期末专题07 一次函数的应用的六类综合题型（压轴题专项训练）数学苏科版2024八年级上册

期末专题07 一次函数的应用的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、一次函数的应用之分配方案问题 类型二、一次函数的应用之最大利润问题 类型三、一次函数的应用之行程问题 类型四、一次函数的应用之梯度计费问题 类型五、一次函数的应用之几何问题 类型六、一次函数与几何图形的综合问题 压轴专练 类型一、一次函数的应用之分配方案问题 1. 分析条件，确定函数关系 明确分配对象（如材料、人力、资金），找出分配量与对应效益（或成本）之间的一次函数关系，设为 y = kx + b。 2. 根据限制列不等式组 依据“总量有限”、“每种至少分配多少”等条件，列出关于分配量x的不等式组，确定x的取值范围。 3. 结合函数增减性确定最优方案 判断一次函数的增减性（由k的正负决定），在x的允许取值范围内，选取端点值代入函数，比较大小得出最优分配方案及对应的最值。 例1．（24-25八年级下·云南临沧·期末）在数字化时代，人工智能技术正以前所未有的速度发展，成为推动各行业变革的关键力量．为提升模型的训练效率，某实验室需采购甲、乙两种类型的卡．已知购买6块甲型卡和8块乙型卡共需170万元，购买5块甲型卡和4块乙型卡共需115万元． (1)每块甲型卡和乙型卡的价格各是多少万元？ (2)该实验室预计采购甲、乙两种类型的卡共40块，甲型卡的数量不少于乙型卡数量的4倍，如何分配两种卡的采购数量，才能使采购总费用最少？最少费用是多少万元？ 【答案】(1)甲型卡每块15万元，乙型卡每块10万元 (2)采购甲型卡32块，乙型卡8块，总费用最少，为560万元 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式和一次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系． （1）设甲型卡每块x万元，乙型卡每块y万元，根据题意建立二元一次方程组求解即可； （2）设采购甲型卡a块，则乙型卡块，先得到关于的一元一次不等式，求出的取值范围，再设总费用为，得到关于的一次函数关系式，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设甲型卡每块x万元，乙型卡每块y万元， 根据题意，得， 解得， 答：每块甲型卡15万元，每块乙型卡10万元； （2）解：设采购甲型卡a块，则乙型卡块， 由题意得，， 解得， 设总费用为， 则， ∵， ∴C随a增大而增大， ∴当时，C最小， 此时， （万元）， ∴采购甲型卡32块，乙型卡8块，总费用最少，为560万元． 【变式1-1】（24-25八年级下·天津·期末）某学校计划租用汽车外出参加集体活动，现有甲、乙两种大客车租供选择．公司报价为：每辆甲种大客车载客量为45人，每辆乙种大客车的载客量为30人，每辆甲种大客车比乙种大客车贵120元，3辆甲种大客车和2辆乙种大客车共计 1760元． (1)甲种大客车和乙种大客车每辆的租金分别为多少元？ (2)学校计划在总费用2300元的限额内，送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆汽车上至少要有一名教师，设共租用了汽车m辆，其中租用甲种客车x辆，租车费用为y元． ①其中m的值为 ； ②求y关于x的函数解析式及x的取值范围； ③运用上述关系，求花费最少的租车方案及最少费用，并说明理由． 【答案】(1)甲种大客车每辆车的租金为400元，则乙种大客车每辆的租金为280元 (2)①6；②（或）；③租甲种客车4辆，乙种客车2辆时，最节省费用，最小费用为2160元，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元一次不等式，一次函数与一次不等式组的综合应用，由题意得出租用x辆甲种客车与总租金用y的函数关系是解决问题的关键． （1）甲种大客车每辆车的租金为x元，则乙种大客车每辆的租金为元，根据题意，列出方程进行计算即可； （2）①根据租用5辆车不能将学生和老师运送完，且每辆汽车上至少要一名教师，所以只能租6辆得出结果； ②根据题意可列出y与x的等式关系，再化简整理得出x，y的表达式；再根据共有师生240人，费用不超过2300元，列不等式组求解出x的取值范围； ③由②中结论计算比较即可解答． 【详解】（1）解：设甲种大客车每辆车的租金为x元，则乙种大客车每辆的租金为元， 根据题意得：， 解得：， 则， 答：甲种大客车每辆车的租金为400元，则乙种大客车每辆的租金为280元； （2）①需要运送的总人数为（人）， ， 则租用5辆车不能将学生和老师运送完，且每辆汽车上至少要一名教师，所以只能租6辆，即， 故答案为：6； ②设租甲种客车x（辆）、学校租车所需的总费用y（元），依题意， 得 整理，得． 所以y与x的函数关系式为：； 由题意得， 解得， 为整数， 的值为4或5， （或）； ③则有两种租车方案： 甲种客车4辆，乙种客车2辆，租车需花费：（元）； 甲种客车5辆，乙种客车1辆，租车需花费：（元）． ， ∴最少租车费用是2160元， 则租甲种客车4辆，乙种客车2辆时，最节省费用，最小费用为2160元． 【变式1-2】（24-25八年级下·全国·期末）为推进美丽乡村建设，改善居住环境，创建美丽家园．某市甲、乙两工厂积极生产了某种建设物资共，甲工厂的生产量比乙工厂的2倍少，这批建设物资将运往A地，B地，运费（元/吨）如表所示： 工厂 目的地 A B 甲 25 20 乙 15 24 (1)甲、乙两工厂各生产了这批建设物资多少吨? (2)设这批物资从甲工厂运往A地x吨，全部运往A，B两地的总运费为y元，求y与x之间的函数关系式，写出x的取值范围并设计使总运费最少的调运方案； (3)由于甲工厂到A地的路况得到了改善，缩短了运输距离和运输时间，运费每吨降低m元（），其余路线运费不变．若到A，B两地的总运费的最小值不小于14140元，求m的取值范围． 【答案】(1)甲、乙两工厂分别生产了这批建设物资， (2)；总运费最少的调运方案是甲工厂运往A地，运往B地；乙工厂运往A地，运往B地 (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出二元一次方程组，写出相应的函数关系式和不等式，利用分类讨论的方法解答． （1）根据甲、乙两工厂积极生产了某种建设物资共800吨，甲工厂的生产量比乙工厂的2倍少100吨，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可； （2）根据题意和表格中的数据，可以写出y与x之间的函数关系式，写出x的取值范围并设计使总运费最少的调运方案； （3）根据题意和分类讨论的方法，可以求得m的取值范围． 【详解】（1）解：设这批建设物资甲工厂生产了，乙工厂生产了， 由题意，得，解得：， 答：甲、乙两工厂分别生产了这批建设物资，； （2）由题意，得 ， ， 随x的增大而增大， 当时运费最小， 此时，，， 答：总运费最少的调运方案是甲工厂运往A地，运往B地；乙工厂运往A地，运往B地； （3）由题意，得， ①当时，则y随x的增大而增大，有 ， 当时，y取得最小值，此时， 解得， ， ②当时，有，，不合题意，舍去， ③当时，则y随x的增大而减小，有， 当时，y取得最小值，此时， 解得 （舍去）， 综上所述，m的取值范围是． 类型二、一次函数的应用之最大利润问题 1. 建立利润函数模型 明确变量：设销量（或产量）为x，根据“单件利润×销量－固定成本”或类似关系，列出利润y关于x的一次函数式y=kx+b。 2. 确定自变量取值范围 根据题目中的成本、产能、市场需求等约束条件，列出关于x的不等式组，求出x的实际取值范围。 3. 利用函数增减性求最值 一次函数为直线，最值必在自变量取值范围的端点处取得。根据斜率k的正负判断增减性，将端点值代入函数，比较得出最大利润及对应销量。 例2．（24-25八年级下·云南红河·期末）云南昆明斗南花市，是全亚洲最大的国际鲜花交易市场．2025年3月8日“妇女节”这一天，小宇在某花店购买1捆康乃馨和2捆玫瑰需120元，小艳购买2捆康乃馨和1捆玫瑰需90元． (1)求该花店康乃馨和玫瑰的销售单价； (2)该花店老板在这天购进康乃馨的数量不少于玫瑰的数量，又不多于玫瑰数量的2倍，且购进康乃馨和玫瑰共80捆，在当天下午就全部销售完，且获得了最大利润．已知1捆康乃馨和1捆玫瑰的进价分别是10元和30元，该花店老板购进的康乃馨的数量是多少捆？获得的最大利润是多少元？ 【答案】(1)康乃馨的销售单价为20元/捆，玫瑰的销售单价为50元/捆 (2)该花店老板购进的康乃馨的数量是40捆，获得的最大利润是1200元 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式、一次函数的应用，理解题意是解题关键． （1）设花店康乃馨的单价为元/捆，玫瑰元/捆，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设该花店老板购进的康乃馨的数量是m捆，则购进的玫瑰的数量是捆，利润为w，根据题意列出不等式确定，然后列出一次函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：设花店康乃馨的单价为元/捆，玫瑰元/捆， 由题意得， 解得， 答：康乃馨的销售单价为20元/捆，玫瑰的销售单价为50元/捆； （2）设该花店老板购进的康乃馨的数量是m捆，则购进的玫瑰的数量是捆，利润为w， 根据题意得：， ， ∵1捆康乃馨和1捆玫瑰的进价分别是10元和30元， ∴利润为：， ∴当时，利润取得最大值为：， ∴该花店老板购进的康乃馨的数量是40捆，获得的最大利润是1200元． 【变式2-1】（25-26八年级上·全国·期末）绛州毛笔是中国传统名笔之一，从春秋战国时期至今已传承了两千多年，以胎毛、羊毫、兼毫、狼毫为最．某商店计划购进羊毫、兼毫两种毛笔共300支，其中两种毛笔的成本价和销售价如下表： 笔头类别 成本价（元/支） 销售价（元/支） 羊毫 15 25 兼毫 25 40 (1)若购进两种毛笔共花费6300元，求该商店购进羊毫、兼毫两种毛笔各多少支； (2)设购进兼毫毛笔m支，销售完这批毛笔获得的利润为元，若要保证任意一种毛笔都至少购进100支，试问应如何进货，才能使销售完这批毛笔获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)该商店购进羊毫毛笔120支，兼毫毛笔180支 (2)购进羊毫毛笔100支，兼毫毛笔200支时，获得的利润最大，最大利润是4000元 【分析】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，正确理解题意，寻找等量关系，利用一次函数的增减性求最值是解题的关键； （1）设该商店购进羊毫毛笔支，兼毫毛笔支，根据题意，列方程组求解； （2）由题知，商店购进兼毫毛笔支，羊毫毛笔支，根据题意求出利润关于的表达式，利用一次函数的增减性求利润的最大值，作答即可． 【详解】（1）设该商店购进羊毫毛笔支，兼毫毛笔支， 由题知，， 解方程组得． 答：该商店购进羊毫毛笔120支，兼毫毛笔180支． （2）由题知，商店购进兼毫毛笔支，羊毫毛笔支， 由解得， 利润为， ， 随的增大而增大， 又，为整数， 当时，利润有最大值，为4000元． 答：商店购进羊毫毛笔100支，兼毫毛笔200支，销售完这批毛笔获得的利润最大，最大利润是4000元． 【变式2-2】（24-25八年级下·云南红河·期末）2025年3月19日下午，习近平总书记在云南丽江考察时，当地居民与游客热情邀请习近平总书记品尝云南咖啡，总书记亲切回应：“云南咖啡还是代表着中国的，现在国外也是受欢迎的．”某咖啡专卖店销售甲、乙两种类型的云南咖啡的信息如下表： 进货价格（单位：元/盒） 销售价格（单位：元/盒） 甲 x 60 乙 y 75 若该专卖店购进25盒甲种咖啡和30盒乙种咖啡共花费2500元，购进12盒甲种咖啡和15盒乙种咖啡共花费1230元． (1)求x，y的值； (2)该专卖店购进甲、乙两种咖啡共1000盒，其中甲种咖啡的数量不超过700盒，且不少于乙种咖啡数量的．设该专卖店销售这1000盒咖啡获得的利润为w元，求w的最大值． 【答案】(1) (2)w的最大值为23000 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用及一次函数的应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系和不等关系，列出方程组和不等式求解． （1）由题意得甲种咖啡的采购单价是元，乙种咖啡的采购单价是元，根据购进25盒甲种咖啡和30盒乙种咖啡共花费2500元，购进12盒甲种咖啡和15盒乙种咖啡共花费1230元，列出方程组求解即； （2）设购买甲种咖啡盒，购买乙种咖啡盒，根据“甲种咖啡的数量不超过700盒，且不少于乙种咖啡数量的”，列出不等式求解出a的取值范围，再根据，利用一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得 ； （2）解：设购买甲种咖啡盒，购买乙种咖啡盒， ， 解得 又∵ ∴，且a为正整数， ， 随a的增大而减小， 当时，有最大值，最大值为， 答：w的最大值为23000． 类型三、一次函数的应用之行程问题 1. 画图分段析过程 画出线段示意图，明确各段对应的运动过程（如相遇、追及、停留）。分段建立函数关系，注意时间、速度、路程的单位统一。 2. 抓关键点列解析式 识别关键点（起点、转折点、终点）的坐标（时间，路程），利用待定系数法或两点式求各段一次函数解析式s=kt+b，其中k表示速度。 3. 利用交点解实际问题 求两函数图像的交点坐标，即为相遇时间与位置。比较函数值可判断领先关系。注意定义域（时间范围）需符合实际运动过程。 例3．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）一辆货车和一辆轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一条公路相向而行，匀速驶向各自的目的地乙地和甲地．行驶了一段时间，轿车出现故障停下维修，货车遇到轿车后立即停下帮助维修，故障排除后，两车立即以各自原速度继续行驶．两车之间的距离和货车行驶时间之间的函数图象如图①所示． (1)货车的速度为________ ，轿车的速度为________ ； (2)求线段表达式； (3)在图②中，画出货车离乙地的距离和行驶时间之间的函数图象． 【答案】(1)60；80 (2) (3)见解析 【分析】本题考查从函数图象获取信息，一次函数的应用，理解题意是解题的关键． （1）根据图中信息，找出对应的时间、路程，即可求出速度； （2）求出点D，E的坐标，利用待定系数法求解； （3）求出，时对应的s的值，以及货车到达乙地的时间，画出分段函数即可． 【详解】（1）解：由图象可知，货车的速度为， 轿车的速度为； （2）解：根据题意知，轿车出现故障时行驶了， 轿车修好后到达甲地所需时间为， ， ， 货车2小时行驶的路程为， ， ， 设线段的函数表达式为， 把，坐标代入解析式得：， 解得， 线段的函数表达式为； （3）解：由题意得，货车到达乙地的时间为， 时，， 时，， 货车离乙地的距离和行驶时间之间的函数． 图象如图②： 【变式3-1】（23-24八年级下·吉林四平·期末）某天早晨，小强从家跑步去体育场锻炼，同时妈妈从体育场晨练结束回家，途中两人相遇，小强跑到体育场后发现要下雨，立即按原路返回，遇到妈妈后两人一起按小强返回时的速度回到家（小强和妈妈始终在同一条笔直的公路上），设两人离家的距离为（米），小强从家出发后的时间为（分），与之间的函数图象如图所示． (1)体育场与小强家的距离为_________米； (2)求小强去体育场时离家的距离与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)求妈妈比按自己原来的速度提前多少分钟到家． 【答案】(1)3000 (2)（） (3)妈妈比按自己原来的速度提前10分钟到家 【分析】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及解一元一次方程，读懂图象信息是解答本题的关键． （1）根据图象可得结论； （2）运用待定系数法可求出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）求出点B的坐标，根据点D和点B的坐标，利用待定系数法可求出直线所对应的函数表达式，将代入其内可求出x的值，用其减去50即可得出结论． 【详解】（1）解：由图象得体育场与小强家的距离为3000米， 故答案为：3000； （2）解：设直线的解析式为（）， 把代入，得， ， 与之间的函数关系式为（）； （3）解：当时，． ． 设直线的解析式为（）． 把，代入，得， 解得， 直线的解析式为， 令，则， 解得， ， 答：妈妈比按自己原来的速度提前10分钟到家． 【变式3-2】（23-24八年级下·山东日照·期末）下面是某项目化学习小组的部分学习过程再现，请阅读并解答问题． 【项目主题】品味经典． 【童话故事】“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：兔子和乌龟从起点同时出发，领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，在路边小树处睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟先到达终点． 组成员用表示兔子和乌龟从起点出发所行的时间，、分别表示兔子和乌龟所行的路程，画出了能大致表示上面故事情节的图象，如图1． 根据图1回答下列问题 问题1：乌龟在这次比赛中的平均速度是___________米/分钟； 问题2：试解释图中线段的实际意义； 【分组探究】 组成员对童话故事进行了改编：兔子输了比赛， 心里很不服气，它们约定再次赛跑，兔子让乌龟从路边小树处（兔子第一次睡觉的地方）起跑，乌龟、兔子的速度及赛场均和组的数据一致，它们同时出发，结果兔子先到达了终点，小组成员根据故事情节绘制如图2的图象． 问题3：图2中，表示兔子和乌龟所行的时间，表示所行的路程，求在乌龟行进过程中，当乌龟和兔子相距120米时，是多少？ 【答案】（1） （2）线段的实际意义是兔子在距出发地400米的地方，睡了40分钟 （3）当乌龟和兔子相距120米时，或或 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息． （1）用路程除以时间可得乌龟在这次比赛中的平均速度； （2）根据图象即可得到结论； （3）用含的式子表示兔子和乌龟距起点的路程，然后根据条件列出方程即可． 【详解】解：（1）由图象可得赛跑的全程是1200米，乌龟花了60分钟， ∴乌龟在这次比赛中的平均速度是米/分钟； （2）由图象知，， 即线段的实际意义是兔子在距出发地400米的地方，睡了40分钟； （3）由图可知，兔子距起点的路程（米）， 乌龟距起点的路程为（米）， ∵乌龟和兔子相距120米， ∴或， ①， ， ∴， 解得：或； ②， ， ， 解得：； 综上，当乌龟和兔子相距120米时，或或． 类型四、一次函数的应用之梯度计费问题 1. 找准分段临界点 明确梯度标准（如用电量、用水量、通话时长），找出各档次的临界值，以此为界分段建立函数关系。 2. 分段列式，注意累加 设用量为x，总费用为y。分段列出一次函数解析式：第一档直接按单价算；后续档费用 = 前档满额费用 + 超出部分 × 新单价。 3. 判断用量所在区间 将已知总费用或用量代入相应区间解析式求解。若已知费用求用量，需先通过费用范围判断所在档位，再代入对应解析式计算。注意单位统一。 例4．（24-25八年级下·重庆南川·期末）共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有两种品牌的共享电动车，如图所示的图象反映了收费（元）与骑行时间之间的函数关系，其中品牌收费方式对应品牌的收费方式对应． 请根据相关信息．解答下列问题： (1)品牌共享电动车的起步价是___元；品牌共享电动车的收费是每分钟_____元； (2)求品牌共享电动车超过后，收费关于的函数解析式； (3)请直接写出当骑行时间为何值时，两种品牌的共享电动车收费相差4元． 【答案】(1)7， (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从函数图象中有效的获取信息，正确的列出函数关系式，是解题的关键. （1）直接从图象获取信息，用总费用除以时间，求出A品牌共享电动车的收费即可； （2）设出函数解析式，利用待定系数法求出函数解析式即可； （3）分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，B品牌共享电动车的起步价是7元，A品牌共享电动车的收费是每分钟：（元）， 故答案为：7；； （2）解：设， 把代入，得：， 解得：； ∴； （3）解：当时，，解得：； 当时，，解得：； 综上：或． 【变式4-1】（24-25八年级上·山西晋中·期末）李先生购买了一辆某型号的新能源车，其电池电量为千瓦时，目前有两种充电方案供选择（如表），经测算李先生发现电池剩余电量（千瓦时）与已行驶里程（千米）有如图关系． 方案 安装费用 每千瓦时所需费用 方案一：私家安装充电桩 元 元 方案二：公共充电桩充电 元（含服务费） (1)已知新能源车充电时一般损耗率为，电池剩余电量为零时，使用家用充电桩一次性充满电需要费用为（元），则电池剩余电量为零时到公共充电桩一次性充满电需要多少费用? (2)当已行驶里程大于千米时，求出电池剩余电量（千瓦时）与已行驶里程（千米）的函数表达式．当电池剩余电量为 时，会提示充电，此时理论上还能继续行驶多少千米? (3)李先生都是在电池剩余电量不低于千瓦时就开始充电，请问累计行驶里程大约为多少千米时，两种方案费用一样．（结果保留整数） 【答案】(1)到公共充电桩一次性充满电需要元； (2)此时理论上还能继续行驶千米； (3)累计行驶里程大约为千米时，两种方案费用一样． 【分析】（）根据“充电费用一般损耗率充电电量每千瓦时所需费用”计算即可； （）先求出电池剩余电量与已行驶里程的函数表达式为：，则电池剩余电量与已行驶里程的函数表达式为，再求出电池剩余电量为时行驶的里程，根据“理论上还能继续行驶的进程充满电行驶的最大里程电池剩余电量为时行驶的里程”计算即可； （）当时，新能源车每千米消耗的电量为（千瓦时），设累计行驶里程大约为千米时，两种方案费用一样，列出方程，然后解方程即可； 本题考查了一次函数和一元一次方程的应用，正确列出函数式与方程是解题的关键． 【详解】（1）解：电池剩余电量为零时到公共充电桩一次性充满电需要（元）； 答：到公共充电桩一次性充满电需要元； （2）解：当时，设电池剩余电量与已行驶里程的函数表达式为：， ∴，解得：， ∴电池剩余电量与已行驶里程的函数表达式为， 当时，即，则， 当时，即，则， ∴（千米）， ∴此时理论上还能继续行驶千米； （3）解：当时，新能源车每千米消耗的电量为（千瓦时）， 设累计行驶里程大约为千米时，两种方案费用一样， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 答：累计行驶里程大约为千米时，两种方案费用一样． 【变式4-2】（24-25八年级下·新疆喀什·期末）我国是一个缺水国家，节约用水，是我们每一个公民的基本素养之一．为鼓励居民节约用水，某市对居民用水收费实行“阶梯价”，2022年起年具体收费标准如下表（阶梯价的含义：用水量不超过144，每立方米收费3.15元，用水量在144~240，前144按 3.15元/，144~240之间按4.05元/收费，以此类推）． 供水类型 阶梯分类 年用水量 （） 价格 （元/） 居民生活用水 第一阶梯 0~144（含） 3.15 第二阶梯 144~240（含） 4.05 第三阶梯 240以上 6.75 (1)设某户居民的年用水量为，请按阶梯分类求用水年费用（元）关于年用水量（）的函数解析式． (2)若小米家2024年全年用水量为120，则小米家应缴2024年水费多少元？ (3)若小乐家2024年缴水费814.05元，求小乐家2024年全年用水量． 【答案】(1) (2)小米家应缴2024年水费元 (3)小乐家2024年全年用水量为 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，列代数式以及有理数的混合运算，关键是根据图表中的数量关系，列出算式和方程． （1）分，及三种情况，利用含的代数式表示出这户居民的水费即可； （2）由于小米家2024年全年用水量为120，则按第一阶梯交费，根据总价=单价×数量列式计算即可； （3）先判断出小乐家2024年的用水量到达第二阶梯，再根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意知， 当时，， 当时，， 当时，， ； （2）解：（元）， 小米家应缴2024年水费元； （3）解：设小乐家2024年全年用水量为， ，， ， ， 解得， 小乐家2024年全年用水量为． 类型五、一次函数的应用之几何问题 1. 坐标化处理图形 将几何图形放在平面直角坐标系中，根据已知条件（边长、角度）设出关键点的坐标，用坐标表示线段长或图形特征。 2. 建立一次函数关系 分析动点运动规律，用含时间t或变量x的式子表示动点坐标，再利用两点间距离公式、面积公式等，建立所求量（如线段长、面积）与变量的一次函数关系y=kx+b。 3. 结合几何性质求最值 根据函数增减性（k的正负）在变量允许范围内求最值。注意动点的运动轨迹可能受限（如在某线段上），需据此确定自变量取值范围。 例5．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，，．动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿折线运动，到达B点时停止运动，设点P的运动时间为秒，的面积为y． (1)求y关于t的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图像，并写出该函数的一条性质； (3)当的面积等于4时，结合函数图像，求的值． 【答案】(1) (2)图像见解析，函数的一条性质：该函数的最大值为6 (3)2或 【分析】本题考查了一次函数的应用、勾股定理等知识，熟练掌握一次函数的几何应用是解题关键． （1）分两种情况：①，先求出的长，再利用三角形的面积公式即可得；②，先求出的长，再利用三角形的面积公式可得的长，然后利用三角形的面积公式求解即可得； （2）先根据（1）的结论，画出两段一次函数的图像，再写出一条性质即可得； （3）分两种情况：和，求出时，的值即可得． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， 由题意可知，点从点运动到点所需时间为秒，从点运动到点所需时间为秒， ①当时，点在上运动， 则， ∴的面积； ②如图，当时，点在上运动， 过点作于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴的面积； 综上，． （2）解：在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图像如下： 该函数的一条性质：该函数的最大值为6． （3）解：当时，则，解得，符合题设； 当时，则，解得，符合题设； 综上，的值为2或． 【变式5-1】（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，在等腰三角形中，，，点在边上运动（不与点，重合），连接，设，的面积为． (1)求底边上的高； (2)求与之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围． (3)当的长度为4时，求出相应的的值． 【答案】(1)8 (2) (3)16 【分析】本题考查三角形的面积、函数关系式，掌握三角形的面积计算公式是解题的关键． （1）根据在等腰三角形的性质和勾股定理计算即可； （2）根据三角形面积公式计算即可； （3）当时，求出对应S的值即可． 【详解】（1）解：过点A作于点D． ∵在等腰三角形中，， ∴， 在中利用勾股定理，得， ∴底边上的高h为8． （2）解：， ∴S与x之间的函数关系式及自变量的取值范围为． （3）解：当时，． 【变式5-2】“漏壶”是一种古代计时器，在社会实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图①所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体． (1)如表是实验记录的圆柱体容器液面高度（厘米）与时间（小时）的数据： 时间（小时） 圆柱体容器液面高度（厘米） 在如图②所示的直角坐标系中描出上表的各点，用光滑的线连接． (2)请根据（1）中的数据确定与之间的函数表达式． (3)如果本次实验记录的开始时间是上午，那么当圆柱体容器液面高度达到厘米时是______：______填写时间 【答案】(1)见解析 (2) (3)， 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握描点作图的方法、根据变量的变化规律写出函数关系式是解题的关键． （1）描点并连线即可； （2）根据表格中变量的变化规律即可； （3）当时，求出对应的值，从而求出具体的时间即可． 【详解】（1）解：描点并连线如图所示： （2）解：根据表格，时间增加小时，圆柱体容器液面高度增加厘米， 则， 与之间的函数表达式为． （3）解：当时，， 解得， 故， 当圆柱体容器液面高度达到厘米时是． 故答案为：，． 类型六、一次函数与几何图形的综合问题 1. 坐标化处理 将几何图形置于平面直角坐标系中，利用已知条件确定关键点坐标，设出一次函数解析式，通过交点、距离等建立方程。 2. 联立方程求关键点 将一次函数与几何条件（如另一函数解析式、垂直/平行关系、图形对称性）结合，通过联立方程组求解交点坐标或参数值。 3. 数形结合验证 解出结果后，代回原图验证是否满足所有几何条件（如点是否在线段上、三角形是否存在）。注意分类讨论不同情形，并利用函数性质分析动态变化。 例6．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰，，直线经过A，C两点．    (1)则A点的坐标为　　　，B点的坐标为　　　； (2)求直线的函数表达式； (3)点P是线段AC上的一点（不与A、C重合），试探究能否成为以BP为直角边的等腰直角三角形？若能，请直接写出点P的坐标，若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)能， 【分析】（1）对直线关系式，令或，即可求出、两点的坐标． （2）通过构造全等，求出点的坐标，再由、两点坐标根据待定系数法求得直线的函数表达式． （3）设点的坐标为，过点C作x轴的垂线，垂足为D，过P作x轴的平行线交轴于点，交于点，同（2）理可证得，从而，，然后根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：对于直线，令，则，所以点坐标为； 令，则，所以点坐标为． 所以点、坐标分别是和； （2）解：如图，过点向轴作垂线，为垂足．    为等腰直角三角形， ． ，， ． 在和中，，，． ． ，． ． 故点坐标为． 设函数表达式为，把、两点坐标代入得： ，解得． 直线的函数表达式为； （3）解：设点的坐标为，假设以为直角边的△BQC是等腰直角三角形， 如图．过点C作x轴的垂线，垂足为D，过P作x轴的平行线交轴于点，交于点， 同（2）理可证得， ，， ， ，，． ∴由，，， 此时，m适合题意． 此时．    【变式6-1】（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A和点C，直线（b是常数）与x轴交于点B且经过点C． (1)_______，________； (2)若直线轴且在y轴右侧，直线与直线，分别交于点D和点E，，求点D的坐标； (3)若点P是直线上一点，是否存在点P使得三角形的面积为9？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，9； (2)； (3)存在，或 【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A，C的坐标，由点C的坐标，利用待定系数法可求出直线的函数解析式即可得b，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点B的坐标，再利用数轴上两点间的距离公式，即可求出的长； （2）设点D的坐标为，则点E的坐标为，由，可列出关于m的含绝对值的一元一次方程，解之可求出m的值，再将其代入点D的坐标中，即可求出结论； （3）存在，设点P的坐标为，根据三角形的面积为9，可列出关于n的含绝对值符号的一元一次方程解之可求出n的值，再将其代入点P的坐标中，即可求出结论． 【详解】（1）解：当时，， 解得：， 点的坐标为； 当时，， 点的坐标为； 将代入得：， 解得：， 直线的函数解析式为， 当时，， 解得：， 点的坐标为； ； 故答案为：，9； （2）解：设点的坐标为，则点的坐标为， ， 又， ， 解得：， 因为在轴右侧，所以舍去 当时，； 点的坐标为； （3）解：存在，设点的坐标为， ， 解得：或， 当时，； 当时，； 点的坐标为或． 【变式6-2】（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）如图，直线与轴，轴分别交于，两点，，分别是线段，上的点． (1)若． ①求的长． ②若是等腰三角形，求点的坐标． (2)连接，若，当最小时，求点的坐标． 【答案】(1)①；②或或 (2) 【分析】（1）①分别令，求得，，勾股定理求得，进而根据，即可求解； ②设，则，则，勾股定理建立方程得出，进而分类讨论，即可求解； （2）过点作交轴于点，在上截取，过点作轴于点，证明得出，进而可得当在上时，取得最小值；设，根据勾股定理求得，进而求得的解析式为，设，则，，根据得出，则，再求得的解析式为，令，即可求解． 【详解】（1）解：①∵直线与轴，轴分别交于，两点， 当时，，当时，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴ ②如图所示，过点作轴于点， 设，则，则， 在中，， ∴ ， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴， 设，则，， ∵是等腰三角形， 当时，则， 当时，则， 解得：（舍去）或 ， 当时，则， 解得：， ∴或或； （2）解：如图所示，过点作交轴于点，在上截取，过点作轴于点， ∵，， ∴即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当在上时，取得最小值； 设，则， 在中，， 在中，， ∴， ∴，则， ∴， ∴， 设的解析式为，代入， ∴， 解得：， ∴的解析式为， 设，则，， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴， 设直线的解析式为代入， ∴， 解得：， ∴的解析式为， 当时，， 解得：， ∴当最小时，点的坐标为． 一、单选题 1．（24-25八年级下·山西朔州·期末）如图是某超市叠放的购物车、小艺同学尝试探究购物车的车身总长单位：米与购物车数量单位：辆之间的关系，她测得几组数据如下表所示： 购物车数量辆 1 2 3 4 5 6 … 车身总长y米 … 下列结论正确的是（ ） A．y是x的正比例函数 B． C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据表格的数据以及利用待定系数法求一次函数解析式进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：由表格可知：x每增加1，y增加， 是x的一次函数，且， 选项A不正确； 设， 把代入中得：， 解得， 所以y关于x的函数解析式为：， 选项B正确； 当时，， 当时，， 选项C，D不正确； 故选：B． 2．（24-25八年级下·广东惠州·期末）如图，点A，B，C在一次函数的图象上，它们的横坐标依次，1，2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，根据一次函数解析式，结合点A，点B，点C的横坐标可以求出A、B、C、D的坐标，再根据列式求解即可． 【详解】解：如图所示，设直线与y轴交于点D，过点A且与y轴垂直的直线交y轴于E， 过点B且与y轴垂直的直线交y轴于F，过点B与x轴垂直的直线与过点C与y轴垂直的直线交于G， 在中，当时，，当时，，当时，，当时， ∴，， ∴， ， ∴， 故选：A． 3．（24-25七年级下·山东济南·期末）甲、乙两车从A地出发，匀速驶往B地，甲车出发0.5小时后，乙车才沿相同的路线开始行驶，乙车先到达B地并停留30分钟后，又以原速按原路线返回，直至与甲车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇为止，两车之间的距离S与乙车行驶时间t的函数关系图象，则下列说法正确的是（   ） A．乙车的速度为 B．两地相距 C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图像，分别求出甲、乙行驶的时间，速度，以及不同状态下两车之间的距离，再判断各项即可． 本题考查函数图像与行程问题，理解其数量关系是解题的关键． 【详解】解：A、由题意可知，折线段表示从开始到相遇为止，两车之间的距离S与乙车行驶时间t的函数关系，则甲的行驶时间为， ∴甲用行驶了， ∴甲的速度为 由可知乙用追上了甲， 此时甲行驶了，路程是， ∴乙用了行驶了， ∴乙的速度是， 故A选项错误，不符合题意； B、由可知，时甲、乙两车相距， ∴，即A、B两地相距， 故B选项错误，不符合题意； C、，即甲、乙两车最远相距， 故C选项错误，不符合题意； D、∵乙车先达到B地并停留30分钟后， ∴， ∴，， ∴ ∴乙车出发与甲车相遇， 故D选项正确，符合题意； 故选：D． 4．（24-25七年级上·山东烟台·期末）今年“十一”假期，小凡一家驾车前往黄果树景区旅游，在行驶过程中，汽车离黄果树景区的路程与所用时间之间的函数关系的图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A．出发第1小时y与x之间的函数表达式是 B．出发第的平均速度为 C．出发后y与x之间的函数图象所在的直线是直线向上平移1个单位 D．小凡从家到黄果树景区的时间共用了 【答案】D 【分析】根据速度＝路程时间求出出发第1小时汽车的平均速度，并写出y与x之间的函数表达式即可判断A、B；写出出发后y与x之间的函数关系式可判断C；根据C选项中求出的函数关系式，当时，求出对应x的值即可判断D． 本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键． 【详解】解：第一小时内汽车的平均速度为，则y与x之间的函数表达式是， ∴A、B不正确，不符合题意； 出发后汽车的速度为，则y与x之间的函数表达式是，可由直线向上平移75个单位得到， 不正确，不符合题意； 当时，解得， 小凡从家到黄果树景区的时间共用了， ∴D正确，符合题意． 故选：D 二、填空题 5．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）如图A，B两地相距，甲于某日下午1点骑自行车从A地出发去B地，乙也于同日下午骑摩托车按相同路线从A地出发去B地，图中的折线和线段分别表示甲乙所行驶的路程S与时间t的关系，根据图中的数据，乙出发 时间就追上甲． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，读懂函数图象，熟练掌握待定系数法是解题关键．先分别求出线段所在直线的函数解析式、线段所在直线的函数解析式，再联立，求出它们的交点，则可得乙追上甲的时间点，然后减去乙出发的时间即可得． 【详解】解：设线段所在直线的函数解析式为， 将点，代入得：，解得， 则线段所在直线的函数解析式为， 设线段所在直线的函数解析式为， 将点，代入得：，解得， 则线段所在直线的函数解析式为， 联立，解得， 即乙在2点半的时候追上甲， 由函数图象可知，乙是在2点出发， 则乙从出发到追上甲所用时间为， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·四川泸州·期末）如图，函数的图象与轴，轴分别交于两点，点的坐标为，点为直线上的动点，连接，则的周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据题意和最短路线问题，作关于直线为对称点 ，连接，则的周长的最小；在根据勾股定理可求结果. 【详解】解：如图， ∵函数的图象与轴，轴分别交于两点 ∴ ∵点为直线上的动点，的周长的最小值 作关于直线为对称点 ，连接与直线交于点D，连接，则的周长的最小； ∴ ∵ ∴ 在中，根据勾股定理得： ∴ 故答案为：. 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、轴对称最短路线问题，解答本题的关键是明确题意，作出相应的辅助线，利用数形结合的思想解答． 7．（24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）甲、乙两人登山，登山过程中，甲、乙两人距地面的高度（米）与登山时间（分钟）之间的函数图像如图所示．乙提速后，乙的登山速度是甲登山速度的3倍，并先到达顶．根据图象所提供的信息，下列说法正确的有 ． ①甲登山的速度是每分钟10米；②乙在地时距地面的高度为30米；③乙登山5.5分钟时追上甲：④登山时间为4分钟、9分钟、13分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为50米． 【答案】①② 【分析】本题考查了一次函数的应用以及解一元一次方程，解④的关键是将两函数关系式做差找出关于x的一元一次方程． 根据速度等于高度除以时间即可算出甲登山上升的速度；根据高度等于速度乘以时间即可算出乙在A地时距地面的高度b的值和t的值；求出甲登山全程中y关于x的函数关系式，和乙后半段中y关于x的函数关系式，确定高度差只在时，令二者做差等于即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：甲登山上升的速度是（米/分钟）， 乙提速后的速度为：（米/分钟）， ， ， 故①②正确； 设甲登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为， ∴，解得， ∴函数关系式为． 同理求得段对应的函数关系式为， 当时，解得：， ∴乙登山分钟时追上甲，故③错误； 当时，高度差为， 当时，解得：； 当时，解得：； 当时，解得：． 故登山4分钟、9分钟或分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为米．故④错误； 故答案为：①②． 8．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，与直线交于点，点的横坐标是，则点的坐标是 ．点是直线上一动点．当最短时，的面积是 ． 【答案】 4 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式、一次函数图象和坐标轴交点问题等知识，数形结合是关键．求出，利用待定系数法求出直线，当时，即可求出的坐标；进一步利用勾股定理和等积法求出的面积即可． 【详解】解：把代入得到，， ∴ 把，代入得到， ， 解得 ∴直线， 当时，， ∴点的坐标是， 在中，， ∴ 当最短，即时， 则 即， ∴， ∴的面积是 故答案为：，4 三、解答题 9．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）为了更好的预防疫情，我校准备购买A、B两种型号的免手洗消毒液，已知购买8瓶A型和3瓶B型共需要950元；购买5瓶A型和6瓶B型共需要800元． (1)求A、B两种型号的免手洗消毒液的单价各是多少？ (2)现在学校需购买A、B两种型号的免手洗消毒液共100瓶，考虑到学校班级数和资金问题，购买的A型免手洗消毒液不少于51瓶，并且购买两种型号消毒液的总费用不超过7750元，则学校有几种购买方案？ (3)在（2）的前提下，求满足学校要求的最低费用． 【答案】(1)A种型号的免手洗消毒液的单价是100元，B种型号的免手洗消毒液的单价是50元 (2)学校有5种购买方案 (3)满足学校要求的最低费用为7550元 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用、以及二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程组和函数关系式． （1）设A型消毒液单价是x元，B型消毒液单价是y元，根据题意列方程组求解即可； （2）设A型消毒液购买了m瓶，根据“购买的A型免手洗消毒液不少于51瓶，并且购买两种型号消毒液的总费用不超过7750元”列出不等式组，再求出m的取值范围即可； （3）设A型消毒液购买了m瓶，总费用为W元，由已知得，再根据一次函数性质可得答案． 【详解】（1）解：设A型号的免手洗消毒液的单价是x元，B型号的免手洗消毒液的单价是y元， 根据题意得：， 解得， 答：A种型号的免手洗消毒液的单价是100元，B种型号的免手洗消毒液的单价是50元； （2）解：设购买A型免手洗消毒液m瓶，则购买B型免手洗消毒液瓶， ∵购买的A型免手洗消毒液不少于51瓶，并且购买两种型号消毒液的总费用不超过7750元， 根据题意得：， 解得， ∵m为整数， ∴m可取51，52，53，54，55， ∴学校有5种购买方案； （3）解：设购买的费用是W元， 根据题意得：， ∵， ∴W随m的增大而增大， ∴时，W取最小值，最小值为（元）， 答：满足学校要求的最低费用为7550元． 10．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）某化妆品公司每月付给销售人员的薪酬有两种方案． 方案一：没有底薪，只拿销售提成； 方案二：底薪加销售提成． 设（件）是销售商品的数量，（元）是销售人员的月薪酬．如图所示，为方案一的函数图象，为方案二的函数图象．根据图中信息解答如下问题： (1)方案二中每月付给销售人员的底薪是______元； (2)求，图象的函数解析式； (3)小丽应选择哪种薪酬方案，才能使月工资更多？ 【答案】(1)600 (2)的解析式为，的解析式为 (3)当销售数量件时选方案一，时两种方案均可，件时选方案二 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，一次函数与方程的关系，一次函数与不等式的关系，是解题的关键． （1）依据题意，结合函数的图象可得，当销售数量时，薪酬y即为底薪，结合函数的图象可以判断得解； （2）依据题意，结合函数的图象通过待定系数法计算可以得解； （3）依据题意，结合（2）得，的解析式为：，的解析式为，从而分三种情况分析可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意，结合函数的图象可得，当销售数量时，薪酬y即为底薪， 又由的图象可知，时， 方案二的底薪是600元． 故答案为：600； （2）解：由题意，设的解析式为， 图象过点， 的解析式为： 又设的解析式为， 图象过点，， ，且 的解析式为 （3）解：由题意，结合（2）得，的解析式为：，的解析式为 当，即时，方案一工资更多； 当，即时，两种方案工资相同； 当，即时，方案二工资更多． 11．（25-26八年级上·全国·期末）【问题背景】 某校为了更好地开展排球课程，计划购买一批排球．两家体育用品商店分别推出了自己的优惠方案，甲商店：若购买排球的数量超过20个，超过部分的每个排球都按单价的八折出售；乙商店：若购买排球的数量超过15个，超过部分的每个排球都按单价的九五折再优惠10元出售． 【问题研究】 用表示购买排球的数量，表示在甲商店购买排球的总价，表示在乙商店购买排球的总价，其函数图像如图所示． (1)【问题解决】两个商店排球的单价各是多少元？ (2)当时，与x之间的函数关系式为________；当时，与x之间的函数关系式为________． (3)请求出交点的坐标，并根据图像直接写出选择哪家商店购买排球更合算． 【答案】(1)两个商店排球的单价均是100元 (2) ， (3)点的坐标为，见解析 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是根据题意或图像找出等量关系列出函数关系式或方程，利用图像确定自变量的取值范围以解决方案问题． （1）根据函数图像，列式计算即可； （2）根据两个商店分别推出的优惠方案并根据“总价单价数量”即可得出函数关系式； （3）结合图像根据（2）的结论列方程解答即可 【详解】（1）解：甲商店排球的单价为元 乙商店排球的单价为元 答：两个商店排球的单价均是100元． （2）当时， 与x之间的函数关系式为； 当时， 与x之间的函数关系式为； （3）由题意，可得解得 此时 点C的坐标为 根据图象可知，当购买数量不多于15或等于35时，选择甲、乙两家商店都一样； 当购买数量大于15且小于35时，选择乙商店更合算； 当购买数量大于35时，选择甲商店更合算． 12．（24-25七年级下·河南焦作·期末）某视频网站对本站会员推出、两种收费方式，这两种收费方式每月所需的费用（元）与上网时间的关系如图所示： 观察图象，解决以下问题： (1)每月上网时间为时，、两种方式的费用分别是多少？ (2)每月上网费用为元时，、两种方式可上网的时间分别是多少？ (3)每月上网时间为的时候，请通过计算说明选择哪种方式更省钱． 【答案】(1)每月上网时间为时，方式的费用是元，方式的费用是元； (2)每月上网费用为元时，方式可上网的时间是，方式可上网的时间是． (3)每月上网时间为的时候，选择方式更省钱． 【分析】本题考查一次函数图象，求一次函数的解析式，解题的关键是正确理解函数图象中的信息． （1）观察函数图象即可； （2）通过待定系数法确定方式对应的函数解析式，代入纵坐标，即可得方式的上网时间，通过观察函数图象即可得方式的上网时间； （3）通过待定系数法确定方式对应的函数解析式，将上网时间分别代入两种方式对应的函数解析式，可得对应的费用，比较即可． 【详解】（1）解：由图可知，当时，方式的费用是元，方式的费用是元， 答：每月上网时间为时，方式的费用是元，方式的费用是元． （2）解：方式，当时，设每月所需费用， 由图可知，， 解得，， ∴方式，当时，每月所需费用， 当时，，解得：， 由图可知，当时，， 答：每月上网费用为元时，方式可上网的时间是，方式可上网的时间是． （3）解：由（2）得，方式，当时，每月所需费用， 当时，， 方式，当时，设每月所需费用， 由图可知，， 解得，， ∴方式，当时，每月所需费用， 当时，， ∵， ∴当时，， 答：每月上网时间为的时候，选择方式更省钱． 13．（24-25八年级下·云南红河·期末）根据以下素材，完成探究学习任务． 如何为村民小组设计总费用最少的购进方案？ 背景 2025年3月15日，“花开四季，‘香’约云南·住在梨香花海里”网络主题宣传活动在红河州个旧市博泰小院正式启动．东风知春意，万亩梨花开，个旧市加级寨、哨冲万亩梨花迎来盛花期，“梨园春晓·万亩梨花赏花季”群众活动如火如荼地开展，吸引了众多游客前来观赏．某村民小组计划购进梨膏和梨醋进行销售． 素材 若购进3瓶梨膏和2瓶梨醋共需130元，若购进5瓶梨膏和8瓶梨醋共需310元． 问题解决 任务1 确定单价 求购进的梨膏和梨醋每瓶分别是多少元？ 任务2 拟定总费用最少的购进方案 若某村民小组计划购进梨膏和梨醋共300瓶，且梨膏的数量至少比梨醋的数量多50瓶，又不超过梨醋数量的2倍，怎样购进才能使总费用最少？并求出最少费用． 【答案】任务1：所以梨膏每瓶元，梨醋每瓶元；任务2：购进梨膏瓶，梨醋瓶，最少费用为元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，准确计算是解题的关键． 任务1通过解二元一次方程组求得单价； 任务2通过建立总费用函数，利用一次函数的单调性在约束条件下确定最值． 【详解】任务1：设梨膏每瓶元，梨醋每瓶元， 由题意得方程组， 得：， 得：， 解得； 把代入中得：，解得； 所以梨膏每瓶元，梨醋每瓶元． 任务2：设购进梨膏瓶，梨醋瓶，则，且，； 由得， 代入不等式得，解得，且，解得， 所以； 总费用，由于随增大而减小，所以当时最小，此时，（元）； 答：购进梨膏瓶，梨醋瓶，最少费用为元． 14．（25-26八年级上·全国·期末）如图，直线与直线相交于点F，，分别交x轴于点E，G，长方形的顶点C，D分别在直线，y轴上，顶点A，B在x轴上，且点B与点E重合，点A与原点O重合，长方形的面积是． (1)求k的值； (2)求证：是等腰直角三角形； (3)若长方形从原地出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t秒． ①当时，求长方形与重叠部分的面积S的最大值； ②当时，直接写出S关于t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①；②当时，；当时， 【分析】此题是一次函数综合题，主要考查了长方形的面积公式，待定系数法，梯形的面积公式，画出图形是解本题的关键，也是解本题的难点． （1）先确定出，进而得出，最后用待定系数法求出k值； （2）先求出，，判断出，即可判断出，可证是等腰直角三角形； （3）求出，①利用梯形的面积公式即可得出结论； ②分当时，和当时，利用梯形的面积公式即可得出结论． 【详解】（1）∵直线， ∴， ∴， ∵长方形的面积是12， ∴， ∴， ∴，代入直线，得 ， ∴； （2）∵， ∴ 如图1， 记直线与y轴的交点为M，直线与y轴的交点为N， 对于直线，当时，， ∴. 对于直线，当时，，当时，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； （3）解，得， ∵直线与直线相交于点F， ∴. ①如图2，记长方形的边与直线的交点为P，Q， 由运动知，，， 由（2）知，， ∴，， ∴， ∴当时，； ②当时，如图3， 过点F作轴于H， ∵， ∴， 同①的方法得，， ∴， ∴ ， 当时，如图4， 记长方形的边与直线的交点为， 由运动知，， ∴， ∴． 即：． 15．（24-25八年级上·河南郑州·期末）加菲尔德利用图①验证了勾股定理，过等腰直角的直角顶点C作直线l，过点A作于点D，过点B作于点 E，研究图形，不难发现． (1)如图②，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，已知点A 的坐标为，求点B 的坐标． (2)如图③，直线分别交x轴，y轴于点A，C，直线过点C交x轴于点B，且，求直线的表达式． (3)在(2)的条件下，若点Q 是直线上且位于第三象限的一个动点，点M 是y轴上的一个动点，当以点B，M，Q为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出点 Q 的坐标． 【答案】(1)点B的坐标为 (2)直线的表达式为 (3)点Q的坐标为或 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形性质和判定、坐标与图形性质等知识点，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）如图∶过A作轴于E，过B作轴于F，则，进一步得到，即可证明可得，结合点A的坐标即可求得点B的坐标； （2）根据题意得点，结合等腰三角形的性质得，则点，然后利用待定系数法即可求得直线的表达式即可； （3）设点，点，再分、和三种情况，利用三垂线构造全等三角形分别求解即可． 【详解】（1）解：如图，过A作轴于E，过B作轴于F， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，   ∵点A 的坐标为， ∴， ∴， ∴点B的坐标为． （2）解：∵直线分别交x轴，y轴于点A，C， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的表达式为， 将，代入得： ，解得， ∴直线BC的表达式为． （3）解∶设点，点，存在以下3种情况： ①如图1，当时，点M在x轴上方，分别过点Q，B作y轴的平行线，过点 M 作x轴的平行线分别交 于点 G，H， 同（1）可得， ∴， ∴，解得 ； ②如图2，当时，作轴，轴， 同（1）可得：， ∴， ∴，解得， ∴； ③如图3，当时，作轴， 同理可得，解得：， ∴． 综上，点Q 的坐标为 或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 期末专题07一次函数的应用的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、一次函数的应用之分配方案问题 类型二、一次函数的应用之最大利润问题 类型三、一次函数的应用之行程问题 类型四、一次函数的应用之梯度计费问题 类型五、一次函数的应用之几何问题 类型六、一次函数与几何图形的综合问题 压轴专练 典例详解 类型一、一次函数的应用之分配方案问题 1. 分析条件，确定函数关系 明确分配对象（如材料、人力、资金），找出分配量与对应效益（或成本）之间的一次函数关系，设 为y=a+b。 2.根据限制列不等式组 依据“总量有限”、“每种至少分配多少”等条件，列出关于分配量x的不等式组，确定x的取值范围 3. 结合函数增减性确定最优方案 判断一次函数的增减性（由k的正负决定），在x的允许取值范围内，选取端点值代入函数，比较大小 得出最优分配方案及对应的最值。 例1.(2425八年级下·云南临沧期末)在数字化时代，人工智能技术正以前所未有的速度发展，成为推动 各行业变革的关键力量.为提升AI模型的训练效率，某实验室需采购甲、乙两种类型的GPU卡，已知购买 6块甲型GPU卡和8块乙型GPU卡共需170万元，购买5块甲型GPU卡和4块乙型GPU卡共需115万元. (I)每块甲型GPU卡和乙型GPU卡的价格各是多少万元？ (2)该实验室预计采购甲、乙两种类型的GPU卡共40块，甲型GPU卡的数量不少于乙型GPU卡数量的4倍， 如何分配两种GPU卡的采购数量，才能使采购总费用最少？最少费用是多少万元？ 【变式1-1】(24-25八年级下·天津期末)某学校计划租用汽车外出参加集体活动，现有甲、乙两种大客车 租供选择.公司报价为：每辆甲种大客车载客量为45人，每辆乙种大客车的载客量为30人，每辆甲种大 客车比乙种大客车贵120元，3辆甲种大客车和2辆乙种大客车共计1760元 1/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)甲种大客车和乙种大客车每辆的租金分别为多少元？ (2)学校计划在总费用2300元的限额内，送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆汽车上至少要有一名 教师，设共租用了汽车m辆，其中租用甲种客车x辆，租车费用为y元 ①其中m的值为_-； ②求y关于x的函数解析式及x的取值范围； ③运用上述关系，求花费最少的租车方案及最少费用，并说明理由. 【变式1-2】(24-25八年级下·全国期末)为推进美丽乡村建设，改善居住环境，创建美丽家园.某市甲、 乙两工厂积极生产了某种建设物资共800t,甲工厂的生产量比乙工厂的2倍少100t,这批建设物资将运往A 地420t,B地380t,运费（元/吨）如表所示： 目的地 工厂 A B 25 20 15 24 ()甲、乙两工厂各生产了这批建设物资多少吨？ (②)设这批物资从甲工厂运往A地x吨，全部运往A,B两地的总运费为y元，求y与x之间的函数关系式， 写出x的取值范围并设计使总运费最少的调运方案： (3)由于甲工厂到A地的路况得到了改善，缩短了运输距离和运输时间，运费每吨降低m元(0<m≤16)， 其余路线运费不变.若到A,B两地的总运费的最小值不小于14140元，求m的取值范围. 类型二、一次函数的应用之最大利润问题 1. 建立利润函数模型 明确变量：设销量（或产量）为x,根据“单件利润×销量一固定成本”或类似关系，列出利润y关 于x的一次函数式y=+b。 2.确定自变量取值范围 根据题目中的成本、产能、市场需求等约束条件，列出关于x的不等式组，求出x的实际取值范围。 3.利用函数增减性求最值 一次函数为直线，最值必在自变量取值范围的端点处取得。根据斜率k的正负判断增减性，将端点值 代入函数，比较得出最大利润及对应销量。 例2.(2425八年级下·云南红河·期末)云南昆明斗南花市，是全亚洲最大的国际鲜花交易市场.2025年3 月8日“妇女节”这一天，小宇在某花店购买1捆康乃馨和2捆玫瑰需120元，小艳购买2捆康乃馨和1捆玫 2/18 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 瑰需90元. (①)求该花店康乃馨和玫瑰的销售单价： (②)该花店老板在这天购进康乃馨的数量不少于玫瑰的数量，又不多于玫瑰数量的2倍，且购进康乃馨和玫 瑰共80捆，在当天下午4：00就全部销售完，且获得了最大利润.已知1捆康乃馨和1捆玫瑰的进价分别是 10元和30元，该花店老板购进的康乃馨的数量是多少捆？获得的最大利润是多少元？ 【变式2-1】(25-26八年级上全国期末)绛州毛笔是中国传统名笔之一，从春秋战国时期至今已传承了两 千多年，以胎毛、羊毫、兼毫、狼毫为最.某商店计划购进羊毫、兼毫两种毛笔共300支，其中两种毛笔 的成本价和销售价如下表： 笔头类别 成本价（元/支） 销售价（元/支） 羊毫 15 25 兼毫 25 40 (①)若购进两种毛笔共花费6300元，求该商店购进羊毫、兼毫两种毛笔各多少支： (2)设购进兼毫毛笔m支，销售完这批毛笔获得的利润为w元，若要保证任意一种毛笔都至少购进100支， 试问应如何进货，才能使销售完这批毛笔获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【变式2-2】(24-25八年级下·云南红河·期末)2025年3月19日下午，习近平总书记在云南丽江考察时， 当地居民与游客热情邀请习近平总书记品尝云南咖啡，总书记亲切回应：“云南咖啡还是代表着中国的，现 在国外也是受欢迎的.”某咖啡专卖店销售甲、乙两种类型的云南咖啡的信息如下表： 进货价格（单位：元/盒） 销售价格（单位：元/盒） 60 75 若该专卖店购进25盒甲种咖啡和30盒乙种咖啡共花费2500元，购进12盒甲种咖啡和15盒乙种咖啡共花 费1230元 (I)求x,y的值； (2)该专卖店购进甲、乙两种咖啡共1000盒，其中甲种咖啡的数量不超过700盒，且不少于乙种咖啡数量的 设该专卖店销售这100盒咖啡获得的利润为w元，求w的最大值， 2 3/18 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型三、 次函数的应用之行程问题 1.画图分段析过程 画出线段示意图，明确各段对应的运动过程（如相遇、追及、停留）。分段建立函数关系，注意时间、 速度、路程的单位统一。 2.抓关键点列解析式 识别关键点（起点、转折点、终点）的坐标（时间，路程），利用待定系数法或两点式求各段一次函 数解析式s=+b,其中k表示速度。 3. 利用交点解实际问题 求两函数图像的交点坐标，即为相遇时间与位置。比较函数值可判断领先关系。注意定义域（时间范 围)需符合实际运动过程。 例3.(2425八年级上辽宁沈阳期末)一辆货车和一辆轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一条公路相 向而行，匀速驶向各自的目的地乙地和甲地.行驶了一段时间，轿车出现故障停下维修，货车遇到轿车后 立即停下帮助维修，故障排除后，两车立即以各自原速度继续行驶.两车之间的距离y(km)和货车行驶时 间x(h)之间的函数图象如图①所示. ◆y/km As/km 320 320H 240 160 80 40---- 0 28D x/h O12345x/h 3 ① ② (1)货车的速度为 km/h,轿车的速度为 km/h (②)求线段DE表达式： (3)在图②中，画出货车离乙地的距离s(km)和行驶时间x(h)之间的函数图象. 【变式3-1】(23-24八年级下·吉林四平期末)某天早晨，小强从家跑步去体育场锻炼，同时妈妈从体育场 晨练结束回家，途中两人相遇，小强跑到体育场后发现要下雨，立即按原路返回，遇到妈妈后两人一起按 小强返回时的速度回到家（小强和妈妈始终在同一条笔直的公路上），设两人离家的距离为、（米），小强从 家出发后的时间为t(分)，s与t之间的函数图象如图所示， 4/18 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 s/米 D 3000 小强 、B 妈妈 C 0 20 30 501分 (1)体育场与小强家的距离为 米； (2)求小强去体育场时离家的距离、与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； (3)求妈妈比按自己原来的速度提前多少分钟到家。 【变式3-2】(23-24八年级下·山东日照·期末)下面是某项目化学习小组的部分学习过程再现，请阅读并解 答问题 【项目主题】品味经典， 【童话故事龟兔赛跑”讲述了这样的故事：兔子和乌龟从起点同时出发，领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟， 骄傲起来，在路边小树处睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌 龟先到达终点。 A组成员用x表示兔子和乌龟从起点出发所行的时间，片、分别表示兔子和乌龟所行的路程，画出了能 大致表示上面故事情节的图象，如图1. (米) 1200… 1000 800 600 B 400 200 10203040506070x(分) 图1 根据图1回答下列问题 问题1：乌龟在这次比赛中的平均速度是 米/分钟； 问题2：试解释图中线段AB的实际意义； 【分组探究】 B组成员对童话故事进行了改编：兔子输了比赛， 心里很不服气，它们约定再次赛跑，兔子让乌龟从路边小树处（兔子第一次睡觉的地方）起跑，乌龟、兔 子的速度及赛场均和A组的数据一致，它们同时出发，结果兔子先到达了终点，小组成员根据故事情节绘 5/18 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 制如图2的图象. y(米) 1200--- 1000H 800H 600H 400 200 102030405060x(分) 图2 问题3：图2中，x表示兔子和乌龟所行的时间，y2表示所行的路程，求在乌龟行进过程中，当乌龟和 兔子相距120米时，x是多少？ 类型四、 一次函数的应用之梯度计费问题 1. 找准分段临界点 明确梯度标准（如用电量、用水量、通话时长），找出各档次的临界值，以此为界分段建立函数关系。 2. 分段列式，注意累加 设用量为x,总费用为y。分段列出一次函数解析式：第一档直接按单价算；后续档费用=前档满额 费用+超出部分×新单价。 3.判断用量所在区间 将已知总费用或用量代入相应区间解析式求解。若己知费用求用量，需先通过费用范围判断所在档位， 再代入对应解析式计算。注意单位统一。 例4.(2425八年级下·重庆南川期末)共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向3~10km的出行 市场，现有A,B两种品牌的共享电动车，如图所示的图象反映了收费y(元)与骑行时间xm)之间的函 数关系，其中A品牌收费方式对应y,B品牌的收费方式对应， (元) 10 10 20 x(min) 请根据相关信息.解答下列问题： (①)B品牌共享电动车的起步价是元；A品牌共享电动车的收费是每分钟元； 6/18 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)求B品牌共享电动车超过10min后，收费关于x的函数解析式： (3)请直接写出当骑行时间x为何值时，两种品牌的共享电动车收费相差4元. 【变式4-1】(24-25八年级上山西晋中.期末)李先生购买了一辆某型号的新能源车，其电池电量为50千瓦 时，目前有两种充电方案供选择（如表），经测算李先生发现电池剩余电量y(千瓦时)与已行驶里程x(千 米)有如图关系。 安装费 方案 每千瓦时所需费用 用 方案一：私家安装充电桩 2500元 0.5元 方案二：公共充电桩充电 0 1.5元（含服务费） y(千瓦时) 50 25 5 250350x(千米) ()已知新能源车充电时一般损耗率为1.1，电池剩余电量为零时，使用家用充电桩一次性充满电需要费用为 50×1.1×0.5=27.5（元)，则电池剩余电量为零时到公共充电桩一次性充满电需要多少费用？ (2)当已行驶里程大于250千米时，求出电池剩余电量y(千瓦时)与已行驶里程x(千米)的函数表达式.当 电池剩余电量为15%时，会提示充电，此时理论上还能继续行驶多少千米？ (3)李先生都是在电池剩余电量不低于25千瓦时就开始充电，请问累计行骏里程大约为多少千米时，两种方 案费用一样.（结果保留整数） 【变式4-2】(24-25八年级下·新疆喀什期末)我国是一个缺水国家，节约用水，是我们每一个公民的基本 素养之一.为鼓励居民节约用水，某市对居民用水收费实行“阶梯价”，2022年起年具体收费标准如下表（阶 梯价的含义：用水量不超过144m3,每立方米收费3.15元，用水量在144240m3,前144m3按3.15元/m3, 144-240m3之间按4.05元/m3收费，以此类推). 年用水量 价格 供水类型 阶梯分类 (m3) (元/ 7/18 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 m3) 第一阶梯 0-144(含) 3.15 居民生活 第二阶梯 144240(含) 4.05 用水 第三阶梯 240以上 6.75 (1)设某户居民的年用水量为xm3,请按阶梯分类求用水年费用y(元)关于年用水量x(m3)的函数解析 式 (2)若小米家2024年全年用水量为120m3,则小米家应缴2024年水费多少元？ (3)若小乐家2024年缴水费814.05元，求小乐家2024年全年用水量. 类型五、一次函数的应用之几何问题 1.坐标化处理图形 将几何图形放在平面直角坐标系中，根据己知条件（边长、角度）设出关键点的坐标，用坐标表示线 段长或图形特征。 2.建立一次函数关系 分析动点运动规律，用含时间t或变量x的式子表示动点坐标，再利用两点间距离公式、面积公式等 建立所求量（如线段长、面积）与变量的一次函数关系y=和+b。 3.结合几何性质求最值 根据函数增减性(k的正负)在变量允许范围内求最值。注意动点的运动轨迹可能受限（如在某线段 上)，需据此确定自变量取值范围。 例5.(24-25八年级上江苏扬州期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,AB=5.动点P以 每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿折线C→A→B运动，到达B点时停止运动，设点P的运动时间 为t秒0<1<8)，△BCP的面积为y. 8 1 6 5 3 1 01234567897 (I)求y关于t的函数表达式，并注明自变量t的取值范围； 8/18 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (②)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图像，并写出该函数的一条性质： (3)当aBCP的面积等于4时，结合函数图像，求t的值. 【变式5-1】(24-25八年级下河北石家庄·期末)如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=10,BC=12, 点P在边BC上运动（不与点B,C重合），连接AP,设BP=x,△ABP的面积为S. (I)求△ABP底边BP上的高h: (②)求S与x之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围. (3)当BP的长度为4时，求出相应的S的值. 【变式5-2】漏壶”是一种古代计时器，在社会实践活动中，某小组同学根据“漏壶”的原理制作了如图①所 示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容 器中，实验开始时圆柱容器中己有一部分液体， y(厘米) 20 16 14 10 8 6 、 2 0123456789x(小时) 图① 图② (①)如表是实验记录的圆柱体容器液面高度y(厘米)与时间x(小时)的数据： 时间x（小时) 2 3 A 5 圆柱体容器液面高度y(厘米) 6 10 14 18 22 在如图②所示的直角坐标系中描出上表的各点，用光滑的线连接 (2)请根据(1)中的数据确定y与x之间的函数表达式. (3)如果本次实验记录的开始时间是上午9：00，那么当圆柱体容器液面高度达到16厘米时是 (填写时间) 9/18 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型六、一次函数与几何图形的综合问题 1.坐标化处理 将几何图形置于平面直角坐标系中，利用已知条件确定关键点坐标，设出一次函数解析式，通过交点、 距离等建立方程。 2.联立方程求关键点 将一次函数与几何条件（如另一函数解析式、垂直/平行关系、图形对称性）结合，通过联立方程组求 解交点坐标或参数值。 3.数形结合验证 解出结果后，代回原图验证是否满足所有几何条件（如点是否在线段上、三角形是否存在）。注意分 类讨论不同情形，并利用函数性质分析动态变化。 例6.(24-25八年级上·江苏镇江·期末)如图，已知直线1：y=-3x+6与x轴交于点A,与y轴交于点B, 以线段AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC,LABC=90°，直线经过A,C两点. 5 VA 八A 备用图 (1)则A点的坐标为，B点的坐标为 (②)求直线的函数表达式； (3)点P是线段AC上的一点（不与A、C重合），试探究△BPC能否成为以BP为直角边的等腰直角三角形？ 若能，请直接写出点P的坐标，若不能，请说明理由 【变式6-1】(2425八年级上陕西西安期未)如图，在平面直角坐标系中，一次函数八=一2-3的图象 与x轴、y轴分别交于点A和点C,直线y,=x+b(b是常数)与x轴交于点B且经过点C. 10/18