期末专题06 分式方程及其应用含参数问题的六类综合题型（压轴题专项训练）数学人教版2024八年级上册

品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 期末专题06分式方程及其应用含参数问题的七类综合题型 目录 典例详解 类型一、分式方程的定义 类型二、解分式方程 类型三、分式方程无解与增根问题 类型四、已知方程的根的情况求参数的取值范图 类型五、分式方程的实际应用 类型六、与分式方程有关的规律性问题 类型七、与分式方程有关的新定义型问题 压轴专练 典例详解 类型一、分式方程的定义 1. 抓住核心定义 分式方程的定义是：分母中含有未知数的方程。判断时只看形式，不必关心是否有解。 2.与分式区分 分式是一个代数式，没有等号；分式方程必须是等式。 3.识别与整式方程的区别 整式方程分母中不含未知数。分式方程求解必须检验，因为去分母可能产生增根。 例1.(24-25八年级下·上海普陀期末)下列关于x的方程中，属于整式方程的是（) 2 A.V2-x2=0 B.子1-0 c.-1=0 D.Vx+2=0 【变式1-1】(24-25七年级上上海普陀期末)下列方程中，不是分式方程的是() A.3x+1_5x+3B.x+1-2 C.-5x=1 D.5c+3=7 3 6 7x 【度式1212425八年缓上山东成海期中)已年方径①2：@2，®y子，④：⑤ 2 -1子：©1：x-2小7-，是分式方程的是《) A.①②③④⑤B.②③④ C.②④⑤ D.②④ 1/10 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 类型二、解分式方程 1.去分母化整式方程 找到方程中所有分母的最简公分母(LCD),方程两边同时乘以该公分母，将分式方程转化为整式方程。 注意：两边每一项都要乘，分子是多项式时要加括号。 2.解整式方程并验根 解转化后的整式方程，求出未知数的值。这是最关键的一步，必须将所得解代入原分式方程的最简公 分母中进行检验。若使公分母为零，则为增根，必须舍去。 3.规范书写结论 验根后，只保留使公分母不为零的解，并写出“经检验，…是原方程的解（或根）”。若所有解都是增 根，则结论为“原方程无解”。 例2.(25-26八年级上河南信阳·期末)解下列方程： +7x1: 22x+,1-3. x-11-x 【变式2-1】(25-26八年级上·天津期末)解方程： 2+x=1 0x-1x1 21=}x-3 x-22-x 【变式2-2】(25-26八年级上重庆月考)解下列分式方程： 3 0x11=x-10x+2 (②)+11-x2.3 x-2x2-42-x 类型三、分式方程无解与增根问题 1.明确“无解的含义 “无解”指方程没有任何能使等式成立的值。包含两种情况：①转化后的整式方程本身无解；②整式方 程的解全是增根（使原方程公分母为零）。 2.增根产生的根源 增根源于去分母时两边同乘的整式（最简公分母）可能为零。因此，求出整式方程的根后，必须将其 代入最简公分母检验：若为零，则为增根；若不为零，则是原方程的解。 3.分类讨论求参数 2/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 当方程含参数且已知无解或有增根时，先按常规解方程，用参数表示解。再令该解使公分母为零，解 出参数值；同时，若转化后的整式方程（如一元一次方程）系数导致无解（如Ox=非零数），也需考虑此 情况。两者结合。 例3.2425八年级上湖南永州期未)关于x的方程2x+1-,m+1有增根，则增根是 x-33-x 【变式31】(2425八年级上黑龙江七台河期末)若关于x的方程+4 =1无解，则a的值是 x-2x-2 【变式3-2】(2425八年级上全国期末)已知关于x的分式方程”。=3-“无解，则a的值 x-2x-2 为 类型四、已知方程的根的情况求参数的取值范围 1.先解出用参数表示的根 将分式方程转化为整式方程，并求解该整式方程，用参数（如字母m)表示出未知数x的解。这是讨 论的基础。 2.分析根的情况并列出条件 根据题目要求（如“有正数解”、“无解”、“有增根”等）列出条件： 有解：需满足该解不是增根，即代入原方程最简公分母不为零。 无解：要么整式方程无解（如出现矛盾等式），要么整式方程的解全是增根。 有增根：令最简公分母为零，解出使分母为零的x值，再令x=f(m)等于该值，解出参数m。 3.综合条件求范围并检验 将所有列出的条件（不等式或方程）联立，求出参数m的取值范围或具体值。最后，建议选取范围内 外的典型值回原方程检验，确保逻辑准确无误。 例4.(2425八年级上重庆永川期末)若分式方程，-1=m x+1 1-x”有正数解，则m的取值范围 为 【变式41】(24-25七年级上上海期末)如果关于x的方程-1+2-x=2x+ x-2x+1x2-x-2 的解为负数，那么a的 取值范围是 【变式42】(23-24八年级上新疆乌鲁木齐期末)若关于x的分式方程-4-@ x-22-x 有正整数解，则整数k 为 3/10 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 类型五、分式方程的实际应用 1.审清题意，合理设元 仔细读题，明确未知量。通常设所求量为未知数（如速度、时间、数量），并注意单位统一。若涉及 多个量，可用一个未知数表示其他量。 2.抓住核心等量关系列方程 找出题目中“相等”、“相同”等关键词对应的等量关系（如工作总量相等、时间相等）。利用基本公 式（速度=路程/时间、效率=工作总量/时间）列出分式方程。注意辨别是直接设还是间接设未知数更简 便。 3.规范求解，双重检验 解方程步骤完整，必须验根：既要检验是否为增根（使分母为零），又要检验是否符合实际意义（如 速度、时间不能为负数，人数必须为正整数等)。最后明确写出答案。 例5.(24-25八年级下·云南红河·期末)某快递转运中心采用A,B两种型号的机器人分拣快递，A型机器人 比B型机器人每小时多分拣300件快递，A型机器人分拣9000件快递所用时间与B型机器人分拣6000件 快递所用时间相等，两种机器人每小时分别分拣多少件快递？ 【变式5-1】(24-25八年级下·陕西咸阳·期末)某生态农场计划引进黑松露和羊肚菌两种珍稀食用菌进行培 育，已知每公斤黑松露的培育成本比每公斤羊肚菌的培育成本高300元，且用6000元培育的黑松露质量与 用3600元培育的羊肚菌质量相同. ()求黑松露、羊肚菌每公斤的培育成本分别为多少元？ (②)该农场决定在总成本不超过54900元的前提下培育这两种菌类，若培育羊肚菌的质量比黑松露的2倍少10 公斤，求最多能培育黑松露多少公斤？ 【变式5-2】(24-25八年级上湖北荆州期末)下面是嘉淇学习了“分式方程的应用”后所作的课堂学习笔记， 请认真阅读并解决相应的问题。 题耳松滋作为“柑橘之乡”，柑橘产业蓬勃发展，今年，松滋某柑橘种植园迎来大丰收，现计划将一批柑橘 用载重量相同的大、小两种货车同时运往外地销售，该种植园共有350吨柑橘待运，已知满载时，大货车 每辆运输量比小货车多15吨，每辆大货车运完50吨柑橘的次数与每辆小货车运完20吨柑橘的次数相 同.求大货车、小货车每辆每次运输柑橘各多少吨？ 方法 分析问题 列出方程 设. 解法一 等量关系：大货车运输50吨柑橘的次数与小货车运输20吨柑橘的次数 50-20 x+15x 相同. 4/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 设… 解法二 5020 =15 等量关系：大货车每辆每次运输量-小货车每辆每次运输量=15 xx (1)解法一所列方程中的x表示 (填序号)，解法二所列方程中的x表示 (填序号)：①小 货车每辆运输x吨；②大货车每辆运输x吨；③一辆大货车运输完50吨需x次. (2)请你选择其中的一种解法，解方程并解决题目中提出的问题， (3)己知大货车运输费用为每吨30元，小货车运输费用为每吨10元，若要一次性全部运完这批柑橘，且运 输的总费用不超过10000元，至少需要安排几辆小货车？ 类型六、与分式方程有关的规律性问题 1.从特例入手，观察归纳 先依次计算或写出前几个简单特例（如=1,2,3时对应的方程及其解）。观察方程结构、解的形式（数 值或表达式)变化的规律，进行初步猜想。 2.将猜想一般化，用代数式表示 将观察到的规律用含n的代数式表示出来，写出第n个方程及其猜想解。这通常涉及对分式结构的通 项表示，需要准确把握分子、分母与序号n的关系。 3.代入通项验证规律，得出结论 将猜想的第个方程按照解分式方程的标准步骤（去分母、解整式方程、检验）进行求解。验证得到 的结果是否与猜想解一致。若一致，则规律成立，并写出最终结论。 例6.(24-25七年级下·浙江绍兴·期末)先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程x+士2+的解为(=2，名=行：方程x+上3+兮的解为=3，x 1 1 3 Q根据上面的规律，猜想x+=a+】的解为； 回利用1》中的结论，将方程+生了变形为*上a+的形式并求解， 1 1 (③)解方程：x+2x+313 x+13 【变式6-1】(24-25九年级上陕西期末)解方程： 012 x+1x+1 -1的解x=一 ②24 x+1x+1 -1的解x=一· ③36-1的解x= x+1x+1 5/10 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ④4 8 -1的解x= x+1x+1 (1)根据你发现的规律直接写出⑤，⑥个方程及它们的解； (②)请你用一个含正整数n的式子表示上述规律，并求出它的解 【变式6-2】2425八年级下湖北十堰期末)下列一组方程：①x+k3=4,②x+24=6; ③x+35-=8, 小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解，解答过程如下： 由Ox+1X3=1+3,得x=1或x=3; 由②x+24=2+4,得x=2或x=4; 由3x+3x5=3+5,得x=3或x=5. (1)请写出第4个方程，并按照小明的解题思路求出该方程的解， (②)若n为正整数，请写出第n个方程及其方程的解. 3)若n为正整数，关于x的方程r+n(n+2 =2n+1的一个解是x=5,求n的值. x+1 类型七、与分式方程有关的新定义型问题 1.仔细阅读，将新运算“翻译”化 准确理解新定义（如“伴随方程”、“衍生解”）的具体规则，并用数学语言重新表述。通常需要将定义 中涉及的操作，逐步“翻译”为解常规分式方程的步骤（如去分母、移项等）。 2.严格按新规则分步执行 在解题（如求新定义下的解、判断性质）时，必须严格遵循定义中的每一步操作，不可跳步或混用引旧 规则。建议先按定义写出完整的方程式或表达式，再按标准步骤求解。 3.检验结果是否符合定义 求出结果后，需代入原定义框架进行验证：一方面检验是否满足新定义的所有条件（如解的范围限 制)，另一方面需判断该解在原方程或相关表达式中是否有效（如是否使分母为零），确保答案的完备性。 例7.(24-25八年级上山西吕梁期末)定义新运算：对于非零的两个实数口，b,规定a⊕b=11, 6。,如 2⊕3=111 326 (1)求2⊕(-6)的值； 6/10 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2计算-4x+4B-2x x-2 x+2 (3)若-3⊕(2x-1)=2,求x的值. 【变式7-1】(24-25八年级下·山东枣庄期末)新定义：如果两个实数a,b使得关于x的分式方程+1=b 的解是x= a+b成立，那么我们就把实数a,方组成的数对a,b]称为关于x的分式方程+1=6的一个关联 1 数对、例如：a=2,6=-5使得关于x的分式方程+1=-5的解是x2+53成立，所以数对-可列 11 就是关于x的分式方程+1=b的一个“关联数对” (①)下列数对是关于心的分式方程“+1=b的“关联数对”有 ·(填字母) A.[-2,4];B.[3,-5] ②若数对儿古”是关于：的分式方程1=的关联数对，说m的值。 【变式7-2】(23-24八年级上·北京平谷期末)阅读理解 定义：若分式A和分式B满足A-B=n(n为正整数)，则称A是B的“n差分式”， 例如： 3x3,=3,我们称 x-1x-1 是的装分式 解答下列问题： 0分式是分式产的差分式 回分式4品是分式B的2差分式 ①C=_(含x的代数式表示)： ②若A的值为正整数，x为正整数，求A的值. )已知=1，分式-3是-+的4差分式”（其中y为正数，求x-y的值。 y 压轴专练 一、单选题 7/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 k-1 1.(24-25八年级上湖南湘西·期末)x=3为分式方程 =3的解时，k的值为() x-1 A.5 B.6 C.7 D.8 2®425八年级上湖南配阳期未关于x的方程无解，则0取值为() A.1或-2 B.±1 C.±2 D.-1或2 3.(24-25七年级下浙江期未)若关于：的分式方程+a-1=3有增根，则实数a的值为() x-1 A.-2 B.-1 C.0 D.1 4.(24-25九年级上·山东枣庄·期末)某校组织全体党员赴革命老区开展“重走红军路，感悟革命精神的党 员主题实践活动，全程80千米，学校通知上午七点整大家乘大巴车前往目的地，因堵车大巴车晚到，推迟 了10分钟出发，途中大巴车平均每小时比原计划多走20%，结果正好按原计划到达目的地.设大巴车原计 划的平均速度为x干米/时，则可列方程为() 8080 10 80 80 10 A. x(1-20%)x60 B. x(1+20%)x60 8080 80 80 10 C.x(1+206)x +10 D. x(1+20%)x60 5.(2324八年级上江西宜春期末)现定义一种新的运算a©66+5，例如4⊕1=+5=2，若关于x a-1 4-1 的方程x©(2x-m)=3的解为非负数，则m的取值范围为() A,m≤8 B.m≤8且m≠7C.m≥-2且m≠7D.m≥-2 二、填空题 6.(2425八年级下辽宁沈阳期末)分式方程的3-于+，x.=1的解为 x-22-x .(2425八年级下江苏镇江期末)关于x的分式方程无解，则m 8,《2425八年级下广东梅州期未)若分式方程3”有增表，则m等于一 x-1x-1 9.(24-25七年级下浙江金华期未)若分式方程，=6-的解为正整数，则整数m的值为 x-1 1-x m-n’这里等式右 1 10.(24-25八年级下山东枣庄·期末)对于实数m,n,定义一种新运算“※”为m必n= 边无实数运第，例：232号则方程()1的解为一 8/10 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 三、解答题 11,(24-25八年级上·重庆江北期末)解分式方程： ①18 x-4x2-169 (②)x,+1=、3x +1 2x+2 12.(24-25八年级上湖北咸宁期末)赤壁青砖茶拥有300多年的历史，其制作工艺复杂，色泽青褐，内质 香气纯正，滋味醇和，汤色橙红明亮，口感风味独特.茶厂计划制作3000个“青砖茶”摆件进行网上销售， 为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务，问原计划平均每 天制作多少个“青砖茶”摆件？ 13.(24-25七年级上浙江绍兴期末)已知α，b均为不等于0的实数，我们定义新运算“※”： ※6=上+1.例：2※1=+1-1. a b ab 2'12×1 (①)验证新运算“※”是否满足乘法交换律？若满足，请写出推导过程；若不满足，请举反例说明. (2)计算：2024※2025. (⊙)当a-2时，若※x,尝试求出x的值。 14.(24-25七年级下安徽六安期末)关于x的方程1+2=1-a x-2 2-x (1)当k=3时，求该方程的解； (②)若该方程无解，求k的值。 15,(23-24八年级上湖南怀化期末)定义：若分式A与分式B的差等于它们的积，即A-B=AB,则称分 1与x+2,因为11 式B是分式A的可存异分式”，如1，与1。 1 x+1x+2(x+10(x+2)’ 11 12=+2)所以x十2是x+1的可存异分式 (①填空：①分式，1 +2 分式，的可存异分式”（填"是”或不是： ②分式4的可存异分式”是 ②已知分式x+3是分式4的可存异分式 3x+3 9/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ①求分式A的表达式： ②求整数x为何值时，分式A的值是正整数，并写出分式A的值 16.(24-25八年级上湖南长沙期末)定义：若分式P与分式Q的差等于它们的积，即P-Q=P2，则称分 式Q是分式P的“互动分式”. (I)判断下列分式Q是否为分式P的“互动分式”（若“是”，填“√”；若“不是”，填“×”， 2a+3”Q20+4)②P之 ①P= 1 a·922@2 a2+2 ②小益在球分式)的互动分式时，用了以下方法：设了的互动分式为N,则 1 1 1 F+1=1 .1 +1Vx+,N=+请你仿照小益的方法求分式 1 -N= x+y2 ×N, x-+y x+y 一》的互动分式”： 2x+3y 间法如骨是加风是豆动分式，且关于y伯方程号，。4怕解为正k数，为正聚数，求代数式 mx+n mx+m r2+x+n的最大值. 10/10 期末专题06 分式方程及其应用含参数问题的七类综合题型 目录 典例详解 类型一、分式方程的定义 类型二、解分式方程 类型三、分式方程无解与增根问题 类型四、已知方程的根的情况求参数的取值范围 类型五、分式方程的实际应用 类型六、与分式方程有关的规律性问题 类型七、与分式方程有关的新定义型问题 压轴专练 类型一、分式方程的定义 1. 抓住核心定义 分式方程的定义是：分母中含有未知数的方程。判断时只看形式，不必关心是否有解。 2. 与分式区分 分式是一个代数式，没有等号；分式方程必须是等式。 3. 识别与整式方程的区别 整式方程分母中不含未知数。分式方程求解必须检验，因为去分母可能产生增根。 例1．（24-25八年级下·上海普陀·期末）下列关于的方程中，属于整式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式方程的定义，解题关键是理解整式方程的定义． 根据整式方程的定义，需逐一分析各方程再作判断． 【详解】解：是整式方程，故A符合； 不是整式方程，故B不符合； 不是整式方程，故C不符合； 不是整式方程，故D不符合， 故选：A． 【变式1-1】（24-25七年级上·上海普陀·期末）下列方程中，不是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的定义，分母中是否含有未知数的方程叫做分式方程，据此可得答案． 【详解】解；由分式方程的定义可知，四个选项中，只有A选项中的方程是分式方程， 故选：A． 【变式1-2】（24-25八年级上·山东威海·期中）已知方程：①；②；③；④；⑤；⑥，是分式方程的是（    ） A．①②③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②④ 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的概念：分母中含有字母的方程，根据此概念进行判断即可． 【详解】解：②④⑤是分式方程，①⑥是一元一次方程，③是二元一次方程； 故选：C． 类型二、解分式方程 1. 去分母化整式方程 找到方程中所有分母的最简公分母（LCD），方程两边同时乘以该公分母，将分式方程转化为整式方程。注意：两边每一项都要乘，分子是多项式时要加括号。 2. 解整式方程并验根 解转化后的整式方程，求出未知数的值。这是最关键的一步，必须将所得解代入原分式方程的最简公分母中进行检验。若使公分母为零，则为增根，必须舍去。 3. 规范书写结论 验根后，只保留使公分母不为零的解，并写出“经检验，…是原方程的解（或根）”。若所有解都是增根，则结论为“原方程无解”。 例2．（25-26八年级上·河南信阳·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解分式方程，注意要检验，熟练掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键． （1）通过去分母，把分式方程化成整式方程，求解整式方程，再把解代入最简公分母检验即可； （2）通过去分母，把分式方程化成整式方程，求解整式方程，再把解代入最简公分母检验即可． 【详解】（1）解：去分母，得． 去括号，得． 解得． 经检验，是分式方程的解． （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 解得， 经检验，是分式方程的解． 【变式2-1】（25-26八年级上·天津·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)无解． 【分析】本题考查了解分式方程． （1）两边都乘以化为整式方程，求解后检验即可； （2）两边都乘以化为整式方程，求解后检验即可． 【详解】（1）解：， ， 两边都乘以，得： ， ， ， 检验：当时，， ∴为原方程的根； （2）解：， ， 两边都乘以，得： ， ， ， ， 检验：当时，， ∴为原方程的增根， ∴原方程无解． 【变式2-2】（25-26八年级上·重庆·月考）解下列分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1)无解 (2) 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤，是解题的关键． （1）先去分母，变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可； （2）先去分母，变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】（1）解： 去分母得：， 解整式方程得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解； （2）解： 去分母得：， 解整式方程得：， 把代入得：， ∴是原方程的根． 类型三、分式方程无解与增根问题 1. 明确“无解”的含义 “无解”指方程没有任何能使等式成立的值。包含两种情况：①转化后的整式方程本身无解；②整式方程的解全是增根（使原方程公分母为零）。 2. 增根产生的根源 增根源于去分母时两边同乘的整式（最简公分母）可能为零。因此，求出整式方程的根后，必须将其代入最简公分母检验：若为零，则为增根；若不为零，则是原方程的解。 3. 分类讨论求参数 当方程含参数且已知无解或有增根时，先按常规解方程，用参数表示解。再令该解使公分母为零，解出参数值；同时，若转化后的整式方程（如一元一次方程）系数导致无解（如0x=非零数），也需考虑此情况。两者结合。 例3．（24-25八年级上·湖南永州·期末）关于的方程有增根，则增根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的增根，熟练掌握增根的定义是解题的关键． 先明确增根的定义，即分式方程化为整式方程后，使原分式方程分母为的根，然后据此求解． 【详解】解：分式方程的分母为和，． 令分母， 解得． 故答案为：． 【变式3-1】（24-25八年级上·黑龙江七台河·期末）若关于x的方程无解，则a的值是 ． 【答案】1或 【分析】将分式方程转化为整式方程，然后根据整式方程中x的系数为零时方程无解及分式方程的分母为零时方程无解两种情况确定a的值． 本题考查分式方程的解，掌握分式方程无解情况下字母的取值是解题的关键． 【详解】解：， 原方程去分母，得：， ， 当，即时，原分式方程无解， ， 解得：， 当时，无解，即原分式方程无解， ， 综上，a的值为或1， 故答案为：或 【变式3-2】（24-25八年级上·全国·期末）已知关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的无解问题，熟练掌握解分式方程的基本步骤是解题的关键．先把分式方程化为整式方程，解得，再由原分式方程无解，可得，即可求解． 【详解】解： 去分母得：， 解得：， ∵原分式方程无解， ∴，即， ∴， 解得：． 故答案为：． 类型四、已知方程的根的情况求参数的取值范围 1. 先解出用参数表示的根 将分式方程转化为整式方程，并求解该整式方程，用参数（如字母 m）表示出未知数 x的解。这是讨论的基础。 2. 分析根的情况并列出条件 根据题目要求（如“有正数解”、“无解”、“有增根”等）列出条件： 有解：需满足该解不是增根，即代入原方程最简公分母不为零。 无解：要么整式方程无解（如出现矛盾等式），要么整式方程的解全是增根。 有增根：令最简公分母为零，解出使分母为零的x 值，再令x = f(m) 等于该值，解出参数 m。 3. 综合条件求范围并检验 将所有列出的条件（不等式或方程）联立，求出参数m的取值范围或具体值。最后，建议选取范围内外的典型值回原方程检验，确保逻辑准确无误。 例4．（24-25八年级上·重庆永川·期末）若分式方程有正数解，则的取值范围为 ． 【答案】且 【知识点】求一元一次不等式的解集、根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了分式方程的解、一元一次不等式的解集，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．将分式方程化为整式方程，解得，再利用原方程的解为正数，得到且，解不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：， 去分母得，， 解得：， 分式方程有正数解， 且， 且， 且且， 且． 故答案为：且． 【变式4-1】（24-25七年级上·上海·期末）如果关于x的方程的解为负数，那么a的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】解分式方程、根据分式方程解的情况求值、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程方法步骤，根据解的取值范围，确定字母系数的取值范围，是解决问题的关键． 去分母解所得整式方程，根据方程的解为负数与分母不为0，解不等式，即得． 【详解】两边都乘以最简公分母， 得， 解得， ∵方程的解为负数， ∴且 ，， 解得且． 故答案为：且． 【变式4-2】（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）若关于的分式方程有正整数解，则整数为 ． 【答案】0或3/3或0 【知识点】解分式方程、根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了分式方程的解，难点在于对所求出的k的值进行检验，必须使分式方程有意义． 方程两边都乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程求出x的表达式，再根据x是正整数且k是整数，求出k，然后进行检验即可． 【详解】解：， 去分母得：， 解得：， ∵分式方程有正整数解，k是整数， ∴或或， 解得或1或3， 当时，， 解得，此时，符合题意； 当时，， 解得，此时，不合题意，舍去； 当时， 解得，此时，符合题意； 所以或3． 故答案为：0或3． 类型五、分式方程的实际应用 1. 审清题意，合理设元 仔细读题，明确未知量。通常设所求量为未知数（如速度、时间、数量），并注意单位统一。若涉及多个量，可用一个未知数表示其他量。 2. 抓住核心等量关系列方程 找出题目中“相等”、“相同”等关键词对应的等量关系（如工作总量相等、时间相等）。利用基本公式（速度=路程/时间、效率=工作总量/时间）列出分式方程。注意辨别是直接设还是间接设未知数更简便。 3. 规范求解，双重检验 解方程步骤完整，必须验根：既要检验是否为增根（使分母为零），又要检验是否符合实际意义（如速度、时间不能为负数，人数必须为正整数等）。最后明确写出答案。 例5．（24-25八年级下·云南红河·期末）某快递转运中心采用两种型号的机器人分拣快递，A型机器人比B型机器人每小时多分拣300件快递，A型机器人分拣9000件快递所用时间与B型机器人分拣6000件快递所用时间相等，两种机器人每小时分别分拣多少件快递？ 【答案】A型机器人每小时分拣900件，B型机器人每小时分拣600件 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，依据题意，正确建立分式方程是解题关键． 设B型机器人每小时分别分拣x件快递，则A型机器人每小时分拣件快递，根据题意建立方程，然后求解即可． 【详解】解：设B型机器人每小时分别分拣x件快递，则A型机器人每小时分拣件快递， 则， 解得：， 经检验是原方程的解， ∴A型机器人每小时分拣件快递， 答：A型机器人每小时分拣900件，B型机器人每小时分拣600件． 【变式5-1】（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）某生态农场计划引进黑松露和羊肚菌两种珍稀食用菌进行培育．已知每公斤黑松露的培育成本比每公斤羊肚菌的培育成本高300元，且用6000元培育的黑松露质量与用3600元培育的羊肚菌质量相同． (1)求黑松露、羊肚菌每公斤的培育成本分别为多少元？ (2)该农场决定在总成本不超过54900元的前提下培育这两种菌类，若培育羊肚菌的质量比黑松露的2倍少10公斤，求最多能培育黑松露多少公斤？ 【答案】(1)羊肚菌每公斤的培育成本为450元，黑松露每公斤的培育成本为750元 (2)最多能培育黑松露36公斤 【分析】本题考查分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，读懂题意是解题关键； （1）设羊肚菌每公斤的培育成本为元，则黑松露每公斤的培育成本为元，根据题意列出方程，解方程即可； （2）设能培育黑松露公斤，则培育羊肚菌的质量为公斤，根据题意列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设羊肚菌每公斤的培育成本为元，则黑松露每公斤的培育成本为元， 根据题意得，，解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴． 答：羊肚菌每公斤的培育成本为450元，黑松露每公斤的培育成本为750元． （2）设能培育黑松露公斤，则培育羊肚菌的质量为公斤． 由题意得，，解得， 又∵，∴， ∴的最大值为36 答：最多能培育黑松露36公斤． 【变式5-2】（24-25八年级上·湖北荆州·期末）下面是嘉淇学习了“分式方程的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并解决相应的问题． 题目：松滋作为“柑橘之乡”，柑橘产业蓬勃发展．今年，松滋某柑橘种植园迎来大丰收，现计划将一批柑橘用载重量相同的大、小两种货车同时运往外地销售．该种植园共有350吨柑橘待运．已知满载时，大货车每辆运输量比小货车多15吨，每辆大货车运完50吨柑橘的次数与每辆小货车运完20吨柑橘的次数相同．求大货车、小货车每辆每次运输柑橘各多少吨？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…… 等量关系：大货车运输50吨柑橘的次数与小货车运输20吨柑橘的次数相同． 解法二 设…… 等量关系：大货车每辆每次运输量小货车每辆每次运输量 (1)解法一所列方程中的x表示________（填序号），解法二所列方程中的x表示________（填序号）；①小货车每辆运输x吨；②大货车每辆运输x吨；③一辆大货车运输完50吨需x次． (2)请你选择其中的一种解法，解方程并解决题目中提出的问题． (3)已知大货车运输费用为每吨30元，小货车运输费用为每吨10元，若要一次性全部运完这批柑橘，且运输的总费用不超过10000元，至少需要安排几辆小货车？ 【答案】(1)①；③ (2)解法一：；解法二：；大货车每次运输柑橘吨，小货车每次运输柑橘10吨 (3)至少需要安排5辆小货车 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，解题的关键在于根据题意建立方程和不等式． （1）根据所列方程分析即可； （2）根据解分式方程步骤求解，进而得出大货车、小货车每辆每次运输柑橘的吨数，即可解题； （3）设安排y辆小货车，则安排辆大货车．根据“运输的总费用不超过10000元”建立不等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：根据所列方程可知，解法一所列方程中的x表示①小货车每辆运输x吨； 解法二所列方程中的x表示③一辆大货车运输完50吨需x次； 故答案为：①；③． （2）解法一： 方程两边同乘， 得， 解得，检验，当时，， 所以，为原分式方程的解．            ∴大货车每次运输柑橘吨，小货车每次运输柑橘10吨．       解法二： 方程两边同乘x，得：， 解得， 检验，当时，， 所以，为原分式方程的解．        ∴大货车每次运输柑橘吨，小货车每次运输柑橘吨． （3）解：设安排y辆小货车，则安排辆大货车． 根据题意得：，          解得：；    ∵y，为整数， 又， y为的倍数， y的最小值为5， 答：至少需要安排5辆小货车． 类型六、与分式方程有关的规律性问题 1. 从特例入手，观察归纳 先依次计算或写出前几个简单特例（如 n=1, 2, 3 时对应的方程及其解）。观察方程结构、解的形式（数值或表达式）变化的规律，进行初步猜想。 2. 将猜想一般化，用代数式表示 将观察到的规律用含 n 的代数式表示出来，写出第 n 个方程及其猜想解。这通常涉及对分式结构的通项表示，需要准确把握分子、分母与序号 n 的关系。 3. 代入通项验证规律，得出结论 将猜想的第 n 个方程按照解分式方程的标准步骤（去分母、解整式方程、检验）进行求解。验证得到的结果是否与猜想解一致。若一致，则规律成立，并写出最终结论。 例6．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为，；方程的解为，；．．．．．． (1)根据上面的规律，猜想的解为 ； (2)利用（1）中的结论，将方程变形为的形式并求解； (3)解方程：． 【答案】(1)，； (2)，， (3)，． 【分析】（1）仿照材料解方程，归纳总结得到结果； （2）先将原方程进行变形可得：，然后利用（1）的结论进行计算，即可解答； （3）先将原方程进行变形可得：，然后利用（1）的结论进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：根据上面的规律，猜想的解为：，． 故答案为：， （2）解：由， 得， ∴， ∴， 由（1）中法规律得方程的解为：， ； （3）解：由， 得， ∴， ∴， ∴， ∴，或， 解得，． 【点睛】本题考查了解分式方程，分式方程的解，规律型：数字的变化类，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【变式6-1】（24-25九年级上·陕西·期末）解方程： ①的解　 　． ②的解　 　． ③的解　 　． ④的解　 　． …… (1)根据你发现的规律直接写出⑤，⑥个方程及它们的解； (2)请你用一个含正整数n的式子表示上述规律，并求出它的解． 【答案】(1)第⑤个方程：解为第⑥个方程：解为 (2)第个方程：解为． 【分析】本题主要考查了解分式方程： （1）等号左边的分母都是，第一个式子的分子是1，第二个式子的分子是2，那么第5个式子的分子是5，第6个式子的分子是6．等号右边被减数的分母是，分子的等号左边的分子的2倍，减数是1，第一个式子的解是，第二个式子的解是，那么第5个式子的解是第6个式子的解是． （2）由（1）得第个式子的等号左边的分母是，分子是，等号右边的被减数的分母是，分子是，减数是1，结果是 【详解】（1）解：①的解． ②的解． ③的解． ④的解 …… ①，②，③，④ （1）第⑤个方程：的解为 第⑥个方程：的解为 （2）解：第个方程：的解为 方程两边都乘得 解得 检验：当时， ， ∴原方程的解为． 【变式6-2】（24-25八年级下·湖北十堰·期末）下列一组方程：①；②；③；…… 小明通过观察，发现了其中蕴含的规律，并顺利地求出了前三个方程的解，解答过程如下： 由①，得或； 由②，得或； 由③，得或． (1)请写出第4个方程，并按照小明的解题思路求出该方程的解． (2)若n为正整数，请写出第n个方程及其方程的解． (3)若n为正整数，关于x的方程的一个解是，求n的值． 【答案】(1)第4个方程为：，得或， (2)第个方程为：，得或， (3)或． 【分析】本题主要考查分式方程的解，解题的关键在于找对规律并计算正确． （1）根据前三个方程蕴含的规律求解，即可解题； （2）根据前三个方程蕴含的规律，写出第n个方程及其方程的解即可； （3）根据原方程得到方程的一个解是，再结合题干规律分析，即可得出n的值． 【详解】（1）解：根据题意可知，第4个方程为：， 得或， 经检验，或是该方程的解； （2）解：根据题意可知，第个方程为：，即； 得或， 经检验，或是该方程的解； （3）解：n为正整数，关于x的方程的一个解是， 即方程的一个解是， 则， 得或， 解得或． 类型七、与分式方程有关的新定义型问题 1. 仔细阅读，将新运算“翻译”化 准确理解新定义（如“伴随方程”、“衍生解”）的具体规则，并用数学语言重新表述。通常需要将定义中涉及的操作，逐步“翻译”为解常规分式方程的步骤（如去分母、移项等）。 2. 严格按新规则分步执行 在解题（如求新定义下的解、判断性质）时，必须严格遵循定义中的每一步操作，不可跳步或混用旧规则。建议先按定义写出完整的方程式或表达式，再按标准步骤求解。 3. 检验结果是否符合定义 求出结果后，需代入原定义框架进行验证：一方面检验是否满足新定义的所有条件（如解的范围限制），另一方面需判断该解在原方程或相关表达式中是否有效（如是否使分母为零），确保答案的完备性。 例7．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）定义新运算：对于非零的两个实数，，规定，如． (1)求的值； (2)计算． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查新定义运算，分式的混合运算，解分式方程： （1）根据列式计算即可； （2）根据及分式的混合运算法则计算； （3）将变形为分式方程，解方程即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：， ， ， ， ， ， ， ， 检验：当时，， ∴原分式方程的解是． 【变式7-1】（24-25八年级下·山东枣庄·期末）新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对” (1)下列数对是关于的分式方程的“关联数对”有________．（填字母） A．； B． (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． 【答案】(1)B (2)． 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，读懂题意，准确理解新定义，运用知识的迁移能力求解即可，理解“关联数对”的定义是解题的关键． （1）根据“关联数对”定义逐个计算判断即可得到答案； （2）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：当，时， 分式方程，解得， ， 不是“关联数对”； 当，时， 分式方程，解得， ， 是“关联数对”； 故答案为：B； （2）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”， ，， ， 解得， ， ， 解得． 【变式7-2】（23-24八年级上·北京平谷·期末）阅读理解: 定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“差分式”． 例如： 我们称 是 的“差分式”， 解答下列问题： (1)分式 是分式 的“ 差分式”． (2)分式 是分式 的“差分式”． ① （含的代数式表示）； ②若 的值为正整数，为正整数，求的值． (3)已知，分式 是 的“差分式”（其中为正数），求的值． 【答案】(1) (2)①；②的值为或 (3)的值为 【分析】本题主要考查定义新运算，分式的混合运算，乘法公式的运用， （1）根据材料提示进行计算即可求解； （2）根据“差分式”的计算方法可得，结合分式的混合运算即可求解； （3）根据“差分式”的计算方法可得，根据分式的混合运算，乘法公式的运算可得，结合，由此即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：①， ∴， 解得，； ②，为正整数， ∴当时，，则； 当时，，则； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，不符合题意，舍去； ∴的值为或； （3）解：， ，且， ∴， ∵为正整数， ∴， ∴的值为． 一、单选题 1．（24-25八年级上·湖南湘西·期末）为分式方程的解时，k的值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的解，解题的关键是将代入原方程中得到关于的方程． 将代入原方程即可求出的值． 【详解】解：将代入方程，得：， 解得：， 故选：C． 2．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）关于的方程无解，则取值为（　　） A．1或 B． C． D．或2 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程无解问题，理解分式方程无解为整式方程无解或分式方程出现增根两种情况是解决问题的关键．分式方程去分母转化为整式方程，再分整式方程无解和分式方程出现增根两种情况进行讨论，即可得出答案． 【详解】解：， 去分母得，， 整理得：， 当时，即，整式方程无解； 当，则， 若此时分式方程无解，则分式方程有增根， 即， 解得：； ∴关于的方程无解，则取值为1或． 故选：A． 3．（24-25七年级下·浙江·期末）若关于x的分式方程有增根，则实数a的值为（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的增根，分式方程的增根是使分母为零的解．原方程分母为和，故增根可能为或，将方程转化为整式方程后，解出的表达式，再代入可能的增根求解的值． 【详解】解： 去分母得，， 整理得，， 解得，， ∵关于x的分式方程有增根， ∴或， 当增根为，则，解得； 当增根为，则，方程无解，舍去； ∴综上所述，实数a的值为 故选：B． 4．（24-25九年级上·山东枣庄·期末）某校组织全体党员赴革命老区开展“重走红军路，感悟革命精神”的党员主题实践活动，全程80千米．学校通知上午七点整大家乘大巴车前往目的地，因堵车大巴车晚到，推迟了10分钟出发，途中大巴车平均每小时比原计划多走，结果正好按原计划到达目的地．设大巴车原计划的平均速度为千米时，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了从实际问题抽象出分式方程，设大巴车原计划的平均速度为千米时，根据结果正好按原计划到达目的地列方程求解即可． 【详解】解：途中大巴车平均每小时比原计划多走，且大巴车原计划的平均速度为千米时， 大巴车实际的平均速度为千米时． 根据题意得：． 故选：D． 5．（23-24八年级上·江西宜春·期末）现定义一种新的运算：，例如：，若关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围为（   ） A． B．且 C．且 D． 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程与解一元一次不等式，考查了新运算；理解新运算是关键．由新运算得关于x的分式方程，解方程，根据解为非负数得不等式，解不等式即可．但要注意，分式方程无解时m的取值要去掉． 【详解】解：∵， ∴， 解方程得：； 由于方程有解，则，即； 由题意得：， 解得：； 综合起来，m的取值范围为且； 故选：B． 二、填空题 6．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）分式方程的的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解方程的一般步骤是解题的关键． 根据解分式方程的一般步骤即可解答，最后记得检验． 【详解】解： 去分母得：， 移项、合并同类项得：， 将系数化为1，得：， 检验：当时，， 分式方程的解为， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）关于x的分式方程无解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式方程的无解问题，把分式方程的增根代入去分母的整式方程求解即可． 【详解】解： 解得：， 由于分式方程无解，即分式方程有增根， 故当时，， 解得：， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·广东梅州·期末）若分式方程有增根，则m等于 ． 【答案】 【分析】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．分式方程去分母后转化为整式方程，由分式方程有增根，得到，求出的值，代入整式方程即可求出的值． 【详解】解：， 去分母得：， 由分式方程有增根，得到，即， 把代入整式方程得：， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·浙江金华·期末）若分式方程的解为正整数，则整数m的值为 ． 【答案】，， 【分析】本题考查解分式方程及分式方程的解，先将分式化为整式，然后解方程得到用m表示的分式方程的解，然后根据解为正整数讨论可得到m的值，注意分式的分母不能为0． 【详解】解：，， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 解得， 分式方程的解为正整数， 为正整数， 可为1，2，3，6， 整数m的值为，，，1， ，即， ， 即， 整数m的值为，，， 故答案为：，，． 10．（24-25八年级下·山东枣庄·期末）对于实数，，定义一种新运算“※”为，这里等式右边是实数运算，例如：，则方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题是新定义题型，主要考查了解分式方程，正确理解新定义法则是关键． 根据新定义的法则可得关于x的方程，解方程并检验后即得答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 当时，， ∴原方程的解为． 故答案为： 三、解答题 11．（24-25八年级上·重庆江北·期末）解分式方程： (1)； (2) 【答案】(1)无解 (2) 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． （1）利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． （2）利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【详解】（1）解：原方程去分母得：， 解得：， 当时，， 则是分式方程的增根， 故原方程无解； （2）解：方程去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为． 12．（24-25八年级上·湖北咸宁·期末）赤壁青砖茶拥有多年的历史，其制作工艺复杂，色泽青褐，内质香气纯正，滋味醇和，汤色橙红明亮，口感风味独特．茶厂计划制作个“青砖茶”摆件进行网上销售，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的倍，结果提前天完成任务，问原计划平均每天制作多少个“青砖茶”摆件？ 【答案】原计划平均每天制作个“青砖茶”摆件． 【分析】本题考查了分式方程的应用，设原计划平均每天制作个“青砖茶”摆件，由题意得，然后解方程并检验即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设原计划平均每天制作个“青砖茶”摆件， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：原计划平均每天制作个“青砖茶”摆件． 13．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）已知a，b均为不等于0的实数，我们定义新运算“※”：．例如：． (1)验证新运算“※”是否满足乘法交换律？若满足，请写出推导过程；若不满足，请举反例说明． (2)计算：． (3)当时，若，尝试求出x的值． 【答案】(1)满足，推导过程见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了异分母分式加减法，新定义下的实数运算，解分式方程等知识点，弄清题中的新定义是解题的关键． （1）根据定义的新运算“※”，计算出和，即可得出结论； （2）根据定义的新运算“※”，直接列式计算即可得出答案； （3）根据定义的新运算“※”，得出关于的分式方程，解之并检验即可． 【详解】（1）解：新运算“※”满足乘法交换律，理由如下： ， ， ； （2）解： ； （3）解：， 当时，， 即：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 的值为． 14．（24-25七年级下·安徽六安·期末）关于的方程． (1)当时，求该方程的解； (2)若该方程无解，求的值． 【答案】(1) (2)2或1 【分析】本题考查解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数： （1）先将分式方程化为整式方程，求出解后代入检验即可； （2）先解方程，用含k的式子表示出x，，若该方程无解，则或，分别求解即可． 【详解】（1）解：时，关于的方程为， 化为整式方程，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 解得， 当时，， 因此该方程的解为； （2）解：， 等号两边同时乘以，得：， 解得， 若该方程无解，有两种情况： ，解得； ，即，解得，经检验符合， 综上可知，的值为2或1． 15．（23-24八年级上·湖南怀化·期末）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“可存异分式”．如与，因为，，所以是的“可存异分式”． (1)填空：分式__________分式的“可存异分式”（填“是”或“不是”）； 分式的“可存异分式”是__________； (2)已知分式是分式的“可存异分式”． 求分式的表达式； 求整数为何值时，分式的值是正整数，并写出分式的值． 【答案】(1)不是；； (2)；，或． 【分析】（）根据“可存异分式”的定义进行判断即可； 根据“可存异分式”的定义进行解答即可求解； （）根据“可存异分式”的定义进行解答即可求解； 根据整除的定义进行求解即可； 本题考查了分式加减运算、乘法运算，解分式方程，代数式求值，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：， 分式不是分式的“可存异分式”， 故答案为：不是； 依题意得，， ∴， 解得， 即分式的“可存异分式”是， 故答案为：； （2）解：依题意， ∴， 解得； ， 当整数或时，分式的值分别是1，，或， 又分式的值是正数， 整数或，分式的值分别是，或． 16．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“互动分式”． (1)判断下列分式是否为分式的“互动分式”（若“是”，填“”；若“不是”，填“”． ①，（   ）②，（   ）③，（   ） (2)小益在求分式的“互动分式”时，用了以下方法：设的“互动分式”为，则，，．请你仿照小益的方法求分式的“互动分式”： (3)若是是“互动分式”，且关于的方程的解为正整数，为正整数，求代数式的最大值． 【答案】(1)①②③ (2) (3) 【分析】本题考查了分式的混合运算，分式有意义的条件，理解新定义是解题的关键． （）根据互动分式的定义进行判断； （）仿照题目中给到的方法进行求解； （）根据（）找规律求解；由①推出的结论，类比形式求解即可． 【详解】（1）解：①， ， ∴ ∴是分式的“互动分式” ②∵ ∴ ∴不是分式的“互动分式” ③∵， ∴ ∴不是分式的“互动分式” 故答案为：①②③ （2）设的“互动分式”为， 则， ， 即， ． 所以分式的“互动分式”为； （3）∵设的“互动分式”为， ∴， 解得：， ∵是的“互动分式”， ∴， ∴， 解得， ∵关于的方程， 整理得：， ∵解为正整数，为正整数， ∴， 经检验时，， ∴符合意义 ∴， ∴当时的最大值是7． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $