期末专题06 一次函数的图象和性质的六类综合题型（压轴题专项训练）数学苏科版2024八年级上册

期末专题06 一次函数的图象和性质的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、一次函数的识别 类型二、一次函数的图象和性质 类型三、利用一次函数的增减性求解 类型四、一次函数图象的共存问题 类型五、求一次函数的表达式 类型六、画一次函数的图象 压轴专练 类型一、一次函数的识别 **一次函数识别核心**：形如 **y = kx + b**（k、b为常数，且k≠0）的函数，图像是一条直线。 解题技巧 1. **看形式**：先整理表达式，若能化为y=kx+b（k≠0），即为一次函数；b=0时是特殊的正比例函数（过原点）。 2. **定参数**：遇含参数的式子（如y=(m-1)x+2），需满足“x系数≠0”（即m-1≠0→m≠1），同时x的次数为1。 3. **联图像**：直线过两点可求解析式，用“待定系数法”代入两点坐标，解方程组求k和b。 例1．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）下列关于x的函数中，是一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的解析式形式是解题的关键． 根据一次函数的定义，形如（、为常数，且）的函数为一次函数，逐一验证各选项是否符合该形式． 【详解】A、中，的指数为2，不符合一次函数定义，故不符合题意； B、中，不是整式函数，不符合一次函数定义，故不符合题意； C、中，的指数为2，不符合一次函数定义，故不符合题意； D、是一次函数，故符合题意； 故选：D． 【变式1-1】（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期末）下列函数中，是x的一次函数的是 （            ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的定义，解题关键是掌握形如（）的函数为一次函数．根据一次函数的定义逐一验证各选项是否符合该形式即可． 【详解】解：A、可整理为，符合的形式，其中，故为一次函数，选项正确； B、含项，最高次数为2，不符合一次函数定义，选项错误； C、可写为，含的负一次项，不符合一次函数的整式要求，选项错误； D、含项，最高次数为2，不符合一次函数定义，选项错误； 故选：A． 【变式1-2】（24-25八年级下·广西钦州·期末）下列函数是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的定义．根据一次函数的定义，形如（、为常数，且）的函数为一次函数．需逐一判断各选项是否符合该形式． 【详解】解：选项A：，其中的次数为2，不符合一次函数定义，故本选项不符合题意． 选项B：，符合的形式（，），且，因此是一次函数，故本选项符合题意． 选项C：，右边不是整式形式，不符合一次函数定义，故本选项不符合题意． 选项D：，右边不是整式形式，不符合一次函数定义，故本选项不符合题意． 故选：B 类型二、一次函数的图象和性质 解题时，先明确一次函数表达式y = kx + b（k≠0）。画图象用两点法，取(0, b)和(- ,, 0)快速描点连线。分析性质时，关注k和b：k决定增减性（k>0递增，k<0递减），b决定与y轴交点（(0, b)）。判断图象象限，结合k、b符号：如k>0、b>0，图象过一、二、三象限。解题时先确定k、b的值或范围，再结合这些技巧分析图象位置、函数增减性及解决交点等问题。 例2．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）关于一次函数，下列结论错误的是（   ） A．若，在函数上，则 B．图象与轴交于正半轴 C．图象经过第一，二，四象限 D．与两坐标轴围成的三角形面积为4 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，通过计算函数值、交点坐标和图象性质，逐一验证各选项的正误． 【详解】A、∵当时，；当时，，，正确，不符合题意； B、当时，，∴图象与y轴交于正半轴，正确，不符合题意； C、，∴图象经过第一、二、四象限，正确，不符合题意； D、当时，由得，当时，， ∴图象与x轴交于点，与y轴交于点， ∴围成的三角形面积，错误，符合题意． 故选：D． 【变式2-1】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）关于一次函数，下列结论中正确的是（　　） A．图象必经过 B．图象经过第一、二、三象限 C．若，在图象上，则 D．图象向上平移1个单位长度得解析式为 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的性质，包括点是否在图象上、图象所经过的象限、函数的单调性以及图象的平移，根据一次函数的定义和性质逐一判断各选项． 【详解】A．当时，， ∴点不在图象上，A错误； B．∵，， ∴图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，B错误； C．∵， ∴随的增大而增大， ∵， ∴，故不成立，C错误； D．图象向上平移1个单位，解析式为，即，D正确． 故选：D． 【变式2-2】（23-24八年级下·全国·期末）关于直线l：，下列说法不正确的是（   ） A．点在直线l上 B．直线l经过点 C．直线l经过第一、二、三象限 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查一次函数性质，熟练掌握一次函数性质是解题关键，根据一次函数性质进行判断即可． 【详解】解：A．当时，，即点在直线l上，故此选项不符合题意； B．当时，，即直线l经过点  ，故此选项不符合题意； C．不能确定l经过第一、二、三象限，此选项符合题意； D．当时，y随x的增大而增大，此选项不符合题意； 故选：C． 类型三、利用一次函数的增减性求解 核心技巧**：一次函数增减性由**k值符号**决定——k>0时，y随x增大而增大；k<0时，y随x增大而减小，解题需“先定k，再用增减性列关系”。 1. **判断增减性**：先确定解析式中k的正负，明确y与x的变化方向。 2. **找自变量范围**：根据题目给的x取值范围（如x₁≤x≤x₂），结合增减性确定y的最值对应的x值。 3. **列方程/不等式**：若已知最值求参数，将对应x、y值代入解析式；若比较大小，直接用增减性转化x的关系为y的关系。 例3．（24-25八年级下·黑龙江七台河·期末）若一次函数图象上有两个点，，则m，n的大小关系是：m （填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，牢记“，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小”是解题的关键．由，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，再结合，即可得出． 【详解】解：， 随x的增大而减小， 又一次函数图象上有两个点，，且， ． 故答案为：． 【变式3-1】（24-25八年级下·湖南湘潭·期末）已知一次函数，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，由，可得出y随x的增大而减小，结合，即可求出y的最小值． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y取得最小值，此时． 故答案为：． 【变式3-2】（24-25八年级下·海南·期末）已知函数，当自变量的取值范围是时，的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质：当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而增减小．熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 由解析式可得，则随着的增大而增大，则当，函数取得最大值，代入求解即可． 【详解】解：∵函数中， ∴随着的增大而增大， ∵， ∴当时，， ∴的最大值为， 故答案为：． 【变式3-3】（24-25八年级下·山东日照·期末）一次函数（k为常数，且），当时，y的最大值是，则k的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数的增减性，分两种情况：当时，一次函数中随着的增大而减小；当时，一次函数中随着的增大而增大；分别求解即可，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：当时，一次函数中随着的增大而减小， ∵当时，y的最大值是， ∴当时，y的最大值是，即，解得； 当时，一次函数中随着的增大而增大， ∵当时，y的最大值是， ∴当时，y的最大值是，即，解得， 综上所述，k的值是或， 故答案为：或． 类型四、一次函数图象的共存问题 **核心**：一次函数图象共存，本质是判断多组 **k、b值是否一致**，即不同表达式推导的k、b需完全相同。 解题技巧 1. **列k、b关系**：从每个条件（如过某点、与另一函数平行）分别列出k、b的方程，比如两函数平行则k相等。 2. **解方程组**：联立所有k、b的方程，求解参数值。 3. **验证一致性**：若解得的参数能让所有函数的k、b均满足条件，则图象共存；若无解或矛盾（如k既等于2又等于3），则不共存。 例4．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）下列图形中，表示一次函数与正比例函数(k，b为常数，且)的图象是（　　） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了一次函数图象与系数的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数图象分析可得k、b的符号，再由的图象可得的符号，比较可得答案． 【详解】解：A、由一次函数图象可知，，，由正比例函数的图象可知，故此选项正确； 、由一次函数图象可知，，即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项错误；； 、由一次函数图象可知，，即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项错误 、由一次函数图象可知，，即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项错误． 故选：A． 【变式4-1】（24-25八年级上·上海·期末）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数和的图象可能是（　　） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的图象，熟练掌握两个函数图象与系数的关系是解答本题的关键． 根据一次函数与正比例函数的图象解答即可． 【详解】解：∵， ∴一次函数的图象经过第一、三象限， 由得：， ∴一次函数的图象不经过原点，故A、D选项错误，不符合题意； 对于B选项，由一次函数的图象得：，即，由的图象得：，相符合，故B选项符合题意； 对于C选项，由一次函数的图象得：，即，由的图象得：，相矛盾，故C选项不符合题意； 故选：B 【变式4-2】（24-25八年级下·云南丽江·期末）下列表示一次函数（是常数，且）的图象与正比例函数的图象可能的是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象与正比例函数图象的综合判断，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象与性质以及正比例函数的图象与性质． 分别对每个选项中一次函数中的与正比例函数中的的符号进行判断是否一致即可． 【详解】解：A、由图象可得一次函数中，正比例函数中，矛盾，故本选项不符合题意； B、由图象可得一次函数中，正比例函数中，矛盾，故本选项不符合题意； C、由图象可得一次函数中，正比例函数中，矛盾，故本选项不符合题意； D、由图象可得一次函数中，正比例函数中，正确，故本选项符合题意； 故选：D． 类型五、求一次函数的表达式 先明确一次函数形式为y = kx + b（k≠0）。若已知两点坐标，用待定系数法，将两点代入表达式列方程组，求解k、b。若已知图象与y轴交点，可直接得b值，再结合另一条件求k。若涉及实际应用，先分析变量间的线性关系，确定k（斜率，如变化率）和b（初始值），再代入验证。解题时注意k≠0的限制，计算方程组时仔细核对，确保表达式准确。 例5．（24-25八年级下·河北沧州·期末）已知y与x成正比例，当时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)请判断点是否在这个函数的图像上，并说明理由； (3)如果，是这个函数图像上的两点，请比较与的大小． 【答案】(1) (2)不在，见解析 (3) 【分析】本题考查了正比例函数的性质、求函数解析式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）把代入，得到，结合点的坐标即可判断； （3）根据正比例函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为． 由题意得，，解得， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：不在，理由如下： 把代入，得． ∵， ∴点不在这个函数的图像上． （3）解：∵， ∴y随的增大而减小， ∵， ∴． 【变式5-1】（24-25八年级下·广西来宾·期末）已知与成正比，且时，． (1)求关于的函数表达式； (2)当时，求的值； (3)将所得函数的图象平移，使它过点，求平移后图象的表达式． 【答案】(1)关于的函数表达式为； (2)； (3)平移后图象的表达式为． 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数的平移， （1）根据题意设；然后利用待定系数法求一次函数解析式； （2）把代入一次函数解析式可求得； （3）设平移后直线的解析式为，把点代入求出b的值，即可求出平移后直线的解析式． 【详解】（1）解：依题意设 ∵时，， ∴，解得 ∴关于的函数表达式为； （2）解：当时，； （3）解：将函数平移的表达式设为 因为平移后的函数的图象经过点， 所以， 解得 因此，平移后图象的表达式为． 【变式5-2】（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）如图所示，点A的坐标为，点的坐标为． (1)求过A，两点直线的函数表达式； (2)过点作直线与轴交于点，且使，求的面积． 【答案】(1) (2)2或6 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数与几何的应用等知识点，掌握数形结合以及分类讨论思想是解题的关键． （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）由点A、B的坐标，可得出的长，结合，可求出的长，然后再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：设过A，B两点直线的函数表达式为， 将，代入得： ，解得：， ∴过A，B两点直线的函数表达式为． （2）解：∵点A的坐标为，点的坐标为， ∴． ∵， ∴， ∴或， ∴或． 综上，的面积为2或6． 【变式5-3】（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点的另一条直线交轴于点． (1)求直线的函数表达式． (2)求的面积． (3)若点在线段上（可与点A,B重合），点在直线上，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)最小值为4 【分析】本题考查一次函数的性质及应用： （1）先求出点A坐标，再利用待定系数法求解； （2）根据求解； （3）将转化为t的一次函数，结合t的取值范围进行求解即可． 【详解】（1）解：点在直线上， ， ， 设直线的函数表达式为， 将，代入，得：， 解得， 直线的函数表达式为； （2）解：对于，当时，， ， ， ， ； （3）解：点在线段上，点在直线上， ，， ， 点在线段上，，， ， ， 随t的增大而减小， 当时，取最小值，最小值为． 类型六、画一次函数的图象 画一次函数y = kx + b（k eq0）的图象，核心用两点法，步骤清晰且高效。 1. 找关键两点：优先选与坐标轴交点，计算简单——与y轴交点为(0, b)（直接代入x=0求y）；与x轴交点为(- , 0)（代入y=0解x）。若两点重合（如b=0的正比例函数），再额外取一个易算点，比如(1, k)。 2. 描点连线：在平面直角坐标系中准确标出两点，用直尺画直线（延伸至坐标轴外，体现直线无限延伸的性质）。 注意：描点前检查坐标计算是否正确，连线时避免画成线段，确保图象符合一次函数“直线”的本质特征。 例6．（24-25八年级下·福建泉州·期末）在平面直角坐标系中，已知一次函数，完成下列问题： (1)画出一次函数的图象； (2)此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是______； (3)将直线沿y轴向下平移3个单位长度，求平移后的直线与x轴的交点坐标． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3) 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，一次函数图象与几何变换，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． （1）画出函数图象； （2）分别求出直线与x轴、y轴的交点，进而解答即可； （3）根据平移的规律求得平移后的函数解析式，然后求出与x轴的交点即可． 【详解】（1）解：令，解得，令，则， 一次函数的图象如图： （2）令，解得，令，则， 直线与x轴交点坐标为，与y轴交点坐标为， 函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是； 故答案为：4； （3）将直线沿y轴向下平移3个单位长度，得，即， 令，则，解得， 平移后的直线与x轴的交点坐标为 【变式6-1】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标分别是，作点关于轴的对称点，点关于轴的对称点． (1)请按要求作点，并直接写出点的坐标； (2)顺次连接三点，得到，求出的面积； (3)在轴上找一点，使得的值最小，请在图中标出点，并求出点的坐标． 【答案】(1)见解析，的坐标为，点的坐标为 (2)2 (3)见解析，点的坐标为 【分析】本题主要考查的是轴对称图形的性质、轴对称--路径最短问题，掌握轴对称图形的性质是解题的关键． （1）关于y轴对称的两点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，关于x轴对称的两点的纵坐标互为相反数，横坐标相等； （2）按要求作出，用割补法求出面积即可； （3）连接，当点在与轴的交点处时，取得最小值，求出所在直线的函数表达式为，进而求出结论． 【详解】（1）解：作点如图所示． 由作图可知，点的坐标为，点的坐标为． （2）如图所示， ． （3）因为点与点关于轴对称，点在轴上， 所以点到点的距离和到点的距离相等，即， 所以． 如图，连接，当点在与轴的交点处时，取得最小值． 设所在直线的函数表达式为， 将代入，得， 解得， 则所在直线的函数表达式为． 将代入， 得， 所以点的坐标为． 【变式6-2】（24-25八年级下·河南安阳·期末）问题：探究函数的图象与性质．数学兴趣小组根据学习一次函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． (1)在函数中，自变量可以是任意实数，如表是与的几组对应值． ．．． 0 1 2 3 4 ．．． ．．． 0 1 2 3 4 2 1 0 ．．． ①表格中的值为___________； ②若为该函数图象上的点，则___________． (2)在平面直角坐标系中，描出上表中的各点，画出该函数的图象． (3)结合图象回答下列问题： ①函数的最大值为___________； ②写出该函数的一条性质：___________． 【答案】(1)①3；② (2)图见解析 (3)①4，②关于轴对称 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）①代入的值计算即可得出的值；②把代入函数解析式计算即可得解； （2）描点，连线即可； （3）①根据函数图象即可得解；②根据函数图象即可得解． 【详解】（1）解：①当时，，即； ②∵为该函数图象上的点， ∴， 解得：； （2）解：描点，画出函数的图象如图： （3）解：①由函数图象可得：函数的最大值为4； ②由函数图象可得：该函数的一条性质：关于轴对称（答案不唯一）． 一、单选题 1．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）下列式子中不是的函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数的定义，在一个变化过程中，有两个变量和，如果给定了一个值，相应地就确定唯一的一个值，那么我们称是的函数，由函数的定义逐项判断即可得出答案，熟练掌握函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、对于，给定一个的值，计算能得到唯一确定的值，所以是的函数，不符合题意； B、对于，任意给定一个的值，的结果唯一确定，有唯一值对应，所以是的函数，不符合题意； C、对于，在（即的范围内，给定一个的值，能得出唯一确定的值，所以是的函数，不符合题意； D、对于，当取一个非正数的值时（因为右边，比如，则，，即一个值对应两个值，不满足函数定义中“有唯一确定值对应”的要求，所以不是的函数，符合题意． 故选：D． 2．（25-26八年级上·湖南张家界·期末）直线与x轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一次函数与x轴的交点坐标，求出时x的值即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，，解得， ∴直线与x轴的交点坐标是， 故选：A． 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）一次函数的图象过点，，则和的大小关系是（   ）． A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，根据一次函数，可知随的增大而减小，然后根据一次函数的图象过点，，即可得到和的大小关系． 【详解】解：∵一次函数， ∴随的增大而减小， ∵一次函数的图象过点，，， ∴， 故选：A． 4．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）已知一次函数（，为常数，且）的图象经过点，，则下列关于一次函数的说法错误的是（    ） A．图象经过点 B．随着的增大而减小 C．图象可以由直线平移得到 D．图象经过第一、三、四象限 【答案】D 【分析】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象与性质，掌握知识点是解题的关键． 先根据点，，求出一次函数的解析式为，再逐一验证各选项的正误即可． 【详解】解：∵图象经过点，， ∴分别代入得：， 解得：， ∴一次函数为． 对于A：当时，， ∴图象经过点(0，1)，正确． 对于B：∵， ∴y随x增大而减小，正确． 对于C：与的k值相同，且可由向下平移2个单位得到，正确． 对于D：当时，， ∴图象不经过第三象限，错误． 故选D． 5．（25-26八年级上·福建三明·期中）如图，直线分别与、轴交于、两点，点在线段上，线段沿翻折，点落在边上的点处．以下结论：①；②点的坐标为；③直线的解析式为；④点的坐标为．正确的有（    ） A．①②③ B．①③ C．①④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题是一次函数的综合题、考查了利用待定系数法求解析式，折叠的性质，面积法，勾股定理等知识，灵活应用这些性质解决问题是关键．根据直线的解析式求出点、点的坐标，由勾股定理求出的长即可判断①；由折叠的性质可得：，，，由勾股定理可求出的长，进而求出点的坐标，可判断②；利用待定系数法可求的解析式，可判断③；由面积公式可求的长，从而得出点的纵坐标，将其代入直线的解析式中即可求出点的坐标，可判断④． 【详解】解：直线分别与、轴交于点、， 点，点， ，， ，故①正确； 线段沿翻折，点落在边上的点处， ，，， ， ， ， ， 点，故②不正确； 设直线的解析式为：， ， ， 直线的解析式为：，故③正确； 如图，过点作于， ， ， ， ， 当时，， ， 点的坐标为，故④正确． 故选：D． 二、填空题 6．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）若点是直线上一点，则a的值是 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，依据题意，将点坐标代入直线解析式即可计算得解． 【详解】解：由题意，∵点是直线上一点， ∴． 故答案为：10． 7．（24-25八年级下·甘肃武威·期末）一次函数的图象向上平移个单位长度后，所得图象的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，熟练掌握一次函数图象的平移规律是解题关键．根据一次函数图象的平移规律求解即可得． 【详解】解：一次函数的图象向上平移个单位长度后，所得图象的解析式为，即为， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·全国·期末）如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，把绕点B逆时针旋转后得到，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数与几何综合，旋转前后对应边长度不变是解题的关键．先根据函数图象分别求出、的长度，再通过旋转之后对应边相等，结合旋转后轴，轴，可求出点的坐标． 【详解】解：当时，， 则， 当时，，解得， 则， ∴，， ∵把绕点B逆时针旋转后得到， ∴，，轴，轴， ∴，， ∴点的坐标是． 故答案为：． 9．（24-25八年级下·吉林·期末）定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“不动点”．例如求的“不动点”；联立方程，解得，则的“不动点”为．若一次函数的“不动点”为，则 ； ． 【答案】 3 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数的性质，理解“不动点”的定义是解题的关键． 由定义可知一次函数的“不动点”为，，再将点代入即可求出m的值． 【详解】解：一次函数的“不动点”为， ， ， 一次函数的“不动点”为， ， 解得： ． 故答案为：，3． 10．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）已知直线与直线交于点，直线经过定点． （1）点的坐标是 ； （2）若点到直线的距离是定值，则这个定值是 ． 【答案】 【分析】（1）由，即可求得定点的坐标； （2）求得直线与直线的交点，可知点所在的直线为，由点到直线的距离是定值可知，解直角三角形即可求得点到直线的距离． 【详解】解：（1）∵， 当时，得， 即不论为何值，当时，都有， ∴定点， 故答案为：； （2）由， 解得：， ∴， ∴点所在的直线为，且点到坐标轴的距离相等， ∴直线在第一、三象限的平分线上， ∴直线与轴正半轴的夹角为， ∵点到直线的距离是定值， ∴点所在的直线与直线互相平行， 即直线平移后得到直线， ∴， ∴直线的解析式为， 如图，过点作于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵直线过定点， ∴， ∴， ∴点到直线的距离为， 故答案为：． 【点睛】本题是两条直线相交或平行问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，两直线的交点坐标，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识点，确定定点的坐标是解题的关键． 三、解答题 11．（25-26八年级上·湖南张家界·期末）已知y是x的一次函数，且当时，；当时，． (1)求这个一次函数的表达式； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． （1）设一次函数的表达式为，根据“当时，；当时”计算即可； （2）把代入一次函数解析式计算即可． 【详解】（1）解：设一次函数的表达式为 因为当时，；当时， 代入得， 解得，， 所以； （2）解：把代入得： ． 12．（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）已知一次函数的图象经过点和点． (1)求这个函数的解析式； (2)在平面直角坐标系中，画出函数图象； (3)当时，求出y的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据待定系数法可进行求解； （2）根据描点、连线可进行作图； （3）根据（2）中函数图象可进行求解． 【详解】（1）解：将点和点分别代入上式，得：， 解之，得：， ∴这个函数解析式为：； （2）解：所作函数图象如下： （3）解：当时，；当时，，结合（2）中函数图象可知： ∴y的取值范围是：． 13．（23-24七年级上·山东泰安·期末）如图，直线过点，点，直线与轴交于点，两直线，相交于点． (1)求直线的解析式和、的值； (2)求的面积． 【答案】(1)的解析式为：，， (2)6 【分析】本题考查了一次函数的性质． （1）设的解析式为：，将，代入求出，进而求出，，将代入即可求出； （2）求出，分别求出的面积和的面积，相减即可． 【详解】（1）解：设的解析式为： ∵经过， ∴将、代入解析式得： ， ∴，， 即的解析式为：， ∵在； ∴， ∴ ∵在， ∴ ∴； （2）解：是与轴的交点， 在中令，则， 得， ∴，，到的距离为2， ∵， ∴，， ∴． 14．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，． (1)求直线的函数解析式； (2)求的长； (3)若P为坐标轴上一点，使是以为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为或或或或或 【分析】本题主要考查一次函数与几何的综合，熟练掌握一次函数的图象与性质及等腰三角形的定义是解题的关键； （1）根据待定系数法可进行求解； （2）根据勾股定理可进行求解； （3）由题意可分当点P在x轴和在y轴上，然后结合等腰三角形的定义进行分类求解即可． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为，由题意得： ，解得：， ∴直线的函数解析式为； （2）解：由题意得：， ∴； （3）解：由题意可分：①当点P在y轴上时，使是以为腰的等腰三角形， 设点，则有： 当时，即， 解得：或， 此时点或； 当时， ∵， ∴； 此时点； ②当点P在x轴上时，使是以为腰的等腰三角形， 设点，则有： 当时，即， 解得：或， 此时点或； 当时， ∵， ∴； 此时点； 综上所述：点P的坐标为或或或或或． 15．（24-25八年级下·广西河池·期末）综合与探究如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，点是线段上的一个动点（不与重合），连接，设点的横坐标为． (1)直接写出两点的坐标； (2)求的面积与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)当的面积时， ①判断此时线段与的数量关系并说明理由； ②第一象限内是否存在一点，使是以为直角边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)①，理由见解析；②存在，点的坐标为或 【分析】本题考查一次函数解析式的确定和一次函数的应用，勾股定理，全等三角形的判断和性质，三角形的面积等知识．掌握相关性质定理并利用分类讨论思想解题是关键． （1）分别令，，求出两点坐标即可。； （2）写出F点的坐标，然后根据三角形面积公式列函数关系式； （3）①根据三角形面积列方程求点F的坐标，然后利用勾股定理求得与的长，从而求解； ②根据全等三角形的判定和性质求解． 【详解】（1）解：， ∴当时，，当时，，解得：， ∴； （2）解：∵点是线段上的一个动点（不与重合）， 设点的横坐标为，过点作轴， ∴点坐标为， ∴的面积： ∴的面积与之间的函数关系式为； （3）解：①． 理由如下：当的面积时， ，解得：， ∴点坐标为， ∴， ∵， ∴； ②存在， 过点作轴交轴于点，过点作于点，过点作于点，分两种情况： 情况一：∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴≌（AAS）， ∴， ∴点 情况二：∵是等腰直角三角形，同理≌（AAS）， ∴， ∴， 综上所述，点的坐标为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 期末专题06一次函数的图象和性质的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、一次函数的识别 类型二、一次函数的图象和性质 类型三、利用一次函数的增减性求解 类型四、一次函数图象的共存问题 类型五、求一次函数的表达式 类型六、画一次函数的图象 压轴专练 典例详解 类型一、一次函数的识别 *一次函数识别核心*：形如*y=+b*(k、b为常数，且k≠0)的函数，图像是一条直线。 解题技巧 1.*看形式*：先整理表达式，若能化为y=+b(k≠0)，即为一次函数；b=0时是特殊的正比例函数 (过原点)。 2.**定参数*：遇含参数的式子（如y=(m-1)x+2),需满足“x系数≠0”（即m-1≠0一→m≠1），同时x 的次数为1。 3.*联图像*：直线过两点可求解析式，用“待定系数法”代入两点坐标，解方程组求k和b。 例1.(24-25八年级下.湖北襄阳·期末)下列关于x的函数中，是一次函数的是() A.y=2x2+2B.y= C.y=x2 D.y=x+2 【变式1-1】(24-25八年级下海南省直辖县级单位期末)下列函数中，y是x的一次函数的是( A.y=x-I B.y=x2-1 C.y=3 D.y=2x2+3x-1 【变式1-2】(24-25八年级下·广西钦州期末)下列函数是一次函数的是() A.y=3x2+2B.y=3x+2 C.y=3 D.y=3+2 1/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型二、一次函数的图象和性质 解题时， 先明确一次函数表达式y=c+b(k≠0)。画图象用两点法，取0，)和（是，0）快速描点连线。 分析性质时，关注k和b:k决定增减性（心0递增，<0递减），b决定与y轴交点(O,b)。判断图象 象限，结合k、b符号：如心0、b>0,图象过一、二、三象限。解题时先确定k、b的值或范围，再结合 这些技巧分析图象位置、函数增减性及解决交点等问题。 例2.(24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末)关于一次函数y=-3x+6,下列结论错误的是() A.若A-2,),B(0y2)在函数上，则y>2 B.图象与y轴交于正半轴 C.图象经过第一，二，四象限 D.与两坐标轴围成的三角形面积为4 【变式2-1】(24-25八年级下·黑龙江牡丹江期末)关于一次函数y=2x-1,下列结论中正确的是() A.图象必经过(0,1) B.图象经过第一、二、三象限 C.若A-3),B(2,2)在图象上，则y>y2 D.图象向上平移1个单位长度得解析式为y=2x 【变式2-2】(23-24八年级下.全国·期末)关于直线1：y=kx+k(k≠0)，下列说法不正确的是() A.点(0，k)在直线1上 B.直线1经过点-1,0) C.直线1经过第一、二、三象限 D.当k>0时，y随x的增大而增大 类型三、利用一次函数的增减性求解 核心技巧*：一次函数增减性由*k值符号*决定一一>O时，y随x增大而增大；k<0时，y随x增大而 减小，解题需“先定k,再用增减性列关系”。 1.*判断增减性*：先确定解析式中k的正负，明确y与x的变化方向。 2.**找自变量范围*：根据题目给的x取值范围（如≤x≤？），结合增减性确定y的最值对应的x 值。 3.*列方程/不等式*：若已知最值求参数，将对应x、y值代入解析式；若比较大小，直接用增减性转化 x的关系为y的关系。 例3.(24-25八年级下·黑龙江七台河期末)若一次函数y=-3x+b图象上有两个点P(1,m),Q(-2,n),则 2/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 m,n的大小关系是：mn(填“>”，“=”或“<”) 【变式3-1】(24-25八年级下，湖南湘潭期末)已知一次函数y=4x+1,若-2≤x≤1，则y的最小值 为 【变式3-2】(24-25八年级下海南期末)已知函数y=3x-5,当自变量x的取值范围是-3≤x≤5时，y的 最大值为 【变式3-3】(24-25八年级下山东日照期末)一次函数y=x+3(k为常数，且k≠0)，当-3≤x≤4时， 的最大值是多 则k的值是 类型四、一次函数图象的共存问题 *核心**： 一次函数图象共存，本质是判断多组*k、b值是否一致*，即不同表达式推导的k、b需完 全相同。 解题技巧 1.*列k、b关系*：从每个条件（如过某点、与另一函数平行）分别列出k、b的方程，比如两函数平行 则k相等。 2.**解方程组*：联立所有k、b的方程，求解参数值。 3.*验证一致性*：若解得的参数能让所有函数的k、b均满足条件，则图象共存；若无解或矛盾（如k 既等于2又等于3)，则不共存。 例4.24-25八年级下黑龙江牡丹江期末)列图形中，表示一次函数y三+b与正比例函数y公k,方 为常数，且kb≠0)的图象是() VA A. 【变式4-1】(24-25八年级上·上海期末)如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y=x-k和y=x的 图象可能是() 3/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式4-2】(24-25八年级下·云南丽江期末)下列表示一次函数y=x+b(k,b是常数，且kb≠0)的图 象与正比例函数y=bx的图象可能的是() 类型五、求一次函数的表达式 先明确一次函数形式为y=+b(k≠0)。若己知两点坐标，用待定系数法，将两点代入表达式列方程 组，求解k、b。若已知图象与y轴交点，可直接得b值，再结合另一条件求k。若涉及实际应用，先分析 变量间的线性关系，确定k(斜率，如变化率)和b(初始值)，再代入验证。解题时注意≠0的限制， 计算方程组时仔细核对，确保表达式准确。 例5.(24-25八年级下·河北沧州期末)己知y与x成正比例，当x=-1时，y=4. (I)求y与x之间的函数关系式： (2)请判断点A(-2,6)是否在这个函数的图像上，并说明理由； (3)如果P(m,),Q(m+1,y2)是这个函数图像上的两点，请比较片与的大小. 【变式5-1】(24-25八年级下广西来宾期末)已知y+2与x成正比，且x=2时，y=6. (1)求y关于x的函数表达式： ②当x=-4时，求y的值： 4/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)将所得函数的图象平移，使它过点(-2,1，求平移后图象的表达式。 【变式5-2】(23-24八年级上甘肃兰州期末)如图所示，点A的坐标为(-1,0)，点B的坐标为0,4). (I)求过A,B两点直线的函数表达式； (2)过点B作直线BP与x轴交于点P,且使OP=2OA,求△ABP的面积. 【变式5-3】(23-24八年级下河北石家庄·期末)如图，在平面直角坐标系中，点A(2,m)在直线y=4x-5上， 过点A的另一条直线交y轴于点B(0,6). =4x-5 0 (I)求直线AB的函数表达式. (2)求ABC的面积 (3)若点P(t,乃)在线段AB上（可与点A,B重合），点Q(t-1,y2)在直线y=4x-5上，求片-2的最小值. 类型六、画一次函数的图象 画 次函数y=a+b(neq0)的图象，核心用两点法，步骤清晰且高效。 1.找关键两点：优先选与坐标轴交点，计算简单一一与y轴交点为(0，b)(直接代入x0求y);与x轴交 点为(，0)（代入y0解x)。若两点重合（如b=0的正比例函数），再额外取一个易算点，比如1，) 5/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.描点连线：在平面直角坐标系中准确标出两点，用直尺画直线（延伸至坐标轴外，体现直线无限延伸 的性质)。 注意：描点前检查坐标计算是否正确，连线时避免画成线段，确保图象符合一次函数“直线”的本质特 征。 例6.(24-25八年级下·福建泉州期末)在平面直角坐标系中，已知一次函数y=-2x+4,完成下列问题： y 5 4 3 2 1 -5-4-3-2-10 1 2345x 2 =3 =4 =5 (1)画出一次函数y=-2x+4的图象； (2)此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是 (3)将直线y=-2x+4沿y轴向下平移3个单位长度，求平移后的直线与x轴的交点坐标。 【变式6-1】(25-26八年级上，全国期末)如图，在平面直角坐标系中，己知点A,B的坐标分别是 (2,-2),-1,3),作点A关于x轴的对称点A,点B关于y轴的对称点B. 4 3 2 1 -4-3-2-10 1 23 4 L- --2 =4 (1)请按要求作点A,B,,并直接写出点A,B,的坐标： (2)顺次连接A,B,O三点，得到△A,B,O,求出△A,B,O的面积； (3)在x轴上找一点M,使得A,M+BM的值最小，请在图中标出点M,并求出点M的坐标. 【变式6-2】(24-25八年级下河南安阳·期末)问题：探究函数y=-x+4的图象与性质.数学兴趣小组根 据学习一次函数的经验，对函数y=-x+4的图象与性质进行了探究. 6/11 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ()在函数y=-x+4中，自变量x可以是任意实数，如表是y与x的几组对应值 3 -2 0 2 0 ①表格中a的值为 ②若(b,-6)为该函数图象上的点，则b= (②)在平面直角坐标系中，描出上表中的各点，画出该函数的图象 5 3 1 5-4-3-2-101 2345x 2 (3)结合图象回答下列问题： ①函数的最大值为 ②写出该函数的一条性质： 压轴专练 一、单选题 1.(24-25八年级下湖南长沙期末)下列式子中y不是x的函数的是() A.y=5-4x B.y=x2 C.y=2x+1 D.y2=-3x 2.(25-26八年级上·湖南张家界·期末)直线y=3x-6与x轴的交点坐标是() A.（2,0) B.(0,2 C.(0,6 D.（6,0 3.(2425八年级上安徽合肥期末)一次函数y=+m的图象过点(x,小，任-2，，则%和5的大 7/11 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 小关系是() A.片<2 B.y=y2 C.y>y2 D.无法确定 4.(24-25八年级下·陕西商洛期末)已知一次函数y=x+b(k,b为常数，且k≠0)的图象经过点 (2,-3),（-1,3),则下列关于一次函数y=x+b的说法错误的是() A.图象经过点(0,1 B.y随着x的增大而减小 C.图象可以由直线y=-2x+3平移得到D.图象经过第一、三、四象限 5.(25-26八年级上福建三明期中)如图，直线)=-}x+3分别与x、y轴交于A、B两点，点C在线段 OA上，线段OB沿BC翻折，点0落在4B边上的点D处，以下结论：①4B=5:②点C的坐标为3,0 ③直线BC的解析式为y=-2x+3;④点D的坐标为 126 55 正确的有() A.①②③ B.①③ C.①④ D.①③④ 二、填空题 6.(24-25八年级下湖南长沙期末)若点A(3,a是直线y=3x+1上一点，则a的值是 7.（2425八年级下甘肃武威期末)一次函数y=号x+1的图象向上平移3个单位长度后，所得图象的解 析式为一 8.(24-25八年级上全国期末)如图，直线y=二x+4与x轴，y轴分别交于A,B两点，把A0B绕点B 逆时针旋转90°后得到△A0,B,则点A的坐标是一 8/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 9.(24-25八年级下，吉林期末)定义：我们把一次函数y=kx+b(k≠0)与正比例函数y=x的交点称为一次 函数y=x+b(k≠0)的“不动点”.例如求y=2x-1的“不动点”；联立方程 y=2x-1 x=1 y=x y=2x-1的“不动点”为1,1.若一次函数y=mx+n的“不动点”为(2，n-1),则n=;N= 1 0(2425八年级下湖北武汉期末)已知直线y=-x+2b与直线y=了x+b交于点A,直线 y=kx-4k(k≠0)经过定点B. (1)点B的坐标是： (2)若点A到直线y=kx-4k(k≠0)的距离是定值，则这个定值是」 三、解答题 11.(25-26八年级上·湖南张家界·期末)已知y是x的一次函数，且当x=4时，y=9;当x=6时，y=-1. (1)求这个一次函数的表达式； (2)当x=5时，求y的值. 12.(23-24八年级下·贵州黔东南·期末)己知一次函数y=x+b的图象经过点(1,2)和点(-1,4). 6 5 2 -6-5-4-3-2-10 123456x (1)求这个函数的解析式： (2)在平面直角坐标系x0y中，画出函数图象； (3)当-1≤x<3时，求出y的取值范围. 13.(23-24七年级上山东泰安期末)如图，直线过点A(0,4),点D(4,0),直线2：y=mx+1与x轴交于 点C,两直线4，Z相交于点B(2,n). 9/11 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B D (1)求直线的解析式和m、的值； (2)求ABC的面积. 14.（24-25八年级下·云南红河期末)如图，在平面直角坐标系x0y中，点A,B的坐标分别为(2,0)，(0,4) B (I)求直线AB的函数解析式： (2)求AB的长： (3)若P为坐标轴上一点，使△PAB是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标 15.(24-25八年级下·广西河池期末)综合与探究如图，平面直角坐标系中，一次函数y=-。x+5的图象 与x轴、y轴分别交于点A,B,点F是线段AB上的一个动点（不与A,B重合），连接OF,设点F的横坐 标为x. B 备用图 (1)直接写出A,B两点的坐标： (②)求△OAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； ③)当△04F的面积S=)SoB时， 2 10/11