期末专题02 特殊平行四边形（二）的十五类综合题型（压轴题专项训练）数学北师大版九年级上学期

期末专题02 特殊平行四边形（二） 目录 典例详解 类型一、利用菱形的性质求面积 类型二、斜中定理 类型三、 特殊平行四边形中的折叠问题 类型四、特殊平行四边形中的最值问题 类型五、中点四边形问题 类型六、特殊平行四边形中的动点问题 类型七、特殊平行四边形与平面直角坐标系 类型八、特殊平行四边形的旋转问题 类型九、特殊平行四边形有关的作图题 类型十、特殊平行四边形有关的新定义类问题 压轴专练 类型一、利用菱形的性质求面积 1. 对角线乘积法 菱形对角线互相垂直，面积等于两条对角线长度乘积的一半，即S=\frac{1}{2}d_1d_2。解题时若已知对角线长度，直接代入公式计算；若已知对角线的比例或部分线段长，先推导出完整对角线长度再计算。 2. 底乘高法 菱形属于平行四边形，可沿用平行四边形面积公式S=ah。需结合菱形四边相等的性质，先确定一组对应的底和高，再代入计算，常与勾股定理结合求解高的长度。 例1．（24-25八年级下·天津西青·期末）如图，以的顶点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，分别以点，为圆心，的长为半径画弧，两弧在内部交于点，连接，，，，若，，则四边形的面积是（   ） A．160 B．120 C．96 D．48 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判定和性质掌握知识点是解题的关键． 先证明四边形是菱形，可求，利用出勾股定理即可求出，则可得，再根据菱形的面积公式，即可解答． 【详解】解：设与相交于点D，如图： 由题意，有 ， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴ ∴． 故选C． 【变式1-1】（24-25八年级下·黑龙江七台河·期末）“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁，李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示宽为的蓝丝带，若，则重叠部分图形的面积是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了菱形判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握菱形判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键．过点B作于点E，过点D作于点F，依题意得，则四边形是平行四边形，根据蓝丝带宽为得，再根据等腰直角三角形勾股定理，进而得平行四边形是菱形，然后根据菱形的面积公式即可得出重叠部分图形的面积． 【详解】解：过点B作于点E，过点D作于点F，如图所示： 依题意得：， 四边形是平行四边形， 蓝丝带宽为， ， ， 和都是等腰直角三角形， ，， 在中，由勾股定理得：， 同理：， ， 平行四边形是菱形， 重叠部分图形的面积是：， 故答案为：． 【变式1-2】（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，过的对角线的中点作两条互相垂直的直线，分别交，，，于，，，四点，连接，，，．若，，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟记性质并利用三角形全等判定与性质得到对角线被互相平分是解题的关键． 根据平行四边形的性质证明和全等，得，同理可得，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断出四边形是平行四边形，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，根据菱形面积公式解答即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， ， ， 同理可得， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形， ， ， ，， 四边形的面积． 故答案为：600． 类型二、斜中定理 1. 找准适用条件 斜中线定理仅适用于直角三角形，解题时先定位直角三角形及其斜边，再找斜边中点，连接中点与直角顶点得到斜中线，明确斜中线与斜边的数量关系（斜中线=½斜边）。 2. 结合性质转化条件 遇线段等量代换、角度计算时，利用斜中线定理推导等腰三角形（斜中线分直角三角形为两个等腰三角形），结合等腰三角形性质或勾股定理，简化线段、角度的推理过程。 例2．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，，是的高，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线性质，直角三角形两锐角互余．利用等腰三角形的性质结合直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，为的高， ∴平分，， ∴， ∴， ∵是上的高， ∴， ∵是上的高，且， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2-1】（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，中，．按以下步骤作图：①分别以点A、点B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点M、N；②作直线交于点D；③连接．设，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了尺规作线段垂直平分线，勾股定理，直角三角形的性质， 根据作图过程可知点D是的中点，再根据直角三角形的性质得，然后根据勾股定理和完全平方公式得，最后代入数值可得答案. 【详解】解：根据作图过程可知点D是的中点， 在中，是中线， ∴. 根据勾股定理得,且， ∴， 解得, ∴. 故答案为：. 【变式2-2】（25-26八年级上·全国·期末）如图，，，E为的中点，连接，，，交于点F． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质． （1）证明，，可得，进一步可得结论． （2）求解，过点 E 作于点H．由（1）得 ，，进一步求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 又 E 为的中点， ∴，， ∴， 即是等腰三角形． （2）解：∵ ，E 为 的中点， ∴， 在 中，，， 由勾股定理，得 即 （负值已舍去）． 过点 E 作于点H． 由（1）得 ， ∴． ∵ ∴ 在 中，由勾股定理，得 即 （负值已舍去）． ∴ ． 类型三、 特殊平行四边形中的折叠问题 1. 紧抓折叠性质，转化等量关系 折叠前后图形全等，对应边、对应角相等，且折痕是对应点连线的垂直平分线。解题时先标注这些等量关系，结合特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）的边、角、对角线特性，将未知线段或角转化到直角三角形中。 2. 巧用勾股定理，建立方程求解 折叠常形成直角三角形，设未知边长为x，利用特殊平行四边形对边相等、对角线特性表示直角三角形三边，代入勾股定理列方程，解方程即可求出线段长度，突破计算难点。 例3．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，长方形纸片中，，将它沿对角线折叠，使点D落在点E处，则为（   ） A． B．2 C．1 D．3 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，平行线的性质，折叠加平行，得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵在长方形纸片中，将它沿对角线折叠 ∴ ∴ ∴ ∵ 设 在中，，即 解得： 故选：A. 【变式3-1】（24-25八年级下·山西临汾·期末）如图，在正方形中，点E，F分别在边上，将正方形沿着折叠，使点D的对应点G落在边上，点A的对应点为点，连接，若，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了正方形与折叠问题，矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，由正方形的性质可得，．过点E作于点H，则四边形是矩形，可得，证明≌，得到．则．设，则，根据勾股定理，得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，． 如图，过点E作于点H， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 由折叠得，， ∴， 又∵， ∴， ∴≌， ∴． ∵， ∴． 设，则， 在中，根据勾股定理，得， ∴， 解得， ∴， 故答案为；． 【变式3-2】（24-25八年级下·海南·期末）如图1，将一张矩形纸片沿着对角线向上折叠，顶点C落到点E处，交于点F． (1)求证：； (2)如图2，过点作，交于点，连接交于点O．判断四边形的形状，并说明理由． (3)若，求四边形的周长和面积． 【答案】(1)见解析 (2)四边形为菱形；理由见解析 (3)四边形的周长为20；面积为20 【分析】（1）根据两直线平行内错角相等及折叠特性判断，得出结论即可； （2）根据已知矩形性质及第一问证得邻边相等判断即可； （3）根据折叠特性设未知边，利用勾股定理列方程求解． 【详解】（1）证明：根据折叠，，， 四边形是矩形， ，， ，， 在和中， ， ， ∴； （2）解：结论：四边形是菱形． 理由：四边形是矩形， ， ， 又， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形； （3）解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ，， ， ． 设， ． 在直角中，， 即， 解得：，即， ∴四边形的周长为； 根据勾股定理得：， ， ∴四边形的面积为：． 【点睛】本题考查四边形综合题，菱形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，折叠的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是结合矩形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理、翻折不变性进行解答． 类型四、特殊平行四边形中的最值问题 1. 利用对称转化，化折为直 求线段和、差的最值时，借助特殊平行四边形的轴对称性，作定点关于直线的对称点，将折线路径转化为直线段，利用“两点之间线段最短”求解；遇动点在边上运动的情况，结合对边平行且相等的性质，转移线段位置简化问题。 2. 结合图形特性，确定临界位置 分析动点运动的临界状态，比如顶点、中点等特殊位置，结合矩形、菱形、正方形的直角、对角线特性，构造直角三角形或等腰三角形，用勾股定理、三边关系确定最值的取值范围。 例4．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，在菱形中，E、F分别是边上的动点，连接，G、H分别为的中点，连接．若，的最小值为，则长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、勾股定理、垂线段最短，利用平方根解方程，解题的关键是学会添加常用辅助线． 连接，利用三角形中位线定理，可知，当时，最小，得到最小值，即，根据勾股定理列方程即可解决问题． 【详解】解：连接，如图所示： 四边形是菱形， ， ，分别为，的中点， 是的中位线， ， 当时，最小，得到最小值，此时， 则， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：，即 解得（负值舍去）， ∴长为， 故选：B． 【变式4-1】（24-25八年级下·安徽安庆·期末）如图，已知正方形的边长为6，点是对角线的交点，点是边，上的动点，且，连接． （1）线段与线段的数量关系是 ； （2）连接，则的最小值为 ． 【答案】 3 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，轴对称最短路径问题，勾股定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据正方形的性质可得，则可证明得到； （2）作点B关于的对称点G，连接，则，，进而得到，故当G、E、O三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长；过点O作于H，则，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图所示，作点B关于的对称点G，连接， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴当G、E、O三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， 如图所示，过点O作于H， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4-2】（24-25八年级下·云南红河·期末）如图1，在矩形中，，是边上的一个动点（点不与重合），，垂足为点，过点作，交的延长线于点． (1)若， ①求证：四边形是菱形； ②求四边形的周长； (2)如图2，于点，于点，探究：当为何值时，四边形是正方形？ 【答案】(1)①证明见详解② (2)时，四边形是正方形，证明见详解 【分析】本题考查了矩形、菱形、正方形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，勾股定理等几何知识；解题的关键是灵活运用矩形的性质（对边平行且相等、四个角为直角）和特殊四边形（菱形、正方形）的判定定理，通过构造全等三角形或利用勾股定理进行计算 （1）①由和矩形性质，证明，得到，再结合和，证明四边形是平行四边形，由一组邻边相等证菱形；②利用全等和勾股定理，求出四边形各边的长度，再求周长； （2）分析时可先假设四边形是正方形，反推的长度，若四边形是正方形，则，，再由得，可得，计算得出长度，然后书写时，使用长度，反推导四边形是正方形即可． 【详解】（1）①证明：在矩形中，，， ∴，，， ∴ ∵， ∴ 又∵， 在和中， ∴ ∴， ∵，且， ∴ 四边形是平行四边形 又∵， ∴ 平行四边形是菱形 ②由①得 ∴， ∵在中，， ∴ ∴ ∵，， ∴ （2）当时，四边形是正方形 ∵ ∴ ∵在矩形中， ∴ 又∵ ∴为等腰直角三角形， ∴ 又∵，于点 ∴ ∴四边形为矩形 ∵ ∴矩形为正方形 类型五、中点四边形问题 1. 紧扣中位线定理，推导基础形状 任意四边形的中点四边形都是平行四边形，解题时连接原四边形对角线，利用三角形中位线定理，证中点四边形对边平行且相等，这是所有中点四边形问题的核心依据，优先分析对角线关系。 2. 结合原四边形特性，判定特殊形状 原四边形对角线相等时，中点四边形是菱形；对角线垂直时，中点四边形是矩形；对角线既相等又垂直时，中点四边形是正方形。只需根据原四边形对角线的数量和位置关系，即可判定中点四边形的特殊类型。 例5．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在四边形中，点，，，分别为，，，的中点，并且，则四边形为（   ） A．菱形 B．正方形 C．矩形 D．梯形 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中位线定理、菱形的判定定理，根据三角形中位线定理可证，，根据可证，根据四条边都相等的四边形是菱形，可知四边形为菱形． 【详解】解：如下图所示，连接、， 点，为，的中点， 是的中位线， ，， 点，为，的中点， ，， ，， 同理可证，， ， ， 四边形为菱形． 故选：A． 【变式5-1】（24-25八年级下·四川凉山·期末）如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，…，按此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为 请用含的式子写出你猜想的规律． 【答案】 【分析】本题考查图形类规律探索，中点四边形，解题的关键是总结规律． 根据图形变化引起的面积变化，总结规律即可． 【详解】解： ∵第个矩形的面积为， 第个矩形的面积为， 第个矩形的面积为 …… 第个矩形的面积为， 故答案为：． 【变式5-2】（24-25八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，四边形为菱形，点E、F、G、H分别为四边中点，我们把四边形称为菱形的“中点四边形”． (1)求证：四边形为矩形； (2)如图，矩形为某个菱形的中点四边形，请画出这个菱形并简单说明画法（不需要尺规作图）． 【答案】(1)证明见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了菱形和矩形的判定和性质，三角形中位线定理： （1）连接，根据菱形的性质可得，再由三角形中位线定理可得，从而得到四边形是平行四边形，即可求证； （2）连接，分别过M、P作平行线，过N、Q做平行线，两组平行线围成的四边形即为所求． 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵四边形是菱形， ． 分别为四边中点， ， ， ∴四边形是平行四边形， 又， ， 为矩形； （2）解：连接，分别过M、P做平行线，过N、Q做平行线，两组平行线围成的四边形即为所求． 由作法得：， ∴四边形、、均是平行四边形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 类型六、特殊平行四边形中的动点问题 1. 定动线轨迹，转化变量关系 先确定动点的运动轨迹（边、对角线等）和范围，设运动时间为t，用t表示相关线段长度。结合特殊平行四边形的边、角特性，将动点问题转化为线段、角度的定量关系，标注相等边或直角条件。 2. 抓临界状态，分类讨论求解 分析动点运动到顶点、中点等临界位置时的图形特征，结合问题中的特殊条件（如等腰、直角）分类讨论。利用勾股定理、全等三角形建立方程，解方程得出t的取值，验证是否符合运动范围。 例6．（24-25八年级下·山西大同·期末）如图，在菱形中，，，E是边的中点，P，M分别是AC，上的动点，连接，则的最小值是（　　） A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】设交于点F，在上截取，连接，作于点H， 由菱形的性质得，从而得到，再由勾股定理求得，然后根据，可求得，再证明，得，根据，可得的最小值，于是得到问题的答案． 此题重点考查菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、根据面积等式求线段的长度、垂线段最短、轴对称—最短路线问题的求解等知识与方法，正确地添加辅助线是解题的关键． 【详解】解：设交于点F，在上截取，连接，作于点H， ∵四边形是菱形，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故选：D． 【变式6-1】（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，在中，，，，点P是边上的一点（不与A，B两点重合），过点P分别作，边的垂线，垂足分别为M，N，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的判定和性质、垂线段最短、勾股定理等知识，先证四边形是矩形，得，再由垂线段最短和面积法求出的最小值，即可解决问题． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴, ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当时，的值最小， 此时，的面积, ∴， ∴的最小值为． 【变式6-2】（25-26九年级上·全国·期末）如图，在中，，，点B为边上一点（不与点A，E重合），连接，将绕点C旋转到的位置． (1)若，请用表示的度数； (2)连接，过点C作，求长的最小值． 【答案】(1)； (2)2． 【分析】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，三角形的内角和，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，旋转的性质，掌握知识点是解题的关键． （1）先证明是等腰直角三角形，得到，则，推导出，即可解答； （2）先证明，，得到是等腰直角三角形，则，继而推导出，得到，当时，的值最小，此时的值最小，即可解答． 【详解】（1）解：在中，，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 将绕点C旋转到的位置， （2）将绕点C旋转到的位置， ，， ， 是等腰直角三角形， ， 又， ， ， 当时，BC的值最小，此时CH的值最小， ， ， ， 故长度的最小值为 类型七、特殊平行四边形与平面直角坐标系 1. 坐标特性结合图形性质，转化几何关系 利用矩形、菱形、正方形的边、角、对角线特性，结合坐标系中点的坐标规律：平行边对应坐标差相等，垂直边斜率乘积为-1，对角线中点坐标相同。将线段相等、垂直等几何条件转化为坐标运算，简化推导。 2. 设参建模，用代数方法解几何问题 设特殊平行四边形顶点坐标（优先设在坐标轴或原点简化计算），用坐标表示边长、对角线长度，借助勾股定理、两点间距离公式列方程求解。遇动点时设参数t表示坐标，结合图形特性确定参数范围。 例7．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，在矩形中，点A的坐标是，点C的坐标是，连接，则的长是（    ） A．4 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查两点间的距离公式，矩形的性质，掌握两点间的距离公式是解决本题的关键． 根据两点间的距离公式求出的值，进而根据矩形的对角线相等即可求解． 【详解】解：∵点A的坐标是，点C的坐标是， ∴ ， ∵四边形为矩形， ∴， 故选B． 【变式7-1】（24-25八年级下·河南周口·期末）如图，是坐标原点，菱形的顶点在轴的负半轴上，顶点的坐标为，则顶点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，坐标与图形性质，关键是由勾股定理求出的长． 由菱形的性质得到，推出，由点C的坐标，得到，由勾股定理求出，得到，求出，可得结论． 【详解】解：如图，交y轴于M， 四边形是菱形， ， ， ， 点C的坐标为， ， ， ， ， 点A的坐标为． 故答案为： 【变式7-2】（24-25八年级下·河南南阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，将沿过原点的直线折叠，点A落在x轴上的点E处，折痕交边于点D，点B坐标为，四边形的面积为12． (1)点坐标为____________； (2)求直线解析式； (3)四边形的形状为____________，请说明理由； (4)坐标平面内的点使以点、、、为顶点的四边形构成平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)菱形，理由见解析 (4)或或 【分析】（1）延长，交轴于点，先求出，再根据折叠的性质可得，，然后证出四边形是平行四边形，求出，则可得，由此即可得； （2）先利用勾股定理求出的长，从而可得的长，则可得点的坐标，再利用待定系数法求解即可得； （3）先证出四边形是平行四边形，然后根据菱形的判定即可得； （4）先求出点的坐标，再分三种情况：①当以点、、、为顶点构成的四边形是平行四边形时，②当以点、、、为顶点构成的四边形是平行四边形时，③当以点、、、为顶点构成的四边形是平行四边形时，根据平行四边形的对角线互相平分求解即可得． 【详解】（1）解：如图，延长，交轴于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵点坐标为， ∴， 由折叠的性质得：，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形的面积为12， ∴， 解得， ∴， ∴点坐标为， 故答案为：． （2）解：由（1）已得：， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴， ∴， 设直线解析式为， 将点，代入得：，解得， 所以直线解析式为． （3）解：四边形的形状为菱形，理由如下： 由（1）已得：， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． （4）解：由上已得：，，， ∴， ∴，， 设点的坐标为， ①当以点、、、为顶点构成的四边形是平行四边形时， ∴对角线互相平分， ∴，解得， ∴； ②当以点、、、为顶点构成的四边形是平行四边形时， ∴对角线互相平分， ∴，解得， ∴； ③当以点、、、为顶点构成的四边形是平行四边形时， ∴对角线互相平分， ∴，解得， ∴； 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定、一次函数的几何应用、勾股定理、折叠的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键． 类型八、特殊平行四边形的旋转问题 1. 抓住旋转不变性，寻找全等模型 旋转前后图形全等，对应边相等、对应角相等。解题时重点关注由旋转产生的“手拉手”全等模型（如等腰直角三角形旋转），利用特殊平行四边形的边角特性（如正方形四边相等、直角），快速锁定全等三角形，从而转移线段或角度，解决证明线段相等、垂直等问题。 2. 利用“定弦定角”，确定点的轨迹 涉及旋转角度固定时，利用圆周角定理的逆定理，判断动点轨迹为圆弧。结合特殊平行四边形的对角线交点、中点等定点，确定圆心和半径，将几何计算转化为圆的相关问题（如弧长、最值），简化复杂的动态分析。 例8．（24-25九年级上·广西河池·期末）如图，在正方形中，E为边上的点，连接，将绕点C顺时针方向旋转得到，连接，若，则的度数为 ．    【答案】/25度 【分析】本题考查旋转的性质、正方形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解答的关键． 根据旋转的性质知，再根据，知，然后用角的和差即可解答． 【详解】∵绕点C顺时针方向旋转得到， ∴，，． ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式8-1】（24-25九年级上·河南信阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点O逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点O连续旋转2025次得到正方形，如果点A的坐标为，那么点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形、正方形的性质，正确归纳类推出一般规律是解题关键．连接，先根据正方形的性质可得，，，再根据旋转、点的坐标规律分别求出点的坐标，归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵点的坐标为， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴旋转1次得到正方形，此时点位于轴的正半轴上，且，则， 旋转2次得到正方形，即总共旋转了，此时点与点关于轴对称，则， 旋转3次得到正方形，即总共旋转了，此时点位于轴的负半轴，且，则， 旋转4次得到正方形，即总共旋转了，此时点与点关于原点对称，则， 旋转5次得到正方形，即总共旋转了，此时点位于轴的负半轴上，且，则， 旋转6次得到正方形，即总共旋转了，此时点与点关于轴对称，则， 旋转7次得到正方形，即总共旋转了，此时点位于轴的正半轴，且，则， 旋转8次得到正方形，即总共旋转了，此时点与点重合，则， 归纳类推得：旋转过程中，点的坐标是以点的坐标为一个循环， ∵， ∴点的坐标与点的坐标相同，即为， 故选：D． 【变式8-2】（24-25八年级下·黑龙江佳木斯·期末）如图1，三角形为等腰直角三角形，，是边上的一个动点（点与、不重合），以为一边在等腰直角三角形外作正方形，连接、． (1)猜想图1中线段、的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论； (2)将图1中的正方形，绕着点按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度，得到如图2、图3的情形．图2中交于点，交于点，请你判断（1）中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断． 【答案】(1) (2)仍然成立，证明见解析 【分析】本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形． （1）结论：，；证明，推出，，即可得出结论； （2）证推出，即可得出结论． 【详解】（1）解：，； 理由：如图1中，延长交于H， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 综上可知，； （2），仍然成立， 证明：如图2中， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 类型九、特殊平行四边形有关的作图题 1. 紧扣图形特性，确定作图依据 作矩形优先利用“直角+对边平行”或“对角线相等且平分”的特性；作菱形可依据“四边相等”或“对角线垂直平分”；作正方形结合前两者，用“直角+邻边相等”来作图，优先选取题干给出的边、角、对角线条件，减少作图步骤。 2. 巧用尺规规范，结合网格辅助 尺规作图时，用直尺画平行线、垂线，用圆规截取等长线段；网格中作图可利用格点直角、等长线段的优势，借助勾股定理确定边长，结合对角线关系快速定位顶点，确保图形精准。 例9．（24-25八年级下·吉林·期末）图1，图2，图3均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点，均在格点上．请用无刻度直尺，在给定的网格中按要求画图． (1)在图1中，分别找到格点，使四边形为正方形． (2)在图2中，分别找到格点，使四边形为菱形，但不是正方形． (3)在图3中，分别找到格点，使四边形为平行四边形，但不是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查网格作图，平行四边形、菱形、正方形的判定，熟练掌握相关判定定理是解题的关键． （1）取格点，并依次连接，得，，则，得出四边形为正方形； （2）取格点，并依次连接，得，，得出四边形为菱形，但不是正方形； （3）取格点，并依次连接，得，得出四边形为平行四边形，但不是菱形． 【详解】（1）解：四边形即为所求作； （2）解：四边形即为所求作； （3）解：四边形即为所求作． 【变式9-1】（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）在下面的正方形网格中，按要求用无刻度的直尺作图，且所作图形的顶点均在格点上． (1)在图1中，作一个以为对角线的矩形． (2)在图2中，作一个以为边，且面积为15的平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，平行四边形的判定，矩形的判定和性质． （1）根据矩形的判定作出图形； （2）根据平行四边形的判定以及题目要求作出图形即可． 【详解】（1）解：如图1，四边形是矩形，即为所求； （2）解：如图2，或均符合要求． 【变式9-2】（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）在菱形中，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（作图痕迹用虚线表示，结果用实线表示）． (1)如图1，作的平分线． (2)如图2，点为线段上一点，过点作对角线的平行线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了基本的作图，菱形的性质， （1）根据菱形的性质，菱形的对角线平分对角，连接即可； （2）连接，根据菱形的性质得与互相垂直平分，连接交于点，连接并延长，交于点，连接即可． 说明：根据菱形的性质得出，根据线段垂直平分线的性质得出，所以得出，再根据对顶角相等得出，由以上条件证明出，得出， 根据菱形的性质得出，所以垂直平分线段，再根据垂直的定义和平行线的判定定理即可得出． 【详解】（1）解：线段即为所求； （2）解：线段即为所求． 类型十、特殊平行四边形有关的新定义类问题 1. 精读定义，提取核心特征 先仔细拆解新定义的内涵，标注与矩形、菱形、正方形相关的关键条件（如边、角、对角线的特殊关系），将新定义图形与特殊平行四边形的性质做对比，明确两者的关联与区别，转化为熟悉的几何模型。 2. 结合性质，迁移解题方法 运用特殊平行四边形的判定与性质，结合新定义的规则，将问题转化为线段相等、角度计算、图形判定等常规题型。通过构造全等三角形、直角三角形，借助勾股定理、中位线定理等完成推理与计算。 例10．（24-25八年级下·山东德州·期末）新定义：我们把三角形某边上高的长度与这边中点到高的距离的比值称为三角形某边的“中偏度值”．如图，在中，，，，是边上的高，点E是边上的中点，在中，边的“中偏度值”为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，求出边上的高和该边上的中点到高的距离． 根据题意和题目中的数据，可以计算出中边上的高和该边上的中点到的距离，再求它们的比值即可． 【详解】解：在中， ∵，，， ∴， ∵是边上的高， ∴， 即， 解得：， ∵点E是边上的中点， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【变式10-1】（24-25八年级下·河南漯河·期末）阅读理解：我们定义：①把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形．例如，平行四边形，梯形等都是凸四边形．②有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． (1)如图1，已知四边形是“等对角四边形”，．求的度数． (2)如图2，在中，，为斜边边上的中线，过点作交于点，证明：四边形是“等对角四边形”． (3)如图3，已知在“等对角四边形”中，，，，请你直接写出对角线的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】此题是四边形综合题， 主要考查了新定义“等对角四边形”的理解和应用，矩形的判定和性质， 勾股定理， 正确作出辅助线是解本题的关键 ． （1） 利用“等对角四边形”的定义借助四边形的内角和定理即可得出结论； （2） 先判断出，进而判断出，最后判断出，即可得出结论； （3） 先构造直角三角形求出和，最后用勾股定理即可得出结论 ． 【详解】（1）解：四边形是“等对角四边形“，， ， ， ， ， ∴； （2）证明：∵在中，为斜边的中线， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 四边形是“等对角四边形”； （3）解：如图 3 ，过点作于，于， ， ， ， 根据勾股定理得，， ， ，，， ， 四边形是矩形， ，， 在中，， ， ， 由勾股定理得， ∴， ， ， 在中，． 【变式10-2】（24-25八年级上·江苏南京·期末）定义：把斜边重合，且直角顶点不重合的两个直角三角形叫做共边直角三角形． (1)概念理解：如图1，在中，，作出的共边直角三角形（画一个就行）； (2)问题探究：如图2，在中，，，，与是共边直角三角形，连接．当时，求的长． (3)拓展延伸：如图3所示，和是共边直角三角形，，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质． （1）根据共边直角三角形的概念作图； （2）取的中点O，连接、，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式求出，结合图形计算得到答案； （3）分别延长、交于点F，证明，根据等腰三角形的性质证明． 【详解】（1）解：作出的共边直角三角形如图1所示，即为所求作的三角形； （2）解：取的中点O，连接、， 由勾股定理得，， ∵，点O为的中点， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴，即， 解得，， ∴； （3）证明：分别延长、交于点F， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴平分． 一、单选题 1．（24-25七年级上·甘肃酒泉·期末）如图，四边形是菱形，，，于点E，则的长是（　　） A． B．6 C． D．12 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理，掌握菱形的性质、勾股定理是解本题的关键． 根据面积等式求线段长度等知识，先求出菱形的面积，再利用勾股定理求出的长，利用菱形面积为面积的两倍求出即可． 【详解】解：四边形是菱形，，， ，，， ， ， 于点E， ， ， ， ． 故选：A． 2．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，，是的高，，相交于点H，连接，垂直平分，交于点G，连接．有下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】先利用等腰三角形的“三线合一”得到平分，，再利用斜边上的中线性质可对①进行判断；由于垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，则利用可判断，从而得到与不全等，于是可对②进行判断；由得到，而，所以，接着证明，则利用三角形外角性质可对③进行判断；连接，如图，根据线段垂直平分线的性质得到，在中利用勾股定理得到，然后利用等线段代换可对④进行判断． 【详解】解：∵，，是的高， ∴平分，， ∴为直角三角形斜边上的中线， ∴， ∴，所以①正确； ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴，即， ∴与不全等，所以②错误； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，所以③正确； 连接，如图， ∵垂直平分， ∴，在中，， ∵，， ∴，所以④正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定、勾股定理、三角形的外角性质、直角三角形斜边中线性质、线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线和等腰三角形的性质是解答的关键． 3．（24-25八年级下·山西晋城·期末）如图，在中，，将线段水平向左平移个单位得到线段，若四边形为菱形，则的值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，平行四边形的性质与菱形的性质，掌握这些性质是关键；由平移知，四边形为菱形，则，由即可求解． 【详解】解：由平移知， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， 故选：C． 4．（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，菱形的面积为48，则的长为（   ）    A．8 B． C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质，斜边上的中线，根据菱形的性质，求出的长，根据斜边上的中线求出的长即可． 【详解】解：∵菱形，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； 故选C． 5．（24-25八年级下·广西河池·期末）如图，矩形中，，，连接对角线，将沿所在的直线折叠，得到，交于点F．则的长是（   ） A．5 B．4 C．3 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理，证明．根据矩形性质得出，根据平行线的性质得出，根据折叠得出，，证明，得出，设，则，根据勾股定理得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， 由折叠性质，得，， ， 设，则， 在中， 则， 解得， 的长为3， ， ． 故选：C． 二、填空题 6．（24-25八年级下·甘肃武威·期末）中国结寓意团圆美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小丰家有一个菱形中国结装饰如图所示，其示意图如图所示，测得，，则菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题关键．先根据菱形的性质可得，再根据菱形的面积公式计算即可得． 【详解】解：四边形是菱形， ， ∵，， ∴菱形的面积为， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）如图，在中，，是的角平分线，E是的中点．若，则的长为 ． 【答案】6.5 【分析】本题考查的是直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质，勾股定理，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键． 根据等腰三角形的性质得到，，根据勾股定理求出，再根据直角三角形斜边中线性质解答即可． 【详解】解：∵，是的角平分线， ∴，， 由勾股定理得，． ∵E为的中点， ∴． 故答案为：6.5． 8．（24-25八年级下·河南安阳·期末）如图，在菱形中，对角线相交于点．点P和点E分别为上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称中的光线反射问题（最短线路问题），菱形的性质，角平分线的性质，垂线段最短，勾股定理，利用菱形的性质求面积，学会利用垂线段最短解决最短线路问题是解题的关键． 【详解】解：过作于交于点，过作于点， ∵四边形是菱形， ∴且、互相平分，平分， ∴， ∵垂线段最短， ∴，即的最小值为线段的长度， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴菱形的面积为：， ∴， ∴， ∴的最小值． 故答案为：． 9．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在中，，，，D为上的动点，连接，以，为边作平行四边形，则长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理、矩形的判定与性质、平行四边形的性质、平行线的性质等知识，正确作出辅助线是解题关键．首先利用勾股定理的逆定理确定为直角三角形，，过点作于点，利用面积法解得，根据题意可知四边形为平行四边形，连接，则，当时，的长取最小值，此时四边形为矩形，结合矩形的性质即可获得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴为直角三角形，， 如下图，过点作于点， ∵， ∴，解得， 根据题意，D为上的动点，连接，以，为边作平行四边形， 连接，如图，则， ∵， ∴， ∴， ∴当时，的长取最小值， 此时， ∴四边形为矩形， ∴， ∴长的最小值为． 故答案为：． 10．（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点坐标分别为点，点，点，点，点是上的点，将沿所在的直线折叠，若点的对应点刚好落在上，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形翻折的性质以及勾股定理，熟练掌握其性质是做题的关键．利用翻折的性质，结合勾股定理进行解答即可． 【详解】解：因为，， 所以，， 在中，， 因为点恰好落在上，所以， 所以， 设，则， 在中，， 所以， 解得， 所以点的坐标为． 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25八年级下·吉林·期末）如图，在中，是的中点，连接并延长至点，使，连接． (1)求证四边形是菱形． (2)若，则菱形的面积为______． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查三线合一，菱形的判定和性质，掌握菱形的判定和性质是关键． （1）根据三线合一得到，结合菱形的判定即可求解； （2）根据菱形的性质，由菱形的面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：∵，点是中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ∴， 故答案为：． 12．（24-25八年级下·云南临沧·期末）如图，在四边形中，，，，平分交于点E，连接交于点F，连接． (1)求证：四边形是菱形： (2)已知，，求的长． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】本题考查了平行的性质，角平分线定理，勾股定理及菱形的判定与性质． （1）由平行的性质得出，再由角平分线定理得出，从而得到，根据等腰三角形等边对等角推出，再由已知条件进一步得出，进而得出结论； （2）利用勾股定理求得的长，再根据菱形的性质设，则，根据勾股定理列出方程并求解a的值，进而得到和的长，最后再次利用勾股定理求出的长，并根据菱形对角线互相垂直平分的性质得出的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：∵，，， ∴在中，由勾股定理得，， 又∵四边形是菱形， ∴，，，， 设，则， 在中，， ∴，解得， ∴，， 在中，， ∴． 13．（24-25八年级下·云南临沧·期末）如图，矩形在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为，对角线与相交于点D．过点的直线l将矩形的面积分成相等的两部分． (1)直接写出点B和点D的坐标； (2)求直线l解析式； (3)若将直线l沿y轴平移个单位长度，则它与x轴的交点向哪个方向平移了几个单位长度？ 【答案】(1)， (2) (3)直线l沿y轴向上平移个单位长度时，它与x轴的交点向右平移了5个单位长度，直线l沿y轴向下平移个单位长度时，它与x轴的交点向左平移了5个单位长度 【分析】本题考查了矩形的性质，平面直角坐标系中点的特征，一次函数解析式求解及一次函数平移规则． （1）根据矩形的性质和已知点的坐标求出的长度，的长度，进而得出点B的坐标，再根据矩形对角线互相平分的特点求出点D的坐标即可； （2）直线l将矩形的面积分成相等的两部分，利用矩形是中心对称图形的特点，此时直线l恒过矩形的对角线交点D，利用待定系数法求出直线l的解析式即可； （3）分情况讨论：①当直线l沿y轴向上平移个单位长度时，先求出平移后直线l的解析式，计算出此时与x轴的坐标，再求出原直线l与x轴的坐标，即可判断平移方向并计算出平移的单位长度；②当直线l沿y轴向下平移个单位长度时，同理求出平移后直线l的解析式，得出与x轴坐标，再求出原直线l与x轴的坐标，即可判断平移方向并计算出平移的单位长度． 【详解】（1）解：在矩形中，点A的坐标为，点C的坐标为， ∴，， ∴，， ∴点B坐标为， 又∵点D为对角线，交点， ∴，， ∴点D坐标为． （2）解：∵过点的直线l将矩形的面积分成相等的两部分， 而矩形是中心对称图形，其对称中心是对角线的交点， ∴直线l恒过点， 设直线l的解析式为，将点，点代入得， ，解得， ∴直线l的解析式为． （3）解：①当直线l沿y轴向上平移个单位长度时： 解析式变为， 令，则，解得， ∴平移后的直线l与x轴交点为， 原直线l中，令，则，解得， ∴原直线l与x轴交点为， ∴平移的距离为：， ∴直线l与x轴的交点向右平移了5个单位长度； ②当直线l沿y轴向下平移个单位长度时： 解析式变为， 令，则，解得， ∴平移后的直线l与x轴交点为， 原直线l中，令，则，解得， ∴原直线l与x轴交点为， ∴平移的距离为：， ∴直线l与x轴的交点向左平移了5个单位长度， 综上所述，直线l沿y轴向上平移个单位长度时，它与x轴的交点向右平移了5个单位长度，直线l沿y轴向下平移个单位长度时，它与x轴的交点向左平移了5个单位长度． 14．（24-25八年级下·云南红河·期末）已知四边形是边长为的正方形，P，Q是正方形边上的两个动点，点P从点A出发，以的速度沿A→B→C方向运动，点Q同时从点D出发以速度沿D→C方向运动．设点P运动的时间为t（）． (1)如图1，当点P在边上，四边形为平行四边形时，求t的值； (2)如图2，当点P在边上，时，求t的值； (3)点P在运动过程中，是否存在四边形的面积等于正方形的面积的一半，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的性质与判定及平行四边形的性质，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的性质与判定及平行四边形的性质是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后可得当时，四边形为平行四边形，进而问题可求解； （2）由题意易得，则有，然后可得方程，进而求解即可； （3）由题意可分：当点P在边上，当点P在边上，即，然后分类进行求解即可． 【详解】（1）解：当点P在边上，则有，所以， 在正方形中，， ∴当时，四边形为平行四边形， ∴， 解得：， ∴当时，四边形为平行四边形； （2）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点P在边上， ∴， ∴， 解得：； （3）解：存在，理由如下： 由题意可分：当点P在边上，则有，所以，此时四边形是梯形， ∴四边形的面积为， ∵四边形的面积等于正方形的面积的一半， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）； 当点P在边上，即，则有，如图， ∵四边形的面积等于正方形的面积的一半， ∴与的面积之和也为正方形的面积的一半， ∴， 解得：； 综上所述：当时，四边形的面积等于正方形的面积的一半． 15．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）凸多边形是一个内部角都小于180度的多边形．在凸多边形中，我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”；对角线相等的凸四边形叫做“对等四边形”． (1)在“①矩形；②菱形；③等腰梯形；④正方形”中一定是“十字形”的有___________；一定是“对等四边形”的有___________；（请填序号） (2)如图1：若凸四边形是“十字形”也是“对等四边形”，分别是的中点，求证，四边形为正方形． (3)如图2，在中，，点从点出发沿方向以2个单位每秒向匀速运动；同时点从出发沿方向以1个单位每秒向匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，，连接，是否存在时间（秒），使得四边形为“十字形”．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)②④；①③④ (2)详见解析 (3)存在， 【分析】本题考查中点四边形，三角形的中位线定理，含30度角的直角三角形等知识点，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，结合特殊的平行四边形的性质，进行判断即可； （2）根据三角形的中位线定理，结合正方形的判定方法，即可得证； （3）连接，由题意得：，则，根据含30度角的直角三角形的性质，求出，再根据四边形为菱形时，四边形为“十字形”，得到，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形的对角线相等，菱形的对角线互相垂直，等腰梯形的对角线相等，正方形的对角线相等，且互相垂直， ∴菱形和正方形是“十字形”， 矩形，等腰梯形，正方形为“对等四边形” 故答案为：②④；①③④； （2）证明：如图1， 凸四边形是“十字形”也是“对等四边形”， ， ， ， 分别是的中点， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形菱形，     又， 菱形FGMH是正方形； （3）解：如图2， 连接， 由题意得：，则，     中， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 当时，是菱形，则， 此时平行四边形是“十字形”， ， ，即：当时，四边形为“十字形”． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 期末专题02特殊平行四边形 (二) 目录 典例详解 类型一、利用菱形的性质求面积 类型二、斜中定理 类型三、特殊平行四边形中的折叠问题 类型四、特殊平行四边形中的最值问题 类型五、中点四边形问题 类型六、特殊平行四边形中的动点问题 类型七、特殊平行四边形与平面直角坐标系 类型八、特殊平行四边形的旋转问题 类型九、特殊平行四边形有关的作图题 类型十、特殊平行四边形有关的新定义类问题 压轴专练 典例详解 类型一、利用菱形的性质求面积 1.对角线乘积法 菱形对角线互相垂直，面积等于两条对角线长度乘积的一半，即S=fracilH2d1d2。解题时若己知对角 线长度，直接代入公式计算；若已知对角线的比例或部分线段长，先推导出完整对角线长度再计算。 2.底乘高法 菱形属于平行四边形，可沿用平行四边形面积公式S=h。需结合菱形四边相等的性质，先确定一组对应 的底和高，再代入计算，常与勾股定理结合求解高的长度。 例1.(24-25八年级下·天津西青期末)如图，以∠M0N的顶点0为圆心，任意长为半径画弧，分别交0M, ON于点A,B,分别以点A,B为圆心，OA的长为半径画弧，两弧在∠MON内部交于点C,连接AC, BC,AB,0C,若0B=10,OC=16,则四边形0ACB的面积是() M B 1/18 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.160 B.120 C.96 D.48 【变式1-1】(24-25八年级下·黑龙江七台河·期末)“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对 保护海洋的呼吁，李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示宽为6cm的蓝丝带，若∠BAD=45°，则重叠 部分图形的面积是_cm2. 【变式1-2】(24-25八年级下·广东广州期末)如图，过·ABCD的对角线AC的中点0作两条互相垂直的 直线，分别交AB,BC,CD,DA于E,F,G,H四点，连接EF,FG,GH,HE.若GH=25, EO=15,则四边形EFGH的面积为_ D 类型二、斜中定理 1.找准适用条件 斜中线定理仅适用于直角三角形，解题时先定位直角三角形及其斜边，再找斜边中点，连接中点与直角 顶点得到斜中线，明确斜中线与斜边的数量关系（斜中线=斜边）。 2.结合性质转化条件 遇线段等量代换、角度计算时，利用斜中线定理推导等腰三角形（斜中线分直角三角形为两个等腰三角 形)，结合等腰三角形性质或勾股定理，简化线段、角度的推理过程。 例2.(24-25八年级下·四川南充期末)如图，AD,BE是ABC的高，AB=AC,∠BAC=50°，则 ∠BED的度数为() 2/18 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.40° B.25° C.22.5° D.30° 【变式2-1】(24-25八年级下·四川成都期末)如图，ABC中，∠ACB=90°，按以下步骤作图：①分别以 点小、点B为圆心，以大于4B的长为半径画弧，两弧交于点M、:②作直线MN交AB于点D,③连接 CD.设BC=a,AC=b,若a+b=6,ab=4,则CD的长为一 M米 【变式2-2】(25-26八年级上全国期末)如图，AC⊥BC,AD⊥BD,E为AB的中点，连接CE,DE, CD,CD交AB于点F. (1)求证：△ECD是等腰三角形； (2)若AD=BD,EF=3,DE=4,求CD的长. 类型三、特殊平行四边形中的折叠问题 1.紧抓折叠性质，转化等量关系 折叠前后图形全等，对应边、对应角相等，且折痕是对应点连线的垂直平分线。解题时先标注这些等量 关系，结合特殊平行四边形（矩形、菱形、正方形）的边、角、对角线特性，将未知线段或角转化到直 角三角形中。 3/18 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2.巧用勾股定理，建立方程求解 折叠常形成直角三角形，设未知边长为x,利用特殊平行四边形对边相等、对角线特性表示直角三角形三 边，代入勾股定理列方程，解方程即可求出线段长度，突破计算难点。 例3.(2425八年级下·云南红河期末)如图，长方形纸片ABCD中，BC=2,DC=1,将它沿对角线AC折 叠，使点D落在点E处，则BF为() E 3 A. B.2 C.1 D.3 【变式3-1】(24-25八年级下·山西临汾期末)如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在边AB,CD上， 将正方形ABCD沿着EF折叠，使点D的对应点G落在BC边上，点A的对应点为点，连接DG,若 EF=10,CG=1,则GF的长为 A----- D E G 【变式3-2】(24-25八年级下·海南期末)如图1，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C 落到点E处，BE交AD于点F. E F 图1 图2 (I)求证：BF=DF; (②)如图2，过点D作DG∥BE,交BC于点G,连接FG交BD于点O.判断四边形BFDG的形状，并说明 理由 (3)若AB=4,AD=8,求四边形BFDG的周长和面积. 4/18 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型四、特殊平行四边形中的最值问题 1.利用对称转化，化折为直 求线段和、差的最值时，借助特殊平行四边形的轴对称性，作定点关于直线的对称点，将折线路径转化 为直线段，利用“两点之间线段最短”求解：遇动点在边上运动的情况，结合对边平行且相等的性质， 转移线段位置简化问题。 2.结合图形特性，确定临界位置 分析动点运动的临界状态，比如顶点、中点等特殊位置，结合矩形、菱形、正方形的直角、对角线特性， 构造直角三角形或等腰三角形，用勾股定理、三边关系确定最值的取值范围。 例4.(24-25八年级下·广东广州期末)如图，在菱形ABCD中，E、F分别是边CD、BC上的动点，连接 AE、EF,G、H分别为AE、EF的中点，连接GH.若∠B=60°，GH的最小值为5，则BC长为() D G F A.25 B.4V5 C.215 D.415 【变式4-1】(24-25八年级下·安徽安庆期末)如图，己知正方形ABCD的边长为6，点0是对角线AC,BD 的交点，点E,F是边AD,AB上的动点，且AE=BF,连接BE,CF. B (1)线段BE与线段CF的数量关系是」 (2)连接OE，,则OE+CF的最小值为 【变式4-2】(24-25八年级下·云南红河·期末)如图1，在矩形ABCD中，AB=8,BC=10,E是BC边上的 一个动点（点E不与B、C重合），DF⊥AE,垂足为点F,过点D作DG∥AE,交BC的延长线于点G. 5/18 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 M D B E C B E 图1 图2 (1I)若DF=AB, ①求证：四边形AEGD是菱形； ②求四边形CDFE的周长； (2)如图2，AM⊥DG于点M,EN⊥DG于点N,探究：当CE为何值时，四边形AFDM是正方形？ 类型五、中点四边形问题 1.紧扣中位线定理，推导基础形状 任意四边形的中点四边形都是平行四边形，解题时连接原四边形对角线，利用三角形中位线定理，证中 点四边形对边平行且相等，这是所有中点四边形问题的核心依据，优先分析对角线关系。 2.结合原四边形特性，判定特殊形状 原四边形对角线相等时，中点四边形是菱形；对角线垂直时，中点四边形是矩形；对角线既相等又垂直 时，中点四边形是正方形。只需根据原四边形对角线的数量和位置关系，即可判定中点四边形的特殊类 型。 例5.(24-25八年级下·黑龙江哈尔滨期末)在四边形ABCD中，点E,F,G,H分别为AB,BC,CD ,AD的中点，并且AC=BD,则四边形EFGH为() A.菱形 B.正方形 C.矩形 D.梯形 【变式5-1】(24-25八年级下·四川凉山期末)如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依 次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，，按此方法继续下去，己知第一个矩形的面积为1，则第个矩 形的面积为 请用含nn≥1)的式子写出你猜想的规律. 【变式5-2】(24-25八年级下·河北秦皇岛·期末)如图，四边形ABCD为菱形，点E、F、G、H分别为四边 中点，我们把四边形EFGH称为菱形ABCD的“中点四边形”. 6/18 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B (I)求证：四边形EFGH为矩形； (2)如图，矩形MNPQ为某个菱形的中点四边形，请画出这个菱形并简单说明画法（不需要尺规作图）. 类型六、特殊平行四边形中的动点问题 1.定动线轨迹，转化变量关系 先确定动点的运动轨迹（边、对角线等）和范围，设运动时间为七，用表示相关线段长度。结合特殊平 行四边形的边、角特性，将动点问题转化为线段、角度的定量关系，标注相等边或直角条件。 2.抓临界状态，分类讨论求解 分析动点运动到顶点、中点等临界位置时的图形特征，结合问题中的特殊条件（如等腰、直角）分类讨 论。利用勾股定理、全等三角形建立方程，解方程得出t的取值，验证是否符合运动范围。 例6.(24-25八年级下·山西大同期末)如图，在菱形ABCD中，AC=6,BD=6√5，E是BC边的中点， P,M分别是AC,AB上的动点，连接PE,PM,则PE+PM的最小值是() A.6 B.2V5 C.26 D.35 【变式6-1】(24-25八年级下·内蒙古赤峰期末)如图，在RtAABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,点P 是AB边上的一点（不与A,B两点重合），过点P分别作AC，BC边的垂线，垂足分别为M,N,连接 MN,则MN的最小值是 7/18 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式6-2】(25-26九年级上·全国·期末)如图，在RtAACE中，∠ACE=90°，AC=EC=4,点B为AE边 上一点（不与点A,E重合），连接BC,将ABC绕点C旋转到△EDC的位置. (I)若∠ACB=M,请用O表示LCDE的度数； (2)连接BD,过点C作CH⊥BD,求CH长的最小值 类型七、特殊平行四边形与平面直角坐标系 1.坐标特性结合图形性质，转化几何关系 利用矩形、菱形、正方形的边、角、对角线特性，结合坐标系中点的坐标规律：平行边对应坐标差相等， 垂直边斜率乘积为1，对角线中点坐标相同。将线段相等、垂直等几何条件转化为坐标运算，简化推导。 2.设参建模，用代数方法解几何问题 设特殊平行四边形顶点坐标（优先设在坐标轴或原点简化计算），用坐标表示边长、对角线长度，借助勾 股定理、两点间距离公式列方程求解。遇动点时设参数表示坐标，结合图形特性确定参数范围。 例7.(25-26九年级上·广东深圳期中)如图，在矩形ABCD中，点A的坐标是(2，-1)，点C的坐标是 (2,5),连接BD,则BD的长是() A.4 B.6 C.5 D.√29 【变式7-1】(24-25八年级下，河南周口·期末)如图，O是坐标原点，菱形AB0C的顶点B在x轴的负半轴 上，顶点C的坐标为3,4)，则顶点A的坐标为 8/18 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式7-2】(24-25八年级下·河南南阳·期末)如图，在平面直角坐标系中，将口0ABC沿过原点的直线折 叠，点A落在x轴上的点E处，折痕交AB边于点D,点B坐标为11,4)，四边形DECB的面积为12， B E (1)点D坐标为 (2)求直线DE解析式； (3)四边形OADE的形状为 请说明理由； (4)坐标平面内的点F使以点A、C、D、F为顶点的四边形构成平行四边形，请直接写出点F的坐标. 类型八、特殊平行四边形的旋转问题 1.抓住旋转不变性，寻找全等模型 旋转前后图形全等，对应边相等、对应角相等。解题时重点关注由旋转产生的“手拉手”全等模型（如 等腰直角三角形旋转)，利用特殊平行四边形的边角特性（如正方形四边相等、直角），快速锁定全等三 角形，从而转移线段或角度，解决证明线段相等、垂直等问题。 2.利用“定弦定角”，确定点的轨迹 涉及旋转角度固定时，利用圆周角定理的逆定理，判断动点轨迹为圆弧。结合特殊平行四边形的对角线 交点、中点等定点，确定圆心和半径，将几何计算转化为圆的相关问题（如弧长、最值），简化复杂的动 态分析。 例8.(2425九年级上·广西河池期末)如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE,将△BCE 绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF,连接EF,若∠BEC=70°，则∠EFD的度数为__ 9/18 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D 【变式8-1】(2425九年级上河南信阳·期末)如图，在平面直角坐标系中，将正方形A0BC绕点O逆时针 旋转45°后得到正方形A,0B,C1,依此方式，绕点O连续旋转2025次得到正方形A2o2s0B202,C2025,如果点A 的坐标为0,1)，那么点C25的坐标为() B B A.(1, B.（-1,1 c.（-2,0) D.(0,2) 【变式8-2】(24-25八年级下，黑龙江佳木斯期末)如图1，三角形ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°， F是AC边上的一个动点（点F与A、C不重合），以CF为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF,连 接BF、AD E 图1 图2 图3 (I)猜想图1中线段BF、AD的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论； (2)将图1中的正方形CDEF,绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2、图3的情 形.图2中BF交AC于点H,交AD于点O,请你判断(1)中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明 你的判断.。 10/18