精品解析：广东省梅州市兴宁市兴宁市实验学校、宁江中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025-2026学年上九年级教学质量综合检测题数学试题 一、单选题（共10题，每题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体如图所示，它的俯视图为（ ） A. B. C. D. 3. 已知点均在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 4. 某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为（ ） A. 48（1﹣x）2=36 B. 48（1+x）2=36 C. 36（1﹣x）2=48 D. 36（1+x）2=48 5. 下列对于二次函数y＝﹣x2+x图象的描述中，正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是y轴 C. 有最低点 D. 在对称轴右侧的部分从左往右是下降的 6. 如图为人行天桥的示意图，若高长为10米，斜道 长为30米，则 的值为（ ） A. B. 3 C. D. 7. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. 4 D. 16 8. 的值等于（ ） A. 0 B. 1 C. D. 9. 如图，在 中，，，以点 为圆心， 长为半径画弧，交 边于点；再以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，则下列两条线段的比等于黄金比的是（ ） A. B. C. D. 10. 在矩形ABCD中，E是BC边的中点，AE⊥BD，垂足为点F，则tan∠AED的值是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 一元二次方程的一个解为，则______． 12. 在平面直角坐标系 中，若函数的图象经过点和，则m的值为______． 13. 二次函数的图象的顶点坐标是______． 14. 一元二次方程的两根之和为________． 15. 如图，平面直角坐标系 中，矩形的顶点在函数 的图象上，，．将线段 沿轴正方向平移得线段（点 平移后的对应点为），交函数 的图象于点，过点作 轴于点，则下列结论： ①； ② 的面积等于四边形的面积； ③的最小值是； ④． 其中正确的结论有______．（填写所有正确结论的序号） 三、解答题（一）：（本大题共3小题，每小题7分） 16. 计算：． 17. 如图，抛物线与直线 相交于点和点． （1）求和的值； （2）求点的坐标，并结合图象写出不等式的解集． 18. 第31届世界大学生夏季运动会（简称“大运会”）将于2023年7月28日至8月8日在成都举行．某高校为了了解学生对“大运会”的关注度，设置了A（非常关注）、B（比较关注）、C（很少关注）、D（没有关注）四个选项，随机抽取了部分学生进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中所提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查共抽取了　　　　　　名学生，并补全条形统计图； （2）求A所在扇形的圆心角度数； （3）学校将在A选项中的甲、乙、丙、丁四人里随机选取两人参加志愿者服务，用画树状图或列表法，列举出所有可能的结果，并求出甲、乙同时被选中的概率． 四、解答题（二）：（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在 中，． （1）在图中作出 的内角平分线 ．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写证明）； （2）证明：． 20. 如图，在四边形中，是 的中点，， 交于点 ，，. （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若 ，，，求的长. 21. 阅读下列材料，回答问题 任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度 远大于南北走向的最大宽度，如图． 工具：一把皮尺（测量长度略小于 ）和一台测角仪，如图 ．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）； 测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点 处，对其视线可及的 ， 两点，可测得的大小，如图． 　　　　　　 小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度 ，其测量及求解过程如下：测量过程： （ⅰ）在小水池外选点 ，如图，测得，，； （ⅱ）分别在 ，，上测得，；测得．求解过程： 由测量知，， ，，， ，又_____， ， ． 又，_______．故小水池的最大宽度为___________． （1）补全小明求解过程中所缺的内容； （2）小明求得 用到的几何知识依据是______； （3）小明仅利用皮尺，通过次测量，求得 ．请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度 ，写出你的测量及求解过程．要求：测量得到的长度用字母，，表示，角度用 ， ， 表示；测量次数不超过次（测量的几何量能求出 ，且测量的几何量最少，才能得满分）． 五、解答题（三）：（本大题共2小题，第22小题13分，第23题14分，共27分） 22. 【阅读材料】 我们都知道：顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所得的四边形是正方形．“数学大王”小组的同学对“对角线互相垂直且相等的四边形”非常感兴趣，想进一步去进行探索研究，为了方便，他们称对角线互相垂直且相等的四边形为“垂等四边形”． 【探索实践】 【任务一】下列四边形中一定是“垂等四边形”的是（ ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【任务二】如图1，四边形是“垂等四边形”， ， ，点， 分别是， 的中点，连接 ，，以 ，为邻边作平行四边形 ． （1）求证： ； （2）求证：四边形 为正方形． 【任务三】如图2，在矩形中， ，将 沿对角线翻折至 ，点 在上，且满足，点为中点，求证：四边形 是“垂等四边形”． 23. 如图1，直线l与坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，与反比例函数（）的图像交于C，D两点（点C在点D的左边），过点C作轴于点E，过点D作 轴于点F， 与交于点G（4，3）． （1）当点D恰好是 中点时，求此时点C的横坐标； （2）如图2，连接，求证：； （3）如图3，将沿折叠，点G恰好落在边上的点H处，求此时反比例函数的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上九年级教学质量综合检测题数学试题 一、单选题（共10题，每题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别，也考查了平行四边形和矩形的性质，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转 ，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 根据中心对称图形和轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； C、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意， 故选：B． 2. 由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体如图所示，它的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据俯视图的定义，可得：选A. 3. 已知点均在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象与性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴图象在一三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当 ，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当 ，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 4. 某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为（ ） A. 48（1﹣x）2=36 B. 48（1+x）2=36 C. 36（1﹣x）2=48 D. 36（1+x）2=48 【答案】D 【解析】 【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设教育经费的年平均增长率为x，然后根据已知条件可得出方程． 【详解】∵某超市一月份的营业额为36万元，每月的平均增长率为x， ∴二月份的营业额为36（1+x），三月份的营业额为36（1+x）×（1+x）=36（1+x）2. ∴根据三月份的营业额为48万元，可列方程为36（1+x）2=48. 故选D. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键．同时要注意增长率问题的一般规律. 5. 下列对于二次函数y＝﹣x2+x图象的描述中，正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是y轴 C. 有最低点 D. 在对称轴右侧的部分从左往右是下降的 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：∵二次函数y＝﹣x2+x＝﹣(x)2+， ∴a＝﹣1，该函数的图象开口向下，故选项A错误； 对称轴是直线x＝，故选项B错误； 当x＝时取得最大值，该函数有最高点，故选项C错误； 在对称轴右侧的部分从左往右是下降的，故选项D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握函数解析式和二次函数的性质是解题的关键． 6. 如图为人行天桥的示意图，若高长为10米，斜道长为30米，则 的值为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正弦，理解正弦的定义是解题关键． 根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：∵长为10米，斜道长为30米， ∴根据题意得：， 故选：D 7. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. 4 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程的根的判别式即可．本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】∵方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴， 解得． 故选C． 8. 的值等于（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的计算，代入各特殊角的三角函数值后按运算顺序计算，即可求解． 【详解】解： 故选：A． 9. 如图，在中，，，以点 为圆心，长为半径画弧，交 边于点；再以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，则下列两条线段的比等于黄金比的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金比，勾股定理，二次根式的化简，解题的关键是掌握以上概念和定理． 假设 ，则 ，利用勾股定理求出直角三角形斜边长度，然后利用画图求出各边的长度，最后代数求比值即可． 【详解】解：假设 ，则 ， ∵， ∴根据勾股定理得， 根据画图可得，，， A. ，不是黄金比，不符合题意； B. ，不是黄金比，不符合题意； C. ，不是黄金比，不符合题意； D. ，是黄金比，符合题意； 故选：D． 10. 在矩形ABCD中，E是BC边的中点，AE⊥BD，垂足为点F，则tan∠AED的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】证明△BEF∽△DAF，得出EF=AF，EF=AE，由矩形的对称性得：AE=DE，得出EF=DE，设EF=x，则DE=3x，由勾股定理求出DF==2x，再由三角函数定义即可得出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC，AD∥BC， ∵点E是边BC的中点， ∴BE=BC=AD， ∴， ∴， ∴， ∴， 由矩形的对称性得：AE=DE， ∴EF=DE， 设EF=x，则DE=3x， ∴DF==2x， ∴tan∠AED=. 故选D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，以及三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 一元二次方程的一个解为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解一元一次方程，由题意可得，解方程即可得解． 【详解】解：∵一元二次方程的一个解为， ∴， 解得：， 故答案为： ． 12. 在平面直角坐标系 中，若函数的图象经过点和，则m的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】先把点A坐标代入求出反比例函数解析式，再把点B代入即可求出m的值． 【详解】解：∵函数的图象经过点和 ∴把点代入得， ∴反比例函数解析式为， 把点代入得：， 解得： ， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式是解题的关键． 13. 二次函数的图象的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】把二次函数解析式化为顶点式即可得到答案，此题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握把二次函数化为顶点式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴二次函数的图象的顶点坐标是， 故答案为： 14. 一元二次方程的两根之和为________． 【答案】2 【解析】 【分析】先根据根的判别式，判断有无实数根的情况，再根据根与系数的关系，利用计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴方程有两个不相等实数根， ， 故答案为：2． 【点睛】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系．本题关键是利用根的判别式判断时，注意若，则方程没有实数根；若，则方程有实数根． 15. 如图，平面直角坐标系 中，矩形的顶点在函数 的图象上，，．将线段 沿轴正方向平移得线段（点 平移后的对应点为），交函数 的图象于点，过点作 轴于点，则下列结论： ①； ② 的面积等于四边形的面积； ③的最小值是； ④． 其中正确的结论有______．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】由，可得，故①符合题意；如图，连接， ，， 与 的交点为 ，利用的几何意义可得 的面积等于四边形的面积；故②符合题意；如图，连接，证明四边形为矩形，可得当 最小，则最小，设，可得的最小值为 ，故③不符合题意；如图，设平移距离为，可得，证明，可得，再进一步可得答案． 【详解】解：∵，，四边形是矩形； ∴， ∴，故①符合题意； 如图，连接， ，， 与 的交点为 ， ∵， ∴， ∴， ∴ 的面积等于四边形的面积；故②符合题意； 如图，连接， ∵ 轴，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴当 最小，则最小， 设， ∴， ∴， ∴的最小值为 ，故③不符合题意； 如图，设平移距离为， ∴， ∵反比例函数为，四边形为矩形， ∴，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④符合题意； 故答案为：①②④ 【点睛】本题考查的是反比例函数的图象与性质，平移的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 三、解答题（一）：（本大题共3小题，每小题7分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】代入特殊角三角函数值，利用负整数指数幂，绝对值和二次根式的性质化简，然后计算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，牢记特殊角三角函数值，熟练掌握负整数指数幂，绝对值和二次根式的性质是解题的关键． 17. 如图，抛物线与直线 相交于点和点． （1）求和的值； （2）求点的坐标，并结合图象写出不等式的解集． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，理解函数与方程、不等式之间的关系是解题的关键． （1）根据抛物线和直线都经过点，利用待定系数法可以求得抛物线和一次函数的解析式； （2）首先联立抛物线和直线求出点的坐标为，然后根据图象求解即可． 【小问1详解】 解：因为抛物线经过点， 所以， 所以． 因为直线 经过点， 所以， 所以； 【小问2详解】 解：由（1）知抛物线的解析式为，直线 的解析式为． 联立 解得或 所以点的坐标为． 结合图象可知，不等式的解集为． 18. 第31届世界大学生夏季运动会（简称“大运会”）将于2023年7月28日至8月8日在成都举行．某高校为了了解学生对“大运会”的关注度，设置了A（非常关注）、B（比较关注）、C（很少关注）、D（没有关注）四个选项，随机抽取了部分学生进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中所提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查共抽取了　　　　　　名学生，并补全条形统计图； （2）求A所在扇形的圆心角度数； （3）学校将在A选项中的甲、乙、丙、丁四人里随机选取两人参加志愿者服务，用画树状图或列表法，列举出所有可能的结果，并求出甲、乙同时被选中的概率． 【答案】（1）500， 补全条形统计图如图所示． （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法，条形统计图，扇形统计图，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法是解题的关键． （1）用 的人数除以其人数占比即可求出参与调查的总人数，用调查总人数减去A（非常关注）、C（很少关注）、D（没有关注）三个选项的人数即可得到B（比较关注）选项的人数，即可补全条形图； （2）用乘以 的人数所占比例即可解答； （3）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到甲、乙同时被选中的结果数，最后依据概率计算公式求解即可； 【小问1详解】 解：本次调查共抽取了 （名）． 选项B的人数为（人）． 图略； 【小问2详解】 解：A所在扇形的圆心角度数为； 【小问3详解】 解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 由表格可知，共有12种等可能的结果， 其中甲、乙同时被选中的结果有2种， ∴甲、乙同时被选中的概率为． 四、解答题（二）：（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在中，． （1）在图中作出的内角平分线 ．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写证明）； （2）证明：． 【答案】（1）如图， 即为所求； （2） 证明：∵ 平分 ， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了角的平分线尺规作图，三角形相似的判定，掌握作图方法是解决问题的关键． （1）根据角平分线的尺规作图的基本要求画图即可． （2）先证，再结合即可证明结论． 【小问1详解】 解：以 为圆心，任意长为半径化弧，分别交 ，于，， 然后分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，作射线 交于， 即为所求； 【小问2详解】 略 20. 如图，在四边形中，是 的中点，， 交于点，，. （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若 ，，，求的长. 【答案】（1） 证明：∵是 的中点，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的中位线定理得到，而，即可求证； （2）解求得，由三角形的中位线定理和平行四边形的性质得到，最后对运用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ， ∴， 在中，，， ∴， ∵是 的中点， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴在中，由勾股定理得． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形的中位线定理，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握知识点是解决本题的关键． 21. 阅读下列材料，回答问题 任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度 远大于南北走向的最大宽度，如图． 工具：一把皮尺（测量长度略小于 ）和一台测角仪，如图 ．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）； 测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点处，对其视线可及的， 两点，可测得的大小，如图． 　　　　　　 小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度 ，其测量及求解过程如下：测量过程： （ⅰ）在小水池外选点 ，如图，测得，，； （ⅱ）分别在，，上测得，；测得．求解过程： 由测量知，， ，，， ，又_____， ， ． 又，_______．故小水池的最大宽度为___________． （1）补全小明求解过程中所缺的内容； （2）小明求得 用到的几何知识依据是______； （3）小明仅利用皮尺，通过次测量，求得 ．请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度 ，写出你的测量及求解过程．要求：测量得到的长度用字母，，表示，角度用 ， ， 表示；测量次数不超过次（测量的几何量能求出 ，且测量的几何量最少，才能得满分）． 【答案】（1）见解析 （2）相似三角形的判定与性质 （3）最大宽度为，过程见解析 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）利用相似三角形的判定与性质解决问题即可； （2）利用相似三角形的判定与性质； （3）（ⅰ）在小水池外选点 ，如图，用测角仪在点处测得 ，在点 处测得；（ⅱ）用皮尺测得，由此求解即可． 【小问1详解】 解：， ，，， ， 又（或 是公共角）， ， ， 又， ， 故小水池的最大宽度为； 【小问2详解】 解：根据相似三角形的判定和性质求得， 故答案为：相似三角形的判定与性质； 【小问3详解】 解：（ⅰ）在小水池外选点 ，如图，用测角仪在点处测得 ，在点 处测得；    （ⅱ）用皮尺测得， 求解过程： 由测量知，在中， ，， ， 过点 作 ，垂足为， 在 中，，即， 所以， 同理，， 在 中，，即， 所以， 所以， 故小水池的最大宽度为． 五、解答题（三）：（本大题共2小题，第22小题13分，第23题14分，共27分） 22. 【阅读材料】 我们都知道：顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所得的四边形是正方形．“数学大王”小组的同学对“对角线互相垂直且相等的四边形”非常感兴趣，想进一步去进行探索研究，为了方便，他们称对角线互相垂直且相等的四边形为“垂等四边形”． 【探索实践】 【任务一】下列四边形中一定是“垂等四边形”的是（ ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【任务二】如图1，四边形是“垂等四边形”， ， ，点，分别是， 的中点，连接 ，，以 ，为邻边作平行四边形 ． （1）求证： ； （2）求证：四边形 为正方形． 【任务三】如图2，在矩形中， ，将 沿对角线翻折至 ，点在上，且满足，点为中点，求证：四边形 是“垂等四边形”． 【答案】任务一：D； （1）如图， 证明：∵ ， ∴ ， ∵ ，为中点， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴ ，即 ； （2）∵四边形是“垂等四边形”， ∴ ， ∵点，分别是， 的中点， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴ ， ∵由上已证 ， ∴ ， ∵平行四边形 ， ∴四边形 是菱形， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴四边形 是正方形； 任务三：连接 ，分别交于点 ， ∵四边形是矩形， ∴ ， ， ∵折叠， ∴ ， ， ，， ∴ 是 的中位线， ∴ ， ∵， ∴四边形 是平行四边形， ∴ ， ， ∵ ，即 ， ∴ ， ∵ ， 设 ，则 ， ∵点为中点， ∴ ， ∴ ， ∴四边形 是“垂等四边形”． 【解析】 【分析】任务一：根据平行四边形、矩形、菱形和正方形的对角线的性质分析即可； 任务二：（1）由 ，得到 ，再由直角三角形斜边中线得到 ，则，再由角的和差证明即可； （2）由三角形中位线得到 ，由直角三角形斜边中线得到 ，结合“垂等四边形”得 ，故 ，即可证明为菱形，由三角形中位线得到 ，那么 ，而 ，则 ，由 ，得到 ； 任务三：连接 ，分别交于点 ，先根据三角形的中位线定理证明四边形 是平行四边形，则 ，根据 得到 ，设 ，则 ，由于点为中点，则 ，故 ，即可证明． 【详解】任务一： 解：A、平行四边形对角线仅仅互相平分，故不符合题意； B、矩形对角线相等且互相平分，故不符合题意； C、菱形对角线垂直且互相平分，故不符合题意； D、正方形对角线互相垂直且相等，故符合题意， 故选：D； 任务二：略 任务三：略 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，折叠的性质，正方形的判定与性质，直角三角形斜边的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 23. 如图1，直线l与坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，与反比例函数（）的图像交于C，D两点（点C在点D的左边），过点C作轴于点E，过点D作 轴于点F， 与交于点G（4，3）． （1）当点D恰好是 中点时，求此时点C的横坐标； （2）如图2，连接，求证：； （3）如图3，将沿折叠，点G恰好落在边上的点H处，求此时反比例函数的解析式． 【答案】（1）2 （2） 证明：设点D（4，），C（，）， 则 则 同理可得： ∴ （3） 【解析】 【分析】根据点坐标求出点坐标，代入表达式即可；（2）根据点坐标表示线段长度，证明即可；（3）过点 作轴的垂线，构造一线三直角模型，根据相似列比例式，解出比例式即可． 【小问1详解】 解：点D是FG中点 点D（4，）， 将点D的坐标代入反比例函数表达式得： 即反比例函数的表达式为： 当 时，解得： 即此时点C的横坐标是2 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点C作于点N， 设， 则， 即点C、D的坐标分别为（，3）、（4，） 则① ∵∠CHD＝90° ∴， ∴ ∴ ∴② 联立①②并解得： 则点D（4，） 将点D的坐标代入反比例函数表达式得： 故反比例函数的表达式为： 【点睛】本题考查了反比例函数与矩形的综合，相关知识点有：相似三角形的判定与性质，待定系数法求表达式等，找到相似三角形是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $