专题02 有理数及其运算（期末复习知识清单）七年级数学上学期新教材北师大版

该初中数学有理数及其运算专题知识清单，全面梳理了有理数概念、运算、科学记数法等6大知识模块，17类典型题型及2个易错点，构建了从基础概念到综合应用的递进式学习支架。 清单以“知识清单+题型变式+易错专项”三维架构呈现，如绝对值性质标注“非负性”核心要点，混合运算附“先乘方再乘除后加减”记忆口诀，培养学生抽象能力与运算能力。17类题型含生活应用实例，如“算24点”游戏题，强化应用意识，助力学生自主复习，教师可精准教学。

专题02 有理数及其运算（6知识&17题型&2易错） 【清单01】有理数的基本概念与分类 1．正数与负数：大于的数是正数，在正数前加“”（负号）的数是负数；既不是正数也不是负数，是正负数的分界点。 2．相反意义的量：需先规定基准，用正数和负数表示。 3．有理数的定义：整数和分数统称为有理数，均可表示为（、为整数且）。 4．有理数的分类： 按定义分： 按性质符号分： 5．小数的归属：有限小数和无限循环小数可化为分数，属于有理数；无限不循环小数（如）不是有理数。 【清单02】数轴、相反数与倒数 1．数轴：规定了原点、正方向（通常向右）和单位长度的直线，三要素缺一不可。 2．数轴的核心性质：数轴上右边的数总比左边的数大；所有有理数都能在数轴上找到对应点，但数轴上的点未必都是有理数。 3．相反数： 定义：只有符号不同的两个数互为相反数，的相反数是它本身。 几何意义：数轴上，互为相反数的点关于原点对称（到原点距离相等）。 多重符号化简：负号个数为偶数则结果为正，奇数则为负（简记“奇负偶正”）。 4．倒数： 定义：乘积为的两个数互为倒数，特殊说明：无倒数；倒数为自身的数是和；互为倒数的数符号相同。 【清单03】绝对值的定义与性质 1．定义：数轴上表示数的点到原点的距离，记作。 2．核心性质： ①正数的绝对值是它本身；②负数的绝对值是它的相反数；③的绝对值是；④绝对值具有非负性。 3．应用：比较负数大小，绝对值大的负数反而小。 【清单04】有理数的四则运算 1．加法法则： ①同号两数相加：取相同符号，绝对值相加； ②异号两数相加：取绝对值较大的符号，用大绝对值减小绝对值； ③互为相反数的两数相加得，一个数加得原数。 2．减法法则：减去一个数等于加上它的相反数（，。 3．乘法法则： 同号得正，异号得负，绝对值相乘； 特殊规则：乘任何数得，乘任何数得原数。 4．除法法则： ①同号得正，异号得负，绝对值相除； ②除以一个非零数等于乘它的倒数（，）； ③除以任何非零数得，不能作除数。 【清单05】乘方与有理数混合运算 1．乘方的定义：求个相同因数的积的运算，记作。 2．乘方符号规则：负数的奇次幂为负，偶次幂为正；正数的任何次幂都是正数，的任何正整数次幂都是。 3．混合运算顺序： ①先算乘方，再算乘除，最后算加减； ②有括号先算括号内（小括号中括号大括号）； ③同级运算从左到右依次进行（记忆口诀：“先乘方，再乘除，最后加减；有括号，先里后外”）。 【清单06】科学记数法与近似数 1．科学记数法：把大于的数表示为的形式（其中，为正整数，等于原数整数位数减）。 2．近似数：用四舍五入法取近似值，需明确精确到的位数。 3．有效数字：从一个数的左边第一个非数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。 【题型一】正负数、相反意义的量表示 例1．在下列各数中，负数有（   ） ，0，，，，，2024 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】详解】解：负数是指小于零的数， 在给定的数中：，是负数； ，不是负数； ，不是负数； ，是负数； ，是负数； ，不是负数； ，不是负数； 负数有3个：， ，， 故选：C． 变式1-1．有理数中，正数有 个． 【答案】3 【详解】解：有理数，0，20，，，，，中，正数有20，，，共3个． 故答案为：3． 变式1-2．在九三阅兵仪式上，新型无人机和反无人作战装备第一次对外展示，受到广泛关注．若一架无人机在飞行过程中上升5米，记作米，那么无人机在飞行过程中下降8米可记作（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】详解】解：∵飞机在飞行过程中，如果上升5米记作“米”， ∴下降8米应记作“米”． 故选：C． 变式1-3．我国古代数学家刘徽在“正负术”的注文中指出：“今两算得失相反，要令正负以名之”．意思是：对两个得失相反的量，要以正、负加以区别．若气温零上记作，则零下可记作（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】详解】解：∵零上记作， ∴零下应记作． 故选：B． 【题型二】有理数的分类 例2．把下列各数填在相应的集合里： 1，，，0.5，，，，0，2014，，． 整数集合：｛ …｝ 正分数集合：｛ …｝ 【答案】1，，，0，2014；0.5，， 【分析】详解】解：整数集合：，，，0，； 正分数集合： 0.5，，． 故答案为：1，，，0，2014；0.5，，． 变式2-1．下列数，2.6，，0，15，中，负有理数的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】详解】解：在数，2.6，，0，15，中，负有理数有，，中，共3个， 故选：C． 变式2-2．下列各数中，是负数也是分数的是（    ） A．0 B． C． D．20.25 【答案】B 【分析】详解】解：四个选项中只有是负分数，符合题意． 故选：B． 变式2-3．把下列各数分别填入相应的集合： ，0，，，，，，． 正有理数集合{______…}， 整数集合{______…}， 分数集合{______…} 【答案】正有理数集合：{， ， }；整数集合：{， 0， }；分数集合：{ ， ， } 【详解】解：正有理数集合：{， ， ，...}； 整数集合：{， 0， ，...}； 分数集合：{ ， ， ，...}． 【题型三】有理数的大小比较 例3．比较大小： ．（填“”或“”） 【答案】 【详解】解：∵，，， ∴． 故答案为：． 变式3-1．下列比较大小正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】详解】解：A．∵，，∴，故A错误； B． ∵，∴，故B正确； C．∵， ，∴, 故C错误； D．∵, ，∴, 故D错误． 故选：B． 变式3-2．用“”号连接：，，； ． 【答案】 【详解】解：，，， ， ， ∴， 故答案为：． 变式3-3．在，0，，2这四个数中，最小的数是 ． 【答案】 【分析】详解】解：在，0，，2这四个数中，是正数，是零，和是负数， 而，，， ∴， 因此，最小的数是， 故答案为 【题型四】数轴上两点之间的距离 例4．若数轴上点M表示的数为，点N与点M的距离为3，则点N表示的数为（    ） A．1或 B． C．2 D．2或 【答案】D 【分析】详解】∵点M表示的数为，点N与点M的距离为3， ∴点N表示的数为或． 故选：D． 变式4-1．如图，数轴上每相邻两点距离为1个单位长度，若点，表示的数互为相反数，则点表示的数是（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】详解】解：数轴上A，B两点表示的数互为相反数， A，B两点到原点的距离相等． 点A与点B之间的距离为4个单位长度． 点A到原点的距离为． 点A在原点的左侧， 点A表示的数是． 故选：A． 变式4-2．已知数轴上点表示的数为，点与点的距离为3，则点表示的数为 ． 【答案】或 【分析】详解】解：已知数轴上点表示的数为，点与点的距离为3，则点表示的数为或， 故答案为：或． 变式4-3．地球自西向东自转，太阳在天空中的位置看起来从东往西移动，东边的地区会更早看到太阳升起，西边相对较晚．比如日本比中国更靠东，所以北京时间为早上6时时，东京已经是早上7时了．如图用数轴表示了五个国家首都某时刻的国际标准时间（单位：时），则北京时间2025年10月28日19时对应（    ） A．华盛顿时间2025年10月28日14时 B．伦敦时间2025年10月29日3时 C．巴黎时间2025年10月28日12时 D．东京时间2025年10月29日4时 【答案】C 【分析】详解】解：A、北京时间：年10月日19时， 一天有24小时，， 华盛顿时间年10月日6时，故本选项错误； B、北京时间：年10月日19时， 一天有24小时，， ∴伦敦时间年10月28日11时，故本选项错误； C、北京时间：年月日19时， 一天有24小时，， ∴巴黎时间年月日时，故本选项正确； D、北京时间：年10月日19时， 一天有24小时，， 东京时间年10月28日20时，故本选项错误． 故选：C． 【题型五】数轴上的动点问题 例5．点在数轴的负半轴上，距离原点3个单位长度，将点沿数轴向右移动5个单位长度到点，若点到点的距离为4，则点表示的数为 ． 【答案】6或 【分析】详解】解：∵点A在数轴的负半轴上，且距离原点3个单位长度， ∴点A表示的数为， ∵将点A沿数轴向右移动5个单位长度到点， ∴点B表示的数为：， ∵点C到点B的距离为4，设点C表示的数为，则， ∴或， 解得：或， ∴点C表示的数为6或， 故答案为：6或． 变式5-1．点在数轴上距原点5个单位长度，将点先向右移动3个单位长度，再向左移动7个单位长度，得到点，则点表示的数是（   ） A．1或 B．或9 C．1或9 D．或 【答案】A 【分析】详解】解：∵点在数轴上距原点5个单位长度， ∴点表示的数为：或， 当点表示的数为时，， 当点表示的数为时，， ∴点表示的数是或， 故选：A． 变式5-2．数轴上点A表示的数是，若点A以每秒2个单位长度在数轴上运动，那么t秒后，点A表示的数是 （用含有t的代数式表示）． 【答案】或 【分析】详解】解：∵点A的初始位置为，运动速度为2个单位长度/秒， ∴当向右移动时，t秒后，点A表示的数是； 当向左移动时，t秒后，点A表示的数是； 故答案为：或． 变式5-3．在数轴上，点A，B分别表示实数，将点A向左平移2个单位长度得到点C．若点C，A关于原点对称，，则B所表示的数为 ． 【答案】5或 【分析】详解】解：∵将点A向左平移2个单位长度得到点C，若点C，A关于原点对称， ∴点A表示的数为，点C表示的数为，， 设点B表示的数为b， ∵， ∴， ∴或， 故答案为：5或 ． 【题型六】倒数的概念和相反数的概念 例6．若a与b互为相反数，m与n互为倒数，则 ． 【答案】 【详解】解：∵a与b互为相反数，m与n互为倒数， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 变式6-1．的倒数与的倒数的和的相反数 ． 【答案】 【分析】详解】解：由题意，； 故答案为：． 变式6-2．一个有理数的倒数是，则这个数的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵该有理数的倒数为， ∴该有理数为， ∴该有理数的相反数为． 故选：D． 变式6-3．我们知道对于非零有理数与互为倒数，所以求的值，就是求的值的倒数．现有一个计算题：． (1)若将看成，将看成，请写出的倒数，并利用上述方法将该题解答完整； (2)运用上述方法，计算：． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解：的倒数是：， ． ∴； （2）解：的倒数是：， ， 所以 ． 【题型七】绝对值定义、绝对值的性质 例7．的相反数是（    ） A．2025 B． C． D． 【答案】B 【分析】详解】解：∵， ∴的相反数是． 故选：B 变式7-1．下列各式化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】详解】解：A、∵， ∴ A计算错误． B、∵， ∴ B计算错误． C、∵， ∴ C计算正确． D、∵， ∴ D计算错误． 故选：C 变式7-2．数轴上到原点距离小于4个单位长度的点中，表示整数的点共有 个． 【答案】7 【详解】解：数轴上到原点的距离小于4个单位长度的点中，表示整数的点有，共7个； 故答案为：7． 变式7-3．（1）如果，，且a，b异号，求a，b的值； （2）如果，，且，求a，b的值． 【答案】 （1），或， （2），或， 【详解】解：（1）∵，， ∴，， ∵、异号， ∴，或，； （2）∵，， ∴，， ∵， ∴，或，． 【题型八】化简绝对值 例8．已知，化简的结果为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 变式8-1．若，则a的值是（    ） A．任意有理数 B．任意一个非负数 C．任意一个负数 D．任意一个非正数 【答案】D 【分析】详解】解：∵， ∴原方程为． 当时，，∴，不成立； 当时，，∴，解得； 当时，，∴ ，恒成立； 综上，当时等式成立，故 a 是任意一个非正数； 故选：D． 变式8-2．观察有理数，，在数轴上的位置，如图所示． (1)比较大小： ， ， ； (2)化简： 【答案】(1)，， (2) 【详解】（1）解：由图可知：， ∴， 故答案为：，，； （2）解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 变式8-3．已知的三边长为， (1)若，求边长的取值范围； (2)化简． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ，即． （2）解：∵的三边长为， ， 原式 ． 【题型九】非负性的性质 例9．如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（） A．2016 B．2017 C．2019 D．2002 【答案】C 【详解】解：∵为有理数， ∴， ∴， ∴． 当时，即，取等号， ∴最大值为． 故选C． 变式9-1．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，且， ∴ 且， ∴ ，即， ∴ ，即， ∴ ， 故选：C． 变式9-2．若，则 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴，，解得，， 将，代入可得， 原式， 故答案为：． 变式9-3．代数式的最小值是（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】详解】解：∵， ∴，当时，等号成立， ∴最小值为， 故选：B． 【题型十】有理数的加减运算 例10．请列式并计算： (1)一个数与的和等于，这个数是多少？ (2)减去与的和，差是多少？ 【答案】(1)； (2) 【详解】（1） ， ， ． 这个数是． （2） ， ， ． 差是． 变式10-1．计算：． 【答案】0 【分析】详解】解： 变式10-2．在《九章算术注》中用白色和黑色的算筹（小棍形状的计数工具）分别表示正数和负数，如图1表示的计算过程，则图2表示 的计算过程． 【答案】 【详解】解：由题意得白色算筹表示正数，黑色算筹表示负数， 图中表示的计算过程为． 故答案为：． 变式10-3．规定图形表示运算，图形表示运算，则 ． 【答案】2 【分析】详解】解：根据题意得： 故答案为：2． 【题型十一】有理数乘除法运算 例11．已知某数的等于与的和的倒数，那么这个数是多少？ 【答案】这个数是 【分析】详解】解：， ， ， 答：这个数是． 变式11-1．规定，则．同理可得， ． 【答案】22 【分析】详解】解：∵， ∴． 故答案为：22． 变式11-2．请你阅读材料，理解倒数在混合运算中的巧用： 计算： 解：原式的倒数 故原式． 再根据你对所提供材料的理解，运用上述方法计算：． 【答案】 【分析】详解】解：原式的倒数 ， ∴原式． 变式11-3．在学习了有理数的除法后，我们知道了有理数的除法可以转化为乘法：“除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数．”请根据所学知识完成下列问题． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则______； (2)计算：； (3)根据以上信息可知：______． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：，即， ， 即， 故答案为：； （2）解：原式， ， ； （3）解：由（2）可知，， ， 故答案为：． 【题型十二】有理数的乘方 例12．计算（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】详解】解：由题意得，原式． 故选：C． 变式12-1．下列各组数中，数值相等的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】详解】A：∵=，=，∴两者不相等． B：∵，∴两者相等． C：∵，∴两者不相等． D：∵，∴两者不相等． 故只有选项B数值相等． 故选：B． 变式12-2．已知a、b互为倒数，化简： ． 【答案】 【详解】解：∵a、b互为倒数， ∴ ∴ 故答案为：． 变式12-3．将化成以某个质因数为底，幂的形式为 ． 【答案】 【分析】详解】解：． 故答案为：． 【题型十三】有理数混合运算 例13．设a，b为整数，定义，则的值为 ． 【答案】61 【分析】详解】解：∵， 当时， 则， 故答案为：61． 变式13-1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)4 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式13-2．如图，是一个数值运算程序框图，若开始输入，则最后输出的结果是 ． 【答案】1 【详解】解：输入（整数），， 不是奇数，将（分数）代入得， 16不是奇数，将（整数）代入得， 4不是奇数，将（整数）代入得， 1是奇数，输出结果． 故答案为：1． 变式13-3．综合与实践生活中常用的十进制是用0～9这十个数字来表示数，满十进一，例：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一， 例：二进制数10010转化为十进制数： 其他进制也有类似的算法．例：十进制数37转化为二进制数：…1，…0，…1，…0，…0，…1，即37用二进制表示为101001． (1)仿照以上过程，将二进制数“10110”转化为十进制数是 ； (2)按照上面的格式将十进制数“4372”转化为八进制数是 ； (3)在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满八进一，根据图示，求孩子已经出生的天数是 天． 【答案】(1)22 (2)2298 (3)90 【详解】（1）解：二进制数“10110”转化为十进制数为： 故答案为：22． （2）解：八进制数“4372”转化为十进制数为： 答：八进制数“4372”转化为十进制数为2298． 故答案为：2298； （3）解：由于满八进一，类似于八进制数，图示表示的八进制数为132，转化为十进制数为： 答：孩子已经出生的天数为90天． 故答案为：90. 【题型十四】算“24”点 例14．游戏“点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为，其中红色（方块、红桃）扑克牌代表负数，黑色（梅花、黑桃）扑克牌代表正数．请用如图抽取出的张牌，写出一个符合规则的算式： ． 【答案】或或（答案不唯一，任选一个） 【分析】详解】解：符合规则的算式为或或， 故答案为：或或． 变式14-1．请选择使用“加、减、乘、除和括号”（可重复），将四个数组成算式（每个数必须用一次且只能用一次），使运算结果为24，你列出的算式是 ．（写出一种即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】详解】解：因为， 所以列出的算式是， 故答案为：（答案不唯一）． 变式14-2．24点游戏是一种益智游戏，24点是把4个整数（一般是正整数）通过加、减、乘、除或乘方等运算（可以使用括号），使最后的计算结果是的一个数学游戏（每个数字均使用1次）．写出1，2，2，3的24点游戏的一种计算式 ． 【答案】 【分析】详解】解：． 故答案为：． 变式14-3．有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各题： (1)从中选择两张卡片 ①使这两张卡片上数字之和最大，请列出算式并计算结果_____； ②使这两张卡片上数字之差最小，请列出算式并计算结果_____； ③使这两张卡片上数字之积最大，请列出算式并计算结果_____； ④使这两张卡片上数字之商最小，请列出算式并计算结果_____； (2)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，写出算式及运算过程．（写出两种即可） 【答案】(1)见解析 (2)见详解 【详解】（1）解：①依题意，， 故答案为：9； ②依题意，， 故答案为：； ③依题意，， 故答案为：； ④依题意，， 故答案为：； （2）解：依题意，； ． 【题型十五】科学计数法 例15．月球到地球的平均距离约为380000千米，这个数据用科学记数法表示为（    ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】B 【分析】详解】解：， 故选：B． 变式15-1．美丽的三合湖湿地公园完成蓄水后，蓄水量达到1400000，把数据1400000用科学记数法记为 ． 【答案】 【分析】详解】把数据1400000用科学记数法记为． 故答案为：． 变式15-2．年河北首次突破四万亿元，其中石家庄年总量约为元，名义增速约，数据可以表示为(　　) A．亿 B．亿 C．亿 D．亿 【答案】C 【分析】详解】解：亿． 故选：C． 【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键． 变式15-3．一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为 个． 【答案】7 【分析】详解】解：∵表示的原数为81505000000， ∴原数中“0”的个数为7， 故答案为：7． 【题型十六】近似数的表示 例16．由四舍五入法得到的近似数，下列说法正确的是（   ） A．精确到万位 B．精确到百位 C．精确到千分位 D．精确到百分位 【答案】B 【详解】解：，末位数字8表示8百，则精确到百位， 故选：B． 变式16-1．下列说法错误的是（   ） A．近似数2.1和2.10精确度不相同 B．0.0357（用四舍五入法精确到） C．由四舍五入得到的近似数，精确到百分位 D．小明身高约，其中175是近似数 【答案】C 【分析】详解】A．近似数2.1精确到0.1，2.10精确到0.01，精确度不同，A正确； B．0.0357精确到0.001（千分位），看下一位万分位，进1得0.036，B正确； C．，其中9.03精确到0.01，但乘以后精确到100（百位），不是百分位，C错误； D．“约”表示近似，175是近似数，D正确． 故选：C． 变式16-2．按“四舍五入法”将精确到百分位后得到的近似数，保留了 位有效数字． 【答案】 【分析】详解】解：（精确到百分位）， 的有效数字为、、、，共位有效数字． 故答案为： ． 变式16-3．如果一个数按照四舍五入的原则得到的近似数为，则这个数的取值范围应在（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】详解】解：由于近似数精确到了百分位，所以它所表示的准确数必须至少精确到千分位，且符合四舍五入法的要求，则． 故选：D． 【题型十七】有理数实际应用 例17．某中学举行踢毽子比赛，六年级一班组建了踢毽子训练小组，小组中男生有人，女生人数与男生人数的比是． (1)求踢毽子小组的人数是多少人？ (2)踢毽子小组中男生人数占全班男生人数，踢毽子小组人数占全班人数的，求该班级未参加踢毽子的女生人数是多少人？ (3)由于活动的需要，未参加踢毽子训练的同学中有一些女生要参加训练，有一些参加训练的男生退出了训练，调整后踢毽子小组训练的总人数多了人，踢毽子小组中男生人数为女生人数的，求调整前踢毽子小组中退出训练的男生的人数． 【答案】(1)人； (2)人； (3)人． 【详解】（1）解：（人）， （人）， 答：踢毽子小组的人数是人， （2）解：（人）， （人）， （人）， 答：该班级未参加踢毽子的女生人数是人； （3）解：（人），（人）， （人）， 答：调整前踢毽子小组中退出训练的男生的人数为人． 变式17-1．《孙子算经》中载有“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢……”大意为：今天出门看见9座堤坝，每座堤坝上有9棵树，每棵树上有9根树枝，每根树枝上有9个鸟巢……文中的鸟巢共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】详解】解：∵堤坝有9座，每座堤坝有9棵树，每棵树有9根树枝，每根树枝有9个鸟巢， ∴ 总鸟巢数个 因此，文中的鸟巢共有个， 故选：C． 变式17-2．中考当天，快车司机俊俊为中考的孩子免费提供指定（东西方向）道路接送．规定向东为正，向西为负，当天上午俊俊从家里出发后一路上接送了8个孩子，行驶情况如下（单位：千米）：． (1)接送完8个孩子后，俊俊离家多远？ (2)接送完8个孩子后，俊俊便开车回家休整，已知俊俊的汽车每千米耗油量为升，求当天上午俊俊的汽车的总耗油量． 【答案】(1)7千米 (2)升 【详解】（1）解：（千米）， 答：接送完8个孩子后，离家7千米． （2）解：（升）， 答：当天上午俊俊的汽车的总耗油量为升． 变式17-3．一只蜗牛从电线杆底部上方处开始，沿着电线杆上上下下地爬行．某数学兴趣小组观察了这只蜗牛的5次爬行，规定向上爬为正，向下爬为负（单位：），记录如下： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 爬行距离（与上一次相比） (1)观察结束时，蜗牛离出发点多远？在出发点的上方还是下方？ (2)若蜗牛平均每厘米要爬，则该数学兴趣小组一共观察了多长时间？ 【答案】(1)蜗牛离出发点远，在出发点的上方 (2)该数学兴趣小组一共观察了 【详解】（1）解：， 答：观察结束时，蜗牛离出发点远，在出发点的上方； （2）解：， ， 答：该数学兴趣小组一共观察了． 【题型一】有理数运算中符号问题 例1．若，均为正有理数，且，，则下列叙述正确的是（） A．，皆为正数 B．，皆为负数 C．为正数，为负数 D．为负数，为正数 【答案】C 【详解】，，，，． 对于a：，共有四个负因数， ∵偶数个负数相乘为正， ． 对于b：， ，再乘以， ． 为正数，为负数． 故选C． 变式1．计算：． 【答案】 【详解】解： ． 变式2．在计算时，结果可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， 故选：． 【点睛】本题主要考查乘方的意义，乘方的符号规律，掌握以上知识的是解题的关键． 【题型二】绝对值分类讨论问题 例2．a，b为非零有理数，则的值为（　　） A．3 B． C．3或 D． 【答案】C 【详解】解：当且时，原式； 当且时，原式； 当且时，原式； 当且时，原式． 的值为3或． 故选：C． 变式1．若，则a的值是（    ） A．任意有理数 B．任意一个非负数 C．任意一个非正数 D．任意一个负数 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴不成立， 当时，， ∴， ∵， ∴不成立， 当时，， ∴ ∵， ∴成立， 综上，当时等式成立，即为任意一个非正数． ∴故选：C． 变式2．已知两个非零有理数x，y满足，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴和互为相反数． 当，则， 即， ∴， ∴； 当，则， 即， ∴， ∴； 故答案为： 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 有理数及其运算（6知识&17题型&2易错） 【清单01】有理数的基本概念与分类 1．正数与负数：大于的数是正数，在正数前加“”（负号）的数是负数；既不是正数也不是负数，是正负数的分界点。 2．相反意义的量：需先规定基准，用正数和负数表示。 3．有理数的定义：整数和分数统称为有理数，均可表示为（、为整数且）。 4．有理数的分类： 按定义分： 按性质符号分： 5．小数的归属：有限小数和无限循环小数可化为分数，属于有理数；无限不循环小数（如）不是有理数。 【清单02】数轴、相反数与倒数 1．数轴：规定了原点、正方向（通常向右）和单位长度的直线，三要素缺一不可。 2．数轴的核心性质：数轴上右边的数总比左边的数大；所有有理数都能在数轴上找到对应点，但数轴上的点未必都是有理数。 3．相反数： 定义：只有符号不同的两个数互为相反数，的相反数是它本身。 几何意义：数轴上，互为相反数的点关于原点对称（到原点距离相等）。 多重符号化简：负号个数为偶数则结果为正，奇数则为负（简记“奇负偶正”）。 4．倒数： 定义：乘积为的两个数互为倒数，特殊说明：无倒数；倒数为自身的数是和；互为倒数的数符号相同。 【清单03】绝对值的定义与性质 1．定义：数轴上表示数的点到原点的距离，记作。 2．核心性质： ①正数的绝对值是它本身；②负数的绝对值是它的相反数；③的绝对值是；④绝对值具有非负性。 3．应用：比较负数大小，绝对值大的负数反而小。 【清单04】有理数的四则运算 1．加法法则： ①同号两数相加：取相同符号，绝对值相加； ②异号两数相加：取绝对值较大的符号，用大绝对值减小绝对值； ③互为相反数的两数相加得，一个数加得原数。 2．减法法则：减去一个数等于加上它的相反数（，。 3．乘法法则： 同号得正，异号得负，绝对值相乘； 特殊规则：乘任何数得，乘任何数得原数。 4．除法法则： ①同号得正，异号得负，绝对值相除； ②除以一个非零数等于乘它的倒数（，）； ③除以任何非零数得，不能作除数。 【清单05】乘方与有理数混合运算 1．乘方的定义：求个相同因数的积的运算，记作。 2．乘方符号规则：负数的奇次幂为负，偶次幂为正；正数的任何次幂都是正数，的任何正整数次幂都是。 3．混合运算顺序： ①先算乘方，再算乘除，最后算加减； ②有括号先算括号内（小括号中括号大括号）； ③同级运算从左到右依次进行（记忆口诀：“先乘方，再乘除，最后加减；有括号，先里后外”）。 【清单06】科学记数法与近似数 1．科学记数法：把大于的数表示为的形式（其中，为正整数，等于原数整数位数减）。 2．近似数：用四舍五入法取近似值，需明确精确到的位数。 3．有效数字：从一个数的左边第一个非数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。 【题型一】正负数、相反意义的量表示 例1．在下列各数中，负数有（   ） ，0，，，，，2024 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1-1．有理数中，正数有 个． 变式1-2．在九三阅兵仪式上，新型无人机和反无人作战装备第一次对外展示，受到广泛关注．若一架无人机在飞行过程中上升5米，记作米，那么无人机在飞行过程中下降8米可记作（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 变式1-3．我国古代数学家刘徽在“正负术”的注文中指出：“今两算得失相反，要令正负以名之”．意思是：对两个得失相反的量，要以正、负加以区别．若气温零上记作，则零下可记作（   ） A． B． C． D． 【题型二】有理数的分类 例2．把下列各数填在相应的集合里： 1，，，0.5，，，，0，2014，，． 整数集合：｛ …｝ 正分数集合：｛ …｝ 变式2-1．下列数，2.6，，0，15，中，负有理数的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式2-2．下列各数中，是负数也是分数的是（    ） A．0 B． C． D．20.25 变式2-3．把下列各数分别填入相应的集合： ，0，，，，，，． 正有理数集合{______…}， 整数集合{______…}， 分数集合{______…} 【题型三】有理数的大小比较 例3．比较大小： ．（填“”或“”） 变式3-1．下列比较大小正确的是（   ） A． B． C． D． 变式3-2．用“”号连接：，，； ． 变式3-3．在，0，，2这四个数中，最小的数是 ． 【题型四】数轴上两点之间的距离 例4．若数轴上点M表示的数为，点N与点M的距离为3，则点N表示的数为（    ） A．1或 B． C．2 D．2或 变式4-1．如图，数轴上每相邻两点距离为1个单位长度，若点，表示的数互为相反数，则点表示的数是（   ） A． B． C．1 D．2 变式4-2．已知数轴上点表示的数为，点与点的距离为3，则点表示的数为 ． 变式4-3．地球自西向东自转，太阳在天空中的位置看起来从东往西移动，东边的地区会更早看到太阳升起，西边相对较晚．比如日本比中国更靠东，所以北京时间为早上6时时，东京已经是早上7时了．如图用数轴表示了五个国家首都某时刻的国际标准时间（单位：时），则北京时间2025年10月28日19时对应（    ） A．华盛顿时间2025年10月28日14时 B．伦敦时间2025年10月29日3时 C．巴黎时间2025年10月28日12时 D．东京时间2025年10月29日4时 【题型五】数轴上的动点问题 例5．点在数轴的负半轴上，距离原点3个单位长度，将点沿数轴向右移动5个单位长度到点，若点到点的距离为4，则点表示的数为 ． 变式5-1．点在数轴上距原点5个单位长度，将点先向右移动3个单位长度，再向左移动7个单位长度，得到点，则点表示的数是（   ） A．1或 B．或9 C．1或9 D．或 变式5-2．数轴上点A表示的数是，若点A以每秒2个单位长度在数轴上运动，那么t秒后，点A表示的数是 （用含有t的代数式表示）． 变式5-3．在数轴上，点A，B分别表示实数，将点A向左平移2个单位长度得到点C．若点C，A关于原点对称，，则B所表示的数为 ． 【题型六】倒数的概念和相反数的概念 例6．若a与b互为相反数，m与n互为倒数，则 ． 变式6-1．的倒数与的倒数的和的相反数 ． 变式6-2．一个有理数的倒数是，则这个数的相反数是（   ） A． B． C． D． 变式6-3．我们知道对于非零有理数与互为倒数，所以求的值，就是求的值的倒数．现有一个计算题：． (1)若将看成，将看成，请写出的倒数，并利用上述方法将该题解答完整； (2)运用上述方法，计算：． 【题型七】绝对值定义、绝对值的性质 例7．的相反数是（    ） A．2025 B． C． D． 变式7-1．下列各式化简正确的是（    ） A． B． C． D． 变式7-2．数轴上到原点距离小于4个单位长度的点中，表示整数的点共有 个． 变式7-3．（1）如果，，且a，b异号，求a，b的值； （2）如果，，且，求a，b的值． 【题型八】化简绝对值 例8．已知，化简的结果为（   ） A． B．1 C． D． 变式8-1．若，则a的值是（    ） A．任意有理数 B．任意一个非负数 C．任意一个负数 D．任意一个非正数 变式8-2．观察有理数，，在数轴上的位置，如图所示． (1)比较大小： ， ， ； (2)化简： 变式8-3．已知的三边长为， (1)若，求边长的取值范围； (2)化简． 【题型九】非负性的性质 例9．如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（） A．2016 B．2017 C．2019 D．2002 变式9-1．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 变式9-2．若，则 ． 变式9-3．代数式的最小值是（    ） A．0 B． C．1 D．2 【题型十】有理数的加减运算 例10．请列式并计算： (1)一个数与的和等于，这个数是多少？ (2)减去与的和，差是多少？ 变式10-1．计算：． 变式10-2．在《九章算术注》中用白色和黑色的算筹（小棍形状的计数工具）分别表示正数和负数，如图1表示的计算过程，则图2表示 的计算过程． 变式10-3．规定图形表示运算，图形表示运算，则 ． 【题型十一】有理数乘除法运算 例11．已知某数的等于与的和的倒数，那么这个数是多少？ 变式11-1．规定，则．同理可得， ． 变式11-2．请你阅读材料，理解倒数在混合运算中的巧用： 计算： 解：原式的倒数 故原式． 再根据你对所提供材料的理解，运用上述方法计算：． 变式11-3．在学习了有理数的除法后，我们知道了有理数的除法可以转化为乘法：“除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数．”请根据所学知识完成下列问题． (1)根据倒数的定义我们知道，若，则______； (2)计算：； (3)根据以上信息可知：______． 【题型十二】有理数的乘方 例12．计算（   ） A． B． C． D． 变式12-1．下列各组数中，数值相等的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 变式12-2．已知a、b互为倒数，化简： ． 变式12-3．将化成以某个质因数为底，幂的形式为 ． 【题型十三】有理数混合运算 例13．设a，b为整数，定义，则的值为 ． 变式13-1．计算： (1)； (2)． 变式13-2．如图，是一个数值运算程序框图，若开始输入，则最后输出的结果是 ． 变式13-3．综合与实践生活中常用的十进制是用0～9这十个数字来表示数，满十进一，例：；计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一， 例：二进制数10010转化为十进制数： 其他进制也有类似的算法．例：十进制数37转化为二进制数：…1，…0，…1，…0，…0，…1，即37用二进制表示为101001． (1)仿照以上过程，将二进制数“10110”转化为十进制数是 ； (2)按照上面的格式将十进制数“4372”转化为八进制数是 ； (3)在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满八进一，根据图示，求孩子已经出生的天数是 天． 【题型十四】算“24”点 例14．游戏“点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为，其中红色（方块、红桃）扑克牌代表负数，黑色（梅花、黑桃）扑克牌代表正数．请用如图抽取出的张牌，写出一个符合规则的算式： ． 变式14-1．请选择使用“加、减、乘、除和括号”（可重复），将四个数组成算式（每个数必须用一次且只能用一次），使运算结果为24，你列出的算式是 ．（写出一种即可） 变式14-2．24点游戏是一种益智游戏，24点是把4个整数（一般是正整数）通过加、减、乘、除或乘方等运算（可以使用括号），使最后的计算结果是的一个数学游戏（每个数字均使用1次）．写出1，2，2，3的24点游戏的一种计算式 ． 变式14-3．有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各题： (1)从中选择两张卡片 ①使这两张卡片上数字之和最大，请列出算式并计算结果_____； ②使这两张卡片上数字之差最小，请列出算式并计算结果_____； ③使这两张卡片上数字之积最大，请列出算式并计算结果_____； ④使这两张卡片上数字之商最小，请列出算式并计算结果_____； (2)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，写出算式及运算过程．（写出两种即可） 【题型十五】科学计数法 例15．月球到地球的平均距离约为380000千米，这个数据用科学记数法表示为（    ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 变式15-1．美丽的三合湖湿地公园完成蓄水后，蓄水量达到1400000，把数据1400000用科学记数法记为 ． 变式15-2．年河北首次突破四万亿元，其中石家庄年总量约为元，名义增速约，数据可以表示为(　　) A．亿 B．亿 C．亿 D．亿 变式15-3．一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为 个． 【题型十六】近似数的表示 例16．由四舍五入法得到的近似数，下列说法正确的是（   ） A．精确到万位 B．精确到百位 C．精确到千分位 D．精确到百分位 变式16-1．下列说法错误的是（   ） A．近似数2.1和2.10精确度不相同 B．0.0357（用四舍五入法精确到） C．由四舍五入得到的近似数，精确到百分位 D．小明身高约，其中175是近似数 变式16-2．按“四舍五入法”将精确到百分位后得到的近似数，保留了 位有效数字． 变式16-3．如果一个数按照四舍五入的原则得到的近似数为，则这个数的取值范围应在（   ） A． B． C． D． 【题型十七】有理数实际应用 例17．某中学举行踢毽子比赛，六年级一班组建了踢毽子训练小组，小组中男生有人，女生人数与男生人数的比是． (1)求踢毽子小组的人数是多少人？ (2)踢毽子小组中男生人数占全班男生人数，踢毽子小组人数占全班人数的，求该班级未参加踢毽子的女生人数是多少人？ (3)由于活动的需要，未参加踢毽子训练的同学中有一些女生要参加训练，有一些参加训练的男生退出了训练，调整后踢毽子小组训练的总人数多了人，踢毽子小组中男生人数为女生人数的，求调整前踢毽子小组中退出训练的男生的人数． 变式17-1．《孙子算经》中载有“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢……”大意为：今天出门看见9座堤坝，每座堤坝上有9棵树，每棵树上有9根树枝，每根树枝上有9个鸟巢……文中的鸟巢共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 变式17-2．中考当天，快车司机俊俊为中考的孩子免费提供指定（东西方向）道路接送．规定向东为正，向西为负，当天上午俊俊从家里出发后一路上接送了8个孩子，行驶情况如下（单位：千米）：． (1)接送完8个孩子后，俊俊离家多远？ (2)接送完8个孩子后，俊俊便开车回家休整，已知俊俊的汽车每千米耗油量为升，求当天上午俊俊的汽车的总耗油量． 变式17-3．一只蜗牛从电线杆底部上方处开始，沿着电线杆上上下下地爬行．某数学兴趣小组观察了这只蜗牛的5次爬行，规定向上爬为正，向下爬为负（单位：），记录如下： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 爬行距离（与上一次相比） (1)观察结束时，蜗牛离出发点多远？在出发点的上方还是下方？ (2)若蜗牛平均每厘米要爬，则该数学兴趣小组一共观察了多长时间？ 【题型一】有理数运算中符号问题 例1．若，均为正有理数，且，，则下列叙述正确的是（） A．，皆为正数 B．，皆为负数 C．为正数，为负数 D．为负数，为正数 变式1．计算：． 变式2．在计算时，结果可表示为（   ） A． B． C． D． 【题型二】绝对值分类讨论问题 例2．a，b为非零有理数，则的值为（　　） A．3 B． C．3或 D． 变式1．若，则a的值是（    ） A．任意有理数 B．任意一个非负数 C．任意一个非正数 D．任意一个负数 变式2．已知两个非零有理数x，y满足，则的值为 ． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $