第1章 解直角三角形（章节复习检测中等卷）-2025-2026学年浙教版数学九年级下册优选题练习卷

2025-2026学年浙教版数学九年级下册章节复习检测中等卷 第1章 解直角三角形 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.48 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请选择正确选项前的字母代号） 1．（25-26九年级上·云南昆明·期中）2025年2月10日上午，第九届亚洲冬季运动会越野滑雪男子10公里（自由技术）比赛项目在黑龙江亚布力滑雪场开启激烈比拼．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从点滑行到点．若 米，则这名滑雪运动员下降的高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【思路引导】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，根据正弦的定义解答即可． 【规范解答】解：在中，，，如图， ∵， ∴米， 故选：B． 2．（2022九年级下·浙江·专题练习）三角函数、、之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了锐角三角函数的特点．根据三角函数之间的关系，得出，再根据余弦值随着角度的增大而减小进行判断即可． 【规范解答】解：∵， 又，余弦值随着角度的增大而减小， ∴，故C正确． 故选：C． 3．（21-22九年级下·湖北荆门·自主招生）已知公式，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，把转化为，再代入公式计算即可求解，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【规范解答】解：∵， ∴， 故选：． 4．（23-24九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）在中，，，，则等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】先求出，再利用定义求解即可．本题考查了锐角三角函数，解题关键是先利用勾股定理求出另一条直角边，再利用正切的定义求解． 【规范解答】解：由题意，可得， ∴， 故选：C． 5．（21-22九年级上·山东烟台·期末）如图是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器计算，按键顺序正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了计算器-三角函数，根据按键顺序写出式子即可显示的结果． 【规范解答】 解：利用该型号计算器计算，按键顺序正确的是： 故选：A． 6．（24-25九年级下·吉林长春·月考）如图，西安市的赛格国际购物中心的电梯长达50.3米，是亚洲室内最长扶梯．其与水平面所成的夹角为，则该电梯的竖直高度为（   ）米 A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了解直角三角形的应用，由题意可得，，，再由正弦的定义求解即可，熟练掌握正弦的定义是解此题的关键． 【规范解答】解：由题意可得：，，， ∴米， 即该电梯的竖直高度为米， 故选：A． 7．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在正方形中，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，连接，则（） A． B． C． D．2 【答案】B 【思路引导】先根据正方形边长和已知条件求出各线段长度，通过证明三角形全等得到的长度，再利用勾股定理求出、、的长度，最后通过勾股定理逆定理判断三角形形状，进而求出． 【规范解答】解：∵正方形中，， ∴，． ∵， ∴． ∵是的中点， ∴． ∵，，， ∴（）， ∴，． 在中，，， ∴． 在中，，， ∴． 在中，，， ∴． ∵， ∴是直角三角形，且． ∴． 故选：． 【考点剖析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及勾股定理逆定理、锐角三角函数的定义，熟练掌握正方形的性质并结合全等三角形和勾股定理求解线段长度是解题的关键． 8．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，正八边形内接于，连接，，若，则的半径为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【思路引导】本题考查了正多边形的性质，三角函数等. 连接，过作交于，由正多边形的性质得，由正弦函数得 ，结合三角形的面积，即可求解． 【规范解答】解：如图，连接，过作交于点， 正八边形内接于， ， ， 是的直径， ， ， ， ， 解得：， 的半径为； 故选：B． 9．（2023·北京·模拟预测）如图，四边形是边长为1的正方形，点，分别在x轴，y轴的负半轴上．连接，以的长为边长向右侧作正方形，点在y轴的负半轴上，点在x轴的正半轴上；连接，以的长为边长向上方作正方形，点，分别在x轴，y轴的正半轴上；…；按照这个规律进行下去，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了点的坐标规律，正方形的性质，解直角三角形，由题意可得，点、、、分别在第三象限、第四象限、第一象限、第二象限的角平分线上，周期为，再结合，得出点在第三象限的角平分线上，分别求出，，，同理可得，，再求出点的横纵坐标即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，正确得出规律是解此题的关键． 【规范解答】解：由题意可得，点、、、分别在第三象限、第四象限、第一象限、第二象限的角平分线上，周期为， ∵， ∴点在第三象限的角平分线上， ∵四边形是边长为1的正方形， ∴， ∴， ∵以的长为边长向右侧作正方形， ∴， ∴， ∵以的长为边长向上方作正方形， ∴， ∴； 同理可得，， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为， 故选：B． 10．（2024·天津·模拟预测）如图， 将长为4， 宽为1的矩形纸片沿折叠， 使A点落到处， B点落到边上的处， 如果是正三角形， 则折痕的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【思路引导】本题考查矩形的性质，图形翻折的应用，等边三角形和菱形的性质，通过连接，证明四边形为菱形，从而得出四边相等，对角相等，再利用可推出，已知，在利用余弦定义可知的长度即为折痕的长度． 【规范解答】解：如图：连接， ∵是等边三角形， ∴，， 又∵四边形为矩形， ∴，， ∴四边形为菱形， ∴，， ∵四边形沿翻折成四边形， ∴， ∴， 在中，， ∴． 故选：B． 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（2023·上海普陀·一模）在中，，，，那么 ． 【答案】 【思路引导】本题考查勾股定理逆定理以及正弦的定义，先通过勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形，然后再利用正弦的定义解题即可． 【规范解答】解：在中，，，， ∵ ，， ∴ ， ∴ 是直角三角形，． ∴ ． 故答案为：． 12．（2024·浙江·模拟预测）内接于，，，则的半径是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了圆周角定理，解直角三角形的应用，延长交于点，连接，则，解，即可求解． 【规范解答】如图，延长交于点，连接， ， 为的直径， ， 的半径为． 故答案为：． 13．（2024九年级下·湖北黄冈·竞赛）如图，小明利用无人机测量教学楼的高度，无人机在点处，测得小明所在位置点的俯角为，测得教学楼顶点的俯角为，教学楼底点的俯角为，又经过人工测得，两点间的距离为米，则教学楼的高度为 米．（注：点，，，在同一平面上，参考数据：，，结果取整数） 【答案】 【思路引导】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为，延长交于点,设米，根据锐角三角函数的定义列出方程，解得，接着求出，再求出，即可解决问题． 【规范解答】解：如图，过点作，垂足为，延长交于点, 由题意得：米，，， 设米， ∴米 在中，， ∴(米)， 在中，， ∴米， ∴, 解得:， ∴(米)，(米)， 在中，， ∴(米)， ∴(米)． 故答案为：． 14．（2025·湖北武汉·模拟预测）小芳想利用刚刚学过的三角函数知识测量新教学楼的高度，如图，她在处测得新教学楼房顶点的仰角为，向左走米到处再测得点仰角为，且、、三点在同一直线上，则新教学楼的高度是 米．(结果保留到整数，参考数据： ， ， ） 【答案】 【思路引导】本题考查解直角三角形的实际应用，设米，分别解，求出的长，再根据线段的和差关系列出方程进行求解即可． 【规范解答】解：由题意，得：米，，设米， 在中，， 在中，， ∵， ∴，解得：； 故答案为：． 15．（24-25九年级下·河南郑州·月考）如图所示，在菱形中，,，是边上不与端点重合的一点，将沿折叠，点的对应点为点，交菱形的边于点，当时，的长为 ． 【答案】或 【思路引导】当点在线段上时，当点在线段上，分两种情况，利用菱形的性质，特殊角的三角函数值，折叠的性质来求解． 【规范解答】解：分类讨论如下：当点Q在线段上时，如图1所示， 设． 四边形是菱形，， ． 由折叠可知． ， ， ， ． 在中，． 依据题意可得， 即， 解得， ． 当点在线段上时，如图2所示， 可得， ． 综上可得PD的长度为或． 故答案为：或． 【考点剖析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，特殊角的三角函数值，勾股定理，折叠的性质，理解相关知识是解答关键． 16．（2025九年级下·四川绵阳·学业考试）如图，无人机在空中处测得某校旗杆顶部的仰角为，底部的俯角为，无人机与旗杆的水平距离为，则该校的旗杆高约为 ．（结果精确到） 【答案】 【思路引导】本题主要考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，分别在和中利用锐角三角函数关系得出，的长，进而求出该旗杆的高度． 【规范解答】解：在中，米，， ∴， 解得：米， 在中，米，， ∴， 解得：米， 故该校的旗杆高约为：（米）， 故答案为：． 17．（21-22九年级下·海南海口·月考）如图，中，，在所在平面内，过点C画一条直线，将分割成两个三角形，使得至少有一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画 条． 【答案】2/二 【思路引导】本题主要考查了解直角三角形，等边三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，先借助直角三角形得到，；当为等腰三角形时，可证明是等边三角形，则此时只有一种情况；当是等腰三角形时，若，则可证明此时重合；若，则，符合题意；再证明即可得到结论． 【规范解答】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当时，则是等边三角形， ∴当为等腰三角形时，只存在一种情况； 当是等腰三角形时，若，则， ∴为等边三角形， ∴，则此时重合； 若，则，符合题意； ∵， ∴， ∴当是等腰三角形，有一种情况； 综上所述，一共有两种情况符合题意，即过点C可以画两条不同的直线； 故答案为：2． 18．（2022·四川德阳·模拟预测）如图，在正方形纸片中，对角线、相交于点，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后，折痕分别交、于点、，连接，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【思路引导】①由四边形是正方形，可得，又由折叠的性质，可求得的度数；②由，可得；③证明四边形是菱形，得出，且即可；④证明为等腰直角三角形，得出，，即，证明，得出即可． 【规范解答】解答：∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴，故①正确． 由折叠的性质可得：，， ∴， ∴， ∴， ∴，故②错误； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，且，故③正确． ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故④正确． 综上分析可知：其中正确结论的序号是：①③④． 故答案为：①③④． 【考点剖析】此题考查的是折叠的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质以及菱形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（2025·黑龙江·模拟预测）（1）计算：． （2）分解因式：． 【答案】（1）；（2） 【思路引导】本题考查了分解因式与实数的混合运算，掌握因式分解的方法和零指数幂、绝对值、负整数指数幂是解决问题的关键． （1）先算零指数幂、绝对值、负整数指数幂，再算加减法即可求解； （2）先利用平方差公式因式分解，再提出公因式，即可求解． 【规范解答】解：（1） ； （2） 20．（本题6分）（16-17九年级下·湖南长沙·月考）钓鱼岛自古以来是我国的固有领土，随着我们国家综合国力的强盛，国家对钓鱼岛的巡航已常态化．2017年9月11日，中国海警2401号船在地测得钓鱼岛在北偏东方向，现该海警船继续从地出发，以30海里/小时的速度向正北方向航行2小时后到达地． (1)若，求钓鱼岛在地的北偏东多少度方向上？ (2)在（1）的基础上，求海警船与钓鱼岛的距离的长．（结果保留根号） 【答案】(1)钓鱼岛在地的北偏东45度方向上 (2)海里 【思路引导】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，等腰三角形的判定与性质，三角形外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依据三角形外角性质，以及邻补角互补进行列式，计算化简，则，即可得到钓鱼岛B在C地的北偏东45度方向上； （2）过B作于D，设，则，运用解直角三角形即可得到海警船与钓鱼岛的距离的长为海里． 【规范解答】（1）解：∵，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 解得， ∴， 即钓鱼岛B在C地的北偏东45度方向上． （2）解：如图所示，过B作于D， 由（1）得， ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， 则． 在中，， 即， 解得：， 即， ∴中，， 则， ∴（海里）， 答：海警船与钓鱼岛的距离的长为海里． 21．（本题8分）（2025·河南·模拟预测）商字是被誉为“三商之源·华商之都”商丘市的城市地标（如图①）．某数学活动小组借助测角仪和皮尺开展了测量商字高度的实践活动，具体过程如下： 方案设计：如图②，商字高度为，点C，E分别在商字两侧（A，C，E在同一水平线上）．均为同一测角仪的高度． 实地测量：在F处测得商字顶部B的仰角为，在D处测得商字顶部B的仰角为，． (1)请根据上述方案及测量数据计算出商字的高度（结果保留一位小数，参考数据：，）； (2)为使测量结果更加准确，你认为他们在测量过程中应注意哪些事项．（写出一条即可） 【答案】(1) (2)多次测量角度求其平均值 【思路引导】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是关键． （1）设，则，根据题意得到方程，解方程即可得到答案； （2）根据平均值的意义进行解答即可． 【规范解答】（1）解：如图，连接交于点M． 由题意可知，四边形，均为矩形． 设，则． 在中，， ∴，即 在中，， ∴，即， ∵， ∴， 解得． 答：商字的高度约为m； （2）多次测量角度求其平均值；皮尺应拉直等．（答案不唯一） 22．（本题8分）（2025·四川广元·一模）如图，在由边长为1的小正方形构成的的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，经过，，三个格点． (1)请在指定的网格中用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不写作法）． ①找出圆心，作出的中点； ②过点画的切线． (2)求的值． 【答案】(1)①见解析，②见解析 (2) 【思路引导】本题考查了找圆的圆心，线段的中点，垂直平分线作法及性质，切线的判定，勾股定理，勾股定理逆定理，正弦的定义，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）①作线段与线段的垂直平分线，线段与线段的垂直平分线交点即为圆心，线段的垂直平分线与的交点，即为的中点； ②连接，过点作的垂线，即可解题； （2）连接，利用勾股定理分别算出，再结合勾股定理逆定理推出，最后根据正弦的定义求解，即可解题． 【规范解答】（1）解：①所作圆心，以及的中点，如图所示： ②所作的切线如图所示： （2）解：连接， ，，， 且， ， ． 23．（本题8分）（2025·山东滨州·中考真题）【活动背景】 如图，建筑物、的高度不可直接测量．为测量建筑物、的高度，技术员小李用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在C处测得D点的俯角为，测得B点的俯角为． 【问题解决】 (1)请运用技术员小李提供的数据求出建筑物、的高度（结果保留整数）；（参考数据：，，，，，） (2)请再设计一种测量建筑物、高度的方案（建筑物的宽度忽略不计），画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物、的高度．（可提供的测量工具：皮尺、测角仪） 【答案】(1)建筑物的高度约为，建筑物的高度约为； (2)图见解析，建筑物的高度为，建筑物的高度为． 【思路引导】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数是解题关键． （1）过点作于点，则四边形是矩形，由题意可知，，，，在直角三角形中，利用正切值求解即可； （2）画出示意图，用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在A处测得D点的仰角为，在B处测得C点的仰角为．再利用正切值求解即可． 【规范解答】（1）解：如图，过点作于点，则四边形是矩形， 由题意可知，，，， ，， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 答：建筑物的高度约为，建筑物的高度约为； （2）解：平面示意图如下： 用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在A处测得D点的仰角为，在B处测得C点的仰角为． 在中，， 在中，， 24．（本题8分）（2025·江西赣州·一模）在一次课外实践活动中，九年级数学兴趣小组准备测量校园外一栋建筑物的高度，同学们设计了两个测量方案，如下： 课题 测量建筑物的高度 测量工具 测角仪、皮尺及两根的标杆 测量小组 第一小组 第二小组 测量方案示意图 说明 为建筑物旁边的小楼 C，E，B在同一直线上，，为直立于地面的标杆 测量数据 从点D处测得A点的仰角为35°，． 从点D处测得A点的仰角为35°，从点F处测得A点的仰角为45°，． (1)根据以上数据请你判断，第_________小组无法测量出建筑物的高度； (2)请根据表格中的数据，依据正确的测量方案求出建筑物的高度．（结果精确到；参考数据：，，） 【答案】(1)一 (2) 【思路引导】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题中的仰角问题、等腰直角三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握仰角的定义，根据锐角三角函数解决实际问题． （1）根据第一组没有测量的长度，即可解答； （2）根据第二组的测量数据，延长交于点G，可得是等腰直角三角形，得，在中，由锐角三角函数定义求解即可． 【规范解答】（1）解：∵第一组没有测量的长度， ∴第一组无法测量出建筑物的高度， 故答案为：一； （2）解：根据第二组的测量数据，如图，延长交于点G， 由题意可得：，，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，则， 在中，，即， ∴， 经检验，是所列分式方程的解， 则， ∴． 25．（本题10分）（2025·甘肃武威·一模）如图是镇远楼俗称鼓楼，又名靖远楼，位于张掖市中心，是河西走廊现存最大的鼓楼．于明正德二年（年）建在一座砖包的高台上，楼为三层木构塔型，飞檐翘角，雕梁画栋，结构精巧，造型雄伟壮观．楼上四面悬有匾额：东为“金城春雨”，西为“玉关晓月”，南为“祁连晴雪”，北为“居延古牧”，完全是中华民族的传统建筑．某数学兴趣小组将测量镇远楼的高度作为一次实践活动，同学们制定了测量方案，并完成了实地测量，测得结果如下表： 课题 测量镇远楼的高度 测量示意图 如图，镇远楼及底座在同一条直线上且垂直于地面，在地面上选取点，测得和的度数及，两点之间的距离，点，，，均在同一竖直平面内，且 测量数据 的度数 的度数 的长度 请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出镇远楼的高度（结果保留整数）．参考数据：，，，，， 【答案】镇远楼的高度为 【思路引导】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题目中的数据和锐角三角函数可以计算出、的长，从而可以计算出的长． 【规范解答】解： ，，，， ，， ， 答：镇远楼的高度为． 26．（本题10分）（2024·广东江门·二模）综合与实践：在学习《解直角三角形》一章时，小明同学对一个角的倍角的三角函数值与这个角的三角函数值是否有关系产生了浓厚的兴趣，并进行研究． (1)【初步尝试】填空：我们知道：，，发现当是锐角时，____（填“”或“”）． (2)【实践探究】在解决“如图1，在中，，，，求的值”这一问题时，小明想构造包含的直角三角形，延长到点，使，连接，所以可得，问题即转化为求的正切值，请按小明的思路求的值． (3)【拓展延伸】如图2，在中，，，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了锐角三角函数、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，在直角三角形中作辅助线，是解决本题的关键． （1）根据锐角三角函数公式即可求解． （2）根据题意可知，，即可求解的值． （3）作的垂直平分线交于点，连接，设，则，即，根据勾股定理得出，求出．作的垂直平分线交于，连接，设，得出，根据勾股定理得出，求出，求出三角函数值即可． 【规范解答】（1）解：∵，， ； 故答案为：； （2）解：如图1，在中，，，， ， ， ， ，， ， （3）解：如图，作的垂直平分线交于点，连接． 则， ∴， ∴， 中，，，， ∴， 设，则，即， 在中，， 解得：． 即，， 作的垂直平分线交于，连接， 同理可得：， 设， ， 在中，， 解得：， ， 即． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年浙教版数学九年级下册章节复习检测中等卷 第1章 解直角三角形 检测时间：90分钟 试题满分：100分 难度系数：0.48 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（本大题有10小题，每小题2分，共20分.在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请选择正确选项前的字母代号） 1．（25-26九年级上·云南昆明·期中）2025年2月10日上午，第九届亚洲冬季运动会越野滑雪男子10公里（自由技术）比赛项目在黑龙江亚布力滑雪场开启激烈比拼．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从点滑行到点．若 米，则这名滑雪运动员下降的高度为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（2022九年级下·浙江·专题练习）三角函数、、之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．（21-22九年级下·湖北荆门·自主招生）已知公式，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（20-21九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）在中，，，，则等于（    ）． A． B． C． D． 5．（21-22九年级上·山东烟台·期末）如图是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器计算，按键顺序正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级下·吉林长春·月考）如图，西安市的赛格国际购物中心的电梯长达50.3米，是亚洲室内最长扶梯．其与水平面所成的夹角为，则该电梯的竖直高度为（   ）米 A． B． C． D． 7．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在正方形中，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，连接，则（） A． B． C． D．2 8．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，正八边形内接于，连接，，若，则的半径为（   ） A．2 B． C． D．4 9．（2023·北京·模拟预测）如图，四边形是边长为1的正方形，点，分别在x轴，y轴的负半轴上．连接，以的长为边长向右侧作正方形，点在y轴的负半轴上，点在x轴的正半轴上；连接，以的长为边长向上方作正方形，点，分别在x轴，y轴的正半轴上；…；按照这个规律进行下去，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 10．（2024·天津·模拟预测）如图， 将长为4， 宽为1的矩形纸片沿折叠， 使A点落到处， B点落到边上的处， 如果是正三角形， 则折痕的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 二．填空题（本大题有8小题，每小题2分，共16分.） 11．（2023·上海普陀·一模）在中，，，，那么 ． 12．（2024·浙江·模拟预测）内接于，，，则的半径是 ． 13．（2024九年级下·湖北黄冈·竞赛）如图，小明利用无人机测量教学楼的高度，无人机在点处，测得小明所在位置点的俯角为，测得教学楼顶点的俯角为，教学楼底点的俯角为，又经过人工测得，两点间的距离为米，则教学楼的高度为 米．（注：点，，，在同一平面上，参考数据：，，结果取整数） 14．（2025·湖北武汉·模拟预测）小芳想利用刚刚学过的三角函数知识测量新教学楼的高度，如图，她在处测得新教学楼房顶点的仰角为，向左走米到处再测得点仰角为，且、、三点在同一直线上，则新教学楼的高度是 米．(结果保留到整数，参考数据： ， ， ） 15．（24-25九年级下·河南郑州·月考）如图所示，在菱形中，,，是边上不与端点重合的一点，将沿折叠，点的对应点为点，交菱形的边于点，当时，的长为 ． 16．（2025九年级下·四川绵阳·学业考试）如图，无人机在空中处测得某校旗杆顶部的仰角为，底部的俯角为，无人机与旗杆的水平距离为，则该校的旗杆高约为 ．（结果精确到） 17．（21-22九年级下·海南海口·月考）如图，中，，在所在平面内，过点C画一条直线，将分割成两个三角形，使得至少有一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画 条． 18．（2022·四川德阳·模拟预测）如图，在正方形纸片中，对角线、相交于点，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，展开后，折痕分别交、于点、，连接，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是 ． 三．解答题（本大题有8小题，共64分.解答时应写出文字说明或演算步骤.） 19．（本题6分）（2025·黑龙江·模拟预测） （1）计算：． （2）分解因式：． 20．（本题6分）（16-17九年级下·湖南长沙·月考）钓鱼岛自古以来是我国的固有领土，随着我们国家综合国力的强盛，国家对钓鱼岛的巡航已常态化．2017年9月11日，中国海警2401号船在地测得钓鱼岛在北偏东方向，现该海警船继续从地出发，以30海里/小时的速度向正北方向航行2小时后到达地． (1)若，求钓鱼岛在地的北偏东多少度方向上？ (2)在（1）的基础上，求海警船与钓鱼岛的距离的长．（结果保留根号） 21．（本题8分）（2025·河南·模拟预测）商字是被誉为“三商之源·华商之都”商丘市的城市地标（如图①）．某数学活动小组借助测角仪和皮尺开展了测量商字高度的实践活动，具体过程如下： 方案设计：如图②，商字高度为，点C，E分别在商字两侧（A，C，E在同一水平线上）．均为同一测角仪的高度． 实地测量：在F处测得商字顶部B的仰角为，在D处测得商字顶部B的仰角为，． (1)请根据上述方案及测量数据计算出商字的高度（结果保留一位小数，参考数据：，）； (2)为使测量结果更加准确，你认为他们在测量过程中应注意哪些事项．（写出一条即可） 22．（本题8分）（2025·四川广元·一模）如图，在由边长为1的小正方形构成的的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，经过，，三个格点． (1)请在指定的网格中用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹，不写作法）． ①找出圆心，作出的中点； ②过点画的切线． (2) 求的值． 23．（本题8分）（2025·山东滨州·中考真题）【活动背景】 如图，建筑物、的高度不可直接测量．为测量建筑物、的高度，技术员小李用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在C处测得D点的俯角为，测得B点的俯角为． 【问题解决】 (1)请运用技术员小李提供的数据求出建筑物、的高度（结果保留整数）；（参考数据：，，，，，） (2)请再设计一种测量建筑物、高度的方案（建筑物的宽度忽略不计），画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物、的高度．（可提供的测量工具：皮尺、测角仪） 24．（本题8分）（2025·江西赣州·一模）在一次课外实践活动中，九年级数学兴趣小组准备测量校园外一栋建筑物的高度，同学们设计了两个测量方案，如下： 课题 测量建筑物的高度 测量工具 测角仪、皮尺及两根的标杆 测量小组 第一小组 第二小组 测量方案示意图 说明 为建筑物旁边的小楼 C，E，B在同一直线上，，为直立于地面的标杆 测量数据 从点D处测得A点的仰角为35°，． 从点D处测得A点的仰角为35°，从点F处测得A点的仰角为45°，． (1)根据以上数据请你判断，第_________小组无法测量出建筑物的高度； (2)请根据表格中的数据，依据正确的测量方案求出建筑物的高度．（结果精确到；参考数据：，，） 25．（本题10分）（2025·甘肃武威·一模）如图是镇远楼俗称鼓楼，又名靖远楼，位于张掖市中心，是河西走廊现存最大的鼓楼．于明正德二年（年）建在一座砖包的高台上，楼为三层木构塔型，飞檐翘角，雕梁画栋，结构精巧，造型雄伟壮观．楼上四面悬有匾额：东为“金城春雨”，西为“玉关晓月”，南为“祁连晴雪”，北为“居延古牧”，完全是中华民族的传统建筑．某数学兴趣小组将测量镇远楼的高度作为一次实践活动，同学们制定了测量方案，并完成了实地测量，测得结果如下表： 课题 测量镇远楼的高度 测量示意图 如图，镇远楼及底座在同一条直线上且垂直于地面，在地面上选取点，测得和的度数及，两点之间的距离，点，，，均在同一竖直平面内，且 测量数据 的度数 的度数 的长度 请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出镇远楼的高度（结果保留整数）．参考数据：，，，，， 26．（本题10分）（2024·广东江门·二模）综合与实践：在学习《解直角三角形》一章时，小明同学对一个角的倍角的三角函数值与这个角的三角函数值是否有关系产生了浓厚的兴趣，并进行研究． (1)【初步尝试】填空：我们知道：，，发现当是锐角时，____（填“”或“”）． (2)【实践探究】在解决“如图1，在中，，，，求的值”这一问题时，小明想构造包含的直角三角形，延长到点，使，连接，所以可得，问题即转化为求的正切值，请按小明的思路求的值． (3)【拓展延伸】如图2，在中，，，，求的值． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $