期末专题03 实数的十类综合题型（压轴题专项训练）数学苏科版2024八年级上册

期末专题03 实数的十类综合题型 目录 典例详解 类型一、无理数的识别 类型二、求一个数的平方根、算术平方根、立方根 类型三、利用算术平方根的非负性求解 类型四、实数的比较大小 类型五、实数与数轴 类型六、实数的估算 类型七、程序设计与实数运算 类型八、实数的运算 类型九、利用平方根与立方根的定义解方程 类型十、平方根与立方根的综合问题 压轴专练 类型一、无理数的识别 **无理数的识别技巧** 1. **常见类型判断**：常见无理数有三类：①开方开不尽的数（如√2、√5）；②化简后仍含π的数（如π/2）；③无限不循环小数（如0.1010010001…）。 2. **陷阱识别**： - 带根号的数需化简（如√4=2是有理数）； - 形式含π但可化简为有理的需注意（如π/π=1是有理数）。 3. **本质判断**：若无法表示为两个整数之比（最简分数），即为无理数。 例1．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期末）在实数，，，，，0，中，无理数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的定义（无限不循环小数，不能表示为分数），逐个判断每个数的类型即可． 【详解】解：是分数，是有理数； 3.14159265是有限小数，是有理数； 是开方开不尽的数，是无理数； 是整数，是有理数； 是开方开不尽的数，是无理数； 0是整数，是有理数； 中含有无理数，是无理数， ∴无理数有，，，共3个． 故选：C． 【变式1-1】（25-26八年级上·全国·期末）在0，，，，…（相邻两个1之间0的个数逐次加）中，无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无限不循环小数即为无理数，逐一判断每个数，即可作答． 【详解】解：依题意，0是整数，是有理数； ∵是π的倍数，π是无理数， ∴是无理数； ∵无意义， 则不是实数，故不是无理数， ，…（相邻两个1之间0的个数逐次加）都是无限不循环小数，都是无理数； ∴无理数有3个， 故选：C 【变式1-2】（23-24七年级上·山东泰安·期末）下列实数，，，，，（每相邻两个4之间一个0）中，无理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的定义． 根据无理数的定义（无限不循环小数），逐一判断每个数是否为无理数即可． 【详解】解：∵中的π是无理数，∴是无理数； ∵，是整数，∴是有理数； ∵，是整数，∴是有理数； ∵，是整数，∴是有理数； 是无理数； ∵（每相邻两个4之间一个0）是无限循环小数，∴是有理数； ∴无理数有2个． 故选：B． 【变式1-3】（23-24八年级上·全国·期末）在，…（两个“3”之间依次多一个“0”）中，无理数有（　　）个 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定． 本题考查的是无理数的概念，无理数就是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，其中初中范围内学习的无理数有：等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数． 【详解】解：无理数有：，（两个“3”之间依次多一个“0”）共8个， 故选：C． 类型二、求一个数的平方根、算术平方根、立方根 1. **分清概念与符号** - 平方根：若x2=a，则x是a的平方根，记为（一正一负）。 - 算术平方根：非负的平方根，记为（仅非负值）。 - 立方根：若x3=a，则x是a的立方根，记为（符号同原数）。 2. **抓住运算特点** - 平方根：被开方数a≥0，结果有两个（0除外）。 - 算术平方根：同样a≥0，结果非负，是平方根中的正值或零。 - 立方根：a可为任意实数，结果符号与a相同，且唯一。 3. **掌握常见数值** 熟记常见平方数（1-20）及立方数（1-10），便于快速估算或判断。注 例2．（23-24八年级上·江苏苏州·期末）的平方根是 ，的算术平方根是 ，的绝对值是 ． 【答案】 3 / 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、绝对值，熟练掌握平方根和算术平方根的定义是解题的关键．根据平方根、算术平方根、绝对值的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴的平方根是； ∵，， ∴的算术平方根是3； ∵， ∴的绝对值是； 故答案为：；3；． 【变式2-1】（24-25七年级下·江西赣州·期末）若x是25的算术平方根，y是的立方根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根和算术平方根，代数式求值，根据算术平方根和立方根的定义，分别求出x和y的值，然后计算它们的乘积即可得到答案． 【详解】解：∵x是25的算术平方根，y是的立方根， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2-2】（24-25八年级上·江苏·期末）的立方根是 ，的算术平方根是 ． 【答案】 / 3 【分析】本题考查了立方根的求解，算术平方根的求解，根据立方根，算术平方根的定义进行求解即可 【详解】解：， ， 则的算术平方根是， 故答案为：，3 【变式2-3】（24-25七年级下·河北石家庄·期末）的算术平方根为 ，的立方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根、算术平方根，熟练掌握这两个定义是解题的关键． 根据算术平方根的定义、立方根的定义计算即可． 【详解】解：， 的算术平方根为8； ， 的立方根为24； 故答案为：8，． 类型三、利用算术平方根的非负性求解 1. **牢记核心性质** 算术平方根具有双重非负性：①被开方数a≥0；②结果≥0。这是所有解题的基础。 2. **识别应用场景** 常见于三类问题：①二次根式有意义的条件；②等式+ |b| = 0型求值（各非负部分均为零）；③配方后形如(...)2 +≥k的最值问题。 3. **分步列式求解** 若遇多个非负式之和为零，则分别令每个非负式等于零，联立方程求解。注意先确保各被开方数有意义（非负），再取等号。 例3．（24-25七年级下·甘肃庆阳·期末）已知，那么的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，非负数的性质：绝对值、算术平方根，正确计算是解题的关键． 先根据非负数的性质求出x、y的值，再根据立方根的定义计算即可． 【详解】解：已知， 那么， 所以， 所以， 所以的立方根是． 故答案为：． 【变式3-1】（24-25七年级下·辽宁铁岭·期末）已知与互为相反数，则与的积的立方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查相反数的定义，算术平方根与平方式的非负性，以及立方根，掌握非负性，利用非负性进行求解是本题的关键．根据题意可以列出式子，利用二次根式与平方式的非负性可求出与的值，即可求出与的积的立方根． 【详解】解：与互为相反数 即 ， ，； ， ， 与的积的立方根为：． 故答案为：． 【变式3-2】（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）若m，n为实数，且，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值、算术平方根的非负性、平方根等知识点等知识，掌握相关知识并能灵活运用是解题的关键． 先根据绝对值和算术平方根的非负性求得m、n的值，再根据平方根的计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴的平方根是． 故答案为：． 【变式3-3】（24-25八年级下·云南普洱·期末）已知实数满足，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，代数式求值． 利用绝对值和算术平方根的非负性，求出和的值，再代入代数式计算． 【详解】解：∵，，且， ∴，， 解得，， ∴． 故答案为：． 类型四、实数的比较大小 1. **统一形式比较** 将不同形式的实数（根式、幂、π、小数）化为统一格式。通常化为小数（按需取近似值）或统一为根式。例如，比较 √5 与 2.2，可平方比较 5 与 4.84。 2. **利用中间值法** 当直接比较困难时，寻找中间参照数。例如，比较 √3 与 π/2，已知 √3≈1.732，π/2≈1.57，易得 √3 > π/2。 3. **差值法或平方法** 对于根式，可计算差值或两边平方（注意正负）后比较。如比较 2√3 与 3√2，平方得 12 < 18，故 2√3 < 3√2。 最终注意正负号，正数大则绝对值大，负数反之。 例4．（24-25八年级上·湖南永州·期末）比较大小： （填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查的是实数的大小比较．由得，再利用不等式的基本性质可得，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式4-1】（24-25八年级上·江苏无锡·期末）比较大小 （填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了无理数的大小比较． 估算出的大小，进而得到，即可作答． 【详解】∵， ∴，， ∴ ∴． 故答案为：． 【变式4-2】（23-24七年级下·陕西延安·期末）比较大小： ．（填“”或“”） 【答案】 【分析】此题考查无理数的大小比较，先估算并判断得到，由，得到，即可得到． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：>． 【变式4-3】（24-25七年级下·江苏南通·期末）写出一个比小的无理数 ；写出一个比大的有理数 ． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】本题考查了估算无理数，实数的大小比较，根据无理数是无限不循环小数，再根据题意，可得答案． 【详解】解：∵ 写出一个比小的无理数是；写出一个比大的有理数是． 故答案为：（答案不唯一）；（答案不唯一）． 类型五、实数与数轴 1. **明确对应关系** 实数与数轴上的点一一对应。解题时先在数轴上标出已知点，通过位置直观比较大小或判断正负。 2. **利用距离处理绝对值** 数轴上两点间的距离等于它们坐标差的绝对值。遇到|x-a|可理解为点x到点a的距离，常用于化简或求解含绝对值的方程、不等式。 3. **估算无理数的位置** 对无理数（如 、π）进行近似估值，确定其在数轴上相邻整数之间的大致位置。例如，1.4 < < 1.5，将其标在 1 和 2 之间偏左的位置。 例5．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）如图，正方形的面积为10，点A表示的数为1，以点A为圆心，的长为半径画圆，交数轴于M，N两点（点M在点N的左侧），则点M表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了实数与数轴，求一个数的算术平方根，根据正方形面积计算公式可得的长，即可得到的长，再用点A表示的数减去的长即可得到答案． 【详解】解：∵正方形的面积为10， ∴， ∵在数轴上点A表示的数为1，点M在点A的左侧，且， ∴点M表示的数为， 故答案为：． 【变式5-1】（24-25七年级下·河南许昌·期末）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把 表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为．以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为；以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，…，如此继续，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数与数轴、估算无理数的大小以及探索规律，通过估算无理数的大小，找到图形变化规律是解题的关键．利用表示的数，根据实数与数轴的关系，逐一计算各点所对应的数，再计算、、……，得出规律即可解决． 【详解】解：根据题意得：，点表示的数为2，点表示的数为3， 即点表示的数为，， ∴， ∴， 同理，，……， 以此类推可得，当n为奇数时，；当n为偶数时，， ∴， 故答案为：． 【变式5-2】（24-25八年级上·全国·期末）已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，算术平方根的性质以及绝对值的性质．观察数轴可得，从而得到，再根据算术平方根的性质以及绝对值的性质化简，即可求解． 【详解】解：观察数轴得：， ∴， ∴ ． 【变式5-3】（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）已知实数，在数轴上对应点的位置如图所示： (1)化简：； (2)若实数，满足，求的立方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是实数与数轴，非负数的性质，算术平方根的性质，求一个数的立方根，绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义和算术平方根的性质是解题的关键． （1）根据数轴上点的位置判断出绝对值和根号里边式子的正负，利用绝对值和算术平方根的代数意义化简，去括号合并即可得到结果； （2）利用非负数的性质求得实数a，b的值，再代入计算求立方根即可． 【详解】（1）解：由数轴可知：， ∴， ∴ ； （2）解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴其立方根为． 类型六、实数的估算 1. **确定整数范围** 先找到被估算数所在的连续整数区间。例如估算√10，因9<10<16，故3<√10<4。 2. **缩小范围，提高精度** 在已知整数范围内，通过平方或与中间值比较进一步逼近。如√10≈3.16，可用3.1²=9.61、3.2²=10.24来验证。 3. **选择合适方法** 估算无理数常用方法：①平方比较法（用于根式）；②与常见数比较法（如π≈3.14）；③分段法（针对复杂表达式，各部分分别估算后合并）。注意控制误差要求。 例6．（24-25七年级下·全国·期末）如图，在数轴上标有字母的各点中，与实数对应的可能是点 ． 【答案】D 【分析】本题主要考查了实数与数轴，无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键． 先根据无理数的估算方法确定的取值范围，再观察数轴即可求解． 【详解】解：， 观察数轴可得，实数对应的可能是点， 故答案为：． 【变式6-1】（24-25七年级下·江苏南通·期末）写出一个比小的无理数 ；写出一个比大的有理数 ． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】本题考查了估算无理数，实数的大小比较，根据无理数是无限不循环小数，再根据题意，可得答案． 【详解】解：∵ 写出一个比小的无理数是；写出一个比大的有理数是． 故答案为：（答案不唯一）；（答案不唯一）． 【变式6-2】（24-25七年级下·湖北黄石·期末）若的值在两个整数与之间，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键． 利用估算无理数的方法得出取值范围即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵的值在两个整数与之间， ∴． 故答案为：4． 【变式6-3】（24-25七年级下·山东日照·期末）已知的平方根是，是的立方根，c是的小数部分，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查平方根、立方根，估算无理数的大小，掌握算术平方根、立方根的定义是正确解答的关键．根据平方根、立方根的定义以及估算无理数的方法进行解答即可． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， 解得， ∵是的立方根， ∴， 解得； 又∵c是的小数部分，而， ∴， ∴． 故答案为：． 类型七、程序设计与实数运算 1. **注意精度与范围** 程序中的实数通常用浮点数（float/double）表示，存在精度误差。比较时避免直接用`==`，应使用`abs(a-b) < eps`（eps为极小值，如1e-9）。大数运算注意溢出。 2. **合理选择运算顺序** 先乘除后加减，减少累积误差。涉及无理数（如π、√2）时，优先调用库函数或使用高精度近似值，避免重复计算。 3. **善用内置函数与模块** 使用数学库（如`math.h`、`cmath`）中的平方根、绝对值、幂运算等函数。批量实数运算可借助向量化操作（如NumPy）提升效率与精度。 例6．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图是一个数值转换器，当输入x的值为9时，则输出y的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根，实数，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．根据程序第一步计算，，再次计算得，，是无理数，直接输出即可． 【详解】解：根据程序第一步计算， 再次计算得， 是无理数，直接输出， 故选：C． 【变式6-1】（24-25七年级下·广东广州·期末）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x的值为16时，输出y的值为（     ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方根，算术平方根，根据平方根，算术平方根的定义进行计算即可． 【详解】解：根据题意可知，当输入x的值为16时， ， ， 把4再次输入数值转换器， ， ， 把2再次输入数值转换器， ． 故选：C． 【变式6-2】（24-25七年级下·吉林·期末）有一个数值转换器，运算流程如图所示，当输入的x值为64时，输出的y值是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了数的算术平方根及立方根的计算方法和无理数、程序图，解题时要注意数值如何转换．依据转换器流程，先求出64的算术平方根是8，是有理数；取立方根为2，是有理数：再取算术平方根为， 最后输出，即可求出的值． 【详解】解：的算术平方根是8，8是有理数， 取8的立方根为2，是有理数， 再取2的算术平方根为， 是无理数， 则输出， 的值是． 故选：A． 类型八、实数的运算 1. **明确运算顺序** 遵循先乘方、开方，再乘除，后加减，有括号先算括号内的顺序。混合运算时注意区分实数类型（有理数、无理数）。 2. **化简优先，统一形式** 先化简根式、绝对值等，将无理数保留根号形式参与运算，最后再取近似值。乘除运算中，常将根式化为最简形式便于合并或约分。 3. **灵活运用运算律** 合理运用交换律、结合律、分配律简化计算，尤其是涉及无理数的乘法时，注意平方差、完全平方等公式的应用。估算时可先取近似值判断数量级。 例8．（24-25七年级下·甘肃武威·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，先进行开方，去绝对值运算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式． 【变式8-1】（24-25七年级下·云南·期末）计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了实数的运算，根据立方根的意义，绝对值的意义，算术平方根，有理数的乘方进行运算即可，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 【变式8-2】（24-25七年级下·四川南充·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算．先计算算术平方根，立方根，乘方和求绝对值，然后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 【变式8-3】（24-25七年级下·河北廊坊·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； （1）利用算术平方根及立方根的定义，有理数的乘方法则计算后再算加减即可； （2）利用算术平方根及立方根的定义，有理数的乘方法则，绝对值的性质计算后再算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 类型九、利用平方根与立方根的定义解方程 1. **判断方程类型，选择定义** 若方程为x2 = a，用平方根定义：x =（a ≥0）；若为 x3 = a，用立方根定义：x = （a为全体实数）。 2. **先整理后开方** 将方程整理成x2 = k或x3 = k的孤立形式。 3. **检查根的有效性** 平方根方程需保证k ≥ 0，否则无实数解；立方根方程恒有解。开方后注意平方根有正负两个解（0除外），立方根仅有一个符号相同的解。 例9．（24-25八年级上·全国·期末）求下列各式中的值： (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了平方根、立方根的定义，正确把握相关定义是解题关键． （1）直接利用平方根的定义求出方程的解； （2）先移项，再用立方根的定义求解． 【详解】（1）解： 两边除以，得 ∴或， 解得或； （2）解： 移项，得， 两边除以，得， ， 解得． 【变式9-1】（24-25七年级下·江苏苏州·期末）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查平方根，立方根解方程，掌握平方根，立方根的计算是关键． （1）移项，运用平方根计算即可； （2）运用立方根计算即可． 【详解】（1）解：， 移项得，， ∵， ∴； （2）解：， ∵， ∴， 解得，． 【变式9-2】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了平方根，立方根，熟练掌握这两个定义是解题的关键． （1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴或； （2）解：， ∴， ∴， ∴． 【变式9-3】（24-25八年级上·湖北十堰·期末）求下列各式中的x： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用平方根和立方根的性质求未知数的值； （1）利用平方根的性质求未知数的值； （2）利用立方根的性质求未知数的值． 【详解】（1）解：， ∴， ∴； （2）解：， ∴， ． 类型十、平方根与立方根的综合问题 1. **分清定义与符号** 平方根：若x2 = a，则x = （a ≥ 0）。立方根：若x3 = a，则x = （a 可为任意实数）。解题先判断用哪种定义。 2. **先化简再运算** 将根式化为最简形式，并注意算术平方根的非负性。混合运算时，先分别化简平方根与立方根，再进行合并或比较。 3. **结合非负性求值** 综合题常与绝对值、完全平方等非负性结合。若出现+ |b| = 0形式，则a=0且b=0。求未知数时，常需两边平方或立方处理。 例10．（23-24七年级下·江西赣州·期末）已知某正数的平方根分别是和，的立方根为2． (1)求a，b的值： (2)求的算术平方根． 【答案】(1)； (2)0 【分析】本题主要考查了平方根，算术平方根，立方根，注意：如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做a的立方根或三次方根． （1）根据平方根与立方根的定义列出方程进行解答即可； （2）根据算术平方根进行计算即可． 【详解】（1）解：∵某正数的平方根分别是和， ∴， 解得， ∵的立方根为2， ∴， 解得； （2）解：∵，， ∴， ∵0的算术平方根为0， ∴的算术平方根为0． 【变式10-1】（24-25七年级下·云南昆明·期末）已知：a的平方根是它本身，的立方根是3，的算术平方根是4． (1)直接写出a，b，m的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，，， (2) 【分析】本题考查平方根，算术平方根，立方根，熟练掌握平方根、算术平方根、立方根的概念是解题的关键． （1）根据平方根的性质求出的值，根据立方根的定义求出的值，根据算术平方根的定义求出的值即可； （2）把a、b、 m值代入求值，然后根据平方根的定义计算即可． 【详解】（1）解：∵a的平方根是它本身， ∴， ∵的立方根是3， ∴， ∴， ∵的算术平方根是4， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴ ∴的平方根． 【变式10-2】（24-25七年级下·陕西安康·期末）已知的立方根是，的算术平方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根及解方程，理解题意，根据题意得出方程是解题关键． （1）运用立方根和算术平方根得出方程求解即可得； （2）先求出代数式的值，然后计算平方根即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是2，的算术平方根是4， ∴，， ∴，． （2）解：当，时，， ∵9的平方根为， ∴的平方根为． 【变式10-3】（24-25七年级下·陕西榆林·期末）已知的算术平方根是5，的立方根是3，是的整数部分． (1)分别求出的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2)的平方根是 【分析】本题主要考查平方根，立方根； （1）根据算术平方根，立方根的定义列式计算求解即可； （2）把的值代入计算求解，再计算平方根即可． 【详解】（1）解： 的算术平方根是5，的立方根是3， ，， ，． ，即，是的整数部分， ； （2）解：由（1）得，，，， ， ． 故的平方根是． 一、单选题 1．（25-26八年级上·全国·期末）如图，数轴上点N表示的数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了估算无理数的大小，先得出，再用有理数逼近无理数，求无理数的近似值即可得出答案． 【详解】解：根据数轴上可知点：， ．，故该选项符合题意； ．，故该选项不符合题意； ． ，故该选项不符合题意； ． ，故该选项不符合题意； 故选：A． 2．（24-25八年级下·云南红河·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根的概念，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键；因此此题可根据算术平方根进行求解即可． 【详解】解：∵，∴A错误； ∵，∴B错误； ∵，∴C正确； ∵，∴D错误； 故选C． 3．（23-24七年级下·湖南怀化·期末）已知的算术平方根是3，y是的整数部分，则的值为（    ） A．5 B．7 C．11 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了估算无理数的大小、算术平方根等知识，正确得出x，y的值是解题的关键．直接利用算术平方根的定义得出x的值，再利用估算无理数的方法得出y的值，进而代值求解即可． 【详解】解：∵的算术平方根是3， ∴，解得； ∵y是的整数部分，， ∴， ∴， 故选：C． 4．（25-26八年级上·全国·期末）下列七个实数：，，，，，，，其中无理数的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的定义，关键是熟练掌握定义并进行判断； 无理数是无限不循环小数，包括开方开不尽的数和等. 逐个判断每个实数是否为无理数． 【详解】解：∵ 是整数，是有理数； ∵ 是无理数， ∵ 是分数，是有理数； ∵ 中是无理数， ∴ 是无理数； ∵ ，是整数，是有理数； ∵ 是有限小数，是有理数； ∵ 是无限不循环小数，是无理数； ∴ 无理数共个． 故答案选：B． 5．（24-25七年级下·云南德宏·期末）以下是一组按规律排列的单项式：其中第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式规律探索、算术平方根，通过已知式子分析得出单项式系数及次数的变化规律，即可求解． 【详解】解：该组单项式可变形为： 因此第n个单项式的系数为，次数为n， 故第n个单项式是， 故选：B． 6．（24-25七年级上·全国·期末）点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为、．若B、C两点之间的距离为，则A、C两点之间的距离为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】此题主要考查了数轴上两点间的距离，先得到点C表示的数，然后分情况求出长解答即可． 【详解】解：由题意可知点C表示的数为或， 或．   故选：D． 二、填空题 7．（25-26八年级上·全国·期末）在实数，，，0，中，无理数的个数为 个． 【答案】3 【分析】本题考查无理数，根据无理数的定义，无限不循环小数是无理数，进行判断即可． 【详解】解：在实数，，，0，中，无理数有，，，共3个； 故答案为：3． 8．（23-24七年级下·四川广安·期末）若为两个连续的正整数，且，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．先根据无理数的估算可得，则可得，再代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵为两个连续的正整数，且， ∴， ∴， 故答案为：9． 9．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）若 ，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，解二元一次方程组，根据非负数的性质列出关于x，y的方程组，解方程组求出x，y的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 10．（24-25七年级下·吉林·期末）若是的算术平方根，是的立方根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根，算术平方根，根据算术平方根的定义求出的值，根据立方根的定义求出的值，即可得出结果，熟练掌握这两个定义是解题的关键． 【详解】解：∵是的算术平方根， ∴， ∴， ∵是的立方根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（23-24七年级下·重庆·期末）如图，为等腰三角形，，过点在上方作垂直于，且，连接，此时，若四边形的面积为15，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，与三角形高有关的计算，如图，过作于，证明，结合等腰三角形的性质证明，再利用面积公式建立方程即可求解． 【详解】解：如图，过作于， ，， ， ， ，， ， ，， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形的面积为15， ∴， ∴， ∵， ． 故答案为：． 12．（23-24七年级下·陕西延安·期末）如图是小宇用电脑设计的一个程序计算，当输入的值是64时，输出的值是 【答案】 【分析】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是熟练掌握实数的运算法则．把64代入程序进行计算即可求解． 【详解】解∶ 由题意得当时，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根、立方根的计算以及绝对值的化简．分别计算算术平方根、立方根，化简绝对值，再进行加减运算即可求解． 【详解】解： ． 14．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期末）解方程： (1) ； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平方根，立方根，熟练掌握这两个定义是解题的关键． （1）根据平方根的定义解方程即可； （2）根据立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ∴， 解得，； （2）解：， ， ， ， ． 15．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）计算和解方程： (1)计算：． (2)解方程：． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题主要考查零次幂，算术平方根，开立方法解方程． （1）先计算乘方，零次幂，算术平方根，再合并即可求解； （2）整理得，根据直接开立方法解方程的方法即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 整理得， 直接开方得，， 解得，． 16．（25-26八年级上·全国·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握实数的混合运算是解题的关键． （1）先计算立方根、算术平方根和乘方运算，再求和即可； （2）先计算乘方运算，立方根，算术平方根和化简绝对值，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 17．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）已知实数，在数轴上对应点的位置如图所示： (1)化简：； (2)若实数，满足，求的立方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是实数与数轴，非负数的性质，算术平方根的性质，求一个数的立方根，绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义和算术平方根的性质是解题的关键． （1）根据数轴上点的位置判断出绝对值和根号里边式子的正负，利用绝对值和算术平方根的代数意义化简，去括号合并即可得到结果； （2）利用非负数的性质求得实数a，b的值，再代入计算求立方根即可． 【详解】（1）解：由数轴可知：， ∴， ∴ ； （2）解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴其立方根为． 18．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）是无理数，无理数是无限不循环小数，小徽用表示它的小数，理由是：的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：因为，即，所以的整数部分为，小数部分为，参考小徽的做法解答： (1)介于连续的两个整数和之间，且，那么______，______； (2)的整数部分是______，小数部分是______； (3)已知的小数部分为，的小数部分为，求的值． 【答案】(1)，； (2)，； (3)． 【分析】本题考查求无理数的整数部分和小数部分，理解并掌握无理数的估算方法是解题的关键． （）仿照题例即可求解； （）仿照题例即可求解； （）仿照题例求出，，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分是，小数部分是， 故答案为：，； （3）解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∴的小数部分， 的小数部分， ∴． 19．（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图是由8个同样大小的立方体组成的二阶魔方，体积为． (1)求这个魔方的棱长； (2)图中阴影部分是一个正方形，求阴影部分的面积及其边长． (3)把正方形放到数轴上，如图，使得点A与1重合，数轴上有一个动点E，若，则点E在数轴上表示的数为______． 【答案】(1)2 (2)阴影部分的面积为2，边长为 (3)或． 【分析】（1）根据立方体的体积公式，直接求棱长即可； （2）根据棱长，求出每个小正方体的棱长，进而可得小正方形的对角线，即阴影部分图形的边长，即可得解； （3）分当动点在点A左边和右边两种情况求解． 本题主要考查实数与数轴、立方根的综合应用，解决此题的关键是能求出每个小正方形的边长． 【详解】（1）解：设这个魔方的棱长为x， 则， 解得： 故这个魔方的棱长为2； （2）棱长为2， 每个小立方体的棱长都是1， 阴影部分； 阴影部分正方形的边长为：； （3）正方形的边长为，点A与1重合，， 动点E在点左边时，数轴上表示的数为：， 动点E在点右边时，数轴上表示的数为：， 故答案为：或． 20．（25-26八年级上·上海·月考）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)实数m的值是____________ (2)求的值 (3)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c、d，且实数c满足，实数d表示面积为27的正方形的边长，小蚂蚁从点C出发，爬到点D后，就沿着数轴向左爬行，小蚂蚁的爬行速度为每秒3个单位长度，请判断第2秒结束时，小蚂蚁在点B的左侧还是右侧？并写出判断过程． 【答案】(1) (2) (3)在点B的右侧，过程见解析 【分析】本题主要考查实数与数轴，化简绝对值，相反数的意义，非负数的性质及算术平方根的意义，解题的关键是熟练掌握绝对值与算术平方根的意义． （1）根据利用数轴表示数的方法求解即可； （2）将m的值代入，判断、的正负，然后化简绝对值计算即可； （3）先根据求出，再求出，再根据题意求出小蚂蚁最后的位置表示的数，进一步判断出在点B的左侧还是右侧即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：∵， 则，， ∴ （3）在点B的右侧， 理由：∵， ∴， 解得， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∵实数d表示面积为27的正方形的边长， ∴， ∵小蚂蚁的爬行速度为每秒3个单位长度，爬行时间为2秒， ∴小蚂蚁爬行的路程为个单位长度， ∵点C表示的数为，点D表示的数为， ∴， ∴此时小蚂蚁的位置表示的数为， ∵，且， ∴， ∴小蚂蚁在原点右侧， 则， ∵，， ∴ ∴在点B的右侧． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 期末专题03实数的十类综合题型 目录 典例详解 类型一、无理数的识别 类型二、求一个数的平方根、算术平方根、立方根 类型三、利用算术平方根的非负性求解 类型四、实数的比较大小 类型五、实数与数轴 类型六、实数的估算 类型七、程序设计与实数运算 类型八、实数的运算 类型九、利用平方根与立方根的定义解方程 类型十、平方根与立方根的综合问题 压轴专练 典例详解 类型一、无理数的识别 *无理数的识别技巧* 1. *常见类型判断*：常见无理数有三类：①开方开不尽的数（如√2、√5）；②化简后仍含元的数（如 元/2)；③无限不循环小数（如0.1010010001…）。 2.*陷阱识别*： 带根号的数需化简（如√4=2是有理数）： 形式含π但可化简为有理的需注意（如/π=1是有理数）。 3. *本质判断*：若无法表示为两个整数之比（最简分数），即为无理数。 例1.(2526七年级上黑龙江缓化期末)在实数号，314159265万，-8,5,0，中，无理数有(） 个 A.1 B.2 C.3 D.4 【变式1-1】(25-26八年级上全国期末)在0,3π，√5，√-9,6.1010010001.（相邻两个1之间0的 个数逐次加1)中，无理数有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 1/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式1-2】2324七年级上山东泰安期未)下列实数子卜引，4,8，万，0404040：（每相 邻两个4之间一个0)中，无理数有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 变式13】23-24八年级上全国期末)在22,4V10-9,82B 7’3 216,0.303003000..(两个“3”之间依次多一个“0”)中，无理数有()个 A.6 B.7 C.8 D.9 类型二、求一个数的平方根、算术平方根、立方根 1. *分清概念与符号* 平方根：若x2=a,则x是a的平方根，记为±（一正一负）。 - 算术平方根：非负的平方根，记为√及（仅非负值）。 -立方根：若x=a,则x是a的立方根，记为（符号同原数）。 2.*抓住运算特点* -平方根：被开方数a20,结果有士两个(0除外)。 算术平方根：同样a≥0，结果非负，是平方根中的正值或零。 立方根：a可为任意实数，结果符号与a相同，且唯一。 3. *掌握常见数值* 熟记常见平方数(1-20)及立方数(1-10)，便于快速估算或判断。注 例2、(23.24八年级上江苏苏州期末)2号的平方根是 √⑧1的算术平方根是 √7-3的绝对值是 【变式2-1】(24-25七年级下·江西赣州期末)若x是25的算术平方根，y是-8的立方根，则的值 为 【变式2-2】(24-25八年级上·江苏期末)0.216的立方根是_ √⑧1的算术平方根是 【变式2-3】(24-25七年级下.河北石家庄·期末)64的算术平方根为一，13824的立方根为」 2/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型三、利用算术平方根的非负性求解 1.*牢记核心性质** 算术平方根具有双重非负性：①被开方数a20;②结果V日20。这是所有解题的基础。 2.*识别应用场景* 常见于三类问题：①二次根式有意义的条件；②等式√a+b=0型求值（各非负部分均为零）；③配 方后形如()2+√c2k的最值问题。 3.*分步列式求解* 若遇多个非负式之和为零，则分别令每个非负式等于零，联立方程求解。注意先确保各被开方数有意 义（非负），再取等号。 例3.(24-25七年级下.甘肃庆阳·期末)已知Vx+2+y-1=0,那么x+y的立方根是 【变式3-1】(24-25七年级下·辽宁铁岭期末)已知√x+4与(y-16)2互为相反数，则x与y的积的立方根 为」 【变式3-2K24-25八年级上湖南岳阳期末)若m,n为实数，且Vm-4+n-9=0,则”的平方根是. 【变式3-3】(24-25八年级下·云南普洱期末)已知实数x,y满足x-2+√>+3=0，则代数式(x+y)225的 值为」 类型四、实数的比较大小 1.*统一形式比较* 将不同形式的实数（根式、幂、π、小数）化为统一格式。通常化为小数（按需取近似值）或统一为 根式。例如，比较√5与2.2，可平方比较5与4.84。 2.*利用中间值法* 当直接比较困难时，寻找中间参照数。例如，比较√3与π/2，已知√3≈1.732，π/2≈1.57， 易得√3>π/2。 3.*差值法或平方法* 对于根式，可计算差值或两边平方（注意正负）后比较。如比较2√3与3√2，平方得12<18， 故2√3<3√2。 最终注意正负号，正数大则绝对值大，负数反之。 例4.(24-25八年级上湖南永州期末)比较大小：V14+14(填“>”、“<”或“=”). 3/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式41】(2425八年级上江苏无锡期末)比较大小5-」 2 (填“>”，“<”或“=”)》 【变式42】(23-24七年级下陕西延安期末)比较大小：√5-1 v3 .(填“>”或<”) 【变式4-3】(24-25七年级下江苏南通期末)写出一个比-5小的无理数 ;写出一个比√万大的 有理数 类型五、实数与数轴 1. *明确对应关系* 实数与数轴上的点一一对应。解题时先在数轴上标出已知点，通过位置直观比较大小或判断正负。 2. *利用距离处理绝对值* 数轴上两点间的距离等于它们坐标差的绝对值。遇到xa可理解为点x到点a的距离，常用于化简 或求解含绝对值的方程、不等式。 3.*估算无理数的位置* 对无理数（如√2、π）进行近似估值，确定其在数轴上相邻整数之间的大致位置。例如，1.4〈√反 <1.5,将其标在1和2之间偏左的位置。 例5.(24-25八年级下山东潍坊·期末)如图，正方形ABCD的面积为10，点A表示的数为1，以点A为圆 心，AD的长为半径画圆，交数轴于M,N两点（点M在点N的左侧），则点M表示的数为 432101 23 【变式5-1】(24-25七年级下·河南许昌·期末)如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把√2表示在 数轴上点A处，记A右侧最近的整数点为B,以点B为圆心，A,B为半径画半圆，交数轴于点A,记A右 侧最近的整数点为B;以点B为圆心，A,B,为半径画半圆，交数轴于点A,,如此继续，则A,B,的长 为 1 A B A2 B2 As 4/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式5-2】(24-25八年级上全国期末)已知：实数a,b在数轴上的位置如图所示，化简： Va+12+2b-12-la-b. 7 0 7 【变式5-3】(24-25七年级下·湖北成宁期末)已知实数a,b在数轴上对应点的位置如图所示： 0二2 062→ 化简：√匠-Va+b2: (2)若实数a,b满足a+4+Vb-a-5=0,求-a2-11b的立方根. 类型六、实数的估算 1.*确定整数范围* 先找到被估算数所在的连续整数区间。例如估算√10，因9<10<16，故3<√10<4。 2.**缩小范围，提高精度* 在已知整数范围内，通过平方或与中间值比较进一步逼近。如√10≈3.16，可用3.1？=9.61、3.22=10.24 来验证。 3.*选择合适方法* 估算无理数常用方法：①平方比较法（用于根式）；②与常见数比较法（如≈3.14）；③分段法（针 对复杂表达式，各部分分别估算后合并)。注意控制误差要求。 例6.(24-25七年级下·全国期末)如图，在数轴上标有字母的各点中，与实数√1对应的可能是点 【变式6-1】(24-25七年级下·江苏南通期末)写出一个比-5小的无理数 ;写出一个比√7大的 有理数」 【变式6-2】(24-25七年级下·湖北黄石期末)若V19的值在两个整数a与a+1之间，则a= 【变式6-3】(24-25七年级下山东日照期末)已知a-1的平方根是±2，b+4是-27的立方根，c是√30的 小数部分，则a+b+c的值为 5/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型七、程序设计与实数运算 1.*注意精度与范围* 程序中的实数通常用浮点数(float/double)表示，存在精度误差。比较时避免直接用'='，应使用 abs(a-b)<eps(eps为极小值，如le-9)。大数运算注意溢出。 2.**合理选择运算顺序* 先乘除后加减，减少累积误差。涉及无理数（如π、√2）时，优先调用库函数或使用高精度近似值， 避免重复计算。 3,*善用内置函数与模块* 使用数学库（如math.h、`cmath')中的平方根、绝对值、幂运算等函数。批量实数运算可借助向量 化操作（如NumPy)提升效率与精度。 例6.(23-24八年级上陕西咸阳期末)如图是一个数值转换器，当输入x的值为9时，则输出y的值是() 输入x 取算术平方根 是无理数 输出y 是有理数 A.3 B.-V5 C.5 D.-3 【变式6-1】(24-25七年级下·广东广州期末)有一个数值转换器，原理如图所示，当输入x的值为16时， 输出y的值为() 取算术平方根 是 输入x 小于2 输出y 否 A.1 B.2 c.2 D.±√2 【变式6-2】(24-25七年级下·吉林期末)有一个数值转换器，运算流程如图所示，当输入的x值为64时， 输出的y值是() 是无理数 输出y 输入x 取算术平方根 是有理数 取立方根 是无理数 是有理数 A.√2 B.2 C.4 D.8√2 类型八、实数的运算 1.*明确运算顺序* 遵循先乘方、开方，再乘除，后加减，有括号先算括号内的顺序。混合运算时注意区分实数类型（有 6/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 理数、无理数)。 2.*化简优先，统一形式* 先化简根式、绝对值等，将无理数保留根号形式参与运算，最后再取近似值。乘除运算中，常将根式 化为最简形式便于合并或约分。 3.*灵活运用运算律* 合理运用交换律、结合律、分配律简化计算，尤其是涉及无理数的乘法时，注意平方差、完全平方等 公式的应用。估算时可先取近似值判断数量级。 例8.(2425七年级下甘肃武威期末)计算：4+27+V-3)+2-5 【变式81】(2425七年级下云南期末)计算：27+2-5+V-32-5-(-1)5 【变式82】(24-25七年级下四川南充期末)计算：1+V-2)-27+5-2. 【变式8-3】(24-25七年级下·河北廊坊期末)计算： (0)V25+64+-1202, 2)-22+36--27-5-2. 类型九、利用平方根与立方根的定义解方程 1.*判断方程类型，选择定义* 若方程为x2=a,用平方根定义：x=士Va(a20):若为x3=a,用立方根定义：x= ?(a为全体 实数)。 2.*先整理后开方** 将方程整理成x2=k或x3=k的孤立形式。 3.*检查根的有效性* 平方根方程需保证k≥0，否则无实数解；立方根方程恒有解。开方后注意平方根有正负两个解(0除 外)，立方根仅有一个符号相同的解。 例9.(24-25八年级上全国期末)求下列各式中x的值： (1)16(x-2)=81 (2)27(x+1)3+125=0 【变式9-1】(24-25七年级下·江苏苏州期末)求下列各式中x的值： (1)x2-49=0; (2)x+1)=-8 7/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式9-2】(24-25八年级上·江苏扬州期末)解方程： (0)2(x+1)2=8; (2)(x-3)3-27=0. 【变式9-3】(24-25八年级上·湖北十堰期末)求下列各式中的x: (1)5x2=10 (2)(x+3)3=-64 类型十、平方根与立方根的综合问题 1.*分清定义与符号** 平方根：若x2=a,则x=±(a≥0)。立方根：若x3=a,则x=(a可为任意实数)。解题 先判断用哪种定义。 2.*先化简再运算** 将根式化为最简形式，并注意算术平方根的非负性。混合运算时，先分别化简平方根与立方根，再进 行合并或比较。 3.*结合非负性求值* 综合题常与绝对值、完全平方等非负性结合。若出现√+b=0形式，则a=0且b0。求未知数时， 常需两边平方或立方处理。 例10.(23-24七年级下.江西赣州期末)已知某正数的平方根分别是a-1和a+3,b+7的立方根为2. (I)求a,b的值： (2)求a+b的算术平方根. 【变式10-1】(24-25七年级下·云南昆明期末)己知：a的平方根是它本身，5b+17的立方根是3， 动+号m的算术平方根是4 (1)直接写出a,b,m的值； (2)求a+3b+m的平方根。 【变式10-2】(24-25七年级下陕西安康期末)已知a+3的立方根是2,3a+b-1的算术平方根是4. (1)求a,b的值； (2)求a+2b的平方根。 【变式10-3】(24-25七年级下陕西榆林期末)已知2a+5的算术平方根是5,4a+b-3的立方根是3，c是 8/12 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 √9的整数部分 (I)分别求出a,b,c的值； (2)求3a+b-c的平方根， 压轴专练 一、单选题 1.(25-26八年级上·全国期末)如图，数轴上点N表示的数可能是() -5-4-3-2-1012345 A.√10 B.√17 C.3 D.5 2.(24-25八年级下·云南红河·期末)下列计算正确的是() A.V(-22=-2B.V(±2)2=2 C.-√22=-2 D.-V(-2)2=2 3.(23-24七年级下·湖南怀化期末)已知x+2的算术平方根是3，y是√23的整数部分，则x+y的值为() A.5 B.7 C.11 D.12 4.(2526八年级上全国男期未)下列七个实数：0，，号，号6,31159263 0.101001000100001…,其中无理数的个数是() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 5.(24-25七年级下·云南德宏期末)以下是一组按规律排列的单项式：a,V2a2,3a3,2a,√5a,,其中第n个 单项式是() A.√na B.Vna” C.√n-la"- D.√n-ia" 6.(24-25七年级上·全国期末)点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为-3、1.若B、 C两点之间的距离为√3，则A、C两点之间的距离为() A.3-√5或3+√5B.3-√5或4+5C.4-√5或3+5D.4-√5或4+√5 二、填空题 9/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 7.(2526八年级上全国期未)在实数-9，n6,0,5中，无理数的个数为 个. 8.(23-24七年级下.四川广安期末)若a,b为两个连续的正整数，且a<√20<b,则a+b= 9.(24-25八年级上安徽宿州期末)若（4x+3y-1)2+√2x-y+7=0,则=一 10.(24-25七年级下·吉林期末)若x+3是9的算术平方根，y+1是-27的立方根，则x+y= 11.(23-24七年级下·重庆期末)如图，ABC为等腰三角形，AC=BC,过点B在BC上方作BD垂直于 BC,且BD=BC,连接AD,此时∠DAB=90°，若四边形ACBD的面积为15，则AD=一· B 12.(23-24七年级下·陕西延安·期末)如图是小宇用电脑设计的一个程序计算，当输入x的值是64时，输 出y的值是 是有理数 取算术是有理数 取立是无理数 输入x 方根 输出y 平方根 是无理数 三、解答题 13.(24-25七年级下湖南长沙期末)计算：(-1)225+V-22-327+2-V5 14.(25-26七年级上黑龙江绥化期末)解方程： (1)（x+1)2-1=24; (2)3x+1)3+81=0. 15.(24-25八年级上江苏宿迁·期末)计算和解方程： )计算：（2-(3.14-π)°+V4. (2)解方程：(x-1+64=0. 16.(25-26八年级上全国·期末)计算： 10/12