期末复习专题4 分式方程（10大题型）2025-2026学年人教版数学八年级上册期末备考冲刺

期末复习专题4 分式方程（10大题型） 知识点+题型专练+解题技巧+培优提升 【知识点1 分式方程的概念】 1 【知识点2 分式方程的解法】 1 【知识点3 列分式方程解决问题】 2 【题型1 分式方程定义】 3 【题型2 解分式方程】 4 【题型4 分式方程无解问题】 9 【题型5 列分式方程】 11 【题型6 分式方程的行程问题】 13 【题型7 分式方程的工程问题】 16 【题型8 分式方程的经济问题】 21 【题型9 分式方程和差倍分问题】 24 【题型10 分式方程的其它实际问题】 28 【培优提升】 31 【知识点1 分式方程的概念】 1. 分母中含有未知数的方程叫分式方程，如等这样的方程叫做分式方程. 2. 分母中含有字母的方程不一定是分式方程，如关于x的方程，这里的字母a不是未知数，所以不是分式方程. 3. 分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. 4. 在判断一个方程是否为分式方程时，不能先约分再判断，如在约分前是分式方程，约分后就变成了整式方程. 5. 分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程. 6. 分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 【知识点2 分式方程的解法】 1. 解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根. 2. 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 3. 解分式方程产生增根的原因 方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根. 产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. （1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根； （2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的. 【知识点3 列分式方程解决问题】 1. 列分式方程解应用题按下列步骤进行： （1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系； （2）设未知数； （3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程； （4）解这个分式方程； （5）验根，检验是否是增根； （6）写出答案. 2. 分式方程解决问题的主要类型： （1）利润问题：利润＝售价－进价；利润率＝利润/进价×100%； （2）工程问题：工作总量＝工作效率×工作时间； （3）行程问题：路程＝速度×时间. 【题型1 分式方程定义】 解题技巧：熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．分母中含有未知数的有理方程叫做分式方程．根据分式方程的定义逐一分析各方程是否符合条件． 【典例1】．（24-25八年级上·上海·月考）下列关于x的方程中：①；②；③；④，分式方程有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】方程①：，分母为a，但未知数是x，分母不含未知数，故不是分式方程． 方程②：，分母为和x，均含未知数x，是分式方程． 方程③：，分母为，是无理方程，不是分式方程． 方程④：，化简为，但原式分母为x，含未知数x，故属于分式方程． 综上，分式方程有②、④，共2个． 应选项B． 【变式1-1】．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）下列方程不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是分式方程的定义，解题关键是熟练掌握分式方程的定义． 由分式构成的方程即为分式方程，据此进行逐项分析即可作答． 【详解】解：选项，分母含有未知数，是分式方程，不符合题意，选项错误； 选项，分母含有未知数，是分式方程，不符合题意，选项错误； 选项，分母含有未知数，是分式方程，不符合题意，选项错误； 选项，分母不含有未知数，不是分式方程，符合题意，选项正确． 故选：． 【变式1-2】．（24-25八年级下·上海普陀·期末）下列关于的方程中，属于整式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式方程的定义，解题关键是理解整式方程的定义． 根据整式方程的定义，需逐一分析各方程再作判断． 【详解】解：是整式方程，故A符合； 不是整式方程，故B不符合； 不是整式方程，故C不符合； 不是整式方程，故D不符合， 故选：A． 【变式1-3】．（24-25八年级上·山东威海·期中）已知方程：①；②；③；④；⑤；⑥，是分式方程的是（    ） A．①②③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②④ 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的概念：分母中含有字母的方程，根据此概念进行判断即可． 【详解】解：②④⑤是分式方程，①⑥是一元一次方程，③是二元一次方程； 故选：C． 【题型2 解分式方程】 解题技巧：解分式方程的核心思路是 “去分母，化分式方程为整式方程”，再通过解整式方程、检验根的有效性，最终得到分式方程的解。 1. 化分式方程为整式方程（去分母） 第一步：找最简公分母 最简公分母的确定方法： 取各分母系数的 最小公倍数； 取各分母中所有字母（或多项式因式）的 最高次幂； 若分母是多项式，先因式分解，再确定最简公分母。 第二步：两边同乘最简公分母 方程两边每一项都要乘最简公分母，不含分母的项也不能漏乘，然后约去分母，转化为整式方程。 2.解转化后的整式方程 按照整式方程（一元一次方程、一元二次方程等）的解法求解未知数的值。 3. 检验根的有效性（必不可少的步骤） 分式方程去分母时，可能会产生 增根（使原分式方程分母为 0 的根，不是原方程的解），因此必须检验。 检验方法：将整式方程的解代入 最简公分母，若最简公分母的值 不为 0，则是原分式方程的解；若为 0，则是增根，舍去。 【典例2】．（2025·四川乐山·二模）将分式方程去分母后可得整式方程为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解分式方程，掌握相关知识是解决问题的关键．分式方程两边同乘以最简公分母即可． 【详解】解：， 两边同乘以得： ． 故选：C． 【变式2-1】．（2025八年级上·江西赣州·专题练习）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，方程两边同时乘以，化成一元一次方程，再解答即可． 【详解】解： 解得， 经检验：当时，， 所以是原方程的解． 【变式2-2】．（25-26八年级上·湖南永州·期中）解方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程（化为一元一次），解题关键是掌握分式方程的解法． （1）去分母，化为整式方程求解，再检验根即可； （2）去分母，化为整式方程求解，再检验根即可． 【详解】（1）解：， 去分母，得， 解得：， 经检验是原分式方程的根； （2）， 去分母，得， 解得：， 经检验是原分式方程的增根， 故原分式方程无解． 【变式2-3】．（25-26八年级上·山东威海·期中）解分式方程 (1)； (2) 【答案】(1)无解 (2) 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤，是解题的关键： （1）去分母，将方程化为整式方程，求解后进行检验即可； （2）去分母，将方程化为整式方程，求解后进行检验即可． 【详解】（1）解：， 去分母，得：， 解得； 当时，， ∴是原方程的增根，舍去， 故原方程无解； （2）， 去分母，得：， 解得， 检验：当时，， ∴原方程的解为． 【题型3 根据分式方程的解的情况】 解题技巧：解题的关键是先将分式方程化为整式方程求解，再结合分式有意义的条件（分母不为0）和解的正负性确定参数范围． 【典例3】．（25-26八年级上·山东淄博·期中）已知关于x的方程解为正数，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【详解】解：∵方程， 又∵， ∴， ∴原方程化为． 左边合并：， 两边同时乘以得：， 解得． 由，得，即． 又∵解为正数，∴，即，． 综上，且． 故选：D． 【变式3-1】．（25-26八年级上·山东烟台·期中）关于x的方程的解是负数，则的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题考查了解分式方程．由分式方程有意义可知，由方程的解是负数可知，表示出方程的解代入其满足的条件即可确定的取值范围 【详解】解：解方程，方程两边同乘以得， 解得， 由分式方程有意义可知，即， 可得，即， 由方程的解是负数可知，可得，即， 所以的取值范围是且． 故答案为且 【变式3-2】．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）已知关于的方程的解是正数，则的取值范围为（   ） A． B． C．且 D． 【答案】C 【分析】本题考查的是根据分式方程的解的情况求解参数的取值范围，注意解分式方程时要保证分母不能是0是解题的关键．通过求解分式方程，得到解，再根据解为正数且分母不为零的条件，确定的取值范围． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵解是正数， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 综上，且． 故选：C． 【变式3-3】．（25-26八年级上·北京顺义·期中）已知关于的方程的解为0，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解，熟知分式方程的解即为能使分式方程成立的未知数的值是解本题的关键． 将方程的解代入原方程，得到关于的分式方程，通过解分式方程得到的值，并验证分母不为零． 【详解】解：将代入方程， 得：，即， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：当时，， 故是原方程的解． 故答案为：． 【题型4 分式方程无解问题】 解题技巧：分式方程无解的情况包括：解出的根使分母为零（增根），或化简后的整式方程无解（矛盾），由此计算即可得解，熟练掌握分式方程无解的情况是解此题的关键． 【典例4】．（25-26九年级上·黑龙江大兴安岭·月考）若关于的分式方程无解，则的值是（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【分析】本题考查分式方程无解问题，分式方程无解的情况通常包括解出的根使分母为零（增根）或化简后方程矛盾．本题通过去分母化简后，得到解，再令分母为零，求的值即可． 【详解】解：原方程可化为，且分母， 两边同乘，得， 展开右边：， 移项：， 化简：， ∴， 当方程无解时，解为增根，即， ∴，解得， 当时，使分母为零，方程无解， 其他值均使方程有解，故， 故选：A． 【变式4-1】．（25-26八年级上·山东泰安·期中）关于x的分式方程无解，则n的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．或 【答案】C 【详解】解：去分母可得：， 移项并合并同类项可得：， ∵关于x的分式方程无解， ∴当，即时，原分式方程无解； 当时，， 当，即时，原分式方程无解； 综上所述，n的值为1或， 故选：C． 【变式4-2】．（2025八年级上·江西赣州·专题练习）关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或1或6 【分析】此题考查了分式方程的解，分式方程无解分两种情况：整式方程本身无解；分式方程产生增根． 分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出的值即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 整理得：， 当，即时，方程无解； 当，即时，由分式方程无解，得到或， 把代入得：； 把代入得：， 综上，的值为或1或6． 故答案为：或1或6． 【变式4-3】．（25-26九年级上·黑龙江七台河·期中）若关于的分式方程无解，则需满足的条件是（  ） A．和 B． C． D．且 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程无解的情况，分式方程无解可能由于化简后的整式方程无解，或解为增根（使分母为零）．先简化方程，再讨论参数的取值． 【详解】解：， ， 即 ， ， 整理得， 当，即时，方程左边为，右边为，矛盾， 整式方程无解，原方程无解， 当时，，若此解使分母为零，则原方程无解，当时，即 ， 解得， 当或时，原方程无解， 故选：A． 【题型5 列分式方程】 解题技巧：关键是找准等量关系，正确列出分式方程。 【典例5】．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）某工厂计划生产300个零件，由于采用新技术，实际每天生产的零件数比原计划多，结果提前2天完成任务．设原计划每天生产个零件，可列方程为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的应用；根据题意，原计划每天生产个零件，实际每天生产个零件．总零件数为300个，原计划天数减去实际天数等于提前的2天． 【详解】解：设原计划每天生产个零件，则实际每天生产个零件． ∵原计划天数为，实际天数为，且提前2天完成任务， ∴． 故选：A． 【变式5-1】．（25-26八年级上·全国·期末）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列列出的分式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，根据题意找出等量关系列出方程是解题的关键．根据题意，设规定时间为天，慢马送信时间为天，速度为；快马送信时间为天，速度为，由快马速度是慢马速度的倍，即可列出方程． 【详解】解：设规定时间为天，则慢马所需时间为天，快马所需时间为天， 由题意得，慢马速度为里/天，快马速度为里/天， ， 故选B． 【变式5-2】．（25-26八年级上·全国·期末）我国著名院士袁隆平被誉为“杂交水稻之父”，他在杂交水稻事业方面取得了巨大成就．某水稻研究基地统计，杂交水稻的亩产量比传统水稻的亩产量多400千克，总产量同为3000千克的杂交水稻种植面积比传统水稻种植面积少2亩．若设传统水稻亩产量为x千克，则下列方程正确的是（ ）（亩：市制土地面积计量单位） A． B． C． D． 【答案】B 设传统水稻亩产量为x千克，则杂交水稻亩产量为千克，根据亩产量和种植面积的关系，杂交水稻种植面积比传统水稻少2亩，列出方程． 【详解】设传统水稻亩产量为x千克，则杂交水稻亩产量为千克 根据题意得，． 故选：B． 【变式5-3】．（2025八年级上·江西赣州·专题练习）已知甲、乙两名同学各带60元和45元去文具店购买文具，甲购买笔记本，乙购买钢笔．已知钢笔的单价是笔记本的2倍少3元，结账时甲购买的笔记本数比乙购买的钢笔数多4．若设笔记本的单价为元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的应用，找准等量关系是关键．设笔记本的单价为元，则钢笔单价为元，由题意可知，甲购买笔记本数量为件，乙购买钢笔数量为件，再根据甲购买数量比乙多4件，列出方程即可． 【详解】解：设笔记本的单价为元，则钢笔单价为元， 由题意得：， 故选：B 【题型6 分式方程的行程问题】 解题技巧：行程问题需要注意是相遇问题还是追及问题 相遇问题：（甲速度+乙速度）×时间=总路程 追击问题：（快－慢）×时间=距离 【典例6】．（25-26八年级上·全国·单元测试）随着生活水平的提高，李亮购买了新能源电动汽车，他开电动汽车上班比乘公交车上班所需的时间少用了15分钟（电动汽车与公交车所走路程完全一致），已知电动汽车的平均速度是公交车的倍，李亮家到上班地点的路程为8千米．设乘公交车平均每小时走千米，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的应用，乘公交车平均每小时走x千米，根据“电动汽车时间小时公交车时间”列出分式方程即可求解． 【详解】∵电动汽车比公交车少用15分钟，即小时， ∴公交车时间电动汽车时间， ∴. 故选：D． 【变式6-1】．（25-26八年级上·湖南株洲·期中）新型客机是我国自主研制的客机，年月，该客机开始执行“北京——长沙”的定期商业航线，两地的航线距离约为，该新型客机的平均速度比普通客机的平均速度提高了，航行时间节约了设该新型客机的平均速度为，则根据题意可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程与实际问题，关键是找到相等关系列方程； 根据新型客机比普通客机航行时间节约小时，列分式方程可解． 【详解】解：∵航线距离为， ∴新型客机时间为 ， 普通客机时间为 ， ∵节约时间， ∴， 故答案选：A． 【变式6-2】．（25-26九年级上·北京·月考）秋天是北京四季中最美的季节，深秋的北京香山更是景美如画，金代诗人周昂在《香山》中用诗句“山林朝市两茫然，红叶黄花白一川”描绘了香山红叶与黄花交相辉映的自然美景．小明和小亮都是登山爱好者．金秋十月，两人相约去香山爬山赏景，挑战香炉峰．小明沿北线步道上山，小亮沿南线步道上山，北线步道长度为，南线步道长度为．两人分别从各自步道起点同时出发，小明比小亮每小时少走，结果小明和小亮同时到达终点，求两人每小时各走多少千米？ 【答案】小亮每小时走1千米，小明每小时走0.5千米 【分析】此题考查了分式方程的应用，设小亮每小时走千米，小明每小时走千米．结果小明和小亮同时到达终点，即两人的时间相同，据此列方程，解方程并检验即可． 【详解】解：设小亮每小时走千米，小明每小时走千米． 根据题意，得 ． 解得：． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． ． 答：小亮每小时走1千米，小明每小时走0.5千米． 【变式6-3】．（25-26八年级上·山东泰安·期中）2025数字中国创新大赛–中小学生赛道，决赛是用电脑程序控制智能赛车进行30米比赛，“天元号”和“朝阳号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“天元号”到达终点时，“朝阳号”才行驶到全程的，“天元号”比“朝阳号”每秒多行0.8米． (1)求“朝阳号”的行驶速度； (2)如果将“天元号”的行驶路程增加，“朝阳号”的行驶路程不变，两辆赛车再次重新比赛，两车能同时到达吗？通过计算说明； (3)若按照（2）中的路程行驶，请你调整其中一辆赛车的行驶速度，使两车能同时到达终点． 【答案】(1)“朝阳号”的行驶速度是米/秒； (2)不能同时到达，理由见解析 (3)调整后“天元号”的平均速度为米/秒可使两车能同时到达终点（答案不唯一） 【分析】本题主要考查列分式方程解应用题、有理数的混合运算的应用等知识点，根据题意确定等量关系、列出方程是解题的关键． （1）根据“天元号”行全程的与 “朝阳号”行全程的所用时间相等作为等量关系列分式方程求解即可； （2）分别利用“时间=路程÷速度”求出二者时间，然后比较时间即可解答； （3）根据“朝阳号”行30米与“天元号”行36米所用时间相等作为等量关系、列分方程求解即可． 【详解】（1）解：设“朝阳号”的平均速度为米/秒，则“天元号”的平均速度为米/秒， 由题意得：， 解得：，经检验是原方程的解． 答：“朝阳号”的行驶速度是米/秒． （2）解：不能同时到达，理由如下： 设调整后“天元号”的行驶路程为（米）， “天元号”到达终点所用的时间为（秒）， “朝阳号”到达终点所用的时间为（秒）， 两车不能同时到达． （3）解：设调整后“天元号”的平均速度为米/秒． ，解得：． 经检验是原方程的解． 答：调整后“天元号”的平均速度为米/秒可使两车能同时到达终点（答案不唯一）． 【题型7 分式方程的工程问题】 解题技巧：工程问题，常设工程总量为单位“1”，然后利用公式：工作效率×工作时间=工作总量来列写等量方程。 【典例7】．（25-26八年级上·全国·课后作业）某足球生产厂计划生产4800个足球，在生产完1200个后，采用了新技术，工作效率比原计划提高了，结果共用了21天完成全部任务．设原计划每天生产个足球，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设原计划每天生产个足球，则采用新技术后每天生产个足球，采用新技术前，生产时间为天，采用新技术后，生产时间为天，再根据一共用了21天完成任务即可列出对应的方程． 【详解】解：设原计划每天生产个足球，则采用新技术后每天生产个足球， 由题意得，， 故选：B． 【变式7-1】．（25-26八年级上·河北沧州·期中）全国两会期间，大火，从大会发言人、部长们的点赞，到代表委员们的热议，参与掀起的“人工智能+”浪潮席卷而来．某单位利用公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比多一倍．若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的应用，根据已知条件列出方程是解题的关键． 根据工作效率之和等于合作效率的关系建立方程，单独处理需小时，因时间比多一倍，故单独处理需小时，两模型合作效率为，效率为，效率为，求和得出方程即可． 【详解】解：根据题意得，单独处理需小时，且时间比多一倍， 则单独处理需小时，效率为，效率为， 由于两模型合作处理，合作完成需1.5小时，两模型合作效率为， 因此列方程为：，即， 故选：C． 【变式7-2】．（25-26八年级上·河北沧州·期中）某学校计划利用暑假时间（共51天）对教室墙壁进行粉刷，现有甲、乙两个工程队来承包，调查发现：乙队单独完成工程的时间是甲队的1.5倍；甲、乙两队合作完成工程需要30天，甲队每天的工作费用为1000元，乙队每天的工作费用为700元．根据以上信息，求： (1)甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ (2)①从时间的角度考虑，学校应选择哪个工程队？ ②从资金的角度考虑，学校应选择哪个工程队？ 【答案】(1)甲单独完成此项工程需要50天，乙单独完成此项工程需要75天 (2)①从时间的角度考虑，学校应选择甲工程队；②从资金角度，学校应选择能在暑假内完成且费用合理的甲工程队 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （1）设甲工程队单独完成该工程需x天，则乙工程队单独完成该工程需天．再根据“甲、乙两队合作完成工程需要30天”，列出分式方程，解方程即可； （2）①根据（1）中的结果比较即可解答；②根据（1）中的结果求出甲单独完成，乙单独完成的费用比较，再结合暑假时间即可解答． 【详解】（1）解：设甲工程队单独完成此项工程需x天，则乙工程队天， 由题意：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意． 则（天）， 答：甲单独完成此项工程需要50天，乙单独完成此项工程需要75天； （2）解：①由（1）知甲单独完成此项工程需要50天，乙单独完成此项工程需要75天， ， ∴甲能在计划时间内完成，乙不能在计划时间内完成， 从时间的角度考虑，学校应选择甲工程队； ②若甲单独完成，其费用为：（元）， 若乙单独完成，其费用为：（元）， ， ∴从资金的角度考虑，学校应选择甲工程队，且甲能在计划时间内完成，乙不能在计划时间内完成． 综上，从资金角度，学校应选择能在暑假内完成且费用合理的甲工程队． 【变式7-3】．（25-26八年级上·山东泰安·期中）下面是小亮学习了“分式方程的应用”后所整理的课堂学习笔记． 题目： 甲、乙两名工人加工同一种零件，甲每天比乙多加工20个．若甲加工2000个零件与乙加工1200个零件所用的时间相同，求甲、乙两名工人每天各加工多少个零件？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设……为…… 等量关系：甲加工2000个零件所用的时间乙加工1200个零件所用的时间 根据等量关系可列出方程为：___________ 解法二 设……为…… 等量关系：甲工人每天加工的零件个数乙工人每天加工的零件个数 根据等量关系可列出方程为：___________ 请认真阅读笔记内容，完成下列任务： (1)解法一所设的未知数表示________（填序号）；根据等量关系可列出方程为________． ①表示甲工人每天加工零件的个数； ②表示甲工人加工2000个零件所用的天数； ③表示乙工人加工1200个零件所用的天数； (2)解法二所设的未知数表示________（填序号）；根据等量关系可列出方程为__________． ①表示甲工人每天加工零件的个数； ②表示甲工人加工2000个零件所用的天数； ③表示乙工人每天加工零件的个数； (3)根据以上解法中的一种，求出甲、乙两名工人每天各加工多少个零件． 【答案】(1)①， (2)②， (3)选解法一，甲、乙两名工人每天各加工50个零件和30个零件 【分析】该题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意． （1）根据题意即可解答； （2）根据题意即可解答； （3）选择一种方法解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，解法一所设的未知数表示甲工人每天加工零件的个数；根据等量关系可列出方程为． 故答案为：①；． （2）解：根据题意，解法二所设的未知数表示甲工人加工2000个零件所用的天数， 根据等量关系可列出方程为：， 故答案为：②；． （3）解：选解法一：， 去分母得：， 整理得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意； ∴， 答：甲、乙两名工人每天各加工50个零件和30个零件 ． 选解法二：， 去分母得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意； ∴， 答：甲、乙两名工人每天各加工50个零件和30个零件 ． 【题型8 分式方程的经济问题】 解题技巧：找出相等关系，列出分式方程 【典例8】．（2025·山东德州·中考真题）如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程进行解答．则被墨水污染部分的文字为（   ） A．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次多买了10个 B．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次少买了10个 C．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次多买了10个 D．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据所列方程，找出被墨水污染部分的文字是解题的关键． 由表示第一次购买魔方的数量，可得出表示第二次购买魔方的数量，进而可得出第二次比第一次少买 10 个，利用单价总价数量，结合所列方程，可得出第二次购买魔方的单价比第一次低 5 元，进而可找出被墨水污染部分的文字． 【详解】解：∵设第一次购买了个魔方， ∴方程中表示第二次购买魔方的数量， ∴第二次比第一次少买了 10 个； ∵单价总价数量， ∴表示第一次购买魔方的单价，表示第二次购买魔方的单价， 又 ∵所列方程为， ∴第二次购买魔方的单价比第一次低 5 元， ∴被墨水污染部分的文字为：这次商家每个魔方优惠 5 元，结果比上次少买了 10 个． 故选：D． 【变式8-1】．（24-25八年级上·河北承德·月考）某公司欲查询某款商品的进价，发现进货单（如图）已被墨水污染，商品采购员甲和仓库保管员乙对采购情况回忆如下． 甲：①号商品进价比②号商品进价每件高； 乙：①号商品比②号商品的数量多40件． 商品 进价（元/件） 数量（件） 总金额（元） ① 7200 ② 3200 若两人所说的内容均符合实际情况，则下列判断正确的是（   ） A．①号商品的进价为60元/件 B．②号商品的进价为80元/件 C．①号商品的数量为80件 D．②号商品的数量为40件 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的应用，设②号商品进价为元，则①号商品进价为元，根据题意列出分式方程，求解即可得出答案． 【详解】解：设②号商品进价为元，则①号商品进价为元， 由题意可得：， 解得：， ∴，，， 故①号商品的进价为60元/件，②号商品的进价为4元/件，①号商品的数量为120件，②号商品的数量为80件． 故选：A． 【变式8-2】．（25-26八年级上·重庆·期中）中秋节是中华民族的传统节日，每年节前，大家都有购买月饼的习惯．有一家超市准备购进甲、乙两种月饼以便出售给顾客，甲种月饼的进货单价是乙种月饼进货单价的倍．且用1000元购进甲种月饼的数量，比用900元购进乙种月饼的数量要少20盒． (1)甲、乙两种月饼的进货单价分别是多少？ (2)超市一共购进了甲、乙两种月饼共100盒，甲种月饼的售价定为50元，乙种月饼的售价定为30元，乙种月饼按计划按时卖完．甲种月饼卖了后．发现销售不理想，所以按原售价打8折后又卖出一部分，但直到中秋节过了后，还有5盒没有卖出，最后就按5元一盒的价格处理售出，如果售出这些月饼的利润不少于1490元，则甲种月饼至少要购进多少盒？ 【答案】(1)乙种月饼的购进单价为15元，甲种月饼的购进单价为25元 (2)甲种月饼至少购进68盒 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用． （1）设乙种月饼的购进单价为元，则甲种月饼的购进单价为元，列分式方程求解后检验即可； （2）设甲种月饼需要购进盒，则乙种月饼购进盒，列一元一次不等式求出，根据为整数，求出m的最小值即可． 【详解】（1）解：设乙种月饼的购进单价为元，则甲种月饼的购进单价为元， 由题意得：， 解得：． 检验，是原分式方程的解，且符合实际意义， ． 答：乙种月饼的购进单价为15元，甲种月饼的购进单价为25元； （2）解：设甲种月饼需要购进盒，则乙种月饼购进盒， 由题意可得： 解得： 为整数 答：甲种月饼至少购进68盒． 【变式8-3】．（25-26八年级上·河北唐山·期中）为进一步丰富学生的课间生活，学校打算购买一些排球和足球，某体育用品店给出了报价表不慎被墨水污染了． 球类 单价（元/个） 数量（个） 总金额（元） 足球 7200 排球 3200 王老师：我记得足球的单价比排球单价高； 李老师：我记得足球的数量比排球数量多40个． 在计算足球的单价和排球的购买数量，嘉嘉和琪琪给出部分解答过程： 嘉嘉：列出方程：； 琪琪：解设排球的单价为元/个，足球的单价为___________元/个（用含的代数式表示），依题意列方程得：___________； (1)根据嘉嘉所列的方程，写出的实际意义； (2)补充琪琪的解题过程，并按琪琪的思路帮忙计算足球的单价和排球的购买数量． 【答案】(1)x的实际意义是足球的数量 (2)足球的单价为60元/个，排球的购买数量为80个 【分析】本题主要考查分式方程的应用，熟练掌握数量关系是解答本题的关键． （1）由嘉嘉所列方程知是足球的单价，是排球的单价，结合足球的数量比排球数量多40个可得x的实际意义是足球的数量； （2）设排球的单价为元/个，根据足球的单价比排球单价高可得足球的单价为元/个，依据足球的数量比排球数量多40个可列方程，再解答即可． 【详解】（1）解：由嘉嘉所列方程知：是足球的单价，是排球的单价， 又足球的数量比排球数量多40个， 所以， x的实际意义是足球的数量； （2）解：设排球的单价为元/个，足球的单价为元/个，根据题意得， ， 解得， 经检验，是方程的解， ∴（元／个） ∴排球的购买数量为（个）， 答：足球的单价为60元/个，排球的购买数量为80个． 【题型9 分式方程和差倍分问题】 解题技巧：抓住相等关系，列出分式方程。 【典例9】．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产量30万千克，为了满足市场需求．现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为万千克，根据题意，列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的应用，关键抓住亩数减少的等量关系列方程． 根据题意，改良后总产量为万千克，原计划种植亩数为，改良后种植亩数为，亩数减少10亩，故得方程． 【详解】解：设原来平均每亩产量为x万千克，则改良后平均每亩产量为万千克． ∵原计划总产量30万千克， ∴原计划种植亩数为亩； ∵改良后总产量增加6万千克， ∴改良后总产量为36万千克， ∴改良后种植亩数为亩； ∵种植亩数减少了10亩， ∴． 故选：B． 【变式9-1】．（2025八年级上·全国·专题练习）某边防哨所运来一筐苹果，共有个．计划每名战士分得数量相同的若干个苹果，结果还剩个苹果；改为每名战士再多分个，结果还差个苹果．那么，这个哨所共有多少名战士？ 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据题意列出方程求解是解题的关键． 设战士人数为，根据两次分苹果的差异列出方程求解． 【详解】设哨所共有名战士， 第一次分苹果，每人分得个， 第二次分苹果，每人分得个， 由于第二次每人比第一次多分个， ， 解得：， 检验可得：是方程的解； 这个哨所共有名战士． 【变式9-2】．（25-26八年级上·吉林长春·期中）随着人工智能的发展，智能机器人在人们生产和生活领域深入越来越广泛．某图书馆为提高工作效率，增强读者读书体验，计划在不同区域引入A、B两种智能机器人执行还书任务，A型机器人比B型机器人每小时多还书本，A型机器人还本书所用的时间与B 型机器人还本书所用的时间相等．求B种机器人每小时还多少本书？ 【答案】B种机器人每小时还书本 【分析】本题考查了分式方程和差倍分问题，解题关键是掌握正确列出分式方程求解． 设B型机器人每小时还书x本，则A型机器人每小时还书本，列出分式方程求解即可． 【详解】解： 设B型机器人每小时还书x本，则A型机器人每小时还书本． 根据题意，得：， 解得：． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：B种机器人每小时还书本． 【变式9-3】．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）下图是学分式方程的应用时，老师板书的问题和两名同学所列方程． 八（1）班、八（2）班两班师生前往某园林参加义务植树活动．已知八（1）班每天比八（2）班多种10棵树．如果分配给八（1）班、八（2）班两班的植树任务分别是150棵和120棵，问两个班每天各植树多少棵，才能同时完成任务？ 欣欣：     兰兰： 根据以上信息，回答下列问题： (1)欣欣同学所列方程中的表示：___________________，它的等量关系是：___________________；兰兰同学所列方程中的表示：___________________，它的等量关系是：___________________； (2)从以上两个同学所列方程中选择一个方程，回答老师提出的问题． 【答案】(1)八（2）班每天植树的棵树；八（1）班植树所花的天数八（2）班植树所花的天数；八（1）班植树150棵所花的天数；或八（2）班植树120棵所花的天数；八（1）班每天植树的棵数八（2）班每天植树的棵数10 (2)八年级（1）班每天植树50棵，八年级（2）班每天植树40棵，才能同时完成任务 【分析】此题考查了分式方程的应用及解分式方程，理解题意，找出题目中的等量关系是解题关键． （1）结合方程及等量关系即可得出；结合两个方程可分别得出所列方程的等量关系； （2）根据分式方程的解法分别求解两个方程即可得． 【详解】（1）欣欣同学所列方程中的表示：八（2）班每天植树的棵树，它的等量关系是：八（1）班植树所花的天数八（2）班植树所花的天数； 兰兰同学所列方程中的表示：八（1）班植树150棵所花的天数，它的等量关系是：八（1）班每天植树的棵数八（2）班每天植树的棵数 10（棵）； （2）解：选欣欣的方程： 方程两边同时乘以，得， 解方程，得． 经检验，是原分式方程的根． 此时，． 答：八（1）班每天植树50棵，八（2）班每天植树40棵，两个班才能同时完成任务． 选兰兰的方程： 方程两边同时乘以，得， 解方程，得． 经检验，是原分式方程的根． 此时，（棵），（棵）． 答：八（1）班每天植树50棵，八（2）班每天植树40棵，才能同时完成任务． 【题型10 分式方程的其它实际问题】 解题技巧：抓住相等关系，列出分式方程。 【典例10】．（25-26八年级上·河北邢台·期中）《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载了一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文如下：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别售出后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？ 若设某个量为x，根据题意可列方程，则x（   ） A．只能表示绫布的长度 B．只能表示罗布每尺的价格 C．既可以表示绫布的长度，又可以表示罗布的长度 D．既可以表示绫布每尺的价格，又可以表示罗布每尺的价格 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的应用，设其中一种布的长度为x尺，则另一种布的长度为尺，根据题意可列方程，由于题目条件对于绫、罗两种布是对称的，由此可知x既可以表示绫布的长度，又可以表示罗布的长度． 【详解】解：根据题意，设其中一种布的长度为x尺，则另一种布的长度为尺， 由“绫布和罗布各出售1尺共收入120文”可列方程为：， 由于题目条件对于绫、罗两种布是对称的， 因此x既可以表示绫布的长度，又可以表示罗布的长度． 故选：C． 【变式10-1】．（25-26八年级上·河北保定·期中）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题，其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果■，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．设这批椽的数量为株，则可得方程为，根据此情境，题中“■”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是（   ） A．每株椽的运费是3文 B．一株椽的价钱是3文 C．剩下的椽的运费是3文 D．剩下的椽的价钱是3文 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据方程中所包含的数量关系分析即可． 根据方程 ，右边表示每株椽的价钱，左边表示剩下的椽的运费．方程体现了“剩下的椽的运费等于一株椽的价钱”的关系，因此缺失条件应为每株椽的运费是3文． 【详解】解：设这批椽的数量为株，则每株椽的价钱为 文． ∵少拿一株后，剩下的椽的运费等于一株椽的价钱， ∴剩下的椽的运费=每株运费一株椽的价钱． ∵给定方程为， ∴每株运费为 3文． 故缺失条件为“每株椽的运费是3文”，对应选项 A． 故选A． 【变式10-2】．（24-25八年级下·河南开封·月考）种粮大户蔡伯伯准备租用A，B两种型号的收割机收割小麦，已知A型收割机收割100亩小麦的时间与B型收割机收割80亩小麦的时间相同，A型收割机每小时比B型收割机多收割2亩小麦． (1)两种型号的收割机每天各可收割小麦多少亩？（以每天工作8小时计算） (2)已知两种收割机在收割小麦过程中，都会造成一定程度的遗落或破损，两种型号收割机造成每亩的损失率分别为和，已知蔡伯伯家有1000亩小麦成熟待收割，计划租用两种型号的收割机在一天内完成收割任务，若要使小麦的损失率不超过，则蔡伯伯最多可租用A型收割机多少台？ 【答案】(1)型号的收割机每天可收割小麦80亩，型号的收割机每天可收割小麦64亩 (2)5台 【分析】本题考查了分式方程与一元一次不等式在实际问题中的应用，通过设合适的未知数建立方程和不等式是解决本题的关键． （1）利用“A型收割机收割100亩小麦的时间与B型收割机收割80亩小麦的时间相同”这一条件建立分式方程，从而可求解A型收割机与B型收割机每小时的收割亩数，进而可得到每天的收割亩数； （2）由（1）中结论可得A型收割机一天收割亩，由此可得B型收割机一天收割的亩数，再根据“两种型号收割机的损失率以及总损失率不超过”这一限制条件列不等式，可求解出租用A型收割机数量的最大值，由此可求解． 【详解】（1）解：∵A型收割机每小时比B型收割机多收割2亩小麦， 设B型收割机每小时收割小麦x亩，则A型收割机每小时收割小麦亩， ∵A型收割机收割100亩小麦的时间与B型收割机收割80亩小麦的时间相同， ∴， 即，解得， 经检验，是原方程的根， ∴A型收割机每小时收割小麦10亩，B型收割机每小时收割小麦8亩， ∵每天工作8小时， ∴，， 答：型号的收割机每天可收割小麦80亩，型号的收割机每天可收割小麦64亩； （2）解：设租用A型收割机a台， 则A型收割机一天收割亩， ∴租用B型收割机收割亩， ∵两种型号收割机造成每亩的损失率分别为和， 且小麦的损失率不超过， ∴， 整理可得， 即，解得， 答：蔡伯伯最多可租用A型收割机5台． 【变式10-3】．（24-25八年级下·河南平顶山·期末）月日为世界读书日，习近平总书记曾说，读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．某校八年级决定购买获得茅盾文学奖的、两种书．已知每本种书比每本种书多元，若购买相同数量的、两种书分别需花费元和元． (1)求、两种书的单价； (2)如果学校决定再次购买、两种书共本，总费用不超过元，那么该校最多可以购买种书多少本？ 【答案】(1)、两种书的单价分别为元、元 (2)该校最多购买本种书 【分析】（1）设种书的单价为元，则种书的单价为元，由题意列出分式方程后求解即可； （2）设该校购买了种书本，则购买了种书本，由题意列出一元一次不等式后求解即可． 【详解】（1）解：设种书的单价为元，则种书的单价为元， 由题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合实际， ， 答：、两种书的单价分别为元、元． （2）解：设该校购买了种书本，则购买了种书本， 则， 解得：， 必须为正整数， 该校最多购买本种书． 【点睛】本题考查的知识点是分式方程的实际应用、一元一次不等式的实际应用，解题关键是正确理解题意． 【培优提升】 1．（24-25八年级下·甘肃天水·期末）方程（    ） A．解为 B．无解 C．解为任何实数 D．解为的任何实数 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程解法，解分式方程需考虑分母不为零的条件，方程两边分母相同，直接比较分子，但所得解使分母为零，故无解． 【详解】∵ 分母 ，即 ， 又 ∵ ， ∴ 两边同乘 （），得 ， 但 与 矛盾， ∴ 原方程无解． 故选B． 2．（25-26八年级上·山东烟台·期中）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式方程的增根和解分式方程等知识点，分式方程有增根时，增根为使分母为零的值，即．将方程化为整式方程后，代入增根求解． 【详解】∵方程， 去分母，两边乘以得：， ∴， 整理得：， ∴， ∵增根为， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 3．（25-26八年级上·湖南永州·期中）已知关于的分式方程，若这个方程无解，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是分式方程无解的情况，解题关键是熟练掌握解分式方程． 分式方程无解的情况有两种：一是化简后的整式方程矛盾（如非零常数），二是解出的根使原方程分母为零，先将方程化简为 ，再求解整式方程，并考虑分母不为零的条件． 【详解】解：原方程， 又， ， 方程化为，即， 两边同乘得，， 整理得，， ， ， 当时，， 方程无解的情况： ①当时，方程化为，即，矛盾，无解； ②当时，原方程分母为零，无解，即 ，解得，， 综上，或时方程无解． 故选：． 4．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·月考）《九章算术》中的驿站送信问题：一份文件，若用慢马送到里的城市，所需时间比规定时间多用1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少用3天，已知快马的速度是慢马速度的2倍．设规定时间是x天，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键。设规定时间为天，则慢马用时天，快马用时天，根据快马速度是慢马速度的2倍列方程即可. 【详解】解：慢马速度，快马速度，且快马速度慢马速度， ∴ ， 故选：A. 5．（25-26九年级上·黑龙江七台河·月考）如果关于x的分式方程 的解是正数，那么实数 m的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，先解分式方程，得到解的表达形式，再根据解为正数且分母不为零，列出不等式求解． 【详解】∵ ， 去分母得，， ∴ ，且，即． ∵ 解是正数， ∴ ，即 ， ∴ ． 综上，， 故选：C． 6．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）定义，若，则x的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，解分式方程（化为一元一次）等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据定义，分两种情况讨论：当时和当时，分别代入定义式求解方程． 【详解】解：∵， ∴分两种情况： ①当时，， ∴， 解得：， 经检验：是分式方程的根． ②当时，， ∴， 解得：． 经检验：是分式方程的根． ∴的值为或10． 故选：B． 7．（25-26八年级上·内蒙古·期末）一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为千米/时，则可列方程（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列分式方程解决行程问题，解题的关键是找出等量关系． 根据时间相等，顺流航行速度为静水速度加水流速度，逆流航行速度为静水速度减水流速度，分别表示顺流和逆流的时间，并令其相等即可得到方程． 【详解】解：设江水的流速为千米/时，则顺流速度，逆流速度，根据题意得， ， 故选：A． 8．（25-26八年级上·山东泰安·期中）欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着个鸡蛋去市场卖，两人鸡蛋数不同，卖得的钱数相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我的单价不变，可以卖得个铜板．”乙农妇回答道：“你的鸡蛋如果换给我，我单价不变，我就只能卖得个铜板．”问两人各有多少个鸡蛋？设甲农妇有个鸡蛋，则根据题意可以列出方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找到等量关系，设甲农妇有个鸡蛋，则乙农妇有个鸡蛋，甲单价为，乙单价为，根据卖得钱数相同即可得方程． 【详解】解：设甲农妇有个鸡蛋，则乙农妇有个鸡蛋， 根据题意得， 故选：A． 9．（25-26八年级上·广西贵港·期中）若分式方程无解，则m的值为（   ） A．2 B．4 C．2或 D．4或 【答案】D 【分析】本题考查解分式方程，掌握相关知识是解决问题的关键．原分式方程可解得，若此分式方程无解即这个根是增根，据此解答即可． 【详解】解： 两边同乘公分母 ： ， ， 原分式方程无解即为增根， 即 或 ， 当时，则 ，解得 ； 当时，则，解得 ． ∴ 或 时方程无解． 故选： D． 10．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）若关于x的分式方程无解，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程无解的情况，准确的计算是解决本题的关键． 先将分式方程去分母，化为整式方程，当分式方程无解时，即时，进而即可求解． 【详解】解： 解得， 由题意得，当方程无解时，解为增根， 即，代入得， 解得． 故答案为：． 11．（25-26七年级上·上海普陀·月考）随着绿色发展理念的倡导，新能源汽车逐渐普及，市民对充电桩的使用需求日益增强，某停车场计划购买A、B两种型号的充电桩，已知B型充电桩比A型充电桩的单价多1万元，且用10万元购买A型充电桩与用12万元购买B型充电桩的数量相等．设A型充电桩的单价是x万元，那么根据题意可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的应用，关键是根据购买数量相等列出方程．设A型充电桩的单价是万元，则B型充电桩的单价为万元，根据用10万元购买A型充电桩与用12万元购买B型充电桩的数量相等，列出方程即可． 【详解】解：设A型充电桩的单价是万元，则B型充电桩的单价为万元， 根据题意得， 故答案为：． 12．（25-26八年级上·湖南常德·期中）有下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨，其中是分式方程的是 ．（填序号） 【答案】③④⑤⑨ 【分析】本题考查了分式方程的定义．根据分式方程的定义，分母中含有未知数的方程称为分式方程．逐项判断各方程的分母是否含有未知数即可． 【详解】解：方程①的分母为，是常数，不含未知数，故不是分式方程； 方程②的分母为，是常数，不含未知数，故不是分式方程； 方程③的分母为，含有未知数，故是分式方程； 方程④的分母为，含有未知数，故是分式方程； 方程⑤的分母为，含有未知数，故是分式方程； 方程⑥无分母或分母为常数，故不是分式方程； 方程⑦的分母为和，均为常数，不含未知数，故不是分式方程； 方程⑧不是方程，故不考虑； 方程⑨的分母为和，均含有未知数，故是分式方程． 因此，分式方程为③④⑤⑨． 故答案为：③④⑤⑨． 13．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）“激情全运会，活力大湾区.”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景．全运会纪念品深受大家喜爱，其中型号纪念品比型号纪念品的单价多30元，用880元购买型号纪念品的数量是用290元购买型号纪念品数量的2倍， (1)求，两种型号纪念品的单价分别是多少元？ (2)若计划购买，两种型号的纪念品共100个，且所花费用不超过6400元，求最多能购买多少个型号的纪念品? 【答案】(1)购买一个型号纪念品的单价为元，购买一个型号纪念品的单价为元 (2)最多能购买个型号的纪念品 【分析】本题主要考查分式方程，不等式的运用，理解数量关系正确列式求解是关键． （1）设购买一个型号纪念品的单价为元，则购买一个型号纪念品的单价为元，结合题意列分式方程求解即可； （2）设购买型号的纪念品有个，则购买型号的纪念品有个，由此列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设购买一个型号纪念品的单价为元，则购买一个型号纪念品的单价为元， ∴， 解得，， 经检验，当时，原方程有意义， ∴， ∴购买一个型号纪念品的单价为元，购买一个型号纪念品的单价为元； （2）解：设购买型号的纪念品有个，则购买型号的纪念品有个， ∴， 解得，， ∴最多能购买个型号的纪念品． 14．（25-26八年级上·山东淄博·期中）某商人经营甲、乙两种商品，每件甲种商品的利润率为，每件乙种商品的利润率为．（商品利润率） (1)当售出的乙种商品的件数是售出的甲种商品件数的倍时，这个商人得到的总利润率为，设甲种商品的进价为元，乙种商品的进价为元，请求出的值； (2)当售出的甲、乙两种商品的件数相等时，求此时这个商人的总利润率． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查考查了分式方程的应用，分式的应用，读懂题意，列出方程和分式是解题的关键． （）由每件甲种商品的利润率为，每件乙种商品的利润率为，甲种商品的进价为元，乙种商品的进价为元，则甲种商品的售出价为元，乙种商品的售出价为元，设售出甲种商品件，则售出乙种商品件，根据题意得，然后求解即可； （）设售出的甲、乙两种商品的件数均为，则商人的总利润率，然后通过分式运算即可． 【详解】（1）解：∵每件甲种商品的利润率为，每件乙种商品的利润率为，甲种商品的进价为元，乙种商品的进价为元， ∴甲种商品的售出价为元，乙种商品的售出价为元， 设售出甲种商品件，则售出乙种商品件， 根据题意，得， 解得：， 所以，； （2）解：设售出的甲、乙两种商品的件数均为，则 商人的总利润率， ， 答：此时这个商人的总利润率为． 15．（25-26九年级上·重庆·月考）列方程解决下列问题： 某民营快递公司计划购买，两种型号的货车搬运货物．每台型货车比每台型货车的载重量少吨，且搬运吨货物所需型货车的台数与搬运吨货物所需型货车的台数相同． (1)求型和型货车每台的载重量； (2)该公司共采购台这两种型号的货车来搬运一批货物．若一半的货运量用型货车搬运，则剩余吨；另一半的货运量用型货车搬运，则型货车装不满，且采购型货车不少于辆，求该公司有哪几种采购方案． 【答案】(1)型货车每台载重量为吨，型货车每台载重量为吨； (2)采购型货车台，型货车台． 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，找准等量关系，正确列出分式方程和一元一次不等式组是解题的关键． （）设型货车每台载重量为吨，则型货车每台载重量为吨，根据题意方程，然后解方程并检验即可； （）设该公司采购型货车台，则采购型货车台，由题意得，然后解不等式组得，再由为正整数，得，从而求解． 【详解】（1）解：设型货车每台载重量为吨，则型货车每台载重量为吨， 根据题意，得方程， 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意， ， 答：型货车每台载重量为吨，型货车每台载重量为吨； （2）解：设该公司采购型货车台，则采购型货车台， 由题意得， 解得：， ∵为正整数， ∴， ∴该公司采购方案：采购型货车台，型货车台． 16．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）下面是嘉淇学习了“分式方程的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并解决相应的问题． 题目：松滋作为“柑橘之乡”，柑橘产业蓬勃发展．今年，松滋某柑橘种植园迎来大丰收，现计划将一批柑橘用载重量相同的大、小两种货车同时运往外地销售．该种植园共有350吨柑橘待运．已知满载时，大货车每辆运输量比小货车多15吨，每辆大货车运完50吨柑橘的次数与每辆小货车运完20吨柑橘的次数相同．求大货车、小货车每辆每次运输柑橘各多少吨？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…… 等量关系：大货车运输50吨柑橘的次数与小货车运输20吨柑橘的次数相同． 解法二 设…… 等量关系：大货车每辆每次运输量小货车每辆每次运输量 (1)解法一所列方程中的x表示________（填序号），解法二所列方程中的x表示________（填序号）；①小货车每辆运输x吨；②大货车每辆运输x吨；③一辆大货车运输完50吨需x次． (2)请你选择其中的一种解法，解方程并解决题目中提出的问题． (3)已知大货车运输费用为每吨30元，小货车运输费用为每吨10元，若要一次性全部运完这批柑橘，且运输的总费用不超过10000元，至少需要安排几辆小货车？ 【答案】(1)①；③ (2)解法一：；解法二：；大货车每次运输柑橘吨，小货车每次运输柑橘10吨 (3)至少需要安排5辆小货车 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，解题的关键在于根据题意建立方程和不等式． （1）根据所列方程分析即可； （2）根据解分式方程步骤求解，进而得出大货车、小货车每辆每次运输柑橘的吨数，即可解题； （3）设安排y辆小货车，则安排辆大货车．根据“运输的总费用不超过10000元”建立不等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：根据所列方程可知，解法一所列方程中的x表示①小货车每辆运输x吨； 解法二所列方程中的x表示③一辆大货车运输完50吨需x次； 故答案为：①；③． （2）解法一： 方程两边同乘， 得， 解得，检验，当时，， 所以，为原分式方程的解．            ∴大货车每次运输柑橘吨，小货车每次运输柑橘10吨．       解法二： 方程两边同乘x，得：， 解得， 检验，当时，， 所以，为原分式方程的解．        ∴大货车每次运输柑橘吨，小货车每次运输柑橘吨． （3）解：设安排y辆小货车，则安排辆大货车． 根据题意得：，          解得：；    ∵y，为整数， 又， y为的倍数， y的最小值为5， 答：至少需要安排5辆小货车． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习专题4 分式方程（10大题型） 知识点+题型专练+解题技巧+培优提升 【知识点1 分式方程的概念】 1 【知识点2 分式方程的解法】 1 【知识点3 列分式方程解决问题】 2 【题型1 分式方程定义】 3 【题型2 解分式方程】 4 【题型4 分式方程无解问题】 9 【题型5 列分式方程】 11 【题型6 分式方程的行程问题】 13 【题型7 分式方程的工程问题】 16 【题型8 分式方程的经济问题】 21 【题型9 分式方程和差倍分问题】 24 【题型10 分式方程的其它实际问题】 28 【培优提升】 31 【知识点1 分式方程的概念】 1. 分母中含有未知数的方程叫分式方程，如等这样的方程叫做分式方程. 2. 分母中含有字母的方程不一定是分式方程，如关于x的方程，这里的字母a不是未知数，所以不是分式方程. 3. 分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. 4. 在判断一个方程是否为分式方程时，不能先约分再判断，如在约分前是分式方程，约分后就变成了整式方程. 5. 分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程. 6. 分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 【知识点2 分式方程的解法】 1. 解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根. 2. 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 3. 解分式方程产生增根的原因 方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根. 产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. （1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根； （2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的. 【知识点3 列分式方程解决问题】 1. 列分式方程解应用题按下列步骤进行： （1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系； （2）设未知数； （3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程； （4）解这个分式方程； （5）验根，检验是否是增根； （6）写出答案. 2. 分式方程解决问题的主要类型： （1）利润问题：利润＝售价－进价；利润率＝利润/进价×100%； （2）工程问题：工作总量＝工作效率×工作时间； （3）行程问题：路程＝速度×时间. 【题型1 分式方程定义】 解题技巧：熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．分母中含有未知数的有理方程叫做分式方程．根据分式方程的定义逐一分析各方程是否符合条件． 【典例1】．（24-25八年级上·上海·月考）下列关于x的方程中：①；②；③；④，分式方程有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-1】．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）下列方程不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】．（24-25八年级下·上海普陀·期末）下列关于的方程中，属于整式方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】．（24-25八年级上·山东威海·期中）已知方程：①；②；③；④；⑤；⑥，是分式方程的是（    ） A．①②③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②④ 【题型2 解分式方程】 解题技巧：解分式方程的核心思路是 “去分母，化分式方程为整式方程”，再通过解整式方程、检验根的有效性，最终得到分式方程的解。 1. 化分式方程为整式方程（去分母） 第一步：找最简公分母 最简公分母的确定方法： 取各分母系数的 最小公倍数； 取各分母中所有字母（或多项式因式）的 最高次幂； 若分母是多项式，先因式分解，再确定最简公分母。 第二步：两边同乘最简公分母 方程两边每一项都要乘最简公分母，不含分母的项也不能漏乘，然后约去分母，转化为整式方程。 2.解转化后的整式方程 按照整式方程（一元一次方程、一元二次方程等）的解法求解未知数的值。 3. 检验根的有效性（必不可少的步骤） 分式方程去分母时，可能会产生 增根（使原分式方程分母为 0 的根，不是原方程的解），因此必须检验。 检验方法：将整式方程的解代入 最简公分母，若最简公分母的值 不为 0，则是原分式方程的解；若为 0，则是增根，舍去。 【典例2】．（2025·四川乐山·二模）将分式方程去分母后可得整式方程为（   ）． A． B． C． D． 【变式2-1】．（2025八年级上·江西赣州·专题练习）解方程：． 【变式2-2】．（25-26八年级上·湖南永州·期中）解方程： (1) (2)． 【变式2-3】．（25-26八年级上·山东威海·期中）解分式方程 (1)； (2) 【题型3 根据分式方程的解的情况】 解题技巧：解题的关键是先将分式方程化为整式方程求解，再结合分式有意义的条件（分母不为0）和解的正负性确定参数范围． 【典例3】．（25-26八年级上·山东淄博·期中）已知关于x的方程解为正数，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【变式3-1】．（25-26八年级上·山东烟台·期中）关于x的方程的解是负数，则的取值范围为 ． 【变式3-2】．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）已知关于的方程的解是正数，则的取值范围为（   ） A． B． C．且 D． 【变式3-3】．（25-26八年级上·北京顺义·期中）已知关于的方程的解为0，则的值为 ． 【题型4 分式方程无解问题】 解题技巧：分式方程无解的情况包括：解出的根使分母为零（增根），或化简后的整式方程无解（矛盾），由此计算即可得解，熟练掌握分式方程无解的情况是解此题的关键． 【典例4】．（25-26九年级上·黑龙江大兴安岭·月考）若关于的分式方程无解，则的值是（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【变式4-1】．（25-26八年级上·山东泰安·期中）关于x的分式方程无解，则n的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．或 【变式4-2】．（2025八年级上·江西赣州·专题练习）关于的分式方程无解，则的值为 ． 【变式4-3】．（25-26九年级上·黑龙江七台河·期中）若关于的分式方程无解，则需满足的条件是（  ） A．和 B． C． D．且 【题型5 列分式方程】 解题技巧：关键是找准等量关系，正确列出分式方程。 【典例5】．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）某工厂计划生产300个零件，由于采用新技术，实际每天生产的零件数比原计划多，结果提前2天完成任务．设原计划每天生产个零件，可列方程为（） A． B． C． D． 【变式5-1】．（25-26八年级上·全国·期末）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则下列列出的分式方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】．（25-26八年级上·全国·期末）我国著名院士袁隆平被誉为“杂交水稻之父”，他在杂交水稻事业方面取得了巨大成就．某水稻研究基地统计，杂交水稻的亩产量比传统水稻的亩产量多400千克，总产量同为3000千克的杂交水稻种植面积比传统水稻种植面积少2亩．若设传统水稻亩产量为x千克，则下列方程正确的是（ ）（亩：市制土地面积计量单位） A． B． C． D． 【变式5-3】．（2025八年级上·江西赣州·专题练习）已知甲、乙两名同学各带60元和45元去文具店购买文具，甲购买笔记本，乙购买钢笔．已知钢笔的单价是笔记本的2倍少3元，结账时甲购买的笔记本数比乙购买的钢笔数多4．若设笔记本的单价为元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【题型6 分式方程的行程问题】 解题技巧：行程问题需要注意是相遇问题还是追及问题 相遇问题：（甲速度+乙速度）×时间=总路程 追击问题：（快－慢）×时间=距离 【典例6】．（25-26八年级上·全国·单元测试）随着生活水平的提高，李亮购买了新能源电动汽车，他开电动汽车上班比乘公交车上班所需的时间少用了15分钟（电动汽车与公交车所走路程完全一致），已知电动汽车的平均速度是公交车的倍，李亮家到上班地点的路程为8千米．设乘公交车平均每小时走千米，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 【变式6-1】．（25-26八年级上·湖南株洲·期中）新型客机是我国自主研制的客机，年月，该客机开始执行“北京——长沙”的定期商业航线，两地的航线距离约为，该新型客机的平均速度比普通客机的平均速度提高了，航行时间节约了设该新型客机的平均速度为，则根据题意可列方程为（ ） A． B． C． D． 【变式6-2】．（25-26九年级上·北京·月考）秋天是北京四季中最美的季节，深秋的北京香山更是景美如画，金代诗人周昂在《香山》中用诗句“山林朝市两茫然，红叶黄花白一川”描绘了香山红叶与黄花交相辉映的自然美景．小明和小亮都是登山爱好者．金秋十月，两人相约去香山爬山赏景，挑战香炉峰．小明沿北线步道上山，小亮沿南线步道上山，北线步道长度为，南线步道长度为．两人分别从各自步道起点同时出发，小明比小亮每小时少走，结果小明和小亮同时到达终点，求两人每小时各走多少千米？ 【变式6-3】．（25-26八年级上·山东泰安·期中）2025数字中国创新大赛–中小学生赛道，决赛是用电脑程序控制智能赛车进行30米比赛，“天元号”和“朝阳号”两辆赛车在第一轮比赛时，两辆赛车从起点同时出发，当“天元号”到达终点时，“朝阳号”才行驶到全程的，“天元号”比“朝阳号”每秒多行0.8米． (1)求“朝阳号”的行驶速度； (2)如果将“天元号”的行驶路程增加，“朝阳号”的行驶路程不变，两辆赛车再次重新比赛，两车能同时到达吗？通过计算说明； (3)若按照（2）中的路程行驶，请你调整其中一辆赛车的行驶速度，使两车能同时到达终点． 【题型7 分式方程的工程问题】 解题技巧：工程问题，常设工程总量为单位“1”，然后利用公式：工作效率×工作时间=工作总量来列写等量方程。 【典例7】．（25-26八年级上·全国·课后作业）某足球生产厂计划生产4800个足球，在生产完1200个后，采用了新技术，工作效率比原计划提高了，结果共用了21天完成全部任务．设原计划每天生产个足球，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】．（25-26八年级上·河北沧州·期中）全国两会期间，大火，从大会发言人、部长们的点赞，到代表委员们的热议，参与掀起的“人工智能+”浪潮席卷而来．某单位利用公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比多一倍．若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】．（25-26八年级上·河北沧州·期中）某学校计划利用暑假时间（共51天）对教室墙壁进行粉刷，现有甲、乙两个工程队来承包，调查发现：乙队单独完成工程的时间是甲队的1.5倍；甲、乙两队合作完成工程需要30天，甲队每天的工作费用为1000元，乙队每天的工作费用为700元．根据以上信息，求： (1)甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ (2)①从时间的角度考虑，学校应选择哪个工程队？ ②从资金的角度考虑，学校应选择哪个工程队？ 【变式7-3】．（25-26八年级上·山东泰安·期中）下面是小亮学习了“分式方程的应用”后所整理的课堂学习笔记． 题目： 甲、乙两名工人加工同一种零件，甲每天比乙多加工20个．若甲加工2000个零件与乙加工1200个零件所用的时间相同，求甲、乙两名工人每天各加工多少个零件？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设……为…… 等量关系：甲加工2000个零件所用的时间乙加工1200个零件所用的时间 根据等量关系可列出方程为：___________ 解法二 设……为…… 等量关系：甲工人每天加工的零件个数乙工人每天加工的零件个数 根据等量关系可列出方程为：___________ 请认真阅读笔记内容，完成下列任务： (1)解法一所设的未知数表示________（填序号）；根据等量关系可列出方程为________． ①表示甲工人每天加工零件的个数； ②表示甲工人加工2000个零件所用的天数； ③表示乙工人加工1200个零件所用的天数； (2)解法二所设的未知数表示________（填序号）；根据等量关系可列出方程为__________． ①表示甲工人每天加工零件的个数； ②表示甲工人加工2000个零件所用的天数； ③表示乙工人每天加工零件的个数； (3)根据以上解法中的一种，求出甲、乙两名工人每天各加工多少个零件． 【题型8 分式方程的经济问题】 解题技巧：找出相等关系，列出分式方程 【典例8】．（2025·山东德州·中考真题）如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程进行解答．则被墨水污染部分的文字为（   ） A．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次多买了10个 B．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次少买了10个 C．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次多买了10个 D．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个 【变式8-1】．（24-25八年级上·河北承德·月考）某公司欲查询某款商品的进价，发现进货单（如图）已被墨水污染，商品采购员甲和仓库保管员乙对采购情况回忆如下． 甲：①号商品进价比②号商品进价每件高； 乙：①号商品比②号商品的数量多40件． 商品 进价（元/件） 数量（件） 总金额（元） ① 7200 ② 3200 若两人所说的内容均符合实际情况，则下列判断正确的是（   ） A．①号商品的进价为60元/件 B．②号商品的进价为80元/件 C．①号商品的数量为80件 D．②号商品的数量为40件 【变式8-2】．（25-26八年级上·重庆·期中）中秋节是中华民族的传统节日，每年节前，大家都有购买月饼的习惯．有一家超市准备购进甲、乙两种月饼以便出售给顾客，甲种月饼的进货单价是乙种月饼进货单价的倍．且用1000元购进甲种月饼的数量，比用900元购进乙种月饼的数量要少20盒． (1)甲、乙两种月饼的进货单价分别是多少？ (2)超市一共购进了甲、乙两种月饼共100盒，甲种月饼的售价定为50元，乙种月饼的售价定为30元，乙种月饼按计划按时卖完．甲种月饼卖了后．发现销售不理想，所以按原售价打8折后又卖出一部分，但直到中秋节过了后，还有5盒没有卖出，最后就按5元一盒的价格处理售出，如果售出这些月饼的利润不少于1490元，则甲种月饼至少要购进多少盒？ 【变式8-3】．（25-26八年级上·河北唐山·期中）为进一步丰富学生的课间生活，学校打算购买一些排球和足球，某体育用品店给出了报价表不慎被墨水污染了． 球类 单价（元/个） 数量（个） 总金额（元） 足球 7200 排球 3200 王老师：我记得足球的单价比排球单价高； 李老师：我记得足球的数量比排球数量多40个． 在计算足球的单价和排球的购买数量，嘉嘉和琪琪给出部分解答过程： 嘉嘉：列出方程：； 琪琪：解设排球的单价为元/个，足球的单价为___________元/个（用含的代数式表示），依题意列方程得：___________； (1)根据嘉嘉所列的方程，写出的实际意义； (2)补充琪琪的解题过程，并按琪琪的思路帮忙计算足球的单价和排球的购买数量． 【题型9 分式方程和差倍分问题】 解题技巧：抓住相等关系，列出分式方程。 【典例9】．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产量30万千克，为了满足市场需求．现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为万千克，根据题意，列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】．（2025八年级上·全国·专题练习）某边防哨所运来一筐苹果，共有个．计划每名战士分得数量相同的若干个苹果，结果还剩个苹果；改为每名战士再多分个，结果还差个苹果．那么，这个哨所共有多少名战士？ 【变式9-2】．（25-26八年级上·吉林长春·期中）随着人工智能的发展，智能机器人在人们生产和生活领域深入越来越广泛．某图书馆为提高工作效率，增强读者读书体验，计划在不同区域引入A、B两种智能机器人执行还书任务，A型机器人比B型机器人每小时多还书本，A型机器人还本书所用的时间与B 型机器人还本书所用的时间相等．求B种机器人每小时还多少本书？ 【变式9-3】．（25-26八年级上·湖南岳阳·期中）下图是学分式方程的应用时，老师板书的问题和两名同学所列方程． 八（1）班、八（2）班两班师生前往某园林参加义务植树活动．已知八（1）班每天比八（2）班多种10棵树．如果分配给八（1）班、八（2）班两班的植树任务分别是150棵和120棵，问两个班每天各植树多少棵，才能同时完成任务？ 欣欣：     兰兰： 根据以上信息，回答下列问题： (1)欣欣同学所列方程中的表示：___________________，它的等量关系是：___________________；兰兰同学所列方程中的表示：___________________，它的等量关系是：___________________； (2)从以上两个同学所列方程中选择一个方程，回答老师提出的问题． 【题型10 分式方程的其它实际问题】 解题技巧：抓住相等关系，列出分式方程。 【典例10】．（25-26八年级上·河北邢台·期中）《四元玉鉴》是中国古代著名的数学专著，书里记载了一道这样的题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文．只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文，问绫、罗尺价各几何？”题目译文如下：现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈尺），已知绫布和罗布分别售出后均能收入896文；绫布和罗布各出售1尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？ 若设某个量为x，根据题意可列方程，则x（   ） A．只能表示绫布的长度 B．只能表示罗布每尺的价格 C．既可以表示绫布的长度，又可以表示罗布的长度 D．既可以表示绫布每尺的价格，又可以表示罗布每尺的价格 【变式10-1】．（25-26八年级上·河北保定·期中）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题，其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果■，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．设这批椽的数量为株，则可得方程为，根据此情境，题中“■”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是（   ） A．每株椽的运费是3文 B．一株椽的价钱是3文 C．剩下的椽的运费是3文 D．剩下的椽的价钱是3文 【变式10-2】．（24-25八年级下·河南开封·月考）种粮大户蔡伯伯准备租用A，B两种型号的收割机收割小麦，已知A型收割机收割100亩小麦的时间与B型收割机收割80亩小麦的时间相同，A型收割机每小时比B型收割机多收割2亩小麦． (1)两种型号的收割机每天各可收割小麦多少亩？（以每天工作8小时计算） (2)已知两种收割机在收割小麦过程中，都会造成一定程度的遗落或破损，两种型号收割机造成每亩的损失率分别为和，已知蔡伯伯家有1000亩小麦成熟待收割，计划租用两种型号的收割机在一天内完成收割任务，若要使小麦的损失率不超过，则蔡伯伯最多可租用A型收割机多少台？ 【变式10-3】．（24-25八年级下·河南平顶山·期末）月日为世界读书日，习近平总书记曾说，读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．某校八年级决定购买获得茅盾文学奖的、两种书．已知每本种书比每本种书多元，若购买相同数量的、两种书分别需花费元和元． (1)求、两种书的单价； (2)如果学校决定再次购买、两种书共本，总费用不超过元，那么该校最多可以购买种书多少本？ 【培优提升】 1．（24-25八年级下·甘肃天水·期末）方程（    ） A．解为 B．无解 C．解为任何实数 D．解为的任何实数 2．（25-26八年级上·山东烟台·期中）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·湖南永州·期中）已知关于的分式方程，若这个方程无解，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 4．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·月考）《九章算术》中的驿站送信问题：一份文件，若用慢马送到里的城市，所需时间比规定时间多用1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少用3天，已知快马的速度是慢马速度的2倍．设规定时间是x天，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·黑龙江七台河·月考）如果关于x的分式方程 的解是正数，那么实数 m的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 6．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）定义，若，则x的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 7．（25-26八年级上·内蒙古·期末）一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为千米/时，则可列方程（ ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·山东泰安·期中）欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着个鸡蛋去市场卖，两人鸡蛋数不同，卖得的钱数相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我的单价不变，可以卖得个铜板．”乙农妇回答道：“你的鸡蛋如果换给我，我单价不变，我就只能卖得个铜板．”问两人各有多少个鸡蛋？设甲农妇有个鸡蛋，则根据题意可以列出方程（   ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·广西贵港·期中）若分式方程无解，则m的值为（   ） A．2 B．4 C．2或 D．4或 10．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）若关于x的分式方程无解，则k的值为 ． 11．（25-26七年级上·上海普陀·月考）随着绿色发展理念的倡导，新能源汽车逐渐普及，市民对充电桩的使用需求日益增强，某停车场计划购买A、B两种型号的充电桩，已知B型充电桩比A型充电桩的单价多1万元，且用10万元购买A型充电桩与用12万元购买B型充电桩的数量相等．设A型充电桩的单价是x万元，那么根据题意可列方程 ． 12．（25-26八年级上·湖南常德·期中）有下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨，其中是分式方程的是 ．（填序号） 13．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）“激情全运会，活力大湾区.”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景．全运会纪念品深受大家喜爱，其中型号纪念品比型号纪念品的单价多30元，用880元购买型号纪念品的数量是用290元购买型号纪念品数量的2倍， (1)求，两种型号纪念品的单价分别是多少元？ (2)若计划购买，两种型号的纪念品共100个，且所花费用不超过6400元，求最多能购买多少个型号的纪念品? 14．（25-26八年级上·山东淄博·期中）某商人经营甲、乙两种商品，每件甲种商品的利润率为，每件乙种商品的利润率为．（商品利润率） (1)当售出的乙种商品的件数是售出的甲种商品件数的倍时，这个商人得到的总利润率为，设甲种商品的进价为元，乙种商品的进价为元，请求出的值； (2)当售出的甲、乙两种商品的件数相等时，求此时这个商人的总利润率． 15．（25-26九年级上·重庆·月考）列方程解决下列问题： 某民营快递公司计划购买，两种型号的货车搬运货物．每台型货车比每台型货车的载重量少吨，且搬运吨货物所需型货车的台数与搬运吨货物所需型货车的台数相同． (1)求型和型货车每台的载重量； (2)该公司共采购台这两种型号的货车来搬运一批货物．若一半的货运量用型货车搬运，则剩余吨；另一半的货运量用型货车搬运，则型货车装不满，且采购型货车不少于辆，求该公司有哪几种采购方案． 16．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）下面是嘉淇学习了“分式方程的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并解决相应的问题． 题目：松滋作为“柑橘之乡”，柑橘产业蓬勃发展．今年，松滋某柑橘种植园迎来大丰收，现计划将一批柑橘用载重量相同的大、小两种货车同时运往外地销售．该种植园共有350吨柑橘待运．已知满载时，大货车每辆运输量比小货车多15吨，每辆大货车运完50吨柑橘的次数与每辆小货车运完20吨柑橘的次数相同．求大货车、小货车每辆每次运输柑橘各多少吨？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…… 等量关系：大货车运输50吨柑橘的次数与小货车运输20吨柑橘的次数相同． 解法二 设…… 等量关系：大货车每辆每次运输量小货车每辆每次运输量 (1)解法一所列方程中的x表示________（填序号），解法二所列方程中的x表示________（填序号）；①小货车每辆运输x吨；②大货车每辆运输x吨；③一辆大货车运输完50吨需x次． (2)请你选择其中的一种解法，解方程并解决题目中提出的问题． (3)已知大货车运输费用为每吨30元，小货车运输费用为每吨10元，若要一次性全部运完这批柑橘，且运输的总费用不超过10000元，至少需要安排几辆小货车？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $