（2）是可以剪出扇环纸片的一张矩形纸片，它的一边与相切，点，在对边上，点，分别在另外两边上，直接写出，的值； ②用一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片吗？说明理由； ③若一张的矩形纸片可以剪出扇环纸片，写出求的范围的思路（无需算出最终结果）． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $