1.第十三章 三角形（培优滚动练）-【零障碍导教导学案】2025-2026学年八年级上册数学（人教版·新教材）

第十三章 一与三角形有关的线段 1.三角形的三边长分别为5,1+2x,8,则x的取值 范围是 2.(2024·海珠区一模)在△ABC中，AB=20,BC= 18,BD是边AC上的中线.若△ABD的周长为 45,则△BCD的周长为 A.47 B.43 C.38 D.25 3.三个数3,1-a,1-2a在数轴上从左到右依次排 列，且以这三个数为边长能构成三角形，则a的 取值范围为 4.已知a,b,c为三角形的三边长，化简a+b-c- |b-a-c的结果是 () A.0 B.2a C.2a+2c D.26-2c 5.a,b,c分别为△ABC的三边长，且满足a+b=3c 2,a-b=2c-6. (1)求c的取值范围； (2)若△ABC的周长为18，求c的值. 6.小刚准备用一段长50米的篱笆围成一个三角形形 状的场地，用于饲养鸡.已知第一条边长为m米， 由于条件限制，第二条边长只能比第一条边长的 3倍少2米 (1)用含m的式子表示第三条边长. (2)第一条边长能否为10米？为什么？ (3)若第一条边长最短，求m的取值范围. 数学·八上·RJ 三角形 二与三角形有关的角 7.（2024·东莞期中)如图，在△DEF中，∠F=35°. 若沿图中虚线截去∠F,则∠1+∠2= 第7题图 第8题图 8.(2024·广州期中)如图，一副三角板叠放在 起，则∠α的度数是 9.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°.将 △ABC沿直线m翻折，点A落在点D的位置，则 ∠1-∠2的度数是 () A.30° B.45° C.60° D.75 .A C D 第9题图 第12题图 10.已知△ABC中，∠B=2∠A,∠C=∠A+40°，则 ∠A的度数为 1.当三角形中一个内角B是另外一个内角α的2 时，我们称此三角形为“友好三角形”，为“友 好角”.如果一个“友好三角形”中有一个内角为 42°，那么这个“友好三角形”的“友好角a”的度 数为 12.如图，在△ABC中，设∠A=x°，∠ABC与△ABC 的外角∠ACD的平分线相交于点A1,得∠A1; ∠ABC与∠A1CD的平分线相交于点A2,得 ∠A2;…;∠A22sBC与A22sCD的平分线相交于 点A26,得LA26,则∠A26的度数为（) A-2 1 B2晒° C. 1 D22t LZA·培优滚动练 13.(2024·广州期中)如图，在△ABC中，点D在边 BC上 (1)若∠1=∠2=35°，∠3=∠4，求∠DAC的 度数； (2)若AB2-AC2-6AC-9=0,AD为△ABC的 中线，△ABD的周长与△ACD的周长之比为 5:4,求△ACD的周长 B1 3 4òC D 14.（(2024·梁园区期末)如图，在△ABC中，AC⊥ BC,F是边AC上的点，连接BF,作EF∥BC且 交AB于点E,过点E作DE⊥EF,交BF于点D. 求证：∠1+∠2=180°. 下面是证明过程，请在横线上填上适当的推理 结论或推理依据， A 证明：：AC⊥BC(已知)， .∠C=90(垂直的定义).F .EF∥BC(已知)， D C B .∠AFE= =90°( .DE⊥EF(已知)， ∴.∠DEF=90(垂直的定义). ∴.∠AFE=∠DEF(等式的基本事实). ( ∴.∠2=∠EDF( 又·∠EDF+∠1=180（邻补角互补）， ∴.∠1+∠2=180°（等量代换）. 数学·八上·RJ 15.如果三角形的两个内角a与B满足2a+B= 90°，那么我们称这样的三角形为“奇妙互余三 角形” (1)如图，在△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的 角平分线.求证：△ABD是“奇妙互余三角形”. (2)关于“奇妙互余三角形”，有下列结论： ①在△ABC中，若∠A=130°，∠B=40°，∠C= 10°，则△4BC是“奇妙互余三角形”； ②若△ABC是“奇妙互余三角形”，∠C> 90°，∠A=60°，则∠B=20; ③“奇妙互余三角形”一定是钝角三角形 其中，结论正确的有 .（填序号) (3)在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=52°，P是射 线CB上的一点，且△ABP是“奇妙互余三 角形”，请直接写出∠APB的度数 D ◇ C LZA·培优滚动练 三重点压轴题 16.【中考热，点·数学探究与应用】(2024·港南区 期末)阅读并解答下列问题 将三角尺（△MPN,∠MPW=90)放置在△ABC 上（点P在△ABC内），如图1所示，三角尺的两 边PM,PN恰好经过点B和点C.我们来探究： ∠ABP与∠ACP是否存在某种数量关系， (1)【特例探索】若∠A=50°，则∠PBC+∠PCB= °，∠ABP+∠ACP=°； (2)【类比探索】试探究∠ABP,∠ACP,∠A之间 的数量关系，并说明理由； (3)【变式探索】如图2，改变三角尺的位置，使 点P在△ABC外，三角尺的两边PM,PN仍 恰好经过点B和点C,试探究∠ABP, ∠ACP,∠A之间的数量关系，并说明理由. B 图1 图2 数学·八上·RJ 17.(2024·武陵区校级期中)【问题背景】 已知∠M0N=90°，点A,B分别在OM,ON上运 动（不与点0重合） 【问题思考】 (1)如图1，AE,BE分别是∠BA0和∠AB0的平 分线，随着点A,B的运动，求∠AEB的值； (2)如图2，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向 延长线与∠BAO的平分线相交于点D.如果 ∠MON=a,其余条件不变，随着点A,B的运 动，求∠D的值.（用含α的代数式表示） B D 一M 图1 图2 LZA·培优滚动练 四中考热点数学综合与探究 18.（2024·碑林区校级期末)我们定义：在一个三 角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4 倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”.例 如：三个内角分别为105°，60°，15°的三角形是 “和谐三角形”. 【概念理解】 如图1，∠MON=60°，点A在边OM上，过点A 作AB⊥OM交ON于点B,以A为端点作射线 AD,交线段OB于点C(点C不与点O,B重合). (1)∠AB0的度数为 ,△AOB (填“是”或“不是”)“和谐三角 形”； (2)若∠ACB=84°，试说明：△AOC是“和谐三 角形” 【应用拓展】 (3)如图2，点D在△ABC的边AB上，连接DC, 作∠ADC的平分线交AC于点E,在DC上 取点F,使∠EFC+∠BDC=180°，∠DEF= ∠B.若△BCD是“和谐三角形”，请直接写 出∠B的度数， /M 图1 图2 数学·八上·RJ 19.(2024·郑州期末)【初步认识】 (1)如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC,CP平分 ∠ACB.若∠A=100°，则∠P= 一；如 图2，BM平分∠ABC,CM平分外角∠ACD,则 ∠A与∠M的数量关系是 【性质探索】 (2)如图3，BN平分外角∠EBC,CN平分外角 ∠FCB.请探索∠A与∠N之间的数量关系. 【拓展应用】 (3)如图4，P是△ABC两内角平分线的交点，N 是△ABC两外角平分线的交点，延长BP, NC相交于点M.在△BMN中，存在一个内 角等于另一个内角的3倍，请直接写出∠A 的度数 P B ACB∠ 图1 图2 图3 图4 LZA·培优滚动练培优滚动练参考答案 第十三章 三角形 比为5：4， △ABP是“奇妙互余三角形”， 1.1<x<62.B .(AB +AD+BD):(AC+AD+CD)= ∠APB+2∠BAP=90时， 3.-3<a<-24.D 5:4. 5.解：(1)a-b|<c<a+b, .AD+CD=4AB-5AC. .|2c-6|<c<3c-2. .AD+CD =4(AC+3)-5AC 图3 .2<c<6. =12-AC. ∠ABC=52°， (2)a+b+c=3c-2+c=18, .AD+CD +AC=12. ∴.∠BAP=52°-∠APB. ∴.c=5. .△ACD的周长为12. ∠APB+2∠BAP=90°， 6.解：(1)依题意，得第二条边长为 14.∠C两直线平行，同位角相等 .∠APB+2(52°-∠APB)=90°. (3m-2)米， ACDE内错角相等，两直线平行 .∠APB=14. 则第三条边长为 两直线平行，内错角相等 综上所述，∠APB的度数为109°或 50-m-(3m-2)=(52-4m)(米). 15.(1)证明：∠C=90°， 38°或14. (2)第一条边长不能为10米.理由 .∠ABC+∠A=90°. 16.解：(1)∠A=50°， 如下： BD是△ABC的角平分线， .∠ABC+∠ACB=130°. 若第一条边长为10米，则第二条边长 ∠ABC=2∠ABD. ∠P=90°， 为28米，第三条边长为12米 .2∠ABD+∠A=90° ∴.∠PBC+LPCB=90. .12+10<28, .△ABD是“奇妙互余三角形”. .∠ABP+∠ACP .第一条边长不能为10米. (2)①③ =∠ABC+∠ACB-(∠PBC+∠PCB) (3)依题意，得 (3)解：①如图1，当点P在线段BC =40°. m>0, 上时， 故答案分别为90,40. m<52-4m, (2)∠ABP+∠ACP=90°-∠A. m<3m-2, 理由如下： m+3m-2>52-4m, (∠PBC+∠PCB)+（∠ABP+ m+52-4m>3m-2, ∠ACP)+∠A=180°， 图1 解得好<m<9, ∠C=90°，∠ABC=52°， ∴.90°+（∠ABP+∠ACP)+∠A= △ABP是“奇妙互余三角形”， 180 7.215°8.75°9.C10.35 .2∠PAB+52°=90°. ·.∠ABP+LACP=90°-∠A 11.42°或92°或84°12.C .∠PAB=19°. (3)∠ACP-∠ABP=90°-∠A. 13.解：(1)∠1=∠2=35°， ∴.∠3=∠1+∠2=70. .∠APB=180°-52°-19°=109°； 理由如下： .·∠3=∠4， ②如图2，当点P在CB的延长线上， 如图2，设AB交PC于点O. .∠4=∠3=70. △ABP是“奇妙互余三角形”， ∠DAC+∠3+∠4=180°， 2∠APB+∠BAP=90时， .∠DAC=180°-∠3-∠4 =180°-70°-709 图2 =40°. .∠AOC=∠POB, (2):AB2-AC2-6AC-9=0, 图2 .∴.∠ACO+∠A=∠P+∠PBO, .AB2 =AC2+6AC+9 ∠ABC=52°， 即∠ACP+∠A=90°+∠ABP. =(AC+3)2. ∠BAP=52-∠APB. .∠ACP-∠ABP=90°-∠A. .AB=AC +3. .2∠APB+∠BAP=90°， 17.解：(1)：∠M0N=90°， .:AD为△ABC的中线， ∴.2∠APB+(52°-∠APB)=90°. .∴.∠BA0+∠AB0=90° ∴.BD=CD .∠APB=38°； :AE,BE分别是∠BAO和∠ABO的 :△ABD的周长与△ACD的周长之 ③如图3，当点P在CB的延长线上， 平分线， 数学·八上·J93LZA·参考答案 .∠BAE= ∠BA0,∠ABE= .·∠ABC+∠ACB=180°-∠A ②当∠NBM=3∠N时， 2 2 -∠ABO =80°， .∠BAE+∠ABE 90°=3(90°-3A月 ∴∠P=180°-（∠CBP+∠BCP) =号（∠B40+∠AB0) =180°- (2ABc+LACc8) .∠A=120°； ③当∠M=3∠N时， =450. =140° ∴.∠AEB=180°-∠BAE-∠ABE 依题意，得 3∠A=390-号∠A =135. LABC, .∠A=135; ∠CBM=∠ABM= (2)设∠BAD=x. 2 ④当∠N=3∠M时， :AD平分∠BA0, ∠DcM=∠ACM=7∠ACD, ∴.∠BA0=2x. :∠ACD=∠A+∠ABC, .∠AOB=a, .∠A=450 ∠DCM=∠M+∠CBM, ∴.∠ABN=∠AOB+∠BAO 综上所述，∠A的度数为60°或120° .2∠DCM=∠A+2∠CBM 或135°或45° =a+2x =2(∠M+∠CBM), ,·BC平分∠ABN, 第十四章全等三角形 整理，得∠A=2∠M. LABC=2+x 故答案分别为140°，∠A=2∠M. 1A2D3A4号或6 ·∠ABC=∠D+∠BAD, (2)BN平分外角∠EBC, 5.解：(1)∠ABE=162°，∠DBC=30°， .∠D=∠ABC-∠BAD CN平分外角∠FCB, ∴.LABD+∠CBE=132. =2+x-x=1。 1 ∠CBN=LEBN=2 1 ∠CBE, ,·△ABC≌△DBE ∴.∠ABC=∠DBE. 18.解：(1)30°不是 ∠aCW=LN=3 LBCF .∠ABD=∠CBE=132°÷2=66°， (2):∠ACB是△A0C的一个外角， :∠ABC+∠ACB=180°-∠A, 即LCBE的度数为66°. .∠ACB=∠0+∠OAC. ∴.∠CBE+∠BCF (2).·△ABC≌△DBE, 又.∠0=60°，∠ACB=84°， =180°-∠ABC+180°-∠ACB ..DE=AC=AD+DC=5, .∠0AC=24°， =360°-（∠ABC+∠ACB) BE=BC=4. ∠AC0=180°-∠ACB=96°. =180°+∠A. .△CDP与△BEP的周长和 .∠AC0=4∠0AC. .∴.∠N=180°-（∠CBN+∠BCN) DC+DP+PC+BP+PE+BE .△A0C是“和谐三角形” =180°- (3).·∠EFC+∠BDC=180°， 2(LcBE+∠IBCP) =DC+DE+BC+BE =2.5+5+4+4=15.5. ∠ADC+∠BDC=180°， =90-74 6.解：(1)△ABC≌△DEB, .∠EFC=∠ADC.AD∥EF ∴.∠DEF=LADE. 即∠N=90-7LA DE=8,BC=5, .AB=DE=8,EB=BC=5. 又：∠DEF=∠B, (3)依题意，得 .AE=AB-BE=8-5=3. .LB=∠ADE. ∠NBM=∠CBN+∠CBP (2)△ABC≌△DEB, .DE∥BC..∠CDE=∠BCD. ∠D=35°，∠C=60°， :DE平分LADC, ∠DBE=∠C=60°， ∴.∠ADE=∠CDE =90°， ∠A=∠D=35°，∠ABC=∠DEB. ∴.∠B=∠BCD 由(1)(2)，得∠N=90°- 1 2 ∠A, .∠ABC=180°-∠A-∠C=85°. :△BCD是“和谐三角形”， ∠A=2∠M, ·.∠DBC=∠ABC-∠DBE .∠BDC=4∠B或LB=4LBDC. .当在△BMN中，存在一个内角等 =85°-60°=25° :∠BDC+∠BCD+∠B=180°， 于另一个内角的3倍时，有四种 ∠ABC=85°， .∠B=30°或∠B=80° 情况： ∠DEB=85. 19.解：(1)依题意，得 ①当∠NBM=3∠M时， ∴∠AED=95. ∠ABP=∠CBP=∠ABC, 90°=3∠M, .∴.∠AFD=∠A+∠AED ,∠M=30. =35°+95°=130°. 1 LACP LBCP=LACB, .∠A=2∠M=60°； 7.A8.45°9.(2,0)或(2,4) 数学·八上·J94LZA·参考答案