第17章 3.第3课 因式分解 (3)——公式法 (平方差公式)（课堂本）-【零障碍导教导学案】2025-2026学年八年级上册数学（人教版·新教材）

126数学-八年级上册-RJ 第3课 因式分解(3)一公式法（平方差公式） 和识储备影 1.分解因式：2m2-6m= 2.填空：(1)4x2=()2;(2)16x2=()2. 新课学习 平方差公式： ①整式乘法：(a+b)(a-b)=a2-b2;②等式反过来就是因式分解：a2-b2= 3.网分解因式： 4.分解因式： (1)x2-9=x2-32= (1)x2-25= (2)x2-16= (2)x2-36= 能用平方差公式分解因式的条件：①二项式；②能化成两个平方相减. 知识点1直接用平方差公式因式分解 5.例（新教材P128例1改编）分解因式： 6.分解因式： (1)4x2-25=(2x)2-52= (1)16x2-1= (2)9x2-16y2= (2)36x2-25y2= (3)-36+25a2= (3)-4x2+9= 知识点2先提公因式，再用平方差公式因式分解 ! 7.网（新教材P131例5改编）分解因式： 8.分解因式： (1)2x2-8; (1)2m2-18; (2)x3-9x; (2)m3-m; (3)a3b-ab. (3)12x2-3y2. 用平方差公式分解因式的步骤：①提公因式；②套公式a2-b2=(a+b)(a-b). 知识点3用平方差公式因式分解（整体思想） 9.例（新教材P128例2）分解因式： 10.(新教材P129T2改编)分解因式： (1)x2-y; (1)x2(a-b)-y2(a-b); (2)(x+P)2-(x+q)2. (2)(x+a)2-4y2. 第十七章因式分解 127 知识点4多次用平方差公式因式分解 11.(新教材P131例5(1)分解因式：x4-y. 12.分解因式：x-16 过天检测 马是础训练 13.分解因式： 14.(2024·广州期中)下列各式中，不能用平 (1)x2-1= 方差公式分解因式的是 (2)4x2-1= A.y2-49x2 B.- 49t (3)9m2-4a2= (4学菊 c4p+92-9 D.-m4+n2 之能打训练 15.(新教材P136T2改编)分解因式： 16.(新教材P136T7)求证：当n是整数时，两 (1)-9x+x3= 个连续奇数的平方差(2n+1)2-(2n-1)2 (2)0.49p2-144= 是8的倍数， (3)1-m4= (4)(a+b+c)2-a2= 多拓展训练 17.(新教材P136T6)如图，在半径为R的圆形18.利用平方差公式进行简便运算： 钢板上，挖去半径为，的四个小圆，计算当 1-21-1-)×…- R=5.6cm,r=1.2cm时剩余部分的面积. (π取3.14)16.解：(1)原式=x(1+y) (2)原式=x(-2+3x). (3)原式=b(a2+5a-1). (4)原式=n(2m-n+8). 17.解：(1)225 (2)原式=2024×32+2024×2× 3×7+2024×72 =2024×(32+2×3×7+7) =2024×100 =202400 18.(1)pa+pb+pc pa+pb+pc=p(a+b+c) (2)因式分解整式乘法 19.解：设这个四位数的个位和千位都是 x,十位和百位都是y,则这个四位数 表示为1000x+100y+10y+x. .1000x+100y+10y+x =1001x+110y =11(91x+10y), .只要这样的数是四位数，那它一定 是11的倍数. 第2课因式分解(2) —提公因式法(2)】 1.(1)2(m+3)(2)m(a-b) (3)x(2x-6+y) 2.①②③ 3.解：(1)原式=mn(2n+1). (2)原式=2xy2(3-4xy). 4.解：(1)原式=2mn(4m+1). (2)原式=4ab2(2a2+3bc). 5.解：(1)原式=(b+c)(2a-3). (2)原式=4(a-b)2(a-b+2) 6.解：(1)原式=(a2+b2)(p-q) (2)原式=2(y-z)3(a+2b). 7.解：原式=(x+7)(4a2-3) 当a=-5,x=3时， 原式=(3+7)×[4×(-5)2-3] =10×97 =970. 8.解：原式=x(y+4)[4-(y+4)] =-y(y+4). 当x=2,y=5时， 原式=-2×5×(5+4)=-90. 9.解：(1)17 (2)原式=ab(a-4b+1). .ab=2,a-4b=-5, .原式=2×(-5+1)=-8. 10.(1)2031(2)80 11.证明：ab-ac=b2-bc, .∴.a(b-c)=b(b-c). .(b-c)(a-b)=0. .b-c=0或a-b=0. .b=c或a=b. “.这个三角形一定是等腰三角形. 12.解：△ABC为等腰三角形.理由如下： .a+2ab =c+2bc, .a(1+2b)=c(1+2b). :a,b,c为三角形的三边， .1+2b≠0. .a=c,即△ABC为等腰三角形. 13.解：(1)原式=5a2(3a+2). (2)原式=3bc(4a-c). (3)原式=2(p+q)(3p-2q). (4)原式=(a-3)(m-2). 14.解：(1)原式=4x2y(y2+2xy+3x2). (2)原式=(x-y)(2m-3n). (3)原式=(a-b)2[2a-(a-b)] =(a-b)2(a+b). (4)原式=x(3y-6)(x-1) =3x(y-2)(x-1). 15.解：原式=(a-2)2+6(a-2) =(a-2)(a-2+6) =(a-2)(a+4). 当a=-2时， 原式=(-2-2)×(-2+4) =-8. 16.(1)3x2yY23x2y2(1-4y2-2xy) (2)7(3)-36 17.证明：n2-1=(n+1)(n-1). n为奇数， .n+1和n-1为两个连续的偶数. “.其中一个必能被4整除，另一个必 能被2整除。 .n2-1必能被8整除 ∴.n2除以8的余数为1. 18.解：(1)补全计算过程如下： 原式=(1+x)2(1+x) =(1+x)3. (2)原式 =(1+x)[1+x+x(x+1)+…+ x(x+1)-1] =(1+x)2[1+x+x(x+1)+…+ x(x+1)n-2] =… =(1+x)+1 第3课因式分解(3) 一公式法（平方差公式） 知识储备 1.2m(m-3)2.±2x±4x 新课学习 (a+b)(a-b) 数学·八上·J35LZA·参考答案 3.(1)(x+3)(x-3) (2)x-42(x+4)(x-4) 4.(1)x2-52(x+5)(x-5) (2)x2-62(x+6)(x-6) 5.(1)(2x+5)(2x-5) (2)(3x)2-(4y)2 (3x+4y)(3x-4y) (3)(5a+6)(5a-6) 6.(1)(4x)2-12(4x+1)(4x-1) (2)(6x)2-(5y)2 (6x+5y)(6x-5y) (3)(3+2x)(3-2x) 7.解：(1)原式=2(x2-4) =2(x+2)(x-2) (2)原式=x(x2-9) =x(x+3)(x-3). (3)原式=ab(a2-1) =ab(a+1)(a-1) 8.解：(1)原式=2(m2-9) =2(m-3)(m+3) (2)原式=m(m2-1) =m(m+1)(m-1) (3)原式=3(4x2-y2) =3(2x+y)(2x-y) 9.解：(1)原式=(x+y)(x-y) (2)原式 =[(x+p)+(x+q)][(x+p)-(x+q)] =(2x+p+q)(p-q). 10.解：(1)原式=(a-b)·(x+y)·(x-y) (2)原式=(x+a+2y)(x+a-2y). 11.解：原式=(x2+y2)(x2-y2) =(x+y2)(x+y)(x-y). 12.解：原式=(x2+4)(x2-4) =(x2+4)(x+2)(x-2). 13.(1)(x+1)(x-1) (2)(2x+1)(2x-1) (3)(3m+2a)(3m-2a) 4)(2+7)2-7) 14.B 15.(1)x(x+3)(x-3) (2)(0.7p+12)(0.7p-12) (3)(1+m2)(1+m)(1-m) (4)(2a+b+c)(b+c) 16.解：(2n+1)2-(2n-1)2 =(2n+1+2n-1)[2n+1-(2n-1)] =4n·2=8n, n是整数， .8n为8的倍数 .当n是整数时，两个连续奇数的平 方差(2n+1)2-(2n-1)2是8的倍 数 17.解：S=mR2-4m2 =3.14×5.62-4×3.14×1.22 =80.384(cm2). 18.解：原式 =（-2)01+2)01-号)× (1+3)0-)(1+4)x …x(1-g)(1+g)(1-0)x (*0) 4 3 X… 810911 x9×9×10×10 111 =2×10 站 第4课因式分解(4) 一公式法（完全平方公式） 新课学习 (a+b)2(a-b)2 1.(1)(m+1)2(2)(m-5)2 2.(1)x2+2·x…2+2(x+2)2 (2)x2-2·x…3+32(x-3)2 (3)(x-4)2 (4)(x+6)2 3.(1)m2-2·m·5n+(5n)2 (m-5n)2 (2)(2x)2+2·2x·3y+(3y)2 (2x+3y)2 4.(1)(2x)2+2·2x·y+y2(2x+y)2 (2)(3x)2-2·3x·4y+(4y)2 (3x-4y)2 5.解：(1)原式=3(a2+2ab+b2) =3(a+b)2. (2)原式=-2(x2-6x+9) =-2(x-3)2. 6.解：(1)原式=3(x2-6x+9) =3(x-3)2 (2)原式=-3(x2-2xy+y) =-3(x-y)2. 7.解：原式=(a+b)2-2·(a+b)·6+62 =(a+b-6)2 8.解：原式 =22+2×2·3(x-y)+[3(x-y）]2 =[2+3(x-y)]2 =(3x-3y+2)2. 9.(1)(5t+1)2(2)(3y-2)2 (3(+号a)+2列-2列 10.解：(1)原式=a(a2+2ab+b2) =a(a+b)2 (2)原式=2y(x2-4xy+4y2) =2y(x-2y)2. 11.C12.±12 13.解：(1)原式=-2a(a2-6a+9) =-2a(a-3)2. (2)原式=1032+2×103×97+97 =(103+97)2=2002 =40000. 14.解：(1)原式=(a+b+c)2. (2)原式=42-8(x+y)+(x+y)2 =(x+y-4)2. 15.(1)100(2)B 16.证明：a2+2b2+c2=2ab+2bc, 即(a2-2ab+b)+(b2-2bc+c2)=0 .(a-b)2+(b-c)2=0. a-b=0且b-c=0. ∴.a=b=c. .△ABC为等边三角形 第5课因式分解习题课 1.(1)a(a+b)(2)3x(2y-3x) 2.(1)xy(y-x）(2)5a(3a+1) 3.解：(1)原式=x(x2+x+1) (2)原式=3(x-y)(a-b). 4.解：(1)原式=-3a(b-2b2+4). (2)原式=m(m-n)+a(m-n) =(m-n)(m+a). 5.(1)(x+9)(x-9) (2)(ab+4)(ab-4) 6.(1)(2m+3n)(2m-3n) (2)(x2+9)(x+3)(x-3) 7.解：(1)原式=2(x2-4y2) =2(x+2y)(x-2y): (2)原式=(a-b)(x+3)(x-3) 8.解：(1)原式=p2-3p-4+3p =p2-4 =(p+2)(p-2). (2)原式=(m-n)(x2-y2) =(m-n)(x+y)(x-y) 9.(1)(x-9)2(2)(3x+1)2 10.(1)a(a+1)2(2)2(2m-1)2 11.解：(1)原式=-m(m2-6m+9) =-m(m-3)2. (2)原式=(m+n+3)2. 12.解：(1)原式=a2-2ab+b2+4ab =a2+2ab +b2 =(a+b)2. (2)原式=(x2-3-1)2 =(x+2)2(x-2)2. 13.解：a3b+2a2b2+ab3 ab(a2+2ab+b2) 数学·八上·RJ36LZA·参考答 =ab(a+b)2 =5×62=180. 14.B 15.(1)(x+9)(x-2) (2)x=-3y或x=4y 16.(1)证明：a2-b2+c2-2ac =(a2+c2-2ac)-b2 =(a-c)2-b2 =(a-c+b)(a-c-b). a,b,c是△ABC的三条边的长， .∴.a+b>c,b+c>a. .∴.a+b-c>0,a-c-b<0. ∴.(a-c+b)(a-c-b)<0, 即a2-b2+c2-2ac<0. (2)解：a2+b2-6a-4b+13+ |3-c=0, .a2-6a+9+b2-46+4+|3-c=0. .(a-3)2+(b-2)2+13-c=0. .a-3=0,b-2=0,3-c=0, 解得a=3,b=2,c=3. .a=c. .△ABC是等腰三角形. 第6课因式分解单元复习 1.C2.D3.D 4.(1)m(m-9）(2)2xy(2x-3y2) 5.(1)(x+2)(x-2) (2)2(x+2)(x-2) 6.(1)8xy (2)(1+y2)(1+y)(1-y) 7.(1)(x-2)2(2)x(x-2)2 a)-(-} 8.(1)C(2)±12 9.(x+4)(x-6) 10.(x-2)(2x-3) 11.-1212.8 13.解：剩余部分的面积为 a2-462=(a+2b)(a-2b). 当a=22.4,b=3.8时， 剩余部分的面积为 (22.4+2×3.8)×(22.4-2×3.8) =30×14.8=444(cm2). 14.解：(1)S=rR2-T2 =π(R2-). (2)当R=15.25cm,r=5.25cm时， S=π(R2-r2) =T(R+r)(R-r) =π×(15.25+5.25)×(15.25- 5.25) =π×20.5×10